文档内容
14.3 角的平分线(第 1 课时) 导学案
一、学习目标
1.会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题。
2.经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，
体会转化思想。
3.在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和
表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
学习重点：能用尺规作图：作一个角的平分线；掌握角平分线的性质定理。
学习难点：能熟练运用角平分线的性质定理解决问题。
二、学习过程
（一）情境引入
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?
（二）合作探究
探究1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研
究PM与PN的关系.
追问 在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN?
探究1 反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，
PM=PN，则点P的位置有什么特点？思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗?
追问 如何作出OM=ON？如何作出PM=PN？
作法 如图，已知∠AOB.
(1) .
(2) .
(3) .
作图区域：
A
O B
1
追问 在（2）中，为什么半径要大于 MN的长？
2
基本尺规作图 .
探究2 如图，OC是∠AOB 的平分线.点P，P，P，…在OC上， 过
1 2 3
点P，P，P，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D 与E、D 与
1 2 3 1 1 2
E、D 与E …...分别比较PD 与PE、PD 与PE、PD 与
2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3
PE……，你有什么发现?
3 3
发现 .
猜想 角的平分线有以下性质： .
追问 如何证明猜想呢？
已知： .
求证： .证明：
角的平分线的性质： .
归纳
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的 和 ；
2.根据题意，画出 ，并用数学 表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 .
（三）典例分析
例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
A
M N
B
O
例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分
别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.
（四）巩固练习
1．如图，OP是∠MON的平分线，已知PC⊥OM于点C，且PC=2，则点P到ON的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点P(m−1，2 n)，则m与n的
数量关系是 ．
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025•内蒙古）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适
1
当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧（两
2
弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度
数为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．（2024·天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，1
交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相
2
等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ ）
A．60∘ B．65∘ C．70∘ D．75∘
3．（2024•绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，
△ABD的面积为5，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
第1题图 第2题图 第3题图
4．（2025•陕西）如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作
一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
5．（2023·河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题14.3 第1，4，5题.
2.探究性作业：习题14.3 第6，7题.
