文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.2.3 菱形的性质 教学设计
一、教学目标：
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
二、教学重、难点：
重点：掌握菱形的定义和性质及菱形面积的求法.
难点：灵活运用菱形的性质解决问题.
三、教学过程：
复习回顾
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平
行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
知识精讲
如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组
邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【针对练习】下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）折一折、剪一剪
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形
吗？
从中你能得到菱形的哪些性质？
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何符号语言：
∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD，OB=OD
∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三线合一)
同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成
四个全等的三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
1 1 1
S =4 =4×2AO×BO=2×2AO×2BO=2×AC×BD
菱形ABCD S△ABO
典例解析
例1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
1 1
AO＝ AC，BO＝ BD.
2 2
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3❑√5＝12❑√5 (cm)．
【针对练习】四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的
长.
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD，BD=2OB，AC=2AO=8
在Rt△AOB中，OB=
√AB2 −AO2
=
√52 −42
=3
∴ BD=6
例2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC
和BD，求两条小路的长.
解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形
1 1
∴ AC⊥BD，∠ABO=2∠ABC=2×60°=30°1 1
在Rt△OAB中，AO=2AB=2×20=10
BO=
√AB2 −AO2
=
√202 −102
=
10√3
20√3
∴ 花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)、BD=2BO= (m)
1
花坛的面积S =2AC·BD=
200√3
(m2)
菱形ABCD
【针对练习】已知菱形的两对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6
1 1
∴ AC⊥BD，AO=2AC=4，BO=2BD=3
在Rt△AOB中，AB=
√AO2 +BO2
=
√42 +32
=5
∴ C =4×5=20
菱形ABCD
1
S =2×6×8=24
菱形ABCD
例3.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：
OA=EB.证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
【针对练习】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E， CF⊥AD于F.求证:AE=AF.
证明:连接AC.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD,即∠EAC=∠FAC∵CE⊥AB,CF⊥AD
∴∠AEC=∠AFC=90°
又AC=AC
∴△ACE≌△ACF (AAS)
∴AE=AF
例4.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.
求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
1 1
∴S ＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
△AOB
2 2
∴S ＝4S ＝4×30＝120.
菱形ABCD △AOB
∵AB=❑√AO2+BO2 =❑√52+122 =13
∴ C =4×5=20
菱形ABCD
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S ＝AB·h＝13h，
菱形ABCD
120
∴13h＝120，得h＝ .
13
【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四
个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一
半．
【针对练习】如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
1
∴∠ABC= ×180°=60°，
3
1
∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
2
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
1
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，
2
OB=❑√AB2-OA2 =❑√3 cm
∴BD=2OB=2❑√3cm；
1 1
（2）S
菱形ABCD
= AC•BD= ×2×2❑√3=2❑√3 (cm2)．
2 2
【点睛】菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60°
时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.菱形具有而一-般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中， AB=5， ∠BCD=120°，则对角线AC的长是( )
A. 20 B.15 C.10 D.53.菱形两条对角线分别为6和4,则菱形的周长是( )
A.24 B.16 C.4❑√13 D.2❑√3
4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6, 过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE
的长为( )
12 18 24
A. B. C.4 D.
5 5 5
5.如图，P为线段AB上的一个点，分别以AP, PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，
点P， C， E在一条直线上.若∠DAP=60°, AP2+3PB2=1，M，N分别是对角线AC，BE的中点，
则MN的长为( )
1 1
A. B. C.1 D.4
2 4
6.菱形的周长是8,则菱形的一边长是______.
7.菱形的面积为24，一对角线长为6，则另一对角线长为_____，边长为_____.
8.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边均为 16cm,若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm，则
∠1=______度.9.如图，菱形 ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线 AC，BD相交于点 O，点E在AB 上，且
BE=BO，则∠EOA=_____度.
10.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，E，F 分别为 AD，CD 上的动点，且
AE+CF=2， 则线段EF长的最小值是______.
11.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.
12.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H，连接 OH，求
证:∠DHO=∠DCO.【参考答案】
1. C
2. D
3. C
4. D
5. A
6. 2
7. 8,5
8. 120
9. 25
10. ❑√3
11.证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，∠B=∠D
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
12.证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AB // CD,OB=OD
∴∠DCO+∠CDO=90°,∠CDO=∠HBO
∵DH⊥AB
∴OH是Rt△BDH斜边BD上的中线
∴OH=OB
∴∠OHB=∠HBO
∴∠OHB=∠CDO∵∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO
四、教学反思：
通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以
引导. 但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升
到证明这个环节. 在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用. 课堂中学生始终处于
观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人. 为学生今后获取
知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力
学习数学知识的信心和勇气.
