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1.1 认识三角形（第2 课时）
题型一：判断三角形的高是否正确
1．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列直角三角
板的位置摆放正确（ ）
A．
B．
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2 /
C．
D．
3．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）在△ABC 中，AB 边的高说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在
ACE
△
中，AE 边上的高是（ ）
A．线段EC
B．线段BG
C．线段CD
D．线段AF
5．（24-25 七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC 中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB 边上的高
B．线段BE 是AC 边上的高
C．线段CF 是AC 边上的高
D．线段CF 是BC 边上的高
6．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC 中，AD
BC
⊥
于点D
FA
AB
⊥
，
于点A ，则△ABC 的
边BC 上的高是（ ）
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A．BD
B．AF
C．AD
D．AB
题型二：正确识别三角形的角平分线、高、中线
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，1
2
= ，G 为AD的中点，连接BG 并延长交AC
于点E．过点C 作CF
AD
⊥
于点H，交AB 于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段AD是ABE
的角平分线
B．线段CH 是ACD
中AD边上的高
C．线段BE 是
ABD
△
中AD边上的中线
D．线段AH 是△ABC 的角平分线
2．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，ABC
的角平分线AD与中线BE交于点O，对于下列结论：①
AO 是ABE
的角平分线；②BO是ABD
的中线；③AE
CE
＝
；④OB
OE
＝
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
3．（24-25 八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，D，E 是AC 上两点，且AE
DE
=
，
BD平分
EBC
，那么下列说法中不正确的是（ ）
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A．BE 是
ABD
△
的中线
B．BD是BCE
的角平分线
C．1
2
3
= =
D．BC 是BCE
的高
4．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，ABC
的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确
的是（ ）
A．AO 是ABE
的角平分线
B．ED是EBC
的角平分线
C．DE 是ADC
的中线
D．BO是ABD
的角平分线
5．
（24-25 八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在△ABC 中，AB 边上的高是 ，BC 边上的高是 ；
在△BCF 中，CF 边上的高是 ．
题型三：三角形角平分线、高、中线中相关概念
1．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
2．（24-25 七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60°
D．三角形的内角和与三角形形状无关
3．（24-25 七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三
条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（ ）
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A．3个
B．2 个
C．1个
D．0 个
4．（24-25 七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（ ）
A．都在这个三角形内
B．都在这个三角形外
C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外
D．可能和这个三角形的一边重合
5．（23-24 八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做
三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型四：根据三角形的中线求线段长度
1．
（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，CD是△ABC 的中线，
9
BC =
，
4
=
AD
，若ACD
的周长比
BCD
△
的周长小4，则△ABC 的周长为 ．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）已知AD是△ABC 的边BC 上的中线，若
ABD
△
的周长比ACD
的周长
大6，则AB 与AC 的差是 .
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中(
),
2
,
AB
BC
AB
AC AC
=
边上的中线BD把△ABC
的周长分成30 和20 两部分，则BC 的长为 ．
4．（23-24 七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC 中，E，G 分别是AB ，AC 上的点，F，D 是BC
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上的点，连接EF ，AD，DG ，AB
DG
∥
，1
2
180
+=
．
(1)求证：AD
EF
∥
；
(2)若DG 是
ADC
的平分线，
2
140
=
，
60
C
=
，求
AGD
的度数；
(3)若△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，当中线AD将△ABC 分成周长差为2cm 的两部分，求AC 的长．
5．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在△ABC 中，AD是中线，
10cm
AB =
，
6cm
AC =
．
(1)求
ABD
△
与ACD
的周长差．
(2)点E 在边AB 上，连接ED，若△BDE 与四边形ACDE 的周长相等，求线段AE 的长．
6．（24-25 八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC 中，AE 是边BC 上的中线，AD
BC
⊥
交BC 于点D ，
F 为AB 的中点，连接EF ．已知
6
AD =
，△ABC 的面积为24．
(1)求CE 的长．
(2)若
7
AE =
，求
AEF
△
与
BEF
△
的周长差．
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题型五：三角形中相关作图题
1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C
在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC 中边AB 上的高CD；
(2)画出△ABC 中边AC 上的中线BE；
(3)直接写出ABE
的面积为______．
(4)
9
AB =
，直接写出CD =______．
