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1.1. 认识三角形（第1 课时）
题型一：三角形的识别与相关概念
1．（24-25 八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
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2 /
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据
此即可解答．
【详解】
解：图形中是三角形的是
故选：B．
2．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三
角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D 在△ABC 中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC 是 和 的边；
（3）如图，
ABD
△
的3 个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，
FAC
是 的外角．
【答案】
,
,
,
ABD
ADC
BDC
ABC
△
△
△
△
BCD ACB
,
,
BAD
ABD
ADB
,
,
AB AD BD ABC
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【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可
【详解】解：（1）如图，点D 在
ABC
中，写出图中所有三角形：
,
,
,
ABD
ADC
BDC
ABC
△
△
△
△
；
故答案为：
,
,
,
ABD
ADC
BDC
ABC
△
△
△
△
；
（2）如图，线段BC 是BCD和ACB 的边；
故答案为：BCD；ACB ；
（3）如图，
ABD
△
的3 个内角是
,
,
BAD
ABD
ADB
，三条边是
,
,
AB AD BD ；
故答案为：
,
,
BAD
ABD
ADB
；
,
,
AB AD BD ；
（4）如图，
FAC
是ABC 的外角．
故答案为：ABC ．
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别
是 ；
（2）
BGE
△
的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ．
【答案】 4
,
,
,
ABC
AEF
BGE
GCF
B，G，E BE EG BG
,
,
BGE
B
BEG
,
,
【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义．
（1）根据三角形的定义解答即可；
（2）根据三角形的顶点、边、角解答即可．
【详解】解：
（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4 个三角形，它们分别是
,
,
,
ABC
AEF
BGE
GCF
；
（2）根据图形可得，
BGE
△
的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是BE EG BG
,
,
，三个角分别是
BGE
B
BEG
,
,
．
故答案为：
,
,
,
ABC
AEF
BGE
GCF
；B，G，E；BE EG BG
,
,
；
BGE
B
BEG
,
,
．
题型二：三角形的个数问题
1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC 中，
90
ABC
=
，BD
AC
⊥
于点D ，DE
AB
∥
交BC 于点E ，
则图中的直角三角形共有（ ）
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A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据BD
AC
⊥
得
ABD
△
、
CBD
△
是
直角三角形，再根据DE
AB
∥
，AB
BC
⊥
得DE
BC
⊥
，即可得BDE
、CDE
是直角三角形，进而可得结
论．
【详解】解：∵
90
ABC
=
，
∴△ABC 是直角三角形，AB
BC
⊥
，
∵BD
AC
⊥
于点D，
∴
ABD
△
、
CBD
△
是直角三角形，
∵DE
AB
∥
，AB
BC
⊥
，
∴DE
BC
⊥
，
∴BDE
、CDE
是直角三角形，
综上，直角三角形有△ABC、
ABD
△
、
CBD
△
、BDE
、CDE
，一共5 个，
故选：C．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，以点A 为顶点的三角形有 个．
【答案】4
【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角
形．根据三角形的定义即可解答．
【详解】解：以点A 为顶点的三角形有
ABC
，
ABD
△
，
ACE
△
，
ADE
，
∴以点A 为顶点的三角形有4 个，
故答案为：4．
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3．（24-25 七年级上·山东济南·期末）如图，直线l 经过A，B，C，D，E 五点，点P 是直线l 外一点，连接
PA PB
PC
PD
PE
，
，
，
，
，则共有 个三角形．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解．
【详解】解：图中有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
PAB
PBC
PCD
PDE
PAC
PAD
PAE
PBD
PBE
PCE
共10 个三角形，
故答案为：10．
4．（23-24 八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC 的BC 边上取三个点D ，E ，F ，连接AD，AE ，AF ，
则BC 边上有 条线段，以 A 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．
【答案】 10 10 10
【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A
组成角，即以 A 为顶点的角有10 个；以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
【详解】解：根据题意得，线段有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
BD BE BF BC DE DF DC EF EC FC 共10 条线段；
以 A 为顶点的角
ABD
ABE
ABF
ABC
ADE
ADF
，
，
，
，
，
，
,
ACD
AEF
AEC
AFC
，
，
，
三角形有
,
ABD
ABE
ABF
ABC
ADE
ADF
ACD
AEF
AEC
AFC
，
，
，
，
，
，
，
，
，
上述线段都与点A 组成交，即以 A 为顶点的角有10 个；
以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
故答案为：10，10，10．
5．（24-25 七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（ ）个三角形．
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【答案】44
【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即
可．
【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16 个；
由二个小三角形组成的三角形数量为16 个；
由四个小三角形组成的三角形数量为8 个；
由八个小三角形组成的三角形数量为4 个；
则共有16 16 8
4
44
+
+ +
=
个，
故答案为：44．
6．（2024 八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个
三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n 个图形中有 个三角形（用含n 的代数式表示结论）．
【答案】 3 5 7 13 (
)
2
1
n −
/(
)
1
2n
−+
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规
律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．
（1）根据观察可得：图②有3 个三角形；图③有5 个三角形；图④有7 个三角形；由此可以猜测第七个
图形中共有13 个三角形即可；
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2 倍减去1，据此求得第n 个图形中的三
角形的个数即可．
【详解】解：（1）∵图②有3 个三角形，3
2 2 1
= −；
图③有5 个三角形，5
2 3 1
= −；
图④有7 个三角形，7
2 4 1
= −；
∴图②有3 个三角形；图③有5 个三角形；图④有7 个三角形；…猜测第七个图形中共有13 个三角形．
（2）由（1）可知，第n 个图形中有(
)
2
1
n −
个三角形．
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故答案为：3，5，7，13，(
)
2
1
n −
．
题型三：对三角形进行分类
1．（24-25 七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180 度求出这个三角形
最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，
∴这个三角形最大的内角度数为
4
180
80
2
3
4
=
+ +
，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
2.（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC 中，若
2
2
A
B
C
= = ，则△ABC 是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求得
A
、
B
、
C
的度数，由此可以推知△ABC 是直角三角形．本题考
查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于180是解答本题的关键．
【详解】解：∵在△ABC 中，
2
2
A
B
C
= = ，
180
A
B
C
++
=
，
则
B
C
=
，
1
1
180
2
2
A
A
A
+
+
=
，
解得
90
A
=
，
∴△ABC 是直角三角形．
∵
B
C
=
，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
故选：A．
3.（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
【答案】A
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【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解．
【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角，
∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形
故选：A．
4．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”
分别为（ ）
A．等边三角形，等腰直角三角形
B．等腰直角三角形，钝角三角形
C．等边三角形，钝角三角形
D．锐角三角形，等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的
分类进行分析即可．
【详解】将三角形按边的相等关系，
可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，
将三角形按角的大小可以分为，
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形，
故选：C．
5．（24-25 八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC 是锐角三角形的是（ ）
A．
90
A
B
=
−
B．
20
A
B
B
C
−=−
=
C．
2
3
A
B
C
= =
D．
88
A
B
+=
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180”是解题的关键．根据
各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出△ABC 的最大内角的度数，再将其与90比较后，即可
得出结论．
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【详解】解：A．
90
A
B
=
−
，
90
A
B
+=
，
又
180
A
B
C
++
=
，
180
(
)
180
90
90
C
A
B
=
−+
=
−
=
，
△ABC 是直角三角形，选项A 不符合题意；
B．
20
A
B
B
C
−= −
=
，
20
B
A
= −
，
20
20
20
40
C
B
A
A
=−
=−
−
=−
，
又
180
A
B
C
++
=
，
20
40
180
A
A
A
+−
+−
=
，
80
A
=
，
80
90
，
△ABC 是锐角三角形，选项B 符合题意；
C．
2
3
A
B
C
= =
，
1
2
B
A
\ ?
?
，
1
3
C
A
=
，
又
180
A
B
C
++
=
，
1
1
180
2
3
A
A
A
+
+
=
，
1080
11
A
=
，
1080
90
11
，
△ABC 是钝角三角形，选项C 不符合题意；
D．
88
A
B
+=
，
180
A
B
C
++
=
，
180
(
)
180
88
92
C
A
B
=
−+
=
−
=
，
92
90
，
△ABC 是钝角三角形，选项D 不符合题意．
故选：B．
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三
角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答
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本题的关键．
根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交
于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
题型四：判断是否能构成三角形
1．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．1，3，5
C．15，7，7
D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系 ；根据三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边判
断即可．
【详解】解：A．1 2
3
+
= ，故1，2，3 不能构成三角形，不符合题意；
B．1 3
5
+
，故1，3，5 不能构成三角形，不符合题意；
C．7
7
15
+
，故15，7，7 不能构成三角形，不符合题意；
D．6
8
10
+
，故6，8，10 能构成三角形，符合题意；
故选：D．
2．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm ，3cm
B．3cm ，2cm ，6cm
C．6cm，5cm，10cm
D．6cm，9cm，2cm
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角
形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知：
A、1 2
3
+
= ，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2
3
6
+
，不能组成三角形，故选项此不符合题意；
C、5 6
10
+
，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、2
6
9
+
，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
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A．2，
2
a+
，
3(
0)
a
a
+
B．3 厘米，8 厘米，10 厘米
C．三条线段之比为1:2:3
D．6 厘米，6 厘米，6 厘米
【答案】C
【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可．
【详解】解：A．由
0
a
得
(
)
2
2
4
3
a
a
a
+
+
=
+
+
，能构成三角形，故此选项不合题意；
B．3 8
11
0
+
=
，能构成三角形，故此选项不合题意；
C．设最小边为a，则剩余两边是2a ，3a ．
2
3
a
a
a
+
=
，不能构成三角形，故此选项符合题意；
D．因为6
6
12
6
+
=
，能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
4．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长5cm、11cm 的两根木棒首尾相接，钉
成一个三角形的是（ ）
A．5cm
B．6cm
C．11cm
D．16cm
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三边关系可得6cm 第三边16cm
，再进一步的判
断即可.
【详解】解：∵三角形的两边分别为长5cm、11cm，
∴6cm 第三边16cm
，
∴第三边为11cm符合题意；
故选：C
5．
（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，A 、B 为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得
16
OA=
米，
12
OB =
米，A 、B 间的距离可能是（ ）
A．25 米
B．30米
C．35米
D．40 米
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB
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的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵
16
OA=
米，
12
OB =
米，
∴OA OB
AB
OA OB
−
+
，
即16 12
16 12
AB
−
+
，
∴4
28
AB
，
∴A 、B 间的距离可能是25 米，
故选：A ．
6．（24-25 八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c 满足
(
)
2
5
5
10
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
．
(1)求a，b，c 的值；
(2)试问：以a，b，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
5
a =
，
5
b =
，
10
c =
(2)能构成三角形，周长为：5
5
10
+ +
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，无理数的估算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）
绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0 时，必须满足其中的每一项都等于
0．根据这个结论可以求解这类题目．
（1）根据非负数的性质可求出a、b、c 的值；
（2）先估算出5
5
10
7
+
，根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
5
0
a −
=
，
5
0
b −
=
，
10
0
c −
=
，
解得：
5
a =
，
5
b =
，
10
c =
．
（2）解：
2
5
3,3
10
4
，
5
5
10
7
+
，
a 、b 、c 能构成三角形，
此时三角形的周长为
5
5
10
a
b
c
+ +
=
+ +
．
题型五：确定第三边的取值范围
1．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，m ，若它们能构成三角形，则奇
数m 的最大值是( )
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A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边．根据三角形的三边关系得出3
9
m
，再从中找出最大的奇数即可．
【详解】解：由三角形的三边关系可知：6 3
6 3
m
−
+ ，
即3
9
m
，
m
为奇数，
奇数m 的最大值是7 ，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为2cm 和3cm ，它的第三边长是偶
数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 cm．
【答案】7 或9/9 或7
【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到1
5
x
，由第三边长
是偶数得到
2
x =
或4，即可求出这个三角形的周长．
【详解】解：设第三边长为x ，
则3 2
2 3
x
−
+ ，即1
5
x
．
又x 为偶数，因此
2
x =
或4，
故这个三角形的周长是：2
2
3
7(cm)
+
+
=
或2
3
4
9(cm)
+ +
=
．
故答案为：7 或9．
3．（24-25 八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且a ，b ，c 均为整数．
(1)若
3
a = ，
5
b =
，求边长c 的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若c 为偶数，求△ABC 的周长．
【答案】(1)3、4 、5、6 、7
(2)12或14
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系；
（1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解；
（2）将c 的值表示出来，分情况计算周长即可求解；
【详解】（1）△ABC 的三边长为a ，b ，c ，
3
a = ，
5
b =
，
5 3
5 3
c
−
+ ，
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14 /
即2
8
c
，且a ，b ，c 均为整数，
故c 的取值范围为：3、4 、5、6 、7 ；
故答案为：3、4 、5、6 、7
（2）解：c 为偶数，2
8
c
，
故c 可取4 ，6 ；
当
4
c =
时，△ABC 的周长为3 5 4
12
+ +
=
；
当
6
c = 时，△ABC 的周长为3 5
6
14
+ +
=
4．
（24-25 八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b 满足
2
(
5)
8
0
a
b
−
+
−
=
，
这个三角形的最长边为c ．
(1)求c 的取值范围：
(2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长．
【答案】(1)8
13
c
(2)22 或24
【分析】本题考查了非负数的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b 的值是解题关
键．
（1）由非负数的性质，可得a 、b 的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为c ，可得答
案；
（2）由此三角形的周长为偶数，可知c 为奇数，则
9
c =
或11，即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
(
5)
8
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
5
0
a −=
，
8
0
b−=
，
∴
5
a =
，
8
b =
，
∵三角形的最长边为c ，
∴8
5 8
c
+ ，即：8
13
c
；
（2）由（1）可知，
5
a =
，
8
b =
，8
13
c
，
则此三角形的周长为
13
a
b
c
c
+ + =
+ ，
∵此三角形的周长为偶数，
∴c 为奇数，则
9
c =
或11，
∴
13
22
a
b
c
c
+ + =
+ =
或24，
∴此三角形的周长为22 或24．
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15 /
5．（23-24 八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，DE
BC
∥
交AC 于点
3
2
E
AD
DE
=
=
，
，
．
(1)若AE 的长为奇数，求AE 的长度；
(2)若
130
50
BDE
A
=
=
，
，求
ACB
的度数．
【答案】(1)3(2)80
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形中任意两边
之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据构成三角形的条件求出1
5
AE
，再由AE 的长为奇数，可得
3
AE = ；
（2）先由三角形外角的性质得到
80
AED
BDE
A
−=
=
，再由两直线平行，同位角相等可得
80
ACB
AED
=
=
．
【详解】（1）解：∵在
ADE
中， AD
DE
AE
AD
AE
−
+
，
∴3 2
3 2
AE
−
+ ，即1
5
AE
，
∵AE 的长为奇数，
∴
3
AE = ；
（2）解：∵
130
50
BDE
A
=
=
，
，
BDE
A
AED
=+
，
∴
80
AED
BDE
A
−=
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
80
ACB
AED
=
=
．
题型六：利用三角形的三边关系化简
1．（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
−
+
−
+
−
−
−−−
+
；
(2)若a，b，c 满足
(
)
2
0
b
c
a
c
−
+
−
=
，试判断△ABC 的形状．
【答案】(1) 2
4
a
c
−
+
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(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明a
