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1.2 认识三角形与全等三角形
课标要点
1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本性质，熟练运用三角形三边关系，判断三条线段
能否构成三角形，求解三角形边长的取值范围；掌握三角形内角和定理，能运用性质进行
角度计算与简单几何推理。
2.认识三角形的三种重要线段，理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三种线段
的画法与基本性质，了解线段交点的特征，能运用相关性质解决三角形面积、边长、角度
的基础计算问题。
3.理解全等图形、全等三角形的概念，明确全等三角形能够完全重合的本质特征，掌握全
等三角形的规范书写方式，能精准识别全等图形、全等三角形中的对应顶点、对应边、对
应角。
4.掌握全等三角形的核心性质，牢记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用该性质
进行线段长度、角度大小的计算，完成基础的几何说理与简单推理问题。
5.初步建立平面几何图形认知与几何推理思维，规范几何语言的表达与书写，能结合图形
分析三角形、全等三角形的数量关系与位置关系，为后续几何证明、全等判定学习奠定基
础。
学习重难点
重点：
1.三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用知识点进行计算
与简单几何说理。
2.三角形中线、角平分线、高线的定义、画法及基础性质，能运用三种特殊线段的性质解
决基础几何问题。
3.全等三角形的概念、表示方法，准确识别全等三角形的对应边、对应角。
4.全等三角形的性质，熟练利用对应边相等、对应角相等的结论，完成线段、角度的计算
与基础几何推理。
难点：
1.灵活运用三角形三边关系，结合分类讨论思想求解含参数边长、不确定边长的取值范围，
解决三角形构成判定问题。
2.熟练绘制直角三角形、钝角三角形的高线，区分不同三角形中中线、角平分线、高线的
位置差异，规避概念混淆与画图错误。
第一章
三角形
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3.在图形平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素。
4.综合运用三角形边角性质与全等三角形性质，完成多步几何推理，规范书写几何语言，
构建完整、严谨的简易推理逻辑链。
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知识点
三角形的概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
2.三角形的三要素：
顶点：三条线段的三个端点，一个三角形有3 个顶点。
边：组成三角形的三条线段，一个三角形有3 条边。
内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角，一个三角形有3 个内角。
3.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C 的三角形记作△ABC，读作“三角形
ABC”。三条边可记作AB、BC、AC，也可对应顶点小写字母记作𝑐、𝑎、𝑏。
随学随练
1．（25-26 八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角
形．据此即可解答．
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
D、符合三角形的概念．
易错提醒
容易忽略定义中的“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”两个关键条件。三条线段在同一直线上无
法围成三角形，线段没有首尾相接也不能构成封闭三角形，做题时需重点甄别。
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故选：D．
2．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边的对角是（ ）
A．∠𝐴
B．∠𝐵
C．∠𝐶
D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成
的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案．
【详解】解：∵ 在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐵𝐶连接顶点B 和C，
∴ 其对角为∠𝐴（顶点A 所对的角），
故选：A．
3．如图，写出一个以∠𝐵为角的三角形是____________．
【答案】△𝐴𝐵𝐷（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义．
根据三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：以∠𝐵为角的三角形是△𝐴𝐵𝐷，
故答案为：△𝐴𝐵𝐷．
知识点
三角形的分类
三角形有两种分类标准，分别按角分类、按边分类。
1. 按内角大小分类
锐角三角形：三个内角都是锐角（角度均小于90°）的三角形。
直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，可用Rt△表示，如Rt△ABC。直角三角形有两
条直角边、一条斜边，斜边为最长边。
钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。
2. 按边的长短关系分类
不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。其中相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶
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角，腰与底边的夹角叫底角。
等边三角形（正三角形）：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。
随学随练
1．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【分析】根据三角形的分类定义判断即可．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
2．（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型．
【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角
是锐角，即三角形的最大角是锐角，
∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角，
∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形，
∴这个三角形是锐角三角形．
3．（25-26 八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______．
三角形{
锐角三角形
?
