14.3平方差和完全平方公式（知识解读+达标检测）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2025版

14.3 平方差和完全平方公式 【考点1: 平方差公式运算】 【考点2:平方差公式的几何背景】 【考点3:完全平方公式】 【考点4: 完全平方公式下得几何背景】 【考点5: 完全平方公式的逆运算】 知识点1：平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 1. 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又 有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【考点1: 平方差公式运算】 【典例1】计算： (1)(x+5)(2x−7)；(2)20202−2019×2021（用乘法公式简算）； 【变式1-1】计算：( 1 1 )( 1 1 ) − y+ x − y− x 2 3 2 3 【变式1-2】计算： (2a−3b)(2a+3b)(4a2+9b2) 【变式1-3】计算： (1)1232−122×124； (2)(x−2y)(x+2y)+x(2x−y)． 【考点2:平方差公式的几何背景】 【典例2】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方 形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A． B． C． a2−2ab+b2=(a−b) 2 a2−b2=(a+b)(a−b) a2−ab=a(a−b) (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a−b=3,a2−b2=21，求a+b的值；②计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )． 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− × 1− 22 32 42 20232 20242 【变式2-1】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长 方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知x2−4 y2=12，x+2y=4，求x−2y的值． ②计算：( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )． 1− 1− 1− ⋯⋯ 1− 1− 22 32 42 20232 20242 【变式2-2】如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长 方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（ ）（请选择正确的一个）． A． ；B． ；C． a2−b2=(a+b)(a−b) a2−2ab+b2=(a−b) 2 a2+ab=a(a+b)(2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知a2−b2=28，a+b=7，则a−b=______； ②计算：502−492+482−472+⋯42−32+22−12． ③计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )． 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− 1− 22 32 42 492 502 【变式2-3】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开， 拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ． A． a2−b2=(a+b)(a−b) B． (a−b) 2=a2−2ab+b2 C． (a+b) 2=a2+2ab+b2 D． a2+ab=a(a+b) (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知4m2−n2=12，2m+n=4，求2m−n的值； ②计算： ． (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)知识点3：完全平方公式 ab2 a2 2abb2 1.完全平方公式： (ab)2  a2 2abb2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 2.拓展、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； .【考点3:完全平方公式】 【典例3】计算： ． (2y+3) 2= 【变式3-1】计算：（m−2n）2= ． 【变式3-2】 ( ) 2 =4a2+12ab+9b2 【变式3-3】计算： ． (a+b+1) 2= 【考点4: 完全平方公式下得几何背景】 【典例4】若x满足 ，求 的值． (9−x)(x−4)=4 (9−x) 2+(x−4) 2 解：设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5． 所以 ． (9−x) 2+(x−4) 2＝a2＋b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足 ，求 的值； (5−x)(x−2)=2 (5−x) 2+(x−2) 2 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形 EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边作正方形． ①正方形MFRN的边长为a，正方形DFGH的边长为b，则a−b=________；ab= _______； ②利用你学过的平方差公式和完全平方公式求图中阴影部分面积．【变式4-1】图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ； (2)观察图2，请写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系； (a+b) 2 (a−b) 2 ab (3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=−3，m−n=4，试求m+n的值． 【变式4-2】【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方 形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出 ， ， 之间的等 (a+b) 2 (a−b) 2 ab 量关系____________________________； 【应用】若m+n=6，mn=5，则m−n=_______________； 【拓展】如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积． 【变式4-3】图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按 图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为 ． (a+b) 2 (a−b) 2 ab (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=−3，m−n=4，试求m+n的值． (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积 和S +S =28，求图中阴影部分面积． 1 2 【考点5: 完全平方公式的逆运算】 【典例5】已知a+b=4，ab=−5，求： (1)a2+b2的值； (2)a−b的值． 【变式5-1】已知 a+b=3，ab=−4，求下列代数式的值： (1)a2+b2 (2) (a−b) 2【变式5-2】已知a−b=7，ab=−12． (1)求a2+b2的值； (2)求a+b的值． 【变式5-3】已知：a−b=3，ab=1，试求： (1)a2+3ab+b2的值； (2) 的值． (a+b) 2 1． 的展开式是（ ） (a+1) 2 A．a2+1 B．2a+2 C．a2+2a+1 D．a2+a+1 2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A．(2x−y)(x+2y) B．(x−y)(y−x) C．(b+a)(b−c) D．(−a+b)(a+b) 3．下列运算正确的是（ ） A． a2 ⋅a3=a6 B． a6÷a3=a2 C． (−a3) 2 =a6 D． (a−1) 2=a2−14．若4 y2−my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A．−8 B．±8 C．16 D．±16 5．若x+ y=8，x2+ y2=40，求xy的值是（ ） A．8 B．−8 C．±12 D．12 6． （n为非负整数）当 ，1，2，3，…．时的展开情况如下图所示： (a+b) n n=0 观察上面式子，我们得出了下表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了 展开 (a+b) n 后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．据这个表，你认为 的展开式中所有项系数的和应 (a+b) 9 该是（ ） A．128 B．256 C．512 D．108 7．(1 x+2y ) ( )= 1 x2−4 y2 ． 2 4 8．计算：( 1 ) 2 ． − x+3 y = 2 9．计算：20202−2022×2018= ． 10．已知 ，则 的值为 ． x2+mx+36=(x+6) 2 m11．若a−b=7，ab=3，则a2+b2的值为 ． 12．计算： (1) ； (ab−4) 2−(ab+3)(ab+5) (2)(m+2n−1)(m+2n+1)． 13．利用公式计算： (1)20232−2022×2024； (2)992−1． 14．计算： (1) −2x2y⋅(−2x y2) 2 +(2xy) 3 ⋅(x y2) (2) ． (x−2y)(x+2y)−(x+2y) 2 1 15．先化简，再求值，(x−y)(x+ y)+(x+ y) 2−2x2，其中x=−2，y= ． 4 17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长 为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形.并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张 拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：______；方法2：______； (2)观察图 ，请你写出代数式： ， ， 之间的等量关系______； 2 (a+b) 2 a2+b2 ab (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值； ②已知 ，求 的值； (2020−a) 2+(a−2019) 2=5 (2020−a)(a−2019) 18．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形 （如图2）． (1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______； (2)若9x2−16 y2=30，3x+4 y=6，求4 y−3x的值； (3)( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )． 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− 22 32 42 992 1002