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1.4 全等三角形
题型一：全等图形的判断
1．（24-25 八年级上·江西上饶·期中）2024 年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40 枚金牌，金牌数与美国
队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根
据全等形的定义即可得．
【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意；
B、不是全等形，则此项不符合题意；
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2 /
C、是全等形，则此项符合题意；
D、不是全等形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25 八年级上·江苏南京·期中）下图是2024 年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是
“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可．
【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，
故选：D．
3．（2024 八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可
得答案．
【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：B．
4．（24-25 八年级上·山西运城·期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
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3 /
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形的定义，全等图形：大小相等且形状相同的图形，据此逐个选项分析，即可
作答．
【详解】解：A、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意；
B、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意；
C、这两幅图大小相等且形状相同，故该选项符合题意；
D、这两幅图大小相等但形状不同，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25 八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等形的识别，根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【详解】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：C．
6．（24-25 八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
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4 /
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可．
【详解】观察发现：B，C，D 选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
A 选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·河南周口·阶段练习）下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选∶B．
题型二：利用全等三角形性质判断语句是否正确
1．（24-25 七年级下·重庆·期中）有下列说法：
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①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的定义全等三角形的周长，平行线的性质．根据平行线的性质和定义，全
等三角形的周长，逐项进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原说法正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
④全等三角形的周长相等，原说法正确；
⑤面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，原说法正确．
综上分析可知，正确的有①③④⑥，共4 个．
故选：C．
2．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的个数有（ ）
①同位角相等；
②三角形的三条高线的交于三角形内部一点；
③全等三角形的面积一定相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了几何的相关概念，掌握同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分
线交点等知识是关键．
根据同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分线交点等知识进行判定即可．
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【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误；
②锐角三角形的三条高线不一定交于三角形内部一点，故原说法错误；
③全等三角形的面积一定相等，正确；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
综上所述，正确的有2 个，
故选：A ．
3．（24-25 七年级下·辽宁阜新·期中）下列说法正确的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高线交于一点
【答案】A
【分析】本题考查平行公理，垂线的性质、全等三角形的判定、三角形的高的定义，熟练掌握相关性质是
解题的关键．根据平行公理，垂线的性质、全等三角形的判定、三角形的高的定义进行判断即可．
【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不正确，不符合题意；
C. 面积相等的两个三角形不一定全等，故该选项不正确，不符合题意；
D. 三角形的三条高线所在的直线交于一点，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．（24-25 八年级上·广东河源·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．全等三角形对应边上的中线相等
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定
正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故A 选项不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题，故B 选项不符合题意；
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C、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，原命题是假命题，故C 选项不符合题意；
D、全等三角形对应边上的中线相等，原命题是真命题，故D 选项符合题意；
故选：D．
5．（24-25 八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
【答案】C
【分析】此题考查真命题的定义：正确的命题是真命题，根据全等三角形的性质，对顶角的定义，平行线
的性质及三角形外角性质分别判断即可．
【详解】解：A.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不是真命题；
B.相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，原命题不是真命题；
C.两直线平行，内错角相等，是真命题；
D.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题不是真命题；
故选：C．
题型三：利用全等三角形的性质求角度的大小
1．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）如图，
OAD
OBC
△
≌△
，且
120
AEB
=
，
25
D
=
，则
AOB
的度
数是（ ）
A．65
B．70
C．75
D．80
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解
题关键．
利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵
OAD
OBC
△
≌△
，
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8 /
∴
25
C
D
=
=
，
∵
120
AEB
=
，
25
D
=
，
∴
120
60
BED
AEC
AEB
=
=
−
=
∠
∠
∠
，
∴
60
25
85
DAO
C
AEC
= +
=
+
=
∠
∠
，
∴
180
180
25
85
70
AOB
D
DAO
=
−
−
=
−
−
=
．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，已知
ACB
ACB
△
≌△
，
35
ACA
=
，则
BCB
的度数为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．55
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得
B CA
BCA
=
，进
而可求出
BCB
的度数．
【详解】解：∵
ACB
ACB
△
≌△
，
∴
B CA
BCA
=
，
∴
B CA
BCA
BCA
BCA
−
=
−
，
∴
35
BCB
ACA
=
=
．
故选C．
3．（2025·山东济南·二模）如图，
ABC
CDE
△
≌△
，若
35
D
=
，
45
ACB
=
，则
DCE
的度数为（ ）
A．35
B．45
C．80
D．100
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由
全等三角形的对应角相等得到
45
E
ACB
=
=
，再由三角形内角和定理即可求出
DCE
的度数．
【详解】解：∵
ABC
CDE
△
≌△
，
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9 /
∴
45
E
ACB
=
=
，
∵
35
D
=
，
∴
180
45
35
100
DCE
=
−
−
=
，
故选：D ．
4．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，已知
ABC
DEF
≌△
△
，那么
D
的度数是（ ）
A．45
B．65
C．70
D．115
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的
性质可得
70
D
A
= =
，即可得出答案．
【详解】解：∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴
70
D
A
= =
，
故选：C．
5．
（24-25 七年级下·四川达州·阶段练习）如图，点B，C，D 在同一直线上．若
ABC
CDE
△
△
≌
，且
48
B
=
，
则
ACE
= ．
【答案】48/48 度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等
是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得
A
DCE
=
，由三角形外角的性质可得
ACD
B
A
ACE
DCE
= +=
+
，最
后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵
ABC
CDE
△
△
≌
，
∴
A
DCE
=
，
∵
ACD
是
ABC
的外角，
∴
ACD
B
A
ACE
DCE
= +=
+
，
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10 /
∴
48
ACE
B
= =
．
故答案为：48．
6．（2025·广东深圳·二模）如图，已知ABC
A BC
≌
，
50
A
=
，
100
C
=
，则
A BC
的度数为 度．
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由ABC
A BC
≌
，得
50
A
=
，再结合
三角形内角和进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ABC
A BC
≌
，
∴
50
A
A
= =
，
∵
100
C
=
，
∴
180
100
50
30
A BC
=
−
−
=
，
故答案为：30．
7．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知
AEC
ADB
△
≌△
，如果
2
25
=
，
80
AGE
=
，那么
D
=
．
【答案】75
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到
D
E
CAE
BAD
=
=
∠
∠，∠
∠
，再证明1
2
25
= =
，据此利用三角形内角和定理求出
E
的度数即可得到
答案．
【详解】解：∵
AEC
ADB
△
≌△
，
∴
D
E
CAE
BAD
=
=
∠
∠，∠
∠
，
∴
CAE
BAC
BAD
BAC
−
=
−
，
∴1
2
25
= =
，
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又∵
80
AGE
=
，
∴
180
1
75
D
E
AGE
=
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
故答案为：75．
8．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，在ABC
中，
90
ABC
=
，AB
BC
=
，
45
A
=
，点D 在BC 上
BDA
BFC
≌
，若
100
BFC
=
．则
ABF
= ．
【答案】125
【分析】本题考查求角度，涉及全等的性质、三角形内角和定理等知识，先由两个三角形全等得到
45
BCF
A
= =
，在
BCF
中，由三角形内角和定理可得
FBC
，最后数形结合表示出
ABF
ABC
FBC
=
+
求解即可得到答案．熟记全等的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解
