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1.1. 认识三角形（第1 课时）
题型一：三角形的识别与相关概念
1．（24-25 八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
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2 /
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D 在△ABC 中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC 是 和 的边；
（3）如图，
ABD
△
的3 个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，
FAC
是 的外角．
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别
是 ；
（2）
BGE
△
的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ．
题型二：三角形的个数问题
1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC 中，
90
ABC
=
，BD
AC
⊥
于点D ，DE
AB
∥
交BC 于点E ，
则图中的直角三角形共有（ ）
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3 /
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，以点A 为顶点的三角形有 个．
3．（24-25 七年级上·山东济南·期末）如图，直线l 经过A，B，C，D，E 五点，点P 是直线l 外一点，连接
PA PB
PC
PD
PE
，
，
，
，
，则共有 个三角形．
4．（23-24 八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC 的BC 边上取三个点D ，E ，F ，连接AD，AE ，AF ，
则BC 边上有 条线段，以 A 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．
5．（24-25 七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（ ）个三角形．
6．（2024 八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题：
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4 /
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个
三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n 个图形中有 个三角形（用含n 的代数式表示结论）．
题型三：对三角形进行分类
1．（24-25 七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
2.（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC 中，若
2
2
A
B
C
= = ，则△ABC 是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
3.（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
4．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”
分别为（ ）
A．等边三角形，等腰直角三角形
B．等腰直角三角形，钝角三角形
C．等边三角形，钝角三角形
D．锐角三角形，等边三角形
5．（24-25 八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC 是锐角三角形的是（ ）
A．
90
A
B
=
−
B．
20
A
B
B
C
−=−
=
C．
2
3
A
B
C
= =
D．
88
A
B
+=
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三
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角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
题型四：判断是否能构成三角形
1．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．1，3，5
C．15，7，7
D．6，8，10
2．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm ，3cm
B．3cm ，2cm ，6cm
C．6cm，5cm，10cm
D．6cm，9cm，2cm
3．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
A．2，
2
a+
，
3(
0)
a
a
+
B．3 厘米，8 厘米，10 厘米
C．三条线段之比为1:2:3
D．6 厘米，6 厘米，6 厘米
4．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长5cm、11cm 的两根木棒首尾相接，钉
成一个三角形的是（ ）
A．5cm
B．6cm
C．11cm
D．16cm
5．
（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，A 、B 为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得
16
OA=
米，
12
OB =
米，A 、B 间的距离可能是（ ）
A．25 米
B．30米
C．35米
D．40 米
6．（24-25 八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c 满足
(
)
2
5
5
10
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
．
(1)求a，b，c 的值；
(2)试问：以a，b，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
题型五：确定第三边的取值范围
1．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，m ，若它们能构成三角形，则奇
数m 的最大值是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
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2．（24-25 七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为2cm 和3cm ，它的第三边长是偶