钝角三角形
【答案】直角三角形
【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类．
根据三角形的分类进行解答即可．
【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，
易错提醒
1）按角分类时：一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角，不存在两个直角或两
个钝角的三角形；
2）按边分类时：等边三角形属于等腰三角形的特例，做题判断题中“等腰三角形是等边三角形”为错
误的，“等边三角形是等腰三角形”为正确的。
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则图中“？”处是：直角三角形．
故答案为：直角三角形．
知识点
三角形内角和定理（重点）
1.三角形内角和定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。
2.定理应用：①已知三角形两个内角的度数，求第三个内角；②已知三角形内角的数量关系，列方程求内
角度数；③判断三角形的形状（通过计算最大内角的度数判断）。
随学随练
1．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）如图，已知𝑎∥𝑏，∠1 = 25°，∠2 = 50°，则∠3的度数为（ ）
A．145°
B．140°
C．115°
D．105°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶= 105°，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图：
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠1 = 25°，∠𝐵𝐴𝐶= ∠2 = 50°,
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐴𝐶= 180° −25° −50° = 105°，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠3 = ∠𝐴𝐵𝐶= 105°．
特别提醒
1）直角三角形的两个锐角互余（和为90°），可直接用于快速计算角度；
2）三角形内角和与平行线性质、角平分线结合的题型是常考题型，解题核心始终围绕内角和180°推
导。
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2．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，若∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 210°，则∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=________°．
【答案】150
【分析】利用三角形内角和为180°求得∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 360°，结合∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶=
210°推导出∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的数值．
【详解】解：如图，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠2 = ∠1 + ∠𝐷+ ∠𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹+ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 540°，
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 360°，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 210∘，
∴∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 150°．
3．（25-26 七年级下·河北衡水·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，点𝐸在𝐵𝐶边上，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
垂足为𝐹，∠1 = ∠2．
(1)试说明𝐷𝐺∥𝐵𝐶；
(2)若∠𝐵= 34°，∠𝐴𝐶𝐷= 46°，求∠3的度数．
【答案】(1)解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
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∴𝐶𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠2 = ∠𝐵𝐶𝐷，
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠𝐵𝐶𝐷，
∴𝐷𝐺∥𝐵𝐶；
(2)102°
【分析】（1）先根据垂直定义得出∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐸𝐹𝐵= 90°，根据平行线判定可得出𝐶𝐷∥𝐸𝐹，故可得出∠2 =
∠𝐵𝐶𝐷，推出∠1 = ∠𝐵𝐶𝐷，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据𝐶𝐷⊥𝐴𝐵得出∠𝐵𝐷𝐶= 90°，由直角三角形的性质得出∠𝐵𝐶𝐷的度数，故可得出∠𝐴𝐶𝐵的度数，
再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）解：在Rt △𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠𝐵= 34°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −90° −34° = 56°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 56° + 46° = 102° ，
又∵𝐵𝐶∥𝐷𝐺，
∴∠3 = ∠𝐵𝐶𝐴= 102°．
知识点
三角形的三边关系（重点）
1.核心定理：三角形任意两边的和大于第三边。
2.推论：三角形任意两边的差小于第三边。
随学随练
1．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A．1cm,3cm, 4cm B．2cm,4cm, 5cm
特别提醒
易错提醒
如果明确了𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0为一元二次方程，就隐含了𝑎≠0这个条件.