b
c
=
= ，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵, ,
a b c
ABC
三边长，
∴
0,
0,
0,
0
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
−
−
−
−−
+
∴a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
−
+
−
+
−
−
−−−
+
(
) (
) (
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=
+
+
−
+
−
−
−
−
+ −−
+
．
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=
+ + −−+ −+ + −−+
2
4
a
c
= −
+
；
（2）解：∵
(
)
2
0
b
c
a
c
−
+
−
=
且
0
b
c
−
，(
)
2
0
a
c
−
，
∴
0
b
c
−=
且
0
a
c
−=
∴b
c
=
且a
c
=
，即a
b
c
=
=
∴△ABC 等边三角形．
2．（24-25 七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为1，4，a，化简：
2
1
6
a
a
a
−
−
−+
−
．
【答案】5
a
−
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a 的取值
范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为
ABC
的三边长分别为1，4，a．
所以4 1
4 1
a
−
+ ．
解得3
5
a
．
∴
2
0
a −
，
1
0
a−
，
6
0
a −
，
∴
2
1
6
a
a
a
−
−
−+
−
(
)
2
1
6
a
a
a
=
−
−
−
+
−
5
a
=
−．
3．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为a
b
c
，，．
(1)化简：a
b
c
b
c
a
a
b
c
−
−
+
−−
+
+
−
；
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(2)若
2
5
a
b
=
=
，
，第三边c 的长为奇数，判断△ABC 的形状．
【答案】(1)a
b
c
+ +
(2)△ABC 是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整
式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得
,
,
a
b
c b
c
a a
c
b
+
+
+
，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得3
7
c
，则有
5
c =
，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵
ABC
的三边长分别为a
b
c
，，，
∴
,
,
a
b
c b
c
a a
c
b
+
+
+
，
∴a
b
c
b
c
a
a
b
c
−
−
+
−−
+
+
−
b
c
a
c
a
b
a
b
c
= + −+ + −+ + −
a
b
c
=
+ + ；
（2）解：∵
2
5
a
b
=
=
，
，
∴根据三角形三边关系可得3
7
c
，
∵第三边c 的长为奇数，
∴
5
c =
，
∴
5
b
c
=
=
，
∴△ABC 是等腰三角形．
4．（24-25 七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 都是整数．
(1)若
2
a =
，
5
b =
，且c 为奇数，求△ABC 的周长．
(2)化简：|
|
|
|
a
b
c
b
c
a
−+
+
−−
．
【答案】(1)12(2) (
)
2 a
c
b
+
−
【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可．
（2）根据三角形三边关系，化简解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
2
a =
，
5
b =
，
∴3<
7
<
c
，
∵第三边长c 为奇数，，
∴
5
c =
．
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ABC
的周长为2
5 5
12
+ + =
．
（2）解：∵a ，b ，c 是三角形的三边长，
故
,
b
c
a a
c
b a
b
c
+
+
+
＞
＞,
＞，
∴
0
a
c
b
+ −＞，
0
<
b
c
a
−−
，
∴|
|
|
|
a
b
c
b
c
a
−+
+
−−
(
)
2
a
c
b
a
c
b
a
c
b
=
+ −
+
+ −
=
+ −
．
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）△ABC 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简
1
a
b
c
a
b
c
a
b
+
+
−
−
−
+
+
+ ；
(2)若a
b
+
为整数，c 为整数，且满足(
)
2
8
1
64
c
a
b
−
+
+
+
=
，求△ABC 的周长．
【答案】(1)3
1
a
b
+ + (2)10
【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相
关知识是解答本题的关键．
（1）根据三角形三边关系可判断出
0
a
b
c
+ + ，
0
a
b
c
−−
，
1
0
a
b
+ +
，再化简绝对值即可；
（2）根据a
b
+
为整数，c 为整数，a，b，c 为
ABC
的三边长，得出
1
a
b
c
+
， 即
1
2
a
b
+ +
，根据
(
)
2
8
1
64
c
a
b
−
+
+
+
=
，
2
8
64
=
或
3
4
64
=
或
1
64
64
=
，得出
1
8
2
8
2
a
b
c
+
+ =
−
+
=
或
1
4
2
8
3
a
b
c
+
+ =
−
+
=
或
1
64
2
8
1
a
b
c
+ + =
−
+
=
，然后分
别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
ABC
的三边长分别为a，b，c，
∴
0
a
b
c
+ + ，
0
a
b
c
−−
，
1
0
a
b
+ +
，
∴
1
a
b
c
a
b
c
a
b
+
+
−
−
−
+
+
+
(
) (
)
1
a
b
c
a
b
c
a
b
=
+
+
+
−
−
+
+
+
1
a
b
c
a
b
c
a
b
=
+ + +
−−+
+ +
3
1
a
b
=
+ + ；
（2）解：∵a
b
+
为整数，c 为整数，a，b，c 为
ABC
的三边长，
∴
1
a
b
c
+
，
∴
1
2
a
b
+ +
，
∵(
)
2
8
1
64
c
a
b
−
+
+
+
=
，
2
8
64
=
或
3
4
64
=
或
1
64
64
=
，
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∴
1
8
2
8
2
a
b
c
+
+ =
−
+
=
或
1
4
2
8
3
a
b
c
+
+ =
−
+
=
或
1
64
2
8
1
a
b
c
+ + =
−
+
=
，
当2
8
3
c
−
+ = 时，
2.5
c =
不符合题意，舍去；
当2
8
2
c
−
+ =
时，
3
c = ，符合题意，
当2
8
1
c
−
+ = 时，
3.5
c =
不符合题意，舍去，
∴
1
8
3
a
b
c
+
+ =
=
，
即
7
3
a
b
c
+
=
=
，
∴
ABC
的周长为
7
3 10
a
b
c
+ + =
+ =
．
题型七：与平行线有关的内角和问题
1．（24-25 七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若
1
30
=
，则
2
的度数为（ ）
A．100
B．110
C．120
D．130
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B 、C ．
2
180
BAC
ABC
ACB
=
=
−
−
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
1
30
BCA
=
=
，
又纸条的长边平行，
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1
30
ABC
= =
，
2
180
2
180
2 1 180
2 30
120
BAC
ABC
=
=
−
=
−=
−
=
．
故选：C．
2．（24-25 七年级上·河南南阳·期末）如图，直线a
b
，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC
b
⊥
，
垂足为C ．若
'
1
44 17
=
，则
2
=（ ）．
A．
'
46 43
B．
'
45 43
C．
'
45 83
D．
'
44 17
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到
'
1
44 17
ABC
= =
，
90
ACB
=
，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：
a
b
，AC
b
⊥
，
'
1
44 17
=
，
'
1
44 17
ABC
= =
，
90
ACB
=
，
'
2
180
45 43
ACB
ABC
=
−
−
=
，
故选： B．
3．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在△ABC 中，
70
C
=
，直线DE 经过点A 且DE
BC
∥
，若
30
DAB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为180是解题的关键．根
据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
【详解】解：
DE
BC
∥
，
30
B
DAB
=
=
，
180
B
C
BAC
++
=
，
180
180
30
70
80
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
．
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故选：B．
4．
（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线a
b
，直线AC 分别与直线a 、b 交于点B 、C ，CD
AC
⊥
交直线a 于点D ，
45
A
=
，则
2
的度数为（ ）
A．45
B．30
C．60
D．75
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得
90
ACD
=
，
可得
90
45
45
ADC
=
−
=
，由平行线的性质推出
2
45
ADC
=
=
，熟练掌握平行线的性质，垂线,三
角形的内角和的综合应用是解决此题的关键．
【详解】解：
CD
AC
⊥
，
90
ACD
=
，
45
A
=
，
90
45
45
ADC
=
−
=
，
a
b
，
2
45
ADC
=
=
，
故选：A ．
5．
（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G 是BC 上一点，过点G 作
,
GE
AB GF
CD
∥
∥
，
若
123
A
D
+
=
，则
EGF
= °．
【答案】57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到
GEF
A
= ，
GFE
D
=
，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵GE
AB
，GF
CD
∥
，
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∴
GEF
A
= ，
GFE
D
=
，
∵
123
A
D
+
=
，
∴
123
GEF
GFE
A
D
+
= +
=
，
∴
(
)
180
180
123
57
EGF
GEF
GFE
=
−
+
=
−
=
．
故答案为：57．
6．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知如图，DC
EG
∥
，
40
C
=
，
70
A
=
，则
AFG
的度数为 ．
【答案】70
【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解
题的关键．根据三角形内角和定理求出
180
70
ABC
A
C
=
−−
=
，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：
40
C
=
，
70
A
=
，
180
70
ABC
A
C
=
−−
=
，
DC
EG
∥
，
70
AFG
ABC
=
=
．
故答案为：70．
题型八：与角平分线有关的内角和问题
1．（2025·河南信阳·三模）如图，Rt
ABC
△
中，
50
B
=
，
90
C
=
，线段AD是
CAB
的平分线，
ADB
的度数为（ ）
A．80
B．100
C．110
D．150
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
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23 /
先根据三角形的内角和定理可得
40
BAC
=
，再根据角平分线的定义可得
20
BAD
=
，然后根据三角形的
内角和定理即可得．
【详解】解：∵在△ABC 中，
50
B
=
，
90
C
=
，
180
50
90
40
BAC
=
−
−
=
，
∵AD平分
BAC
，
20
BAD
=
，
180
110
ADB
B
BAD
=
−−
=
，
故选：C．
2．
（2025·四川南充·三模）如图，△ABC 中，BD平分
ABC
，AD
BD
⊥
．
20
DAC
=
，
38
C
=
．则
ABD
的度数为（ ）．
A． 28
B．29
C．31
D．32
【答案】D
【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．先由BD平分
ABC
，得
2
ABC
ABD
=
，根据AD
BD
⊥
，则
90
ABD
BAD
+
=
，再把
数值代入
180
ABC
BAC
C
+
+
=
，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，
∴
2
ABC
ABD
=
，
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
ABD
BAD
+
=
，
在△ABC 中，
180
ABC
BAC
C
+
+
=
，
∴
(
)
2
90
180
ABD
ABD
DAC
C
+
−
+
+
=
，
即90
20
38
180
ABD
+
+
+
=
，
解得
32
ABD
=
，
故选：D
3．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）如图，在ABC
中，
62
A
=
，
74
B
=
，CD是△ABC 的角平分
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24 /
线，点E 在AC 上，且DE
BC
∥
，
EDC
的度数为（ ）
A．22
B．24
C．23
D．44
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．根据三角形内角和求出
ACB
，由角平分线求出
BCD
，最后由平行线的性质即可求出答案．
【详解】解：∵在ABC
中，
62
A
=
，
74
B
=
，
∴
180
44
ACB
A
B
=
−−=
，
∵CD是△ABC 的角平分线，
∴
1
22
2
BCD
ACB
=
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
22
EDC
BCD
=
=
，
故选：A．
4．（23-24 七年级下·四川德阳·期末）如图，AB
CD
∥
，
1
4
EAF
EAB
=
，
1
4
ECF
ECD
=
，则
AFC
=
AEC
．
【答案】3
4
【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接AC ，设
EAF
x
= ，ECF
y
= ，
4
EAB
x
=
，
4
ECD
y
=
，由平行线的性质得
180
BAC
ACD
+
=
，进一步得出
(
)
4
,
AEC
x
y
=
+
(
)
3
AFC
x
y
=
+ ，
从而可得结论
【详解】解：连接AC ，如图，
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，
设
EAF
x
= ，
ECF
y
= ，
4
EAB
x
=
，
4
ECD
y
=
，
∵AB
CD
∥
∴
180
BAC
ACD
+
=
，
∴
4
4
180
CAE
x
ACE
y
+
+
+
=
，
∴
(
)
180
4
4
CAE
ACE
x
y
+
=
−
+
，
∴
(
)
180
3
3
FAC
FCA
x
y
+
=
−
+
，
∴
(
)
180
AEC
CAE
ACE
=
−
+
(
)
180
180
4
4
x
y
=
−
−
+
4
4
x
y
=
+
(
)
4 x
y
=
+ ；
(
)
180
AFC
FAC
FCA
=
−
+
(
)
180
180
3
3
x
y
=
−
−
+
3
3
x
y
=
+
(
)
3 x
y
=
+ ，
∴
3
4
AFC
AEC
=
故答案为：3
4
5．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，BE 是
ABD
的平分线，CF 是
ACD
的平分线，BE 与
CF 交于G 若
140
BDC
=
，
100
BGC
=
，则
A
的度数为 ．
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26 /
【答案】60/60 度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接BC ，求出
180
40
DBC
DCB
BDC
+
=
−
=
，继而求出
(
)
180
40
GBD
GCD
BGC
DBC
DCB
+
=
−
−
+
=
，得到
(
)
2
80
ABD
ACD
GBD
GCD
+
=
+
=
，
求出
(
) (
)
180
60
A
ABD
ACD
DBC
DCB
=
−
+
−
+
=
．
【详解】解：如图，连接BC ，
140
BDC
=
，
180
40
DBC
DCB
BDC
+
=
−
=
，
100
BGC
=
，
(
)
180
40
GBD
GCD
BGC
DBC
DCB
+
=
−
−
+
=
，
BE 是
ABD
的平分线，CF 是
ACD
的平分线，
1
2
GBD
ABD
=
，
1
2
GCD
ACD
=
，
(
)
2
80
ABD
ACD
GBD
GCD
+
=
+
=
，
(
) (
)
180
60
A
ABD
ACD
DBC
DCB
=
−
+
−
+
=
，
故答案为：60．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，
36 ,
B
BAC
=
与
BCA
的平分线相交于点O，
则
AOC
= ．
【答案】108
【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解
180
36
144
BAC
BCA
+
=
−
=
，再
结合角平分线可得
(
)
1
1 144
72
2
2
OAC
OCA
BAC
BCA
+
=
+
=
=
，再进一步求解即可．
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【详解】解：∵
36
B
=
，
∴
180
36
144
BAC
BCA
+
=
−
=
，
∵
BAC
与
BCA
的平分线相交于点O，
∴
(
)
1
1 144
72
2
2
OAC
OCA
BAC
BCA
+
=
+
=
=
，
∴
(
)
180
180
72
108
AOC
OAC
OCA
=
−
+
=
−
=
，
故答案为：108
7．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC 中，CD
AB
⊥
于D
CE
，
是
ACB
的平分线，
20
A
=
，
=60
B
，则
ECD
的度数 ．
【答案】20
【分析】本题考查三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知高，角平分线，内角和是解
题关键．由
20
A
=
，
=60
B
利用内角和定理先求
ACB
，利用角平分线求
BCE
，利用直角三角形两
锐角互余求
BCD
，再利用角的差求得答案．
【详解】解：
20
A
=
，
60
B
=
，
100
ACB
=
，
CE 是
ACB
的角平分线，
50
BCE
=
，
CD
AB
⊥
90
BDC
=
，
=60
B
30
BCD
=
，
20
DCE
BCE
BCD
=
−
=
．
故答案为：20．
8．
（24-25 八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在△ABC 中，ABC
与
ACB
的平分线交于点P，若
40
A
=
，
则
BPC
= ．
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28 /
【答案】110
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180是解题关键．由题
意得到
140
ABC
ACB
+
=
，再结合角平分线的定义，得出
70
CBP
BCP
+
=
，最后利用三角形内角和求
解即可．
【详解】解：
180
ABC
ACB
A
+
+=
，
40
A
=
，
140
ABC
ACB
+
=
，
ABC
与
ACB
的平分线交于点P，
1
2
CBP
ABC
=
，
1
2
BCP
ACB
=
，
(
)
1
1
1
70
2
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
(
)
180
180
70
110
BPC
CBP
BCP
=
−
+
=
−
=
，
故答案为：110．
题型九：与三角板有关的内角和问题
1．（2025·安徽滁州·三模）将一个含45的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若1 110
=
，
则
2
的度数是（ ）
A．60
B．65
C．70
D．75
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：
2
6
= ，
,
5
45
AB
CD =
∥
，1 110
=
，根据平行线的性质和邻补角可得
3
70
4
=
= ，再由三角形内角和定理，
即可求解．
【详解】解：如图，根据题意得：
2
6
= ，
,
5
45
AB
CD =
∥
，1 110
=
，
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29 /
3 180
1
70
4
=
−=
= ，
2
6
180
5
4
180
45
70
65
= =
−−=
−
−
=
，
故选：B．
2．（2025·安徽安庆·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，其中AB
EF
∥
，
(
)
90
30
45
C
D
B
E
=
=
=
=
，
，
，则1
的度数为（ ）
A．100
B．105
C．110
D．120
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行，内错角相等得到
BHE
的
度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解；如图所示，设AB
DE
，
交于H，
∵AB
EF
∥
，
∴
45
BHE
E
=
=
∠
∠
，
∴1 180
105
B
BHE
=
−
−
=
∠
∠
，
故选：B．
3．（24-25 七年级下·山西大同·期中）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点D 在BC 边上，
90
B
EDF
=
=
，
45
A
=
，
30
F
=
．若BC
EF
∥
，则
CED
的度数为（ ）
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30 /
A．15
B．10
C．5
D．20
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得
45
C
CEF
=
=
，然后利用角的和差关系
进行计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：
90
B
=
，
45
A
=
，
90
45
45
C
=
−
=
BC
EF
，
45
C
CEF
=
=
，
90
B
EDF
=
=
，
30
F
=
，
60
DEF
=
，
15
CED
DEF
CEF
=
−
=
，
故选：A．
4．（2025·安徽铜陵·三模）一等腰三角板和一直尺如图放置，若1
60
=
，则
2
的度数是（ ）
A．105
B．110
C．115
D．120
【答案】A
【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰直角三角形性质、平行线性质及邻补角定义等知
识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
结合等腰直角三角形性质，先由三角形内角和定理求出
3
，再由平行线性质及邻补角定义，数形结合即可
得到答案．
【详解】解：如图所示：
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31 /
由三角形内角和定理可知
3
180
60
45
75
=
−
−
=
，
由平行线性质可知
4
3
75
= =
，
2
180
75
105
=
−
=
，
故选：A．
5．（2025·江苏盐城·二模）如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了1
23
=
，则
2
为
度．
【答案】112
【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，标注角与顶点，
平行线，证明5
3
23
?
?
? ，
4
6
= ，结合
45
A
=
，从而可得结论．
【详解】解：如图，标注角与顶点，平行线，
∵a
b
∥，1
23
=
，
∴1
3
23
= =
，
2
4
=
，
∴5
3
23
?
?
? ，
4
6
= ，
∵
45
A
=
，
∴4 180
5
112
A
?
? ?
?
? ，
故答案为：112
6．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中
的大小为 ．
【答案】75
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由
45
ABC
=
，
60
ACB
=
，再结合三角形的内角和
定理解答即可.
