文档文本内容
1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 1.6 线段垂直平分线的性质 课标要点 1.理解线段垂直平分线定义，分清垂直与平分双重条件，能用文字、图形、符号三种语言 完整描述该几何图形，准确辨别正误图形。 2.探究并掌握线段垂直平分线性质定理，自主完成定理逻辑证明，规范书写推理步骤，会 用定理计算线段长度。 3.掌握线段垂直平分线判定定理，理清性质与判定的因果区别，能依据条件判断点是否在 线段垂直平分线上。 4.熟练运用尺规作图法作线段垂直平分线，知晓每一步作图依据，规范保留圆弧痕迹，准 确作出标准图形。 5.结合三角形题型综合运用定理，挖掘图中隐藏相等线段，提升几何逻辑推理能力，解决 求值与证明类习题。 学习重难点 重点： 1.熟记垂直平分线性质定理，熟练转化几何符号语言，利用线段相等完成简单计算与基础 证明题。 2.掌握尺规作线段垂直平分线完整步骤，理解作图原理，规范作图格式，保留全部作图圆 弧痕迹。 3.分清性质与判定定理用途，根据已知条件正确选取定理，完成基础几何推理书写。 难点： 1.区分性质、判定定理的逻辑因果，做题时易颠倒条件结论，难以精准匹配对应几何题型。 2.在三角形综合图形中，快速识别垂直平分线，找出隐藏等线段建立等量关系解题。 3.理解尺规作图背后全等三角形原理，独立严谨证明所作直线为线段垂直平分线。 第一章 认识三角形 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 知识点一 线段垂直平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线 段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造 条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外 心. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 即学即练 ．．．． 1．（25-26 八年级上·浙江湖州·期末）如图，在ABC 中，边BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ， E ，若ABC 的周长为12， 5 CB = ，则ABD 的周长为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在ABC 中，AD是 BAC 的平分线，AD的垂直平分线 交BC 的延长线于点F ，已知 50 B = ∠ ，则 CAF 的度数为______． 3．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在ABC 中，AB 边的垂直平分线1l 交BC 于点D ，AC 边的垂 直平分线2l 交BC 于点E ． (1)若ADE 的周长为15cm，求BC 的长； (2)若 30 , 50 = = B C ，求 DAE 的度数． 知识点二 线段垂直平分线的画法 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 1.分别以点A、B 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D 两点作直线（直线CD 就是线段AB 的垂直平分线）. 即学即练 ．．．． 4．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中 圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 八年级上·浙江·期中）如图，已知ABC ，AB AC ， 60 A = ， 80 C = ． (1)尺规作图：作线段BC 的垂直平分线，交AB 于点D ； (2)求 ACD 的度数． 6．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在ABC 中， 45 ABC = ，分别以点A，C 为圆心，大 于1 2 AC 长为半径画弧，两弧相交于点P 和点Q，过P，Q 两点作直线分别交AC AB ， 于点D，E． (1)根据作图过程判断：直线DE 是线段AC 的______． (2)当CE CB = 时，将 ACE △ 绕点C 旋转，使CE 与CB 重合得到 A CB △ ，AC 的对应边A C 交AB 于点F， 补全图形，并求 EFC 的度数． 5 / 23 学科网（北京）股份有限公司 题型01 垂直平分线的基本概念 典｜例｜精｜析 1．关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等． 其中，正确的说法有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个 变｜式｜巩｜固 2．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作ABC ，AD是BC 的垂直平分线．下列说法错误 ．．的是 （ ） A．AB AC = B．BD CD = C． = B CAD D．ABD ACD ≌ 3．如图，直线l 是AB 的垂直平分线，P，Q 是直线l 上两点，则下列说法一定正确的是（ ） A．AP AQ = ，BP BQ = B．AB PQ = C．AP BP = ，AQ BQ = D．PA PB AQ BQ = = = 解题贴士 需同时满足垂直、平分线段两个条件，二者缺一不可；直线、射线不存在垂直平分线，仅线段独有，线 上任意点到线段两端距离相等。 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 4．如图，线段AB CD ⊥ ，垂足为点O，CO DO = ，则下列说法正确的有（ ） ①AB 垂直平分CD； ②CD垂直平分AB ； ③CD的垂直平分线是AB ； ④AB 的垂直平分线是CD所在的直线； ⑤CD的垂直平分线是AB 所在的直线． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型02 垂直平分线的判定 典｜例｜精｜析 5．有不在同一直线的 , , A B C 三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则 活动中心应建在（ ） A．ABC 三条中线的交点 B．ABC 三条角平分线的交点 C．ABC 三条高线的交点 D．ABC 三条边的垂直平分线的交点 变｜式｜巩｜固 6．如图，在ABC 中，D是BC 上的一点，连接AD，作DE AB ⊥ 交AB 于点E ，DF AC ⊥ 交AC 于点 F ，且AD平分 BAC ，连接EF ． (1)证明：AD垂直平分EF ； 解题贴士 判定需两点到线段两端距离均相等，两点确定直线才可判定；单点相等不能判定，注意区分判定与性质 的条件结论，切勿混淆。 