文档内容
14.3 角的平分线(第 1 课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是角的平分线第一课时，主要内容是“用尺规作图：作一个角的平分线”和“探索并证明角平
分线的性质定理”。通过情境引入，引导学生从度量法、折叠法的局限性过渡到探究尺规作角平分线的方
法；通过画图、测量、猜想、验证及证明，探究并得出角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的
距离相等），归纳证明几何命题的步骤，辅以例题、练习及中考真题巩固。
2. 内容分析
本节内容是全等三角形知识的运用和延续。用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的
“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定
方法和全等三角形的性质。角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分
线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。对角平分线性质的探究，遵循“操作—猜想
—验证—证明”的几何命题研究路径，既培养学生的直观感知，又提升逻辑推理能力，为后续学习几何定
理的探究与证明奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用尺规作图：作一个角的平分线；掌握角平分线的性质
定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单
问题。
（2）经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题
时，体会转化思想。
（3）在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思
考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生需明确尺规作角平分线的具体步骤，并能解释每一步的作图依据；对于性质定理，不仅要
能表述“角平分线上的点到角两边的距离相等”，还要能结合图形写出已知、求证，并利用全等三角形的
判定和性质进行证明，同时能运用该性质解决线段长度等问题。
（2）学生通过画图、测量、猜想等直观手段，初步感知“角平分线上的点到角两边的距离相等”；
通过几何画板演示验证加强合情推理，体会理性直观；利用全等三角形的判定和性质证明该定理，则是对逻辑思维能力的培养，这种连续性的数学思维强化了知识的关联性与系统性，有助于培养学生解决问题的
思维习惯，逐步形成“有理有据、步步推进”的数学素养，为后续更复杂的几何探究奠定思维基础。
（3）在探究角平分线尺规作图原理的推导和性质定理的证明过程中，发展直观想象和数学抽象素养，
提升逻辑推理能力。在解决实际问题时，学生能够将实际情境抽象为数学模型，运用性质定理解决问题，
增强数学建模意识和应用意识。
三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）尺规作图环节，学生可能对作图原理缺乏清晰认知，仅停留在模仿步骤层面。
（2）探究角平分线的性质时，学生易混淆“点到边的距离”与“点到顶点的距离”，导致对性质的
理解偏差。证明性质定理时，学生可能忽略“距离”需满足“垂直”条件，在写已知、求证时遗漏
“PM⊥OA、PN⊥OB”等关键条件，影响证明的严谨性。
（3）应用性质解决问题时，难以快速识别图形中符合“角平分线+距离”的条件，无法灵活将性质与
全等三角形等知识结合。
2. 解决策略
（1）在尺规作图的过程中，多设置问题与思考，让学生主动寻找解决办法，明晰每一步作图的目的
和依据。
（2）对于“距离”概念的混淆，可设计画图对比，判断正误的练习，让学生直观感受两者的区别，
强调“距离”的垂直特征。证明性质定理时，先让学生自主写出已知、求证，再小组讨论补充完善，教师
针对性点评，突出“垂直”条件的必要性；最后让学生用几何语言规范证明，强化严谨性。
（3）应用环节，设计分层练习：基础题明确标注垂直条件，让学生直接应用性质；提高题隐藏垂直
条件，引导学生通过作辅助线（垂线）构造性质适用的图形，逐步培养学生的条件识别和转化能力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练运用角平分线的性质定理解决问题。
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？设计意图：先让学生回忆起角平分线的基本概念及简易获取方式，再将材质换成木板、钢板，制造认
知冲突。因为木板、钢板难以像纸片一样对折，促使学生思考在无法折叠的情况下，如何精准作出角平分
线，自然过渡到后续对角平分线的尺规作图等知识的探究，培养学生解决实际问题、灵活变通的思维。
（二）合作探究
探究1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研
究PM与PN的关系.
追问 在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN?
解 当OM=ON时，PM=PN.理由如下：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠POM=∠PON.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ PM=PN.
探究1 反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，
PM=PN，则点P的位置有什么特点？
解 点P在∠AOB的平分线上.理由如下：
连接OP.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ ∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上.
思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
追问 如何作出OM=ON？如何作出PM=PN？分析 根据上述结论：
①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
②在角的内部作出与这两点距离相等的点.
③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
作法 如图，已知∠AOB.
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
1
(2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
2
(3)作射线OC.射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
1
追问 在（2）中，为什么半径要大于 MN的长？
2
答 为了保证两段弧有交点.
基本尺规作图 作一个角的平分线.
关联 “用角尺平分角”和“用角平分仪平分角”的原理与尺规作图“作一个角的平分线”一致.
探究2 如图，OC是∠AOB 的平分线.点P，P，P，…在OC上， 过
1 2 3
点P，P，P，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D 与E、D 与
1 2 3 1 1 2
E、D 与E …...分别比较PD 与PE、PD 与PE、PD 与
2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3
PE……，你有什么发现？
3 3
发现 PD=PE，PD=PE，PD=PE，…
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
猜想 角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
信息技术验证
追问 如何证明猜想呢？
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
分析 如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角
边”的条件.
证明 ∵ OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图：探究1中，引导学生主动思考条件与结论的关联，培养逻辑推理能力，让学生学会从几何
图形的元素关系中，挖掘隐含条件和规律，提升分析问题、解决问题的能力。探究 2中，从特殊实例的观
察测量到归纳猜想，符合学生的认知规律；从猜想出发，进行严格几何证明，引导学生经历 “猜想 - 验
证（信息技术辅助） - 逻辑证明” 的完整过程，强化演绎推理能力，总结几何命题证明的一般步骤，形
成通用的几何证明方法体系。
（三）典例分析
例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.
(2)分别以点C，D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部
相交于点E.
(3)作射线OE，交MN于点P，点P即为所求.
例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分
别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.
证明 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.
在△PDF和△PEG中，
∴ △PDF≌△PEG(SAS).
∴ PF=PG.设计意图：例1中，将作图与实际位置结合，培养学生把理论知识转化为实际操作，解决有条件限制
的几何作图问题的能力，提升几何直观和实践应用意识。例2中，以角平分线的性质为基础，结合全等三
角形的判定，构建综合证明题。通过完整的证明过程，训练学生的逻辑推理能力，规范证明步骤的书写，
让学生熟练掌握几何证明的推理链条。
（四）巩固练习
1．如图，OP是∠MON的平分线，已知PC⊥OM于点C，且PC=2，则点P到ON的距离是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ C ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点P(m−1，2 n)，则m与n的
数量关系是 m+2n=1 ．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2025•内蒙古）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适
1
当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧（两
2
弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度
数为（ D ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．（2024·天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，
1
交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相
2
等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ B ）
A．60∘ B．65∘ C．70∘ D．75∘
3．（2024•绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，
△ABD的面积为5，则DE的长为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．5
第1题图 第2题图 第3题图
4．（2025•陕西）如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作
一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图，点P即为所求；
5．（2023·河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
（1）解：如图所示.
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE=BE．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理角平分线的定义、画法和性质，并展望新知（角平分线的判定），
将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对角平分线相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.3 第1，4，5题.
2.探究性作业：习题14.3 第6，7题.
五、教学反思
