学科网（北京）股份有限公司
1 /
1.5 全等三角形的判定（第一课时）
题型一：用SSS 证明三角形全等（选填）
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，AB
AC
BD
CD
=
=
，
，则可推出（ ）
A．
BAD
BCD
≌
△
△
B．
ABD
ACD
△
≌△
C．
ACD
BCD
△
≌△
D．ACE
BDE
≌
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案．
【详解】在
ABD
△
和ACD
中，
AB
AC
BD
CD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，
学科网（北京）股份有限公司
2 /
故选：B．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图所示，ABC
中，
,
AB
AC EB
EC
=
=
，则由“SSS”可以判定（ ）
A．
ABD
ACD
△
≌△
B．
ABE
ACE
△
≌△
C．BDE
CDE
≌
D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“SSS”证明
ABE
ACE
△
≌△
，即可求解．
【详解】解：因为
,
,
AB
AC EB
EC AE
AE
=
=
=
，
所以
(
)
SSS
ABE
ACE
≌
．
故选B．
3．（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB
CD
=
，AD
BC
=
，连接AC ，则
ABC
△
≌ ．
【答案】CDA
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据SSS判定三角形
全等即可得解．
【详解】解：在ABC
和CDA
中，
AB
CD
AD
BC
AC
CA
=
=
=
∴
(
)
SSS
ABC
CDA
△
≌△
，
故答案为：CDA
．
4．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）如图，AC
AD
=
，BC
BD
=
，则
ABC
ABD
△
≌△
，应用的判定方法
学科网（北京）股份有限公司
3 /
是 ．
【答案】SSS
【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA 、SAS、
SSS，本题要用SSS，直接根据三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】解：在ABC
和
ABD
△
中，
AC
AD
BC
BD
AB
AB
=
=
=
，
(
)
SSS
ABC
ABD
≌
．
故答案为：SSS．
5．（23-24 八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，AB
AC
=
，BD
CD
=
．则可推出 全等．
【答案】
ABD
△
和△ACD(答案不唯一)
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“SSS”判定三角形全等即可作答．
【详解】证明：在
ABD
△
和△ACD 中
∵
AB
AC
BD
CD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，
故答案为：
ABD
△
和△ACD．
6．（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
于D，BD
DC
=
．在不添加辅助线的情
况下，图中全等三角形共有 对．
学科网（北京）股份有限公司
4 /
【答案】3
【分析】由AD
BC
⊥
，BD
DC
=
，根据线段垂直平分线的性质得AB
AC
=
，PB
PC
=
，则可根据“SSS”判
断
ABD
ACD
△
≌△
和PBD
PCD
≌
，PBA
PCA
≌
．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
，BD
DC
=
，
∴AB
AC
=
，PB
PC
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，
(
)
SSS
PBD
PCD
≌
，
(
)
SSS
PBA
PCA
≌
．
故答案为：3．
7．（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图所示，AD
BC
=
，AC
BD
=
，用三角形全等的判定“SSS”可证明
ACD
≌ 或
ABD
△
≌ ．
【答案】
BDC
BAC
【分析】由AD
BC
=
、AC
BD
=
、DC
CD
=
可证出
(SSS)
ACD
BDC
≌
；由AD
BC
=
、BD
AC
=
、AB
BA
=
可
证出
(SSS)
ABD
BAC
≌
．综上即可得出结论．
【详解】解：在ACD
和BDC
中，
AD
BC
AC
BD
DC
CD
=
=
=
，
∴
(SSS)
ACD
BDC
≌
；
在
ABD
△
和BAC
中，
学科网（北京）股份有限公司
5 /
AD
BC
BD
AC
AB
BA
=
=
=
，
∴
(SSS)
ABD
BAC
≌
．
故答案为：BDC
；BAC
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等
1．（24-25 八年级上·湖北恩施·期中）如图，AB
CD
=
，AC
DB
=
，若要用“SSS”证明
ABC
DCB
△
≌△
，则
还需要添加的条件是（ ）
A．AE
DE
=
B．BE
EC
=
C．DE
BE
=
D．不需要添加
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据AB
CD
=
，AC
DB
=
结合公共边BC
BC
=
直接判断即可得到
答案；
【详解】解：∵AB
CD
=
，AC
DB
=
，BC
BC
=
，
∴
(SSS)
ABC
DCB
≌
△
△
，
∴不需要添加条件，
故选：D．
2．
（23-24 七年级下·陕西·期末）如图，在
ABC
和
DCB
△
中，AC 、BD相交于点E，AB
DC
=
．若利用“SSS”
来判定
ABC
DCB
△
≌△
，则需添加的条件是（ ）
A．AE
DE
=
B．CE
CD
=
C．AC
DB
=
D．BE
CE
=
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据SSS可判定
ABC
DCB
△
≌△
．
学科网（北京）股份有限公司
6 /
【详解】∵AB
DC
=
，BC
CB
=
，
∴当AC
DB
=
时，根据SSS可判定
ABC
DCB
△
≌△
；
故选：C．
3．（23-24 七年级下·山东济南·期末）如图，在
ABC
和DEF
中，AB
DE
=
，AC
DF
=
，要利用“SSS”判
定
ABC
DEF
≌
△
△
，则还需添加的条件为（ ）
A．BF
CF
=
B．BF
CE
=
C．CF
CE
=
D．
A
D
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角
形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS，两直角三角形全等还有HL等．根据全等三角形的判定定理SSS
推导即可．
【详解】解：∵
ABC
和DEF
中，AB
DE
=
，AC
DF
=
，
∴利用“SSS”判定
ABC
DEF
≌
△
△
的条件是BC
EF
=
或BF
CE
=
．
故选：B．
4．（23-24 八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知AB
AD
=
，根据“SSS”只需补充条件 就可以判定
ABC
ADC
△
≌△
．
【答案】BC
DC
=
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．对应的三边相等的两个
三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
CD
BC
AC
AC
=
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
7 /
(SSS)
ABC
ADC
△
≌△
．
故答案为：CD
BC
=
．
5．
（2024·山东德州·中考真题）如图，C 是AB 的中点，CD
BE
=
，请添加一个条件 ，使ACD
CBE
≌
．
【答案】
=
AD
CE 或
ACD
B
=
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使ACD
CBE
≌
，已知AC
BC
=
，CD
BE
=
，则可以添加一对边
=
AD
CE ，从而利用SSS来判定其全等，
或添加一对夹角
ACD
B
= ，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C 是AB 的中点，
∴AC
BC
=
，
∵CD
BE
=
，
∴添加
=
AD
CE 或
ACD
B
= ，
可分别根据SSS
SAS
、
判定ACD
CBE
≌
（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：
=
AD
CE 或
ACD
B
= ．
6．（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图，点C 是AD，BE 的中点，要用“SSS”证明
ABC
DEC
≌
△
△
，则只
需添加一个适当的条件是 ．
【答案】AB
DE
=
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“SSS”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明
的方法选择添加的条件．
先根据线段中点的定义得到AC
DC
=
，BC
EC
=
，则用“SSS”证明
ABC
DEC
≌
△
△
需要添加AB
DE
=
．
【详解】解：点C 是AD，BE 的中点，
AC
DC
=
，BC
EC
=
，
当添加AB
DE
=
时，
(SSS)
ABC
DEC
≌
△
△
．
学科网（北京）股份有限公司
8 /
故答案为：AB
DE
=
．
题型三：找出三角形全等的判断依据
1．（23-24 七年级下·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2 是该雨伞部分骨架示意图．测得