决问题的关键．
【详解】解：
BDA
BFC
≌
，
45
A
=
，
45
BCF
A
= =
，
在
BCF
中，
100
BFC
=
，
45
BCF
=
，则由三角形内角和定理可得
180
100
45
35
FBC
=
−
−
=
，
90
ABC
=
，
90
35
125
ABF
ABC
FBC
=
+
=
+
=
，
故答案为：125．
题型四：利用全等三角形的性质求线段的长度
1．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，ABD
ACE
≌
△
△
，若
6
AB =
，
3
AE = ，则CD的长度为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
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【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到
6,
3
AB
AC
AD
AE
=
=
=
=
，由AC
AD
−
即可求解．
【详解】解：ABD
ACE
≌
，
∴
6,
3
AB
AC
AD
AE
=
=
=
=
，
∴
6 3
3
CD
AC
AD
=
−
= −= ，
故选：D ．
2．（24-25 七年级下·重庆北碚·期中）如图，点B ，E 在线段AD上，
ABC
DEF
≌△
△
，若
9
AD =
，
6
BE =
，
则AB 的长为（ ）
A．7
B．7.5
C．8
D．8.5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出AB
DE
=
，进而得出AE
BD
=
，
结合已知条件可得出
6
9
AE
AE
+ +
= ，求出AE ，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴AB
DE
=
，
∴AE
BD
=
，
∵
9
AD =
，
6
BE =
，
∴
6
9
AE
AE
+ +
= ，
∴
1.5
AE =
，
∴
7.5
AB
AE
BE
=
+
=
，
故选：B．
3．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，
,
AC
BE DE
BE
⊥
⊥
，若
,
8,
3
ABC
BDE AC
DE
=
=
≌
，则CE 等
于（ ）
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13 /
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合
,
8,
3
ABC
BDE AC
DE
=
=
≌
，得
8
3
BE
CB
=
=
,
，再结合线
段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
,
8,
3
ABC
BDE AC
DE
=
=
≌
，
∴
8
3
BE
AC
CB
ED
=
=
=
=
,
，
∴
8 3
5
CE = −=
，
故选：C
4．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC 中，CD
AB
⊥
于点D ，E 是CD上的一点．若
BDE
CDA
△
≌△
，
14
AB =
，
10
AC =
，则△BDE 的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形
的性质可得DE
DA
=
，BE
CA
=
，即可得BDE
的周长BD
DE
BE
BD
DA CA
BA CA
+
+
=
+
+
=
+
，即可求解．
【详解】解：∵BDE
CDA
≌
，
∴DE
DA
=
，BE
CA
=
，
∴△BDE 的周长BD
DE
BE
BD
DA CA
BA CA
+
+
=
+
+
=
+
，
∵
14
AB =
，
10
AC =
，
∴△BDE 的周长为
14 10
24
BA CA
+
=
+
=
．
故答案为：24．
5．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点A 、B 、C 的对应点分别是点D 、E 、B ，
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点E 在AB 边上，DE 与AC 交于点F ．如果
8
AE = ，
12
BC =
，则线段DE 的长是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据ABC
DEB
≌
，得出
12
BE
BC
=
=
，DE
AB
=
，根据
8
AE = ，
得出
12 8
20
AB
AE
BE
=
+
=
+ =
，即可得出答案．
【详解】解：∵ABC
DEB
≌
，
∴
12
BE
BC
=
=
，DE
AB
=
，
∵
8
AE = ，
∴
12 8
20
AB
AE
BE
=
+
=
+ =
，
∴
20
DE =
．
故答案为：20．
6．（24-25 八年级上·安徽合肥·期中）如图，
ABC
DEF
≌△
△
，且点B
E
、
在CF 上．若
8,
4
CF
BE
=
=
，则CE
的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据三角形全等的性质，
对应边相等可得BC
EF
=
，则有BC
BE
EF
BE
−
=
−
，即CE
BF
=
，由此即可求解．
【详解】解：∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴BC
EF
=
，
∴BC
BE
EF
BE
−
=
−
，即CE
BF
=
，
∴
2
BF
BE
CE
CE
BE
CF
+
+
=
+
=
，
∵
8,
4
CF
BE
=
=
∴2
8 4
4
CE
CF
BE
=
−
= −
=
，
∴
2
BF
CE
=
=
，
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故答案为：2 ．
7．（24-25 九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式
的出入相补法．如图所示，在△ABC 中，分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接DE ，过点A 作AF
DE
⊥
，
垂足为F ，将△ABC 分割后拼接成长方形BCHG．已知
6
DE = ，
3
AF =
，则
ABC
的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键．
由题意可知
ADF
BDG
≌
△
△
，
H
AEF
CE
≌
，于是可得AF
BG
=
，DF
DG
=
，AF
CH
=
，EF
EH
=
，进
而可得
3
BG
CH
AF
=
=
= ，
12
BC
GH
=
=
，然后根据△ABC 的面积=长方形BCHG面积即可得解．
【详解】解：由题意可知：
ADF
BDG
≌
△
△
，
H
AEF
CE
≌
，
AF
BG
=
，DF
DG
=
，AF
CH
=
，EF
EH
=
，△ABC 的面积=四边形BCHG面积
3
BG
CH
AF
=
=
= ，
2
12
GH
DG
DF
EF
EH
DE
=
+
+
+
=
=
四边形BCHG是长方形，
90
H
=
，
12
BC
GH
=
=
BCHG
12 3
36
ABC
S
S
BC BG
=
=
=
=
长方形
，
故答案为：36．
题型五：全等三角形与二元一次方程组的综合
1．
（23-24 八年级上·广西玉林·期中）已知△ABC 的三边长为3，5，7，△DEF 的三边长为5，2
3
x −，3
2
x −
，
若△ABC 与△DEF 全等，则x 等于
【答案】3
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可．
【详解】解：∵△ABC 的三边长为3，5，7，△DEF 的三边长为5，2
3
x −，3
2
x −
，若△ABC 与△DEF 全
等，
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16 /
∴当2
3
3
x−= 时，
3
x = ，则3
2
9
2
7
x−
= −
=
，符合题意；
当2
3
7
x −
=
时，
5
x = ，则3
2
15 2
13
3
x−
=
−
=
，不符合题意；
∴
3
x = ．
故答案为：3．
2．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）一个三角形三条边的长分别是8，11，16，另一个三角形三条边的长
分别是8，3
1
x + ，3
1
y −，其中y
x
，若这两个三角形全等，则xy的值是 ．
【答案】20
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【详解】解：∵两个三角形全等，
3
1
11,3
1
16
x
y
+ =
−=
或3
1
16,3
1
11
x
y
+ =
−=
，
解得：
10
17
,
3
3
x
y
=
=
或
5,
4
x
y
=
=
，
∵y
x
，
∴
5,
4
x
y
=
=
，
20
xy
=
，
故答案为：20．
3．（24-25 八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分
别是5，2
1
x + ，
1
y −，若这两个三角形全等，则x
y
+
的值是 ．
【答案】14 或12.5
【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相
等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等，分2
1
x + 与7 对应和
1
y −与7 对应两种情况计算，得到答案．
【详解】解∶两个三角形全等，
2
1
7
x
+ =
，
1
10
y −=
或2
1 10
x+ =
，
1
7
y −=
，
解得∶
3
x = ，
11
y =
或
4.5
x =
，
8
y =
，
14
x
y
+
=
或12.5．
故答案为∶14 或12.5．
4．
（24-25 八年级上·广东惠州·期中）已知△ABC 三边的长分别为5，7 ，9，△DEF 三边的长分别为x ，2
1
x−，
7 ，若这两个三角形全等，则x = ．
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【答案】5
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．利用全等的
性质列式计算即可．
【详解】解：∵
ABC
与DEF
全等，
∴
9
x =
或
5
x = ，
当
9
x =
时，2
1 17
5
x−=
，故
9
x =
不符合题意，
当
5
x = 时，2
1
9
x−=
，故
5
x = 符合题意，
故答案为：5．
5．（24-25 九年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条
边的长分别是5，2
1
x + ，3
1
x + ．若这两个三角形全等，则x 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，根据全等三角形的对应边相等即
可得到答案，熟练掌握全等三角形对应边相等是解决此题的关键．
【详解】解：两个三角形全等，
2
1
7
x
+ =
，3
1 10
x+ =
，
解得：
3
x = ，
故答案为：3．
6．（24-25 八年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的三条边长分别为6，5，x，另一个三角形的三条边长分
别为y，6，4，若这两个三角形全等，则
y
x
−
的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的性质，求代数式的算术平方根，根据全等三角形的对应边相等，可得x 和y
的值，代入
y
x
−
计算即可得出答案．
【详解】解：边长分别为6，5，x 的三角形和边长分别为y，6，4 的三角形全等，
4
x = ，
5
y =
，
5
4
1
y
x
−
=
−
= ，
故答案为：1．
题型六：全等三角形中性质综合
1．（24-25 七年级下·上海松江·期中）如图，ABC
DEB
≌
，顶点A、C 分别与顶点D、B 对应，点E 在边AB
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上，边DE 与边AC 相交于点F．
(1)若
10,
4
DE
BC
=
=
，求线段AE 的长；
(2)若
20 ,
60
D
C
=
=
，求
DBC
的度数
【答案】(1)6
(2)40
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对
应角相等是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得
10,
4
AB
DE
BE
BC
=
=
=
=
，再由AE
AB
BE
=
−
进行计算即可得到答案；
（2）由全等三角形的性质可得
20 ,
60
BAC
D
DBE
C
=
=
=
=
，再由三角形内角和定理可得
100
ABC
=
，最后由
DBC
ABC
DBE
=
−
进行计算即可．
【详解】（1）解：
,
10,
4
ABC
DEB DE
BC
=
=
≌
，
10,
4
AB
DE
BE
BC
=
=
=
=
，
6
AE
AB
BE
=
−
=
；
（2）解：
,
20 ,
60
ABC
DEB
D
C
=
=
≌
，
20 ,
60
BAC
D
DBE
C
=
=
=
=
，
180
180
20
60
100
ABC
A
C
=
−−
=
−
−
=
，
40
DBC
ABC
DBE
=
−
=
．
2．（24-25 七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知
,
ABD
CFD AD
BC
⊥
△
≌△
于D．
(1)判断CE 与AB 的位置关系，并说明理由．
(2)已知
7,
5
BC
AD
=
=
，求AF 的长．
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【答案】(1)CE
AB
⊥
，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线的定义得到
90
ADC
=
，由全等三角形的性质得到
DAB
DCF
=
，据此可利用三角形内
角和定理证明
90
AEF
CDF
=
=
，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得BD
FD
=
，
5
AD
DC
，从而求得
2
BD
FD
=
=
，即可求解．
【详解】（1）解：CE
AB
⊥
，理由如下：
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
∵ABD
CFD
≌
，
∴
DAB
DCF
=
，
又∵
AFE
CFD
=
，
180
AEF
AFE
EAF
DFC
DCF
CDF
+
+
=
+
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
90
AEF
CDF
=
=
，即CE
AB
