14.3平方差和完全平方公式（知识解读+达标检测）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2025版

14.3 平方差和完全平方公式 【考点1: 平方差公式运算】 【考点2:平方差公式的几何背景】 【考点3:完全平方公式】 【考点4: 完全平方公式下得几何背景】 【考点5: 完全平方公式的逆运算】 知识点1：平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 1. 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又 有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【考点1: 平方差公式运算】 【典例1】计算： (1)(x+5)(2x−7)；(2)20202−2019×2021（用乘法公式简算）； 【答案】(1)2x2+3x−35 (2)1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：(x+5)(2x−7) =2x2−7x+10x−35 =2x2+3x−35； （2）解：20202−2019×2021 =20202−(2020−1)×(2020+1) =20202−(20202−1)） =20202−20202+1 =1． ( 1 1 )( 1 1 ) 【变式1-1】计算： − y+ x − y− x 2 3 2 3 1 1 【答案】 y2− x2 4 9 【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算即可得到答案． ( 1 1 )( 1 1 ) 【详解】解： − y+ x − y− x 2 3 2 3 ( 1 ) 2 (1 ) 2 = − y − x 2 3 1 1 = y2− x2 ． 4 9 【变式1-2】计算：(2a−3b)(2a+3b)(4a2+9b2) 【答案】16a4−81b4【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算即可得到答案． 【详解】解：(2a−3b)(2a+3b)(4a2+9b2) =(4a2−9b2)(4a2+9b2) =16a4−81b4． 【变式1-3】计算： (1)1232−122×124； (2)(x−2y)(x+2y)+x(2x−y)． 【答案】(1)1 (2)3x2−4 y2−xy 【分析】本题考查平方差公式以及单项式乘多项式． （1）将原式化为1232−(123−1)×(123+1)，利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式以及单项式乘多项式展开，再合并即可求解． 【详解】（1）解：1232−122×124 =1232−(123−1)×(123+1) =1232−1232+1 =1； （2）解：(x−2y)(x+2y)+x(2x−y) =x2−4 y2+2x2−xy =3x2−4 y2−xy． 【考点2:平方差公式的几何背景】 【典例2】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方 形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是______． A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B．a2−b2=(a+b)(a−b) C．a2−ab=a(a−b) (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a−b=3,a2−b2=21，求a+b的值； ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ②计算： 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− × 1− ． 22 32 42 20232 20242 【答案】(1)B 2025 (2)①7；② 4048 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可； ②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 【详解】（1）∵从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩余部分拼成一个 长方形（如图2)， ∴图1剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，二者相等，从而能验证的等式为： a2−b2=(a+b)(a−b)． 故选：B． （2）①∵a−b=3,a2−b2=21,a2−b2=(a+b)(a−b)， ∴21=(a+b)×3， ∴a+b=7； ②原式( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) = 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ ⋯⋯ 1− 1+ 1− 1+ 2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024 1 3 2 4 3 5 2022 2024 2023 2025 = × × × × × ×⋯⋯× × × × 2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024 1 2025 = × 2 2024 2025 = ． 4048 【变式2-1】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长 方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知x2−4 y2=12，x+2y=4，求x−2y的值． ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) ②计算： 1− 1− 1− ⋯⋯ 1− 1− ． 22 32 42 20232 20242 【答案】(1)a2−b2=(a+b)(a−b) 2025 (2)①3；② 4048 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①由平方差公式进行计算即可； ②将原式化为( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )，即 1− 1+ 1− 1+ … 1− 1+ 2 2 3 3 2024 20241 3 2 4 2023 2025 × × × ×…× × ，据此求解即可． 