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21.1 四边形及多边形
知识点一 四边形内角和
1．（23-24八年级上·江苏南京·月考）如图，在 中剪去 得到四边形 ，且 ，
纸片中 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据四边形内角和定理求出 ，则由三角形内角和定理可得
．本题主要考查了多边形内角和定理，熟知四边形内角和为360度，三角形内角
和为180度是解题的关键．
【详解】解：在四边形 中， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后， ．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，解题的关键是利用多边形内角和定理建立角
之间的关系．
先根据等腰直角三角形的性质得出裁去角之前的两个底角的度数，再结合四边形内角和求出 的度
数．
【详解】因为原三角形是等腰直角三角形，所以两个底角都是 ．
裁去顶角后，剩下的图形是一个四边形．
根据四边形内角和为 ，在这个四边形中， ．
则 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·河南许昌·期末）图形中 的值为 ．
【答案】50
【分析】此题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和定理解题即可．
【详解】解： ，
故答案为：50．
4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，将 沿着 翻折，若 ，则 的大小为
度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及四边形内角和问题，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性
质可知， ， ， ，再根据平角以及四边形内角和，得出
，即可求出 的大小．
【详解】解：由翻折的性质可知， ， ， ，
， ，
，
四边形 的内角和 ，
，
，
，
故答案为：36．
知识点二 多边形截角后的边数问题
1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数
可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不
变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一
条，依此即可解决问题．
【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是4或5或6，
故选：D．
2．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形 去掉一个 后，剩下的新图形不可能是（ ）
边形．
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学科网（北京）股份有限公司A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键．
【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形 ，②四边形 ，③五边形 ，不可
能是六边形，
故选：D．
3．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）若一个四边形截去一个角后，可能为（ ）边形
A．4或5 B．3或4
C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1
条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；
据此求解即可．
【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．
故选：C．
4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状
不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三
角形或四边形或五边形．
【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或
五边形，不可能是六边形．
故选：D．
知识点三 多边形内角和
1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为 ，则这个多边形是 边形．
【答案】十三
【分析】本题考查了多边形的内角和： ，其中 为多边形的边数， 且为正整数，熟练掌握
多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
则 ，
解得 ，
所以这个多边形是十三边形，
故答案为：十三．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为 ，且边数之比为 ，则这两个
多边形的边数分别是 ．
【答案】4，6
【分析】设这两个多边形的边数分别为 ．根据两个多边形的内角总和是 列出方程，解方程即可
得到答案．
【详解】解：设这两个多边形的边数分别为 ．
根据多边形内角和公式，得 ，
解得 ．
所以 ， ，
即这两个多边形的边数分别是4，6．
故答案为：4，6．
3．（2025·重庆·模拟预测）若一个正多边形内角和的度数为 ，则这个正多边形边数是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】9
【分析】本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；根据多边形的内角和
公式即可求得多边形的边数．
【详解】解：设正多边形的边数为n，
∵正多边形的内角和为 ，
∴ ，
解得 ，
∴正多边形的边数为：9，
故答案为：9．
4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一个多边形的内角和的 比一个五边形的内角和多 ，那么这个
多边形的边数是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．设这个多边形的边数是 ，根据已知条件列出关于 的方程
式即可作答．
【详解】解：设这个多边形的边数是 ，
，
解得： ．
故答案为：16．
知识点四 多边形对角线的条数问题
1．（2025·四川德阳·二模）凸六边形的对角线条数为 条．
【答案】9
【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形有 条对角线进行求解即可．
【详解】解：凸六边形的对角线条数为 条，
故答案为：9．
2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的
内角和为 ．
【答案】 /900度
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．
根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式 求出边数，然后根据多边形的内角和公式
列式进行计算即可得解．
【详解】设多边形边数为n，
∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，
∴ ，
解得： ，
∴内角和 ．
故答案为：900．
3．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是
．
【答案】12
【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握 边形从一个顶点出
发的对角线最多可画的条数为 ．
根据 边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为 ，求出多边形的边数即可．
【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条，
∴ ，
∴多边形的边数为： ．
故答案为：12．
4．（24-25八年级上·广东江门·月考）从八边形的一个顶点出发可以引 条对角线．
【答案】5
【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，即可得出答案．
【详解】解：从八边形一个顶点出发可以引 条对角线．
