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1.1 定义与命题、证明
课标要点
1.结合生活、几何实例，区分定义、命题两类语句，能准确识别命题，分清命题的条件
与结论，会把命题改写成 “如果…… 那么……” 标准形式。
2.理解真命题、假命题的概念，掌握举反例的方法判断假命题；了解公理、定理的含
义，理清定义、命题、公理、定理之间的逻辑关系。
3.理解证明的含义，掌握几何证明的基本格式与推理规范，能结合三角形相关性质完成
简单几何证明，做到步步有据。
4.掌握证明命题的完整流程：分清条件结论→画图标注已知求证→书写推理证明；能利
用三角形内角和、边角关系完成基础推理证明。
5.区分直观观察、实验操作与演绎证明的差异，体会几何推理严谨性，能判断推理过程
是否存在逻辑漏洞。
6.结合三角形相关情境，运用定义、命题、证明解决简单几何说理题，规范几何语言书
写。
学习重难点
重点：
1.识别命题，拆分命题的条件与结论，规范改写 “如果…… 那么……” 句式；区分真
假命题，会举反例证假命题。
2.理解证明的意义，掌握几何证明的标准书写格式，推理过程每一步标注依据（定义、
公理、定理）。
3.三角形基础相关简单命题的完整证明，规范书写已知、求证、证明三大板块。
4.理清定义、命题、公理、定理的逻辑层级关系。
难点：
1.复杂文字命题中准确提取隐藏条件与结论，正确画出对应几何图形、写出已知和求
证。
2.构建几何推理逻辑链，自主梳理证明思路，避免跳步、无依据推理，规范严谨书写证
明过程。
3.精准举出反例反驳假命题，区分直观错觉与严谨演绎证明。
4.综合运用三角形内角和、边角等量关系完成多步复合几何证明，辨析推理中的逻辑错
误。
第一章
三角形
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5.区分定义与命题，理解公理无需证明、定理需要证明的本质区别。
知识点
定义
1.一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫做该名称或术语的定义。
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2.定义的核心特点：
严谨唯一性：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义；
双向可逆性：定义的正反表述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征；
判定功能性：可直接用于判断一个事物是否属于该术语范畴。
3.常用表述形式：固定句式：……叫作……、……是……，是数学定义最标准的书写形式。
4.常见定义举例
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形；
垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
随学随练
1．（25-26 七年级下·福建福州·期中）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同角的余角相等
C．垂线段最短
D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的内角和等于180°
C．表示数与字母的积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式
D．两直线平行，内错角相等
知识点
命题（重点）
1.一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。
2.命题判定标准：一句话只要有判断、有对错，就是命题；无判断、仅描述、疑问、指令类句子均不是命
题。
3.命题的结构：所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的标准
形式。
易错提醒
1）所有定义都是真命题，但命题不一定是定义；
2）定义具备双向可逆性，普通真命题大多不可逆。
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如果后面紧跟的内容：已知条件、题设；
那么后面紧跟的内容：由条件推导得出的结论。
注：部分命题原文省略“如果、那么”，改写时需补充完整，不可改变原意。
4.真命题：条件成立时，结论一定成立的正确命题。
5.假命题：条件成立时，结论不成立或不一定成立的错误命题。
6.真假命题判定方法
①判定真命题：需要通过严谨的逻辑推理、依据公理定理证明；
②判定假命题：只需举出一个反例即可。
7.反例：满足命题的已知条件，但不满足命题结论的例子，是推翻假命题的唯一简易方法。
8.基本事实（公理）：经过人们长期实践检验、不需要证明而直接公认正确的真命题，叫做基本事实（公
理）。基本事实是推理证明的原始依据。
9.定理：通过推理证明为正确的真命题，叫做定理。定理可以作为判断其他命题真假的依据。
随学随练
1．（25-26 八年级上·江西吉安·期末）下列语句是命题的是（ ）
A．美丽的天空 B．负数都小于零
C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？
2．（25-26 七年级下·重庆九龙坡·期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
3．（25-26 七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那
么______．
知识点
证明
易错提醒
1）改写命题为“如果……那么……”形式时，不能删减核心条件、不能篡改原意；
2）判断假命题无需全盘否定，只需找到一个符合条件、不符合结论的反例即可。
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1.证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定
理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
2.证明的本质：证明是严谨的演绎推理，区别于观察、测量、猜想、实验等直观感知方法。直观观察存在
误差，只有逻辑证明才能百分百确定命题的正确性。
3.证明的核心要求：证明的每一步推理都必须有依据，不可以凭空臆断、凭感觉推导。推理依据只能是：
题目已知条件、定义、基本事实、定理及定理推论。
4.几何命题证明的一般步骤
步骤1：根据题意画出图形：
结合命题文字描述，准确画出对应几何图形，标注顶点字母、角度、线段等关键信息，图形需规范、贴合
