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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 1.1 探索勾股定理 勾股定理的认识 1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为3，则斜边长为（ ） A．4 B．5 C．25 D．16 【解答】解：设斜边长为x，则直角边长为x﹣1， ∵另一直角边长为3． 由勾股定理得：（x﹣1）2+32＝x2 解得：x＝5， 即斜边长为5． 故选：B． 2．在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，若c＝5，则a2+b2+c2 的值为（ ） A．10 B．15 C．25 D．50 【解答】解：在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝2c2， ∵c＝5， ∴a2+b2+c2＝2×52＝50， 故选：D． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C 到AB 的距离为 4.8 ． 【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝4.8， ∴点C 到AB 的距离是4.8， 题型01 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：4.8． 4．已知△ABC 中，∠C＝90°，a，b 为直角边，c 为斜边． （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝4，c＝5，求b． 【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠C＝90°，a，b 为直角边，c 为斜边，a＝1，b＝2， 由勾股定理得：c = √a2 + b2 = √12 + 22 = √5； （2）∵a，b 为直角边，c 为斜边，a＝4，c＝5， 由勾股定理得：b = √c2 −a2 = √52 −42 = 3． 5．在△ABC 中，∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm．求AB 的长． 【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13cm，BC＝5cm， ∴AB= √AC2 −BC2 =12（cm）． 利用勾股定理求面积 6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为（ ） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， 即正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为AB2＝162＝256cm2， 故选：D． 7．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、 S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（ ） A．8 B．14 C．16 D．18 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，S1+S2＝S3， 又∵S1+S3﹣S2＝32， 题型02 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∴2S1＝32， ∴S1＝16， ∴阴影部分面积为 1 2 S1 =8， 故选：A． 8．如图，在△ABC 中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC 的面积． 【解答】解：在△ABD 中，AB＝13，AD＝12，BD＝5， ∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2． ∴CD2＝202﹣122＝256， ∵CD＞0， ∴CD＝16． ∴S△ABC= 1 2 ×BC×AD= 1 2 ×（5+16）×12＝126． 9．如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别 按下列要求画图． （1）在图1 中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数． （2）在图2 中，画出一个面积为10 的正方形． 【解答】解：（1）∵√32 + 42 =5， ∴两条直角边长为3 和4 的直角三角形ABC 即为所求， 如图1 所示： （2）∵面积为10 的正方形的边长为√10， √12 + 32 = √10， ∴四边形ABCD 即为所求， 如图2 所示： 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 10．求下列各图形着色部分的面积： （1）着色部分是正方形； （2）着色部分是长方形； （3）着色部分是半圆． 【解答】解：（1）根据勾股定理得正方形的边长为√132 −122 =5cm， ∴着色部分的面积为5×5＝25cm2； （2）根据勾股定理得长方形的长为√152 + 82 =17cm， ∴着色部分的面积为17×3＝51cm2； （3）根据勾股定理得半圆的直径为√102 −62 =8cm， ∴半径为4cm， ∴着色部分的面积为 1 2π•42＝8π cm2． 勾股定理的实际应用 11．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3 米处折断，树顶端落在离树底部4 米处，则树折断之前有 （ ） A．5 米 B．7 米 C．8 米 D．10 米 题型03 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：如图： ∵AB＝3 米，AC＝4 米 ∵∠A＝90° ∴AB2+AC2＝BC2 ∴BC＝5 米 ∴树折断之前有8 米．故选：C． 12．如图，要从电线杆离地面5 米的点C 处向地面拉一根长为13 米的钢缆，则地面钢缆固定点A 到电线杆 底部B 的距离为（ ） A．12 米 B．11 米 C．10 米 D．9 米 【解答】解：由题意知：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 在直角三角形ABC 中，BC＝5 米，AC＝13 米， 由勾股定理得：𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 −𝐵𝐶2 = √132 −52 = 12（米）， 故选：A． 13．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸， 适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1 丈的正方形（即AB＝1 丈＝10 尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB 的部分为1 尺（即EF＝1 尺）．