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1.2 定义与命题
题型一：判断是否为命题
1．（24-25 七年级下·重庆江津·期中）下列语句不是命题的是（ ）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段AB 上取点C ，使得
2
CA
CB
=
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．
根据命题的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意；
B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意；
C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意；
D、在线段AB 上取点C ，使得
2
CA
CB
=
，为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？
（1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果a
b
= −，那么
2
2
a
b
=
；（4）奇数不能被2 整除．
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【答案】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或
式子表达的，可以判断真假的陈述句．
【详解】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题；
（2）这本书你看完了吗？不是命题；
（3）如果a
b
= −，那么
2
2
a
b
=
是命题，
（4）奇数不能被2 整除，是命题．
综上：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题
3．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）下列句子是不是命题？为什么？
(1)连接A，B 两点；
(2)这本书是你的吗？
(3)邻补角不相等；
(4)小亮今天是不是生病了？
【答案】(1)不是，是作图语言，没有判断
(2)不是，是问句
(3)是，能作出判断
(4)不是，是问句
【分析】本题考查了命题的概念“命题是对某件事情做出是或不是的判断”，命题是陈述句，掌握以上知识点
是解题的关键；
根据命题的知识，对每一问进行逐一辨别，即可求解；
【详解】（1）解：“连接A，B 两点”是作图语言，没有判断，不是命题；
（2）解：“这本书是你的吗？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题；
（3）解：“邻补角不相等”是陈述语句，进行了判断，符合命题概念，是命题；
（4）解：“小亮今天是不是生病了？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题；
4．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）生活在水里的动物是鱼．
（3）作两条相交直线．
（4）
和相等吗？
（5）全等三角形的对应边相等．
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（6）三个角对应相等的两个三角形全等．
（7）画线段
2cm
AB =
．
【答案】（1）、（2）、（5）、（6）是命题；（3）、（4）、（7）不是命题．
【分析】根据命题的概念，逐个判断即可．
【详解】根据命题的概念，可得（1）、（2）、（5）、（6）是命题，（3）、（4）、（7）不是命题；
【点睛】本题考查了命题的概念，一个命题有两个必不可少的要素：（1）条件；（2）结论．掌握命题的概
念是解题的关键．命题的概念∶一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述
句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
5．（24-25 八年级上·全国·课后作业）阅读下文，并从中摘出定义和命题：
在大气中，水蒸气、二氧化碳和其他一些气体的作用与玻璃窗类似．这些气体允许太阳光到达地面，但是
阻止热量从地球表面逃逸，这种保持地球表面热能的作用，称为温室效应．如果没有温室效应，地球就会
变冷，平均温度大约将下降33℃．
【答案】见解析．
【分析】根据定义和命题的概念，阅读文章，找出定义和命题即可．
【详解】文中的定义∶大气中一些气体保持地球表面热能的作用，叫做温室效应；
文中的命题∶大气中一些气体保持地球表面热能的作用，叫做温室效应；如果没有温室效应，地球会变冷．
【点睛】此类题目主要考查定义、命题的判定的相关知识．通过短文阅读会识别定义、命题，了解定义、
命题的意义．定义的概念∶是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概
念的意义；命题的概念∶一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做
命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)将27 开立方．
(2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？
(3)锐角小于直角．
(4)
0
a
（a 为实数）．
【答案】(1)不是命题(2)不是命题(3)是命题(4)是命题
【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．
【详解】（1）解：将27 开立方不是命题；
（2）解：任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；
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（3）解：锐角小于直角是命题；
（4）解：
0
a
（a 为实数）是命题．
7．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)正数大于一切负数吗？
(2)两点之间线段最短．
(3) 2 不是无理数．
(4)作一条直线和已知直线垂直．
【答案】(1)不是命题(2)是命题(3)是命题(4)不是命题
【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．
【详解】（1）解：正数大于一切负数吗？不是命题；
（2）解：两点之间线段最短，是命题
（3）解：2 不是无理数，是命题
（4）解：作一条直线和已知直线垂直，不是命题．
题型二：判断命题的真假
1．（北京市密云区2023-2024 学年下学期七年级数学期末试题）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了真假命题，熟记课本中的定理和相关图形的性质是关键；
根据对顶角相等、平行线的性质和判定逐项判断即得答案.
【详解】解：A、对顶角相等，故原命题是真命题；
B、如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是真命题；
C、如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题是假命题；
故选：D.
2．（24-25 七年级下·吉林·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
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A．相等的角是对顶角
B．如果
,
a
b b
c
=
=
，那么a
c
=
C．同位角相等，两直线平行
D．若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
【答案】A
【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法等知识．利用平
行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，符合题意；
B、如果
,
a
b b
c
=
=
，那么a
c
=
，故原说法正确，是真命题，不符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，不符合题意；
D、若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
，故原说法正确，是真命题，不符合题意；
故选：A．
3．（24-25 七年级下·广东汕头·期中）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线
的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．其中
真命题的个数是（ ）．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的性质、对顶角及平行公理及推论，熟知以上各知识点是解答此题的关键．
分别根据平行线的性质、对顶角及平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可．
【详解】①对顶角相等，故①正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故②错误，是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确，是真命题；
④如图所示，
1
和
2
的两边分别平行，
根据平行线的性质，得到1
2
= ；
1
和
3
的两边分别平行，
结合邻补角的定义，得
1
3
2
3 180
+
=
+
=
．
综上所述，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故④正确，是真命
题．
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∴其中真命题的个数是3．
故选：B．
4．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线AB ，CD被直线BC 所截，分别在
ABC
和
BCD
的内部
作射线BE 和射线CF ．现有以下三个条件：①
,
AB
BC CD
BC
⊥
⊥
；②1
2
= ；③BE
CF
∥
．若以①②为
题设，③为结论组成一个命题，请判断这个命题的真假，若为真命题，请说明理由；若为假命题，请举出
反例．
【答案】如果AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，1
2
= ，那么；BE
CF
∥
，为真命题，理由见解析
【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的判定，垂直的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题
的关键．由于AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
得到
90
ABC
DCB
=
=
，从而得出
1
2
ABC
DCB
−=
−，可得
EBC
FCB
=
，最后利用平行线的判定可得结论．
【详解】解：以①②为题设，③为结论组成一个命题，为：如果AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，1
2
= ，那么；
BE
CF
∥
，为真命题，理由如下：
AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，
90
ABC
DCB
=
=
，
1
2
=
，
∴
1
2
ABC
DCB
−=
−，
∴
EBC
FCB
=
，
BE
CF
∥
．
5．（24-25 七年级下·陕西安康·阶段练习）已知命题“如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
.”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)条件是
2
2
a
b
=
，结论是a
b
=
(2)此命题是假命题，反例：
2
a =
，
2
b = −时，
(
)
2
2
2
2
= −
，而2
2
−（反例不唯一）
【分析】本题考查命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键；
（1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论；
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（2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解；
【详解】（1）解：条件是
2
2
a
b
=
，结论是a
b
=
；
（2）解：此命题是假命题，反例：
2
a =
，
2
b = −时，
(
)
2
2
2
2
= −
，而2
2
−（反例不唯一）
6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如
果是假命题，举出一个反例．
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
(2)内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题
(2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析；
(3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题
【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立
命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可；
（2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可；
（3）利用平行线的性质判定即可；
【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时，
结论：那么这两个角互为补角；
是真命题；
（2）解：题设：如果两个角是内错角，
结论：这两个角相等；
是假命题，如图1
与
2
是内错角，
2
1
；
（3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截，
结论：那么同旁内角互补．
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是真命题．
题型三：将命题改写为“如果......那么......”的形式
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和
结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)同角的余角相等．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，
那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是
有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题
的关键．
（1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可；
（2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可．
【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直
线平行”，
条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行；
（2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等
2．（24-25 七年级下·陕西榆林·阶段练习）已知命题“异号两数相加和为零．”
(1)将该命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)判断该命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：如果两个数异号，那么它们的和为零；
（2）解：异号两数相加和为零，为假命题；反例：3 2
1
−+
= −．
3．（23-24 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和
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结论．
(1)有两个角为60的三角形是等边三角形；
(2)两个连续偶数相差2
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可.