2．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）如图，已知ABC
，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边AB 上的高CD；
(2)过点D作直线BC 的垂线，垂足为E ；
(3)点B 到直线CD的距离是线段_______的长度；
(4)线段CE 的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 均在
小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出△ABC 的边BC 上的高AD；
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(2)画出△ABC 的边AC 上的中线BE ；
(3)过点B 作AC 的平行线BF ；
(4)线段
10
AB =
，直接写出点C 到直线AB 的距离______．
4．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，AB
AC
，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边BC 上的高AD；
(2)点A 到直线BC 的距离是线段______的长度；
(3)边BC 上有一点E ，连接AE ，如果
ABE
AEC
S
S
=
，那么线段AE 是△ABC 的______；（填“高”、“中线”或“角
平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果
:
2:3
ED CD =
，
6
AED
S
=
△
，那么
ABC
S
=
______．
5．（23-24 七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ABC 的
三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D，点E、F 分别是B、
C 的对应点．
(1)画出△ABC 中AB 边上的高CH （提醒：别忘了标注字母）；
(2)请画出平移后的DEF
（提醒：别忘了标注字母）；
(3)求平移后的DEF
的面积．
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6．（23-24 七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1 个单位，每个小正方形
的顶点叫格点．
(1)将△ABC 向左平移8 格，再向下平移1 格．请在图中画出平移后的A B C
；
(2)利用网格在图中画出△ABC 的中线BD，高线AE ；
(3)在图中能使
ABC
PBC
S
S
=
的格点P 的个数有 个（点P 异于A）．
题型六：网格中求面积问题
1．（24-25 八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1 的正方形，则△ABC 的面积是（ ）
A．1.5
B．2.5
C．3.5
D．4.5
2．（24-25 八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做
格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，则△ABC 的面积为 ．
3．（24-25 九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的
每一个顶点都在格点上，则格点四边形ABCD的面积为 ．
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4．（23-24 八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D、F 在网格中的格点处，AF 与BC 相交于点E，
设小正方形的边长为1，则阴影部分DEF
的面积等于 ．
5．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为(2,4)，(6,2) ，(2,0) ，则三
角形ABC 的面积为 ．
6．（24-25 七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1 厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，
其面积是( )平方厘米。
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7．（24-25 八年级上·重庆·阶段练习）如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B ，C 均在
格点上，D是AB 与网格线的交点，则CD的长为 ．
题型一：根据三角形的中线求面积
1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC 中，D
E
F
，，
分别是BC
AD
CE
，
，
的中点，
2
4cm
ABC
S
=
△
，则
BEF
S
等于（ ）
2
cm
A．2
B．1
C．0.5
D．0.25
2．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC 中，D、E、F 分别为BC
AD
CE
、
、
的中点，且
2
48cm
ABC
S
=
，则DEF
的面积等于（ ）
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A．
2
4cm
B．
2
6cm
C．
2
8cm
D．
2
10cm
3．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC 中，点A ，B ，C 分别是线段
1A B ，
1
B C ，
1
C A的
中点，若△ABC 的面积是1，则
1
1
1
A BC
△
的面积是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．9
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，BD是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是
ABD
△
的边BD上的中线，BF
是ABE
的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是16，则阴影部分的面积是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，
3
BC
BD
=
，连接AD，点E 是
AD上一点，
:
2:3
AE ED =
，连接CE ，点F 是CE 上一点，连接BF 交AD于点G ，若
2
BGD
EFG
S
S
−
=
，
20
ABC
S
=
，则四边形FGDC 的面积是 ．
6．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC 的面积为1，分别延长BC 至点D ，使CD
BC
=
，
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延长CA 至点E ，使AE
AC
=
，延长AB 至点F ，使BF
AB
=
，依次连接DE
EF
FD
，
，
，则阴影部分的面积
为 ．
7．（24-25 八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 的中点，连
接AE ，BF ，CD交于点G ，△ABC 的面积为6，设BDG
的面积为
1S ，CGF
△
的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
+
= ．
8．
（24-25 六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，点E 是AD的中点，
2
CF
EF
=
，
2
5
GC
BC
=
，
则BFG
的面积是长方形ABCD面积的 ．
题型二：利用三角形的面积求高
1．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知D 、E 分别为△ABC 的边BC 、AC 的中点，连接BE ，AF
为ABE
