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1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 1.2 定义与命题+1.3 证明 课标要点 1. 理解定义、命题、真命题、假命题的含义，能准确区分基本数学概念。 2. 掌握命题结构，能正确找出命题的题设与结论，并规范改写命题形式。 3. 了解公理、定理与证明的概念，知晓几何推理证明的基本依据。 4. 学会判断命题真假，能够通过举反例的方法证明假命题不成立。 5. 初步掌握几何证明的规范步骤，培养严谨的逻辑推理数学思维。 学习重难点 重点： 1. 掌握命题的组成，区分题设与结论。 2. 能够准确判断命题的真假性。 3. 了解几何证明的基本规范步骤。 难点： 1. 准确改写命题的标准句式。 2. 灵活举反例否定假命题。 3. 建立严谨几何逻辑推理思维。 第一章 认识三角形 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 3 / 24 学科网（北京）股份有限公司 即学即练 ．．．． 1．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（ ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 2．（25-26 八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果1 2 90 += ，那么1 2 ”，下面能说明它是假命 题的反例是（ ） A． 1 50 = ， 2 40 = B． 1 50 = ， 2 50 = C．1 2 45 = = ° D．1 40 = ， 2 40 = 知识点二 证明证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推 论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中 写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画 成虚线。 即学即练 ．．．． 3．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段检测）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形 的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180．请阅读小颖的操作和说理过程，并 完成相应任务： 特别提醒 区分定义与命题：定义是对名称含义的规范描述，一定是真命题。命题含题设和结论，可改写成 “如 果… 那么…”，分真假。判断假命题只需举出一个反例，真命题需推理证明。注意语句不含判断的不是 命题，疑问句、作图指令均不属于命题。做题先拆分条件结论，避免混淆概念，分清公理、定理与普通 命题。 特别提醒 几何证明先拆分命题的条件与结论，明确已知和待证内容。每一步推理必须写明依据，如定义、公理、 已有定理。留意图形隐含等量关系，包含对顶角、公共线段、等角的补余角等。分清真假命题，假命题 可举反例推翻，真命题需完整推导。书写条理清晰，不省略关键推理，遇到动点、分类题型检验取值范 围，培养规范严谨的逻辑思维。 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 如图1，ABC 中的三个内角分别为1 2 3 ， ， ．将 2 撕下，按图2 的方式拼摆，使 2 与1 的顶点重合， 2 的一边与AB 重合． 理由：由操作可知 2 B =， 所以AD ________ （依据：________）． 所以， DAC +________ 180 = （依据：________）． 即1 +________+ ________ 180 = ． 所以，三角形的内角和等于180 4．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上， , BE CD 相交于点O． (1)若 50 70 25 A BOD C = = = , , ，求 B 的度数； (2)试猜想 BOC 与 A B C + + 之间的关系，并证明你的猜想． 题型01 判断是否是命题 典｜例｜精｜析 1．下列说法错误的是（ ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 解题贴士 判断命题先看语句是否作出明确判断，陈述句才可能是命题。疑问句、感叹句、作图、祈使句都不是命 题。不含判定语意、仅描述名称的定义类语句属于命题，可拆分为条件与结论，无法判断对错的语句也 不属于命题。 5 / 24 学科网（北京）股份有限公司 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 变｜式｜巩｜固 2．下列是命题的是（ ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a 的值 3．判断下列句子是否是命题： （1）0 是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 4．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙 宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特 征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①6666 是“回文 数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意六位数的“回文数” 是11的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 题型02 写出命题的题设与结论 典｜例｜精｜析 5．命题“如果 2 0 x ，那么 0 x ”的条件是（ ） A． 2 0 x B． 0 x C． 2 0 x D． 0 x 变｜式｜巩｜固 解题贴士 拆分命题先把句子改成 “如果… 那么…”，如果后为题设，那么后为结论。简化语句时不丢失关键条 件，分清对象与限定要求。部分命题语序颠倒，需重新整理句式，不可随意删减条件，保证逻辑完整， 准确区分已知条件和要推出的结果。 6 / 24 学科网（北京）股份有限公司 6．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 7．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 8．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于180，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5 的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果a b = ，b c = ,那么a c = ． 