（1）根据命题内容即可求解；
（2）根据命题内容即可求解；
【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为60，那么这个三角形是等边三角形．
题设：一个三角形中有两个角为60；
结论：这个三角形是等边三角形．
（2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2．
题设：两个数是连续的偶数；
结论：这两个数相差2．
4．（2024 七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
(3)等腰三角形的两底角相等．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答
此题的关键．
【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等；
（2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和；
（3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等．
5．（24-25 八年级上·广西贺州·期末）命题“内错角相等，两直线平行．”
(1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）．
【答案】(1)条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
(2)见解析．
【分析】（1）一个命题一般包括条件和结论两部分，根据“如果”后面接的是条件，“那么”后而接的结论，即
可得解．
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（2）根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）该命题的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
写成“如果……那么……”的形式为：
如果内错角相等，那么两直线平行；
（2）已知：如图，直线c 与直线a，b 相交，且1
2
= ．
求证：a
b
∥．
证明：
1
2
=
，（已知）
又
1
3
=
（对顶角相等）
2
3
= ，（等量代换）
a
b
\
∥．（同位角相等，两直线平行）
题型四：举例说明命题的真假
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断命题“若a
b
，则
2
2
a
b
的真假，并证明．
【答案】假命题，见解析
【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，
需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：假命题．
取
2,
3
a
b
= −
= −，此时a
b
，但
2
2
a
b
，
所以命题的结论
2
2
a
b
不成立．
2．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断命题“对于所有的正整数n，代数式
2
3
7
n
n
−
+
的值是质数”的真假，
并证明．
【答案】假命题，证明见解析
【分析】本题考查的是举反例判断命题是假命题，求解代数式的值，计算当
6
n =
时，
2
2
3
7
6
3 6
7
36 18
7
25
n
n
−
+
=
−+
=
−
+
=
即可得到答案．
【详解】解：“对于所有的正整数n，代数式
2
3
7
n
n
−
+
的值是质数”是假命题，
举反例如下：当
6
n =
时，
2
2
3
7
6
3 6
7
36 18
7
25
n
n
−
+
=
−+
=
−
+
=
，
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∴此时代数式
2
3
7
n
n
−
+
的值不是质数．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例．
(1)两个锐角的和是锐角；
(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(3)如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
．
【答案】(1)假命题．反例：
1
70
=
∠
，
2
80
=
，但1
2
150
+=
，不是锐角（举反例不唯一）
(2)真命题
(3)假命题．反例：
2,
2
a
b
=
= −，有
2
2
a
b
=
，但a
b
（举反例不唯一）
【分析】本题主要考查了命题，锐角的性质，平行线的性质，等式的性质等知识点，
（1）通过举反例即可得解；
（2）由平行线的公理可得解；
（3）通过举反例即可得解；
熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】（1）解：假命题．反例：
1
70
=
∠
，
2
80
=
，但1
2
150
+=
，不是锐角（举反例不唯一）；
（2）解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是公理，是真命题；
（3）解：假命题．反例：
2,
2
a
b
=
= −，有
2
2
a
b
=
，但a
b
（举反例不唯一）．
4．（23-24 七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，
如果是假命题，举出个反例．
(1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
(2)同旁内角互补．
【答案】(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．这个命题是真命题
(2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题；详见解析
【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的
结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
（1）根据命题的概念解答即可；
（2）根据命题的概念解答即可．
【详解】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．
这个命题是真命题．
（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，
这个命题是假命题．
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反例：如图中1
与
2
是同旁内角，
0
1
18
2
+
，
5．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一
反例．
①两个锐角的和是锐角；
②0 既不是正数，也不是负数．
（2）如图，已知钝角
AOB
，点D 在射线OB 上，画直线DE
OB
⊥
及DF
OA
⊥
，垂足为F ．
【答案】（1）①假命题，见解析；②真命题；（2）见解析
【分析】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具
画已知直线的垂线是解本题的关键．
（1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据0 的特点可判断；
（2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可．
【详解】解：（1）①假命题，
反例：
40 ,
60
A
B
=
=
，但
100
90
A
B
+=
，是钝角，
②真命题．
（2）如图，DE ，DF 即为所求．
．
6．（24-25 八年级上·河北保定·阶段练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命
题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
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13 /
(2)同旁内角互补；
(3)等角的余角相等．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判
断真假．
【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，1
和
2
是同旁内角，
但两直线不平行，故1
和
2
不互补；
（3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题．
题型一：命题与平行线的性质与判定结合
1．（2025 七年级下·上海·专题练习）如图，已知点E 、F 分别在AB 、CD上，连接EC 、BF 交AD于点G 、
H ．有以下三个论断：①1
2
= ；②
B
C
=
，③AB
CD
∥
．
(1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定：
（1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可；
（2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可．