AB
AC
=
，点E ，F 分别是AB ，AC 的三等分点，ED
FD
=
，那么AED
AFD
≌
的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，由点E ，F 分别是AB ，AC 的三等分点，AB
AC
=
，得出AE
AF
=
，
根据三边对应相等，证明AED
AFD
≌
．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
【详解】解：∵点E ，F 分别是AB ，AC 的三等分点，
∴
1
3
AE
AB
=
，
1
3
AF
AC
=
，
∵AB
AC
=
，
∴AE
AF
=
，
在
AED
△
与
AFD
△
中，
AE
AF
ED
FD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
AED
AFD
△
△
≌
．
故选：D．
2．（2024·贵州黔东南·二模）如图，以点O为圆心，画弧AB ，分别交OM
ON
，
于点A B
，，再分别以点A B
，
为圆心，以大于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧在
MON
内交于点C ，作射线OP ，连接BC
AC
，
，则
OAC
OBC
≌
，判定三角形全等的依据是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
9 /
A．ASA
B．SSA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据题意可得OB
OA
=
和BC
AC
=
，结合OC
OC
=
即可利用SSS
证明OAC
OBC
≌
．
【详解】解：∵以点O为圆心，画弧AB ，分别交OM
ON
，
于点A B
，，
∴OB
OA
=
，
∵以点A B
，为圆心，以大于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧在
MON
内交于点C ，
∴BC
AC
=
，
∵OC
OC
=
，
∴
(
)
SSS
OAC
OBC
≌
，
故选：D．
3．
（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到
COD
C O D
△
≌△
的依据是（ ）
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图
是解题的关键．
【详解】解：由作图得：OC
OD
O C
O D
=
=
=
，CD
C D
=
，
在
COD
△
和
C O D
△
中，
学科网（北京）股份有限公司
10 /
OC
O C
OD
O D
CD
C D
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
COD
C O D
≌
，
∴能得到COD
C O D
≌
的依据是SSS．
故选：B．
4．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA
OB
，
于点C，D；②画一条射线O A
，以点O为圆心，OC 为半径画弧，交O A
于点C；③以点C为圆心，CD
长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点D¢；④过点D¢画射线O B
，则有
A O B
AOB
=
．其依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】A
【分析】本题考查了作图-基本作图和全等三角形的判定．利用基本作图得到
OC
OD
OC
OD
C D
CD
=
=
=
=
，
，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得OC
OD
OC
OD
C D
CD
=
=
=
=
，
，
所以
(
)
SSS
OCD
O C D
≌
，
所以
O
O
=
，
即
A O B
AOB
=
．
故选：A．
6．（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）图1 是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其
中AB
AD
=
，BC
DC
=
，将仪器上的点A 与
PRQ
的顶点R 重合，调整AB 和AD，使它们分别落在角的两
边上，则射线AE 就是
PRQ
的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
11 /
图1 图2
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题
的关键．由“SSS”证明
ABC
ADC
△
≌△
，可得
BAC
DAC
=
，可证AE 是
PRQ
的角平分线，即可求解．
【详解】解：在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
BC
CD
AC
AC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
BAC
DAC
=
，
∴AE 是
PRQ
角平分线，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·浙江宁波·阶段练习）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在
AOB
的边OA，OB 上分别取OM
ON
=
，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即
CM
CN
=
）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是
AOB
的平分线．这种做法的道理是（ ）
A．HL
B．SSS
C．SAS
D．ASA
【答案】B
【分析】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
学科网（北京）股份有限公司
12 /
【详解】解：由题意：OM
ON
=
，CM
CN
=
，OC
OC
=
，
(
)
COM
CON SSS
≌
，
COM
CON
=
．
故选：B．
8．（24-25 八年级上·河南周口·阶段练习）2024年3月15日—4 月21日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，
三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据DE
DF
=
，EH
FH
=
，
不用测量就知道
DEH
DFH
=
，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依
据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．HL
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
根据SSS即可证明
DHE
DHF
△
≌△
，可得
DEH
DFH
=
；
【详解】解：在DHE
和
DHF
△
中，
DH
DH
DE
DF
EH
FH
=
=
=
，
(
)
SSS
DHE
DHF
≌
，
DEH
DFH
=
；
故选：A
题型四：简单的利用“SSS”全等三角形的判断（解答题）
1．
（2025·云南西双版纳·二模）如图，,
,
,
A B C D 四点共线，AB
CD
=
，CF
BE
=
，AF
DE
=
．求证：ACF
DBE
△
≌△
．
学科网（北京）股份有限公司
13 /
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形SSS判
定即可证明．
【详解】证明：
AB
CD
=
，
AB
BC
CD
BC
+
=
+
，
AC
DB
=
，
在
ACF
△
和DBE
中，
AC
DB
CF
BE
AF
DE
=
=
=
，
(
)
SSS
ACF
DBE
△
≌△
．
2．
（24-25 八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F 在同一条直线上，AD
CF
AB
DE
BC
EF
=
=
=
，
，
．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)若
50
A
=
，
70
B
=
，求
F
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
（1）先证明AC
DF
=
，再运用SSS 证明
ABC
DEF
≌△
△
；
（2）根据三角形内角和定理可求
60
ACB
=
，由（1）知
F
ACB
=
，从而可得结论．
【详解】（1）
AD
CF
=
，
,
AD
DC
CF
DC
+
=
+
AC
DF
=
∴
学科网（北京）股份有限公司
14 /
在
ABC
与DEF
中
AC
DF
AB
DE
BC
EF
=
=
=
ABC
DEF
≌
（2）
ABC
DEF
≌
F
ACB
=
∴
180
180
50
70
60
ACB
A
B
=
−−=
−
−
=
60
F
=
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，D 是BC 上一点，AB
AD
=
，BC
DE
=
，AC
AE
=
．求证：
ABC
ADE
△
≌△
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
由SSS即可证明即可．
【详解】证明：在
ABC
和
ADE
中，
AB
AD
BC
DE
AC
AE
=
=
=
∴
(
)
SSS
ABC
DEF
≌
△
△
．
4．（24-25 八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形ABCD，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
．
(1)求证：ABD
CBD
≌
；
学科网（北京）股份有限公司
15 /
(2)证明：BD
AC
⊥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；
（1）直接根据SSS证明
ABD
CBD
≌
△
△
即可；
（2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明.