⊥
。
（2）解：∵ABD
CFD
≌
，
∴BD
FD
=
，AD
DC
=
，
∵
7
BC =
，
5
AD
DC
，
∴
=
= 7 5 = 2
BD
BC
DC
−
−
，
∴
2
FD =
，
∴
=
= 5 2 = 3
AF
AD
FD
−
−
．
3．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，△ADC≌△AFB，连接BC ，BF 与CD交于点E ，AD BF
∥
，
25
DAB
=
，
75
FEC
=
．
(1)求
FAC
的度数；
(2)求
DAF
的度数．
【答案】(1)25
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20 /
(2)105
【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性
质是解题关键．
（1）先根据全等三角形的性质可得
DAC
FAB
=
，再根据角的和差可得
DAB
FAC
=
，由此即可得；
（2）先根据平行线的性质可得
25
ABF
DAB
=
=
，
75
D
FEC
=
=
，再根据全等三角形的性质可得
25
ACD
ABF
=
=
，然后根据三角形的内角和定理可得
80
DAC
=
，最后根据
DAF
DAC
FAC
=
+
求
解即可得．
【详解】（1）解：∵ADC
AFB
≌
，
∴
DAC
FAB
=
，
∴
DAC
BAC
FAB
BAC
−
=
−
，
∴
DAB
FAC
=
，
∵
25
DAB
=
，
∴
25
FAC
=
．
（2）解：∵AD BF
∥
，
25
DAB
=
，
75
FEC
=
，
∴
25
ABF
DAB
=
=
，
75
D
FEC
=
=
，
∵ADC
AFB
≌
，
∴
25
ACD
ABF
=
=
，
∴
180
80
DAC
D
ACD
=
−
−
=
，
由（1）已得：
25
FAC
=
，
∴
80
25
105
DAF
DAC
FAC
=
+
=
+
=
．
4．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，
ABC
EDF
△
≌△
，点A ，F ，C ，E 在一条直线上．
(1)求证：AF
CE
=
；
(2)连接AD．若
2
DAF
AFD
ADE
B
=
=
= ，求
E
的度数．
【答案】(1)见详解
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21 /
(2)36
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据
ABC
EDF
△
≌△
得出AC
EF
=
,根据AF
FC
CE
CF
+
=
+
，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出
B
EDF
=
，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：
ABC
EDF
△
≌△
，
AC
EF
=
，即AF
FC
CE
CF
+
=
+
，
AF
CE
=
；
（2）
ABC
EDF
△
≌△
，
B
EDF
=
，
2
DAF
AFD
ADE
B
=
=
=
，
2
ADE
EDF
=
，
DF
平分
ADE
，
1
2
ADF
ADE
=
，
设
ADF
x
= ，则
2
DAE
AFD
ADE
x
=
=
=
在
ADF
△
中，根据三角形内角和定理，得
2
2
180
x
x
x
+
+
=
，
36
E
=
5．（24-25 八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，
ABC
ADC
△
≌△
，
200
B
D
+
=
，
64
BAD
=
(1)求
BCA
的度数
(2)若
6
AB =
，
4
CD =
，求四边形ABCD的周长
【答案】(1)
48
BCA
=
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关
键．
（1）由全等三角形的性质得
,
B
D
BAC
DAC
=
=
，求出
100
B
D
=
=
∠
∠
，
32
BAC
DAC
=
=
，然后
根据三角形内角和即可求出
BCA
的度数．
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22 /
（2）由全等三角形的性质得
6
AD
AB
=
=
，
4
BC
CD
=
=
，然后根据周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
ABC
ADC
△
≌△
，
∴
,
B
D
BAC
DAC
=
=
．
∵
200
B
D
+
=
，
64
BAD
=
，
∴
100
B
D
=
=
∠
∠
，
32
BAC
DAC
=
=
，
∴
180
100
32
48
BCA
=
−
−
=
；
（2）解：∵
ABC
ADC
△
≌△
，
∴
6
AD
AB
=
=
，
4
BC
CD
=
=
，
∴四边形ABCD的周长
6
6
4
4
20
AD
AB
BC
CD
=
+
+
+
= + + +
=
．
6．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，已知△ABD≌△EBC，
3cm
AB =
，
4.5cm
BC =
，且点B 在线段AC
上．
(1)求DE 的长．
(2)求证：AC
BD
⊥
．
(3)猜想AD与CE 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
1.5cm
DE =
；
(2)证明见解析；
(3)直线AD与直线CE 垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1）根据全等三角形的性质得出
4.5cm
BD
BC
=
=
，
3cm
BE
AB
=
=
，然后通过线段和差即可求解；
（2 ）根据全等三角形的性质得出
ABD
EBC
=
， 然后由平角定义即可求证；
（3）延长CE 交AD于点F ，根据全等三角形的性质得出
D
C
=
，最后由三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵ABD
EBC
≌
，
∴
4.5cm
BD
BC
=
=
，
3cm
BE
AB
=
=
，
∴
(
)
1.5 cm
DE
BD
BE
=
−
=
；
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（2）证明：∵ABD
EBC
≌
，
∴
ABD
EBC
=
，
∵点B 在线段AC 上，
∴
180
ABD
EBC
+
=
∴
90
ABD
EBC
=
=
，
∴DB
AC
⊥
；
（3）解：直线AD与直线CE 垂直，理由：
如图，延长CE 交AD于点F ，
∵ABD
EBC
≌
，
∴
D
C
=
，
∵Rt
ABD
△
中，
90
A
D
+
=
，
∴
90
A
C
+
=
，
∴
90
AFC
=
，
∴CE
AD
⊥
．
7．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，点E 在边BC 上（不与点B ，C 重合），DE
与AB 交于点F ．
(1)若
110
CAD
=
，
30
BAE
=
，求
BAD
的度数；
(2)若
10
AD =
，
4.5
BE
CE
=
=
，求
ADF
△
与
BEF
△
的周长和；
【答案】(1)40
(2)33.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出
CAE
BAD
=
，然后利用角的和差关系求解即可；
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（2）利用全等三角形的性质可求出
10
AB
AD
=
=
，
9
BC
DE
=
=
，然后利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）解∶∵
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
BAC
DAE
=
，
∴
CAE
BAD
=
，
∵
110
CAD
=
，
30
BAE
=
，
∴
80
CAD
BAE
CAE
BAD
−
=
+
=
，
∴
40
CAE
BAD
=
=
；
（2）解：∵
10
AD =
，
4.5
BE
CE
=
=
，
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
10
AB
AD
=
=
，
9
BC
DE
BE
CE
=
=
+
=
，
ADF
△
与
BEF
△
的周长和为AD
DF
AF
BF
EF
BE
+
+
+
+
+
(
) (
)
AD
DF
EF
AF
BF
BE
=
+
+
+
+
+
AD
DE
AB
BE
=
+
+
+
10 9 10
4.5
=
+ +
+
33.5
=
．
8．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，连接AD、CE 交
于点F ，且△ABD≌△CFD．
(1)求证：
ADC
△
是等腰直角三角形；
(2)若
15
BCE
S
=
，
3
AEF
S
=
△
，求四边形BEFD的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可知
ADB
FDC
=
，AD
CD
=
，结合
180
ADB
FDC
+
=
，即可证明；
（2）根据题意可知
ABD
CDF
BCE
AEF
S
S
S
S
+
=
+
，再由全等三角形的性质可得到
9
ABD
CDF
S
S
=
=
，最后由四
边形BEFD的面积
ABD
AEF
S
S
=
−
即可求得答案．
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【详解】（1）证明：
ABD
CFD
△
≌△
，
ADB
FDC
=
，AD
CD
=
，
180
ADB
FDC
+
=
，
90
ADB
=
，
ADC
是等腰直角三角形；
（2）解：
15
BCE
S
=
△
，
3
AEF
S
=
△
，
15
3
18
ABD
CDF
BCE
AEF
S
S
S
S
+
=
+
=
+ =
，
ABD
CFD
△
≌△
，
1 18
9
2
ABD
CDF
S
S
=
=
=
，
四边形BEFD的面积
9
3
6
ABD
AEF
S
S
=
−
=
−=
．
题型一：全等三角形性质中动点问题（选填）
1．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，
4cm
AB =
，
3cm
AC
BD
=
=
，
BAC
ABD
=
，点P 在线
段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD上由点B 向点D 运动，当其中一点到达
终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使
ACP
△
与△BPQ 全等，则点Q
的运动速度为（ ）
A．1 cm / s
2
B．1cm / s
C．1 cm / s
2
或3 cm / s
2
D．1cm / s 或3 cm / s
2
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q 的运动速度是cm/ s
x
，有两种情况：①AP
BQ
AC
BP
=
=
，
；
②AP
BP
AC
BQ
=
=
，
，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q 的运动速度是cm/ s
x
，
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∵点P 的运动速度为1cm/s ，点Q 的运动速度为cm/ s
x
，它们运动的时间为st ，
又∵
4cm
3cm
AB
AC
BD
=
=
=
，
，
∴
(
)
cm
4
cm
cm
AP
t
BP
t
BQ
xt
=
=
−
=
，
，
，
∵
CAB
DBA
=
，
∴当
ACP
△
与
BPQ
全等时，有两种情况：
①AP
BQ
AC
BP
=
=
，
，
∴4
3
t
xt
t
=
−=
，
解得：
1
1
t
x
=
=
；
②AP
BP
AC
BQ
=
=
，
，
则：
4
3
t
t
xt
=
−
=
，
解得：
2
1.5
t
x
=
=
，
；
∴当
ACP
△
与
BPQ
全等时，点Q 的运动速度为1cm/s 或1.5cm/s ．
故选D．
2．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，
6cm
BC =
，
60
PBC
QCB
=
=
，点M 在线段CB 上以3cm/s 的
速度由点C 向点B 运动，同时，点N 在射线CQ 上以1cm/s 的速度运动，它们运动的时间为( )s
t
（当点M 运
动结束时，点N 运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M、N 运动到某处时，有△ABM 与
MCN
△
全等，
则此时AB 的长度为（ ）cm．
A．1 或3
2
B．2 或9
2
C．2 或3
2
D．1 或9
2
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质．
根据题意分两种全等情况：①
N
ABM
MC
△
≌
，②ABM
NCM
≌
，然后利用全等的性质求解即可
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【详解】解：①若
N
ABM
MC
△
≌
，则BM
CN
=
，AB
CM
=
，
∴
6
3
t
t
=
−
，
3
AB
t
=
，
解得：
1.5
t =
，
4.5cm
AB =
；
②若ABM
NCM
≌
，则BM
CM
=
，AB
CN
=
，
∴3
6 3
t
t
=
−
，AB
t
= ，
解得：
1
t = ，
1cm
AB =
∴AB 的长度为1cm或9 cm
2
．
故选：D．
3．（24-25 七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在△ABC 中，
90 ,
6cm,
8cm
ACB
AC
BC
=
=
=
，直线l 经
过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A
C
B
→
→
路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿
B
C
A
→
→
路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为2cm/s和3cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点
P 到达终点B 时计时结束，在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
⊥于点E ，QF
l
⊥于点F ，设运动时间为st ，
则△PEC 与△QFC 全等时，t 的值为 ．
【答案】2 或14
5 或6
【分析】本题考查全等三角形的性质，分
PEC
CFQ
△
≌△
，且点P 在AC 上、点Q 在BC 上运动，
PEC
QFC
△
≌△
，且点P 与点Q 重合，当
PEC