题型03 判断真假命题 典｜例｜精｜析 9．已知命题“如果 2 9 a = ，那么 3 a = ”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 变｜式｜巩｜固 10．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 11．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于90时，这两个角互为余角； (2)如果x y ，那么 2 2 x y ． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4 的倍数． (2)末位数字是5 的整数能被5 整除． (3)两负数之积为正数． 题型04 举反例 典｜例｜精｜析 13．对于命题“如果1 2 180 += ，那么1 2 ”，能说明它是假命题的反例是（ ） A．1 100 = ， 2 80 = B．1 2 90 = = C．1 100 = ， 2 100 = D．1 80 = ， 2 80 = 解题贴士 举反例只需找到一个符合题设、却不满足结论的实例。例子数据简单直观，贴合命题范围，不额外添加 限制条件。反例要清晰说明为何推翻命题，表述简洁准确，不能违背已知定义，避免复杂数值，保证能 直接否定原命题的正确性。 7 / 24 学科网（北京）股份有限公司 变｜式｜巩｜固 14．判断命题“如果 1 n ，那么 2 3 0 n − ”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ） A．2 B．0 C．1 − D．3 − 15．能说明命题“若 2 2 4 a b ，则 2 a b ”是假命题的一组实数a ，b 的值为 3 a = −，b = ________． 16．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果 0 x ，那么 2x x ． (4)两个奇数的和一定是偶数． 题型05 定理与证明 典｜例｜精｜析 17．下列所学过的真命题中，是公理的是（ ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 变｜式｜巩｜固 18．下列语句中，属于定理的是（ ） A．在直线AB 上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线AB D．同角的补角相等 19．下列说法错误的是（ ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据， 那么这样得到的真命题就是定理 20．下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 8 / 24 学科网（北京）股份有限公司 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 题型06 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 21．如图，① 1 2 = ，② C D = ，③ A F =，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结 论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 变｜式｜巩｜固 22．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平 行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，EF 分别交直线AB CD ， 于G H GI ，， 平分 AGH ，HJ 平分 DHE ，___________．求 证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 23．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 9 / 24 学科网（北京）股份有限公司 24．命题：直角三角形的两锐角互余． (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明 过程． 题型07 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 25．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图， b a ⊥ ， 1 90 = ． c a ⊥ ， 2 90 = ， 1 2 =， . b c ∥ 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ） A．在同一平面内，若b a ⊥ ，且c a ⊥，则b c ∥ B．在同一平面内，若b c ∥，且b a ⊥ ，则c a ⊥ C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 变｜式｜巩｜固 26．如图，E 是AB ，CD 外一点， D B E =+．求证：AB CD ∥ ． 证明： D B E =+ _________ BFD B E =+_________， D BFD = （等量代换）． 10 / 24 学科网（北京）股份有限公司 AB CD ∥ _________． 27．填写证明依据：如图，已知 1 2 = ， C D = ．求证： A F =． 证明：∵ 1 2 = （已知），1 3 = （__________）， ∴ 2 3 = （__________）． ∴BD CE ∥ （__________）． ∴ 4 D = （两直线平行，同位角相等）． ∵ C D = （已知）， ∴ 4 C = （等式的基本事实）． ∴DF AC ∥ （__________）． ∴ A F =（__________）． 28．补全下列推理过程： 如图，已知AB CE ∥ ， A E =，试说明： CGD FHB = ， 解：∵AB CE ∥ （已知） A ADC = （______） A E = （已知） E ADC = （______） AD EF ∥ （______） 11 / 24 学科网（北京）股份有限公司 CGD GHE = （______） FHB GHE = （______） CGD FHB = 题型08 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 29．如图，点D，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，连接CD，F 为CD上一点． (1)从①1 B =，②DE BC ∥ ，③AB EF ∥ 这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结 论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若DE 平分 ADC ， 2 ACB B = ， 108 DFE = °，求 DEC 的度数． 