【详解】解：如图，
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由题意可得：
45
ABC
=
，
60
ACB
=
，
∴
180
60
45
75
BAC
=
=
−
−
=
，
故答案为：75
7．（2025·安徽合肥·一模）如图，两个三角板如图放置，其中
90
BAC
DAE
=
=
，
30
B
=
，
45
D
=
，
若BC
DE
∥
，则
CAE
的度数为 ．
【答案】15/15 度
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，设AD与BC 交于点F，由平行线的性质求出
45
CFA
D
=
=
，然后利用三角形内角和定理求
出
180
75
CAF
C
CFA
=
−−
=
，进而求解即可．
【详解】如图所示，设AD与BC 交于点F
∵BC
DE
∥
∴
45
CFA
D
=
=
∴
180
75
CAF
C
CFA
=
−−
=
∴
15
CAE
EAD
CAF
=
−
=
．
故答案为：15．
题型十：三角形内角和中相关求解
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1．（24-25 七年级下·上海黄浦·期中）已知△ABC 中，
:
:
2:3:5
A
B
C
=
，如果按角分类，那么△ABC 是
三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．
先设
2
A
=
，则
3 ,
5
B
C
=
=
，根据三角形内角和定理得到2
3
5
180
+
+
=
求得，进而求得
,
,
A
B
C
的度数，进而判断三角形的形状．
【详解】解：
:
:
2:3:5
A
B
C
=
，
设
2
A
=
，则
3 ,
5
B
C
=
=
，
2
3
5
180
+
+
=
解得
18
=
36 ,
54 ,
90
A
B
C
=
=
=
ABC
是直角三角形．
故答案为：直角．
2．（24-25 七年级下·上海·期中）在△ABC 中，
31
A
=
，
52
C
=
，则△ABC 是 三角形（填“锐
角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】钝角
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，熟记钝角三角形的概念是解题的关键．
利用三角形的内角和定理求得
B
的度数即可判断．
【详解】∵在△ABC 中，
31
A
=
，
52
C
=
，
∴
180
180
31
52
97
B
A
C
=
−−
=
−
−
=
，
∴△ABC 是钝角三角形．
故答案为：钝角．
3．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）△ABC 中，如果
A
是
B
的两倍，且
C
比
A
大30，那么△ABC
是 三角形．（按角分类）
【答案】直角
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设
B
x
=
，得到
2
A
x
=
，
2
30
C
x
=
+
，根据三角形内角和
定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别．
【详解】
解：设
B
x
=
，
∵
A
是
B
的两倍，
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∴
2
A
x
=
，
∵
C
比
A
大30，
∴
30
2
30
C
A
x
=
+
=
+
，
∵
180
A
B
C
++
=
，
∴2
2
30
180
x
x
x
+ +
+
=
，
解得
30
x =
，
∴
60
A
=
，
30
B
=
，
90
C
=
，
∴△ABC 是直角三角形．
故答案为：直角．
4．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）在△ABC 中，若
1
1
3
5
A
B
C
=
=
，则△ABC 的最大角与最小角
的度数差为 ．
【答案】80
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、解一元一次方程等知识，先由题意，设
A
x
=
，
则
3
B
x
=
，
5
C
x
=
，由三角形内角和定理列方程求解即可得到答案．熟记三角形内角和定理是解决问题
的关键．
【详解】解：在△ABC 中，若
1
1
3
5
A
B
C
=
=
，
设
A
x
=
，则
3
B
x
=
，
5
C
x
=
，
由三角形内角和定理可知
180
A
B
C
++
=
，则
3
5
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
20
x =
，
△ABC 的最大角是
5
100
C
x
=
=
，最小角是
20
A
x
=
=
，
△ABC 的最大角与最小角的度数差为100
20
80
−
=
，
故答案为：80．
5．（24-25 七年级下·山东济南·期中）在△ABC 中，若
A
B
C
=
+
，则△ABC 一定是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理和已知条件求出
C
的
度数即可得到答案．
【详解】解：∵
A
B
C
=
+
，
180
A
B
C
++
=
，
∴
180
C
C
+
=
，
∴
90
C
=
，
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35 /
∴△ABC 一定是直角三角形，
故答案为：直角．
6．（24-25 七年级下·福建三明·期中）在△ABC 中，
30
BAC
=
，
60
ABC
=
，点D 是AB 上一个动点，
当CD取最小值时，
ACD
= ．
【答案】60
【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据垂线段最短得到当CD
AB
⊥
时，CD取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】如图所示，
∵点D 是AB 上一个动点
∴当CD
AB
⊥
时，CD取最小值
∴
90
ADC
=
∵
30
BAC
=
∴
60
ACD
=
．
故答案为：60．
7．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4 倍多15，
则较小锐角的度数为 ．
【答案】15/15 度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较
小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为x，则较大的锐角为4
15
x+
，
根据直角三角形两锐角之和为90，得：
(4
15)
90
x
x
+
+
=
，
解得：
15
x =
，
所以较小锐角的度数为15．
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36 /
故答案为：15．
题型十一：三角形折叠中角度问题
1．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，将△ABC 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在
点O 处，则1
2
+的度数为（ ）
A．180
B．160
C．128
D．108
【答案】A
【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理．
通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出1
2
+的度数．
【详解】由题知：
B
HOG
A
DOE
C
EOF
=
=
=
，
，
，
1
2
360
HOG
EOF
DOE
+ +
+
+
=
，
180
HOG
EOF
DOE
A
B
C
+
+
= + +
=
，
1
2
360
180
180
+=
−
=
，
故选：A．
2．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC 中，
90
ACB
=
，沿CD折叠
CBD
△
，使点B 恰好落在
AC 边上的点E 处2，若
21
A
=
，则
BDC
等于（ ）
A．42
B．63
C．66
D．76
【答案】C
【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出
B
的度数，根据翻折
变换的性质求出
BCD
的度数，根据三角形内角和定理求出
BDC
．
【详解】解：在△ABC 中，
90
ACB
=
，
21
A
=
，
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∴
90
69
B
A
?
? ?
?，
由折叠的性质可得：
1
45
2
BCD
ACB
，
∴
180
66
BDC
BCD
B
?
? ?
?
? ．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知
1
2
100
+ =
，则
A
的度数为（ ）
A．80
B．100
C．50
D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得
ADE
FDE
=
，
AED
FED
=
，进而可得
130
ADE
AED
+
=
，
再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为180是解题的关键．
【详解】解：DEF
是由
ABC
沿DE 折叠得到，
ADE
FDE
=
，
AED
FED
=
，
1 2
180
ADE
+
=
，
2
2
180
AED
+
=
，
1
2
100
+=
，
1 2
2
2
2 180
ADE
AED
+
++
=
，即：
130
ADE
AED
+
=
，
(
)
180
180
130
50
A
ADE
AED
=
−
+
=
−
=
，
故选C．
4．（24-25 八年级上·江苏·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，点E，F 分别为AB
AC
，
上一点，
将△ABC 沿直线EF 翻折至同一平面内，点A 落在点A处，EA，FA分别交BC 边于点M，N．若
80
BEA
=
，
则
CFA
的度数为（ ）
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A．100
B．110
C．115
D．120
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据平角定义可得
100
AEA
=
，然后利用折叠的性质可得：
2
AF
FE
A
A
=
，
1
50
2
AEF
EF
AE
A
A
=
=
=
，
从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
90
40
AFE
AEF
=
−
=
，进而可得
2
80
AFA
AFE
=
=
，最
后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵
80
BEA
=
，
∴
180
100
AEA
BEA
=
−
=
，
由折叠得：
2
AF
FE
A
A
=
，
1
50
2
AEF
EF
AE
A
A
=
=
=
，
∵
90
A
=
，
∴
90
40
AFE
AEF
=
−
=
，
∴
2
80
AFA
AFE
=
=
，
∴
180
100
CFA
AFA
=
−
=
，
故选：A．
5．（2025·山东青岛·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，
58
A
=
，D ，E 分别在BC ，AC 上，将CDE
沿DE 折叠得到△FDE，且EF
CB
∥
，则
DEF
的度数为 ．
【答案】74/74 度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出
C
的
度数，由折叠性质得出
FDE
CDE
=
，
32
F
C
=
=
，再根据平行线性质得到
32
F
FDB
=
=
，然后
通过平角定义可得
74
FDE
CDE
=
=
，最后由平行线的性质得出
74
DEF
CDE
=
=
，掌握知识点的应
用是解题的关键．
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【详解】解：∵∠B=90°，
58
A
=
，
∴
32
C
=
，
由折叠性质可知，
FDE
CDE
=
，
32
F
C
=
=
，
∵EF
CB
∥
，
∴
32
F
FDB
=
=
，
∵
180
FDE
CDE
FDB
+
+
=
，
∴
74
FDE
CDE
=
=
，
∵EF
CB
∥
，
∴
74
DEF
CDE
=
=
，
故答案为：74．
6．（24-25 七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点O
P
、分别在长方形纸片ABCD的BC
AD
、
边上，OP 与
BC 所夹的锐角
1
50
=
，将纸片沿OP 折叠得到图2，点C 落到点C处；点Q 在AD边上，沿OQ 进行第二
次折叠得到图3，点的对称点B恰好落在OC上，则QO 与QP 的夹角
2
的度数为 ．
【答案】40/40 度
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
过点O 作EF
QP
，则
2
FOQ
=
，，由折叠得
2
FOQ
QOC
=
= ，
1
50
C OP
POE
=
= =
，再根
据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，过点O 作EF
QP
，
∴
2
FOQ
=
，由折叠得
2
FOQ
QOC
=
= ，
由折叠可得，
1
50
C OP
POE
=
= =
，
∴
1 (180
50
50 )
40
2
FOQ
=
−
−
=
，
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故答案为：40．
7．（2025·广东东莞·三模）如图，在△ABC 中，
85
ACB
=
，
55
B
=
，D 是AB 上一点，将ACD
沿CD
翻折后得到ECD
，边CE 交AB 于点F ．若
EDF
E
=，则
DFC
= ．
【答案】80/80度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理
可求解
40
A
=
，折叠可知：
40
E
A
= =
，进而得出
100
DFE
=
，再根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：在△ABC 中，
85
ACB
=
，
55
B
=
，
∴
180
40
A
ACB
B
=
−
−=
，
由折叠可知：
40
E
A
= =
，
当
EDF
E
=时，则
180
100
DFE
EDF
E
=
−
−=
∴
180
80
DFC
DFE
=
−
=
故答案为：80．
题型十二：三角形内角和定理的实际应用
1．
（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，DE 与地面AB 平行．若
120 ,
60
DEF
ABD
=
=
，
则
ACB =
∠
（ ）
A．50
B．60
C．65
D．70
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到
CED
的度数，再由平行
线的性质得到
BAC
的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案．
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【详解】解：∵
120
DEF
=
，
60
ABD
=
，
∴
180
60
CED
DEF
=
−
=
∠
∠
，
∵AB
DE
∥
，
∴
60
BAC
CED
=
=
，
∴
180
60
ACB
CAB
ABC
=
−
−
=
，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·广东江门·期中）如图，
AOB
的一边OA为平面镜，在OB 上有一点E ，从点E 射出一
束光线经OA上一点D反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，且
ODE
与
ADC
相等，若
37
AOB
=
，则
DEB
的度数是（ ）
A．74
B．75
C．84
D．106
【答案】A
【分析】根据DC
OB
∥
得
37
ADC
AOB
=
=
，结合
ADC
ODE
=
得
37
ADC
OD
B
E
AO
=
=
=
，由
三角形内角和定理求出
OED
，再由邻补角互补求出
DEB
．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【详解】解：∵DC
OB
∥
，
37
AOB
=
，
∴
37
ADC
AOB
=
=
，
∵
ADC
ODE
=
，
∴
37
ADC
OD
B
E
AO
=
=
=
，
∴
180
106
OED
ODE
AOB
=
−
−
=
，
∵
180
74
DEB
OED
=
−
=
，
故选：A．
3．（24-25 九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，平面镜与水平面的夹角
110
=
，一束光线照射到平面镜
后反射，人射光线与平面镜的夹角
40
=
，则反射光线与水平面的夹角的度数为（ ）
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A．70
B．50
C．30
D．10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据题意求得
1
40
=
=
，再根据三角形内角和定理，即可得出
结果．
【详解】解：由题意得
1
40
=
=
，
∴
180
1 180
110
40
30
=
−
−=
−
−
=
，
故选：C．
4．（2025·重庆·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举
足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG
CD
∥
，
74
BCD =
∠
．
44
B
=
，则
BAG
的度数为（ ）
A．26
B．30
C．34
D．40
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出
106
BFA
GFC
?
?
? ，再根据三角形内角和定理求出结论即可．
【详解】解：如下图：
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AG
CD
∥
，
74
BCD =
∠
，
180
180
74
106
GFC
BCD
\ ?
? ?
?
?
? ，
106
BFA
GFC
\ ?
?
?，
44
B
=
，
180
180
44
106
30
BAG
B
BFA
\ ?
? ?
?
?
?
?
? ，
故选：B．
5．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智
能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便
地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若AB
FG
∥
，ED
BC
∥
，
1
43
=
，
2
67
=
，则
3
的度数为（ ）
A．43
B．67
C．70
D．80
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先利用平
行线的性质得到
2
67
ABC
= =
，再根据三角形的内角和定理求得
180
1
70
ACB
ABC
=
−−
=
，然后
再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB
FG
∥
，
2
67
=
，
∴
2
67
ABC
= =
，
∵1
43
=
，
∴
180
1
180
43
67
70
ACB
ABC
=
−−
=
−
−
=
，
∵ED
BC
∥
，
∴
3
70
ACB
=
=
，
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故选：C．
6．（2025 七年级下·河南·专题练习）跨学科试题·物理 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其
折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P，点F 为焦点．若1 160
=
，2
30
=
，则
3
的大小为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．65
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
利用平行线的性质及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：
AB
OF
，1 160
=
，
180
1
20
BFO
=
−=
，
2
30
=
，
2
30
POF
=
=
，
180
130
OPP
BFO
POF
=
−
−
=
，
3 180
50
OPF
=
−
=
，
故选：B．
7．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A 处观察到船只B 在灯塔的北偏西38方向上，船只C 在灯塔
的北偏东22方向上，船只B 上的人观察到船只C 在他的南偏东78方向上，则
ACB
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：1
38
=
，
2
22
=
，3
4
78
+=
，由平行线的性质得出
4
1
38
= =
，进而可求出
3
，最后根据三角形内角和定
理即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：1
38
=
，
2
22
=
，
3
4
78
+=
，
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∵BF
AD
，
∴
4
1
38
= =
，
∴
3
78
4
40
=
−=
，
∴
180
1
2
3
80
ACB
=
−−−=
，
故选：B
题型十三：直角三角形两锐角互余
1．（2025·湖北荆州·三模）在Rt
ABC
△
中，
50 ,
B
CD
=
平分
ACB
，则1
等于（ ）
A．10
B．20
C．25
D．30
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角
互余求出
ACB
的度数，再利用角平分线的性质求出1
的度数．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
50
B
=
，
90
40
ACB
B
=
−=
,
CD平分
ACB
，
1
1
20
2
ACB
=
=
．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线a
b
，AB
AC
⊥
，若
2
35
=
，则1
=
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【答案】55
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键．
根据垂直的定义和余角的定义计算得到
ABC
，再根据两直线平行，内错角相等可得1
55
ABC
．
【详解】解：∵AB
AC
⊥
，
∴
90
BAC
=
，
∵
2
35
=
，
∴
90
2
55
ABC
=
−=
，
∵a
b
，
∴1
55
ABC
．
故答案为：55
3．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC 中，
80
ABC
=
，
40
ACB
=
，AE 平分
BAC
，AD
是BC 边上高，则
DAE
的度数是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念
是解题的关键．根据
80
ABC
=
，
40
ACB
=
，结合三角形内角和定理得
60
BAC
=
结合角的平分线解答即
可．根据高线的定义，得到
90
ADB
=
，
50
CAD
=
，结合
DAE
CAD
CAE
=
−
解答即可．
【详解】解：∵
80
ABC
=
，
40
ACB
=
，
∴
180
60
BAC
ABC
ACB
=
−
−
=
∵AE 平分
BAC
，
∴
1
30
2
BAE
CAE
BAC
=
=
=
．
∵AD是BC 边上的高，
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∴
90
ADB
=
，
∴
90
50
CAD
ACB
=
−
=
，
∴
20
DAE
CAD
CAE
=
−
=
．
故答案为：20．
4．
（24-25 八年级上·河北保定·期末）如图，BD是
ABC
的角平分线，AD
BD
⊥
，垂足为D ，若
20
DAC
=
，
38
C
=
，则
BAD
的大小为 ．
【答案】58
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．由AD
BD
⊥
得到
90
BAD
ABD
+
=
，根据角平分线的定义得到
ABD
DBC
=
，设
ABD
DBC
x
=
=
，表示出
BAD
和
BAC
，再利用三角形内角和定理列出方程，解出x 的值，即可求出
BAD
的大小．
【详解】解：
AD
BD
⊥
，
90
ADB
=
，
90
BAD
ABD
+
=
，
BD
是
ABC
的角平分线，
ABD
DBC
=
，
设
ABD
DBC
x
=
=
，则
2
ABC
x
=
，
90
BAD
x
=
−，
90
20
110
BAC
BAD
DAC
x
x
=
+
=
−+
=
−
，
180
ABC
BAC
C
+
+
=
，
2
110
38
180
x
x
+
−+
=
，
解得：
32
x =
，
90
58
BAD
x
=
−
=
．
故答案为：58．
5．
（24-25 八年级上·山东日照·期末）如图，△ABC 中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于D ，
36
BCD
=
，
70
CEA
=
，
则
EAB