数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 cm．
3．（24-25 八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且a ，b ，c 均为整数．
(1)若
3
a = ，
5
b =
，求边长c 的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若c 为偶数，求△ABC 的周长．
4．
（24-25 八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b 满足
2
(
5)
8
0
a
b
−
+
−
=
，
这个三角形的最长边为c ．
(1)求c 的取值范围：
(2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长．
5．（23-24 八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，DE
BC
∥
交AC 于点
3
2
E
AD
DE
=
=
，
，
．
(1)若AE 的长为奇数，求AE 的长度；
(2)若
130
50
BDE
A
=
=
，
，求
ACB
的度数．
题型六：利用三角形的三边关系化简
1．（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
−
+
−
+
−
−
−−−
+
；
(2)若a，b，c 满足
(
)
2
0
b
c
a
c
−
+
−
=
，试判断△ABC 的形状．
2．（24-25 七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为1，4，a，化简：
2
1
6
a
a
a
−
−
−+
−
．
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3．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为a
b
c
，，．
(1)化简：a
b
c
b
c
a
a
b
c
−
−
+
−−
+
+
−
；
(2)若
2
5
a
b
=
=
，
，第三边c 的长为奇数，判断△ABC 的形状．
4．（24-25 七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 都是整数．
(1)若
2
a =
，
5
b =
，且c 为奇数，求△ABC 的周长．
(2)化简：|
|
|
|
a
b
c
b
c
a
−+
+
−−
．
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）△ABC 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简
1
a
b
c
a
b
c
a
b
+
+
−
−
−
+
+
+ ；
(2)若a
b
+
为整数，c 为整数，且满足(
)
2
8
1
64
c
a
b
−
+
+
+
=
，求△ABC 的周长．
题型七：与平行线有关的内角和问题
1．（24-25 七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若
1
30
=
，则
2
的度数为（ ）
A．100
B．110
C．120
D．130
2．（24-25 七年级上·河南南阳·期末）如图，直线a
b
，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC
b
⊥
，
垂足为C ．若
'
1
44 17
=
，则
2
=（ ）．
A．
'
46 43
B．
'
45 43
C．
'
45 83
D．
'
44 17
3．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在△ABC 中，
70
C
=
，直线DE 经过点A 且DE
BC
∥
，若
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8 /
30
DAB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
4．
（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线a
b
，直线AC 分别与直线a 、b 交于点B 、C ，CD
AC
⊥
交直线a 于点D ，
45
A
=
，则
2
的度数为（ ）
A．45
B．30
C．60
D．75
5．
（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G 是BC 上一点，过点G 作
,
GE
AB GF
CD
∥
∥
，
若
123
A
D
+
=
，则
EGF
= °．
6．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）已知如图，DC
EG
∥
，
40
C
=
，
70
A
=
，则
AFG
的度数为 ．
题型八：与角平分线有关的内角和问题
1．（2025·河南信阳·三模）如图，Rt
ABC
△
中，
50
B
=
，
90
C
=
，线段AD是
CAB
的平分线，
ADB
的度数为（ ）
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A．80
B．100
C．110
D．150
2．
（2025·四川南充·三模）如图，△ABC 中，BD平分
ABC
，AD
BD
⊥
．
20
DAC
=
，
38
C
=
．则
ABD
的度数为（ ）．
A． 28
B．29
C．31
D．32
3．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）如图，在ABC
中，
62
A
=
，
74
B
=
，CD是△ABC 的角平分
线，点E 在AC 上，且DE
BC
∥
，
EDC
的度数为（ ）
A．22
B．24
C．23
D．44
4．（23-24 七年级下·四川德阳·期末）如图，AB
CD
∥
，
1
4
EAF
EAB
=
，
1
4
ECF
ECD
=
，则
AFC
=
AEC
．
5．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，BE 是
ABD
的平分线，CF 是
ACD
的平分线，BE 与
CF 交于G 若
140
BDC
=
，
100
BGC
=
，则
A
的度数为 ．
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6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，
36 ,
B
BAC
=
与
BCA
的平分线相交于点O，
则
AOC
= ．
7．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC 中，CD
AB
⊥
于D
CE
，
是
ACB
的平分线，
20
A
=
，
=60
B
，则
ECD
的度数 ．
8．
（24-25 八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在△ABC 中，ABC
与
ACB
的平分线交于点P，若
40
A
=
，
则
BPC
= ．