CFQ
△
≌△
，且点Q 在AC 上、点P 在BC 上运动三种情况进
行讨论求解即可．
【详解】解：∵
,
PE
l QF
l
⊥
⊥，
∴
90
PEC
QFC
=
=
，
∴PEC
与QFC
全等分三种情况讨论：
①如图①，当
PEC
CFQ
△
≌△
，且点P 在AC 上、点Q 在BC 上运动时，
PC
CQ
=
．
此时
2 cm,
3 cm
AP
t
BQ
t
=
=
，
∴6
2
8 3
t
t
−
= −
，
解得
2
t =
；
②如图②，当
PEC
QFC
△
≌△
，且点P 与点Q 重合时，
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PC
CQ
=
．
此时
(
)
2 cm,
3
8 cm
AP
t
CQ
t
=
=
−
，
∴6
2
3
8
t
t
−
=
−，
解得
14
5
t =
；
③当
PEC
CFQ
△
≌△
，且点Q 在AC 上、点P 在BC 上运动时，PC
CQ
=
．
此时
(
)
(
)
2
6 cm,
3
8 cm
PC
t
CQ
t
=
−
=
−
．
当点Q 未到达终点A 时，
2
6
3
8
t
t
−
=
−，
解得
2
t =
，
不符合题意，舍去．
当点Q 到达终点A 时，P 继续运动，如图③，
此时点Q 与点A 重合，
6cm
PC
CQ
AC
=
=
=
，
∴2
6
6
t −
=
，
解得
6
t =
．
综上所述，当t 的值为2 或14
5 或6 时，PEC
与QFC
全等．
故答案为：2 或14
5 或6
4．
（24-25 七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形ABCD的边长
16cm,
=12cm
AB
BC
=
，点E 在边AB 上，
=6cm
AE
．如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s的速度向点C 运动，同时，点Q 在线段CD上由点D
向点C 运动，那么当△BPE 与△CQP 全等时，运动时间t 的值为 ．
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【答案】1 或3
【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分
BPE
CQP
△
≌△
和
BPE
CPQ
≌
两种情况分别计算．
首先根据题意得到
(
)
10cm
2 cm
12
2
cm
BE
BP
t
PC
t
=
=
=
−
，
，
，然后分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵
16cm,
=12cm
AB
BC
=
，
=6cm
AE
∴
(
)
10cm
2 cm
12
2
cm
BE
BP
t
PC
t
=
=
=
−
，
，
，
当
BPE
CQP
△
≌△
时，则有BE
PC
=
，即10
12
2t
=
−
，
解得
1
t = ，
当BPE
CPQ
≌
时，则BP
PC
=
，即2
12
2
t
t
=
−
，
解得
3
t =
，
故答案为：1 或3．
5．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，
90 ,
8,
4
ACB
AC
BC
=
=
=
，动点P 从点A 出发（不含点
A），以2 个单位长度/秒的速度沿射线AC 运动，Q 为射线CB 上一动点，点P 的运动时间为t 秒，若以点P，
Q，C 为顶点的三角形与△ABC 全等，则t 的值为 ．
【答案】2 或6 或8
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分
ABC
PQC
△
≌△
，
ABC
QPC
△
≌△
，两种情况，根据
8
AC
PC
=
=
和
4
BC
PC
=
=
列方程求出t 值即可．
【详解】解：∵
8,
4
AC
BC
=
=
，
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∵
90
ACB
PCQ
=
=
，
∴当
ABC
PQC
△
≌△
时，
8
AC
PC
=
=
，
4
QC
BC
=
=
，
∴点
,
B Q 重合，点P 在点C 右侧，
此时，
2
8
PC
AP
AC
t
=
−
=
−，
∴2
8
8
t −=
，
解得：
8
t =
；
当
ABC
QPC
△
≌△
时，
4
BC
PC
=
=
，
当点P 在点C 左侧时，
此时，
8 2
PC
AC
AP
t
=
−
= −
，
∴8
2
4
t
−
=
，
解得：
2
t =
；
当点P 在点C 右侧时，
此时，
2
8
PC
AP
AC
t
=
−
=
−，
∴2
8
4
t −=
，
解得：
6
t =
；
综上：则t 的值为2 或6 或8时，
ABC
与以点P ，Q ，C 为顶点的三角形全等，
故答案为：2 或6 或8．
6．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知线段
60
AB =
米，射线AC
AB
⊥
于点A ，射线BD
AB
⊥
于B ，M
点从B 点向A 运动，每秒走2 米，N 点从B 点向D 运动，每秒走3 米，M 、N 同时从B 出发，若射线AC 上
有一点P ，使得某时刻
PAM
△
和
MBN
△
全等，则线段AP 的长度为 米．
【答案】45 或24/24 或45
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当Rt
Rt
APM
BNM
≌
；当Rt
Rt
AMP
BNM
≌
；根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，设运动时间为st ，则
2
BM
t
=
，
3
BN
t
=
，
①点M 是AB 中点，Rt
Rt
APM
BNM
≌
时，AM
BM
=
，AP
BN
=
，
∵
60m
AB =
，
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∴
( )
1
1
60
30 m
2
2
AM
BM
AB
=
=
=
=
，
∴
( )
30
15 s
2
t =
=
，
∴
(
)
3
3 15
45 m
AP
BN
t
=
=
=
=
；
②Rt
Rt
AMP
BNM
≌
时，AM
BN
=
，AP
BM
=
，
∴
60
BM
BN
+
=
，即2
3
60
t
t
+
=
，
解得，
12
t =
，
∴
(
)
2 12
24 m
AP
BM
=
=
=
；
综上所述，线段AP 的长度为45m或24m ，
故答案为：45 或24．
7．（24-25 八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线AM
AN
⊥
，AB 平分
MAN
，过点B 作BC
BA
⊥
交AN 于
点C ．动点D ，E 同时从点A 出发，其中动点E 以2cm / s的速度沿射线AN 运动，动点D 以1cm / s 的速度
在直线AM 上运动．已知
6cm
AC =
，设动点D ，E 的运动时间为( )s
t
．当动点D 在直线AM 上运动时，若
△ADB 与△BEC 全等，则t 的值为 ．
【答案】2 或6
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
分①当E 在线段AC 上时，
ADB
CEB
△
≌△
，②当E 在线段AC 上时，DAB
CEB
≌
，③当E 在线段AC
延长线上时，
ADB
CEB
△
≌△
，④当E 在线段AC 延长线上时，ADB
ECB
≌
四种情况，然后根据全等三
角形的性质即可求解．
【详解】解：∵BC
BA
⊥
，
∴
90
ABC
=
，
∵BA
BC
=
，
∴
45
BAC
BCA
=
=
，
∵ AM
AN
⊥
，AB 平分
MAN
，
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∴
45
BAD
BAC
BCE
=
=
=
，
∴①当E 在线段AC 上时，
ADB
CEB
△
≌△
，
∴
=
AD
CE ，
∵AD
t
= ，
6
2
CE
t
=
−
，
∴
6
2
t
t
=
−
， 解得：
( )
2 s
t =
，
②当E 在线段AC 上时，DAB
CEB
≌
，
∴
=
AD
CE ，
∵AD
t
= ，
6
2
CE
t
=
−
，
∴
6
2
t
t
=
−
， 解得：
( )
2 s
t =
，
③当E 在线段AC 延长线上时，
ADB
CEB
△
≌△
，
∴
=
AD
CE ，
∵AD
t
= ，
2
6
CE
t
=
−，
∴
2
6
t
t
=
−， 解得：
( )
6 s
t =
，
④当E 在线段AC 延长线上时，ADB
ECB
≌
，
∴
=
AD
CE ，
∵AD
t
= ，
2
6
CE
t
=
−，
∴
2
6
t
t
=
−， 解得：
( )
6 s
t =
，
∴若ADB
与BEC
全等，则t 的值为2 或6 ，
故答案为：2 或6 ．
题型二：全等三角形性质中完全平方问题
1．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1 可以得到
(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若
4
x
y
+
=
，
2
2
9
x
y
+
=
，求xy的值．
【类比应用】（2）若(
)
4
2
x
x
−
=
，则
(
)
2
2
4
x
x
+
−
= ．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（
90
AOB
COD
=
=
）按如图2 所示的方式放置，其中点
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A，O，D 在同一直线上，点B，O，C 也在同一直线上，连接AC ，BD．若
12
AD =
，
40
AOC
BOD
S
S
+
=
△
△
，
求一块直角三角板的面积．
（4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a 的大正方形，两块是边长
都为b 的小正方形，五块是长为a，宽为b 的全等小矩形，且a
b
．观察图形，分解因式
2
2
2
5
2
a
ab
b
+
+
= ．
【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4）(
)(
)
2
2
a
b
a
b
+
+
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公
式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解．
（2）将(
)
4
2
x
x
−
=
看成
2
ab =
，进而根据
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
，即可求解；
（3）设AO
CO
x
=
=
，BO
DO
y
=
=
，根据
2
2
1
1
40
2
2
AOC
BOD
S
S
x
y
+
=
+
=
△
△
可得
2
2
80
x
y
+
=
，而
(
)
2
2
2
2
(
)
64
xy
x
y
x
y
=
+
−
+
=
，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（4）结合图形由长方形的面积为(
)(
)
2
2
2
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
b
+
+
=
+
+
，即可得出结果．
【详解】解：（1）
4
x
y
+
=
(
)
2
2
2
2
16
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
=
又
2
2
9
x
y
+
=
2
7
xy
=
，
3.5
xy
=
；
（2）∵(
)
4
2
x
x
−
=
，则
(
)
2
2
4
x
x
+
−
= (
)
(
)
2
4
2
4
16
2 2
12
x
x
x
x
+
−
−
−
=
−
=
故答案为：12；
（3）∵两块直角三角板全等，
AO
CO
=
，BO
DO
=
，
90
AOB
COD
=
=
点A，O，D 在同一直线上，点B，O，C 也在同一直线上，
180
90
AOC
COD
=
−
=
，
90
BOD
AOC
=
=
．
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设AO
CO
x
=
=
，BO
DO
y
=
=
．
12
AD
AO
OD
x
y
=
+
=
+
=
，
又
2
2
1
1
40
2
2
AOC
BOD
S
S
x
y
+
=
+
=
△
△
，
2
2
80
x
y
+
=
，
(
)
2
2
2
2
(
)
64
xy
x
y
x
y
=
+
−
+
=
，
32
xy
=
，
1
1
16
2
2
AOB
S
OA OB
xy
=
=
=
△
，
答：一块直角三角板的面积为16．
（4）根据图形长方形的面积为：(
)(
)
2
2
2
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
b
+
+
=
+
+
，
则分解因式
(
)(
)
2
2
2
5
2
2
2
a
ab
b
a
b
a
b
+
+
=
+
+
．
2．（24-25 八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例
如图1 可以得到
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，请解答下列问题：
(1)若
2
2
4,
2
x
y
x
y
+
=
+
=
，求xy的值：
(2)填空：
①若(3
)
1
x
x
−
= ，则
2
2
(3
)
x
x
+
−
=______；
②若
2
2
(
3)(
4)
2,(
3)
(
4)
x
x
x
x
−
−
=
−
+
−
= ______；
(3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板(
)
90
AOB
COD
=
=
如图2 所示放置，其中
,
,
A O D 在一直
线上，连接
,
AC BD ．若
14,
64
AOC
BOD
AD
S
S
=
+
=
△
△
，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②5
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(3)17
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几
个变形是解本题的关键．
（1）把
4
x
y
+
=
，
2
2
2
x
y
+
=
代入(
)
2
2
2
2
,
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
−
−
，再代入求值即可；
②利用完全平方公式变形可得(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
2
2
2
3
4
3
4
2
3
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
−
+
−
−
，再求值即可；
（3）先证明
90
AOC
BOD
B
O
C
，，，
?