故答案为：5．
知识点五 对角线分成的三角形个数问题
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）过某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，这些对角线将这个
多边形分成 个三角形．
【答案】7
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点，可以引出 条对角线，这
些对角线把该多边形分成 个三角形，即可求解．
【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，
∴该多边形的边数为 ，
∴这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
故答案为：7．
2．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形
内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出
个三角形．
【答案】6
【分析】本题考查多边形的剖分，对于凸n边形，三角剖分后能得到 个三角形，据此即可求解．
【详解】解：将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形．
故答案为：6．
3．（22-23八年级上·河南新乡·期中）多边形的每一个内角都等于 ，从该多边形的一个顶点出发引对
角线，可以将该多边形分成 个三角形．
【答案】
【分析】已知多边形的每一个内角都等于 ，则外角为 ，根据多边形的外角和为 ，
由此即可求出多边形的边数，再根据多边形的边数即可求解．
【详解】解：多边形的每一个内角都等于 ，
∴多边形的外角为 ，根据多边形外角和定理得，边数为 ，即多边形为五边形，
∴从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成 个三角形，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和综合，对角线知识，掌握多边形的外角和定理，对角线知识
是解题的关键．
4．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）从 边形的一个顶点出发，可以作 对角线，它们将 边形分为
个三角形．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】记忆公式：从 边形的一个顶点出发，可以作 对角线，它们将 边形分为 个三角形．
【详解】四边形一个顶点出发，可以作1对角线，它们将四边形分为2个三角形；
五边形一个顶点出发，可以作2对角线，它们将五边形分为3个三角形；
六边形一个顶点出发，可以作3对角线，它们将六边形分为4个三角形；
以此类推：
从 边形的一个顶点出发，可以作 对角线，它们将 边形分为 个三角形．
【点睛】本题考查多边形一个顶点出发，对角线条数和分割成三角形个数的公式，关键是理解记忆公式．
知识点六 正多边形的内角问题
1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）一个正多边形的每一个内角都是 ，则它是正 边形．
【答案】五
【分析】本题考查正多边形的内角和问题，根据正n多边形的内角和公式 求解即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n，
根据题意，得
解得 ，
故答案为：五．
2．（24-25八年级上·河南信阳·期末）一个多边形的每个内角都等于 ，则这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于 ，再用 除以外角的度数，
即可得到边数．
【详解】解： 多边形的每一个内角都等于 ，
多边形的每一个外角都等于 ，
边数
故答案为：
3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）若一个正多边形的一个内角是 ，则这是一个正 边形．
【答案】八
【分析】本题主要考查多边形内角与外角的相关知识．根据正多边形的一个内角是 ，则知该正多边形
的一个外角为 ，再根据多边形的外角之和为 ，即可求出正多边形的边数．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵正多边形的一个内角是 ，
∴该正多边形的一个外角为 ，
∵多边形的外角之和为 ，
∴边数 ，
∴该正多边形为正八边形，
故答案为：八．
4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）一个正多边形的内角和为 ，则它的每一个内角为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度
数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设正多边形的边数为 ，
由题意得， ，
∴ ，
∴正多边形是正五边形，
∴它的每一个内角为 ，
故答案为： ．
知识点七 正多边形的外角问题
1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）若一个正多边形的一个外角等于 ，则这个多边形是正 边
形．
【答案】九
【分析】本题考查了正多边形的外角性质．正多边形的外角和恒为 ，每个外角相等，通过外角和除以
每个外角度数可求边数，即可作答．
【详解】解：∵正多边形的外角和为 ，且一个外角等于 ，
∴这个正多边形的边数为 ，
故答案为：九．
2．（24-25八年级上·吉林·期末）如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形是正九边形，
它的外角的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 /40度
【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为 ，由此计算即可得解，熟练掌
握相关知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵该硬币边缘镌刻的正多边形是正九边形，
∴该硬币的外角的度数为 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）正十一边形的外角度数之和为 ．
【答案】 /360度
【分析】此题考查多边形的外角和，根据任意多边形的外角和均为 解答即可．
【详解】解：正十一边形的外角度数之和为 ，
故答案为 ．
4．（2024·广东·模拟预测）若正多边形的一个外角等于 ，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为 计算即可得解，熟练掌握此知
识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个外角等于 ，
∴这个正多边形的边数是 ，
故答案为： ．
知识点八 平面镶嵌
1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如果只用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌整个
平面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 ．分别求出各个正多边形的每个内
角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除 即可作出判断．
【详解】解：正三角形的每个内角是 ，能整除 ，能镶嵌整个平面；
正方形的每个内角是 ，能整除 ；
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学科网（北京）股份有限公司正五边形每个内角是 ，不能整除 ，不能镶嵌整个平面；
正六边形的每个内角是 ，能整除 ；
故选：C．
2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），
还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选
择的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一
个顶点处各正多边形的内角之和为 ．正八边形的一个内角为 ，从所给的选项中取出一些进行判断，
看其所有内角和是否为 ，并以此为依据进行求解．