= °．
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【答案】16
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据
90
36
ACB
BCD
=
=
,
得出
54
ACD
=
，再
由CD
AB
⊥
可得出
36
=
CAD
，由
70
CEA
=
可得出
CAE
的的度数，进而得出
EAB
的度数．
【详解】解：∵
90
36
ACB
BCD
=
=
,
，
∴
90
36
54
ACD
=
−
=
，
∵CD
AB
⊥
于点D，
∴
90
ADC
=
，
∴
90
54
36
CAD
=
−
=
，
∵
70
CEA
=
，
∴
90
70
20
CAE
=
−
=
，
∴
36
20
16
EAB
CAD
CAE
=
−
=
−
=
．
故答案为：16．
6．（23-24 七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5 倍，则这个锐角的
度数为 度．
【答案】15/15 度
【分析】设较小的锐角是x 度，则另一角是5x 度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可．
【详解】解：设较小的锐角是x 度，则另一角是5x 度．
则
5
90
x
x
+
=
，解得：
15
x =
．
故答案为：15．
题型一：因式分解与三角形三边关系的应用
1．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若
2
2
4
2
5
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求a ，b 的值．
解：∵
2
2
4
2
5
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
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∴(
) (
)
2
2
4
4
2
1
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
1
0
a
b
−
+
−
=
．
则a =______，b = ______．
（2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC 的三边长x ，y ，z 都是正整数，且满足
2
2
6
2
10
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，求△ABC 的周长．
【答案】（1）2 ，1；（2 ）△ABC 的周长为7 ．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三
边关系是解题的关键．
（1）根据非负数的性质即可得出a 和b 的值；
（2 ）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值，通过三角形三边关系得出z 的取
值范围，根据z 为整数即可得出z 的值，从而求得三角形的周长．
【详解】解：（1）∵
2
2
4
2
5
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
4
4
2
1
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
1
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
2
0
a −
=
，
1
0
b−=
，
∴
2
a =
，
1
b = ，
故答案为：2 ，1；
（2 ）∵
2
2
6
2
10
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
6
9
2
1
0
x
x
y
y
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
1
0
x
y
−
+
−
=
，
∴
3
0
x −= ，
1
0
y −=
，
∴
3
x = ，
1
y = ，
∴3 1
3 1
z
−
+ ，即2
4
z
，
∵z 是正整数，
∴
3
z =
，
∴△ABC 的周长为3 1 3
7
+ + =
．
2．（24-25 八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m 、n 的值．
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解：∵
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
∴(
)
(
)
2
2
4
0
m
n
n
−
+
−
=
，
∴(
)
2
0
m
n
−
=
，(
)
2
4
0
n −
=
，
∴
4
n =
，
4
m =
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
+
+ =
，求xy的值；
(2)已知a 、b 、c 分别为
ABC
的三边长，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，若c 是△ABC 的最大边长，且c
为奇数，求△ABC 的周长．
【答案】(1)9(2)14 或16
【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料
中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
（1）根据材料，将
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
+
+ =
因式分解得：
2
2
(
)
(
3)
0
x
y
y
−
+
+
=
，可求出,x y的值，继而可
求出结果；
（2）将
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
因式分解得：(
) (
)
2
2
8
16
10
25
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，可求出,a b 的值，然后根据
三角形的三边关系和c 是△ABC 的最大边长，且c 为奇数，求得c 的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
+
+
=
，
(
) (
)
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
y
−
+
+
+
+
=
，
2
2
(
)
(
3)
0
x
y
y
−
+
+
= ，
0,
3
0
x
y
y
−
=
+
=
，
3,
3
x
y
= −
= −，
( 3)
( 3)
9
xy
= −
−
= ，
即xy的值是 9 ．
（2）解：
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
(
) (
)
2
2
8
16
10
25
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
2
2
(
4)
(
5)
0
a
b
−
+
−
=
，
4
0,
5
0
a
b
−
=
−
=
，
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4,
5
a
b
=
=
，
5
4
5
4,
5
c
c
−
+
，
5
9
c
，
又 ∵c 为奇数，
5
c
= 或
7
c = ，
∴三角形ABC 的周长为4 5 5
14
+ + =
或4 5 7
16
+ +
=
．
3．（24-25 九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m 与n 的值．
解：∵
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
0
m
n
n
−
+
−
=
，
∴(
)
2
0
m
n
−
=
，(
)
2
2
0
n −
=
，
∴
2
m =
，
2
n =
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
−
+
=
，求x 与y 的值．
(2)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足
2
2
2
8
17
0
a
a
b
b
−
+
−
+
=
，求△ABC 的周长．
【答案】(1)
3
x = ，
3
y = ；(2)△ABC 的周长为9．
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；；
（2 ）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为
整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
2
9
0
2
6
x
x
y
y
y
y +
−
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
0
x
y
y
+
−
−
=
，
∴
0
x
y
−
=
，
3
0
y −
=
，
∴
3
x = ，
3
y = ；
（2）解：∵
2
2
2
8
17
0
a
a
b
b
−
+
−
+
=
，
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∴(
) (
)
2
2
2
1
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
1
4
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
1
a = ，
4
b =
，
∵b
a
c
b
a
−
+
，
∴3
5
c
，
∵c 是正整数，
∴
4
c =
，
∴△ABC 的周长为1 4
4
9
+ +
= ．
4．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，求m 和n 的值
解：∵
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，
∴
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
0
m
n
n
+
+
−
=
，
∴
0
m
n
+
=
，
3
0
n−= ，
∴
3
m = −，
3
n = ．
问题：
(1)若
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
+
+
=
，求xy的值．
(2)已知a，b，c 是△ABC 的三边长，满足
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范
围．
【答案】(1)4 (2)5
9
c
【分析】（1）仿照题意得到(
)
(
)
2
2
2
0
x
y
y
−
+
−
=
，由此求出x、y 的值即可得到答案；
（2）仿照题意得到(
)
(
)
2
2
5
4
0
a
b
−
+
−
=
，由此求出a、b 的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
−
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
4
0
x
xy
y
y
y
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
0
x
y
y
−
+
−
=
，
∴
0
2
0
x
y
y
−
=
−
=
，
，
∴
2
x
y
=
=
，
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∴
2 2
4
xy =
=
；
（2）解：∵
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，
∴
2
2
10
8
41
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴
2
2
10
25
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
+
=
−
，
∴(
)
(
)
2
2
5
4
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
5
0
4
0
a
b
−=
−
=
，
，
∴
5
4
a
b
=
=
，
，
∵a，b，c 是△ABC 的三边长，且c 是△ABC 中最长的边，
∴a
c
a
b
+
，即5
5
4
c
+
，
∴5
9
c
．
当
5
c
a
=
=
时，c 也为最长边，
综上，5
9
c
．
5．（24-25 八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：
2
2
2
4
a
ab
b
−
−
+
(
)
2
2
2
4
a
ab
b
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
2
2
2
a
b
=
−
−
（直接运用公式）
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
=
−
+
−
−
乙：
2
a
ab
a
b
−
−
+
(
) (
)
2
a
ab
a
b
=
−
−
−
（分成两组）
(
) (
)
a a
b
a
b
=
−
−
−
（提公因式）
(
)(
)
1
a
b
a
=
−
−
．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式
2
2
9
6
16
x
xy
y
−
+
−
；
(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．
①若满足若
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
②若满足
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，求c 的范围．
【答案】(1)(
)(
)
3
4
3
4
x
y
x
y
−
+
−
−
(2)①△ABC 为等腰三角形，理由见详解；②2
10
c
【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握
分组分解法分解因式是解题关键．
（1）将原式分组整理为(
)
2
2
9
6
16
x
xy
y
−
+
−
，再运用完全平方公式可得(
)
2
2
3
4
x
y
−
−
，然后进一步分解因式
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即可；
（2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为(
)(
)
0
a
b
a
b
c
−
−
+
=
，结合三角形三边关系可知
0
a b
c
−+
，进而可得
0
a
b
−
=
，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整
理为(
)
(
)
2
2
6
4
0
a
b
−
+
−
=
，根据非负数的性质解得a
b
、的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案．
【详解】（1）解：
2
2
9
6
16
x
xy
y
−
+
−
(
)
2
2
9
6
16
x
xy
y
=
−
+
−
(
)
2
2
3
4
x
y
=
−
−
(
)(
)
3
4
3
4
x
y
x
y
=
−
+
−
−
；
（2）解：①△ABC 为等腰三角形，理由如下：
∵
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
0
a
b c
a
b
−
+
−
=
，
∴(
)(
)
0
a
b
a
b
c
−
−
+
=
，
又∵a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长，
∴a
c
b
+
，
∴
0
a b
c
−+
，
∴
0
a
b
−
=
，
∴a
b
=
，
即△ABC 为等腰三角形；
②∵
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，
∴
2
2
12
36
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
6
4
0
a
b
−
+
−
=
，
∵(
)
2
6
0
a −
，(
)
2
4
0
b −
，
∴
6
0
a −
=
，
4
0
b−
=
，
解得
6
a =
，
4
b =
，
∵a ，b ，c 分别为
ABC
三边的长，
∴a
b
c
a
b
−
+ ，即6
4
6
4
c
−
+
，
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∴2
10
c
，
即c 的范围为2
10
c
．
6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项
式”．例如多项式
2
2
3
x
x
+
+ 可做如下变形：
2
2
2
2
3
2
1
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ +
=
+
+
，
(
)
2
1
0
x +
，
(
)
2
1
2
2
x +
+
，
即
2
2
3
x
x
+
+ 的值恒为非负数，且当
1
x= −时，多项式
2
2
3
x
x
+
+ 有最小值，最小值是2．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是________；
（1）
2
1
m + ；（2）
2
16
m −
；（3）
2
4
3
m
m
+
+
．
(2)试证明多项式
2
2
2
8
6
23
m
m
n
n
−
+
−
+
是“和美多项式”，并求出它的最小值；
(3)已知a
b
c
，，是△ABC 的三边长（三边不相等），
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是△ABC 中最长边的长，则
c 的取值范围为____________．
【答案】(1)（1）
(2)证明见解析，最小值为6；
(3)5
9
c
【分析】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，三角形的三边关系，理解“和美多项式”， 能利用配方
法将多项式变形进行求解是解题的关键．
（1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解；
（2）将多项式化为(
)
(
)
2
2
2
2
3
8
m
n
−
+
−
+
，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解；
（3）将原式化为(
)
(
)
2
2
4
5
0
a
b −
+
=
−
，求得
5
a =
，
4
b =
，再三角形三边的关系，即可求解；
【详解】（1）解：
2
0
m
，
2
1 1
m + ，
（1）是和美多项式；
2
0
m
，
2
16
16
m
−
−
，
（2）不是和美多项式；
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2
4
3
m
m
+
+
(
)
2
2
1
1
m
=
+
−−，
（3）不是和美多项式；
故答案为：（1）；
（2）解：
2
2
2
8
6
23
m
m
n
n
−
+
−
+
(
) (
)
2
2
2
4
4
6
9
23 8
9
m
m
n
n
=
−
+
+
−
+
+
−−
(
)
(
)
2
2
2
2
3
6
m
n
=
−
+
−
+ ，
(
)
2
2
0
m−
，(
)
2
3
0
n −
，
原式
(
)
(
)
2
3
2
2
3
6
6
m
n
=
−
+
−
+
，
即原式为“和美多项式”，
当
2
m =
，
3
n = 时有最小值为6；
（3）解：∵
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，
∴
2
2
10
25
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
+
=
−
，
∴(
)
(
)
2
2
4
5
0
a
b −
+
=
−
，
∵(
)
2
5
0
a −
，(
)
2
4
0
b −
，
∴
5
a =
，
4
b =
，
∵c 是
ABC
中最长边的长，
∴5
4 5
c
+ ，即5
9
c
．
故答案为：5
9
c
．
题型二：三边关系中相关证明
1．（24-25 七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形ABCD内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离
的和OA OB
OC
OD
+
+
+
最小，并说出你的理由．
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【答案】见解析
【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接AC
BD
，
，它们相交于点O，则点O到
A
B
C
D
，，，
四个顶点的距离之和最小，在四边形ABCD内任找一点（如点E ，且与点O不重合），比较它
与点O到四个顶点的距离之和即可得到结论．
【详解】解：连接AC
BD
，
，它们相交于点O，则点O到A
B
C
D
，，，
四个顶点的距离之和最小．
理由如下：
∵
,
OA
OC
AC OB
OD
BD
+
=
+
=
，且
,
AC
EA
EC
+
BD
EB
ED
+
，
∴
,
OA
OC
EA
EC OB
OD
EB
ED
+
+
+
+
，
∴OA OC
OB
OD
EA
EC
EB
ED
+
+
+
+
+
+
，即四边形对角线的交点O到四边形四个顶点的距离之和最小，
即我们所找的点．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E 是△ABC 内的两点，问AB
AC
BD
DE
EC
+
+
+
成立
吗？请说明理由．
【答案】AB
AC
BD
DE
EC
+
+
+
成立，见解析
【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：
“两边之和大于第三边”进行证明．
【详解】解：AB
AC
BD
DE
EC
+
+
+
，理由如下：
延长DE 交AB 于点F、延长DE 交AC 于G，
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在AFG
中：AF
AG
FG
+
①，
在
BFD
△
中：FB
FD
BD
+
②，
在EGC
中：EG
GC
EC
+
③，
∵FD
ED
EG
FG
+
+
=
，
∴①+ ②+ ③得：
AF
FB
FD
EG
GC
AG
FG
BD
EC
+
+
+
+
+
+
+
，
即：AB
FD
EG
AC
FG
BD
EC
+
+
+
+
+
，
AB
AC
FG
FD
EG
BD
EC
+
−
−
+
+
，
∴AB
AC
BD
ED
EC
+
+
+
．
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC 中，D 是BA上一点，则
2
AB
CD
AC
BC
+
+
成立
吗？说明理由．
【答案】
2
AB
CD
AC
BC
+
+
成立，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根
据三角形三边关系定理可得AD CD
AC
+
，BD
CD
BC
+
，再将两式相加得(
)
2
AD
BD
CD
AC
BC
+
+
+
，
即
2
AB
CD
AC
BC
+
+
．
【详解】
解：
2
AB
CD
AC
BC
+
+
成立，理由如下：
在
ADC
△
中，AD CD
AC
+
，
在
BCD
△
中，BD
CD
BC
+
，
两式相加得：(
)
2
AD
BD
CD
AC
BC
+
+
+
，
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即
2
AB
CD
AC
BC
+
+
．
4．（23-24 七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形ABCD中，O是AC 与BD的交点，试说明：AC
与BD的和小于四边形ABCD的周长．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出AD
AB
BD
+
，
CD
BC
BD
+
，AD CD
AC
+
，AB
BC
AC
+
，计算得出AD
AB
CD
BC
AC
BD
+
+
+
+
，即可得证，熟
练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】证明：在
ABD
△
中，AD
AB
BD
+
，
在
BCD
△
中，CD
BC
BD
+
，
在ACD
中，AD CD
AC
+
，
在△ABC 中，AB
BC
AC
+
，
AD
AB
CD
BC
AD CD
AB
BC
BD
BD
AC
AC
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，
(
)
(
)
2
2
AD
AB
CD
BC
AC
BD
+
+
+
+
，
AD
AB
CD
BC
AC
BD
+
+
+
+
，
AC 与BD的和小于四边形ABCD的周长．
5．（2024 八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC 中，BC 大于其它两边，D
E
、分别在AB
AC
、
上，
连接DE ．求证：DE
BC
．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接BE ，根据大边对大角可得到
A
ACB
，
A
ABC
，进
而可推出
BDE
A
ZABC
DBE
，从而可得到BE
DE
，同理可得BC
BE
，从而求证，掌握三角形
的三边关系是解题的关键．
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【详解】证明：连接BE ，
∵BC
AB
，BC
AC
，
∴
A
ACB
，
A
ABC
，
∴
BDE
A
ABC
DBE
，
∴BE
DE
，
∵
BEC
A
C
，
∴BC
BE
，
∴DE
BC