变｜式｜巩｜固 30．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB CD ， BAC 的平分线与 ACD 的平分线交于点E ． 求证：AE CE ⊥ ． 证明：∵AB CD ， ∴ BAC + 180 = （ ）， ∵AE 平分 BAC ，CE 平分 ACD ， ∴ 1 1 2 BAC = ， 1 2 2 ACD = ． ∴1 2 += ． ∵ 1 2 180 E ++= （ ）， ∴ 180 1 2 90 ∠= −−= E ． ∴AE CE ⊥ ． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 12 / 24 学科网（北京）股份有限公司 31．已知：如图，在ABC 中，D，E 是边BC 上的两点，G 是边AB 上的一点，连接EG 并延长，交CA 的 延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：① AD平分 BAC ；②EF AD ∥ ；③ AGF F = ． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 32．如图，有下列三个条件：①DE//BC；② 1 2 = ；③ B C = ． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都 写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的 假命题举出一个反例（温馨提示： 180 B C BAC ++ = ） 题型09 三角形内角和定理的证明 典｜例｜精｜析 解题贴士 证明时借助平行线转移内角，严格标注平行线判定与性质依据。辅助线作法规范书写，不凭空添加线段。 三个内角拼接成平角，紧扣平角定义推导。推理步步有据，逻辑连贯，不跳步骤，画图清晰区分内错角， 准确转化角度完成证明。 13 / 24 学科网（北京）股份有限公司 33．学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在ABC 的 顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 180 A B C ++ = (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据_____________________________ 得到 B = _________， C = _________， 根据平角定义，_________ BAC + +_________ = _________， 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = ． 变｜式｜巩｜固 34．问题解决 问 题 三角形内角和为什么等于180 问 题 提 出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实 验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 等于180呢？ 思 路 启 迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角 呢？ 尝 试 请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和 等于180．要求如下： 14 / 24 学科网（北京）股份有限公司 思 考 1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添 加辅助线的操作进行描述． 逻 辑 说 理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180的理由． 触 类 旁 通 小华同学通过思考，发现在ABC 边AB 上任意取一点P （不与点A、B 重合）．如 图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长BA至点D ，过点A作___________、利用平行线的性质得到 B DAE C EAC = = 、 即可求解． 方法二：如图3，过点A作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________． (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程） 15 / 24 学科网（北京）股份有限公司 35．课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C 作 EF AB ∥ ②延长AC 到点 F，过点C 作 CE AB ∥ ③过AB 上一点D 作DE BC ∥ ， DF AC ∥ ④过点C 作 CD AB ⊥ 于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 36．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是180”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为180． 题型10 证明综合大题 典｜例｜精｜析 37．已知：直线1 2 l l ∥，A 为直线1l 上的一个定点，过点A 的直线交2l 于点B，点C 在线段BA的延长线 上．D，E 为直线2l 上的两个动点，点D 在点E 的左侧，连接AD，AE ，满足 AED DAE = ．点M 在2l 上，且在点B 的左侧． 16 / 24 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 24 BAD = ， 50 AED = ，直接写出 ABM 的度数 ； (2)射线AF 为 CAD 的角平分线． ①如图2，当点D 在点B 右侧时，用等式表示 EAF 与 ABD 之间的数量关系，并证明； ②当点D 与点B 不重合，且 156 ABM EAF + = 时，直接写出 EAF 的度数． 变｜式｜巩｜固 38．已知直线AB CD ，直线EF 分别与AB ，CD相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，PE，PF 分别平分 BEF 和 EFD ，则PE和PF 的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G 在射线EA上，点H 在射线FD上，GP ，FP分别平分 BGH 和 EFH ，若 54 P = ， 70 GQF = ，求 EGH 和 EFH 的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G 在线段EF 上，点H 是直线CD上的动点(不与F 重合)，FP、HP分别平分 EFH 和 GHD ，设 EGH m = ，请直接用含m 的代数式表示FPH 的度数． 