题型九：与三角板有关的内角和问题
1．（2025·安徽滁州·三模）将一个含45的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若1 110
=
，
则
2
的度数是（ ）
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A．60
B．65
C．70
D．75
2．（2025·安徽安庆·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，其中AB
EF
∥
，
(
)
90
30
45
C
D
B
E
=
=
=
=
，
，
，则1
的度数为（ ）
A．100
B．105
C．110
D．120
3．（24-25 七年级下·山西大同·期中）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点D 在BC 边上，
90
B
EDF
=
=
，
45
A
=
，
30
F
=
．若BC
EF
∥
，则
CED
的度数为（ ）
A．15
B．10
C．5
D．20
4．（2025·安徽铜陵·三模）一等腰三角板和一直尺如图放置，若1
60
=
，则
2
的度数是（ ）
A．105
B．110
C．115
D．120
5．（2025·江苏盐城·二模）如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了1
23
=
，则
2
为
度．
6．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中
的大小为 ．
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7．（2025·安徽合肥·一模）如图，两个三角板如图放置，其中
90
BAC
DAE
=
=
，
30
B
=
，
45
D
=
，
若BC
DE
∥
，则
CAE
的度数为 ．
题型十：三角形内角和中相关求解
1．（24-25 七年级下·上海黄浦·期中）已知△ABC 中，
:
:
2:3:5
A
B
C
=
，如果按角分类，那么△ABC 是
三角形．
2．（24-25 七年级下·上海·期中）在△ABC 中，
31
A
=
，
52
C
=
，则△ABC 是 三角形（填“锐
角”、“直角”或“钝角”）．
3．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）△ABC 中，如果
A
是
B
的两倍，且
C
比
A
大30，那么△ABC
是 三角形．（按角分类）
4．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）在△ABC 中，若
1
1
3
5
A
B
C
=
=
，则△ABC 的最大角与最小角
的度数差为 ．
5．（24-25 七年级下·山东济南·期中）在△ABC 中，若
A
B
C
=
+
，则△ABC 一定是 三角形．
6．（24-25 七年级下·福建三明·期中）在△ABC 中，
30
BAC
=
，
60
ABC
=
，点D 是AB 上一个动点，
当CD取最小值时，
ACD
= ．
7．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4 倍多15，
则较小锐角的度数为 ．
题型十一：三角形折叠中角度问题
1．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，将△ABC 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在
点O 处，则1
2
+的度数为（ ）
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13 /
A．180
B．160
C．128
D．108
2．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC 中，
90
ACB
=
，沿CD折叠
CBD
△
，使点B 恰好落在
AC 边上的点E 处2，若
21
A
=
，则
BDC
等于（ ）
A．42
B．63
C．66
D．76
3．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知
1
2
100
+ =
，则
A
的度数为（ ）
A．80
B．100
C．50
D．以上都不对
4．（24-25 八年级上·江苏·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，点E，F 分别为AB
AC
，
上一点，
将△ABC 沿直线EF 翻折至同一平面内，点A 落在点A处，EA，FA分别交BC 边于点M，N．若
80
BEA
=
，
则
CFA
的度数为（ ）
A．100
B．110
C．115
D．120
5．（2025·山东青岛·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，
58
A
=
，D ，E 分别在BC ，AC 上，将CDE
沿DE 折叠得到△FDE，且EF
CB
∥
，则
DEF
的度数为 ．
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6．（24-25 七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点O
P
、分别在长方形纸片ABCD的BC
AD
、
边上，OP 与
BC 所夹的锐角
1
50
=
，将纸片沿OP 折叠得到图2，点C 落到点C处；点Q 在AD边上，沿OQ 进行第二
次折叠得到图3，点的对称点B恰好落在OC上，则QO 与QP 的夹角
2
的度数为 ．
7．（2025·广东东莞·三模）如图，在△ABC 中，
85
ACB
=
，
55
B
=
，D 是AB 上一点，将ACD
沿CD
翻折后得到ECD
，边CE 交AB 于点F ．若
EDF
E
=，则
DFC
= ．
题型十二：三角形内角和定理的实际应用
1．
（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，DE 与地面AB 平行．若
120 ,
60
DEF
ABD
=
=
，
则
ACB =
∠
（ ）
A．50
B．60
C．65
D．70
2．（24-25 七年级下·广东江门·期中）如图，
AOB
的一边OA为平面镜，在OB 上有一点E ，从点E 射出一
束光线经OA上一点D反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，且
ODE
与
ADC
相等，若
37
AOB
=
，则
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15 /
DEB
的度数是（ ）
A．74
B．75
C．84
D．106
3．（24-25 九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，平面镜与水平面的夹角
110
=
，一束光线照射到平面镜
后反射，人射光线与平面镜的夹角
40
=
，则反射光线与水平面的夹角的度数为（ ）
A．70
B．50
C．30
D．10
4．（2025·重庆·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举