【详解】（1）证明：在ABD
和CBD
中
AD
CD
AB
CB
DB
DB
=
=
=
∴ABD
CBD
≌
（SSS）
（2）∵AD
CD
=
∴D在AC 的垂直平分线上
∵AB
CB
=
∴B 在AC 的垂直平分线上
∴BD是AC的垂直平分线
∴DB
AC
⊥
5．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）C 是AB 的中点，
=
AD
CE ，CD
BE
=
．求证：
(1)求证∶ACD
CBE
≌
；
(2)证明：
180
A
ECA
+
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、邻补角互补等知识点，证得ACD
CBE
≌
是解题的关键．
（1）由点C 是AB 的中点可得AC
BC
=
，然后根据SSS即可证明结论；
学科网（北京）股份有限公司
16 /
（2）由全等三角形的性质可得
A
BCE
=
，再根据邻补角相等可得
180
BCE
ECA
+
=
，最后运用等量代
换即可证明结论．
【详解】（1）证明：点C 是AB 的中点，
AC
BC
=
．
在
ADC
△
与CEB
中，
AD
CE
CD
BE
AC
BC
=
=
=
，
(
)
SSS
ACD
CBE
≌
．
（2）证明：∵ACD
CBE
≌
，
A
BCE
=
，
又
180
BCE
ECA
+
=
，
180
A
ECA
+
=
．
6．（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）如图，
28
25
AB
AD
CB
CD
BAD
D
=
=
=
=
，
，
，
．
(1)求证：
ABC
ADC
△
≌△
；
(2)求
BCD
度数．
【答案】(1)见解析
(2)78
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）利用SSS即可证明
ABC
ADC
△
≌△
；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出
141
ACB
ACD
=
=
，再根据周角定义求解即可．
【详解】（1）证明：在
ABC
和
ADC
△
中，
学科网（北京）股份有限公司
17 /
AB
AD
CB
CD
AC
AC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
；
（2）解：∵
ABC
ADC
△
≌△
，
∴
BAC
DAC
ACB
ACD
=
=
，
，
∵
28
BAD
BAC
DAC
=
+
=
，
∴
14
DAC
=
，
∵
25
D
=
，
∴
180
141
ACD
D
DAC
ACB
=
−
−
=
=
，
∴
360
78
BCD
ACB
ACD
=
−
−
=
．
7．
（23-24 七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB
DE
=
，AC
DF
=
，BE
CF
=
，
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
(2)若
45
B
=
，
85
F
=
，求
A
的度数
【答案】(1)见解析
(2)50
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此
题的关键．
（1）根据BE
CF
=
，可得出BC
EF
=
，即可判定
ABC
DEF
≌△
△
；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得
85
ACB
F
=
=
，在
ABC
中根据三角形内角和定理即可求出
A
．
【详解】（1）证明：
BE
CF
=
，
BE
EC
CF
EC
+
=
+
，
即BC
EF
=
，
在
ABC
和DEF
中，
学科网（北京）股份有限公司
18 /
AB
DE
AC
DF
BC
EF
=
=
=
，
(
)
SSS
ABC
DEF
≌
．
（2）解：
ABC
DEF
≌△
△
，
45
B
=
，
85
F
=
，
85
ACB
F
= =
，
180
50
A
ACB
B
=
−
−=
．
7．（23-24 八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在
ABC
的边BC 上取一点D，连接AD，在边BC 的延长
线上截取CE
BD
=
，点F 在边BC 下方，且
,
DF
AC EF
AB
=
=
．
(1)求证：
F
ABC
ED
≌△
△
；
(2)求证：AC
DF
∥
；
(3)若
2
DC
BD
=
，且
ABD
△
的面积为1，则四边形ADFC 的面积为 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)4
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算．
（1）根据CE
BD
=
，得到BC
DE
=
，结合
,
DF
AC EF
AB
=
=
，利用SSS即可证明
F
ABC
ED
≌△
△
；
（2）由（1）知
F
ABC
ED
≌△
△
，推出
ACB
EDF
=
，即可证明AC
DF
∥
；
（3）根据
2
DC
BD
=
，且
ABD
△
的面积为1，可求出
ADC
△
的面积为2 ，再根据（2）知AC
DF
∥
得到C 点
到DF 的距离与D点到AC 的距离相等，推出
ADC
△
的面积与
FDC
△
的面积相等，即可求出四边形ADFC 的
面积．
【详解】（1）证明：CE
BD
=
，
BD
CD
CE
CD
+
=
+
，即BC
DE
=
，
,
DF
AC EF
AB
=
=
，
(
)
SSS
ABC
FED
≌
；
（2）证明：由（1）知
F
ABC
ED
≌△
△
，
ACB
EDF
=
，
学科网（北京）股份有限公司
19 /
AC
DF
∥
；
（3）解：
2
DC
BD
=
，且
ABD
△
的面积为1，
ADC
△
的面积为2 ，
由（2）知AC
DF
∥
，
C 点到DF 的距离与D点到AC 的距离相等，
ADC
△
的面积与
FDC
△
的面积相等，
四边形ADFC 的面积为2
4
ADC
S
=
．
题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度
1．（24-25 八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在
ABC
和
ADC
△
中，AB
AD
=
，BC
DC
=
，
110
B
=
，
则
D
=（ ）
A．60
B．70
C．110
D．120
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定定理得出
ADC
ABC
≌
△
△
，根据全
等三角形的性质得出
D
B
= ，代入求出即可．
【详解】解：在
ADC
△
和
ABC
中，
AD
AB
AC
AC
CD
CB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ADC
ABC
△
≌△
，
∴
D
B
= ，
∵
110
B
=
，
∴
110
D
=
．
故选：C．
2．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如图，AB
AD
=
，CB
CD
=
，
30
B
=
，
46
BAD
=
，则
ACD
的
学科网（北京）股份有限公司
20 /
度数是（ ）
A．120
B．125
C．127
D．104
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相
等．
证
ABC
ADC
△
≌△
，得出
1
30 ,
23
2
B
D
BAC
DAC
BAD
=
=
=
=
=
，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵在
ABC
和
ADC
△
中
AB
AD
AC
AC
BC
CD
=
=
=
，
(
)
ABC
ADC SSS
≌
，
1
1
30 ,
46
23
2
2
B
D
BAC
DAC
BAD
=
=
=
=
=
=
，
180
180
30
23
127
ACD
D
DAC
=
−
−
=
−
−
=
，
故选：C．
3．
（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨AB
AC
=
，
支撑杆OE
OF
=
，
1
1
,
3
3
AE
AB AF
AC
=
=
，当O沿AD 滑动时，油纸伞开闭，若
130
BAC
=
，则
BAD
的
大小为（ ）
A．50
B．55
C．65
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SSS证明
AOE
AOF
△
≌△
，得出
BAD
CAD
=
，进
学科网（北京）股份有限公司
21 /
而可求出
BAD
的大小．
【详解】解：
BAD
CAD
=
理由：∵AB
AC
=
，
1
3
AE
AB
=
，
1
3
AF
AC
=
，
∴AE
AF
=
，
在
AOE
△
和AOF
中，
AE
AF
AO
AO
EO
FO
=
=
=
∴
(
)
SSS
AOE
AOF
△
≌△
，
∴
BAD
CAD
=
．
∵
130
BAC
=
，
∴
65
BAD
CAD
=
=
．
故选C．
4．（24-25 八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB
AC
=
，D，E
分别是AB ，AC 的中点，DM
EM
，
是连接弹簧M 和伞骨的支架，且
=
DM
EM ，在弹簧M 向上滑动的过
程中，若
30
MAD
=
，则
DAE
=（ ）
A．60
B．50
C．40
D．30
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到AD
AE
=
，又MD
ME
=
，AM
AM
=
，因此
(
)
SSS
ADM
AEM
△
≌△
，得到
MAD
MAE
=
，即可得出结论．
【详解】证明：∵D，E 分别是AB
AC
，
的中点，
∴
1
1
2
2
AD
AB
AE
AC
=
=
，
，
∵AB
AC
=
，
∴AD
AE
=
，
∵MD
ME
AM
AM
=
=
，
，
学科网（北京）股份有限公司
22 /
∴
(
)
SSS
ADM
AEM
△
≌△
，
∴
30 ,
MAD
MAE
=
=
，
∴
2
60
DAE
MAD
=
=
．
故选：A．
5．
（24-25 八年级上·湖北恩施·期中）如图，B 、C 、E 三点在同一直线上，且AB
AD
=
，AC
AE
=
，BC
DE
=
，
若
76
ADE
DAE
+
=
，则
ACB
的度数为（ ）
A．74
B．89
C．94
D．104
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用SSS可证明
ABC
ADE
△
≌△
，从
而得到
1
ABC
= ，
2
BAC
= ，再利用三角形外角性质及邻补角即可求出最后结果．
【详解】解：如图，
在
ABC
与
ADE
中，
AB
AD
AC
AE
BC
DE
=
=
=
，
(
)
SSS
ABC
ADE
≌
，
1
ABC
= ，
2
BAC
= ，
∴在
ABC
中，由三角形性质得：
3
1
76
2
ABC
A
B
A
A
E
D
C
D