．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）如图，P 为△ABC 中任意一点．证明：AB
BC
CA
PA
PB
PC
+
+
+
+
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关
键．
如图：延长BP交AC 于D，在
ABD
△
中，AB
AD
BP
PD
+
+
，在
DPC
△
中，DP
DC
PC
+
，求出
AB
AC
BP
PC
+
+
，同理AC
BC
AP
BP
AB
BC
AP
PC
+
+
+
+
，
，最后相加化简即可证明结论．
【详解】证明：如图：延长BP交AC 于D，
∵在
ABD
△
中，AB
AD
BP
PD
+
+
，在
DPC
△
中，DP
DC
PC
+
，
∴AB
AD
DP
DC
BP
PD
PC
+
+
+
+
+
，
∴AB
AC
BP
PC
+
+
，
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同理：AC
BC
AP
BP
AB
BC
AP
PC
+
+
+
+
，
，
∴AB
AC
BC
AP
BP
PC
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
，即AB
BC
CA
PA
PB
PC
+
+
+
+
题型三：三角形内角和综合应用（解答题）
1．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）在△ABC 中，过点C 作CD
AB
⊥
交其延长线于点D ，作
DAC
的平
分线交CD于点E ，过点E 作EF
AB
∥
交BC 于点F 、交AC 于点G ．
(1)求证：2
90
AEG
ACD
+
=
．
(2)连接AF ，若AF 平分
BAE
，
34
DCA
=
，求
AFE
的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
76
AFE
=
．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（1）由EA平分
DAC
，则有
2
2
DAC
DAE
EAC
=
=
，通过垂直定义和三角形内角和定理可得
90
DAC
ACD
+
=
，所以2
90
DAE
ACD
+
=
，再由平行线的性质可得
DAE
AEG
=
，然后代入即可
求证；
（2 ）由（1）得：2
90
AEG
ACD
+
=
，求出
28
DAE
AEG
=
=
，从而得到
180
180
28
152
BAE
DAE
=
−
=
−
=
，通过角平分线定义可得
1
1 152
76
2
2
BAF
EAF
BAE
=
=
=
=
，
最后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵EA平分
DAC
，
∴
1
2
DAE
EAC
DAC
=
=
，即
2
2
DAC
DAE
EAC
=
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
∴
90
DAC
ACD
+
=
，
∴2
90
DAE
ACD
+
=
，
∵EF
AB
∥
，
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∴
DAE
AEG
=
，
∴2
90
AEG
ACD
+
=
；
（2）解：由（1）得：2
90
AEG
ACD
+
=
，
∵
34
DCA
=
，
∴
28
DAE
AEG
=
=
，
∴
180
180
28
152
BAE
DAE
=
−
=
−
=
，
∵AF 平分
BAE
，
∴
1
1 152
76
2
2
BAF
EAF
BAE
=
=
=
=
，
∴
180
180
76
28
76
AFE
EAF
AEG
=
−
−
=
−
−
=
．
2．
（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图在△ABC 中，
24
ABC
=
，
118
ACB
=
，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
于点E，求
DAE
的度数．
【答案】47
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由三角形内角和定理求出
BAC
，然后由角平分线求出
1
19
2
DAC
BAC
=
=
，然后根据三角形内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵
ABC
中，
24
ABC
=
，
118
ACB
=
，
∴
180
38
BAC
ABC
ACB
=
−
−
=
，
又∵AD平分
BAC
，
∴
1
19
2
DAC
BAC
=
=
．
∴
180
43
ADC
DAC
ACB
=
−
−
=
，
又∵AE
BC
⊥
∴
90
E
=
·
∴
90
90
43
47
DAE
ADC
=
−
=
−
=
．
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD
BC
⊥
于点D ，点E 是AB 上一点，
⊥
EF
BC 于点F ；点G 是AC 上一点，连接DG ，且1
2
= ．
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(1)求证：AB
DG
∥
；
(2)若
70
BAC
=
，DG 是
ADC
△
的角平分线，求
C
的度数．
【答案】(1)见解析(2)65
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，
数形结合分析是关键．
（1）根据题意得到AD
EF
，等量代换得到
2
BAD
=，根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到
1
45
2
CDG
ADC
=
=
，由（1）AB
DG
∥
知
70
DGC
BAC
=
=
，再根
据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：
AD
BC
⊥
于点D
EF
BC
⊥
，
于点F ，
90
ADB
EFB
=
=
，
AD
EF
∥
，
1
BAD
=，
1
2
=
，
2
BAD
= ，
AB
DG
∥
；
（2）解：
DG
是
ADC
△
的角平分线，
1
45
2
CDG
ADC
=
=
，
70
BAC
=
，
由（1）AB
DG
∥
知
70
DGC
BAC
=
=
，
180
180
70
45
65
C
DGC
CDG
=
−
−
=
−
−
=
．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC 中，
70
A
=
，
30
ADE
=
，BD是
ABC
的平分线，
且
ABD
EDB
=
．
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(1)求证：ED
BC
∥
；
(2)求
EDB
的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
40
EDB
=
．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（1）由角平分线定义可得
1
2
ABD
CBD
ABC
=
=
，又
ABD
EDB
=
，则有
CBD
EDB
=
然后通过平
行线的判定即可求证；
（2 ）先根据三角形内角和定理得
50
AED
=
，由平行线的性质得出
50
=
=
ABC
AED
，
则有
1
25
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，所以
25
EDB
ABD
=
=
．
【详解】（1）证明：∵BD是
ABC
的平分线，
∴
1
2
ABD
CBD
ABC
=
=
，
∵
ABD
EDB
=
，
∴
CBD
EDB
=
∴ED
BC
∥
；
（2）解：∵
70
A
=
，
30
ADE
=
，
∴
180
180
70
30
80
AED
A
ADE
=
−−
=
−
−
=
，
∵ED
BC
∥
，
∴
80
ABC
AED
=
=
，
∴
1
40
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
∴
40
EDB
ABD
=
=
．
5．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC 中，AE 平分
BAC
，交BC 于点E ，AD为BC
边上的高．
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(1)若
40
B
=
，
60
C
=
，求
BAE
的度数；
(2)在（1）的条件下，求
EAD
的度数；
(3)若
C
B
，直接写出
EAD
、
B
、
C
的关系．
【答案】(1)
40
BAE
=
(2)
10
EAD
=
；
(3)
(
)
1
2
EAD
C
B
=
−
，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．
（1）由
B
C
，
的度数利用三角形内角和定理即可求出
BAC
的度数，再根据角平分线的定义即可求出
BAE
的度数；
（2）由
B
ADB
，
的度数利用三角形内角和定理即可求出
BAD
的度数，再根据
DAE
EAC
DAC
=
−
代入数据即可得到结论；
（3）猜想
(
)
1
2
EAD
C
B
=
−
，重复（1）（2）的过程找出
BAD
和
BAE
的度数，二者做差即可得到结
论．
【详解】（1）解：在
ABC
中，
40
B
=
，
60
C
=
，
180
80
BAC
B
C
=
−−
=
；
又
AE
是
BAC
的平分线，
1
40
2
BAE
BAC
=
=
；
（2）解：
AD
是边BC 上的高，
90
ADC
=
，
在
ADC
△
中，
60
C
=
，
90
C
DAC
+
=
，
30
DAC
=
，
由（1）知，
40
BAE
CAE
=
=
，
40
30
10
DAE
EAC
DAC
=
−
=
−
=
，即
10
EAD
=
；
（3）解：
(
)
1
2
EAD
C
B
=
−
，理由如下：
180
BAC
C
B
=
−−
且AE 是
BAC
的平分线，
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66 /
(
)
1
1
90
2
2
BAE
BAC
C
B
=
=
−
−
，
90
BAD
B
=
−
，
(
)
1
2
EAD
BAD
BAE
C
B
=
−
=
−
．
6．
（24-25 七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
于D ，AE 平分
BAC
．
(1)若
50
B
=
，求
DAE
的度数．
(2)若
6,
8
10
AB
AC
BC
=
=
=
,
，求AD的长．
【答案】(1)5(2)4.8
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.
（1）根据三角形的内角和定理，求出
BAD
的度数，角平分线求出
BAE
的度数，再根据角的和差关系
进行求解即可；
（2）等积法求出AD的长即可．
【详解】（1）解：∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∵
50
B
=
，
∴
180
90
50
40
BAD
=
−
−
=
，
∵
90
BAC
=
，AE 平分
BAC
．
∴
45
BAE
=
，
∴
45
40
5
BAE
BA
DAE
D
−
=
−
=
=
；
（2）∵
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，
∵
6,
8
10
AB
AC
BC
=
=
=
,
，
∴6 8
10AD
=
，
∴
4.8
AD =
．
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67 /
题型四：三角形内角和中用参数表示角度
1．（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC 中，AD是高，AE 是角平分线，若
B
=
，C
=
，则
DAE
=
（ ）
A．
2
−
B．2
a
−
C．90
2
−
+
D．90
2
+
−
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出
BAC
的度数，然后根据
角平分线的定义，求出
BAE
的度数，再次利用三角形内角和定理，求出
BAD
的度数，最后根据
DAE
BAE
BAD
=
−
求出答案即可．
【详解】解：∵
B
=
，
C
=
，，
∴
180
180
BAC
B
C
=
−
−
=
−
−
，
∵AE 是角平分线，
∴
1
90
2
2
BAE
BAC
+
=
=
−
∠
∠
，
∵AD是高，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
B
BAD
+
=
，
∴
90
90
BAD
B
=
−=
−，
∴
(
)
90
90
2
2
DAE
BAE
BAD
+
−
=
−
=
−
−
−
=
，
故选：A．
2．
（23-24 七年级下·广西河池·期末）如图，直线AB
MN
∥
，线段AN 和线段BM 垂直于点Q，若
65
ABM
=
，
则
ANM
的度数是（ ）
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68 /
A．25
B．27
C．28
D．30
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段AN 和线段BM 垂直于点Q 得出
90
AQB
=
，再由
65
ABM
=
可得出
BAQ
的度数，由AB
MN
∥
即可得出结论．
【详解】解：∵线段AN 和线段BM 垂直于点Q，
∴
90
AQB
=
，
∵
65
ABM
=
，
∴
90
65
25
BAQ
=
−
=
，
∵AB
MN
∥
，
∴
25
ANM
BAQ
=
=
．
故选：A．
3．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，AB
CD
∥
，
∥
FC
AD ，AD平分
BAE
，FG 平分
EFC
交AD
于点G ，已知
100
E
=
，
D
=
，则
EFG
的度数为（ ）
A．100
2
−
B．3
2
C．80
2
+
D．100
2
−
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接AF ，根据平行线的性质及角平分线的定义得出
EAG
=
，
EFG
AGF
=
，再根据三角形的内角和
得出
80
EAF
EFA
+
=
，再次利用三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：连接AF ，
AB
CD
∥
，
D
=
，
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BAD
D
=
=
，
AD平分
BAE
，
BAD
EAG
=
=
，
∥
FC
AD ，
CFG
AGF
=
，
FG 平分
EFC
，
EFG
CFG
=
，
EFG
AGF
=
，
100
AEF
?
?
，
180
80
EAF
EFA
AEF
+
=
−
=
，
(
)
180
180
80
100
EAG
EFG
AGF
EAF
EFA
+
+
=
−
+
=
−
=
，
即2
100
EFG
+
=
，
100
2
EFG
−
=
，
故选D．
4．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC 中，点O为
ABC
和
ACB
的角平分线的交点，连接
,
,
OA OB OC ，作△AOB 的一条角平分线AD．若
BAC
=
，则1
2
+的度数为（ ）
A．
3
90
4
+
B．
1
120
2
+
C．160
D．
1
180
4
−
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得
2
90
2
=
+
，
1
4
=
，从而可求出1
2
+．
【详解】解：∵
180 ,
BAC
ABC
ACB
BAC
+
+
=
=
，
∴
180
ABC
ACB
+
=
−
，
∵BO是
ABC
的平分线，CO是
ACB
的平分线，
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70 /
∴
1
1
,
2
2
CBO
ABC
BCO
ACB
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
2
CBO
BCO
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
−
=
−
，
∵
2
180
OCB
OBC
+
+=
，
∴
(
)
2
180
180
90
90
2
2
OCB
OBC
=
−
+
=
−
−
=
+
，
∵AO 是
BAC
和平分线，
∴
1
1
2
2
BAO
BAC
a
=
=
，
∵AD是
BAO
的平分线，
∴
1
1
1
1
1
2
2
2
4
BAO
=
=
=
，
∴
1
1
3
1
2
90
90
4
2
4
+=
+
+
=
+
,
故选：A．
5．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，已知AB
CD
∥
，P 为直线AB ，CD外一点，BF 平分
ABP
，DE
平分
CDP
，BF 的反向延长线交DE 于点E，若
FED
=
，用表示
P
的度数为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．180
−
D．360
2
−
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得出1
2
= ，
3=
4
，平行线的性质得出1
5
= ，
6
2 3
PDC
=
= ，
进而根据三角形内角和得出
5
、
FED
，再得到
P
和的关系，然后即可用表示
P
．
【详解】解：延长AB 交PD于点G，延长FE交CD于点H，如图所示：
∵BF 平分
ABP
，DE 平分
CDP
，
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71 /
∴1
2
= ，
3=
4
，
∵AB
CD
∥
，
∴1
5
= ，
6
2 3
PDC
=
= ，
∵
180
2 1
PBG
=
−，
∴
180
2 5
PBG
=
−，
∴
1
5
90
2
PBG
=
−
，
∵
180
FED
HED
=
−
，
5
180
EHD
=
−
，
3
180
EHD
HED
+
+=
，
∴180
5 180
3 180
FED
−+
−
+=
，
∴
180
5
3
FED
=
−+，
∴
1
1
180
90
6
2
2
FED
PBG
=
−
−
+
(
)
1
90
6
2
PBG
=
+
+
(
)
1
90
180
2
P
=
+
−
1
180
2
P
=
−
，
∵
FED
=
，
∴
1
180
2
P
=
−
∴
360
2
P
=
−
．
故选：D．
6．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC 中，
52 ,
A
ABC
=
与
ACB
的角平分线交于
1
1
,
D
ABD
与
1
ACD
的角平分线交于点
2
2
,
D
ABD 与
2
ACD
的角平分线交于点
3
D ，依此类推，
1
−
n
ABD
与
1
−
n
ACD
的角平分线交于点
n
D ，则
n
BD C 的度数是（ ）．（用含n 的式子表示）
A．
52
90
2n
+
B．
1
52
90
2n−
+
C．
128
52
2n
+
D．
1
128
52
2n−
+
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72 /
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出
ABC
ACB
+
与
A
的关系，并能找出
n
BD C 与
A
的关系规律成为解题的关键．
根据角平分线的性质可得到
1
1
1
1
1
1
2
2
ABD
CBD
ABC
ACD
BCD
ACB
=
=
=
=
，
再根据三角形的内角和
定理可得：
1
BDC 的度数，再根据
1
ABD
与
1
ACD
的角平分线交于点
2
D ，可得
2
2
3
3
4
4
D BC
ABC
D CB
ACB
=
=
，
，进而求出
(
)
2
2
2
3
2
1
180
180
128
4
2
BD C
ABC
ACB
−
=
−
+
=
−
，
(
)
3
3
3
7
2
1
180
180
128
8
2
BD C
ABC
ACB
−
=
−
+
=
−
，以此类推可得到：
2
1
180
128
2
n
n
n
BD C
−
=
−
，然
后整理即可解答．
【详解】解：∵
52
A
=
，
∴
180
52
128
ABC
ACB =
−
+
=
，
又∵
ABC
与
ACB
的角平分线交于
1
D ，
∴
1
1
1
1
1
1
2
2
ABD
CBD
ABC
ACD
BCD
ACB
=
=
=
=
，
，
∴
1
1
1
1 128
64
2
2
CBD
BCD
ABC
ACB
+
=
+
=
=
（
）
，
∴
(
)
1
1
1
1
2
1
180
180
128
2
2
BDC
ABC
ACB
−
=
−
+
=
−
，
∵
1
ABD
与
1
ACD
的角平分线交于点
2
D ，
∴
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
4
2
4
D BD
ABD
CBA
D CD
ACD
BCA
=
=
=
=
，
∴
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
4
4
D BC
CBD
D BD
ABC
D CB
BCD
D CD
ACB
=
+
=
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
3
2
1
180
180
128
4
2
BD C
ABC
ACB
−
=
−
+
=
−
，
同理：
(
)
3
3
3
7
2
1
180
180
128
8
2
BD C
ABC
ACB
−
=
−
+
=
−
，
依此类推，
2
1
2
1
1
180
128
180
128
180
1
128
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
BD C
−
=
−
=
−
−
=
−
−
128
128
180
128
52
2
2
n
n
=
−
+
=
+
．
故选C．
7．（24-25 八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D，
交AC 边上的高BE于点F，若
C
=
，则
BFD
=（ ）
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A．
B．
22.5
+
C．
22.5
2
+
D．
45
2
+
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到
90
BAC
=
−
，
再根据较平县的定义求出
45
2
CAD
=
−
，再根据直角三角形两锐角互余求出
45
2
AFE
=
+
，由对顶角
的定义即可得出结果．
【详解】解：∵
90 ,
ABC
C
=
=
，
∴
90
BAC
=
−
，，
∵AD平分
BAC
，
∴
45
2
CAD
=
−
，
∵BE
AC
⊥
，
∴
90
AEF
=
，
∴
90
45
2
AFE
CAD
=
−
=
+
，
∴
45
2
BFD
AFE
=
=
+
，
故选：D．
题型五：三角形内角和中需分情况讨论题型
1．（23-24 七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC 中，
56
A
=
，
46
C
=
，D 是线段AC 上的一
个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C 落在同一平面内的点C处，当C D
平行于三角形ABC 的
边时，
CDB
的大小为（ ）
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74 /
A．118或67
B．118
C．65
D．118或65
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理．根据题意分两种情况讨论，当
C D
AB
∥
时，根据平行线的性质求出
ABC
的度数，在
ABC
中根据三角形内角和定理求出
ABC
的度
数，从而求出
CBC
的度数，再根据折叠的性质求出
CBD
的度数，最后在
CBD
△
中根据三角形内角和定
理即可求解；当C D
BC
∥
时，根据平行线的性质求出
ADC
的度数由折叠的性质可得
CDB
C DB
=
，
从而即可求解．
【详解】解：当C D
AB
∥
时，如图，
由折叠的性质得
=
= 46
C
C
，
CBD
C BD
=
，
∵C D
AB
∥
，
∴
=
= 46
ABC
C
，
在
ABC
中，
56
A
=
，
46
C
=
，
∴
=180
46
56 = 78
ABC
−
−
，
∴
=
= 78
46 = 32
CBC
ABC
ABC
−
−
，
∴
1
=
=
=16
2
CBD
C BD
CBC
，
在
CBD
△
中，
46
C
=
，
16
CBD
=
，
∴
=180
46
16 =118
CDB
−
−
；
当C D
BC
∥
时，如图，
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75 /
∵C D
BC
∥
，
∴
=
= 46
ADC
C
，
由折叠的性质得
CDB
C DB
=
，
∴
(
)
1
1 180
46
67
2
2
CDB
CDC
=
=
−
=
，
综上所述，
CDB
的度数是118或67，
故选：A．
2．
（24-25 八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形ABC 中，
60 ,
20
A
B
=
=
，点D 在AB 边上，连接CD，
若ACD
为直角三角形，则
BCD
的度数为（ ）
A．70
B．30
C．70或10
D．70或30
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理求出
,
ACB
再分类讨论ACD
的直
角，最后根据三角形的内角和定理得结论，掌握“三角形的内角和是180”，“直角三角形的两个锐角互余”
是解决本题的关键.