题意，不随意特殊化图形。
步骤2：分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论：
已知：抄写、整理命题中的所有已知条件；
求证：明确写出需要证明成立的结论。
步骤3：在“证明”中写出推理过程：
从已知条件出发，逐层推导，每一步后标注对应依据（已知、定义、定理、基本事实），逻辑连贯、层层
递进，最终推出求证结论。部分复杂题型需要添加辅助线辅助证明。
随学随练
1．（25-26 七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做
证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何
来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下：
已知：如图，在同一平面内直线𝑎⊥𝑏，①_____ ．
求证：②______ ．
易错提醒
1）证明过程严禁跳步、无依据推理。很多同学默认显而易见的结论、省略关键推理步骤，考试会扣
分。所有推导结论，必须对应已知、定义、定理、基本事实四类依据；
2）辅助线不能默认存在，必须文字说明作图过程；禁止在图上直接画线却不书写说明。同时辅助线用
虚线绘制，区别于原图实线。
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证明：∵𝑎⊥𝑏（已知），∴③_____（④_____ ）．
∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____ ），
∴⑧_____（等式的基本事实），
∴⑨_____（⑩_____ ）．
请把小明的说明过程补充完整．
拓展
定义、命题、证明三者对比
对比维度
定义
命题
证明
核心作用
解释名词本质属性
对事物作出判断，分真
假
验证真命题的推理过程
本质属性
描述性语句
判断性语句
逻辑推理过程
可逆性
双向可逆（核心特
征）
不可逆，仅条件推结论
单向推导（条件→结
论）
是否分真假
无真假，仅标准解释
分真命题、假命题
无真假，只判断命题是
否成立
能否作为推理依据
可以
真命题（公理、定理）
可作依据；假命题不可
推理手段，不能作为依
据
活学活用
1．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（ ）
①“你饿了吗?”不是命题；
②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题，
③“对顶角相等”，是定理；
④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义；
⑤“两点确定一条直线”，是基本事实．
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．（25-26 七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐶= ∠𝐷．求证：∠𝐴= ∠𝐹．
证明：∵∠1 = ∠2（已知），∠1 = ∠3（__________ ），
∴∠2 = ∠3（___________ ）．
∴𝐵𝐷∥𝐶𝐸（___________ ）．
∴∠4 = ∠𝐷（两直线平行，同位角相等）．
∵∠𝐶= ∠𝐷（已知），
∴∠4 = ∠𝐶（等式的基本事实）．
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐶（___________ ）．
∴∠𝐴= ∠𝐹（___________ ）．
拓展
公理（基本事实）与定理对比
对比维度
公理（基本事实）
定理
证明要求
无需证明，实践公认
必须经过严格逻辑推理证明
来源
长期生活、实践总结
依托公理、定义、已有定理推导得
出
共性
都属于真命题；均可作为几何证明的推理依
据
活学活用
1．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是
B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理可作为证明其他定理的依据
D．公理和定理都应经过证明后才能使用
2．下列命题不是公理的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
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C．同角的补角相等
D．同位角相等，两直线平行
题型
定义的判断
▌例1．下面各个命题中，定义为（ ）
A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在正数前加上符号“−”的数叫做负数 D．今天的天气很好
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东梅州·期末）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
C．作一个角等于已知角 D．a，b 两条直线平行吗
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线
B．a，b 两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角
D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
题型
命题的判断
▌例1．（25-26 七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（ ）
A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一
B．你喜欢旅游吗
C．吃饭的时候不要说话
D．过点A 画一条与直线𝐵𝐶垂直的直线
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ）
解题贴士
定义的特点：精准描述事物本质属性，无模糊、无歧义，一个术语仅有一个标准定义；定义的正反表
述均成立，这是定义区别于普通命题的核心特征。
解题贴士
1）有明确对错判断语句是命题；
2）疑问句、作图指令、感叹句都不是命题。
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A．2026 年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌．
B．你喜欢吃枇杷吗？
C．赶紧写作业！
D．画一条端点为A 的射线