足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG
CD
∥
，
74
BCD =
∠
．
44
B
=
，则
BAG
的度数为（ ）
A．26
B．30
C．34
D．40
5．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智
能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便
地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若AB
FG
∥
，ED
BC
∥
，
1
43
=
，
2
67
=
，则
3
的度数为（ ）
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16 /
A．43
B．67
C．70
D．80
6．（2025 七年级下·河南·专题练习）跨学科试题·物理 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其
折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P，点F 为焦点．若1 160
=
，2
30
=
，则
3
的大小为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．65
7．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A 处观察到船只B 在灯塔的北偏西38方向上，船只C 在灯塔
的北偏东22方向上，船只B 上的人观察到船只C 在他的南偏东78方向上，则
ACB
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
题型十三：直角三角形两锐角互余
1．（2025·湖北荆州·三模）在Rt
ABC
△
中，
50 ,
B
CD
=
平分
ACB
，则1
等于（ ）
A．10
B．20
C．25
D．30
2．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线a
b
，AB
AC
⊥
，若
2
35
=
，则1
=
3．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC 中，
80
ABC
=
，
40
ACB
=
，AE 平分
BAC
，AD
是BC 边上高，则
DAE
的度数是 ．
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17 /
4．
（24-25 八年级上·河北保定·期末）如图，BD是
ABC
的角平分线，AD
BD
⊥
，垂足为D ，若
20
DAC
=
，
38
C
=
，则
BAD
的大小为 ．
5．
（24-25 八年级上·山东日照·期末）如图，△ABC 中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于D ，
36
BCD
=
，
70
CEA
=
，
则
EAB
= °．
6．（23-24 七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5 倍，则这个锐角的
度数为 度．
题型一：因式分解与三角形三边关系的应用
1．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若
2
2
4
2
5
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，求a ，b 的值．
解：∵
2
2
4
2
5
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
4
4
2
1
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
1
0
a
b
−
+
−
=
．
则a =______，b = ______．
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18 /
（2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC 的三边长x ，y ，z 都是正整数，且满足
2
2
6
2
10
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，求△ABC 的周长．
2．（24-25 八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m 、n 的值．
解：∵
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
∴(
)
(
)
2
2
4
0
m
n
n
−
+
−
=
，
∴(
)
2
0
m
n
−
=
，(
)
2
4
0
n −
=
，
∴
4
n =
，
4
m =
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
+
+ =
，求xy的值；
(2)已知a 、b 、c 分别为
ABC
的三边长，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，若c 是△ABC 的最大边长，且c
为奇数，求△ABC 的周长．
3．（24-25 九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，求m 与n 的值．
解：∵
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
−
+
−
+
=
，
∴(
) (
)
2
2
2
2
4
4
0
m
mn
n
n
n
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
2
0
m
n
n
−
+
−
=
，
∴(
)
2
0
m
n
−
=
，(
)
2
2
0
n −
=
，
∴
2
m =
，
2
n =
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
−
+
−
+
=
，求x 与y 的值．
(2)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足
2
2
2
8
17
0
a
a
b
b
−
+
−
+
=
，求△ABC 的周长．
4．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，求m 和n 的值
解：∵
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
−
+
=
，
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19 /
∴
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
0
m
n
n
+
+
−
=
，
∴
0
m
n
+
=
，
3
0
n−= ，
∴
3
m = −，
3
n = ．
问题：
(1)若
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