39．【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2 倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数 学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是90，45，45和 90，60， 30． 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 【简单应用】 (1)如图2， 90 A = ， 2 ABC C = ，BD是 ABC 的角平分线，试说明ABD 是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在ABC 中， 2 80 A ABC = = ． ①如图3，过点C 的直线交 ABC 的平分线和 ABC 的外角平分线于点N，M，若BMN 是“二阶三角 形”，求 BCM 的度数； (3)②如图4， ABC 的平分线和 ACB 的外角平分线交于点D，点F 是线段BD上的一动点（F 不与B、 O、D 三点重合）， BCF n ACF = ，若CDF 是“二阶三角形”，直接写出n 的值． 40．【模型探究】如图①，已知点D、E 分别在 ABC 的边AB BC 、 上，点F 在 ABC 的内部，连接 FD FE 、 ，在 ABC 的内部形成凸四边形DBEF ．求证： B F ADF CEF + = + ． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形DBEF 中， ∴（① ） ∵ 180 ADF BDF + = ， 180 FEC BEF + = ， ∴ 360 ADF BDF FEC BEF + + + = ． ∴ B F ADF CEF + = + ． 乙同学证明：如图②，连接BF ． ∵ ADF 是BDF 的外角， ∴ ADF ABF DFB = + ． ∵ FEC 是BEF 的外角， ∴（② ）． 18 / 24 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ADF CEF ABF DFB CBF BFE + = + + + ∴ ADF CEF ABC DFE + = + ． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E 分别在ABC 的边AB AC 、 上，连接DE ，将ABC 沿直线DE 翻折， 使点A 落在ABC 内部A位置． (2)若 , , BDA CEA = = 则 A 的度数为；（用含 、 的式子表示） (3)若 45 , 60 B C = = ，求 BDA CEA + 的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E 分别在ABC 的边AB AC 、 上，连接DE ，将ABC 沿直线DE 翻折，点A 落在A位置，连 接A B A C 、 ．当 1 1 , 2 2 A BC ABC A CB ACB = = 时，直接写出 BA C BDA 、 和 CEA 的数量关 系． 基础通关 1．（2026·浙江温州·二模）对于命题“若 2 a a ，则 1 a ”，能说明它是假命题的反例是（ ） A． 3 a = B． 2 a = C． 0 a = D． 1 a = − 2．（25-26 七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果1 2 180 += ，那么 1 2 = ”，能说明它是假命题的 反例是（ ） A．1 2 90 = = B． 1 50 = ， 2 130 = C． 1 50 = ， 2 50 = D．1 2 90 += 3．（25-26 七年级下·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 19 / 24 学科网（北京）股份有限公司 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 4．（2026·浙江舟山·二模）如图，一个含30角的直角三角板ABC （即 30 B = ， 90 C = ）被两条平行 直线MN 和PQ 所截，若 58 NDE = ，则 CFP =（ ） A．30 B．28 C．25 D．23 5．（25-26 七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：①相等的角都是对顶角；②不小于直角的角是锐 角；③若 0 ab = ，则 0 a = 或 0 b = ；④若a b = ，则a b = ．其中属于真命题的是______． 6．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）请举反例说明命题“若 2 4 a ，则 2 a ”是假命题，你举的反例a 的值 为________．（写出一个a 的值即可） 7．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中 的度数为_________． 8．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小 振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名 的是______． 9．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①AD CB ∥ ；② B DCF = ；③ BAD BCD = ．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 10．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，AB CD ， BMN 与 DNM 的平分线相交于点G， 20 / 24 学科网（北京）股份有限公司 (1)完成下面的证明： ∵MG 平分 BMN （ ）， ∴ GMN BMN = （ ）， 同理 GNM DNG = ． ∵AB CD （ ）， ∴ BMN DNM + =________（ ）． ∴ GMN GNM + =________． ∵ GMN GNM G + + =________（ ）， ∴ G =________． ∴MG 与NG 的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 素养提升 11．（25-26 八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ） A．平方根等于本身的数是0 和1 B．若 2 a a = ，则 0 a C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 12．