如果把这根 芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A 处，则芦苇GE 的长是（ ） A．10 尺 B．12 尺 C．13 尺 D．14 尺 【解答】解：设水深GF 长为x 尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2＝AG2， 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∴x2 + ( 10 2 )2 = (x + 1)2， 解得：x＝12， 则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：C． 14．如图，一根竹子高1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4 尺处．折断处离地面的高度是 4.2 尺．（1 丈＝10 尺） 【解答】解：一根竹子高1 丈，即10 尺，设AC＝x 尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC 中，BC＝4 尺， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴（10﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝4.2， ∴折断处离地面的高度是4.2 尺， 故答案为：4.2． 15．如图，一条笔直的铁路AB 的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB 的距离分别为15km 和10km，分 别过C，D 两点作AB 的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB 上建一个土特产收 购站E，使得C，D 两村到E 站的距离相等，则E 站到M 点的距离为 10km ． 【解答】解：∵C，D 两村到E 站的距离相等， ∴DE＝CE， ∵DN⊥AB，CM⊥AB， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴ME2+CM2＝CE2，NE2+DN2＝DE2， ∴ME2+CM2＝NE2+DN2， 设ME＝xkm，则NE＝MN﹣ME＝（25﹣x）km， 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∵CM＝15km，DN＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴ME＝10km， ∴E 站到M 点的距离为10km， 故答案为：10km． 16．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D． （1）若∠BCD＝27°，求∠A 的度数． （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求CD 的长度． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝27°； （2）在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， 由勾股定理得：AC= √AB2 −BC2 = √52 −32 =4（cm）， S△ABC= 1 2AC•BC= 1 2AB•CD， 则CD= 3×4 5 = 12 5 cm． 17．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE＝4 米，高AE＝3 米，且AE⊥BE，长AD＝10 米，棚的斜 面用矩形玻璃ABCD 遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃ABCD 的面积． 【解答】解：在Rt△AEB 中，AB= √32 + 42 =5， 矩形ABCD 的面积＝10×5＝50（米2） 答：矩形玻璃的面积是50 平方米． 18．如图，在一个直角三角形休闲广场的直角处设计一块四分之一圆形花坛，若圆形的半径为r 米，广场一 直角边长为2a 米，另一直角边长为b 米． （1）列式表示广场空地的面积（用含π 的式子表示）； 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 （2）若a＝150 米，b＝50 米，r＝20 米，求广场空地的面积（π 取3.14）． 【解答】解：（1）四分之一圆的面积为： 1 4 πr2； 直角三角形的面积为： 1 2 × 2a × b = ab； 所以，广场空地的面积为：ab − 1 4 πr2； （2）当a＝150 米，b＝50 米，r＝20 米，π＝3.14 时， ab − 1 4 πr2 = 150 × 50 − 1 4 × 3.14 × 202 = 7186（平方米）， 19．新情境如图，有一辆卡车沿笔直公路由点M 向点N 匀速行驶，点P 为一栋居民楼，且点P 与点M，N 的距离分别为150m 和200m，MN＝250m，已知卡车的行驶速度为30km/h，卡车周围130m 以内为受噪 声影响区域．则居民楼P 是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【解答】解：居民楼P 会受噪声影响， 如图所示，过点P 作PA⊥MN 于点A， ∵NP＝200m，MN＝250m，MP＝150m， ∴MP2+NP2＝1502+2002＝62500＝2502＝MN2， ∴△MNP 是直角三角形，∠NPM＝90°， ∴S△MNP = 1 2 MP ⋅NP = 1 2 PA ⋅MN， ∴MP•NP＝PA•MN， ∴150×200＝250×PA， ∴PA = 150×200 250 = 120(m)， ∵卡车周围130m 以内为受噪声影响区域， 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∴居民楼P 会受噪声影响， 当BP＝CP＝130m 时，卡车在BC 段行驶会影响居民楼P， 此时AB＝AC， ∵BP2＝PA2+BA2， ∴1302＝1202+BA2， ∴BA＝50m， ∴BC＝2BA＝100m， ∵卡车的行驶速度为30km/h， ∴100 ÷ 25 3 = 12(𝑠)， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为12s． 1．如图，分别以Rt△ABC 的三边为边作正方形，再以FD 为斜边作Rt△DEF，最后以EF、DE 为边作两个 小正方形的面积分别是1、3，以AB 为边的正方形面积为2，则图中5 个正方形的面积总和是（ ） A．5 B．3 C．16 D．