E
=
+
= +
+
=
=
，
∴
180
3 104
ACB
=
−
=
，
故选：D．
6．
（24-25 八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在
ABC
和BDE
中，点C 在边BD上，AC 交BE 于点F ．若
学科网（北京）股份有限公司
23 /
AC
BD
=
，AB
ED
=
，BC
BE
=
，
50
=
°
ACB
，则AFB
= ．
【答案】100
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用SSS
判定ABC
DEB
≌
，即可得
50
ACB
DBE
=
=
，根据三角形的外角即可得．
【详解】解：在
ABC
和DEB
中，
AC
DB
AB
DE
BC
EB
=
=
=
(SSS)
ABC
DEB
≌
，
50
ACB
DBE
=
=
，
50
50
100
AFB
ACB
DBE
=
+
=
+
=
，
故答案为：100．
7．
（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点C 、E 分别为
ABD
△
的边BD、AB 上的点，AE
AD
=
，CE
CD
=
，
70
D
=
，
140
ECD
=
，则
B
的度数为 ．
【答案】30/30度
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知
识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连结AC ，由AE
AD
=
，CE
CD
=
，AC
AC
=
，根据“SSS ”证明
ACE
ACD
△
≌△
，则
70
AEC
D
=
=
，由
140
ECD
=
，求得
40
BCE
=
，则
30
B
AEC
BCE
=
−
=
，于是得到问题的答案．
【详解】解：连结AC ，
学科网（北京）股份有限公司
24 /
在
ACE
△
和ACD
中，
AE
AD
CE
CD
AC
AC
=
=
=
，
(SSS)
ACE
ACD
≌
，
70
AEC
D
=
=
，
140
ECD
=
，
180
180
140
40
BCE
ECD
=
−
=
−
=
，
70
40
30
B
AEC
BCE
=
−
=
−
=
，
故答案为：30．
8．
（24-25 八年级上·全国·期中）如图AB
CD
=
，线段AC 的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，
连接BE
DE
，
．若
65
CDE
=
，则
ABE
的度数为 ．
【答案】65/65度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接AE ，CE ，证明
(
)
SSS
ABE
CDE
≌
，则
65
ABE
CDE
=
=
，即可得到答案．
【详解】解：连接AE ，CE ，
∵线段AC 的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，
∴
,
AE
CE BE
DE
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
25 /
∵AB
CD
=
，
∴
(
)
SSS
ABE
CDE
≌
，
∴
65
ABE
CDE
=
=
，
故答案为：65
9．（24-25 八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点F，C 在BE 上，AC
DF
=
，BF
EC
=
，AB
DE
=
，AC
与DF 相交于点G，若
150
AGF
=
，则
ACB
的度数为 ．
【答案】75/75 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明
ABC
DEF
≌△
△
是解题的关键．先
证明BC
EF
=
，然后利用SSS即可证得
ABC
DEF
≌△
△
得
ACB
DFE
=
，然后根据三角形外角的性质即
可求解．
【详解】证明：∵BF
EC
=
，
∴BF
CF
CE
CF
+
=
+
，即BC
EF
=
，
∵在
ABC
和DEF
中，
AB
DE
BC
EF
AC
DF
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
DEF
≌
，
∴
ACB
DFE
=
．
∵
150
AGF
=
，
∴
150
ACB
DFE
AGF
+
=
=
，
∴
1 150
75
2
ACB
=
=
，
故答案为：75．
题型六：全等三角形判定“SSS”中尺规作图问题
1．
（2025 九年级下·全国·专题练习）如图，在由边长为1 的小正方形构成的6 8
´
的网格中，ABC
的顶点A，
学科网（北京）股份有限公司
26 /
B，C 均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在网格内找一点P，使得PCB
ABC
≌
，作出
PBC
△
．
(2)如图2，作
ABC
中BC 边上的中线AD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的性质和判定等知识．
（1）根据全等三角形的概念，结合全等三角形的判定定理找到符合要求的点P 即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，取格点E 和F ，连接EF 交BC 于点D，点D 即为BC 中点，连接AD
即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P 即为所求．（点P 在点A 右侧一个单位格点处）；
；
（2）解：如图所示，线段AD即为所求．（取格点E 和F ，连接EF 交BC 于点D，点D 即为BC 中点，连
接AD即可）．
2．（24-25 九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是4 4
的正方形网格，每个小正方形的顶
点称为格点，小正方形的边长均为1，ABC
的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网
格中画图，所画的图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹．
学科网（北京）股份有限公司
27 /
(1)在图①中在边AB 上找到格点D，连结CD，使CD
CA
=
．
(2)在图②中的
ABC
的内部找到一个格点E，连结BE
CE
、
，使
BEC
与图①中的
BDC
相等．
(3)在图③中的
ABC
的外部找到一个格点F，连结BF
CF
、
，使
BFC
与图①中的
BDC
相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握网格的特点是解题的关键．
（1）根据网格的特点作图即可；
（2）构造全等三角形即可；
（3）构造全等三角形即可．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求，
（2）如图，
BEC
即为所求，
（3）如图，
BFC
即为所求，
学科网（北京）股份有限公司
28 /
3．（24-25 八年级上·吉林·期中）图①、图②、图③均是6 7
的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格
点，且边长均为1，点A、B、C、D 均在格点上．请在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，画出
ABC
的边BC 上的高AM ．
(2)在图②中，画出
ABC
的中线BN ．
(3)在图③中，画出
ACD
的角平分线CF ．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【分析】（1）根据题意，作出垂线段AM ；
（2）AC 在网格上的中点N ，连结BN ；
（3）根据角平分线的定义作图即可；
【详解】（1）解：根据题意作图如下；
（2）解：根据题意作图如下；
学科网（北京）股份有限公司
29 /
（3）解：根据题意作图如下；
根据网格图可知，CD
CH
=
，DF
HF
=
，CF
CF
=
故
(
)
SSS
HCF
DCF
≌
，
故
HCF
DCF
=
，
故CF 为
HCD
的角平分线；
4．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，网格中的
ABC
与DEF
为轴对称图形．
(1)利用网格线作出
ABC
与DEF
的对称轴l；
(2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出
ABC
的面积=_______；
(3)在网格中画出以BC 为一边且与
ABC
全等（不与
ABC
重合）的A BC
．
【答案】(1)见详解
(2)3
(3)见解析
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS
判定三角形全等的方法是解题关键．
（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可；
学科网（北京）股份有限公司
30 /
（2）利用“割补法 ”即可求得
ABC
的面积；
（3）分别作出以BC 为公共边，且与
ABC
其它两边AC 、BC 对应相等的三角形即可．
【详解】（1）解：如图，连接AD，作出AD的垂直平分线l；
根据轴对称图形的性质可知，l 即是
ABC
与DEF
的对称轴；
（2）
ABC
的面积
1
1
1
2 4
2 2
1 4
2 1
3
2
2
2
= −
−
−
=
；
故答案为：3；
（3）作图如下：
A BC
即为所作．
5．（23-24 七年级下·河南郑州·期末）晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制
作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成．
(1)如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l 为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半．
(2)如图2，在制作骨架时，小明的作法是：作线段AB ，以点A，B 为圆心，以大于1
2 AB 长为半径作弧，两
弧相交于点D，E，在DE 上取点M，连接AM ，BM 、AE ， BE ，线段DE 所在的直线称为线段AB 的 ，
学科网（北京）股份有限公司
31 /
则AM = ，理由是 ．
(3)如图2， 扎完骨架后，ME 平分
AMB
吗？ 并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)垂直平分线；AM
BM
=
；垂直平分线的点到线段两端距离相等
(3)平分；理由见解析
【分析】此题考查了画轴对称图形，垂直平分线的尺规作图和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解
题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据轴对称性质画图即可；
（2）根据垂直平分线的性质求解即可；
（3）根据题意证明出
(
)
SSS
AME
