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1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 1.1 探索勾股定理 勾股定理的认识 1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（ ） A．4 B．5 C．25 D．16 2．在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，若c＝5，则a2+b2+c2 的值为（ ） A．10 B．15 C．25 D．50 3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C 到AB 的 距离为 4.8 ． 4．已知△ABC 中，∠C＝90°，a，b 为直角边，c 为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 5．在△ABC 中，∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm．求AB 的长． 利用勾股定理求面积 6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为（ ） 题型01 题型02 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 7．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、 S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（ ） A．8 B．14 C．16 D．18 8．如图，在△ABC 中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC 的面积． 9．如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别 按下列要求画图． （1）在图1 中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数． （2）在图2 中，画出一个面积为10 的正方形． 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 10．求下列各图形着色部分的面积： （1）着色部分是正方形； （2）着色部分是长方形； （3）着色部分是半圆． 勾股定理的实际应用 11．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3 米处折断，树顶端落在离树底部4 米处，则树折断之前有 （ ） A．5 米 B．7 米 C．8 米 D．10 米 12．如图，要从电线杆离地面5 米的点C 处向地面拉一根长为13 米的钢缆，则地面钢缆固定点A 到电线杆 底部B 的距离为（ ） A．12 米 B．11 米 C．10 米 D．9 米 13．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适 与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1 丈的正方形（即AB＝1 丈＝ 10 尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB 的部分为1 尺（即EF＝1 尺）．如果把这根芦苇 拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A 处，则芦苇GE 的长是（ ） 题型03 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 A．10 尺 B．12 尺 C．13 尺 D．14 尺 14．如图，一根竹子高1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4 尺处．折断处离地面的高度是 4.2 尺．（1 丈＝10 尺） 15．如图，一条笔直的铁路AB 的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB 的距离分别为15km 和10km，分 别过C，D 两点作AB 的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB 上建一个土特产收 购站E，使得C，D 两村到E 站的距离相等，则E 站到M 点的距离为 ． 16．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D． （1）若∠BCD＝27°，求∠A 的度数． （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求CD 的长度． 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 17．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE＝4 米，高AE＝3 米，且AE⊥BE，长AD＝10 米，棚的斜面 用矩形玻璃ABCD 遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD 的面积． 18．如图，在一个直角三角形休闲广场的直角处设计一块四分之一圆形花坛，若圆形的半径为r 米，广场一 直角边长为2a 米，另一直角边长为b 米． （1）列式表示广场空地的面积（用含π 的式子表示）； （2）若a＝150 米，b＝50 米，r＝20 米，求广场空地的面积（π 取3.14）． 19．新情境如图，有一辆卡车沿笔直公路由点M 向点N 匀速行驶，点P 为一栋居民楼，且点P 与点M，N 的距离分别为150m 和200m，MN＝250m，已知卡车的行驶速度为30km/h，卡车周围130m 以内为受噪 声影响区域．则居民楼P 是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 1．如图，分别以Rt△ABC 的三边为边作正方形，再以FD 为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE 为边作两个 小正方形的面积分别是1、3，以AB 为边的正方形面积为2，则图中5 个正方形的面积总和是（ ） A．5 B．3 C．16 D．6 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E 为对角线 BD 上任意一点，连接AE，CE．若AB＝5，BC＝3，则AE2﹣CE2 等于（ ） A．7 B．9 C．16 D．25 3．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为a， b（a＞b），设小正方形的面积为S1，大正方形面积为S2． （1）用含有a，b 的代数式分别表示：S1＝ ，S2＝ ；（结果化简） （2）若S1＝16，S2＝136，求a+b 的长． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 4．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三 角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正 方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2 的值． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑 块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体 C 的升降． 实验初始状态如图1 所示，物体C 静止在直轨道上，物体C 到定滑轮A 的垂直距离是8dm，AB+BC＝ 16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C 升高7dm，求滑块B 向左滑动的距离． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 1．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数 学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的 直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4 × 1 2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2，由 此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE 与Rt△EBC 按如图所示位 置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A， B，H 在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA 路封闭，学校决定在操场边新建取水点H 并修新 路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24 米，HB＝18 米，求新路CH 比原路CA 少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC 时，CH⊥AB，AC＝15 米，BC＝18 米，AB＝21 米，求AH 的 长度．