?
?
三点共线，△
≌△
AOB
COD ，可得OA
OC
OB
OD
=
=
，
，结合已
知条件可得
14
OA OD
+
=
，
2
2
1
1
64
2
2
AO
OD
+
=
，再利用
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA OD
OA
OD
?
+
-
+
，求解2ab，从
而可得答案．
【详解】（1）解：
4
x
y
+
=
，
2
2
2
x
y
+
=
，而(
)
2
2
2
2
,
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
2
4
2
2
,
xy
=
+
解得：
7
xy =
；
（2）解：①
3
3,
x
x
+ -
=
(
)
3
1
x
x
−
= ，
(
)
2
2
3
x
x
+
−
(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
x
x
=
+
−
−
−
9 2 1
7
= -
?
；
故答案为：7；
②
(
)
3
4
3
4
1
x
x
x
x
-
-
-
=
-
-
+
= ，(
)(
)
3
4
2
x
x
−
−
=
，
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
2
2
2
3
4
3
4
2
3
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
−
+
−
−
21
2 2
5
=
+
=
；
故答案为：5；
（3）解：
A
O
D
，，
三点共线，且
90 ,
AOB
COD
=
=
90
AOC
BOD
B
O
C
=
=
，，，
三点共线，
∵两块形状和大小完全相同的特制直角三角板(
)
90
AOB
COD
=
=
∴△
≌△
AOB
COD ，
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36 /
OA
OC
OB
OD
=
=
，
，
14
AD =
，
64
AOC
BOD
S
S
+
=
，
14
OA OD
+
=
，
2
2
1
1
64
2
2
AO
OD
+
=
，
2
2
128
OA
OD
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA
OD
OA
OD
=
+
−
+
，
2
14
128
68
=
−
=
，
34
OA OD
=
，
1
1
17
2
2
AOB
S
OA OB
OA OD
=
=
=
．
3．（24-25 八年级上·四川眉山·期末）如图1，将一个边长为a
b
+
的大正方形拆分为边长分别为a，b 的两个
小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式．
(1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________；
②如果
3
a
b
+
=
，
2
2
6
a
b
+
=
，则ab =_______；如果
3
a
b
+
=
，
2
ab =
，则
2
2
a
b
+
= _______；
(2)【类比应用】①若(
)(
)
3
8
3
x
x
−
−
=
，则(
)
(
)
2
2
3
8
x
x
−
+
−
= ______；
②若x 满足(
)
(
)
2
2
2025
2023
2024
x
x
−
+
−
=
，则(
)(
)
2025
2023
x
x
−
−
= _____；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（
90
AOB
COD
=
=
）如图2 所示放置，其中A，O，D 在一直
线上，连结
,
AC BD ．若
16
AD =
，
68
AOC
BOD
S
S
+
=
△
△
，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)①(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
；②3
2 ，5
(2)①31，②1010
(3)30
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方
公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
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37 /
（1）①根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积列出等式即可解答；②利用完
全平方公式(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
，再代入已知数据计算即可；
（2）①先求出(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
3
8
25
3
8
2
3
8
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
=
−
+
−
−
−
−
，根据(
)(
)
3
8
3
x
x
−
−
=
求出结果即
可；②同理①(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2025
2023
4
2025
2023
2 2025
2023
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
=
−
+
−
−
−
−
，根据
(
)
(
)
2
2
2025
2023
2024
x
x
−
+
−
=
求出结果即可；
（3）先证明
90 , ,
,
AOC
BOD
B O C
?
?
?
三点共线，△
≌△
AOB
COD ，可得
,
,
OA
OC OB
OD
=
=
结合已知条
件可得
2
2
1
1
16,
68
2
2
OA OD
AO
OD
+
=
+
=
，再利用
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA
OD
OA
OD
=
+
−
+
求出OA OD
，从而可
得答案．
【详解】（1）解：①根据题意：(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
+
=
+
+
+
=
+
+
；
②(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
，
若
3
a
b
+
=
，
2
2
6
a
b
+
=
，
23
6
2ab
=
+
，
3
2
ab =
；
若
3
a
b
+
=
，
2
ab =
，
2
2
2
3
2 2
a
b
=
+
+ ，
2
2
5
a
b
+
=
；
（2）解：①
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
3
8
25
3
8
2
3
8
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
=
−
+
−
−
−
−
，(
)(
)
3
8
3
x
x
−
−
=
，
(
)
(
)
2
2
3
8
25
2 3
31
x
x
−
+
−
=
+ =
；
②
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2025
2023
4
2025
2023
2 2025
2023
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
=
−
+
−
−
−
−
，
(
)
(
)
2
2
2025
2023
2024
x
x
−
+
−
=
，
(
)(
)
2024
4
2025
2023
1010
2
x
x
−
−
−
=
=
；
（3）解：
,
,
A O D
三点共线，且
90
AOB
COD
=
=
，
180
90
AOC
COD
=
−
=
，
∴
180
AOC
AOB
+
=
，
∴
,
,
B O C 三点共线，
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38 /
∴
90
BOD
AOC
=
=
，
AOB
COD
≌
，
,
OA
OC OB
OD
=
=
，
16
AD =
，
68
AOC
BOD
S
S
+
=
△
△
，
2
2
1
1
16,
68
2
2
OA OD
AO
OD
+
=
+
=
，
2
2
136
OA
OD
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA
OD
OA
OD
=
+
−
+
2
16
136
=
−
120
=
，
60
OA OD
=
，
1
1
30
2
2
AOB
S
OA OB
OA OD
=
=
=
，
即一块直角三角板的面积为30．
4．（24-25 八年级上·海南海口·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代
数恒等式．如图1 可以得到(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若
3
xy =
，
5
x
y
+
=
，直接写出
2
2
x
y
+
的值为 ；
(2)类比应用：若(
)
3
1
x
x
−
= ，则
(
)
2
2
3
x
x
+
−
= ；（直接写结果）
(3)知识迁移：两块全等的直角三角形，Rt
Rt
ABD
CBE
≌
，其中
90
ABD
CBE
=
=
．如图2 所示放置，其
中C，B，D 在一直线上，连接AC ，DE ，若
4
AE =
，
10
ABD
S
=
△
，求四边形ACDE 的面积S的大小．
【答案】(1)19
(2)7
(3)28
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【分析】本题考查了全等三角形的性质、完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据
(
)
2
2
2
2
x
y
x
y
xy
+
=
+
−
代入计算即可得；
（2）根据
(
)
3
3
x
x
+
−
=
和
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
−
−
代入计算即可得；
（3）先根据全等三角形的性质可得BD
BE
=
，AB
CB
=
，设
(
)
0
AB
CB
a a
=
=
，
(
)
0
BD
BE
b b
=
=
，从
而可得
4
a
b
−
=
，
20
ab =
，再根据四边形ACDE 的面积
(
)
2
2
1
2
ABC
BDE
S
S
S
a
b
=
+
=
+
，利用完全平方公式变
形运算即可得．
【详解】（1）解：∵
3
xy =
，
5
x
y
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
x
y
x
y
xy
+
=
+
−
2
5
2 3
=
−
19
=
，
故答案为：19．
（2）解：∵(
)
3
1
x
x
−
= ，
(
)
3
3
x
x
+
−
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
−
−
23
2 1
=
−
7
=
，
故答案为：7．
（3）解：∵Rt
Rt
ABD
CBE
≌
，
∴BD
BE
=
，AB
CB
=
，
设
(
)
0
AB
CB
a a
=
=
，
(
)
0
BD
BE
b b
=
=
，
∵
4
AE =
，AB
BE
AE
−
=
，
∴
4
a
b
−
=
，
∵
10
ABD
S
=
△
，
90
ABD
CBE
=
=
，
∴1
1
10
2
2
AB BD
ab
=
=
，即
20
ab =
，
∴四边形ACDE 的面积
ABC
BDE
S
S
S
=
+
1
1
2
2
AB BC
BD BE
=
+
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40 /
2
2
1
1
2
2
a
b
=
+
(
)
2
2
1
2 a
b
=
+
(
)
2
1
2
2
a
b
ab
=
−
+
(
)
2
1
4
2 20
2
=
+
28
=
，
所以四边形ACDE 的面积S的大小为28．
题型三：全等三角形中解答题压轴
1．（24-25 七年级下·四川成都·阶段练习）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
9cm
BC =
，
12cm
AC =
，
15cm
AB =
，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 停止，速度为3cm / s，
设运动时间为st ．
(1)如图①，当t = ____时，
APC
△
的面积等于△ABC 面积的一半；
(2)如图②，在△DEF 中，
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，D
A
= ．在
ABC
的边上，若另外有一个
动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好APQ
DEF
≌
，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)11
2 或19
2
(2) 29 cm / s
10
或7 cm / s
2
【分析】（1）根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运动的
时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，根据运动时间，分类解答即可．
（2）根据直角三角形的全等，分类解答即可．
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41 /
【详解】（1）解：根据题意，
1
54
2
ABC
S
AC BC
=
=
，动点的速度为3cm / s，设运动时间为st ，在AC 上运
动的时长为
( )
1
12
4 s
3
3
AC
t =
=
=
，在BC 上运动的时长为
( )
2
9
3 s
3
3
BC
t =
=
=
，在AB 上运动的时长为
( )
2
15
5 s
3
3
AB
t =
=
=
，
当0
4
t
时，点P 在AC 上运动，此时
APC
△
不存在；
当4<
7
t
时，点P 在BC 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，
(
)
3 cm
AP
t
=
，此时
(
)(
)
3
12
cm
CP
AP
AC
t
=
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于
ABC
面积的一半，
∴
(
)
1
1
1
·
12
3
12 =
54
2
2
2
AC CP
t
=
−
，
解得
( )
11 s
2
t =
；
当7<
12
t
时，点P 在AB 上运动，此时
APC
△
存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为
(
)
3 cm
t
，此时
(
)(
)
12 15
9
3
36
3
cm
AP
t
t
=
+
+
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于
ABC
面积的一半，
∴
1
2
AP
BP
AB
=
=
，
∴
15
36 3
2
t
−
=
,
解得
( )
19 s
2
t =
；
故当
( )
19 s
2
t =
或
( )
11 s
2
t =
时，
APC
△
的面积等于
ABC
面积的一半，
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故答案为：11
2 或19
2 ．
（2）解：当点P 在AC 上运动，点Q 在AD上运动，且满足APQ
DEF
≌
，
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动时间为6 =2s
3
，
∴动点Q 的运动速度为7 cm / s
2
；
当点P 在BC 上运动，点Q 在AB 上运动，不满足
D
A
= ，不存在；
当点P 在AB 上运动，点Q 在AC 上运动，满足
D
A
= ，存在；
∵
90
E
=
，
6cm
DE =
，
7cm
DF =
，
D
A
= ．
∴
6cm
AP
DE
=
=
，
7cm
AQ
DF
=
=
，
∵动点P 的速度为3cm / s，
∴动点P 的运动时间为36
6 =10s
3
−
，
∴动点Q 的运动时间为10s ，
点Q 的运动路程为
(
)
36
7
29 cm
−
=
，
∴动点Q 的运动速度为29 cm / s
10
；
综上所述，点Q 的速度为29 cm / s
10
或7 cm / s
2
．
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2．
（24-25 八年级上·江苏常州·阶段练习）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，
10cm
AB =
，
现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 停止，速度为2cm/s，设运动时
间为st ．
(1)如图①，当
2
t =
时，AP =_____cm．
(2)如图①，当t = ______s 时，
APC
△
的面积等于△ABC 面积的一半；
(3)如图②，在△DEF 中，
90
E
=
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
3cm
EF =
，
.