【详解】解：正八边形的每个内角为： ，正六边形的每个内角为： ，
A、正八边形、正三角形内角分别为 、 ，显然不能构成 的周角，故不能铺满，选项不符合题
意；
B、正方形、正八边形内角分别为 、 ，由于 ，故能铺满，选项符合题意；
C、正六边形和正八边形内角分别为 、 ，显然不能构成 的周角，故不能铺满，选项不符合题
意．
D、正八边形的内角为 ，不能构成 的周角，故不能铺满，选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图是埃舍尔镶嵌画，在正三角形、平行四边形、梯形、正五边形、
正六边形、圆六种平面图形中，选择一种图形通过平移、旋转等方式实现不留空隙、不重叠的密铺的有（
）种图形．
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学科网（北京）股份有限公司A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，正边形的内角和公式，平行四边形以及梯形等知识内容，理解题
意，得出实现不留空隙、不重叠的密铺，与这些图形的内角或者内角和能不能被 整除有关，圆是无法
不留空隙，也是不满意题意的，据此即可作答．
【详解】解：依题意，正三角形即为等边三角形，每个内角为 ，
则 ，可以密铺，满足题意；
平行四边形：对边平行且相等，内角和为 ，可平移旋转拼接，满足题意；
梯形：一组长边平行，内角和为 ，可调整角度拼接，满足题意；
正五边形：每个内角为 ， 无法被 整除，不可以密铺，不满足题意；
正六边形：每个内角为 ， ，可以密铺，满足题意；
圆：无法不留空隙，不满足题意；
故选：B
4．（24-25八年级下·福建三明·期末）下列正多边形中，能够与正八边形进行平面镶嵌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面镶嵌的问题，用到的知识点为：正多边形能镶嵌平面，正多边形的内角和等于360
度．据此逐一判断选项即可．
【详解】解：正八边形的每个内角为135度，等边三角形每个内角为60度，正方形每个内角为90度，正
五边形的每个内角为108度，正六边形每个内角为120度，
∵ ，
∴正方形能够与正八边形进行平面镶嵌，
.故选：B．
知识点九 多边形内角和与外角和综合应用
1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）课本再现：
如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果．
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学科网（北京）股份有限公司（1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请
你想象一下最终的形状，并画出来．
类比迁移：
（2）如图，若小明从O点向西走10米，左转 ，再向前走10米，左转 ，如此重复，求小明第一次
回到O点时所走过的路程．
（3）若小明从O点向西走16米，左转 ，再向前走16米，左转 ，如此重复，已知小明第一次回到O
点时所走过的路程为320米，则 ______．
【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化， ；（2）小明第一次回到O点时所走
过的路程为120米；（3）18
【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可．
（2）根据外角相等，都是 ，结合外角和定理，得边数为 ，结合多边形的周长计算得
（米）．
（3）根据外角相等，都是 ，结合外角和定理，得边数为 ，结合多边形的周长计算得
，解方程即可．
本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，
画图如下：
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学科网（北京）股份有限公司．
（2）根据外角相等，都是 ，由外角和定理，得边数为 ，
故多边形的周长为： （米）．
（3）根据外角相等，都是 ，由外角和定理，得边数为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根．
2．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小
红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场 的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若
，且 ，求行程中小红身体转过的角度的和（图 的值）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形 中计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）五边形广场 的内角和 ，
故答案为： ；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是 度，
故答案为： ；
（3）延长NE交AB于点F
∵
∴
∵
∴
∵在五边形 中
∴
【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．
3．（23-24八年级下·山东济南·期末）计算：
(1)已知一个多边形的内角和是 ，求这个多边形的边数；
(2)如图，小明从点 出发，前进 后向右转 ，再前进 后又向右转 ，……，如此反复下去，
直到他第一次回到出发点 ，他所走的路径构成了一个正多边形，求小明一共走了多少米．
【答案】(1)9
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学科网（北京）股份有限公司(2)120米
【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的内角和和外角和公式是解此题的关
键．
（1）设这个多边形的边数为 ，根据多边形的内角和公式列出方程，解方程即可得出答案；
（2）先根据多边形的外角和求出边数，从而即可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为 ，
根据题意： ，
解得， ，
答：这个多边形的边数为9；
（2）解： 所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，正多边形的外角和为
， （米）；
答：小明一共走了120米．
4．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，
继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1， 与 ， 之间的数量关系为______．若 ， ，则 ______．
(2)如图2， 是四边形ABCD的外角，求证： ．
(3)若n边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则x，y与n的数量关系是______．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式： （ 且
n为整数）．
（1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
（3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴
故答案为： ， ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵n边形的某一个外角的度数是 ，
∴与这个外角相邻的内角是 ，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是 ，
∴ ，
整理得： ，
故答案为： ．
1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）四边形 在平面直角坐标系中如图所示，已知 ， ，
且 满足 ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求出 的长度及 的度数；
(2)求点 的坐标；
(3)若点 ，点 是 轴上任一点，当 为等腰三角形时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ， ，
(2)点 的坐标为