BME
≌
，得到
AME
BME
=
，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）根据作图可得，线段DE 所在的直线称为线段AB 的垂直平分线，
则AM
BM
=
，理由是垂直平分线的点到线段两端距离相等；
（3）ME 平分
AMB
，理由如下：
∵DE 所在的直线称为线段AB 垂直平分线，
∴AM
BM
=
，AE
BE
=
又∵ME
ME
=
∴
(
)
SSS
AME
BME
≌
∴
AME
BME
=
∴ME 平分
AMB
．
6．（24-25 八年级上·辽宁营口·期中）如图，网格中的
ABC
与DEF
为轴对称图形．
学科网（北京）股份有限公司
32 /
(1)利用网格线作出
ABC
与DEF
的对称轴l；
(2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出
ABC
的面积= ．
(3)顶点在格点，找出以BC 为一边且与
ABC
全等（不与
ABC
重合）的三角形 个．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)1
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS
判定三角形全等的方法是解题关键．
（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可；
（2）利用“割补法 ”即可求得
ABC
的面积；
（3）分别作出以BC 为公共边，且与
ABC
其它两边AC 、BC 对应相等的三角形即可．
【详解】（1）解：如图，连接AD，作出AD的垂直平分线l；
根据轴对称图形的性质可知，l 即是
ABC
与DEF
的对称轴；
（2）
ABC
的面积
1
1
1
2 4
2 2
1 4
2 1
3
2
2
2
= −
−
−
=
；
故答案为：3；
（3）如图，以BC 为一边且与
ABC
全等（不与
ABC
重合）的三角形共有3 个．
学科网（北京）股份有限公司
33 /
故答案为：3．
7．（23-24 八年级上·吉林长春·期中）如图，所有的网格都是由边长为1 的小正方形构成，每个小正方形的
顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，
ABC
为格点三角形．图1，图2，图3 都是6 6
的正方形网格，点M，点N 都是格点，请分别按要求在网格中作格点三角形：
(1)在图1 中作MDE
，使MDE
是由
ABC
经过平移而得到的全等图形；
(2)在图2 中作
MNP
△
，使它与
ABC
全等（利用“边边边”）；
(3)在图3 中作NFG
，使NFG
是由
ABC
沿所给虚线翻折而得到的全等图形；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图−平移变换，轴对称变换，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、轴对称
的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据全等三角形的判定与性质作图即可．
（3）分别作点A ，B ，C 关于所给虚线的对称点N ，F ，G ，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图1 中，MDE
即为所求作．
学科网（北京）股份有限公司
34 /
（2）解：如图2 中，
MNP
△
即为所求作．
（3）解：如图3 中，NFG
即为所求作．
题型一：全等三角形的性质与”SSS”综合
1．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在
ABC
中，E 是边BC 上的一点，连接AE ．BD垂直平
分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ，连接DE ．
(1)若AB 的长为6，DEC
的周长为7，求
ABC
的周长．
(2)若
40
ABC
=
，
48
C
=
，求
CDE
的度数．
【答案】(1)19
学科网（北京）股份有限公司
35 /
(2)44
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AB
BE
=
，AD
DE
=
，由DEC
的周长为7 可得
7
DE
EC
CD
AC
EC
+
+
=
+
=
，于是可得
ABC
的周长
2
AB
BC
AC
AB
AC
EC
=
+
+
=
+
+
，于是得解；
（2）由三角形的内角和定理可得
9
180
2
ABC
C
BAD
−
=
=
−
，利用SSS可证得
BAD
BED
≌
△
△
，于是
可得
92
BED
BAD =
=
，由三角形外角的性质可得
BED
C
CDE =
−
，由此即可求出
CDE
的度数．
【详解】（1）解：
BD
是线段AE 的垂直平分线，
6
AB
BE
=
=
，AD
DE
=
，
DEC
的周长为7，
DE
EC
CD
+
+
AD
EC
CD
=
+
+
AD CD
EC
=
+
+
AC
EC
=
+
7
=
，
ABC
的周长
AB
BC
AC
=
+
+
AB
BE
EC
AC
=
+
+
+
6 6 7
= + +
19
=
；
（2）解：
40
ABC
=
，
48
C
=
，
180
1 0
40
48
92
8
ABC
C
BAD
−
=
−
=
=
−
−
，
∵在BAD
和BED
中，
AB
EB
BD
BD
AD
ED
=
=
=
，
(
)
SSS
BAD
BED
≌
，
92
BED
BAD =
=
，
92
48
44
CDE
BED
C
=
−
=
−
=
．
2．
（24-25 八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，
,
AB
AC AD
AE
=
=
，点B 、D 、E 在同一条直线上．BD
CE
=
，
且
68
BAC
=
．
学科网（北京）股份有限公司
36 /
(1)求证：
ABD
ACE
≌
△
△
；
(2)求
BEC
的度数．
【答案】(1)见解析(2)68
【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据“SSS”即可证明
ABD
ACE
≌
△
△
；
（2）根据
ABD
ACE
≌
△
△
得出
ABD
ACE
=
，根据外角的定义得到
BAC
BEC
=
，即可求解．
【详解】（1）证明：在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
AD
AE
BD
CE
=
=
=
，
(
)
SSS
ABD
ACE
≌
；
（2）解： 设AC 、BE 相交于点O，
ABD
ACE
≌
△
△
，
ABD
ACE
=
，
又
ABO
BAC
BOC
+
=
，
ACE
BEC
BOC
+
=
，
BAC
BEC
=
，
68
BAC
=
，
68
BEC
BAC
=
=
．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，AD
CB
E
F
=
，，是AC 上的两个动点，且DE
BF
=
．
学科网（北京）股份有限公司
37 /
(1)若点E
F
，运动至图①所示的位置，且AF
CE
=
．试说明：
ADE
CBF
≌
；
(2)若点E
F
，运动至图②所示的位置，仍有AF
CE
=
，则
ADE
CBF
≌
还成立吗？请说明理由；
(3)若点E
F
，不重合，且AF
CE
=
，则AD和CB 平行吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立．理由见解析
(3) AD
CB
∥
．理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在
不同图形中由AF
CE
=
得出AE
CF
=
是关键．
（1）由AF
CE
=
知AF
EF
CE
EF
+
=
+
，即AE
CF
=
，又AD
CB
=
、DE
BF
=
，由SSS可证ADE
CBF
≌
；
（2）由AF
CE
=
知AF
EF
CE
EF
−
=
−
，即AE
CF
=
，又AD
CB
=
、DE
BF
=
，由SSS可证
ADE
CBF
≌
；
（3）由（1）（2）知
ADE
CBF
≌
，所以
A
C
=
，可由平行线的判定得出AD
CB
．
【详解】（1）解：因为AF
CE
=
，
所以AF
EF
CE
EF
+
=
+
，
即AE
CF
=
．
在
ADE
和CBF
中，
AD
CB
DE
BF
AE
CF
=
=
=
，
，
，
所以
(SSS)
ADE
CBF
△
≌△
．
（2）解：成立．理由如下：
因为AF
CE
=
，
所以AF
EF
CE
EF
−
=
−
，即AE
CF
=
．
在
ADE
和CBF
中，
AD
CB
DE
BF
AE
CF
=
=
=
，
，
，
所以
(SSS)
ADE
CBF
△
≌△
．
（3）解：AD
CB
∥
．理由如下：
学科网（北京）股份有限公司
38 /
由（1）（2）知
ADE
CBF
≌
，
所以
A
C
=
，
所以AD
CB
．
4．
（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点,
,
,
B E C F 在一条直线上，
,
,
AB
DE AC
DF BE
CF
=
=
=
．
(1)如图（1），求证：
A
D
=
；
(2)如图（2），
70 ,
40 ,
A
B
FG
=
=
平分
DFE
交AC 于点G ，求
CGF
的度数．
【答案】(1)见详解
(2)35
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和外角关系，掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
（1）利用SSS 证明
ABC
DEF
≌△
△
即可求证；
（2）利用全等三角形的性质、角平分线和外角关系即可求解．
【详解】（1）证明：BE
CF
=
，
BE
EC
CF
EC
+
=
+
，
即BC
EF
=
，
在
ABC
和DEF
中，
AB
DE
AC
DF
BC
EF
=
=
=
，
(
)
ABC
DEF SSS
≌
，
A
D
=
；
（2）解：
70
40
A
B
=
=
，
，
180
A
B
ACB
++
=
，
180
180
70
40
70
ACB
A
B
=
−−=
−
−
=
，
由（1）知
ABC
DEF
≌△
△
，
70
DFE
ACB
=
=
，
FG 平分
DFE
，
学科网（北京）股份有限公司
39 /
1
35
2
GFC
DFC
=
=
，
∵
GFC
CGF
ACB
+
=
，
70
35
35
CGF
ACB
GFC
=
−
=
−
=
．
5．（24-25 八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在
ABC
中，E 是边BC 上的一点，连接AE ，BD垂直平
分AE ，垂足为F，交AC 于点D，连接DE ．
(1)求证：
BAC
BED
=
；
(2)若
ABC
的周长为18，DEC
的周长为6．
①求AB 的长；
②若
ABD
△
的面积为12，求点D 到BC 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)①6；②4