+
−
+
+
=
，求xy的值．
(2)已知a，b，c 是△ABC 的三边长，满足
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范
围．
5．（24-25 八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：
2
2
2
4
a
ab
b
−
−
+
(
)
2
2
2
4
a
ab
b
=
−
+
−
（分成两组）
(
)
2
2
2
a
b
=
−
−
（直接运用公式）
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
=
−
+
−
−
乙：
2
a
ab
a
b
−
−
+
(
) (
)
2
a
ab
a
b
=
−
−
−
（分成两组）
(
) (
)
a a
b
a
b
=
−
−
−
（提公因式）
(
)(
)
1
a
b
a
=
−
−
．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式
2
2
9
6
16
x
xy
y
−
+
−
；
(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．
①若满足若
2
2
2
0
ac
bc
a
ab
b
−
+
−
+
=
，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
②若满足
2
2
12
8
52
a
b
a
b
+
=
+
−
，求c 的范围．
6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项
式”．例如多项式
2
2
3
x
x
+
+ 可做如下变形：
2
2
2
2
3
2
1
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ +
=
+
+
，
(
)
2
1
0
x +
，
(
)
2
1
2
2
x +
+
，
即
2
2
3
x
x
+
+ 的值恒为非负数，且当
1
x= −时，多项式
2
2
3
x
x
+
+ 有最小值，最小值是2．
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20 /
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是________；
（1）
2
1
m + ；（2）
2
16
m −
；（3）
2
4
3
m
m
+
+
．
(2)试证明多项式
2
2
2
8
6
23
m
m
n
n
−
+
−
+
是“和美多项式”，并求出它的最小值；
(3)已知a
b
c
，，是△ABC 的三边长（三边不相等），
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是△ABC 中最长边的长，则
c 的取值范围为____________．
题型二：三边关系中相关证明
1．（24-25 七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形ABCD内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离
的和OA OB
OC
OD
+
+
+
最小，并说出你的理由．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E 是△ABC 内的两点，问AB
AC
BD
DE
EC
+
+
+
成立
吗？请说明理由．
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC 中，D 是BA上一点，则
2
AB
CD
AC
BC
+
+
成立
吗？说明理由．
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21 /
4．（23-24 七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形ABCD中，O是AC 与BD的交点，试说明：AC
与BD的和小于四边形ABCD的周长．
5．（2024 八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC 中，BC 大于其它两边，D
E
、分别在AB
AC
、
上，
连接DE ．求证：DE
BC
．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）如图，P 为△ABC 中任意一点．证明：AB
BC
CA
PA
PB
PC
+
+
+
+
．
题型三：三角形内角和综合应用（解答题）
1．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）在△ABC 中，过点C 作CD
AB
⊥
交其延长线于点D ，作
DAC
的平
分线交CD于点E ，过点E 作EF
AB
∥
交BC 于点F 、交AC 于点G ．
(1)求证：2
90
AEG
ACD
+
=
．
(2)连接AF ，若AF 平分
BAE
，
34
DCA
=
，求
AFE
的度数．
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22 /
2．
（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图在△ABC 中，
24
ABC
=
，
118
ACB
=
，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
于点E，求
DAE
的度数．
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD
BC
⊥
于点D ，点E 是AB 上一点，
⊥
EF
BC 于点F ；点G 是AC 上一点，连接DG ，且1
2
= ．
(1)求证：AB
DG
∥
；
(2)若
70
BAC
=
，DG 是
ADC
△
的角平分线，求
C
的度数．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC 中，
70
A
=
，
30
ADE
=
，BD是
ABC
的平分线，
且
ABD
EDB
=
．
(1)求证：ED
BC
∥
；
(2)求
EDB
的度数．
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23 /
5．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC 中，AE 平分
BAC
，交BC 于点E ，AD为BC
边上的高．
(1)若
40
B
=
，
60
C
=
，求
BAE
的度数；
(2)在（1）的条件下，求
EAD
的度数；
(3)若
C
B
，直接写出
EAD
、
B
、
C
的关系．
6．
（24-25 七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
于D ，AE 平分
BAC
．
(1)若
50
B
=
，求
DAE
的度数．
(2)若
6,
8
10
AB
AC
BC
=
=
=
,
，求AD的长．
题型四：三角形内角和中用参数表示角度