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【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若1
2
= ，
B
C
=
，则AB
CD
∥
，该命题是
真命题；
选择①③为题设，②为结论，命题为：若1
2
= ，AB
CD
∥
，则
B
C
=
，该命题是真命题；
选择②③为题设，①为结论，命题为：若
B
C
=
，AB
CD
∥
，则1
2
= ，该命题是真命题；
（2）证明：选择①②为题设，③为结论，
1
2
=
，1
CGD
=
，
2
CGD
=
，
CE
BF
∥
，
C
BFD
=
，
B
C
=
，
B
BFD
=
，
AB CD
；
选择①③为题设，②为结论，
1
2
=
，1
CGD
=
，
2
CGD
=
，
CE
BF
∥
，
C
BFD
=
，
∴AB
CD
∥
，
B
BFD
=
，
B
C
=
；
选择②③为题设，①为结论，
AB CD
，
B
BFD
=
，
B
C
=
，
C
BFD
=
，
CE
BF
∥
，
2
CGD
=
，
又
1
CGD
=
，
1
2
=．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①AD
CB
∥
；②
B
DCF
=
；③
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BAD
BCD
=
．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题．
(1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式）
(2)请选择其中一个真命题进行论证．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解
题的关键．
（1）根据命题的概念按要求解答；
（2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论．
【详解】（1）解：第一种：如果AD
CB
∥
，
B
DCF
=
，那么
BAD
BCD
=
；
第二种：如果
,
AD
CB
BAD
BCD
=
∥
，那么
B
DCF
=
；
第三种：如果
,
B
DCF
BAD
BCD
=
=
，那么AD
CB
∥
．
（2）解：证明第一种：∵AD
CB
∥
，
180
BAD
B
+=
，
∵
180
DCF
BCD
+
=
，
B
DCF
=
，
∴
180
B
BCD
+
=
，
∴
BAD
BCD
=
；
证明第二种：
AD
CB
∥
，
180
BAD
B
+=
，
BAD
BCD
=
，
180
BCD
B
+=
，
AB
CD
∥
，
B
DCF
=
；
证明第三种：∵
180
DCF
BCD
+
=
，
B
DCF
=
，
∴
180
B
BCD
+
=
，
∵
BAD
BCD
=
，
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16 /
∴
180
B
BAD
+
=
°，
∴AD
CB
∥
．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线AB ，CD被直线BC 所截，分别在
ABC
和
BCD
的内部
作射线BE和射线CF ．现有以下三个条件：①
,
AB
BC CD
BC
⊥
⊥
；②1
2
= ；③BE
CF
∥
．
(1)请你以①②作为题设，③作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出这个命题；
(2)判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出理由；若为假命题，请举出反例．
【答案】(1)见解析(2)真命题，理由见解析
【分析】本题主要考查命题和平行线的判定，垂直的定义，
（1）根据命题的规则写出结论即可；
（2）有垂直得
90
ABC
DCB
=
=
，进一步得到
EBC
FCB
=
，根据平行线的判定即可．
【详解】（1）解：如果AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，1
2
= ，那么BE
CF
∥
；
（2）解：该命题为真命题，理由如下：
AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，
90
ABC
DCB
=
=
，
1
2
=
，
1
2
ABC
DCB
−=
−，
EBC
FCB
=
，
则BE
CF
∥
．
4．（24-25 七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互
相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知AD BF
∥
，AE
BC
∥
，AF
EC
，若
45
B
=
，
75
C
=
，将求
FAD
的过程填写完整．
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解：
AD
BF
∥
，
B
ADC
=
．
AE
BC
∥
，
①
180
DAE
+
=
．
又
45
B
=
，可解得
DAE
=（ ② ）．
AE
BC
∥
，
180
C
E
+=
．
AF
EC
，
FAE
= ③ ．（④此处填推理的依据）
又
75
C
=
，可解得
FAE
=（ ⑤ ）
360
FAD
DAE
FAE
=
−
−
=（ ⑥ ）．
【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，EF 分别交AB ，CD于G ，H ，GI 平分
AGH
，HJ 平
分
GHD
，GI
HJ
∥
．求证：AB
CD
∥
．（2）①
ADC
；②135；③
E
；④两直线平行，内错角相等；
⑤105；⑥120
【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫
做假命题是解题的关键．
（1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断；
②根据平行线的性质得到
AEF
DFE
=
，根据角平分线的定义得到
MEF
NFE
=
，根据平行线的判定
定理证明．
（2）根据推理过程填写所缺少内容即可．
【详解】解：（1）①如图，
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命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真
命题；
②已知：如图，EF 分别交AB ，CD于G ，H ，GI 平分
AGH
，HJ 平分
GHD
，GI
HJ
∥
．求证：AB
CD
∥
．
证明：∵AB
CD
∥
，
∴
AGF
DHE
=
，
∵GI 平分
AGH
，HJ 平分
GHD
，
∴
1
2
HGI
AGH
=
，
1
2
GHJ
DHG
=
，
∴∴
HGI
GHJ
=
，
∴GI
HJ
∥
，
∴该命题是真命题．
（2）解：
AD
BF
∥
，
B
ADC
=
．
AE
BC
∥
，
180
ADC
DAE
+
=
．
又
45
B
=
，可解得
135
DAE
=
．
AE
BC
∥
，
180
C
E
+=
．
AF
EC
，
FAE
E
=．（两直线平行，内错角相等）
又
75
C
=
，可解得
105
FAE
=
360
120
FAD
DAE
FAE
=
−
−
=
．
故答案为：①
ADC
；②135；③
E
；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120
5．
（24-25 七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，
甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
，AC 与DE 交于点G．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：
A
D
=
；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学
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相同，得到
A
D
∠
∠
，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不是真命题，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据平行线的性质证明即可；
（2）根据平行线的性质证明即可．
【详解】（1）解：
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
，
,
A
CGE
D
CGE
=
=
，
A
D
=；
（2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题，
如图②，
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
，
180
A
DGA
+
=
，
D
CGE
=
．
DGA
CGE
=
，
180
A
D
+
=
．
即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题．