2 2 3 3 2024 2024 【详解】（1）解：图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图2是长为a+b， 宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)， 所以有a2−b2=(a+b)(a−b)， 故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)； （2）解：①∵x2−4 y2=12，即(x+2y)(x−2y)=12，而x+2y=4， ∴x−2y=12÷4=3； ( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 ) ②原式= 1− 1+ 1− 1+ … 1− 1+ 2 2 3 3 2024 2024 1 3 2 4 2023 2025 = × × × ×…× × 2 2 3 3 2024 2024 1 2025 = × 2 2024 2025 = ． 4048 【变式2-2】如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长 方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（ ）（请选择正确的一个）． A．a2−b2=(a+b)(a−b)；B．a2−2ab+b2=(a−b) 2；C．a2+ab=a(a+b) (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知a2−b2=28，a+b=7，则a−b= ______； ②计算：502−492+482−472+⋯42−32+22−12． ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ③计算： 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− 1− ． 22 32 42 492 502【答案】(1)A 51 (2)①4；②1275；③ 100 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式化简计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可． ③利用平方差公式将解答即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2， 图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)， 所以有a2−b2=(a+b)(a−b)， 故答案为：A； （2）解：①∵a2−b2=(a+b)(a−b)，a2−b2=28，a+b=7， ∴a−b=4； ②原式=(50+49)(50−49)+(48+47)(48−47)+⋯+(4+3(4−3)+(2+1)(2−1) =50+49+48+47+⋯+4+3+2+1 =1275； ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) ③原式= 1+ 1− × 1+ 1− ×⋯× 1+ 1− × 1+ 1− 2 2 3 3 49 49 50 50 3 1 4 2 50 48 51 49 = × × × ×⋯× × × × 2 2 3 3 49 49 50 48 1 51 51 = × = ． 2 50 100 【变式2-3】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开， 拼成图②的长方形．(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ． A．a2−b2=(a+b)(a−b) B．(a−b) 2=a2−2ab+b2 C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a(a+b) (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知4m2−n2=12，2m+n=4，求2m−n的值； ②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 【答案】(1)A (2)①3；②264−1 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算； （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，而图②的阴影部分为长为(a+b)，宽为 (a−b)的矩形，可表示出面积为(a+b)(a−b)； （2）①用平方差公式分解4m2−n2，将已知值代入可求解； ②原式乘以(2−1)，应用平方差公式展开后合并同类项即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为a2−b2，图②阴影部分是长为(a+b)，宽为(a−b)的长方 形，因此面积为(a+b)(a−b)，由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，a2−b2=(a+b)(a−b)， 故选：A； （2）①∵ 4m2−n2=12， ∴(2m+n)(2m−n)=12， 又∵2m+n=4， ∴2m−n=12÷4=3； ②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(28−1)(28+1)(216+1)(232+1) =(216−1)(216+1)(232+1) =(232−1)(232+1) =264−1． 知识点3：完全平方公式 ab2 a2 2abb2 1.完全平方公式： (ab)2  a2 2abb2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 2.拓展、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【考点3:完全平方公式】 【典例3】计算：(2y+3) 2= ． 【答案】4 y2+12y+9 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据(x+ y) 2=x2+2xy+ y2进行求解即可． 【详解】解：(2y+3) 2=4 y2+12y+9， 故答案为：4 y2+12y+9． 【变式3-1】计算：（m−2n）2= ． 【答案】m2−4mn+4n2 【分析】本题考查完全平方公式，准确计算是解题的关键，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（m−2n）2=m2−4mn+4n2 故答案为：m2−4mn+4n2． 