D
A
=
在△ABC 的边上，若
另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 停止.在两点运动过程中
的某一时刻，恰好
APQ
△
≌DEF
，求点Q 中的运动速度．
【答案】(1)4
(2)11
2 或19
2
(3)Q 运动的速度为5 cm/s
2
或8 cm/s
5
或40 cm/s
19
或19 cm/s
10
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握
全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当
2
t =
时，点P 在线段AC 上，根据点P 速度表示AP 的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P 在BC 上；②点P 在BA上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P
Q
、
所走的路程，进而可求出P 的运
动时间，即Q 的运动时间，再利用速度= 路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当
2s
t =
时，点P 在线段AC 上，
∵点P 速度为2cm s，
∴
2
4 cm
AP
t
=
= （
）．
故答案为：4 ；
（2）∵
6cm,
8cm
BC
AC
=
=
，
90
C
=
，
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∴
2
1
1 8 6
24cm
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
，
∵
APC
△
的面积等于
ABC
面积的一半，
∴
2
12cm
APC
S
=
．
①当点P 在BC 上时，
2
8
CP
t
=
−，
∴
(
)
1
1 8
2
8
12
2
2
APC
S
AC CP
t
=
=
−
=
，
11
2
t
=
．
②当点P 在AB 上时，
过点C 作CD
AB
⊥
于点D，
∵
90
C
=
，
6cm,
8cm
10cm
,
BC
AC
AB
=
=
=
，
∴1
1
2
2
=
CD AB
AC BC ，
∴
24
5
CD =
，
∵
24
2
AP
t
=
−
，
∴
(
)
1
1
24
24
2
12
2
2
5
APC
S
AP CD
t
=
=
−
=
，
19
2
t
=
．
故答案为：11s
2
或19 s
2
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45 /
（3）设点Q 的运动速度为cm/ s
x
，
①当点P 在AC 上，点Q 在AB 上，APQ
DEF
≌
时，
4cm
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
，
∴
(
)
5
5
4
2
2
x =
=
；
②当点P 在AC 上，点Q 在AB 上，APQ
DFE
≌
时，
5cm
4cm
AP
DF
AQ
DE
=
=
=
=
，
，
∴
(
)
8
4
5 2
5
x =
=
；
③当点P 在AB 上，点Q 在AC 上，AQP
DEF
≌
时，
5cm
4cm
AP
DF
AQ
DE
=
=
=
=
，
，
∴点P 的路程为6 8 10 5
19cm
+ +
−=
，点Q 的路程为6 8 10
4
20cm
+ +
−
=
，
∴
(
)
40
20
19
2
19
x =
=
；
④当点P 在AB 上，点Q 在AC 上，APQ
DEF
≌
时
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4cm
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
，
∴点P 的路程为6 8 10
4
20cm
+ +
−
=
，点Q 的路程为6 8 10 5
19cm
+ +
−=
，
∴
(
)
19
19
20
2
10
=
19
10
x =
．
∴Q 运动的速度为5 cm/s
2
或8 cm/s
5
或40 cm/s
19
或19 cm/s
10
3．
（24-25 八年级上·吉林长春·期中）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
9cm
BC =
，
12cm
AC =
，
15cm
AB =
，
现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 停止，速度为3cm s，设运动
时间为st ．
(1)如图①，当t = ______时，
APC
△
的面积等于△ABC 面积的三分之二；
(2)如图②，在DEF
中，
90
E
=
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．在
ABC
的边上，若另外有一个
动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好APQ
DEF
≌
，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)6s或26 s
3
(2)15cm/s
4
或93cm/s
32
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键．
（1）分两种情况，当点P 在CB 上时，
9 cm
2
CP =
， 得到点P 移动路程为18cm，移动时间为6s ；当点P
在BA上时，
5cm
PB =
， 得到得到点P 移动路程为26cm ，移动时间为26 s
3
；
（2）分两种情况讨论：当点P 在AC 上，当点P 在AB 上，分别画出图形进行求解即可．
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47 /
【详解】（1）解：当点P 在CB 上时，
∵
APC
△
的面积等于
ABC
面积的三分之二，
∴
6cm
2
3
CP
BC
=
=
，
∴点P 移动的距离为
(
)
12
6
18 cm
AC
CP
+
=
+
=
，
∴移动的时间为：
( )
18
3
6 s
=
；
当点P 在BA上时，
∵
APC
△
的面积等于
ABC
面积的三分之二；
∴
1
5cm
3
PB
AB
=
=
，
∴点P 移动的距离为
(
)
12
9
5
26 cm
AC
CB
BP
+
+
=
+
+
=
，
∴移动的时间为：26 s
3
；
故答案为：6s或26 s
3
；
（2）解：∵APQ
DEF
≌
，
∴对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；
①当点P 在AC 上，如图
1
−
②
所示：
此时，
4cm
AP =
，
5cm
AQ =
，
点Q 移动的速度为
(
)
(
)
15
5
4 3
cm / s
4
=
，
②当点P 在AB 上，如图
2
−
②
所示：
此时，
4cm
AP =
，
5cm
AQ =
，
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即，点P 移动的路程为
(
)
9 12 15
4
32 cm
+
+
−
=
，点Q 移动的路程为
(
)
9 12 15
5
31 cm
+
+
−
=
，
点Q 移动的速度为
(
)
(
)
93
31
32 3
cm / s
32
=
，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ
DEF
≌
，点Q 的运动速度为15 cm s
4
或93 cm s
32
．
4．（24-25 七年级上·海南儋州·期中）在Rt
ABC
△
中，
90
9cm
12cm
15cm
C
BC
AC
AB
=
=
=
=
，
，
，
，动点
P 从点A 出发，以3cm/s 的速度沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 停止，设运动时间为st ．
(1)如图1，当
3
t =
时，AP = cm，当4
7
t
时，CP = cm（用含t 的式子表示）；
(2)如图1，当t = s 时，△ABC 的周长被线段AP 平分为相等的两部分；
(3)如图1，若
APC
△
的面积等于△ABC 面积的一半，求t 的值；
(4)如图2，在△DEF 中，
90
4cm
5cm
E
DE
DF
D
A
=
=
=
=
，
，
，
．在△ABC 的边上，若另外有一个动
点Q，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 停止；在两点运动过程中的某一时刻，
恰好
APQ
△
和△DEF 全等，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)9，(
)
3
12
t −
(2)6
(3)
5.5
t =
或9.5
(4)点Q 的速度为15cm/s
4
或93cm/s
32
或12 cm/s
5
或96cm/s
31
【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类
讨论的思想求解，是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）根据题意，易得
1
2
ABC
AC
CP
C
+
=
，即点P 的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可；
（3）分点P 为BC 的中点和点P 为AB 的中点两种情况，进行求解即可；
（4）分APQ
DEF
≌
，APQ
DFE
≌
两种情况，再分点P 在AC 上和点P 在AB 上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当
3
t =
时，
3 3
9(cm)
AP =
=
；
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当4
7
t
时，此时点P 在边BC 上，
(
)
3
3
12 cm
CP
t
AC
t
=
−
=
−
；
故答案为：9，(
)
3
12
t −
；
（2）解：由题意，得：
1
2
ABC
AC
CP
C
+
=
，
∴
(
)
1
3
9 12 15
2
t =
+
+
，
解得：
6
t =
；
故答案为：6；
（3）解：①当点P 为BC 的中点时，AP 为
ABC
的中线，则：
1
2
APC
ABC
S
S
=
，
1
12
9
3
5.5
2
t
=
+
=
；
②当点P 为AB 的中点时，CP 为
ABC
的中线，则：
1
2
APC
ABC
S
S
=
，
1
12
9
15
3
9.5
2
t
=
+
+
=
；
综上：
5.5
t =
或9.5；
（4）解：①当APQ
DEF
≌
，则：
4cm,
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
当点P 在AC 上时，3
4
t =
，解得：
4
3
t =
，
∴点Q 的速度为：
4
15
5
(cm/s)
3
4
=
；
当点P 在AB 上时，则：
(
)
32
9 12 15
4
3
3
t =
+
+
−
=
，
∴点Q 的速度为：(
)
32
93
15 9 12 5
(cm/s)
3
32
+ +
−
=
；
②当APQ
DFE
≌
时，则：
5cm,
4cm
AP
DF
AQ
DE
=
=
=
=
，
当点P 在AC 上时，3
5
t = ，解得：
5
3
t =
，
∴点Q 的速度为：
5
12
4
(cm/s)
3
5
=
；
当点P 在AB 上时，则：
(
)
31
9 12 15 5
3
3
t =
+
+
−
=
，
∴点Q 的速度为：(
)
31
96
15 9 12
4
(cm/s)
3
31
+ +
−
=
；
综上：点Q 的速度为15cm/s
4
或93cm/s
32
或12 cm/s
5
或96cm/s
31
．
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，在长方形ABCD中，
2cm
AB
CD
=
=
，
4cm
BC
AD
=
=
，点P 从点B
出发，以2cm/s的速度沿BC 向终点C 运动，设点P 的运动时间为s
x ．
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(1) PC _________cm．（用含x 的代数式表示）
(2)当x 为何值时，ABP
DCP
≌
?