7 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (2)若ABC 面积为36, 12, 4 BC DE = = ，求ABC 的周长． 7．如图，在四边形ABCD中，AD BC ∥ ，E 为CD的中点，连接AE ，BE，BE AE ⊥ ，延长AE 交BC 的 延长线于点F ．求证： (1) AD FC = ； (2) BE是AF 的垂直平分线； (3)猜想：线段AB ，BC ，AD之间关系，并说明理由． 8．如图，在ABC 中， 90 BAC ，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，F，AC 的垂直平分线分 别交AC ，BC 于点M，N，直线EF ，MN 交于点P ． (1)求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上． (2)若AFN 的周长为8cm ， PBC △ 的周长为18cm，求PA的长． 题型03 利用垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 9．如图，在ABC 中， 30 B = ， 50 C = ，通过观察尺规作图的痕迹， DAE 的度数是（ ） A．35 B．40 C．70 D．50 变｜式｜巩｜固 10．如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于M、 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 N 两点，作直线MN ，分别交AC AB 、 于点P、D，连接BP．若点P 到AB BC 、 的距离相等，则 APD 的 度数为（ ） A．30 B．45 C．60 D．75 11．如图，在ABC 中， 120 BAC = ，边AB 的垂直平分线DM ，交AB 于点D ，交BC 于点M ，边AC 的垂直平分线EN 交AC 于点E ．交BC 于点N ，连接AM ，AN ．则 MAN = ___． 12．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点 , F D 为线段CE 的中点， AD BC ⊥ ． (1)求证：BE AC = ． (2)若 32 B = ∠ ，求 BAC 的度数． 题型04 利用垂直平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 13．如图，DE 是ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E，且 8, 5 AC BC = = ，则 BEC 的周长是（ ） 解题贴士 找准垂直平分线上点，直接转化两段线段相等；审题识别隐藏平分线，等量代换计算，避免混淆性质与 判定定理。 9 / 23 学科网（北京）股份有限公司 A．12 B．13 C．14 D．15 变｜式｜巩｜固 14．如图，点E 为ABC 的边BC 上一点，AE 的垂直平分线刚好经过点C 且与AB 边交于点D，连接 DE ，若 8 AB = ， 5 AC = ， 9 BC = ，则BDE 的周长是（ ） A．10 B．15 C．14 D．12 15．如图，已知在ABC 中，AB AC = ，AC 的垂直平分线分别交 C、 A AB于点D ，E ，ABC 的周长为 16cm，BCE 的周长为10cm，那么底边BC = ______cm ． 16．如图，在ABC 中，CD AB ⊥ ，垂足为D ，点E 在边AB 上，且BD DE = ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，连接CE ． (1)求证：AE BC = ； (2)若ABC 的周长为21， 8 AC = ，求BCE 的周长． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 题型05 利用垂直平分线的性质解决面积问题 典｜例｜精｜析 17．如图，在ABC 中，BD是ABC 的中线，EF 是BC 边的中垂线，且BD与EF 相交于点G，连接 AG CG 、 ，若四边形CDGE 与四边形ACEG 的面积分别为7 和11，则ABC 的面积为（ ） A．18 B．20 C．22 D．36 变｜式｜巩｜固 18．如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE 是BC 边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，则 △ABC 的面积是___cm2． 19．如图，在ABC 中， 90 A = ． (1)尺规作图：在AC 边上确定一点D，使得点D 到B，C 两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接BD，若 15 AC = ，ABD 的周长为23，求ABC 的面积． 20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，且 DAC BAC = ， ACD ACB = ． 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AC 是线段BD的垂直平分线； (2)若对角线 10 AC = ， 8 BD = ，求四边形ABCD的面积． 题型06 垂直平分线性质的实际应用 典｜例｜精｜析 21．在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（ABC ）安装滴灌系统，工程师计划在AC 边的垂直 平分线上铺设管道，交AC 于E、交BC 于D．已知 6 AE cm = ，其中ABD 区域的滴灌管道总长为26cm ， 则整个农田（ABC ）的滴灌管道总长为（ ） A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm 变｜式｜巩｜固 22．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折ABC ( ) AB AC ，使点C 落在边AB 上的点E 处，得到折痕AD，把纸片展平，如图 ①，发现四边形AEDC 满足：AE AC = ，DE DC = ．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝 形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形AEDC 是筝形，AE AC = ，DE DC = ．则线段AD和线段CE 的位置关系是什么？ 