教材延伸
三角形中，大边对大角，小边对小角。即边长越长，对应的内角越大；边长越短，对应的内角越小，可
用于快速比较三角形边角大小。
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C．6cm, 3cm, 2cm D．2cm, 5cm, 8cm
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度和是否大
于最长线段的长度，满足条件即可组成三角形，反之不能．
【详解】解：A、∵1 + 3 = 4，∴ 不能组成三角形，不符合题意；
B、∵2 + 4 = 6 > 5，∴ 能组成三角形，符合题意；
C、∵2 + 3 = 5 < 6，∴ 不能组成三角形，不符合题意；
D、∵2 + 5 = 7 < 8，∴ 不能组成三角形，不符合题意．
2．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸𝐴，𝐵间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点
𝑂，测得𝑂𝐴= 10m，𝑂𝐵= 6.5m，那么𝐴，𝐵间的距离可能是（ ）
A．3m
B．12m
C．17m
D．20m
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：连接𝐴𝐵，
在△𝐴𝑂𝐵中，
∴𝑂𝐴−𝑂𝐵≤𝐴𝐵≤𝑂𝐴+ 𝑂𝐵，即10 −6.5 ≤𝐴𝐵≤10 + 6.5，
解得3.5 ≤𝐴𝐵≤16.5，
只有12在3.5 ≤𝐴𝐵≤16.5范围内．
3．（25-26 七年级下·重庆·期中）已知𝑎、𝑏、𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三边长，化简：2√(𝑎−𝑏−𝑐)2 −
√(𝑏−𝑐−𝑎)3
3
=_________．
【答案】−𝑎+ 𝑏+ 3𝑐
【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合
并同类项即可得到结果．
【详解】解：∵a、b、c 分别为△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴ 𝑏+ 𝑐> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴ 𝑎−𝑏−𝑐< 0，
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∴ 2√(𝑎−𝑏−𝑐)2 −√(𝑏−𝑐−𝑎)3
3
= 2|𝑎−𝑏−𝑐| −(𝑏−𝑐−𝑎)
= 2(−𝑎+ 𝑏+ 𝑐) −𝑏+ 𝑐+ 𝑎
= −2𝑎+ 2𝑏+ 2𝑐−𝑏+ 𝑐+ 𝑎
= −𝑎+ 𝑏+ 3𝑐．
知识点
与三角形有关的线段（重点）
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段，叫作三角形的角平分线。
2.三角形的角平分线的性质：
①三角形的角平分线平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角；
②任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心；
③三角形内心到三角形三边的距离相等。
3.三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。
4.三角形的中线的性质：
三角形的中线平分对边，将对边分为两条相等的线段；
任意三角形的三条中线全部在三角形内部，且三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；
三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）；
三角形重心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍。
5.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角
形的这条边上的高（高线）。
6.三角形的高的作用：专门用于求三角形面积，面积公式：𝑆=
1
2 × 底× 高。
7.三角形高所在的位置
锐角三角形：三条高全部在三角形内部，交点在三角形内部；
直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在斜边内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条边上的高在三角形外部（需延长对边作垂线），三条
高的交点在三角形外部。
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随学随练
1．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐷, 𝐸是𝐴𝐶上两点，且𝐴𝐸= 𝐷𝐸, 𝐵𝐷平分
∠𝐸𝐵𝐶，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1 = ∠2 = ∠3
B．𝐵𝐷是△𝐵𝐶𝐸的角平分线
C．𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线
D．𝐵𝐶是△𝐵𝐷𝐸的高
【答案】A
【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容
是解此题的关键．利用𝐴𝐸= 𝐷𝐸和三角形中线的定义可判断C 选项的正确；利用𝐵𝐷平分∠𝐸𝐵𝐶和角平分线
的定义即可判断出B 选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D 选项的正确；利用角平分线的定义只
能得到∠2 = ∠3，但没有办法得到∠1 = ∠2 = ∠3，可判断出A 选项错误．
【详解】解：∵𝐴𝐸= 𝐷𝐸，即点E 为𝐴𝐷中点，
∴𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，故C 正确，不符合题意；
∵𝐵𝐷平分∠𝐸𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷是△𝐵𝐶𝐸的角平分线，故B 正确，不符合题意；
∵∠𝐶= 90°，即𝐵𝐶⊥𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶是△𝐵𝐷𝐸的高，故D 正确，不符合题意；
∵𝐵𝐷平分∠𝐸𝐵𝐶，
易错提醒
1）三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线、不是射线；
2）钝角三角形两条高在外部，作图时必须先延长对边再作垂线，不能直接在三角形内部画，考试作图
题极易出错；
3）中线平分三角形面积，不平分周长！切勿主观认为中线可以平分三角形周长，周长是否相等需单独
计算验证。
教材延伸
内心、重心、垂心汇总：
角平分线交点：内心（到三边距离相等）；
中线交点：重心（2:1 比例性质）；
高线交点：垂心（位置随三角形类型变化）。
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∴∠2 = ∠3．
但没有办法得到∠1 = ∠2 = ∠3，故A 错误，符合题意．
故选：A．
2．（25-26 七年级下·广东广州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 1．
(1)求周长𝐶的取值范围；
(2)已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷的周长为10，求△𝐵𝐶𝐷的周长．
【答案】(1)16 < 𝐶< 18
(2)17
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 1．
∴𝐵𝐶−𝐴𝐵< 𝐴𝐶< 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵，
∴7 < 𝐴𝐶< 9，
∴7 + 8 + 1 < 𝐶< 9 + 8 + 1
即16 < 𝐶< 18．
（2）解：∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为10，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 10，
∵𝐴𝐵= 1，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 9
∴△𝐵𝐶𝐷的周长= 𝐵𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 8 + 9 = 17
3．（25-26 七年级下·贵州贵阳·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，点E 是边𝐵𝐶上一点．