的中线，连接FD ，若
8
BC = ，四边形AFDC 的面积为20 ，则△ABC 的BC 边上高长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2.（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC 中，
2
AB
AC
=
=
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
⊥
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于点E ，PF
AC
⊥
于点F ，若
1
ABC
S
=
△
，则PE
PF
+
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC 中，AB
AC
=
，D 为BC 中点，过点D 作DP
AB
⊥
，
3
DP =
，E 为BC 上一点，过点E 作EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
4.2
EM =
，则EN = ．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC 中，
(
)
90
C
A
ABC
=
，点D，P 分别在边AB ，
AC 上，且BP
AP
=
，DE
BP
⊥
，DF
AP
⊥
，垂足分别为点E．F．若
24
ABC
S
=
，
8
AC =
，则DE
DF
+
的
值 ．
5．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
6
AD =
，D 为BC 边
上一点，AD
CD
=
，P 为AC 上一点，过点P 作PM
AD
⊥
于点M ，PN
BC
⊥
于点N ，求PM
PN
+
的值 ．
6．
（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形ABC 中
5
AB =
，ABC
的面积15， BD
平分
ABC
交AC 于点D，若M 、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM
MN
+
的最小值为
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7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，
90 ,
,
,
ACB
AD
BC BE
AC CF
AB
⊥
⊥
⊥
，垂足
分别为D ，E ，F ，则△ABC 的边BC 上的高为线段 ，边AC 上的高为线段 ；若
9
5,
4,
5
AC
BC
BE
=
=
=
，则
ABC
S
为 ．
题型三：三角形综合应用之多结论问题
1．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC =
，
10
BC =
，AD是
高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④
2.4
AD =
，以上说法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（24-25 七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
ABE
BCE
S
S
；②
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④AD BC
AB AC
=
，其中结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
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3．（24-25 八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC 中，
90
6
8
10
BAC
AB
AC
BC
AD
=
=
=
=
，
，
，
，
是高，
BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，下面说法正确的是（ ）
①BCE
的周长
ABE
−△
的周长
4
=
；②
AFG
AGF
=
；③
ACF
BCF
S
S
=
；④
2
FAG
ACF
=
；⑤
2.4
AD =
A．①③⑤
B．①②④
C．①③④⑤
D．②③④
4．（23-24 七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ．下面说法中：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
：②
AFG
AGF
=
；③
2
BAD
ACF
=
；④AF
FB
=
．正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②③
D．③④
5．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABC
BD
BE
、
，
分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线
上，FH
BE
⊥
交BD于G ，交BC 于H ，下列结论：①
DBE
F
=；②2 BEF
BAF
C
=
+
；③
1 (
)
2
F
BAC
C
=
−
；④
BGH
ABE
C
=
+
，正确的序号是（ ）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
题型四：三角形中三条重要线段综合
1．（23-24 七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC 中，E，G 分别是AB ，AC 上的点，F，D 是BC
上的点，连接EF ，AD，DG ，AB
DG
∥
，1
2
180
+=
．
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(1)求证：AD
EF
∥
；
(2)若DG 是
ADC
的平分线，
2
140
=
，
60
C
=
，求
AGD
的度数；
(3)若△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，当中线AD将△ABC 分成周长差为2cm 的两部分，求AC 的长．
2．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在△ABC 中，AD是中线，
10cm
AB =
，
6cm
AC =
．
(1)求
ABD
△
与ACD
的周长差．
(2)点E 在边AB 上，连接ED，若△BDE 与四边形ACDE 的周长相等，求线段AE 的长．
3．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC 中，BE 是△ABC 的角平分线，点D 在边AB 上（不与
点A ，B 重合），CD与BE 交于点O．
(1)若CD是中线，
7
BC =
，
5
AC =
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为__________．
(2)若
80
A
=
，CD是角平分线，求
BOC
=__________．
(3)若
62
ABC
=
，CD是高，求
BOC
的度数．
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4．（2025 八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为80，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
40
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
6．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上．
(1)若1
2
35
= =
，
3=
4
，求
DAC
的度数；
(2)若
2
2
6
9
0
AB
AC
AC
−
−
−
=
，AD为△ABC 的中线，
ABD
△
的周长与ACD
的周长之比为5:4，求ACD
的周长．