请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形” AEDC 中，已知 6 AD = ， 4 CE = ，求“筝形” AEDC 的面积． 23．某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域ABC 内修一条 小路AD，如图①，已知AB 的长为6 米，AD为BC 边上的中线． 12 / 23 学科网（北京）股份有限公司 【尝试分析】 为了研究ADC 的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②， 延长AD到E ，使DE AD = ，连接BE，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题． （1）求证：ADC EDB ≌ ； （2 ）测得AC 的长为4 米，小明据此说小路AD的长度不可能为5.5米，他说得对吗？为什么？ 【实际应用】 （3）如图③，若ABC 为直角三角形， 90 B = ．若要修一条与BC 垂直的路CE ，CE 的长为8米，且 要求AD DE ⊥ ，求AE 的长度． 24．【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们 认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AB AC = ，DB DC = ．求证：AD BC ⊥ ． 【模型应用】（2） 如图2， AMC △ 中， MAC 的平分线交MC 于点D．请你从以下两个条件：① AM MD AC + = ；② 2 M C = 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过 程．（注：只需选择一种情况作答） 题型07 尺规作垂直平分线 典｜例｜精｜析 25．如图：已知线段AB ，请完成以下任务： 解题贴士 画弧半径需大于线段一半，上下两侧均画弧；保留全部圆弧痕迹，连线两交点，不可随手画直线，牢记 作图全等依据。 13 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (1)用尺规作图法作出线段AB 的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点A、B 为圆心，大于1 2 AB 的长为半径画弧，两弧在线段AB 的上方交于点N ； ②保持圆心A、B 不变，更换另一个大于1 2 AB 的长度为半径，再次画弧，两弧在线段AB 的上方交于点 M ； ③过M 、N 两点作直线． 该同学认为这条直线MN 就是线段AB 的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 26．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交边AB 于点D ，交边BC 于点E ． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC 上作点E （要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接AE ，如果 12 BC = ， 10 AC = ，求 AEC △ 的周长． 27．如图，在ABC 中，BD平分 ABC ， (1)作图：作BC 边的垂直平分线分别交BC ，BD于点E ，F （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作 法）； 14 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (2)在（1）的条件下，连接CF ，若 60 A = ， FCB FBC = ， 24 ABD = ，求 ACF 的度数． 28．如图，在ABC 中，AD是ABC 的角平分线． (1)作线段AD的垂直平分线交AB 于点E ，连接DE ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点D 作DF AB ∥ 交AC 于点F ，求证：DE DF = ． 题型08 垂直平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 29．如图，直线l 是ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，E 是直线l 上任意一点，且 7 AC = ， 10 BC = ， 8 AB = ，则 AEC △ 的周长的最小值为（ ） A．8 B．10 C．15 D．17 变｜式｜巩｜固 30．如图，在ABC 中，BD平分 ABC ，线段CD的垂直平分线交CD于点E，交BC 于点F．若 AB FB = ，ABC 的周长为15， 6 BC = ，则CD的长度为________． 31．如图在四边形ABCD中，AD BC ．取CD中点P，连接AP ，BP，若AP BP ⊥ ． 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AD BC AB + = ； (2)若 90 C = ，四边形ABCD面积为78， 13 AB = ，求CD的长． 32．如图，在ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB BC ， 于点 M，D，边AC 的垂直平分线分别交 AC BC ， 于点 N，E，MD NE ， 的延长线交于点 O． (1)若 10 BC = ，求ADE 的周长． (2)试判断点O 是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由． 题型09 垂直平分线的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 33．如图，在ABC 中，AD BC ⊥ ，垂足为D，AF 是 BAD 的角平分线，点F 在BC 上，过F 作 FE AB ⊥ ，垂足为E，交AD的延长线于点G． (1)求证：BF GF = ； (2)若D 是BC 的中点，且 5 AC = ，求线段AG 的长度，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 34．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、 “中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所 要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称 为“倍长中线法”． 