6．
（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，有下面三个选项，CE
AB
①
∥
；
A
B
=
②
；
CE
③
平分
ACD
．
(1)从①②③中选出两个作为题设，另一个作为结论，写出所有真命题；
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，
得到正确的命题．
（2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明．
本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键．
【详解】（1）解：可写出三个正确命题，分别是：
命题1：如果CE
AB
∥
，
A
B
=，那么CE 平分
ACD
．
命题2：如果CE
AB
∥
，CE 平分
ACD
，那么
A
B
=．
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命题3：如果
A
B
=，CE 平分
ACD
，那么CE
AB
∥
．
（2）命题1：已知：CE
AB
∥
，
A
B
=．求证：CE 平分
ACD
．
证明：
CE
AB
，
ACE
A
= ，
DCE
B
A
B
=
=
．
，
ACE
DCE
CE
=
．
平分
ACD
．
命题2：已知：CE
AB
∥
，CE 平分
ACD
．求证：
A
B
=．
证明：
CE
AB
，
ACE
A
= ，
DCE
B
CE
=
．
平分
ACD
，
ACE
DCE
A
B
=
=
．
．
命题3：已知：
A
B
=，CE 平分
ACD
．求证：CE
AB
∥
．
证明：
CE
平分
ACD
，
ACE
DCE
=
．
(
)
180
180
2
ACB
ACE
DCE
ACE
=
−
+
=
−
．
A
B
=
，
(
)
180
180
2
ACB
A
B
A
=
−+
=
−
．
ACE
A
= ．
CE
AB
∥
7．（24-25 七年级下·吉林·阶段练习）【感知】如图，已知
A
C
=
，若AB
CD
∥
，则BC
AD
∥
．请补全证
明过程．
证明：
AB
CD
∥
（已知），
ABE
C
=
（___________）．
A
C
=
（已知），
ABE
=___________（等量代换），
BC
AD
∥
（___________）；
【延伸】若前提“
A
C
=
”不变，将题设中的“ AB
CD
∥
”与结论“ BC
AD
∥
”调换，命题是真命题还是假命
题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．
【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；
A
；内错角相等，两直线平行
[延伸]是真命题，证明过程见解析
【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题
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的关键．
[证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案；
[延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可；
【详解】解：[感知]
AB
CD
∥
（已知），
ABE
C
=
（两直线平行，同位角相等）．
A
C
=
（已知），
ABE
A
=（等量代换），
BC
AD
∥
（内错角相等，两直线平行）；
[延伸]将题设“ AB
CD
∥
”与结论“ BC
AD
∥
”调换后，为真命题，证明过程如下：
∵BC
AD
∥
（已知），
∴
ABE
A
= （两直线平行，内错角相等），
∵
A
C
=
（已知），
∴
ABE
C
=
（等量代换），
∴AB
CD
∥
（同位角相等，两直线平行），
故将题设“ AB
CD
∥
”与结论“ BC
AD
∥
”调换后，为真命题．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC 中，D ，E 是AB 上的点，F 是BC 上一点，G ，
H 是AC 上的点，FD
AB
⊥
．连接EF ，EH ，EG ．有下列三个条件：①EG
AB
⊥
；②1
2
= ；③EH
BC
∥
．
(1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真
命题还是假命题；
(2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义；
（1）根据题意写出命题，并判断真假即可；
（2）选择命题一：先根据垂直得到DF
EG
∥
，即可得到
HEF
BFE
=
，然后根据角的和差解题即可；选
择命题二：延长EG 、BC 交于点M ，根据垂直可得∠𝐵𝐷𝐹= 90°，然后根据H
BC
，得到
2
M
=
，然后
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根据等量代换的到1
M
=
，即可得到FD
EM
，证明结论；选择命题三：延长EG 、BC 交于点M ，可
以得到DF
EG
∥
，即可得到1
M
=
，然后推导
2
M
=
，即可得到平行．
【详解】（1）命题一：已知FD
AB
⊥
，
若EG
AB
⊥
，EH
BC
，则1
2
= ；真命题．
命题二：已知FD
AB
⊥
，
若EH
BC
，1
2
= ，则EG
AB
⊥
；真命题．
命题三：已知FD
AB
⊥
，
若EG
AB
⊥
，1
2
= ，则EH
BC
；真命题．
（2）选择命题一．
证明：
FD
AB
⊥
，EG
AB
⊥
，
90
BDF
BEG
=
=
，
DF
EG
∥
，
GEF
DFE
=
．
又
EH
BC
∥
，
HEF
BFE
=
，
HEF
GEF
BFE
DFE
−
=
−
，
1
2
=．
选择命题二：延长EG 、BC 交于点M ，
∵FD
AB
⊥
，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 90°，
又∵EH
BC
，
∴
2
M
=
，
又∵1
2
= ，
∴1
M
=
，
∴FD
EM
，
∴
MEB
BDF
=
，
∴EG
AB
⊥
；
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选择命题三：延长EG 、BC 交于点M ，
FD
AB
⊥
，EG
AB
⊥
，
90
BDF
BEG
=
=
，
DF
EG
∥
，
∴1
M
=
，
又∵1
2
= ，
∴
2
M
=
，
∴EH
BC
．
题型二：命题与其他知识点综合
1．（24-25 九年级上·浙江金华·期末）对于一个任意的四位数M ，若M 的千位数字与个位数字之和等于百
位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为3 7
1 9
+
= +
，所以四
位数3197 是稳定数．
(1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
(3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【答案】(1)不是
(2)1908 或1919
(3)是假命题，见解析
【分析】本题考查的是新定义运算，真假命题的判定，二元一次方程的整数解的含义；
（1）根据稳定数的定义可得答案；
（2）设十位数字为a ，个位数字为b ，根据题意，得1
9
b
a
+
= +
，可得
8
b
a
−
=
，再进一步求解即可；
（3）举反例可得：四位数2817 与2222 都是稳定数，它们的和等于5039，可得四位数5039 不是稳定数，
从而可得答案．
【详解】（1）解：∵2
5
7
0
2
+
=
+
，
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∴2025 不是稳定数；
（2）解：设十位数字为a ，个位数字为b ，根据题意，得1
9
b
a
+
= +
8
b
a
−
=
∴
0
8
a
b
=
=
或
1
9
a
b
=
=
所求的稳定数为1908 或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817 与2222 都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039 不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边
形——筝形．
(1)请你给“筝形”下定义；
(2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系；
(3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【分析】该题考查了定义，根据题意对“筝形”下定义是解题的关键．
（1）根据“筝形”的特征表述即可，答案不唯一；
（2）画出符合题意的图形，根据图象用数学符号描述即可；
（3）根据四边形、筝形、平行四边形、长方形的相同特征和不同特征解答即可．
【详解】（1）解：“筝形”定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（2）解：如图，
,
AB
AD BC
CD
=
=
；
,
EF
EH FG
GH
=
=
．