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据条件可得 ，结合非负数的性质可得 ， ，可得 ，
，再利用四边形的内角和定理可得 ；
（2）过点D作 轴于点H，先得出 ，再证明 ，进而得出
， ，推出 ，即可得出答案；
（3）分三种情况分析：①当 时，②当 时，③当 时，利用三角形内角和定理及等
边对等角求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：过点D作 轴于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
①当 时，如图所示：
；
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学科网（北京）股份有限公司；
②当 时，如图所示：点P与点O重合，
；
③当 时，如图所示：
；
综上可得： 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，四边形内角和，坐标与图形，利用完全
平方公式分解因式，非负数的性质，正确理解题意，作出图形是解题的关键．
2．（24-25八年级上·河南许昌·期中）【问题背景】
在四边形 中， ， ， ，E、F分别是 、 上的点，且
，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为：延长 到点G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，则可得到 、 、 之间的数量关系是______．
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学科网（北京）股份有限公司【探索延伸】
（2）在四边形 中如图2， ， ，E、F分别是 、 上的点，
，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏
东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时
的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里/小时的速度前进 小时后，指挥中心观测到甲、乙两
舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（ ）为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1） （2）成立，见解析（3）210海里
【分析】（1）延长 到点G，使 ，连接 ，利用三角形全等的判定和性质，解答即可．
（2）延长 到点H，使 ，连接 ，利用三角形全等的判定和性质，解答即可．
（3）根据题意，得 ， ，且 ，满足了探索延伸的基本条件，
得到结论 ，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，方向角，四边形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，
方向角是解题的关键．
【详解】（1）延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ；
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：结论成立．理由如下：
延长 到点H，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：延长 ， ，两线交于点C，连接 ，设 与y轴交于点N，
根据题意，得 ， ， ， ，
，
根据题意，得 ， ，且 ，满足了探索延伸的基本条件，故
，
∵ （海里）， （海里），
24 / 30
学科网（北京）股份有限公司∴ （海里），
故此时两舰艇之间的距离为210海里．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1， 中， 平分
， 平分外角 ．猜想 与 的数量关系．
(1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 的值求 的值，
①如果 ，则 的度数为_____；如果 ，则 的度数为_____．
②请猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(2)小东继续探究，如图2，在四边形 中， 平分 ，且与四边形 的外角 的平分
线 交于点 ．若 ， ，则 的度数为_____．
(3)小东又思考，改变 ， 的大小，如图3，在四边形 中，四边形的内角 的角平分线
所在的直线与外角 的角平分线所在的直线相交于点 ，若 ， ，则 可表示为
_____．（请用含α、β的表达式表示）
【答案】(1)① ， ② ，详见解析
(2) ，详见解析
(3) ，详见解析
【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出 与 的关系，①将 和 代入即可
得解，②利用三角形内角和与外角关系求出 与 的关系即可得证；
（2）根据四边形内角和得出 ，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出
，进而即可得解；
（3）如图，延长 到G，延长 ， 交于点H，由（1）得， ，由三角形的内角和得出
，进而即可求解．
【详解】（1）解：①∵ 是 的外角，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
当 得 ，当 得 ；
故答案为： ， ；
② ，理由如下：
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
故答案为： ；
（3）如图，延长 到G，延长 ， 交于点H，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ 平分 ， 平分 ，
由（1）得， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知
识点，熟练掌握四边形的内角和是 和三角形外角的性质是解决此题的关键．
4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我
们一起来探索：
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学科网（北京）股份有限公司(1)下列有 、 两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)．
．如图①， 和 是 的两个外角，求证 ；
．如图② 、 是 边 、 上的点，将 沿 翻折至 ，若点 在 内部，
．我选择 作答
(2)如图③， 、 分别平分四边形 的外角 、 ．已知 ， ，求
的度数；
(3)如图④，已知五边形 ，延长 至 ，延长 至 ，连接 ，点 、 分别在边 、 上，
将 沿 翻折至 ，若 ， ， ， ．请你直接
写出 的度数 用含 、 的代数式表示)
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质；
（1）选择 ，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得： ，
，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明 ，即可
得证；
（2）延长 ， 交于点 ，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出
，即可求解；
（3）由（2）可知： ，设 ， ，根据 ，
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学科网（北京）股份有限公司得出 ，由（1）B可知： ，即可求解．
【详解】（1）证明：选择 ，证明如下：
， ， ，
，
；
选择B，证明如下：
由翻折性质得： ， ，
， ，
，
，
，
又 ， ，
，
，
即 ；
故答案为： 或 ．
（2）延长 ， 交于点 ，如图③所示：
由（1） 可知： ， ，
则
， ，
，
、 分别平分 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
；
（3）由（2）可知： ，
， ，
，
设 ， ，
， ，
， ，
，
即 ，
，
，
由（1）B可知： ．
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