【变式3-2】( ) 2 =4a2+12ab+9b2 【答案】2a+3b 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．【详解】解：4a2+12ab+9b2=(2a) 2+2⋅2a⋅3b+(3b) 2=(2a+3b) 2， 故答案为：2a+3b． 【变式3-3】计算：(a+b+1) 2= ． 【答案】a2+2ab+b2+2a+2b+1 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可得，掌握完全平方公式是解题的 关键． 【详解】解：(a+b+1) 2 =[(a+b)+1) 2 =(a+b) 2+2(a+b)+1 =a2+2ab+b2+2a+2b+1， 故答案为：a2+2ab+b2+2a+2b+1． 【考点4: 完全平方公式下得几何背景】 【典例4】若x满足(9−x)(x−4)=4，求(9−x) 2+(x−4) 2的值． 解：设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5． 所以(9−x) 2+(x−4) 2＝a2＋b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足(5−x)(x−2)=2，求(5−x) 2+(x−2) 2的值； (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形 EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边作正方形．①正方形MFRN的边长为a，正方形DFGH的边长为b，则a−b=________；ab= _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积． 【答案】(1)5 (2)①2；24；②20 【分析】（1）设5−x=a，x−2=b，则(5−x)(x−2)=ab=2，a+b=(5−x)+(x−2)=3，根据 (5−x) 2+(x−2) 2＝a2+b2=(a+b) 2−2ab代入计算即可解答； （2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF，正方形MFRN的边长为a，正方形 DFGH的边长为b，表示出a−b和ab即可；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方 公式求解即可． 【详解】（1）解：设5−x=a，x−2=b，则(5−x)(x−2)=ab=2，a+b=(5−x)+(x−2)=3． 所以(5−x) 2+(x−2) 2＝a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2×2=5． （2）解：①由题意得，MF=DE=AD−AE=x−1，DF=CD−CF=x−3． ∵正方形MFRN的边长为a，正方形DFGH的边长为b ∴x−1=a，x−3=b， ∴a−b=(x−1)−(x−3)=2， ∵长方形EMFD的面积是24， ∴MF⋅DF=24,即ab=24． 故答案为2，24． ②由图形可知：阴影部分的面积为：a2−b2 ∵a−b=2，ab=24 ∴(a+b) 2=(a−b) 2+4ab=22+4×24=100，即a+b=10∴S =S −S =(x−1) 2−(x−3) 2=a2−b2=(a+b)(a−b) =10×2=20． 阴影 正方形MFRN 正方形GFDH 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景、平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式与平 方差公式是解答本题的关键． 【变式4-1】图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ； (2)观察图2，请写出下列三个代数式(a+b) 2，(a−b) 2，ab之间的等量关系； (3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=−3，m−n=4，试求m+n的值． 【答案】(1)4a−4b (2)(a+b) 2=(a−b) 2+4ab (3)2或−2 【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可； （2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案； （3）由（2）的结论代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为a−b， ∴周长为：4(a−b)=4a−4b， 故答案为：4a−4b； （2）解：由图可得： 大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+(a−b) 2， 大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：(a+b) 2，∴ (a+b) 2=(a−b) 2+4ab； （3）解：由（2）知：(m+n) 2=(m−n) 2+4mn， ∵ m−n=4，mn=−3， ∴ (m+n) 2=42+4×(−3)=16−12=4， ∴ m+n=2或−2． 【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结果特征是解题的关 键． 【变式4-2】【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方 形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出(a+b) 2，(a−b) 2，ab之间的等 量关系____________________________； 【应用】若m+n=6，mn=5，则m−n=_______________； 【拓展】如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是200，四边形 NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察：(a+b) 2−(a−b) 2=4ab；应用：±4；拓展：900 【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可 得答案； 应用：将m+n=6，mn=5代入（1）中公式即可求解； 拓展：由正方形ABCD的边长为x，则DE=x−5，DG=x−15，得(x−5)(x−15)=200，设m=x−5， n=x−15，mn=200，得m−n=10，则S =(m+n) 2=(m−n) 2+4mn，代入即可． 