【详解】解：在
ABC
中，
∵
60
A
=
,
20
B
=
,
∴
180
100
ACB
A
B
=
−−=
，
∵ACD
为直角三角形，
（1）当
=90
ACD
时,如图：
100
90
10
BCD
ACB
ACD
=
−
=
−
=
，
（2）当
90
ADC
=
时,如图：
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90
30
ACD
A
=
−=
,
∴
100
30
70
BCD
ACB
ACD
=
−
=
−
=
，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·山东菏泽·期中）△ABC 中，
40
A
=
，高BD和高CE 所在直线交于O，则
BOC
的
大小为（ ）
A．40或140
B．50或130
C．40
D．50
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高线，分①△ABC 是锐角三角形时，根据四边形的内
角和等于360 度求出
DOE
，再根据对顶角相等解答即可；②△ABC 是钝角三角形时，根据三角形内角和
定理可得
A
BOC
=
．
【详解】解：分两种情况：
△ABC 是锐角三角形时，如图：
BD和CE 是高，
90
AEO
ADO
=
=
，
360
360
90
90
40
140
EOD
AEO
ADO
A
=
−
−
−=
−
−
−
=
．
140
BOC
EOD
=
=
；
△ABC 是钝角三角形时，如图：
在
ACE
△
和OCD
中，
90
AEC
ODC
=
=
，
ACE
OCD
=
，
40
BOC
A
=
=
．
故选A．
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4．（24-25 七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称
此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为48，则这个三角形中最大的内角度数
为 ．
【答案】96或108或88
【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为180，是解决问题的关键．
根据三角形内角和等于180，如果一个“倍角三角形”有一个角为48，可得另两个角的和为132，根据由三
角形中一个内角是另一个内角的2 倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可．
【详解】解：当48的角是另一个内角的2 倍时，
三个角分别为：24，48，108；
当一个内角是48的角的2 倍时，三个角分别为：48，96，36；
当另外两个角是两倍关系时，
设这两个角分别是x，2x，
则
2
48
180
x
x
+
+
=
，
解得
44
x =
，
∴2
88
x =
，
∴三个角分别为：48，44，88 ；
因此，这个三角形中最大的内角度数为96或108或88．
故答案为：96或108或88．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在△ABC 中，
40
B
=
，若从顶点A 作高线AD和角平分线AE ，AD与AE
的夹角为5，则C 的度数为 ．
【答案】30或50
【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分
B
C
和
B
C
两种情况，分别
画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当
B
C
时，如图①，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
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78 /
∵
40
B
=
，
∴
50
BAD
=
，
∵
5
DAE
= ，
∴
50
5
55
BAE
BAD
DAE
=
+
=
+ =
，
∵AE 是
BAC
的角平分线，
∴
2
2 55
110
BAC
BAE
=
=
=
，
∴
180
180
110
40
30
C
BAC
B
=
−
−=
−
−
=
；
当
B
C
时，如图②，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∵
40
B
=
，
∴
50
BAD
=
，
∵
5
DAE
= ，
∴
50
5
45
BAE
BAD
DAE
=
−
=
−=
，
∵AE 是
BAC
的角平分线，
∴
2
2 45
90
BAC
BAE
=
=
=
，
∴
180
180
90
40
50
C
BAC
B
=
−
−=
−
−
=
；
综上，C 的度数为30或50，
故答案为：30或50．
6．
（24-25 七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β 是另外一个内角的1
2 时，我们称此三角形为“友
好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为48，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数
为 ．
【答案】96或88或48
【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当48为的1
2 时；
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79 /
当为48时；当48角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可．
【详解】解：当48为的1
2 时，即
2 48
96
=
=
；
当一个角为48的1
2 时，即
48
=
；
当48角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的1
2 时，180
48
132
−
=
，
132
3 2
44
2
88
=
=
=
；
综上，“友好角”的度数为96或88或48．
故答案为：96或88或48
题型六：三角形内角和综合之多结论问题
1．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，DC
AB AE
EF
⊥
∥
,
，E 在BC 上，过E 作EC
DC
⊥
，EG 平
分∠FEC，ED平分
AEC
．若
180
EAD
BAD
+
=
，
3
EDA
CEG
=
，则下列结论：①
2
EAB
FEG
=
；
②
45
AED
GEF
=
+
；③
135
4
EAD
GEC
=
−
；④
30
EAB
=
，其中正确的是（ ）个
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④
【答案】A
【分析】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定
义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键．
根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵EG 平分
FEC
，
FEG
CEG
=
，
设
FEG
CEG
=
=
，
2
FEC
=
，
3
EDA
CEG
=
，
3
EDA
=
，
EC
DC
⊥
，DC
AB
∥
，
∴
90
EB
AB
C
⊥
=
，
，
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80 /
90
B
=
，
90
EAB
AEB
+
=
,
AE
EF
⊥
，即
90
AEF
=
，
90
AEB
FEC
+
=
，
2
EAB
FEC
=
=
，故①正确；
∵ED平分
AEC
，
∴
90
2
45
45
1
1
2
2
AED
AEC
GEF
=
=
+
=
+
=
+
（
）
，故②正确；
∵
45
3
AED
EDA
=
+
=
，
，
∴
(
)
180
180
45
3
135
4
EAD
AED
EDA
=
−
−
=
−
−
=
−
＋
，即
135
4
EAD
GEC
=
−
，故③正确；
180
EAD
BAD
+
=
，
BAD
EAD
EAB
=
+
，
∴2
180
EAD
EAB
+
=
，即2(135
4 )
2
180
−
+
=
，
∴
15
=
，
∴
2
30
EAB
=
=
，故④正确；
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选A．
2．
（24-25 七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板
(
)
,
90 ,
30 ,
0
90
CDE
CED
CDE
AOB
=
=
=
，
将三角板CDE 如图所示放置，使顶点C 落在OB 边上，经过点D 作直线MN
OB
∥
交OA边于点M ，且点M
在点D的左侧．若
MDC
的平分线DF 交OB 边于点F ，以下结论中
①当
60
=
且DF
OA
∥
时，CE
OA
∥
；
②当CE
OA
∥
时，
1
150
2
OFD
+
=
；
③当
150
OFD
+
=
时，DE
OA
⊥
．正确的有（ ）
A．②
B．①②
C．①③
D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形
内角和定理是解题的关键．
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81 /
根据DF
OA
∥
，可得
60
DFC
AOB
=
=
=
，再由MN
OB
∥
以及DF 平分
MDC
，可得
60
CDF
MDF
=
=
，然后根据
60
DCE
=
，可得
CDF
DCE
=
，从而得到CE
DF
∥
，可判断①；根
据CE
OA
∥
，可得
BCE
AOB
=
=
，从而得到
180
120
DCF
DCE
BCE
=
−
−
=
−
，再由MN
OB
∥
以及DF 平分
MDC
，可得
CDF
MDF
CFD
=
=
，然后根据三角形内角和定理可得
1
30
2
CFD
=
+
，
可判断②；根据
150
OFD
+
=
，可得
30
CFD
=
+
，再由MN
OB
∥
以及DF 平分
MDC
，可得
30
CDF
MDF
CFD
=
=
=
+
，然后根据三角形内角和定理可得
120
2
DCF
=
−
，从而得到
180
2
BCE
DCE
DCF
=
−
−
=
，无法得到OA与CE 平行，可判断③．
【详解】解：如图，
∵DF
OA
∥
，
∴
60
DFC
AOB
=
=
=
，
∵MN
OB
∥
，
∴
60
MDF
DFC
=
=
，
∵DF 平分
MDC
，
∴
60
CDF
MDF
=
=
，
在Rt DCE
中，
60
DCE
=
，
∴
CDF
DCE
=
，
∴CE
DF
∥
，
∵DF
OA
∥
，
∴CE
OA
∥
，故①正确；
∵CE
OA
∥
，
∴
BCE
AOB
=
=
，
∵
60
DCE
=
，
∴
180
120
DCF
DCE
BCE
=
−
−
=
−
，
∵MN
OB
∥
，
∴
MDF
DFC
=
，
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∵DF 平分
MDC
，
∴
CDF
MDF
CFD
=
=
，
∵
180
CDF
CFD
DCF
+
+
=
，
∴
1
30
2
CFD
=
+
，
∴
1
1
1
1
180
180
30
150
2
2
2
2
OFD
CFD
+
=
−
+
=
−
+
+
=
，故②正确；
∵
150
OFD
+
=
，
∴
150
OFD
=
−
，
∵
180
OFD
CFD
+
=
，
∴150
180
CFD
−
+
=
，
∴
30
CFD
=
+
，
∵MN
OB
∥
，
∴
MDF
DFC
=
，
∵DF 平分
MDC
，
∴
30
CDF
MDF
CFD
=
=
=
+
，
∵
180
CDF
CFD
DCF
+
+
=
，
∴30
30
180
DCF
+
+
+
+
=
，
∴
120
2
DCF
=
−
，
∵
60
DCE
=
，
∴
180
2
BCE
DCE
DCF
=
−
−
=
，
∴
BCE
AOB
，
∴无法得到OA与CE 平行，
∵
90
CED
=
，即DE
CE
⊥
，
∴无法得到DE
OA
⊥
，故③错误．
故选：B
3．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC =
，
10
BC =
，AD是
高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④
2.4
AD =
，以上说法正确的个数是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量
关系；根据三角形的中线和面积公式可确定ABE
和BCE
的面积关系以及求出AD的长度，从而可得答案．
【详解】解：
BE
是△ABC 的中线，
AE
EC
=
，
ABE
的面积等于BCE
的面积，
故①正确；
90
BAC
=
，AD是△ABC 的高，
∴
90
AFG
ACG
+
=
，
90
DCG
DGC
+
=
，
CF
是△ABC 的角平分线，
∴
ACG
DCG
=
，
AFG
DGC
=
，
又
DGC
AGF
=
，
AFG
AGF
=
，
故②正确；
FAG
DAC
DAC
ACD
+
=
+
90
=
，
FAG
ACD
=
，
ACD
ACF
DCF
=
+
2 ACF
=
，
2
FAG
ACF
=
故③正确；
∵2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，
6 8
4.8
10
AB AC
AD
BC
=
=
=
，
故④错误；
故选：C
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4．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD EH ，且FE平分
AFG
，过
点F 作FG
EH
⊥
于点G，且
2
=
AFG
D，则下列结论：①
30
D
=
；②
2
80
D
EHC
+
=
；③FD
GF
⊥
；
④FH 平分
GFD
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义．先根据平行线的性质可得
,
BFD
D
AFI
FIH
=
=
，进而由角平分线的定义得到
2
2
FIH
AFE
EHC
=
=
，再由垂线的定义得到
90
HGI
=
，则由三角形内角和定理得到
30
EHC
D
=
=
，由此即可判断①②；根据平行线的性质可得
30
BFD
D
=
=
，
90
GFD
=
，但题干未知
HFD
的大小，由此即可判断③和④．
【详解】解：延长FG ，交CH 于I．
AB
CD
，
,
BFD
D
AFG
FIH
=
=
，
FD EH
∥
，
EHC
D
= ，
FE
平分
AFG
，
2
=
AFG
D，
∴
2
AFG
AFE
=
，
2
AFG
EHC
=
，
2
2
FIH
AFE
EHC
=
=
，
FG
HG
⊥
，
90
HGI
=
，
90
180
FIH
EHC
+
+
=
，
3
90
EHC
=
，
30
EHC
=
，
30
D
=
，
2
2 30
30
90
D
EHC
+
=
+
=
，
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∴①正确；②错误，
∵FE平分
AFG
，
30
2
60
AFI
=
=
，
30
BFD
D
=
=
，
90
GFD
=
，
FD
GF
⊥
，故③正确
根据现有条件无法证明FH 平分
GFD
，故④错误，
故选：B．
5．（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知A ，B ，E ，G 四点共线，B ，M ，C ，D 四点共线，
A ，H ，C ，F 四点共线，GF
AB
⊥
，1
2
= ，B
AGH
=
．则下列结论：①GH
BC
∥
；
D
F
=
②
：
HE
③
平分
AHG
∠
；
HE
AB
⊥
④
．其中结论正确的有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判
定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：
90
D
B
=
−，
90
F
A
=
−，可判断结论②；再根据1
90
B
=
−，
90
AHE
A
?
? ?
，可判断结论③．
【详解】解：∵
AGH
B
=，
∴GH
BC
∥
，
故结论①正确；
∵FG
AB
⊥
，
∴
90
BGM
=
，
∴
2
90
B
+=
，
∵1
2
= ，
AGH
B
=，
∴2
90
AGH
?
?
? ，
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∴
90
GEH
=
，
∴HE
AB
⊥
，
故结论④正确；
∵
90
D
B
+=
，
90
F
A
+=
，
∴
90
D
B
=
−，
90
F
A
=
−，
故结论②错误；
∵1
90
B
=
−，
90
AHE
A
?
? ?
，
∴1
与
AHE
不一定相等，
故结论③错误．
故选：B．
6．
（24-25 七年级下·天津和平·阶段练习）如图，△ABC 的角平分线CD，BE 相交于F，
90
A
=
，EG
BC
∥
，
且CG
EG
⊥
于G，下列结论：①
2
CEG
DCB
=
；②CA 平分
BCG
；③
ADC
GCD
=
；④
2
CGE
DFB
=
，
其中正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
根据平行线，角平分线，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】解：∵EG
BC
∥
，
CEG
ACB
=
，
又 ∵CD是
ABC
的角平分线，
∴
2
CEG
ACB
DCB
=
=
，故①正确；
无法证明CA 平分
BCG
，故②错误；
90
A
=
，
90
ADC
ACD
+
=
，
CD
平分
ACB
，
ACD
BCD
=
，
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90
ADC
BCD
+
=
，
,
EG
BC CG
EG
⊥
∥
，
∴
90
GCB
=
，即
90
GCD
BCD
+
=
，
∴
ADC
GCD
=
，故③正确；
,
EBC
ACB
AEB
DCB
ABC
ADC
+
=
+
=
，
1
90
(
)
135
2
AEB
ADC
ABC
ACB
+
=
+
+
=
，
360
135
90
135
DFE
=
−
−
=
，
1
45
2
DFB
CGE
=
=
，故④正确．
故①③④正确，共3 个，
故选：C．
7．（24-25 七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为180．如图，
,
,
G C D 三点在同一条直线
上，,
,
,
F A E B 四点在同一条直线上，CD
AB
∥
， CB 平分
ACD
，CF 平分
ACG
,
40
BAC
=
, 1
2
= ．下
列结论：①CB
CF
⊥
；②
1
70
=
∠
；③
2 4
ACE
= ；④
3
2 4
= ．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的
关键.
根据平行线的性质得到
40
ACG
BAC
=
=
，求出
1
4
20
2
ACF
ACG
=
=
=
，得到
1
70
2
BCD
ACB
ACD
=
=
=
，得到
2
70
BCD
=
=
，1
70
=
∠
，根据三角形内角和定理求出
3
40
=
，
3
2 4
= ；求出
30
ACE
=
，
2 4
ACE
，
90
BCF
=
，得出CB
CF
⊥
，即可得到答案.
【详解】解：
CD AB
∥
，
40
BAC
=
，
40
ACG
BAC
=
=
，
CF 平分
ACG
，
1
4
20
2
ACF
ACG
=
=
=
，
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88 /
∵
180
140
ACD
ACG
=
−
=
，
CB 平分
ACD
，
1
70
2
BCD
ACB
ACD
=
=
=
，
2
70
BCD
=
=
，
1
2
=
，
1
70
=
，
故结论②正确；
3 180
1
2
40
=
−−=
，
3
2 4
= ，
180
2
3
30
ACE
BAC
=
−
−−=
，
故结论④正确；
2 4
ACE
，
故结论③错误；
3
20
30
40
90
ACB
ACF
ACE
=
+
+=
+
+
=
，
CB
CF
⊥
，
故结论①正确，
综上正确的结论是①②④，
故选：B.