16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (1)【问题解决】如图1，在ABC 中， 6 AB = ， 10 AC = ，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD的取值 范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长AD至点E ，使DE AD = ，连接 BE），请结合小明做的辅助线，直接写出AD的取值范围______； (2)【类比运用】如图2， 90 ABD ECD ADE = = = ，点D 为BC 的中点， 8 AB = ， 20 CE = ，求AE 的 长； (3)【拓展探究】如图3，在ABD 和 ACE △ 中， 90 DAB CAE = = ，AB AD = ，AC AE = ．连接DE ， BC ，点F 是BC 的中点，连接FA并延长，与DE 相交于点G ．若 2 AF = ， 3 DG = ，请直接写出GE 的长 度． 35．如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，与边AB 交点分别为点M，N， DM 与EN 相交于点F． (1)若 110 ACB = ，则 MCN 的度数为______； (2)若 MCN = ，试求 MFN 的度数（用含的代数式表示）； (3)连接FA，FB，FC ，若CMN 的周长为8，FAB 的周长为18，求FC 的长． 36．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，ABC 中，若 6 AB = ， 4 AC = ，求BC 边上的中线AD的取值范围． 17 / 23 学科网（北京）股份有限公司 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E ，使DE AD = ，连接BE．请根 据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到ADC EDB ≌ ，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值 范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形ABCD中，M 是BC 边的中点，且 90 AMD = ，若AB 与CD不平行，试判断 AB CD + 与AD之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加AM 平分 BAD ， 5 AD = ， 3 CD = ，求AB 的长． 基础通关 1．（25-26 八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有、、 A B C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置 上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应 放的最适当的位置在ABC 的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 2．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在ABC 中，线段AC 的垂直平分线交BC 于点D，连接AD， 则下列结论一定成立的是（ ） A．AD BD = B．BD CD = C．AD BD BC + = D．AB BD BC + = 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，ABC 的边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，若 18 PA PB + = ，则PC 的长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于点D，交BC 于点 E．若 9cm, 6cm AB AC = = ，则ACD 的周长为（ ） A．12cm B．15cm C．16cm D．18cm 5．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC 中，AB AC = ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交 AC 于点E ，已知 24 AB BC + = ，那么BCE 的周长为________． 6．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在ABC 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧交BC 于点 D，再分别以点B 和点D 为圆心，大于1 2 BD 的长为半径作弧，两弧分别交于点M 和点N，连接MN 交AB 于点E，若 18 AB = ， 10 AC = ，则ADE 的周长为______． 7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，点O为ABC 三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为 6 cm ，则AO BO CO + + = _____cm． 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AB AC ， 的垂直平分线与BC 分别交于 115 D E BAC = ，， ，则 DAE =___________． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，E 是ABC 的边BC 上一点．请你用尺规作图法在BC 上方作Rt BEF ， 使得点F 在AB 边上，且BF 为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26 八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，ABC 中，AD BC ⊥ ，BD DE = ，EF 垂直平分AC ，交 AC 于点F ，交BC 于点E ． (1)求证：AB CE = ； (2)若 2cm BD = ， 5cm EC = ，求ABE 的周长． 素养提升 11．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE 是ABC 中AC 边的垂直平分线．若 8cm BC = ， 10cm AB = ， 9cm AC = ，则EBC 的周长为（ ） 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 A．