阴影【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为(a+b) 2，中间小正方形的面积为(b−a) 2， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴(a+b) 2−(a−b) 2=4ab， 故答案为：(a+b) 2−(a−b) 2=4ab； 应用：∵(a+b) 2−(a−b) 2=4ab， ∴(m+n) 2−(m−n) 2=4mn， 将m+n=6，mn=5代入得：62−(m−n) 2=4×5， ∴(m−n) 2=16， ∴m−n=±4， 故答案为：±4； 拓展：∵正方形ABCD的边长为x， ∴DE=x−5，DG=x−15， ∴(x−5)(x−15)=200， 设m=x−5，n=x−15，mn=200， ∴m−n=10， ∴S =(m+n) 2 阴影 =(m−n) 2+4mn =102+4×200 =900， ∴图中阴影部分的面积为900． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和部分两方 面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． 【变式4-3】图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b) 2，(a−b) 2，ab之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=−3，m−n=4，试求m+n的值． (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积 和S +S =28，求图中阴影部分面积． 1 2 【答案】(1)(a+b) 2=(a−b) 2+4ab (2)2或−2 (3)9 【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案； （2）由（1）的结论，进行应用即可； （3）设AC=m，BC=n，得出m+n=8，m2+n2=28，根据完全平方公式计算出mn的值即可． 【详解】（1）解：由图形面积得(a+b) 2=(a−b) 2+4ab， 故答案为：(a+b) 2=(a−b) 2+4ab； （2）由（1）题所得(a+b) 2=(a−b) 2+4ab， ∴(m+n) 2=(m−n) 2+4mn， ∴当mn=−3，m−n=4时， (m+n) 2=42+4×(−3)=4， ∴m+n=2或-2； （3）解：设AC=m，BC=n， 则m+n=8，m2+n2=28，又由(m+n) 2=m2+2mn+n2，得 2mn=(m+n) 2−(m2+n2)=64−28=36， 1 ∴图中阴影部分的面积为： mn=9． 2 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关 系是解决问题的前提． 【考点5: 完全平方公式的逆运算】 【典例5】已知a+b=4，ab=−5，求： (1)a2+b2的值； (2)a−b的值． 【答案】(1)26 (2)±6 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，平方根的求解，熟练掌握相关运算法则是解 题关键． （1）利用完全平方公式得到a2+b2=(a+b) 2−2ab，代入求解即可； （2）利用完全平方公式得到(a−b) 2=(a+b) 2−4ab，求出(a−b) 2的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵a+b=4，ab=−5， ∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=42−2×(−5)=16+10=26； （2）∵a+b=4，ab=−5， (a−b) 2=(a+b) 2−4ab=42−4×(−5)=16+20=36 ∴a−b=±6． 【变式5-1】已知 a+b=3，ab=−4，求下列代数式的值： (1)a2+b2 (2)(a−b) 2 【答案】(1)17(2)25 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据a2+b2=(a+b) 2−2ab计算即可； （2）根据(a−b) 2=(a+b) 2−4ab计算即可． 【详解】（1）∵a+b=3，ab=−4， ∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2×(−4)=17； （2）∵a+b=3，ab=−4， ∴(a−b) 2=(a+b) 2−4ab=32−4×(−4)=25． 【变式5-2】已知a−b=7，ab=−12． (1)求a2+b2的值； (2)求a+b的值． 【答案】(1)25 (2)a+b=±1 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行变形即可； （2）利用完全平方公式进行变形即可． 【详解】（1）解：∵a−b=7，ab=−12， ∴ a2+b2=(a−b) 2+2ab=49−24=25； （2）解：∵a−b=7，ab=−12， ∴(a+b) 2=(a−b) 2+4ab=49−48=1． ∴a+b=±1． 【变式5-3】已知：a−b=3，ab=1，试求： (1)a2+3ab+b2的值； (2)(a+b) 2的值． 【答案】(1)14(2)13 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：∵a−b=3，ab=1 a2+3ab+b2 =(a−b) 2+5ab =9+5 =14； （2）(a+b) 2 =(a−b) 2+4ab =9+4 =13． 1． (a+1) 2的展开式是（ ） A．a2+1 B．2a+2 C．a2+2a+1 D．a2+a+1 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用完全平方公式把原式展开即可． 【详解】解：(a+1) 2=a2+2a+1， 故选：C． 2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A．(2x−y)(x+2y) B．(x−y)(y−x) C．(b+a)(b−c) D．