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（ ）
①“你饿了吗?”不是命题；
②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题，
③“对顶角相等”，是定理；
④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义；
⑤“两点确定一条直线”，是基本事实．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·上海普陀·期中）下列语句中，是命题的是（ ）
A．画一个角等于已知角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？
C．等角的余角相等
D．延长线段𝐴𝐵到点𝐷，使得𝐵𝐷= 𝐴𝐵
题型
写出命题的题设与结论
▌例1．（25-26 七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果⋅⋅⋅那么⋅⋅⋅”的形
式：________．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·广东广州·期中）命题“对顶角相等”的题设是：___________．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广东江门·期中）写出“同位角相等，两直线平行”的结论为__________．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）命题“如果𝑎2 > 4，那么𝑎> 2”是________命题．（填“真”或
“假”）
解题贴士
1）标准句：如果后为题设，那么后为结论；
2）无关联词：先改写为 “如果… 那么…” 再拆分，统一主语。
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题型
判断命题的真假
▌例1．（25-26 七年级下·北京海淀·期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．如果𝑎𝑏= 0，那么𝑎= 0或𝑏= 0
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．√9的算术平方根是3
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·福建福州·期末）下列命题是假命题的是（ ）
A．若𝑎= 𝑏，则−5𝑎= −5𝑏
B．同位角相等
C．垂线段最短
D．若𝑎+ 𝑏= 0，则|𝑎| = |𝑏|
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互
补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫
作这点到这条直线的距离．
题型
举反例
▌例1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）为说明“若𝑎2 > 𝑏2，则𝑎> 𝑏”是假命题，可举反例
．．（ ）
A．𝑎= 3，𝑏= 2 B．𝑎= −3，𝑏= 2
C．𝑎= −2，𝑏= −3
D．𝑎= −2，𝑏= 3
▌例2．（25-26 七年级下·北京平谷·期末）用一组𝑎，𝑏的值说明命题“如果𝑎> 𝑏，那么𝑎2 > 𝑏2”是假命题，
这组值可以是𝑎=________，𝑏=________．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）要证明命题“任何数𝑚的平方都大于0”是假命题的反例只能
是（ ）
解题贴士
1）真命题：所有情况结论都成立，用课本定理验证；
2）假命题：存在任意一种例外即假，只需找 1 个反例。
解题贴士
1）核心要求：满足题设，但不满足结论；
2）选用简单数字、特殊三角形举例，书写简洁。
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A．𝑚= −2
B．𝑚= 1
C．𝑚= 0.5
D．𝑚= 0
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果𝑛< 1，那么𝑛2 −1 < 0”是假命题，只需
举出一个反例．反例中𝑛可以为（ ）
A．−2
B．2
C．0
D．1
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请
你帮他举一个反例：_____．
题型
逻辑推理与证明
▌例1．（25-26 八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖
啡”，标号为1、2、3 号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2 号瓶发现里边装着咖啡，则可
乐在_________号瓶．
▌例2．（25-26 八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：对顶角相等．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小
萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数
字．”则这个密码锁的密码是_______．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成
一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的
小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180°．请阅读小颖
的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，△𝐴𝐵𝐶中的三个内角分别为∠1,∠2, ∠3．将∠2撕下，按图2 的方式拼摆，使∠2与∠1的顶点重合，
解题贴士
1）审题标图，正向推导走不通就逆向倒推；
2）每一步标注定理/定义依据，不跳步、不自创结论；
3）角度题优先外角定理，复杂角度设未知数用方程；
4）文字证明题四步：画图→写已知→写求证→推理证明。
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∠2的一边与𝐴𝐵重合．
理由：∵∠𝐵= ∠2，
∴𝐴𝐷 ∥___________．
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ___________ = 180°.
即∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长𝐴𝐵且过点𝐵作𝐵𝐸∥𝐴𝐶，也能说明三角形的
内角和等于180°，请你帮助小聪写出说理过程．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形𝐴𝐵𝐶，点𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐴𝐸是
∠𝐷𝐴𝐶的平分线，若∠𝐵= ∠𝐶，求证：𝐴𝐸∥𝐵𝐶
（请把证明过程补充完整）
∵点𝐷在𝐵𝐴延长线上
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠___________= 180°
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°（ ）
∴∠𝐵+ ∠𝐶=___________
∵___________=___________
∴∠𝐵=
1
2 ∠___________
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∵𝐴𝐸是∠𝐷𝐴𝐶的平分线
∴___________
∴___________
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶（ ）
基础通关
1．（25-26 七年级下·北京石景山·期末）能说明命题“如果𝑚< 2，那么𝑚2 < 4”是假命题的一个𝑚的值为
（ ）
A．1
B．0
C． −1
D． −2
2．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两个锐角的和是钝角
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
3．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该
命题是假命题．这个正数可以是（ ）
A．
1
2
B．2
C．3
D．4
4．（25-26 七年级下·上海·期中）下列说法中，是真命题的是（ ）
A．如果直线𝑎与𝑏相交，𝑏与𝑐相交，那么𝑎与𝑐相交
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行
5．（25-26 八年级下·四川成都·期末）命题“若𝑥2 > 𝑦2，则𝑥> 𝑦”是_______命题．（填“真”或“假”）．
6．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）已知命题“如果𝑎2 = 9，那么𝑎= 3”，则该命题是______命题．（填
“真”或“假”）
7．（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）判定命题“如果𝑎2 = 𝑏2，那么𝑎= 𝑏”是假命题，只需要举一个反例，
这个反例可以是________．
8．（2026·河南周口·模拟预测）能说明命题“若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏”是假命题的一组实数a，b 的值为
𝑎=_______，𝑏=______．
9．（25-26 八年级下·云南昭通·期中）把命题“3 的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____．
10．（25-26 九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标
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上∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2．
(1)在图2 中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2 中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2 的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
素养提升
1．（25-26 七年级下·河南驻马店·期末）下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（25-26 七年级下·北京房山·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角
B．如果|𝑎| = |𝑏|，那么𝑎= 𝑏
C．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
3．（25-26 七年级下·北京房山·期末）用一组𝑎，𝑏，𝑐的值说明命题“如果𝑎> 𝑏，那么𝑎𝑐> 𝑏𝑐”是假命题，这
组值可以是𝑎=__________、𝑏=__________、𝑐=__________．
4．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条
直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．其中是假命题的有：
_____________．（填序号）
5．（25-26 七年级下·重庆南川·期末）如图，已知点𝐸、𝐹在直线𝐴𝐵上，点𝐺在线段𝐶𝐷上，𝐸𝐷与𝐹𝐺交于点
𝐻，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐺𝐻𝐷．
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(1)求证：∠𝐶= ∠𝐸𝐹𝐺；
(2)若∠𝐸𝐻𝐹= 75°，∠𝐴𝐸𝑀= 110°，求∠𝐷的度数．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·广西南宁·期末）如图，直线𝑎，𝑏被直线𝑐所截，下列命题为真命题的是（ ）
A．当∠1 = ∠2时，𝑎∥𝑏
B．当∠1 + ∠2 = 90°时，𝑎∥𝑏
C．当𝑎∥𝑏时，∠1 = ∠2
D．当𝑎∥𝑏时，∠1 + ∠2 = 180°
2．（2026·浙江温州·三模）三角尺是常用的画图工具．一副三角尺包含两块：一块是两锐角分别为30°和
60°的直角三角尺，另一块是等腰直角三角尺，将它们按下列四种位置摆放，其中能使∠𝛼比∠𝛽小的摆放方
式是（ ）
A．
B．
C．
D．