题型七：三角形内角和中与角平分线相关问题
1．（24-25 七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】
如图①，射线BP 在
ABC
的内部，若
1
ABP
ABC
n
=
，则射线BP叫做
ABC
的邻AB “n 分线”．
【问题解决】
(1)如图②，在△ABC 中，点P 是
ABC
的邻AB “2 分线”与
ACB
的邻AC “2 分线”的交点，若
60
A
=
，
则
BPC
= ___________；
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(2)如图③，在△ABC 中，点P 是
ABC
的邻AB “4 分线”与
ACB
的邻AC “4 分线”的交点，且BP
CP
⊥
，
求
A
的度数；
(3)如图④，在△ABC 中，点D 在BC 边的延长线上，连接AD，且
2
3
ADB
ACB
=
，
ABC
的邻AB “3
分线”与AD交于点E ，若
BAC
=
，直接写出
BED
的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)120；(2)60；(3)
2
60
3
+
．
【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）设
ABP
=
，
ACP
=
，根据邻AB “2 分线”和邻AC “2 分线”的定义和三角形内角和定理进行计算
即可；
（2）设
ABP
=
，
ACP
=
，根据邻AB “4 分线”与邻AC “4 分线”的定义和三角形的内角和定理结合新
定义进行求解即可；
（3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可．
【详解】（1）解：设
ABP
=
，
ACP
=
，
∵点P 是
ABC
的邻AB “2 分线”与
ACB
的邻AC “2 分线”的交点，
∴
PBC
ABP
=
=
，
PCB
ACP
=
=
，
∵
60
A
=
，
∴(
)
2
180
60
120
+
=
−
=
，即
60
+
=
，
∴
(
)
180
120
BPC
+
=
=
−
，故答案为：120；
（2）解：设
ABP
=
，
ACP
=
，
∵点P 是
ABC
的邻AB “4 分线”与
ACB
的邻AC “4 分线”的交点，
∴
3
3
PBC
ABP
=
=
，
3
3
PCB
ACP
=
=
，
∵BP
CP
⊥
，
∴
90
BPC
=
，
∴
180
90
90
PBC
PCB
+
=
−
=
，
∴(
)
3
90
+
=
，即
30
+
=
，
∴
(
)
(
)
180
180
4
60
A
ABC
ACB
=
−
+
=
−
+
=
；
（3）解：∵
2
3
ADB
ACB
=
，
∴设
2
ADB
=
，
3
ACB
=
，
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∵
ABC
的邻AB “3 分线”与AD交于点E ，
∴设
ABE
=
，则
2
EBD
=
，
在△ABC 中，由三角形内角和定理得
3
3
180
+
+
=
，
∴
60
3
+
=
−
，
在
EBD
△
中，由三角形内角和定理得
(
)
180
2
2
180
2
3
2
60
60
3
BED
=
−
+
=
−
=
+
−
．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE
BC
∥
，交AC 于点E ，
DP平分
ADE
，交
ACB
的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF
的平分线CQ 与DP相交于点Q ．
(1)若
50
A
=
，
60
B
=
，则
DPC
=______，
Q
______；
(2)若
50
A
=
，当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若
PCQ
△
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的
A
的度数______．
【答案】(1)115，25(2)不会发生变化，理由见解析(3)
45
A
=
或60或120或135
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设
A
x
=
，则
1
2
Q
x
=
，再由
90
PCQ
=
不变，即可分类讨论：①当
3
Q
QPC
=
时，②当
3
QPC
Q
=
时，③当
3
PCQ
Q
=
时，④当
3
PCQ
QPC
=
时，分别列出关于x 的等式，解出x 即可．
【详解】（1）解：
50
A
=
，
60
B
=
，
180
70
ACB
A
B
=
−−=
．
CP 平分
ACB
，
1
35
2
BCP
ACP
ACB
=
=
=
．
DE
BC
∥
，
60
ADE
B
= =
，
35
BCP
PGD
=
=
．
DP平分
ADE
，
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1
2
30
ADE
PDG
=
=
．
180
115
DPC
PDG
PGD
=
−
−
=
；
115
DPC
=
，
180
115
65
QPC
=
−
=
．
CP 平分
ACB
，CQ 平分
ACF
，
1
2
ACP
ACB
=
，
1
2
ACQ
ACF
=
．
180
ACB
ACF
+
=
，
90
ACP
ACQ
+
=
，即
90
PCQ
=
，
90
25
Q
QPC
=
−
=
．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
50
A
=
，
130
ACB
B
+=
．
DE
BC
∥
，
ADE
B
=，
PGD
PCB
=
．
DP平分
ADE
，CP 平分
ACB
，
1
1
2
2
PDE
ADE
B
=
=
，
1
2
PCB
ACB
PGD
=
=
．
(
)
180
DPC
PDE
PGD
=
−
+
(
)
1
180
2
B
ACB
=
−
+
1
180
130
2
=
−
115
=
．
65
QPC
=
，
180
ACB
ACF
+
=
，
(
)
1
90
2
PCQ
ACB
ACF
=
+
=
，
90
25
Q
QPC
=
−
=
．
当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数不发生变化；
（3）解：设
A
x
=
，
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92 /
180
ACB
B
x
+=
−．
DE
BC
∥
，
ADE
B
=，
PGD
PCB
=
，
DP平分
ADE
，CP 平分
ACB
，
1
1
2
2
PDE
ADE
B
=
=
，
1
2
PCB
ACB
PGD
=
=
，
(
)
180
DPC
PDE
PGD
=
−
+
(
)
1
180
2
B
ACB
=
−
+
(
)
1
180
180
2
x
=
−
−
1
90
2 x
=
+
．
1
1
180
90
90
2
2
QPC
x
x
=
−
+
=
−
．
CP 平分
ACB
，CQ 平分
ACF
，
1
2
ACP
ACB
=
，
1
2
ACQ
ACF
=
，
(
)
1
90
2
PCQ
ACB
ACF
=
+
=
，
1
1
90
90
90
2
2
Q
QPC
x
x
=
−
=
−
−
=
，
PCQ
△
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当
3
Q
QPC
=
时，1
1
3 90
2
2
x
x
=
−
，
解得：
135
x =
②当
3
QPC
Q
=
时，
1
1
90
3
2
2
x
x
−
=
，
解得：
45
x =
③当
3
PCQ
Q
=
时，
1
90
3
2 x
=
，
解得：
60
x =
④当
3
PCQ
QPC
=
时，
1
90
3
90
2 x
=
−
，
解得：
120
x =
综上可知，
45
A
=
或60或120或135．
3．
（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）
（1）如图①，BD平分
ABC
，CD平分
ACB
，试确定
A
和
D
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93 /
的数量关系；
（2）如图②，在△ABC 中，BE 、BF 把
ABC
三等分，CE
CF
、
把
ACB
三等分，试猜想
A
和
E
的
数量关系，并给出证明；
（3）在图②的基础上把△ABC 变成四边形MNCB ，如图③，BE
BF
、
把
MBC
三等分，CE
CF
、
把
NCB
三等分，请直接写出
F
和
M
N
+
的数量关系．
【答案】（1）
1
90
2
D
A
=
+
（2）
2
30
3
E
A
=
+
，证明见解析（3）
(
)
1
60
3
F
M
N
=
+
+
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键：
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可；
（2）根据三等分角，求出
(
)
2
3
EBC
ECB
ABC
ACB
+
=
+
，再利用三角形的内角和定理进行求解即可．
（3）根据三等分角，得到
(
)
1
3
FBC
FCB
MBC
NCB
+
=
+
，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：（1）∵
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
∴
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∵BD平分
ABC
，CD平分
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
DCB
ACB
DBC
ABC
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
1
180
90
2
2
2
2
DCB
DBC
ABC
ACB
A
A
+
=
+
=
−
=
−
，
∴
1
180
90
2
BDC
BCD
BDC
A
=
−
−
=
+
；
（2）
2
30
3
E
A
=
+
，证明如下：
∵
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
∴
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∵BE 、BF 把
ABC
三等分，CE
CF
、
把
ACB
三等分，
∴
2
2
,
3
3
ECB
ACB
EBC
ABC
=
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
180
120
3
3
3
EBC
ECB
ABC
ACB
A
A
+
=
+
=
−
=
−
，
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94 /
∴
2
2
180
120
30
1 0
3
8
3
EBC
ECB
A
A
E
−
=
−
+
=
=
−
+
；
（3）∵
360
M
N
MBC
NCB
+
+
+
=
，
∴
(
)
360
MBC
NCB
M
N
+
=
−
+
，
∵BE
BF
、
把
MBC
三等分，CE
CF
、
把
NCB
三等分，
∴
1
1
,
3
3
FBC
MBC
FCB
MCB
=
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
1
1
1
360
120
3
3
3
FBC
FCB
MBC
NCB
M
N
M
N
+
=
+
=
−
+
=
−
+
；
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
120
60
3
3
F
FBC
FCB
M
N
M
N
=
−
−
=
−
+
+
=
+
+
．
3．（24-25 七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，AB
CD
∥
．
(1)如图1，若EF
FG
⊥
垂足为点F，
50
FGD
=
，则
=
AEF
______．
(2)如图2，
BEF
FGD
、
的角平分线交于点H，若
60
EFG
=
，则
H
=_____．
(3)如图2，BEF
FGD
、
的角平分线交于点H，若
BEF
x
= ，DGF
y
=
，则
H
=_____．（用x ，y 的
代数式表示）．
(4)如图3，在图2 的基础上，EP、GP 分别平分
BEH
和
DGH
，若
F
=
，则
P
= _____．（用含有
的代数式表示）
【答案】(1)140(2)30(3) (
)
1
2 x
y
+
(4) 4
【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．
（1）过点F 作FH
AB
∥
，根据平行的性质得到
EFG
BEF
FGD
=
+
，即可求出答案；
（2）过点F 作FM
AB
∥
，过点H 作HN
AB
∥
，证明
,
EFG
BEF
FGD
H
BEH
HGD
=
+
=
+
，得到
1
2
H
EFG
=
，即可得到答案．
（3）由（2）得到
1
1
2
2
H
BEH
HGD
BEF
DGF
=
+
=
+
，即可得到答案；
（4）由（2）知，
1
1
2
2
EHG
EFG
=
=
，证明
1
2
P
H
=
，即可得到结论．
【详解】（1）解：过点F 作FH
AB
∥
，
AB
CD
∥
，
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AB
FH
DC
∥
∥
，
,
BEF
EFH
HFG
FGD
=
=
，
EFH
HFG
EFG
+
=
，
BEF
FGD
EFG
+
=
，
EF
FG
⊥
，
90
BEF
FGD
+
=
，
50
FGD
=
，
40
BEF
=
，
180
140
AEF
BEF
=
−
=
；
（2）解：过点F 作FM
AB
∥
，过点H 作HN
AB
∥
，
AB
CD
∥
，
,
FM
AB
CD HN
AB
CD
∥
∥
∥
∥
，
,
BEF
EFM
MFG
FGD
=
=
，
,
BEH
EHN
NHG
HGD
=
=
，
,
60
EFM
MFG
EFG
EFG
+
=
=
，
60
BEF
FGD
+
=
，
EH
GH
、
是
BEF
与
FGD
的平分线，
1
1
,
2
2
BEH
BEF
HGD
FGD
=
=
，
1 (
)
30
2
BEH
HGD
BEF
FGD
+
=
+
=
，
EHN
MHG
EHG
+
=
，
30
EHG
BEH
HGD
=
+
=
；
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（3）解：由（2）知，
EH
GH
、
是
BEF
与
FGD
的平分线，
1
1
,
2
2
BEH
BEF
HGD
FGD
=
=
，
1
1
(
)
(
)
2
2
BEH
HGD
BEF
FGD
x
y
+
=
+
=
+ ，
HN
AB
CD
∥
∥
，
,
BEH
EHM
NHG
HGD
=
=
，
EHN
MHG
EHG
+
=
，
1 (
)
2
EHG
BEH
HGD
x
y
=
+
=
+ ；
（4）解：由（2）知，
1
1
2
2
EHG
EFG
=
=
，
EP、GP 分别平分
BEH
和
DGH
，
1
1
,
2
2
BEP
BEH
PGD
HGD
=
=
，
1
1
1 1
1
(
)
2
2
2 2
4
P
BEH
HGD
EHG
=
+
=
=
=
．
故答案为：1
4 ．
4．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动：
(1)【问题情境】
如图①，已知
,
,
BAC
B
C
是
ABC
的三个内角．
求证：
180
BAC
B
C
++
=
．小明过点A 作DE
BC
∥
，请完善小明的证明过程；
(2)【尝试运用】
如图②，在（1）的条件下，分别作
EAC
和
ABC
的角平分线AF 和BF ，若
80
BAC
=
，求
AFB
的度
数；
(3)【拓展探索】
如图③，在图①的基础上，分别作
EAC
和
ABC
的四等分线AF 和BF ，即
1
1
,
4
4
FAC
EAC
ABF
ABC
=
=
，若
90
AFB
=
，求
BAC
的度数．
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【答案】(1)见解析(2)50(3)60
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，交平分线的定义，平行线的性质．
（1）由平行线的性质得到
,
DAB
B
EAC
C
=
=
，再根据平角的定义即可解答；
（2）根据交平分线的定义求出
(
)
1
2
ABF
CAF
DAB
EAC
+
=
+
，再利用三角形内角和定理结合
80
BAC
=
，即可解答；
（3）同理（2）可得
(
)
3
90
4
AFB
DAB
EAC
=
+
=
，求出
120
DAB
EAC
+
=
，由
(
)
180
BAC
DAB
EAC
=
−
+
即可解答．
【详解】（1）证明：∵DE
BC
∥
．
,
DAB
B
EAC
C
=
=
．
180
DAB
BAC
EAC
+
+
=
，
180
BAC
B
C
++
=
；
（2）解：由（1）知
,
DAB
ABC
EAC
ACB
=
=
，
∵AF 平分
EAC
，BF 平分
ABC
，
∴
(
)
1
2
ABF
CAF
DAB
EAC
+
=
+
∵
180 ,
180
DAB
EAC
BAC
ABF
CAF
AFB
BAC
+
+
=
+
+
+
=
，
∴
DAB
EAC
ABF
CAF
AFB
+
=
+
+
，
∴
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
AFB
DAB
EAC
ABF
CAF
DAB
EAC
DAB
EAC
DAB
EAC
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
，
∵
80
BAC
=
，
∴(
)
(
)
1
1 180
50
2
2
DAB
EAC
BAC
+
=
−
=
，
∴
50
AFB
=
；
（3）解：同理（2）可得：
(
)
3
90
4
AFB
DAB
EAC
=
+
=
，
∴
120
DAB
EAC
+
=
，
∴
(
)
180
60
BAC
DAB
EAC
=
−
+
=
．
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98 /
5．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）新定义：在△ABC 中，若存在最大内角是最小内角度数的n 倍（n 为
大于1 的正整数），则称△ABC 为“n 倍角三角形”．例如，在△ABC 中，若
90
A
=
，
60
B
=
，则
30
C
=
，
因为
A
最大，
C
最小，且
3
A
C
=
，所以△ABC 为“3 倍角三角形”．
(1)在DEF
中，若
40
E
=
，
60
F
=
，则
DEF
为“________倍角三角形”．
(2)如图，在△ABC 中，
36
C
=
，
BAC
ABC
、
的角平分线相交于点D ，若
ABD
△
为“6 倍角三角形”，
请求出
ABD
的度数．
【答案】(1)2(2)
18
ABD
=
或
54
ABD
=
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键．
（1）三角形的内角和定理求出
D
，再根据新定义进行判断即可；
（2）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出
ADB
的度数，再分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵
40
E
=
，
60
F
=
，
∴
180
40
60
80
D
=
−
−
=
，
∴
D
最大，
E
最小，且
2
D
E
= ，
∴DEF
为2 倍角三角形；
故答案为：2；
（2）∵
36
C
=
，
∴
180
144
BAC
ABC
C
+
=
−
=
，
∵
BAC
ABC
、
的角平分线相交于点D ，
∴
1
1
,
2
2
BAD
BAC
ABD
ABC
=
=
，
∴
(
)
1
72
2
BAD
ABD
BAC
ABC
+
=
+
=
，
∴
180
72
108
ADB
=
−
=
，
∴在
ABD
△
中，
ADB
最大，
∵
ABD
△
为“6 倍角三角形”
∴当
6
ADB
ABD
=
时：
18
ABD
=
；
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99 /
当
6
ADB
BAD
=
时，
18
BAD
=
，则：
72
18
54
=
−
=
ABD
；
故
18
ABD
=
或
54
ABD
=
．
1．（23-24 七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志
总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，AB
CD
∥
，
80
ABE
CDF
=
=
，
48
BEG
DFG
=
=
，则图中
EGF
的度数是（ ）
A．78
B．74
C．64
D．58
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长AB ，CD交EG ，FG 于点M ，N ，
过点G 作GH
AB
∥
，则GH
AB
CD
∥
∥
，利用三角形的内角和运算出
BME
和
FND
的度数后，通过平行
线的性质即可得出结果．
【详解】分别延长AB ，CD交EG ，FG 于点M ，N ，过点G 作GH
AB
∥
，则GH
AB
CD
∥
∥
，如图所示：
∵
80
ABE
CDF
=
=
，
∴
180
180
80
100
EBM
EBA
=
−
=
−
=
∠
∠
，
180
180
80
100
FDN
FDC
=
−
=
−
=
∠
∠
，
∵
48
BEG
DFG
=
=
，
∴
180
180
100
48
32
BME
EBM
E
=
−
−
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
180
180
100
48
32
FND
FDN
F
=
−
−
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴
32
EGH
BME
=
=
∠
∠
，
32
FGH
FND
=
=
∠
∠
，
∴
32
32
64
EGF
EGH
FGH
=
+
=
+
=
∠
∠
∠
，
故选：C．
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100 /
2．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC 的三边分别为, ,
a b c，其中,a b 满足
(
)
2
14
2
0
a
b
a
b
+
−
+
−+
=
，则最长边c 的取值范围是（ ）
A．6
8
c
B．2
14
c
C．8
14
c
D．2
8
c
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大
于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于a 、b 的方程组，
再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：
(
)
2
14
2
0
a
b
a
b
+
−
+
−+
=
，
14
0
a
b
+ −
= ，
2
0
a
b
−
+
=
，
6
a
=
，
8
b =
，
b
a
c
b
a
−
+
，
2
14
c
，
故选：B．
3．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中
90
ABC
BDE
=
=
，
45
A
=
，
30
E
=
，
若C 是DE 上一点且AC