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（3）解：如图，
3．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请
你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：①
2
2
3
1
8 1
−
= ；②
2
2
5
3
8 2
−
=
；③
2
2
7
5
8 3
−
= ；……
(1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________；
(2)验证规律：设两个连续奇数为2
1 2
1
n
n
+
−
，
（其中n 为正整数），请验证它们的平方差是8 的倍数；
(3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8 的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”）
【答案】(1)
2
2
9
7
8 4
−
=
(2)见解析(3)假
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，规律探索问题；
（1）根据前三个式子的规律即可写出第四个式子的规律；
（2）对于
2
2
(2
1)
(2
1)
n
n
+
−
−
，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（3）设两个连续偶数为2 2
2
n
n+
，
，计算
2
2
(2
2)
(2 )
n
n
+
−
，根据结果即可判断真假．
【详解】（1）解：由前三个式子知，第四个式子为：
2
2
9
7
8 4
−
=
；
故答案为：
2
2
9
7
8 4
−
=
；
（2）解：
2
2
(2
1)
(2
1)
n
n
+
−
−
2
2
4
4
1 (4
4
1)
n
n
n
n
=
+
+ −
−
+
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26 /
2
2
4
4
1
4
4
1
n
n
n
n
=
+
+ −
+
−
8n
=
；
而8n是8 的倍数，则
2
2
(2
1)
(2
1)
n
n
+
−
−
是8 的倍数，
即两个连续奇数的平方差是8 的倍数；
（3）解：设两个连续偶数为2 2
2
n
n+
，
，
则
2
2
2
2
(2
2)
(2 )
4
8
4
4
4(2
1)
n
n
n
n
n
n
+
−
=
+
+
−
=
+
，
而2
1
n+ 是奇数，故4(2
1)
n +
不是8 的倍数，
即命题：两个连续偶数的平方差是8 的倍数是假命题；
故答案为：假．
4．（23-24 八年级上·河北廊坊·期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①
2
2
4
2
4 3
−
=
；
②
2
2
6
4
4 5
−
=
；
③
2
2
8
6
4 7
−
=
；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为2n ，2
2
n+
（n 为正整数），则它们的平方差是4 的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8 的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】(1)
2
2
10
8
4 9
−
=
(2)见解析(3)是真命题，见解析
【分析】本题主要查了平方差公式：
（1）根据前三个等式解答即可；
（2）根据平方差公式解答即可；
（3）设两个连续的正奇数为2
1
m−，2
1
m+ （m 为正整数），根据平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：
2
2
10
8
4 9
−
=
；
（2）解：(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 2
1
n
n
n
n
n
n
n
+
−
=
+
+
+
−
=
+
．
n
为正整数，
2
1
n
+ 为正整数，
两个连续的正偶数2n，2
2
n+
（n 为正整数），它们的平方差是4 的倍数；
（3）解：是真命题；理由：
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27 /
设两个连续的正奇数为2
1
m−，2
1
m+ （m 为正整数）．
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
m
m
+
−
−
(
) (
)
(
) (
)
2
1
2
1
2
1
2
1
m
m
m
m
=
+
−
−
+
+
−
2 4m
=
8m
=
．
m
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8 的整数倍．
5．（23-24 七年级下·北京·期中）对任意的实数m 有如下规定：用
m 表示不小于m 的最小整数，例如
5
3, 5
5,
1.3
1
2
=
−
=
= −
，请回答下列问题：
(1)①
0
1
x
x
−
：②
2022
2022
x
x
−
=
−
；③
3
3
x
x
=
④
x
y
x
y
+
=
+
；⑤若
x
a
= （a 为整数），
则
1
a
x
a
−
．以上五个命题中为真命题的是________（填序号）．
(2)关于x 的方程
1
2
1
x
x
−
=
+ 的解为________
【答案】(1)①②⑤
(2)
2
x = −或
1.5
x = −
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算：
（1）分当x 为整数时，当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
）时，两种情况讨论求解即可得到答案；
（2）分当x 为整数时，当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
）时，两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：①当x 为整数时，
x
x
=
，则
0
x
x
x
x
−
=
−
=
，
当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
），则
1
x
k
=
+ 或
(
)
1
0
x
k
b
=
−
，
∴
(
)
1
1
x
x
k
k
b
b
−
=
+ −
+
= −
或
(
)
x
x
k
k
b
b
−
=
−
+
= −，即
0
1
1
x
x
b
−
= −
，
综上所述，
0
1
x
x
−
，故①正确；
②当x 为整数时，
2022
2022
2022
2022
x
x
x
x
−
=
−
−
=
−
，
，则
2022
2022
x
x
−
=
−
；
当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
），则当0
1
b
时，
2022
2022 1
x
k
−
=
−
+ ，
1
x
k
=
+
∴
2022
1
2022
x
k
−
=
+ −
，
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∴
2022
2022
x
x
−
=
−
；
当1
0
b
−
时，
2022
2022,
x
k
x
k
−
=
−
=
，
∴
2022
2022
x
k
−
=
−
，
∴
2022
2022
x
x
−
=
−
，
综上所述，
2022
2022
x
x
−
=
−
，故②正确；
③当
0.6
x =
时，
3
1.8
2 3
3 0.6
3 1
3
x
x
=
=
=
= =
，
，此时
3
3
x
x
，故③错误；
④当
0.5
x
y
=
=
时，
0.5
0.5
1 1
2
0.5
0.5
1
x
y
x
y
+
=
+
= + =
+
=
+
= ，故④错误；
⑤当x 为整数时，
x
x
a
=
=
，
当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
），则
1
x
k
a
=
+ =
或
(
)
1
0
x
k
a
b
=
=
−
，
∴
1
k
a
=
−或k
a
=
，
∴
1
x
a
b
=
−+
或x
a
b
=
+
，即
1
a
x
a
−
，故⑤正确；
故答案为：①②⑤；
（2）解：当x 为整数时，
∵
1
2
1
x
x
−
=
+ ，
∴
1
2
1
x
x
−=
+ ，
解得
2
x = −；
当x
k
b
=
+
（其中k 为整数，0
1
b
），
∵
1
2
1
x
x
−
=
+ ，
∴2
1
x + 是整数，即2
2
1
k
b
+
+ 是整数，
∴
0.5
b =
或
0.5
b = −
，
∴当
0.5
b =
时，
1
x
k
−
=
，
∴
2
2
1
k
k
b
=
+
+ ，
∴
1 2
2
k
b
= −−
= −，此时
1.5
x = −
；
当
0.5
b = −
时，
∵
1
1
x
k
−
=
−，
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29 /
∴
1
2
2
1
k
k
b
−=
+
+ ，
∴
2
2
1
k
b
= −−
= −，此时
1.5
x = −
；
综上所述，
2
x = −或
1.5
x = −
，