1．（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC 中，AD是高，AE 是角平分线，若
B
=
，C
=
，则
DAE
=
（ ）
A．
2
−
B．2
a
−
C．90
2
−
+
D．90
2
+
−
2．
（23-24 七年级下·广西河池·期末）如图，直线AB
MN
∥
，线段AN 和线段BM 垂直于点Q，若
65
ABM
=
，
则
ANM
的度数是（ ）
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24 /
A．25
B．27
C．28
D．30
3．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，AB
CD
∥
，
∥
FC
AD ，AD平分
BAE
，FG 平分
EFC
交AD
于点G ，已知
100
E
=
，
D
=
，则
EFG
的度数为（ ）
A．100
2
−
B．3
2
C．80
2
+
D．100
2
−
4．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC 中，点O为
ABC
和
ACB
的角平分线的交点，连接
,
,
OA OB OC ，作△AOB 的一条角平分线AD．若
BAC
=
，则1
2
+的度数为（ ）
A．
3
90
4
+
B．
1
120
2
+
C．160
D．
1
180
4
−
5．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，已知AB
CD
∥
，P 为直线AB ，CD外一点，BF 平分
ABP
，DE
平分
CDP
，BF 的反向延长线交DE 于点E，若
FED
=
，用表示
P
的度数为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．180
−
D．360
2
−
6．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC 中，
52 ,
A
ABC
=
与
ACB
的角平分线交于
1
1
,
D
ABD
与
1
ACD
的角平分线交于点
2
2
,
D
ABD 与
2
ACD
的角平分线交于点
3
D ，依此类推，
1
−
n
ABD
与
1
−
n
ACD
的角平分线交于点
n
D ，则
n
BD C 的度数是（ ）．（用含n 的式子表示）
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25 /
A．
52
90
2n
+
B．
1
52
90
2n−
+
C．
128
52
2n
+
D．
1
128
52
2n−
+
7．（24-25 八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，AD平分
BAC
交BC 于点D，
交AC 边上的高BE于点F，若
C
=
，则
BFD
=（ ）
A．
B．
22.5
+
C．
22.5
2
+
D．
45
2
+
题型五：三角形内角和中需分情况讨论题型
1．（23-24 七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC 中，
56
A
=
，
46
C
=
，D 是线段AC 上的一
个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C 落在同一平面内的点C处，当C D
平行于三角形ABC 的
边时，
CDB
的大小为（ ）
A．118或67
B．118
C．65
D．118或65
2．
（24-25 八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形ABC 中，
60 ,
20
A
B
=
=
，点D 在AB 边上，连接CD，
若ACD
为直角三角形，则
BCD
的度数为（ ）
A．70
B．30
C．70或10
D．70或30
3．（24-25 八年级上·山东菏泽·期中）△ABC 中，
40
A
=
，高BD和高CE 所在直线交于O，则
BOC
的
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26 /
大小为（ ）
A．40或140
B．50或130
C．40
D．50
4．（24-25 七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称
此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为48，则这个三角形中最大的内角度数
为 ．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在△ABC 中，
40
B
=
，若从顶点A 作高线AD和角平分线AE ，AD与AE
的夹角为5，则C 的度数为 ．
6．
（24-25 七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β 是另外一个内角的1
2 时，我们称此三角形为“友
好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为48，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数
为 ．
题型六：三角形内角和综合之多结论问题
1．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，DC
AB AE
EF
⊥
∥
,
，E 在BC 上，过E 作EC
DC
⊥
，EG 平
分∠FEC，ED平分
AEC
．若
180
EAD
BAD
+
=
，
3
EDA
CEG
=
，则下列结论：①
2
EAB
FEG
=
；
②
45
AED
GEF
=
+
；③
135
4
EAD
GEC
=
−
；④
30
EAB
=
，其中正确的是（ ）个
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④
2．
（24-25 七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板
(
)
,
90 ,
30 ,
0
90
CDE
CED
CDE
AOB
=
=
=
，
将三角板CDE 如图所示放置，使顶点C 落在OB 边上，经过点D 作直线MN
OB
∥
交OA边于点M ，且点M
在点D的左侧．若
MDC
的平分线DF 交OB 边于点F ，以下结论中
①当
60
=
且DF
OA
∥
时，CE
OA
∥
；
②当CE
OA
∥
时，
1
150
2
OFD
+
=
；
③当
150
OFD
+
=
时，DE
OA
⊥
．正确的有（ ）
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27 /
A．②
B．①②
C．①③
D．①②③
3．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC =
，
10
BC =
，AD是
高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④
2.4
AD =
，以上说法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD EH ，且FE平分
AFG