(3)当点P 从点B 开始运动的同时，点Q 从点C 出发，以3cm/s的速度沿折线CD
DA
−
向终点A 运动．当
5
4
BP
DQ
=
时，直接写出x 的值．
【答案】(1)(
)
4
2x
−
(2)1(3) 10
23 或10
7
【分析】本题考查了列代数式、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得
2 cm
BP
x
=
，再由PC
BC
BP
=
−
计算即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得BP
CP
=
，即2
4
2
x
x
=
−
，求解即可；
（3）分两种情况：当点Q 在CD上时，当点Q 在AD上时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵点P 从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC 向终点C 运动，设点P 的运动时间为s
x ，
∴
2 cm
BP
x
=
，
∴
(
)
4
2
cm
PC
BC
BP
x
=
−
=
−
；
（2）解：∵ABP
DCP
≌
，
∴BP
CP
=
，
∴2
4
2
x
x
=
−
，
解得：
1
x = ，
∴当x 为1时，ABP
DCP
≌
；
（3）解：如图，当点Q 在CD上时，
3 cm
CQ
x
=
，则
(
)
2
3
cm
DQ
CD
CQ
x
=
−
=
−
，
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∵
5
4
BP
DQ
=
，
∴
(
)
5
2
2 3
4
x
x
=
−
，
解得：
10
23
x =
；
如图，当点Q 在AD上时，
3 cm
CD
DQ
x
+
=
，则
(
)
3
2 cm
DQ
x
=
−
，
∵
5
4
BP
DQ
=
，
∴
(
)
5
2
3
2
4
x
x
=
−
，
解得：
10
7
x =
；
综上所述，当
5
4
BP
DQ
=
时，x 的值为10
23 或10
7 ．
1．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的
骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三
角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(
)
2
23
a
b
+
=
，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为
（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，全等的性质，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平
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方公式是解题的关键．
由题意ED
a
=
，AE
b
=
，由面积法得到
(
)
2
1
17
4
2 ab
a
b
=
+
−
，则
2
2
17
a
b
+
=
，由(
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
+
求出(
)
2
a
b
−
，即小正方形的面积．
【详解】解：如图所示，由题意ED
a
=
，AE
b
=
，
∵大正方形的面积为17，
∴
2
17
AD =
，
∵
(
)
2
1
17
4
2 ab
a
b
=
+
−
∴
2
2
17
a
b
+
=
，
∵(
)
2
23
a
b
+
=
，
∴(
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2 17
23
11
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
+
=
−
=
，
∵EF
ED
DF
a
b
=
−
=
−，
∴小正方形的面积为
(
)
2
2
11
EF
a
b
=
−
=
，
故选：D．
2．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，连接BD，若
90 ,
2
CAE
AB
=
=
，则图中
阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形
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的性质可得
2
AD
AB
=
= ，
BAC
DAE
=
，
ABC
ADE
S
S
=
，从而可得
90
BAD
CAE
=
=
，再根据图中阴影
部分的面积等于
ABD
△
的面积求解即可得．
【详解】解：∵
ABC
ADE
△
≌△
，
2
AB =
，
∴
2
AD
AB
=
= ，
BAC
DAE
=
，
ABC
ADE
S
S
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
∵
90
CAE
=
，
∴
90
BAD
=
，
又∵
ABC
ADE
S
S
=
，
∴图中阴影部分的面积等于
1
1
2 2
2
2
2
ABD
S
AB AD
=
=
=
，
故选：B．
3．（2025·江西·模拟预测）小明用4 个全等且面积为4 的直角三角形和1 个小正方形刚好能拼成一个大正方
形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形ABCD， 则长方形ABCD的面积为（ ）
A．8
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，整式的运算的应用，设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直
角边长为b，利用两个图中面积关系和线段之间的关系求得,a b ，即可解答，熟练运用整式表示相关面积和
线段长度是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b，
4 个全等且面积为4 的直角三角形和1 个小正方形刚好能拼成一个大正方形
中间的小正方形边长为a
b
−，
由直角三角形的面积为4，可得
8
ab = ，
由图②长方形可得a
b
b
−
=
，
(
)
8
a
b a
−
=
，
可得
2
8
8
a −
=
解得
4
a =
（负值舍去），
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则 2
b =
，
所以长方形ABCD的面积为20．
故选：C．
4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，已知
ACE
DBF
≌
△
△
，下列结论中正确的个数是（ ）
AC
DB
=
①
；
AB
DC
=
②
；
1
2
=
③
；
AE
DF
④
∥
；
ACE
DFB
S
S
=
⑤
；
BC
AE
=
⑥
．
A．3个
B．4 个
C．5个
D．6 个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：
ACE
DBF
≌
，
AC
DB
=
，故①正确；
AC
BC
DB
BC
−
=
−
，即AB
DC
=
，故②正确；
ACE
DBF
≌
，
ACE
DBF
=
，
180
180
ACE
DBF
−
=
−
，即1
2
= ，故③正确；
ACE
DBF
≌
，
A
D
=，
AE
DF
∥
，故④正确；
ACE
DBF
≌
，
ACE
DFB
S
S
=
，故⑤正确；
BC 与AE 不一定相等，故⑥错误；
故选：C．
5．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，锐角△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，
ADC
ADC
≌
，
AEB
AEB
△
≌△
，且C D
EB
BC
∥
∥
，BE ，CD交于点F ，若
35
BAC
=
，则
BFC
的
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大小是（ ）
A．110
B．115
C．120
D．130
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相
等”进行推理的．由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：设
C
=
，
B
=
，
∵ADC
ADC
≌
，
AEB
AEB
△
≌△
，
∴
ACD
C
=
=
，
ABE
B
=
=
，
35
BAE
B AE
C AB
=
=
=
，
∴
35
C DB
BAC
AC D
=
+
=
+
，
35
CEB
=
+
．
∵C D
EB
BC
∥
∥
，
∴
35
ABC
C DB
=
=
+
，
35
ACB
CEB
=
=
+
，
∴
180
BAC
ABC
ACB
+
+
=
，即105
180
+
+
=
．
则
75
+
=
．
∵
BFC
BDC
DBE
=
+
，
35
BDC
BAC
ACD
=
+
=
+
，
∴
35
35
75
110
BFC
=
+
+
=
+
=
．
故选：A．
6．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将△ABC 沿DE 折叠，BD的对应边B D
恰好经过顶点A ，
AEB
DCA
≌
△
△
，设
B
=
，
C
=
，则下列等式成立的是（ ）
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56 /
A．
90
+
=
B．3
2
180
+
=
C．2
=
D．3
2
=
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理和外角的性质，根据全等三角形的性质可得
DAC
B
B
=
= =
，
B EA
C
=
=
，由三角形外角的性质得
BAD
=
+
，根据三角形定理可得结
论．
【详解】解：∵
AEB
DCA
≌
△
△
，
∴
,
B
DAC
B EA
C
=
=
=
，
由翻折得，
B
B
= =
，
∴
BAD
B
AEB
=
+
=
+
，
而
180
B
BAC
C
+
+
=
,
∴
180
+
+
+
+
=
,
∴3
2
180
+
=
，
故选：B．
7．（24-25 八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形ABCD中，
8
AB =
，
10
BC =
．点P 从点A 出发，
以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B 匀速运动，点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿BC 向点
C 匀速运动，点R 从点C 出发，以每秒a 个单位长度的速度沿CD向点D 匀速运动，连接PQ 、RQ ，三点同
时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，PBQ
与QCR
全等，则a 的值
为（ ）
A．2 或11
5
B．2 或5
2
C．5
2 或11
5
D．2 或11
2
【答案】A
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【分析】本题考查了全等三角形性质，分①当
R
PBQ
QC
≌
时，②当
Q
PBQ
RC
≌
时两种情况分析，然
后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解．
【详解】解：设t 秒后，PBQ
与QCR
全等，
由题意可得：
8
PB
AB
AP
t
=
−
= −，
2
BQ
t
=
，
10
2
CQ
BC
BQ
t
=
−
=
−
，CR
at
=
，
由PBQ
与QCR
全等，
90
B
C
=
=
，
①当
R
PBQ
QC
≌
时，
∴PB
CQ
=
，BQ
CR
=
，
∴8
10
2
t
t
−=
−
，2t
at
=
，
∴
2
t =
，
2
a =
；
②当
Q
PBQ
RC
≌
时，
∴PB
CR
=
，BQ
CQ
=
，
∴8 t
at
−=
，2
10
2
t
t
=
−
，
∴
5
2
=
t
，
11
2
a =
；
∴a 的值为2 或11
5 ，
故选：A ．
8．（24-25 八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则1
2
3
++的度数为 °．
【答案】180
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角