故答案为：
2
x = −或
1.5
x = −
．
6．（23-24 七年级下·北京·期中）对任意的实数m 有如下规定：用[ ]
m 表示不大于m 的最大整数，称为m 的
整数部分，用{ }
m 表示
[ ]
m
m
−
的值，称为m 的小数部分．例如：[2.4]
2,{2.4}
0.4,[4.2]
4,{4.2}
0.2
=
=
=
=
．请
回答下列问题：
(1)
3[ 10] = ______，
3
{ 10}= ______；
(2)当
0
x
时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①0
{ }
1
x
；②[
1]
[ ] 1
x
x
+
=
+ ；③{
1}
{ } 1
x
x
+
=
+ ；④若[ ]
x
a
=
（a 为整数），则
1
a
x
a
+ ．
(3)当
0
x
时，解关于x 的方程2[
1]
3
5
2{ }
x
x
x
+
+
=
−
．
【答案】(1)2，3 10
2
−
；(2)①②④；(3)
5
3
x =
【分析】本题考查了无理数的估算
（1）根据无理数的估算可得
3
2
10
3
，再根据题干规定即可求解；
（2）根据题干规定逐一判断即可；
（3）根据[
1]
[ ] 1
x
x
+
=
+ ，方程可变形为
2
2
3
5
2
x
x
x
+
+ =
−
，再将
x
x
x
=
+
代入，即可求出x 的值．
【详解】（1）解：
3
3
3
10
2
8
7
，
3
2
10
3
，
3[ 10]
2
=
，
3
3
{ 10}
10
2
=
−，
故答案为：2，3 10
2
−
；
（2）解：
x
表示x 的小数部分，
0
{ }
1
x
，
①命题是真命题；
根据定义可得，[
1]
[ ] 1
x
x
+
=
+ ，
②命题是正命题；
{
1}
x +
表示
1
x + 的小数部分，
{
1}
1
1
1
1
{ }
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+ −
+
=
+ −
−=
−
=
，
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30 /
③命题是假命题；
[ ]
x
a
x
x
=
=
−
，
x
a
x
=
+
，
0
{ }
1
x
，
1
a
a
x
a
+
+ ，即
1
a
x
a
+ ，
④命题是真命题，
故答案为：①②④；
（3）解：
[
1]
[ ] 1
x
x
+
=
+
，2[
1]
3
5
2{ }
x
x
x
+
+
=
−
，
2
2
3
5
2
x
x
x
+
+
=
−
，
5
2
2
5
x
x
x
−
−
= ，
x
x
x
=
+
，
5
2
5
x
x
−
= ，
3
5
x
= ，
5
3
x
=
．
7．（23-24 八年级上·河北沧州·阶段练习）定义：对于任意实数a ，b ，如果满足a
b
ab
+
=
，那么称a ，b 互
为“美好数”，点( , )
a b 为“美好点”．
(1)下列命题：①1.5 与3 互为“美好数”；②若点( , )
a b 为“美好点”，则点( , )
b a 也一定为“美好点”；③若点a 与
b 互为相反数，则( , )
a b 一定不是“美好点”；④存在与1 互为“美好数”的数．其中真命题是________（填序
号）
(2)若( ,3)
a
为“美好点”，求a 的值．
(3)已知x ，y 是二元一次方程组
2
9
2
2
7
x
y
m
x
y
m
−
=
−
+
=
−
的解，请判断点( , )
x y 是否为“美好点”？若是，请求出m 的
值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①②(2)
3
2
a =
(3)点(
)
,x y 是“美好点”，
193
30
m =
【分析】
（1）由1.5 3 1.5 3
4.5
+ =
=
，可判断命题①；若点( , )
a b 为“美好点”，则有a
b
ab
+
=
，易得b
a
ba
+
=
，
即可判断命题②；若
0
a
b
=
=
，则有a
b
ab
+
=
，即可判断命题③；设1 与x 互为“美好数”，则有
1
1
x
x
+ = ，
而该方程无解，即可判断命题④；
（2）根据“美好点”的定义建立关于a 的一元一次方程并求解，即可获得答案；
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31 /
（3）解方程组
2
9
2
2
7
x
y
m
x
y
m
−
=
−
+
=
−
，结合“美好点”的定义建立关于m 的一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵1.5 3 1.5 3
4.5
+ =
=
，
∴1.5 与3 互为“美好数”，故命题①是真命题；
∵点( , )
a b 为“美好点”，则有a
b
ab
+
=
，
∴b
a
ba
+
=
，
∴点( , )
b a 也一定为“美好点”，故命题②是真命题；
若
0
a
b
=
=
，则有a
b
ab
+
=
，
∴此时( , )
a b 是“美好点”，故命题③是假命题；
设1 与x 互为“美好数”，则有
1
?1
x
x
+ =
，该方程无解，
∴不存在与1 互为“美好数”的数，故命题④是假命题．
综上所述，真命题是①②．
故答案为：①②；
（2）若( ,3)
a
为“美好点”，
则有
3
3
a
a
+ = ，
解得
3
2
a =
；
（3）当
193
30
m =
时，点(
)
,x y 是“美好点”．
理由如下：
解方程
2
9
2
2
7
x
y
m
x
y
m
−
=
−
+
=
−
，
可得
4.6
2.2
x
m
y
=
−
=
，
若点( , )
x y 是“美好点”，
则有
4.6
2.2
(
4.6) 2.2
m
m
−
+
=
−
，
解得
193
30
m =
，
∴当
193
30
m =
时，点(
)
,x y 是“美好点”．
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32 /
1．（24-25 七年级下·四川南充·期中）下列说法中：
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】①根据邻补角、角平分线以及垂直的定义分析即可；
②根据平行线的性质分析即可；
③根据垂直的定义分析即可；
④根据平行线公理分析即可．
【详解】①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，故①正确；
②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②错误；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误．
故选：A．
2．（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法：
①同位角相等，两直线平行；
②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三角形的一个外角等于两个内角的和；
⑤已知同一平面内
70
AOB
=
，
30
BOC
=
，则
100
AOC
=
．
正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的
外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法；由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，
平行线的判定方法，即可判断．
【详解】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意；
②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意；
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33 /
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意；
④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意；
⑤若射线OC 在
AOB
外部，则
70
30
100
AOC
=
+
=
，若射线OC 在
AOB
内部，则
70
30
40
AOC
=
−
=
，所以
100
AOC
=
或40，故⑤不符合题意．
正确的个数为1 个．
故选：A．
3．（24-25 七年级下·陕西延安·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若
0
ab
，则
0
a b
+ <
”是假命题的反
例是（ ）
A．
1,
2
a
b
= −
= −
B．
1,
2
a
b
= −
=
C．
2,
1
a
b
= −
=
D．
1,
2
a
b
=
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了反例，理解反例的概念是解题的关键．
根据反例就是要符合命题的题设，但不符合命题的结论的例子逐项判断即可．
【详解】解：∵
0
ab
，
∴a 和b 必为一正、一负，故A、D 两个选项，不符合题意；
B．符合
2
0
ab = −
，但
1
0
a
b
+
=
与结论相反，即该选项是命题的反例，符合题意；
C．符合
2
0
ab = −
，但
1
0
a
b
+
= −