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性
质是解题关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质可得
,
BA
BE DA
DE
=
=
，再证出
ABD
EBD
△
≌△
，根据全等三角形的性
质即可得证；
（2）①先根据三角形的周长公式可得
6
AC
CE
+
=
，再根据
ABC
的周长为18 可得
12
AB
BE
+
=
，然后根
据BA
BE
=
求解即可得；
②先根据全等三角形的性质可得
EBD
△
的面积与
ABD
△
的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：∵BD垂直平分AE ，
∴
,
BA
BE DA
DE
=
=
，
在
ABD
△
和
EBD
△
中，
BA
BE
DA
DE
BD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
EBD
≌
，
学科网（北京）股份有限公司
40 /
∴
BAC
BED
=
．
（2）解：①∵DEC
的周长为6，
∴
6
DE
CD CE
+
+
=
，
∵DA
DE
=
，
∴
6
DA CD
CE
+
+
= ，即
6
AC
CE
+
=
，
∵
ABC
的周长为18，
∴
18
AB
AC
BE
CE
+
+
+
=
，
∴
(
)
18
18
6
12
AB
BE
AC
CE
+
=
−
+
=
−
=
，
又∵BA
BE
=
，
∴
1 12
6
2
AB =
=
；
②如图，过点D 作DG
BC
⊥
于点G ，
由上可知，
6
BE
AB
=
= ，
ABD
EBD
△
≌△
，
∴
EBD
△
的面积与
ABD
△
的面积相等，即为12，
∴1
12
2 BE DG
=
，即1
6
12
2
DG
=
，
∴
4
DG =
，
所以点D 到BC 的距离为4．
6．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，AB
AC
=
，BD
CD
=
，点E 在AD上，EM
AB
⊥
，垂足
为M ，EN
AC
⊥
，垂足为N ，求证：
(1) AD是
BAC
的平分线；
(2) EM
EN
=
．
【答案】(1)见解析
学科网（北京）股份有限公司
41 /
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义及性质，掌握全等三角形的判定及性
质是解题的关键，
（1）证明
(
)
ABD
ACD SSS
≌
，即可得证；
（2）根据角平分线的性质定理即可得证．
【详解】（1）解：在ABD
和ACD
中，
AB
AC
BD
CD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ACD SSS
≌
，
∴
BAD
CAD
=
，
∴AD是
BAC
的平分线；
（2）解：由（1）得AD是
BAC
的平分线，
∵EM
AB
⊥
， EN
AC
⊥
，
∴EM
EN
=
．
7．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在
ABC
中，点E 是BC 边上的一点．连接AE ，BD垂直
平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．
(1)若
ABC
的周长为19，AB 为6，求DEC
的周长
(2)若
35
ABC
=
，
50
C
=
，求
CDE
的度数．
【答案】(1)7
(2)45
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的证明与性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质可知，BA
BE
=
，DA
DE
=
，结合
ABC
的周长，可以推出CE
ED
DC
+
+
，即
可得到答案；
学科网（北京）股份有限公司
42 /
（2）根据三角形内角和定理，可知
BAD
，再证明
ABD
EBD
△
≌△
，得到
BED
，结合邻补角，得到
DEC
的度数，最后结合三角形内角和定理，推出
CDE
．
【详解】（1）解：BD垂直平分AE ，
6
AB =
6
BA
BE
=
=
，DA
DE
=
ABC
的周长为19
19
AB
BC
AC
+
+
=
2
19
AB
BE
EC
AD
DC
AB
EC
DE
CD
+
+
+
+
=
+
+
+
=
19
2
19
2 6
7
CE
ED
DC
AB
+
+
=
−
=
−=
DEC
的周长为：7
（2）解：
35
ABC
=
，
50
C
=
180
180
35
50
95
BAD
ABC
C
=
−
−
=
−
−
=
BD垂直平分AE ，
BA
BE
=
，DA
DE
=
又BD
BD
=
ABD
EBD
≌
95
BAD
BED
=
=
180
180
95
85
DEC
BED
=
−
=
−
=
180
180
85
50
45
CDE
DEC
C
=
−
−
=
−
−
=
题型二：全等三角形判定“SSS”中多结论问题
1．（2023 八年级上·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 的中点，则下列结论中：①
ABD
ACD
≌
△
△
；②
=
B
C
；③AD平分
BAC
；④AD
BC
⊥
，其中正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】由D 为BC 中点可得BD
CD
=
，利用SSS即可证明
ABD
ACD
≌
△
△
，根据全等三角形的性质逐一
学科网（北京）股份有限公司
43 /
判断即可.
【详解】解：∵D 为BC 的中点，
∴BD
CD
=
，
又∵AB
AC
AD
=
，
为公共边
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，故①正确，
∴
B
C
BAD
CAD
ADB
ADC
=
=
=
，
，
，
∵
180
ADB
ADC
+
=
，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，即AD
BC
⊥
，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4 个，
故选D.
2．（24-25 七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABDE 中，AB
DE
∥
，AB
BD
⊥
，点C 是边BD 上一
点，BC
DE
a
=
=
，CD
AB
b
=
=
，AC
CE
c
=
=
．下列结论：①ABC
CDE
；②
90
ACE
=
；③四边
形ABDE 的面积是(
)
2
a
b
+
；④(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a
b
c
ab
+
−
=
；其中正确的结论个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】证明
(
)
SSS
ABC
CDE
，由全等三角形的性质可得出
A
DCE
ACB
E
=
=
，
．由图形的面积可
得出③④正确．
【详解】解：∵AB
DE
∥
，AB
BD
⊥
，
∴
90
B
D
=
=
．
∵BC
DE
a
=
=
，CD
AB
b
=
=
，AC
CE
c
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
CDE
，故①正确；
∴
A
DCE
ACB
E
=
=
，
．
∵
90
A
ACB
+
=
，
∴
90
DCE
ACB
+
=
．
学科网（北京）股份有限公司
44 /
∵
180
DCE
ACB
ACE
+
+
=
，
∴
90
ACE
=
，
故②正确；
∵AB
DE
∥
，AB
BD
⊥
，
∴四边形ABDE 的面积是(
)
2
1
2 a
b
+
；
故③错误；
∵
ABC
ACE
DCE
ABDE
S
S
S
S
=
+
+
四边形
，
∴(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
∴(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a
b
c
ab
+
−
=
．
故④正确．
综上所述，正确的是①②④；
故选：B．
3．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知AE
DF
=
，AB
CD
=
，CE
BF
=
，以下结论：①
ACE
DBF
≌
；②
A
D
=
；③AC
CD
DF
=
+
；④1
2
= ；⑤
ACE
DBF
S
S
=
，其中正确的个数为（）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
利用“SSS”证ACE
DBF
≌
，依据全等三角形对应角相等，得
A
D
=
．分析线段关系，判断AC
CD
DF
=
+
不成立．由全等得
ACE
DBF
=
，进而推出1
2
= ．根据全等三角形面积相等，得
ACE
DBF
S
S
=
，统计
正确结论个数．
【详解】∵AB
CD
=
，
∴AB
BC
CD
BC
+
=
+
，即AC
DB
=
．
∵AE
DF
=
，CE
BF
=
，
学科网（北京）股份有限公司
45 /
∴ACE
DBF
≌
，
∴①正确．
∵ACE
DBF
≌
，
∴
A
D
=
，
∴②正确．
由前面已证AC
DB
=
，仅根据已知条件无法得出AC
CD
DF
=
+
，
∴③错误．
∵ACE
DBF
≌
，
∴
ACE
DBF
=
．
∵1 180
ACE
=
−
，
2
180
DBF
=
−
，
∴1
2
= ，
∴④正确．
由于ACE
DBF
≌
，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等，
∴
ACE
DBF
S
S
=
，
∴⑤正确．
综上，①②④⑤正确，正确的个数是4 个，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·河南洛阳·期末）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形PCQD 是
一个筝形，其中PC
PD
=
，CQ
DQ
=
，在探究筝形的性质时，得出如下结论：
①
PCQ
PDQ
△
≌△
；②PQ
CD
⊥
；③CE
DE
=
；④
PCQD
S
PQ CD
=
四边形
，其中正确的结论有 ．（填
序号）
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据SSS即可求证
PCQ
PDQ
△
≌△
，即可判
断①；根据PC
PD
=
，CQ
DQ
=
可得PQ 垂直平分CD，即可判断②③；根据
PCD
QCD
PCDQ
S
S
S
=
+
四边形
，即
可判断④．
学科网（北京）股份有限公司
46 /
【详解】解：在
PCQ
△
和PDQ
中，
PC
PD
CQ
DQ
PQ
PQ
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
PCQ
PDQ
≌
，故①正确，符合题意；
∵PC
PD
=
，CQ
DQ
=
，
∴PQ 垂直平分CD，
即
,
PQ
CD CE
DE
⊥
=
，故②③正确，符合题意；
PCD
QCD