和为360得出1
2
3
360
GAH
EBF
MCN
+
++
++
=
，根据全等三角形的性质得出
EBF
N
=
，
GAH
M
=
，然后结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：三角形的外角和是360，
1
2
3
360
GAH
EBF
MCN
+
++
++
=
．
三个全等三角形，
EBF
N
=
，
GAH
M
=
，
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58 /
又
180
MCN
EBF
GAH
+
+
=
，
1
2
3
360
180
180
+ + =
−
=
，
1
2
3
++的度数是180，
故答案为：180．
9．（24-25 八年级上·江西新余·期末）如图，
ADB
EDB
CDE
△
≌△
≌△
，B，E，C 在一直线上，则
C
的度
数为 ．
【答案】30/30 度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决问题的关键；
根据全等三角形对应角相等可得
A
BED
CED
=
=
，
C
ABD
EBD
=
=
，再根据平角等于180求出
90
BED
=
，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵
ADB
EDB
CDE
△
≌△
≌△
，
A
BED
CED
=
=
，
C
ABD
EBD
=
=
，
180
BED
CED
+
=
，
90
BED
=
，
∵
(
)
180
C
ABD
EBD
A
+
+
+
=
，
即3
90
C
=
，
解得
30
C
=
．
故答案为：30．
10．（24-25 八年级上·河南周口·阶段练习）2024 年9 月10 日是第40 个教师节．数学老师用与教师节年月
日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别
是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，2
3
x
y
−
，3x
y
−
．若这两个三角形全等，则x
y
+
的值为 ．
【答案】2 或5
7
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，二元一次方程组的应用；由全等三角形的性质可得
2
3
9
3
10
x
y
x
y
−
=
−
=
或
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2
3
10
3
9
x
y
x
y
−
=
−
=
，再解方程组即可．
【详解】解：由题意得
2
3
9
3
10
x
y
x
y
−
=
−
=
或
2
3
10
3
9
x
y
x
y
−
=
−
=
，
当
2
3
9
3
10
x
y
x
y
−
=
−
=
①
②，
②3
−①得：
3
x = ，
把
3
x = 代入②得：
1
y = −，
∴方程组的解为：
3
1
x
y
=
= −
，
∴
2
x
y
+
=
，
当
2
3
10
3
9
x
y
x
y
−
=
−
=
，
同理解得：
17 ,
7
12 ,
7
x
y
=
= −
∴
5
7
x
y
+
=
；
x
y
+
的值为2 或5
7 ．
故答案为：2 或5
7
11．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等
的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2 的正方形EFGH ．若在正方形EFGH 中，恰有
2
MG
HM
=
，则
ABCD
EFGH
S
S
=
正方形
正方形
．
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【答案】10
9 / 1
19
【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设
(
)
0
HM
a a
=
，则
2
MG
a
=
，易得
3
HG
a
=
，故有
2
9
EFGH
S
a
=
正方形
，结合全等图形的性质可得MQ
HM
a
=
=
，
易得
2
QG
a
a
a
=
−
=
，然后可求得
2
10
ABCD
S
a
=
正方形
，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵
2
MG
HM
=
，
可设
(
)
0
HM
a a
=
，
2
2
MG
HM
a
=
=
，
∴
3
HG
HM
MG
a
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
1
2
3
4
3
9
EFGH
S
S
S
S
S
a
a
=
+
+
+
=
=
正方形
，
由全等三角形的性质可得MQ
HM
a
=
=
，
∴
2
QG
a
a
a
=
−
=
，
∴
2
5
S
a
=
，
∴
2
2
2
1
2
3
4
5
9
10
ABCD
S
S
S
S
S
S
a
a
a
=
+
+
+
+
=
+
=
正方形
，
∴
2
2
10
10
9
9
ABCD
EFGH
S
a
S
a
=
=
正方形
正方形
．
故答案为：10
9 ．
12．（23-24 八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，
另一个三角形的三边长分别为6，2
2,
1
m
n
−
+ ．
(1)求m，n 的值；
(2)当边长
1
n + 小于边长2
2
m−时，以a ，m ，n 为三角形的三边长，求边长a 取值范围．
【答案】(1)
5
m =
，
9
n =
或
6
7
m
n
=
=
，
；
(2)1
13
a
，
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【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：2
2
m−与8、
1
n + 与10 分别是对应边；2
2
m−与10、
1
n + 与8 分别是对应边；分别求出
m 与n 即可；
（2）根据（1）中结果，确定
6
m =
，
7
n =
；再根据三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当2
2
m−与8、
1
n + 与10 分别是对应边时，则2
2
8
1 10
m
n
−
=
+ =
，
，
∴
5
9
m
n
=
=
，
；
当2
2
m−与10、
1
n + 与8 分别是对应边时，则2
2
10
1
8
m
n
−
=
+ =
，
，
∴
6
7
m
n
=
=
，
；
综上，
5
9
m
n
=
=
，
或
6
7
m
n
=
=
，
；
（2）因为边长
1
n + 小于边长2
2
m−，所以取
6
m =
，
7
n =
；
当
6
7
m
n
=
=
，
时，以a，m，n 为三角形的三边长，
则边长a 取值范围为7
6
7
6
a
−
+
．
∴1
13
a
．
13．（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图，已知
ABC
DEF
≌△
△
，
85
A
=
，
=60
B
，
8
AB =
，
2
EH =
．
(1)求
F
的度数与DH 的长；
(2)求证：AB
DE
∥
．
【答案】(1)35，6
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能
根据全等三角形的性质得出AB
DE
=
，
B
DEF
=
，
ACB
F
= ，注意：全等三角形的对应边相等，对
应角相等，难度适中．
（1）根据三角形内角和定理求出
ACB
，根据全等三角形的性质得出AB
DE
=
，
F
ACB
=
，即可得出
答案；
（2）根据全等三角形的性质得出
B
DEF
=
，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）解：∵
85
A
=
，
=60
B
，
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∴
180
35
ACB
A
B
=
−−=
，
∵
ABC
DEF
≌△
△
，
8
AB =
，
∴
35
F
ACB
=
=
，
8
DE
AB
=
= ，
∵
2
EH =
，
∴
8 2
6
DH = −
=
；
（2）证明：∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴
DEF
B
=，
∴AB
DE
∥
．
14．（24-25 八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知AD
BC
⊥
于点D ，点E 在AB 上，CE 交AD于点F，
ABD
CFD
≌
△
△
．
(1)若
12
BC =
，
8
AD = ，求BD的长．
(2)试判断AB 和CF 的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)4
(2) AB
CF
=
，AB
CF
⊥
，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的
关键．
（1）由全等三角形的性质可得BD
DF
=
，AD
DC
=
，进而可得
8
DC
AD
=
= ，然后根据线段之间的和差关
系可得BD
BC
DC
=
−
，由此即可求出BD的长；
（2）由AD
BC
⊥
可得
90
CDF
=
，由全等三角形的性质可得AB
CF
=
，
BAD
FCD
=
，由对顶角相等可
得
AFE
CFD
=
，进而可得
BAD
AFE
FCD
CFD
+
=
+
，由三角形的内角和定理可得
180
BAD
AFE
AEF
FCD
CFD
CDF
+
+
=
+
+
=
，因而可得
90
AEF
CDF
=
=
，于是结论得证．
【详解】（1）解：
ABD
CFD
≌
，
BD
DF
=
，AD
DC
=
，
12
BC =
，
8
AD = ，
8
DC
AD
=
=
，
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12 8
4
BD
BC
DC
=
−
=
−=
；
（2）解：AB
CF
=
，且AB
CF
⊥
，理由如下：
AD
BC
⊥
，
90
CDF
=
，
ABD
CFD
≌
，
AB
CF
=
，
BAD
FCD
=
，
AFE
CFD
=
，
BAD
AFE
FCD
CFD
+
=
+
，
又
180
BAD
AFE
AEF
FCD
CFD
CDF
+
+
=
+
+
=
，
90
AEF
CDF
=
=
，
AB
CF
⊥
，
AB
CF
=
，且AB
CF
⊥
．
15．
（24-25 八年级上·青海海东·期末）如图，在△ABC 中，AB
AC
=
，
10cm
BC =
，点D 在AB 上，且
6cm
BD =
；
点M 从B 出发以每秒1cm 的速度向点C 运动，同时，点N 从C 出发向点A 运动，设运动时间为t 秒，连接
DM 、MN ．
(1)用含t 的式子表示BM 、MC ；
(2)若点N 的运动速度也为每秒1cm，t 为何值时，DBM
MCN
≌
；
(3)若点N 的运动速度和点M 的速度不相等，要使DBM
NCM
≌
，则点N 的运动速度为多少?全等时t 为
多少?
【答案】(1) BM
t
= ，
10
MC
t
=
−；
(2) 4 ；
(3)每秒6 cm
5
；
5
t =
．
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2 ）由点N 的运动速度也为每秒1cm，则NC
t
= ，BM
NC
=
，再由DBM
MCN
≌
，则
6
MC
BD
=
=
，
所以10
6
t
−= ，然后求解即可；
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（3）由点N 的运动速度和点M 的速度不相等，则BM
NC
，DBM
NCM
≌
，则BM
MC
=
，
6
NC
BD
=
=
，
即M 为BC 中点，所以
10
t
t
=
−，然后求解即可；
本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：BM
t
= ，
10
MC
t
=
−；
（2）解：∵点N 的运动速度也为每秒1cm，
∴NC
t
= ，BM
NC
=
，
∵DBM
MCN
≌
；
∴
6
MC
BD
=
=
，
∴10
6
t
−= ，解得
4
t =
，
∴
4
t =
时，DBM
MCN
≌
；
（3）解：由点N 的运动速度和点M 的速度不相等，则BM
NC
，
∵DBM
NCM
≌
，
∴BM
MC
=
，
6
NC
BD
=
=
，
∴M 为BC 中点，
∴
10
t
t
=
−，解得：
5
t =
，
∴点N 的速度为每秒6 cm
5
．