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果 2 x ，那么 2 4 0 x − ”是假命题，只需举出一个反 例，反例中的x 可以为( ) A．1 B．0 C．1 − D．2 − 13．（25-26 九年级上·浙江温州·开学考试）如图，ABC 的外角平分线AD交射线BC 于点 , D E 在BA延长 线上，若 35 B = ， 60 DAE = ，则 ACD 的度数为（ ） 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 A．85 B．95 C．100 D．105 14．（25-26 七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知MN PQ ∥ ，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A 在直线MN 上方，点E 在DB的延长线上．若 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， A = ，则 E = （ ） A． B． 1 36 5 + C．90 − D． 4 144 5 − 15．（25-26 七年级下·山东烟台·期中）如图，BE，CE ，CD分别平分 ABC ， ACB ， ACF ， AB DC ．下列结论：① CAB CBA = ；② 90 BEC ABD = + ；③ BDC BAC = ；④ 2 180 BEC BAC − = ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 16．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）给出下列5 个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所 截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线 互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 17．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一 点有且只有一条直线与已知直线平行；③若 1 40 , 2 = 的两边与1 的两边分别平行，则 2 40 = 或 140；④若 , b c a c ⊥ ⊥ ，则b a ∥．其中假命题的是_________（填写序号）． 18．（25-26 七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，AE 与BD的交点为C ， 50 CAB = ， 60 CBA = ， 40 E = ．为了舒适，需调整 CDF 大小，使 140 EFD = ，且 CAB 、 CBA 、 E 保持 不变，则图中 CDF 应调整为________度． 22 / 24 学科网（北京）股份有限公司 19．（25-26 九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6 月份的日历，并且分别发表了自己的 研究结论： 小明：这个月有5 个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6 月___________号．（填日期） 20．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，AD平分 BAC ，AE BC ⊥ ， 30 B = ， 70 C = ． (1)求 DAE 的度数； (2)如图2，若把“ AE BC ⊥ ”变成“点F 在DA的延长线上，FE BC ⊥ ”， B = ， C = （ ），请用 、的代数式表示 DFE ． 迁移创新 21．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC 中， 70 C = ，F 在AB 延长线上， CAB 的角平分 线与 CBF 的角平分线交于点E ，则 E 的度数为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 22．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）如图AB CD ， 80 MPN = 度， AMP 的平分线和 CNP 的平分线 交于点E，求 MEN 的度数是________． 23．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿EF 折叠，设 AED x = 度． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 图1 图2 （1）若 110 x = ，则 EFB =______度． （2）将图1 纸带继续沿BF 折叠成图2，则 EFC =______度．（用含x 的代数式表示） 24．（25-26 八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，AB CD ∥ ，点P 在AB ，CD之间，连接AP ，CP ．易证： APC BAP PCD = + ．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过 点P 作PQ AB ∥ ． 小红：如图3，延 长AP 交CD于点 M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F 分别是射线AB ，CD上一点，点G 是线段CF 上一点，连接AG 并延 长，交直线EF 于点P，连接AC 、EG ，若 PAC PEG AGE + = ，求证：AC EF ∥ ； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB CD ∥ ，AH 平分 PAC ，FH 平分 PFC ，AH 与FH 交 于点H，若 25 CAH = ， AHF AEG = ， 2 3 PGE CAH PEG = + ，求 PFC 的度数． 25．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线EF 与直线AB CD 、 分别交于点G、H，HK 平分 EHD 交直线AB 于点K， GHK GKH = ． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AB CD ； (2)如图2，点P 在线段AG 上，点N 在线段HK 上，PB平分 EPN ，若 30 GHK = ，求 E PNH + 的 度数； (3)如图3，点M 在线段HG 上，点Q 为射线KA上一动点且不与点G 重合，连接MQ ，作 MQK 的角平分 线与HK 相交于点R，直接写出 QMH 与 QRH 的数量关系． 小学 初中