，过
点F 作FG
EH
⊥
于点G，且
2
=
AFG
D，则下列结论：①
30
D
=
；②
2
80
D
EHC
+
=
；③FD
GF
⊥
；
④FH 平分
GFD
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知A ，B ，E ，G 四点共线，B ，M ，C ，D 四点共线，
A ，H ，C ，F 四点共线，GF
AB
⊥
，1
2
= ，B
AGH
=
．则下列结论：①GH
BC
∥
；
D
F
=
②
：
HE
③
平分
AHG
∠
；
HE
AB
⊥
④
．其中结论正确的有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
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28 /
6．
（24-25 七年级下·天津和平·阶段练习）如图，△ABC 的角平分线CD，BE 相交于F，
90
A
=
，EG
BC
∥
，
且CG
EG
⊥
于G，下列结论：①
2
CEG
DCB
=
；②CA 平分
BCG
；③
ADC
GCD
=
；④
2
CGE
DFB
=
，
其中正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（24-25 七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为180．如图，
,
,
G C D 三点在同一条直线
上，,
,
,
F A E B 四点在同一条直线上，CD
AB
∥
， CB 平分
ACD
，CF 平分
ACG
,
40
BAC
=
, 1
2
= ．下
列结论：①CB
CF
⊥
；②
1
70
=
∠
；③
2 4
ACE
= ；④
3
2 4
= ．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
题型七：三角形内角和中与角平分线相关问题
1．（24-25 七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】
如图①，射线BP 在
ABC
的内部，若
1
ABP
ABC
n
=
，则射线BP叫做
ABC
的邻AB “n 分线”．
【问题解决】
(1)如图②，在△ABC 中，点P 是
ABC
的邻AB “2 分线”与
ACB
的邻AC “2 分线”的交点，若
60
A
=
，
则
BPC
= ___________；
(2)如图③，在△ABC 中，点P 是
ABC
的邻AB “4 分线”与
ACB
的邻AC “4 分线”的交点，且BP
CP
⊥
，
求
A
的度数；
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(3)如图④，在△ABC 中，点D 在BC 边的延长线上，连接AD，且
2
3
ADB
ACB
=
，
ABC
的邻AB “3
分线”与AD交于点E ，若
BAC
=
，直接写出
BED
的大小（用含的式子表示）．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE
BC
∥
，交AC 于点E ，
DP平分
ADE
，交
ACB
的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF
的平分线CQ 与DP相交于点Q ．
(1)若
50
A
=
，
60
B
=
，则
DPC
=______，
Q
______；
(2)若
50
A
=
，当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若
PCQ
△
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的
A
的度数______．
3．
（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）
（1）如图①，BD平分
ABC
，CD平分
ACB
，试确定
A
和
D
的数量关系；
（2）如图②，在△ABC 中，BE 、BF 把
ABC
三等分，CE
CF
、
把
ACB
三等分，试猜想
A
和
E
的
数量关系，并给出证明；
（3）在图②的基础上把△ABC 变成四边形MNCB ，如图③，BE
BF
、
把
MBC
三等分，CE
CF
、
把
NCB
三等分，请直接写出
F
和
M
N
+
的数量关系．
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3．（24-25 七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，AB
CD
∥
．
(1)如图1，若EF
FG
⊥
垂足为点F，
50
FGD
=
，则
=
AEF
______．
(2)如图2，
BEF
FGD
、
的角平分线交于点H，若
60
EFG
=
，则
H
=_____．
(3)如图2，BEF
FGD
、
的角平分线交于点H，若
BEF
x
= ，DGF
y
=
，则
H
=_____．（用x ，y 的
代数式表示）．
(4)如图3，在图2 的基础上，EP、GP 分别平分
BEH
和
DGH
，若
F
=
，则
P
= _____．（用含有
的代数式表示）
4．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动：
(1)【问题情境】
如图①，已知
,
,
BAC
B
C
是
ABC
的三个内角．
求证：
180
BAC
B
C
++
=
．小明过点A 作DE
BC
∥
，请完善小明的证明过程；
(2)【尝试运用】
如图②，在（1）的条件下，分别作
EAC
和
ABC
的角平分线AF 和BF ，若
80
BAC
=
，求
AFB
的度
数；
(3)【拓展探索】
如图③，在图①的基础上，分别作
EAC
和
ABC
的四等分线AF 和BF ，即
1
1
,
4
4
FAC
EAC
ABF
ABC
=
=
，若
90
AFB
=
，求
BAC
的度数．
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5．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）新定义：在△ABC 中，若存在最大内角是最小内角度数的n 倍（n 为
大于1 的正整数），则称△ABC 为“n 倍角三角形”．例如，在△ABC 中，若
90
A
=
，
60
B
=
，则
30
C
=
，
因为
A
最大，
C
最小，且
3
A
C
=
，所以△ABC 为“3 倍角三角形”．
(1)在DEF
中，若
40
E
=
，
60
F
=
，则
DEF
为“________倍角三角形”．
(2)如图，在△ABC 中，
36
C
=
，
BAC
ABC
、
的角平分线相交于点D ，若
ABD
△
为“6 倍角三角形”，
请求出
ABD
的度数．
1．（23-24 七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志
总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，AB
CD
∥
，
80
ABE
CDF
=
=
，
48
BEG
DFG
=
=
，则图中
EGF
的度数是（ ）
A．78
B．74
C．64
D．58