6 【解答】解：∵四边形ACFD 是正方形， ∴AC＝FD． ∵以EF、DE 为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴AC2＝FD2＝1+3＝4． ∵以AB 为边的正方形面积为2， ∴AB2＝2， ∴以BC 为边的正方形面积为：BC2＝AB2+AC2＝2+4＝6， ∴图中5 个正方形的面积总和是：1+3+4+2+6＝16， 故选：C． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E 为对角线 BD 上任意一点，连接AE，CE．若AB＝5，BC＝3，则AE2﹣CE2 等于（ ） 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．7 B．9 C．16 D．25 【解答】解：连接AC，与BD 交于点O， ∵AC⊥BD， 在Rt△AOE 中，AE2＝AO2+OE2， 在Rt△COE 中，CE2＝CO2+OE2， ∴AE2﹣CE2＝AO2﹣CO2， 在Rt△AOB 中，AO2＝AB2﹣OB2， 在Rt△COB 中，CO2＝BC2﹣OB2， ∴AO2﹣CO2＝AB2﹣BC2＝52﹣32＝16， ∴AE2﹣CE2＝16， 故选：C． 3．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为a， b（a＞b），设小正方形的面积为S1，大正方形面积为S2． （1）用含有a，b 的代数式分别表示：S1＝a2﹣2ab+b2 ，S2＝a2+b2 ；（结果化简） （2）若S1＝16，S2＝136，求a+b 的长． 【解答】解：（1）由正方形的性质和勾股定理得：小正方形的面积为S1＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，大 正方形的面积为S2＝a2+b2， 故答案为：a2﹣2ab+b2，a2+b2； （2）∵S1＝16，S2＝136， ∴a2﹣2ab+b2＝16①，a2+b2＝136②， ②×2﹣①得：a2+2ab+b2＝256， 即（a+b）2＝256， 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∵a＞b＞0， ∴a+b= √256 =16， 即a+b 的长为16． 4．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角 三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小 正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2 的值． 【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， 即100﹣2ab＝4， ∴2ab＝96， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑 块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体 C 的升降． 实验初始状态如图1 所示，物体C 静止在直轨道上，物体C 到定滑轮A 的垂直距离是8dm，AB+BC＝ 16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C 升高7dm，求滑块B 向左滑动的距离． 【解答】解：（1）∵物体C 到定滑轮A 的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝x dm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C 升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD 中，由勾股定理得：BD = √AB2 −AD2 = √172 −82 = 15(cm)， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（cm）， 答：滑块B 向左滑动的距离为9dm． 1．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的 数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较 小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4 × 1 2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2， 由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE 与Rt△EBC 按如图所示位 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A， B，H 在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA 路封闭，学校决定在操场边新建取水点H 并修新 路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24 米，HB＝18 米，求新路CH 比原路CA 少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC 时，CH⊥AB，AC＝15 米，BC＝18 米，AB＝21 米，求AH 的长度． 【解答】解：（1）∵S梯形= (a+b)(a+b) 2 = 1 2 (a2 + 2ab + b2) = 1 2 a2 + ab + 1 2 b2， 又∵S梯形= 1 2 ab + 1 2 c2 + 1 2 ab = ab + 1 2 c2， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴ 1 2 a2 + ab + 1 2 b2 = ab + 1 2 c2， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA 为x 米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x 米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA 中，CH＝24 米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH 比原路CA 少1 米． （3）由题意设：AH 为y 米， 又∵AB＝21 米，AC＝15 米，BC＝18 米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA 中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB 中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：y = 57 7 ， ∴若AB≠AC 时，CH⊥AB，AC＝15 米，BC＝18 米，AB＝21 米，则AH 的长度为 57 7 米．