(−a+b)(a+b) 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同 项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、(2x−y)(x+2y)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、(x−y)(y−x)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、(b+a)(b−c)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、(−a+b)(a+b)能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（ ） A．a2 ⋅a3=a6 B．a6÷a3=a2 C．(−a3) 2 =a6 D．(a−1) 2=a2−1 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的 关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方法则，完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．a2 ⋅a3=a5，故不正确； B．a6÷a3=a3，故不正确； C．(−a3) 2 =a6，正确； D．(a−1) 2=a2−2a+1，故不正确； 故选C． 4．若4 y2−my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A．−8 B．±8 C．16 D．±16 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出−mx=±4⋅x⋅4，求出即可． 【详解】解：∵4 y2−my+16是一个完全平方式， ∴−mx=±4⋅x⋅4， 解得：m=±16， 故选：D． 5．若x+ y=8，x2+ y2=40，求xy的值是（ ） A．8 B．−8 C．±12 D．12 【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，由完全平方公式得(x+ y) 2−2xy=40，代值计算，即可 求解；掌握x+ y、xy、x2+ y2之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵ x2+ y2=40， ∴(x+ y) 2−2xy=40， ∴82−2xy=40， 解得：xy=12， 故选：D． 6．(a+b) n （n为非负整数）当n=0，1，2，3，…．时的展开情况如下图所示： 观察上面式子，我们得出了下表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了(a+b) n展开 后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．据这个表，你认为(a+b) 9的展开式中所有项系数的和应 该是（ ） A．128 B．256 C．512 D．108 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】当n=0时展开式所有系数的和为：1=20． 当n=1时展开式所有系数的和为：1+2=2=21．当n=2时展开式所有系数的和为：1+2+1=4=22． 当n=3时展开式所有系数的和为：1+3+3+1=8=23． 当n=4时展开式所有系数的和为：1+4+6+4+1=16=24． 当n=5时展开式所有系数的和为：1+5+10+10+5+1=32=25． …… ∴当n=9时展开式所有系数的和为：29=512． 故选：C． 7． (1 x+2y ) ( )= 1 x2−4 y2 ． 2 4 1 【答案】 x−2y 2 【分析】本题考查了整式的除法，平方差公式．利用整式的除法列式 (1 x2−4 y2) ÷ (1 x+2y ) ，再利 4 2 用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： (1 x2−4 y2) ÷ (1 x+2y ) 4 2 (1 )(1 ) (1 ) = x+2y x−2y ÷ x+2y 2 2 2 1 = x−2y． 2 1 故答案为： x−2y． 2 ( 1 ) 2 8．计算： − x+3 y = ． 2 1 【答案】 x2−3xy+9 y2 4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2是解答本题的关键． 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ( − 1 x+3 y ) 2 = (1 x−3 y ) 2 = 1 x2−3xy+9 y2 ． 2 2 41 故答案为： x2−3xy+9 y2 ． 4 9．计算：20202−2022×2018= ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．将20202−2022×2018 变形为20202−(2020+2)×(2020−2)，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：20202−2022×2018 =20202−(2020+2)×(2020−2) =20202−(20202−22) =20202−20202+4 =4， 故答案为：4． 10．已知x2+mx+36=(x+6) 2，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式即可求解； 【详解】解：(x+6) 2=x2+12x+36， 即m=12 故答案为：12 11．若a−b=7，ab=3，则a2+b2的值为 ． 【答案】55 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 直接利用完全平方公式进行变形即可． 【详解】解：∵a−b=7， ∴(a−b) 2=49， 即a2−2ab+b2=49， 又∵ab=3， ∴a2−2×3+b2=49，∴a2+b2=55． 故答案为：55． 12．计算： (1)(ab−4) 2−(ab+3)(ab+5)； (2)(m+2n−1)(m+2n+1)． 【答案】(1)−16ab+1 (2)m2+4mn+4n2−1 【分析】本题考查整式的乘法运算． （1）先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先添加括号，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：(ab−4) 2−(ab+3)(ab+5) =(a2b2−8ab+16)−(a2b2+8ab+15) =a2b2−8ab+16−a2b2−8ab−15 =−16ab+1； （2）解：(m+2n−1)(m+2n+1) =[(m+2n)−1)[(m+2n)+1) =(m+2n) 2−1 =m2+4mn+4n2−1． 