与结论相符，即该选项不是命题的反例，不符合题意．
故选：B．
4．（24-25 七年级下·河北廊坊·阶段练习）命题：①若a
b
x a
c
x
+
=
+
=
,
，则b
c
=
；②互为相反数的两个有
理数的平方相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；④一对对顶角的角平分线在同一直线
上．对于以上命题有如下判断：I：①是真命题；II：只有一个假命题；III：②是真命题，④是假命题．其
中判断正确的是（ ）
A．I
B．II
C．I 和II
D．都正确
【答案】A
【分析】本题考查了判断真假命题；根据等式的性质，有理数的乘方，平行线的判定，对等角，角平分线
的定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①若a
b
x a
c
x
+
=
+
=
,
，则b
c
=
，是真命题；
②互为相反数的两个有理数的平方相等，是真命题；
③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行是真命题；
④一对对顶角的角平分线在同一直线上，是真命题；
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34 /
故选：A．
5．（24-25 七年级下·山东济宁·阶段练习）下列命题中，其中真命题有（ ）个
（1）在同一平面内，如果直线a
b
b
c
⊥
⊥
，
，那么a
c
；（2）两条直线平行，同旁内角相等；（3）过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）直线外一点到这
条直线的垂线段叫做点到直线的距离；（6）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定
相等．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，平行公理及其推论，点到直线的距离．根据平行线的性
质，垂线的性质，平行公理及其推论，点到直线的距离，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：（1）在同一平面内，如果直线a
b
b
c
⊥
⊥
，
，那么a
c
，原命题是真命题；
（2）两条直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
（5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题；
（6）如图1，
O
和
C
的两边互相垂直，
O
和
C
互补，
如图2，1
和
2
的两边互相垂直，1
2
= ，
∴若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补，
∴原命题是假命题．
故选：A．
6．（24-25 七年级下·全国·单元测试）观察下列各式：
2
2
3
2
3
2
−
=
+
，
2
2
4
3
4
3
−
=
+
，
2
2
5
4
5
4
−
=
+
，，
用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填
“真”或“假”）．
【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于n ，
1
n + （n 是整数），
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35 /
有
2
2
(
1)
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+ 真
【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代
数方法化简等式两边证明规律成立．
观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即
可，
【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个
数的和．例如，
2
2
3
2
3
2
−
=
+
，
2
2
4
3
4
3
−
=
+
．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小
数的平方差等于这两个数之和．
设较大的数为n ，较小的数为
1
n −，则规律可表示为：
(
)
(
)
2
2
1
1
n
n
n
n
−
−
=
+
−
．
展开左边并简化：左边：
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
−
−
=
−
−
+
2
2
2
1
n
n
n
=
−
+
−
2
1
n
=
−；
右边：
(
1)
1
n
n
n
n
+
−
=
+
−
2
1
n
=
−，
∵左边= 右边，
∴该命题是真命题；
故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于n ，
1
n + （n 是整数），有
2
2
(
1)
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+ ；真．
7．（24-25 七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；
③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查命题真假的判断，涉及垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识．解题关键是准确掌
握相关几何概念和性质．
根据垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识逐项判断即可．
【详解】①垂线段最短，这是一个基本的几何定理，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 ，是真命
题．
②相等的角不是对顶角就是同一个角，相等的角除了对顶角、同一个角外，还有同位角、内错角等多种情
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36 /
况，比如两直线平行时，同位角相等，它们既不是对顶角也不是同一个角，所以该命题是假命题．
③两直线平行，同旁内角相等，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即同旁内角和为180 ，
并非相等，所以该命题是假命题．
④两个锐角的和是锐角或者直角，例如80与60这两个锐角，它们的和是140，是钝角，并非一定是锐角
或者直角，所以该命题是假命题．
⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这是平行公理的推论，是真命题．
综上，假命题的有②③④；
故答案为：②③④．
8．（24-25 七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数m 的值说明命题“如果m 能被4 整除，那么它也能被
8整除”是假命题，这个数m 可以是 ．
【答案】12（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除
的性质得出是假命题，即可得出结论．
【详解】解：可以用一个m 的值说明命题“如果m 能被4 整除，那么它也能被8整除”是假命题，
这个值可以是
12
m =
，
故答案为：12（答案不唯一）．
9．（2024 八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c 在同一平面内，下列四条命题：
①如果a
b
∥，a
c
⊥
，那么b
c
⊥；②如果b
a
∥，c
a
∥，那么b
c
∥；③如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
⊥；
④如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
∥．其中假命题的是 ．（填写序号）
【答案】③
【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直
线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可．
【详解】①如果a
b
∥，a
c
⊥
，那么b
c
⊥，正确，是真命题；
②如果b
a
∥，c
a
∥，那么b
c
∥，正确，是真命题；
③如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
⊥，错误，应该是b
c
∥，故原命题是假命题；
④如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
∥，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
10．（24-25 八年级上·全国·课后作业）如图，三角形ABC 中，D ，E 是边BC 上的两点，G 是边AB 上一点，
连接EG 并延长．交CA 的延长线于点F ．现有以下条件：①AD平分
BAC
；②EF
AD
∥
；③
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AGF
F
=