17cm B．18cm C．19cm D．27cm 12．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角ABC 中， 9 BC = ，AB 的垂直平分线分别交 AB 、BC 于点D、E，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F、G， 1 EG = ，则AEG 的周长为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 13．（2023·青海海东·二模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥ ，垂足为点D ，EF 垂直平分AC ，交BC 于点 E ，交AC 于点F ，连接AE ，若BD DE = ，ABC 的周长为16， 3 AF = ，则DC 的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰ABC 中，AB AC = ，边AC 的垂直平分线EF 分别交 AC ，AB 于点E，F，D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若 4 BC = ，ABC 的面积为12，则 CDM 周长的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 15．（25-26 八年级下·浙江宁波·假期作业）如图，在ABC 中， 90 B = ， 2 AB = ，AD是ABC 的中线， CE BC ⊥ ， 4 CE = ，且 90 ADE = ，则AE =____________． 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 16．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，ABC 中，AB AC = ，DE 是AB 的中垂线，点D 在AB 上， 点E 在AC 上，若ABC 的周长为25cm，EBC 的周长为16cm，那么AC 的长度为______cm． 17．（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC AD BC = ⊥ ， 于点D，E，F 两动点分别 在线段AD AB 、 上运动，若 48 BAC = ，则当BE EF + 取得最小值时， BEF 的度数为___． 18．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在ABC 中， 2 B C = ，AD BC ⊥ 于点D ，作AC 边上的中 垂线EF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若ABC 周长为26， 10 AC = ，则DC 的长为______． 19．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABC 中，D 是BC 上的一点，连接AD，作DE AB ⊥ 交 AB 于点E，DF AC ⊥ 交AC 于点F，且AD平分 BAC ，连接EF ． (1)证明：AD垂直平分EF ． 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 (2)若ABC 的周长为18，面积为24， 6 BC = ，求DE 的长． 20．（25-26 八年级上·天津和平·期末）已知：ABC 是等边三角形，点O 是直线BC 上方的一点，连接 AO BO CO ， ， ，并且 60 BOC = (1)如图1，BO交AC 于点M，若CO BC ⊥ ，求证： CAO ACO = ； (2)如图2，CO交AB 于点N，作AD CO ⊥ 于点D，求CO BO DO − 的值． 迁移创新 21．（25-26 八年级上·江西南昌·期中）如图，已知线段AB 与线段AB 外一点C ，分别以点 , A B 为圆心， , AC BC 长为半径画弧，两弧分别交于点 , C D ，连接 , , , , AC BC AD BD CD ，若 10 AB = ，四边形ACBD的面 积为65，则CD的长为（ ） A．6.5 B．10 C．13 D．26 22．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，过点D 作DE BC ⊥ 于点E ， AB 的垂直平分线分别交AB ，DE 于点F ，G ，且 1 2 FG AB = ．若 2 DG = ， 3 EG = ，则BC 的长为（ ） 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 A．9 B．10 C．11 D．12 23．（24-25 九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰ABC 中，AB AC = ，AD BC ⊥ 于点D，E、F 两动点 分别在线段AD AB 、 上运动，若 40 BAC = ，则当BE EF + 取得最小值时， BEF 的度数为________°． 24．（25-26 七年级下·重庆江北·期中）如图，在四边形ABCD中，AB AD = AD BC ，过点A 作AE BC ⊥ . 于点E，连接AC ，若 2 B BCA = ， 3 BC CD = + ，则BE的长为_______． 25．（24-25 八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动， 请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在ABC 中，若 10 AB = ， 8 BC = ，求AC 边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考 的；延长BD至E ，使DE BD = ，连接CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE 中利用三角形三边关 系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线 BD的取值范围是________． (2)如图2，在ABC 中， 90 B = ，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若 DM DN ⊥ ．试说明：AM CN MN + ． (3)如图3，在ABC 中，点D 是AC 的中点，AB MB = ，BC BN = ，其中 90 ABM NBC = = ，连接 MN ，探索BD与MN 的关系，并说明理由．