13．利用公式计算： (1)20232−2022×2024； (2)992−1． 【答案】(1)1 (2)9800 【分析】本题考查利用平方差公式简化运算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）根据题目式子的结构特征，将式子化为20232−(2023−1)×(2023+1)，利用平方差公式求解即可得到答案； （2）直接利用平方差公式变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：20232−2022×2024 =20232−(2023−1)×(2023+1) =20232−20232+1 =1； （2）解：992−1 =(99+1)(99−1) =98×100 =9800． 14．计算： (1)−2x2y⋅(−2x y2) 2 +(2xy) 3 ⋅(x y2) (2)(x−2y)(x+2y)−(x+2y) 2． 【答案】(1)0 (2)−8 y2−4xy 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）利用积的乘方、单项式的乘法、合并同类项进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：−2x2y⋅(−2x y2) 2 +(2xy) 3 ⋅(x y2) =−2x2y⋅4x2y4+8x3y3 ⋅(x y2) =−8x4 y5+8x4 y5 =0 （2）(x−2y)(x+2y)−(x+2y) 2 =x2−4 y2−x2−4xy−4 y2 =−8 y2−4xy 1 15．先化简，再求值，(x−y)(x+ y)+(x+ y) 2−2x2，其中x=−2，y= ． 4【答案】2xy，−1 【分析】本题主要考查了整式混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 1 先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并，然后把x=−2，y= 代入，即可求解． 4 【详解】解：(x−y)(x+ y)+(x+ y) 2−2x2 =x2−y2+x2+2xy+ y2−2x2 =2xy， 1 当x=−2，y= 时， 4 1 原式=2×(−2)× =−1． 4 17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长 为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形.并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张 拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：______；方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式：(a+b) 2，a2+b2，ab之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值； ②已知(2020−a) 2+(a−2019) 2=5，求(2020−a)(a−2019)的值； 【答案】(1)(a+b) 2 ，a2+b2+2ab (2)(a+b) 2=a2+b2+2ab (3)①ab=6；②−2【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式 的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②设2020−a=x，a−2019= y，则x+ y=1，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为(a+b) 2； 方法2：大正方形的面积为a2+b2+2ab， 故答案为：(a+b) 2，a2+b2+2ab； （2）解：由（1）可知(a+b) 2=a2+b2+2ab； 故答案为：(a+b) 2=a2+b2+2ab； （3）①∵a+b=5， ∴(a+b) 2=25， ∴a2+b2+2ab=25， 又∵a2+b2=13， ∴ab=6； ②设2020−a=x，a−2019= y，则x+ y=1， ∵(2020−a) 2+(a−2019) 2=5， ∴x2+ y2=5， ∵(x+ y) 2=x2+2xy+ y2， (x+ y) 2−(x2+ y2) 1−5 ∴xy= = =−2， 2 2 即(2020−a)(a−2019)=xy=−2． 18．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形 （如图2）．(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______； (2)若9x2−16 y2=30，3x+4 y=6，求4 y−3x的值； ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) (3) 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ． 22 32 42 992 1002 【答案】(1)a2−b2=(a+b)(a−b) (2)−5； 101 (3) ． 200 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程所揭示的乘法公式是a2−b2=(a+b)(a−b)， 故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)； （2）解：9x2−16 y2=30， ∴(3x+4 y)(3x−4 y)=30， ∵3x+4 y=6， ∴3x−4 y=5， ∴4 y−3x=−5； ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) （3）解： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− 22 32 42 992 1002( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) = 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ ⋅⋅⋅ 1− 1+ 1− 1+ 2 2 3 3 4 4 99 99 100 100 1 3 2 4 3 5 98 100 99 101 = × × × × × ×⋅⋅⋅× × × × 2 2 3 3 4 4 99 99 100 100 1 101 = × 2 100 101 = ． 200