BD
∥
，则
ABE
的大小为（ ）
A．50
B．60
C．75
D．80
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由
90
ABC
BDE
=
=
，
45
A
=
，
30
E
=
，
则
45
ACB
A
==
，
60
DBE
=
，又AC
BD
∥
，则
45
ACB
CBD
=
=
，然后通过角度和差即可求解，掌
握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵
90
ABC
BDE
=
=
，
45
A
=
，
30
E
=
，
∴
45
ACB
A
==
，
60
DBE
=
，
∵AC
BD
∥
，
∴
45
ACB
CBD
=
=
，
小学
初中
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101 /
∴
60
45
15
EBC
DBE
CBD
=
−
=
−
=
，
∴
90
15
75
ABE
ABC
CBE
=
−
=
−
=
，
故选：C ．
4．（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC 中，AE 是△ABC 的角平分线，F 是AE 上一动点，
FD
BC
⊥
于点D，
60
BAC
=
，
70
C
=
，则
DFE
的度数为（ ）
A．15
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，理解并掌握三角形内角和定理是解
题关键．首先根据三角形角平分线的定义可得
30
EAC
=
，再利用三角形内角和定理确定
80
AEC
=
，然
后在EDF
中，由
180
DFE
EDF
AEC
=
−
−
求解即可．
【详解】解：∵
60
BAC
=
，AE 是△ABC 的角平分线，
∴
1
30
2
EAC
BAC
=
=
，
∵
70
C
=
，
∴
180
80
AEC
C
EAC
=
−−
=
，
∵FD
BC
⊥
，
∴
90
EDF
=
，
∴
180
10
DFE
EDF
AEC
=
−
−
=
．
故选：C．
5．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，ABC
ACB
BD
CD
AD
=
，
、
、
分别平分△ABC 的内角
ABC
、
外角
ACF
、外角
EAC
．下列结论中，不正确的结论是（ ）
A．
1
2
ADB
ABC
=
B．
1
2
BDC
BAC
=
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C．
1
2
CDB
ABC
=
D．
1
90
2
ADC
ABC
+
=
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等
知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
根据角平分线定义得出
2
2
ABC
ABD
DBC
=
=
，
2
EAC
EAD
=
，
2
ACF
DCF
=
，根据三角形的内
角和定理得出
180
BAC
ABC
ACB
+
+
=
，根据三角形外角性质得出
ACF
ABC
BAC
=
+
，
EAC
ABC
ACB
=
+
，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分
EAC
，
∴
2
EAC
EAD
=
，
∵
A
ABC
CB
=
∠
，
∴
2
EAC
ABC
ACB
ABC
=
+
=
，
∴
EAD
ABC
=
，
∴AD
BC
∥
，
∴
ADB
DBC
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
1
2
ADB
DBC
ABC
=
=
，故选项A 的结论正确，不符合题意；
∵CD平分
ACF
，
∴
2
ACF
DCF
=
，
∵
ACF
BAC
ABC
=
+
，
DCF
DBC
BDC
=
+
，
2
ABC
DBC
=
，
∴
(
)
1
1
2
2
BDC
DCF
DBC
ACF
ABC
BAC
=
−
=
−
=
，故选项B 的结论正确，不符合题意；
∵
A
ABC
CB
=
∠
，
∴
(
)
1
1 180
2
2
CDB
BAC
ABC
ACB
=
=
−
−
(
)
1 180
2
2
ABC
=
−
90
ABC
=
−
，
即
90
CDB
ABC
=
−
， 故选项C 的结论不正确，符合题意；
在
ADC
△
中，
180
ADC
CAD
ACD
+
+
=
，
∵CD平分
ACF
，
∴
ACD
DCF
=
，
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103 /
∵AD
BC
∥
，
∴
=
ADC
DCF ，
ADB
DBC
=
，
CAD
ACB
=
，
∴
ACD
ADC
=
，
2
CAD
ACB
ABC
ABD
=
=
=
，
∴180
2
2
2
ADC
CAD
ACD
ADC
ABD
ADC
ADC
ABD
=
+
+
=
+
+
=
+
，
∴
90
ADC
ABD
+
=
，
∴
1
90
2
ADC
ABC
+
=
，故选项D 的结论正确，不符合题意．
故选：C．
6．
（24-25 八年级上·天津·阶段练习）已知a 、b 、c 是ABC
的三边长，则a
b
c
b
a
c
c
a
b
+
−
+
−
−
−
−
+
= ( )
A．3a
b
c
−−
B．
3
a
b
c
+ −
C．
3
a
b
c
−+
−
D．
3
a
b
c
−
+
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出a
b
c
+ −，b
a
c
−−及c
a
b
−
+
的符号，再去绝对
值符号，合并同类项即可．
【详解】解：
a
、b 、c 是ABC
的三边的长，
0
a
b c
+ −
，
0
b
a
c
−−
，
0
c
a
b
−+
，
原式
3
a
b
c
b
a
c
c
a
b
a
b
c
=
+ −−+ + −+ −=
−−．
故选：A．
7．（24-25 七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
作“倍长三角形”．若△ABC 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2 和3，则第三条边的长为 ．
【答案】1.5或4
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为x ，先根据三角形三边关系定理得1
5
x
，再根据△ABC
是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为x ，
则3 2
3 2
x
−
+ ，即1
5
x
，
∵
ABC
是“倍长三角形”，则：
①若2
2
x =
，则
1
x = （不符合题意，舍去）；
②若2
3
x = ，则
1.5
x =
；
③若
2 2
=
x
，则
4
x = ；
④若
2 3
x =
，则
6
x =
（不符合题意，舍去）；
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104 /
综上所述，第三条边的长为1.5或4 ．
故答案为：1.5或4 ．
8．（23-24 七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形纸片ABC 中，
100
A
=
，
40
B
=
，将纸片的角
折叠，使点C 落在△ABC 内，若
30
=
，则的度数是（ ）
A．30
B．40
C．50
D．60
【答案】C
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得
2 ECF
+
=
是解题的关键．延长AE ，BF 交于点C，连接CC，利用三角形外角的定义可知
ECC
EC C
=
+
，
FCC
FC C
=
+
，从而得到
2 ECF
+
=
，再根据三角形内角和求得
ECF
，即可求得答案．
【详解】解：延长AE ，BF 交于点C，连接CC，如图，
则
ECF
EC F
=
，
ECC
EC C
=
+
，
FCC
FC C
=
+
，
2
ECC
EC C
FCC
FC C
ECF
EC F
ECF
+
=
+
+
+
=
+
=
，
ABC
中，
100
A
=
，
40
B
=
，
180
180
100
40
40
ECF
A
B
=
−−=
−
−
=
，
2
2 40
80
ECF
+
=
=
=
，
30
=
，
80
30
50
=
−
=
．
故选：C．
9．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）已知a ，b ，c 为三角形的三边，化简a
b
c
b
a
c
+
−
−
−
−
的结果是
【答案】2
2
b
c
−
/ 2
2
c
b
−
+
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【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之
和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，a
b
c
+
，b
a
c
+ ，
进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：a 、b 、c 是三角形的三边长，
a
b
c
+
，b
a
c
+ ，
(
)
0
b
a
c
b
a
c
−
+
=
−
−，
(
)
2
2
a
b
c
b
a
c
a
b
c
a
c
b
a
b
c
a
c
b
b
c
+
−
−
−
−
=
+
−−
+ −
=
+
−−
−+
=
−
，
故答案为：2
2
b
c
−
．
10．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，在△ABC 中，
70
BAC
=
，BC
AC
，点D 在边BC 上，将
ADC
△
沿着AD翻折，点C 落在点E 处，若DE 恰好与△ABC 的一条边平行，若
C
m
=
，则
DAC
的度数
为 °．（结果用含m 的代数式表示）
【答案】
1
35
2 m
−
或
1
90
2 m
−
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．分两种情
况：当DE
AB
∥
时，当DE
AC
∥
时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可．
【详解】解：当DE
AB
∥
时，如图所示：
根据折叠可知：
E
C
m
=
=
∠
∠
，
DAC
DAE
=
，
∵DE
AB
∥
，
∴
BAE
E
m
=
=
∠
∠
，
∵
70
BAC
=
，
∴
70
EAC
BAC
BAE
m
=
−
=
−
∠
∠
∠
，
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∴
1
1
35
2
2
DAC
DAE
EAC
m
=
=
=
−
∠
∠
∠
；
当DE
AC
∥
时，如图所示：
根据折叠可知：
E
C
m
=
=
∠
∠
，
DAC
DAE
=
，
∵DE
AB
∥
，
∴
180
180
EAC
E
m
=
−
=
−
∠
∠
，
∴
1
1
90
2
2
DAC
DAE
EAC
m
=
=
=
−
∠
∠
∠
；
综上分析可知：
1
35
2
DAC
m
=
−
∠
或
1
90
2
DAC
m
=
−
∠
．
故答案为：
1
35
2 m
−
或
1
90
2 m
−
．
11．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形ABC 中，
40
CAB
=
，
30
B
=
，点D 在BC 边上，
AD平分
CAB
，在AD上取一点E ，若三角形ACE 为直角三角形，则
BCE
的度数为 ．
【答案】40°或20°
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，运用分类讨论思想是解题的关键．先根据三角
形内角和定理求出
110
ACB
=
，再求出
20
CAD
=
，根据直角的不同位置讨论，即可求解．
【详解】解：∵
40
CAB
=
，
30
B
=
，
∴
180
40
30
110
ACB
=
−
−
=
∵AD平分
BAC
，
∴
20
CAD
=
，
若ACE 为直角三角形，
当
90
AEC
=
时，如图，
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∴
90
70
ACE
CAD
=
−
=
，
∵
180
40
30
110
ACB
=
−
−
=
，
∴
110
70
40
BCE
=
−
=
，
当
90
ACE
=
时，如图，
∴
110
90
20
BCE
=
−
=
，
故答案为：40或20．
12．（24-25 七年级下·江苏镇江·期中）如图，1
2
= ，
180
DEH
EHG
+
=
，
C
A
= ．
(1)试说明：
AEH
F
= ；
(2)若
40
B
=
，
25
F
=
，求
DEF
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
85
DEF
=
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
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108 /
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2 的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵
180
DEH
EHG
+
=
，
∴ED
AC
∥
（同旁内角互补，两直线平行）．
∴1
C
= （两直线平行，同位角相等）．
2
DGC
=
（两直线平行，内错角相等）．
∵1
2
C
A
=
=
，
，
∴
A
DGC
=
．
∴AB
DF
∥
（同位角相等，两直线平行）．
∴
AEH
F
= （两直线平行，内错角相等）．
（2）∵AB
DF
∥
，
∴
40
CDF
B
= =
，
∵1
2
180
1
2
CDF
++
=
=
，
，
∴1
2
70
= =
，
∵
25
2
180
F
F
DEF
=
++
=
，
，
∴
180
25
70
85
DEF
=
−
−
=
．
13．（24-25 八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形ABCD是任意四边形，AC 与BD交点O．
求证：1 (
)
2 AB
BC
CD
DA
AC
BD
+
+
+
+
．
证明：在
OAD
△
中有OA OD
AD
+
>
在
OAB
△
中有________
AB
，
在ODC
中有________．
在________中有________，
∴OA OB OA OD OD OC
OC
OB
AB
BC
CD
DA
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
即：________，
即：1 (
)
2 AB
BC
CD
DA
AC
BD
+
+
+
+
【答案】OA OB
+
；OC
OD
CD
+
；OBC；OC
OB
BC
+
；(
)
2 AC
BD
AB
BC
CD
DA
+
+
+
+
【分析】本题主要考查三角形三边的数量关系，根据三角形两边之和大于第三边即可求解．
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109 /
【详解】解：在
OAB
△
中有OA OB
AB
+
，
在
OAD
△
中有OA OD
AD
+
>
，
在ODC
中有OD
OC
CD
+
，
在
OBC
△
中有OB
OC
BC
+
，
∴OA OB
OA OD
OD
OC
OB
OC
AB
AD
CD
BC
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，
即2(
)
AC
BD
AB
BC
CD
DA
+
+
+
+
，
∴
1 (
)
2
AC
BD
AB
BC
CD
DA
+
+
+
+
．
14．（23-24 七年级下·甘肃武威·期末）已知直线AB
CD
∥
，E 是直线AB 上一点，点O，F 是平面内两点，
且满足EO
FO
⊥
．
(1)如图①，点F 在直线AB 上，点O 在直线EF 的上方，延长OF 与CD交于点G，若
25
OEF
=
，求
OGC
∠
的度数；
(2)如图②，点O 在直线AB 上，且位于点E 右侧，点F 位于直线AB 与CD之间，过点F 作FG
EF
⊥
交直
线CD于点G．求证：
=
EFO
FGD
．
【答案】(1)65
(2)证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，（1）根据平行线的性质可得
=
AFO
OGC
，再根
据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据平行线的性质可得
=
OEF
EFQ
，
=
FGD
QFG
，再根据
= 90
EFQ
QFG
+
，利用等量代
换即可得证．
【详解】（1）解：∵AB
CD
∥
，
∴
=
AFO
OGC
，
∵
= 90
=180
90
25 = 65
AFO
OEF
−
−
−
，
∴
= 65
OGC
．
（2）解：如图②，作QF
AB
CD
∥
∥
，
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∴
=
OEF
EFQ
，
=
FGD
QFG
，
∵FG
EF
⊥
，
∴
= 90
EFQ
QFG
+
，
∴
= 90
OEF
FGD
+
，
又∵
90
OEF
EFO
+
=
∠
∠
，
∴
=
EFO
FGD
．
15．（23-24 七年级下·山西晋城·期中）综合与实践
学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究．
问题：已知如图1，△ABC．
(1)问题解决：若
:
:
3:2:1
BAC
ABC
ACB
=
，则
ACB =
∠
；
(2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E 是AB 上一点，过E 作EF
BC
∥
交AC 于点F，作
ABC
的
平分线，交EF 于点D，若
128
BED
=
，求
ABD
的度数；
(3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接AD，且AD
BD
⊥
，
1
2
DAF
BAD
=
，
试猜想
DAF
与
C
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30
(2)26
(3)
DAF
C
=
，理由见解析
【分析】（1）设
ACB
x
=
，则
2
ABC
x
=
，
3
BAC
x
=
，根据三角形内角和定理列方程求解即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义可得
EDB
DBC
=
，ABD
DBC
=
，从而可得
ABD
EDB
=
，
利用三角形内角和定理求解即可；
（3）由（2）可得，
=
= 26
ABD
EDB
，
52
ABC
=
，由三角形内角和定理可得
64
BAD
=
，由
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1
2
DAF
BAD
=
，可得
32
DAF
=
，
96
BAC
=
，利用三角形内角和定理求得
= 32
ACB
，再根据平行
线的性质可得
C
AFE
=
，即可求解．
【详解】（1）解：
:
:
3:2:1
BAC
ABC
ACB
=
，
设
ACB
x
=
，则
2
ABC
x
=
，
3
BAC
x
=
，
∴
2
3
180
x
x
x
+
+
=
，
∴
30
x =
，
故答案为：30；
（2）解：∵EF
BC
∥
，
∴
EDB
DBC
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
DBC
=
，
∴
ABD
EDB
=
，
∵
128
BED
=
，
∴2
=180
128 = 52
ABD
−
，
∴
26
ABD
=
；
（3）解：由（2）可得，
=
= 26
ABD
EDB
，
∴
2
52
ABC
ABD
=
=
，
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
180
90
26
64
BAD
=
−
−
=
，
∵
1
2
DAF
BAD
=
，
∴
2
= 3
BAD
BAC
，
32
DAF
=
，
∴
96
BAC
=
，
∴
=180
= 32
ACB
ABC
BAC
−
−
，
∵EF
BC
∥
，
∴
=
= 32
C
AFE
，
∴
DAF
C
=
．
16.（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为15，就称这两个角互为“幸福角”，其中一
个角叫做另一个角的“幸福角”．
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112 /
例如：
65
=
，
50
=
，
15
−
=
，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．
(1)已知1
和
2
互为“幸福角”，且1
2
，若1
和
2
互补，则1
=_______；
(2)如图1 所示，在
ABC
中，
90
ACB
=
，过点C 作AB 的平行线CM ，
ABC
的平分线BD分别交AC 、
CM 于D、E 两点．
①若
A
BEC
，且
A
和
BEC
互为“幸福角”，则
A
=________；
②如图2 所示，过点C 作AB 的垂线，垂足为F，BD
CF
、
相交于点N．若
DCN
与
CDN
互为“幸福角”，
求
A
的度数．
【答案】(1)97.5
(2)①40 ；②40或20
【分析】（1）根据题意得1
2
15
−=
①，1
2
180
+=
②，加减消元法求解即可；
（2）①设
BEC
=
，求得
2
2
ABC
ABD
=
=
，根据三角形内角和定理求得
2
90
A
+
=
，根据
A
和
BEC
互为“幸福角”，再列式计算即可求解；
②设
BEC
=
，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得
90
2
A
=
−
，
2
ACF
=
，
90
CDB
=
−
，再根据
DCN
与
CDN
互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵1
和
2
互为“幸福角”，且1
2
，
∴1
2
15
−=
①，
∵1
和
2
互补，
∴1
2
180
+=
②，
+
①
②得，2 1 195
=
，
∴1
97.5
=
，
故答案为：97.5；
（2）解：①设
BEC
=
，
∵AB
CM
∥
，
∴
ABD
BEC
=
=
，
∵BD是
ABC
的平分线，
∴
2
2
ABC
ABD
=
=
，
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∵
90
ACB
=
，
∴
2
90
A
+
=
，
∵
A
和
BEC
互为“幸福角”，且
A
BEC
，
∴
15
A
−
=
，即
15
A
= −
，
∴
(
)
2
15
90
A
A
+
−
=
，
解得
40
A
=
；
②设
BEC
=
，同理
ABD
=
，
2
ABC
=
，
则
90
90
2
A
ABC
=
−
=
−
，
∵
90
ACB
=
，CF
AB
⊥
，
∴
90
2
ACF
A
ABC
=
−=
=
，
90
2
90
CDB
A
ABD
A
= +
= +
=
−
+
=
−
，
∵
DCN
与
CDN
互为“幸福角”，
分两种情况，
当
15
DCN
CDN
−
=
，
∴
(
)
2
90
15
−
−
=
，
解得
35
=
，
∴
90
2 35
20
A
=
−
=
；
当
15
CDN
DCN
−
=
，
∴(
)
90
2
15
−
−
=
，
解得
25
=
，
∴
90
2 25
40
A
=
−
=
；
综上，
A
的度数为40或20．