7．（24-25 八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD，AE ，AF 分别是△ABC 的高线，角平分线和中线，
(1)下列结论：①BF
AF
=
，②
BAE
CAE
=
，③
1
2
ABF
ABC
S
S
=
△
△
，④
C
与
CAD
互余，其中正确的是
________（只填序号）．
(2)若
56
C
=
，
36
B
=
，求
DAE
的度数．
(3)若
C
B
，直接写出
DAE
与
C
B
−之间的数量关系．
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8．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，
4cm
AC =
，
3cm
BC =
，
5cm
AB =
，
若动点P 从点C 开始，按C
A
B
C
→
→
→
的路径运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为st ．
(1)当t = ________时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分；
(2)当t 为何值时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分？
(3)当P 在AC 上运动，t 为何值时，BCP
的面积为
2
4cm ？
1．（23-24 七年级上·山东淄博·阶段练习）给出下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高
D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
2．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，AD、CE 是ABC
的两条高，
4
AB =
，
16
5
CB =
，
7
CE
AD
+
=
，
则ABC
的面积为（ ）
A．56
9
B．112
9
C．140
9
D．70
9
3．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，
2
AF
FB
=
，
3
CE
AE
=
，
连接CF 交DE 于点P，则DP
EP 的值为（ ）
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20 /
A．1
2
B．2
5
C．1
3
D．2
7
4．
（24-25 七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E ，F 分别在AB ，CD上，AF
CE
⊥
，垂足为点O，AEC
B
= ，
若
4
AF =
，
3
BF = ，
5
AB =
，则点F 到直线AB 的距离为（ ）
A．3
B．2.5
C．2.4
D．2
5．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC 中，AD
AE
AF
，
，
分别是BC 边上的高线、角平分线、
中线，下列结论错误的是（ ）
A．
90
ADB
=
B．
1
2
BAF
BAC
=
C．BF
CF
=
D．
ABF
ACF
S
S
=
6．（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，AD是△ABC 的中线，DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，E，F 分别是垂
足．已知
2
AB
AC
=
，
12
DE =
，则DF 的长度为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
7．（2025 九年级下·云南·学业考试）已知AD是△ABC 边BC 上的中线，P 是AD的中点，若
PBD
△
的面积
为2，则△ABC 的面积为（ ）
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21 /
A．4
B．8
C．12
D．16
8．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，D 是ABC
的边BC 上任意一点，E
F
、分别是线段AD
CE
、
的
中点，且ABC
的面积为
2
20cm ，则BEF
的面积是
2
cm ．
9．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中(
)
AC
AB
，
2
AC
BC
=
，BC 边上的中线AD把△ABC
的周长分成60 和40 两部分，AC 和AB 的长分别为 ．
10．（24-25 七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知AD，AE 分别是△ABC 的中线和高，且
5cm
AB =
，
3cm
AC =
，则
ABD
△
与ACD
的周长的差为 cm．ABD
△
的面积与ACD
的面积的关系为 ．
11．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为60 ，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
42
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
12．（24-25 七年级下·全国·期中）如图，在△ABC 中，
BAC
为钝角，以BC 为边作长方形BCED ．
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22 /
(1)猜想：
ADE
ABD
ACE
S
S
S
−
−
=
△
△
△
（ ）
A．
ABD
S
B．
ADE
S
C．
ABC
S
D．
BCED
S长方形
(2)用两种方法证明你的猜想．
13．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，
B 重合），连接CD交BE 于点O．
(1)若CD是中线，
5
BC = ，
3
AC =
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为 ；
(2)若CD
AB
⊥
，
60
ABC
=
，求
BOC
的度数．
14．（2025 七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】
运用基本事实“同位角相等，两直线平行”
证明“两直线平行，同位角相等”．
已知：如图1，直线AB ，CD被直线EF 所截，AB
CD
∥
．求证：1
2
= ．
证明：首先，假设1
2
，那么可以过点O 作直线GH ，使得
2
EOH
= ．根据“同位角相等，两直线平
行”可以得到GH
CD
∥
，这样，过点O 就有两条直线AB ，GH 都与CD平行，这与基本事实“过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾．
所以假设不正确，于是1
2
= ．
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23 /
【解决问题】
(1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程．
已知：如图2，
,
,
AB
CD EF
AB GH
AB
⊥
⊥
∥
．求证：EF
GH
=
．
首先，假设________，将GH 沿着直线BA的方向平移，使点G 与点E 重合，点H 的对应点Q 在直线AB 上．因
为EF
GH
，所以点Q 与点F 不重合．由
,
EQ
GH GH
AB
⊥
∥
，易得EQ
AB
⊥
，而EF
AB
⊥
，同时EQ
AB
⊥
，
这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是EF
GH
=
．
(2)如图3，
1
,
AB
CD S
∥
表示
EFO
△
的面积，
2
S 表示
GHO
△
的面积．求证：
1
2
S
S
=
．
(3)按照要求，画出图形，并简要说明画法．
①如图4，过点A 画一条直线，将△ABC 分割成面积相等的两部分；
②如图5，在△ABC 中，N 是AB 上的一点（不是中点），过点N 画一条直线将△ABC 分割成面积相等的两
部分．