PCDQ
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
PE CD
QE CD
=
+
(
)
1
2 PE
QE CD
=
+
1
2 PQ CD
=
，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②③．
故答案为：3．
5．（24-25 八年级上·吉林长春·期中）如图，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BD
CE
=
，且点B、D、E 在同一条直
线上．给出下面四个结论；
①
ABD
ACE
≌
△
△
；
②
ADE
CAE
ACE
=
+
；
③AD
CE
∥
；
④
BEC
DAE
=
．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过SSS可得出
ABD
ACE
≌
△
△
，即可判断①；根据
学科网（北京）股份有限公司
47 /
ABD
ACE
≌
△
△
可得
DAB
EAC
=
，DBA
ECA
=
，再通过外角和定理即可得出
ADE
CAE
ACE
=
+
，
即可判断②；根据已知条件无法得出AD
CE
∥
，即可判断③；根据
ABD
ACE
≌
△
△
可得
=
BDA
CEA
，
再根据
D
BDA
DA
AE
E
=
+
，CEA
BEC
AED
=
+
，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD
AE
=
，BD
CE
=
，
∴在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
AD
AE
BD
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
ACE
≌
△
△
，
故①正确；
∵
ABD
ACE
≌
△
△
，
∴
DAB
EAC
=
，
DBA
ECA
=
，
∵
ADE
DAB
DBA
=
+
，
∴
ADE
CAE
ACE
=
+
，
故②正确；
根据已知条件不能证明AD
CE
∥
，
故③不符合题意；
∵
ABD
ACE
≌
△
△
，
∴
=
BDA
CEA
，
∵
D
BDA
DA
AE
E
=
+
，
CEA
BEC
AED
=
+
，
∴
BEC
DAE
=
，
故④正确；
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
1．（23-24 八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
学科网（北京）股份有限公司
48 /
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110°
C．@代表ASA
D．◎代表∠DCA
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表110，
@代表SSS，◎代表
DCA
【详解】解：∵在
ABC
和
ADC
△
中
AB
AD
CB
CD
AC
AC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
25
BCA
DCA
BAC
DAC
=
=
=
，
（全等三角形的对应角相等），
∵
30
25
B
BAC
=
=
，
，
∴
180
125
BCA
B
BAC
=
−−
=
，
∴
360
2
360
2 125
110
BCD
BCA
=
−
=
−
=
；
故选：B．
2．（2024·陕西渭南·二模）如图，AC 垂直平分BD，垂足为E，连接AB
BC
CD
AD
、
、
、
，则图中全等的三
角形共有（ ）
A．2 对
B．3 对
C．4 对
D．5 对
【答案】B
【分析】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，垂直平分线的性质，注意：全等三角形的判定定理
学科网（北京）股份有限公司
49 /
有SAS,ASA,AAS,SSS．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：AC 垂直平分BD，
,
,
,
90
BE
DE AB
AD CB
CD
AEB
AED
BEC
DEC
=
=
=
=
=
=
=
，
,
ABE
ADE
CBE
CDE
=
=
，
在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
AC
AC
BC
CD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
ADC
≌
，
在ABE
和
ADE
中，
AE
AE
BE
DE
AB
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABE
ADE
≌
，
在
CBE
△
和CDE
中，
CE
CE
BC
DC
BE
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
CBE
CDE
≌
，
故有3 对三角形全等，
故选：B．
3．（23-24 八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中DEF
的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像
这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与DEF
全等的格点三角形有（ ）个．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决
本题的关键．用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图示2 3
排列的每6 个小正方形上都可找出4 个全等的三角形：
学科网（北京）股份有限公司
50 /
DAF
△
，BGQ
，CGQ
，
NFH
△
，AFH
，WBI
，QBI
，CKR
，CGR
，KWI
，
KRW
．共11 个.
故选：B．
4．（24-25 九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在
AOB
的
边OA、OB 上分别取OM
ON
=
，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M 、N 重合，连接点O与角
尺的顶点P ，得到
AOB
的平分线OP ，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．HL
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已
知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等．
【详解】解：∵OM
ON
=
，PM
PN
=
，OP
OP
=
，
∴
(
)
SSS
ONP
OMP
≌
∴
NOP
MOP
=
，即OP 为
AOB
的平分线．
故选：A．
5．（24-25 八年级上·吉林长春·期中）如图，已知DC
BC
=
，AD
AB
=
，
118
B
=
则
BAC
ACD
+
的度数
为（ ）
A．52
B．62
C．72
D．118
学科网（北京）股份有限公司
51 /
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
答的关键．
先根据全等三角形的判定证明
ABC
ADC
△
≌△
，则
ACB
ACD
=
，再利用全等三角形的性质和三角形内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵AB
AD
=
，BC
CD
=
，AC
AC
=
，
∴
(
)
ABC
ADC SSS
≌
，
∴
ACB
ACD
=
，
∵
118
B
=
，
∴
180
118
62
BAC
ACB
+
=
−
=
，
∴
62
BAC
ACD
+
=
，
故选：B．
6．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，已知
AOB
，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别
交OA
OB
，
于点E，F，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD ．若
28
AOB
=
，
则
BOD
的度数为（ ）
A．34
B．62
C．56
D．124
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．根
据作图过程可得OF
OD
EF
DE
=
=
，
，利用SSS证明EOF
DOE
≌
，即可得结果．
【详解】解：如图，连接DE
EF
，
，
根据作图过程可知：OF
OD
EF
DE
=
=
，
，
小学
初中
学科网（北京）股份有限公司
52 /
在EOF
和DOE
中，
OF
OD
EF
ED
OE
OE
=
=
=
SSS
EOF
DOE
≌
（
）
，
28
DOE
AOB
=
=
，
2
56
BOD
AOB
=
=
，
则
BOD
的度数为56．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在ACD
和BCE
中，
50
150
CA
CB
AD
BE
CD
CE
ACE
BCD
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，AD与BE相交于点P，则
BPD
的度数为（ ）
A．140
B．130
C．120
D．110
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
由条件可证
≌
ACD
BCE
，可求得
ACB
，再利用三角形内角和求得
APB
ACB
=
，即可求解，
【详解】解：在ACD
和BCE
中，
AC
BC
AD
BE
CD
CE
=
=
=
，
(SSS)
ACD
BCE
≌
，
,
ACD
BCE
A
B
=
= ，
BCA
ACE
ACE
ECD
+
=
+
，
(
)
1
1
(
)
150
50
50
2
2
ACB
ECD
BCD
ACE
=
=
−
=
−
=
，
B
ACB
A
APB
+
= +
，
50
APB
ACB
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
53 /
180
50
130
BPD
=
−
=
，
故选：B．
8．（24-25 八年级上·福建厦门·期末）如图，已知
ABC
与DEF
，B
E
C
D
，，，
四点在同一条直线上，其
中AB
DF
=
，BC
EF
=
，AC
DE
=
，则
ACB
等于（ ）
A．
EFD
B．
ABC
C．2 D
D．1
2
AFE
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明
(
)
SSS
ABC
DFE
△
≌△
可得
ACB
DEF
=
，进而由三角形外角性质
AFE
ACB
DEF
=
+
可得
1
2
ACB
AFE
=
，即可求解，掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解：在