2．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC 的三边分别为, ,
a b c，其中,a b 满足
(
)
2
14
2
0
a
b
a
b
+
−
+
−+
=
，则最长边c 的取值范围是（ ）
A．6
8
c
B．2
14
c
C．8
14
c
D．2
8
c
3．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中
90
ABC
BDE
=
=
，
45
A
=
，
30
E
=
，
若C 是DE 上一点且AC
BD
∥
，则
ABE
的大小为（ ）
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A．50
B．60
C．75
D．80
4．（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC 中，AE 是△ABC 的角平分线，F 是AE 上一动点，
FD
BC
⊥
于点D，
60
BAC
=
，
70
C
=
，则
DFE
的度数为（ ）
A．15
B．8
C．10
D．12
5．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，ABC
ACB
BD
CD
AD
=
，
、
、
分别平分△ABC 的内角
ABC
、
外角
ACF
、外角
EAC
．下列结论中，不正确的结论是（ ）
A．
1
2
ADB
ABC
=
B．
1
2
BDC
BAC
=
C．
1
2
CDB
ABC
=
D．
1
90
2
ADC
ABC
+
=
6．
（24-25 八年级上·天津·阶段练习）已知a 、b 、c 是ABC
的三边长，则a
b
c
b
a
c
c
a
b
+
−
+
−
−
−
−
+
= ( )
A．3a
b
c
−−
B．
3
a
b
c
+ −
C．
3
a
b
c
−+
−
D．
3
a
b
c
−
+
7．（24-25 七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫
作“倍长三角形”．若△ABC 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2 和3，则第三条边的长为 ．
8．（23-24 七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形纸片ABC 中，
100
A
=
，
40
B
=
，将纸片的角
折叠，使点C 落在△ABC 内，若
30
=
，则的度数是（ ）
小学
初中
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A．30
B．40
C．50
D．60
9．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）已知a ，b ，c 为三角形的三边，化简a
b
c
b
a
c
+
−
−
−
−
的结果是
10．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，在△ABC 中，
70
BAC
=
，BC
AC
，点D 在边BC 上，将
ADC
△
沿着AD翻折，点C 落在点E 处，若DE 恰好与△ABC 的一条边平行，若
C
m
=
，则
DAC
的度数
为 °．（结果用含m 的代数式表示）
11．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形ABC 中，
40
CAB
=
，
30
B
=
，点D 在BC 边上，
AD平分
CAB
，在AD上取一点E ，若三角形ACE 为直角三角形，则
BCE
的度数为 ．
12．（24-25 七年级下·江苏镇江·期中）如图，1
2
= ，
180
DEH
EHG
+
=
，
C
A
= ．
(1)试说明：
AEH
F
= ；
(2)若
40
B
=
，
25
F
=
，求
DEF
的度数．
13．（24-25 八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形ABCD是任意四边形，AC 与BD交点O．
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求证：1 (
)
2 AB
BC
CD
DA
AC
BD
+
+
+
+
．
证明：在
OAD
△
中有OA OD
AD
+
>
在
OAB
△
中有________
AB
，
在ODC
中有________．
在________中有________，
∴OA OB OA OD OD OC
OC
OB
AB
BC
CD
DA
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
即：________，
即：1 (
)
2 AB
BC
CD
DA
AC
BD
+
+
+
+
14．（23-24 七年级下·甘肃武威·期末）已知直线AB
CD
∥
，E 是直线AB 上一点，点O，F 是平面内两点，
且满足EO
FO
⊥
．
(1)如图①，点F 在直线AB 上，点O 在直线EF 的上方，延长OF 与CD交于点G，若
25
OEF
=
，求
OGC
∠
的度数；
(2)如图②，点O 在直线AB 上，且位于点E 右侧，点F 位于直线AB 与CD之间，过点F 作FG
EF
⊥
交直
线CD于点G．求证：
=
EFO
FGD
．
15．（23-24 七年级下·山西晋城·期中）综合与实践
学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究．
问题：已知如图1，△ABC．
(1)问题解决：若
:
:
3:2:1
BAC
ABC
ACB
=
，则
ACB =
∠
；
(2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E 是AB 上一点，过E 作EF
BC
∥
交AC 于点F，作
ABC
的
平分线，交EF 于点D，若
128
BED
=
，求
ABD
的度数；
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(3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接AD，且AD
BD
⊥
，
1
2
DAF
BAD
=
，
试猜想
DAF
与
C
之间的数量关系，并说明理由．
16.（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为15，就称这两个角互为“幸福角”，其中一
个角叫做另一个角的“幸福角”．
例如：
65
=
，
50
=
，
15
−
=
，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．
(1)已知1
和
2
互为“幸福角”，且1
2
，若1
和
2
互补，则1
=_______；
(2)如图1 所示，在
ABC
中，
90
ACB
=
，过点C 作AB 的平行线CM ，
ABC
的平分线BD分别交AC 、
CM 于D、E 两点．
①若
A
BEC
，且
A
和
BEC
互为“幸福角”，则
A
=________；
②如图2 所示，过点C 作AB 的垂线，垂足为F，BD
CF
、
相交于点N．若
DCN
与
CDN
互为“幸福角”，
求
A
的度数．