．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
【答案】 ①② ③
【详解】条件：①②
结论：③
证明：
AD
平分
BAC
，
DAB
DAC
=
．
EF
AD
∥
，
AGF
BAD
=
，
F
DAC
=
．
AGF
F
= ．（答案不唯一）
11．
（24-25 七年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知AB
BC
⊥
，1
2
90
+=
，现有3 个条件：①
2
3
=
；
②
2
3
90
+
=
∠
∠
；③BE
DF
∥
．
(1)请在上述3 个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
______，结论是______；（填序号）
(2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程．
【答案】(1)①，③或③，①
(2)见解析
【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
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38 /
（1）根据题干所给条件分析即可得解；
（2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可．
【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①；
（2）解：选择的条件是①，结论是③，证明如下：
∵AB
BC
⊥
（已知），
∴
90
ABC
=
（垂线的定义），
∴
3
4
90
+ =
°（余角的定义），
∵1
2
90
+=
，
2
3
=
（已知），
∴
1
3
90
+=
（等量代换），
∴1
4
= （等角的余角相等），
∴BE
DF
∥
（同位角相等，两直线平行）；
选择的条件是③，结论是①，证明如下：
∵BE
DF
∥
（已知），
∴1
4
= （两直线平行，同位角相等），
∵AB
BC
⊥
（已知），
∴
90
ABC
=
（垂线的定义），
∴
3
4
90
+ =
°（余角的定义），
∴
1
3
90
+=
（等量代换）
∵1
2
90
+=
（已知），
∴
2
3
=
（等角的余角相等）．
12．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，点、、
B
E
C 在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出
两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB
CD
∥
；②1
2
= ，
3=
4
；③AE
ED
⊥
．
(1)上述问题有哪几个真命题？
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①
(2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析
小学
初中
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【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据三个条件写出真命题即可；
（2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到
1
2
C
= +，即可得到
1
2
3
4
180
+++=
，进而求出
2
3
90
+
=
∠
∠
即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角
的定义得到
2
3
90
+ =
，进而得到1
2
3
4
180
+ + + =
,然后根据三角形的内角和定理得到
180
B
C
+
=
即可证明结论．
【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是：
命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①．
（2）选择命题1：①②⇒③．
证明：∵CD
AB
∥
，
∴
180
B
C
+
=
，
∵
1
2
180
B
++=
，
∴
1
2
C
= +，
∴1
2
3
4
180
+++=
，
∵1
2
= ，
3=
4
，
∴
2
3
90
+
=
∠
∠
，
∴
90
AED
=
，
∴AE
ED
⊥
．
选取命题2：②③⇒①．
证明: ∵AE
DE
⊥
，
∴
90
AED
=
∠
，
∴
2
3
90
+ =
，
又∵1
2
= ，
3=
4
，
∴
1
2
3
4
180
+ + + =
，
又∵
180
1
2
B
=
−−，
180
3
4
C
=
−−，
∴
(
)
180
1
2 180
3
4
360
1
2
3
4
180
B
C
+
=
−−+
−−=
−+ + +
=
，
∴AB
CD
．
13．（24-25 八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分
线互相平行，那么这两条直线互相平行”．
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(1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整．
已知：直线l 分别与AB ，CD交于点G ，E ，EF ，GH 分别平分______和______，且______．
求证：______；
(2)判断这个命题的真假，并证明．
【答案】(1)
DEG
，
AGE
；EF
HG
；AB
CD
(2)该命题为真命题，详见解析
【分析】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点，
（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；
（2）根据平行线的性质得到
FEG
HGE
=
，根据角平分线的定义得到
DEG
AGE
=
，根据平行线的判
定定理证明即可；
熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键．
【详解】（1）由图和题意知，EF ，HG 分别平分
DEG
和
AGE
，且HG
EF
，
求证：AB
CD
∥
，
故答案为：
DEG
；
AGE
；HG
EF
；AB
CD
∥
；
（2）该命题是真命题，理由如下：
∵HG
EF
，
∴
FEG
HGE
=
，
∵EF ，HG 分别平分
DEG
和
AGE
，，
∴
1
2
FEG
DEG
=
，
1
2
HGE
AGE
=
，
∴
DEG
AGE
=
，
∴AB
CD
∥
．
14．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分
内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
2
2
1
0
1
−
=
2
2
2
1
3
−
=
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2
2
3
2
5
−
=
(1)将11写成两个正整数平方差的形式：__________ 11
=
；
(2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母n （
0
n
，且n 为整数）的等式表示上述的规律为：__________；
(3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）．
【答案】(1)
2
2
6
5
−
(2)
(
)
2
2
1
2
1
n
n
n
−
−
=
−
(3)证明见解析
(4)真
【分析】（1）根据
2
2
6
5
11
−
=
即可求解；
（2 ）由等式规律可得
(
)
2
2
1
2
1
n
n
n
−
−
=
−，即可求解；
（3）展开计算验证即可；
（4 ）设两个相邻奇数分别为2
1
n+ 和2
3
n + ，由平方差公式进行计算即可判断求出；
本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：
2
2
6
5
11
−
=
，
故答案为：
2
2
6
5
−
；
（2）解：∵
2
2
1
0
1
1 0
−
= = +
，
2
2
2
1
3
−
= ，
2
2
3
2
5
−
=
，
，
∴
(
)
2
2
1
2
1
n
n
n
−
−
=
−，
故答案为：
(
)
2
2
1
2
1
n
n
n
−
−
=
−；
（3）证明：
(
)
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
−
−
=
−
+
−
2
1
n
=
−；
（4）解：设两个相邻奇数分别为2
1
n+ 和2
3
n + ，
则(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
+
−
+
=
+
+
+
+
−
+
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(
)
4
4
2
n
=
+
(
)
8
1
n
=
+
，
∴两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，该命题是真命题，
故答案为：真．