ABC
和
DFE
△
中，
AB
DF
BC
FE
AC
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
DFE
△
≌△
，
∴
ACB
DEF
=
，
∵
AFE
ACB
DEF
=
+
，
∴
1
2
ACB
AFE
=
，
故选：D ．
9．
（24-25 八年级上·河南新乡·期中）如图，在
ABC
中，AD
DE
=
，AB
BE
=
，
80
A
=
，则
CED
= ．
【答案】100
学科网（北京）股份有限公司
54 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明
ABD
EBD
△
≌△
得出
80
BED
A
= =
，即
可得解．
【详解】解：在
ABD
△
和
EBD
△
中，
AD
ED
BD
BD
AB
EB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABD
EBD
△
≌△
，
∴
80
BED
A
= =
，
∴
180
100
CED
BED
=
−
=
，
故答案为：100．
10．（24-25 八年级上·山西朔州·期中）如图，在
ABC
和BDE
中，点C 在边BD上，AC 交BE 于点F ．若
AC
BD
=
，AB
ED
=
，BC
BE
=
，
50
=
°
ACB
，则
BFC
= ．
【答案】80
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关
键．先利用SSS定理证出ABC
DEB
≌
，根据全等三角形的性质可得
50
ACB
DBE
=
=
，再根据三角形
的内角和定理求解即可得．
【详解】解：在
ABC
和DEB
中，
AB
DE
AC
DB
BC
EB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
DEB
≌
，
∴
50
ACB
DBE
=
=
，
∴
180
80
BFC
ACB
DBE
=
−
−
=
，
故答案为：80．
11．（24-25 八年级上·河南南阳·期中）如图，CA
CB
=
，AD
BD
=
，M 、N 分别是CA 、CB 的中点，若BDN
学科网（北京）股份有限公司
55 /
的面积为5
2 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由三角形中线求面积，连接CD，利用SSS证明ACD
BCD
≌
，
根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接CD，
在ACD
和
BCD
△
中，
CA
CB
CD
CD
AD
BD
=
=
=
，
(
)
SSS
ACD
BCD
≌
，
ACD
BCD
S
S
=
△
△
，
M
N
、
分别是CA CB
、
的中点，
1
2
BDN
CDN
BCD
S
S
S
=
=
，
1
2
ADM
CDM
ACD
S
S
S
=
=
，
∴阴影部分的面积
5
2
5
2
2
BDN
S
=
=
=
，
故答案为：5．
12．
（23-24 八年级上·吉林松原·期末）如图，AD是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，
连接EF 交AD于点G ，下列结论：BE
DE
=
①
；AE
AF
=
②
；EG
AG
=
③
；
AD
EF
⊥
④
；
EDA
FDA
=
⑤
，
正确的是 （填序号）．
学科网（北京）股份有限公司
56 /
【答案】②④⑤
【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线
的性质，得DE
DF
=
，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点D 在EF 的垂直平分线上；根据等角
对等边，AE
AF
=
，则点A 在EF 的垂直平分线上，从而可证得AD
EF
⊥
；又因为AE
AF
=
，AG 为公共边，
AD是角平分线，从而可根据SAS证明
AEG
AFG
≌
△
△
，则有EG
GF
=
，由
(
)
SSS
AED
AFD
≌
则有
EDA
FDA
=
，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】∵AD为
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于E ，DF
AC
⊥
于F ，
∴DE
DF
=
，
∴点D 在EF 的垂直平分线上，
DEF
DFE
=
，
∵
90
DEA
DFA
=
=
，
∴
FEA
EFA
=
，
∴AE
AF
=
，故②正确；
∴点A 在EF 的垂直平分线上，
∴AD
EF
⊥
，故④正确；
∵AE
AF
=
，
EAG
FAG
=
，AG
AG
=
，
∴
(
)
SAS
AEG
AFG
≌
，
∴EG
GF
=
，故③错误，
由AE
AF
=
，DE
DF
=
，AD
AD
=
∴
(
)
SSS
AED
AFD
≌
，
∴
EDA
FDA
=
，故⑤正确；
∵
ABC
的大小不确定，
∴不能确定BE
DE
=
，故①错误，
综上可知：②④⑤正确，
故答案为：②④⑤．
13．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）如图，AB
DE
BC
EF
AF
CD
=
=
=
，
，
．
学科网（北京）股份有限公司
57 /
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)若
30
75
A
E
=
=
，
，求
BCF
的度数．
【答案】(1)见解析(2)105
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等
三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）先说明AC
DF
=
，再运用SSS证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得
75
B
E
= =
，再运用三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵AF
CD
=
，
∴AF
CF
CD CF
−
=
−
，即：AC
DF
=
．
在
ABC
与DEF
中，
AB
DE
AC
DF
BC
EF
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
DEF
△
△
≌
．
（2）解：∵
ABC
DEF
≌
△
△
∴
75
B
E
= =
，
∴
30
75
105
BCF
=
+
=
．
14．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1 是一个平分角的仪器，其中OD
OE
=
，FD
FE
=
．
(1)如图2，将仪器放置在
ABC
上，使点O 与顶点A 重合，D，E 分别在边AB ，AC 上，沿AF 画一条射线
AP ，交BC 于点P．试证明仪器画出的AP 是
BAC
的平分线．
学科网（北京）股份有限公司
58 /
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ
AB
⊥
于点Q，若
3
PQ =
，
7
AB =
，
ABC
的面积是18，求AC
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
5
AC =
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据SSS证明ADF
AEF
≌
，得出
DAF
EAF
=
，即可得证；
（2）过点P 作PG
AC
⊥
于点G，根据角平分线的性质得出
3
PG
PQ
=
=
，然后根据等面积法求解即可．
【详解】（1）证明：在
ADF
△
和
AEF
△
中，
AD
AE
FD
FE
AF
AF
=
=
=
，
(SSS)
ADF
AEF
≌
．
DAF
EAF
=
，
即
BAP
CAP
=
，
AP
平分
BAC
．
（2）解：如图，过点P 作PG
AC
⊥
于点G．
AP
平分
BAC
，PQ
AB
⊥
，
3
PG
PQ
=
=
．
ABC
ABP
ACP
S
S
S
=
+
且
18
ABC
S
=
，
1
1
18
2
2
AB PQ
AC PG
+
=
7
AB =
，
3
PQ =
，
1
1
7 3
3
18
2
2
AC
+
=
，
5
AC
=
．
15．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在
ABC
和DEF
中，点B
E
C
F
，，，
在同一条直线上，
AB
DE
BE
=
=
，
CF
AC
DF
=
，
．
学科网（北京）股份有限公司
59 /
(1)求证：
A
D
=
；
(2)若
5
2
BF
CE
=
=
，
，求BC 的长．
【答案】(1)见解析(2)3.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键；
（1）根据题意证明BC
EF
=
，进而根据SSS证明
ABC
DEF
≌△
△
，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据BC
EF
=
，得出
(
)
1
2
BC
EC
BF
=
+
，代入数据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BE
CF
=
∴BE
EC
CF
EC
+
=
+
，即BC
EF
=
又∵
,
AB
DE AC
DF
=
=
∴
(
)
SSS
ABC
DEF
≌
∴
A
D
=
；
（2）解：∵BC
EF
=
∴
2
EC
BC
EF
BF
BC
BF
=
+
−
=
−
∴
(
)
(
)
1
1
2
5
3.5
2
2
BC
EC
BF
=
+
=
+
=
16．（2024·江西·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，点D 是AB 延长线上一点，且AB
BD
=
，
请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹)
(1)如图1，E 是线段BC 延长线上一点，连接AE ，在图中作出一个以点D 为顶点的
，使
CAE
=
；
(2)如图2，E 是
ABC
外一点，连接AE
CE
，
，在图中作出一个以点D 为顶点的
，使
CAE
=
.
学科网（北京）股份有限公司
60 /
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握
知识点是解题的关键．
（1）连接
,
DE DC ，根据
EAC
EDC
△
≌△
即可说理；
（2）延长AE 交射线BC 于点F ，连接
,
DF CD ，同（1）可证明
FAC
FDC
△
≌△
，即可说理．
【详解】（1）解：如图1，
即为所求：
连接
,
DE DC ，
由题意得BE 垂直平分AD，
∴
,
CA
CD EA
ED
=
=
，
∵EC
EC
=
，
∴
EAC
EDC
△
≌△
，
∴
EDC
EAC
=
，
∴
EDC
=
即为所求；
（2）解：如图1，
即为所求：
延长AE 交射线BC 于点F ，连接
,
DF CD ，
同上可证明
FAC
FDC
△
≌△
，
故
FDC
=
即为所求．