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(1)若𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠1 = 35°，∠2 = 20°，分别求∠𝐶和∠𝐵的度数．
(2)若𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸的面积相等吗？为什么？
【答案】(1)∠𝐶= 70°，∠𝐵= 40°
(2)相等，见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出∠𝐶，再由三角形内角和定理求解∠𝐵；
（2）根据三角形的中线等分面积即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵∠2 = 20°
∴∠𝐶= 180° −∠2 −∠𝐴𝐷𝐶= 70°,
∵∠1 = 35°，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠1 = 70°
∴∠𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 40°；
（2）解：△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸的面积相等，理由如下：
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐸× 𝐴𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸=
1
2 𝐶𝐸× 𝐴𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐸．
知识点
三角形外角性质（重点）
1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有6 个外角，
每组对顶角相等。
2.三角形外角的两大核心性质
性质1（等量关系）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
性质2（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
易错提醒
外角性质中，必须是“不相邻”的两个内角。切勿混淆为“三角形的外角等于任意两个内角和”，相邻
内角与外角互为邻补角，和为180°，不适用该性质。
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1．（2026·四川内江·中考真题）如图，若𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 80°，∠𝐸= 36°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．36°
B．44°
C．50°
D．54°
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 80°，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴= 80°，
∵∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐸, ∠𝐸= 36°，
∴∠𝐶= 44°.
2．（25-26 七年级下·河南周口·期末）三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°，则另一
个不相邻内角为_______°．
【答案】60
【分析】根据题意结合三角形外角的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°，
∴另一个不相邻内角为100° −40° = 60°．
3．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）如图，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，若∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，则
∠𝐴=_______°
【答案】30
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 2∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴= 30°.
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知识点
全等三角形
1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。
3.对应元素概念：互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。
4.表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注意：书写时必须严格对应顶点顺序，例如：△ABC≌△DEF，表示A 与D、B 与E、C 与F 分别为对应顶
点，对应边、对应角随之确定，顺序不可混乱。
随学随练
1．（25-26 八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等图形的形状、大小都相同
B．两个圆是全等图形
C．两个形状相同的图形称为全等图形
D．面积相等的两个三角形是全等图形
【答案】A
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐
项判断即可．
【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A 正确；
B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B 错误；
C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C 错误；
D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D 错误．
故选：A．
2．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
易错提醒
1）很多学生随意书写全等三角形顶点顺序，这是高频扣分点。“≌”连接的两个三角形，顶点顺序一
一对应，顺序写错，对应边、对应角全部错误，后续计算和证明全盘出错；
2）区分“对应边/角”与“对边/角”：对应边、对应角是两个全等三角形之间的边角关系；对边、对
角是同一个三角形内部边与角的位置关系，不可混用概念。
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C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可．
【详解】解：由题意知，选项A、B、D 中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C 中的两个图形
能够完全重合，是全等图形；
故选：C．
知识点
全等三角形的性质（重点）
1.全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。
2.性质符号语言（答题标准句式）
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形对应边相等）
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等）
随学随练
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐵，点𝐵，𝐶是对应点，下列
说法错误的是（ ）
A．∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐵
B．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
C．∠𝐵= ∠𝐶
D．𝑂𝐴= 𝑂𝐵
教材延伸
1）两个全等三角形可以完全重合，位置可以不同，但形状大小完全一致。一个三角形的全等图形有无
数个（位置不同），但边角数据完全相同；
2）全等三角形的周长相等、面积相等；
3）全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线全部相等。
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【答案】D
【分析】根据“对顶角相等”判断A 选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项．
【详解】解：∵𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，
∴∠𝐴𝑂𝐶与∠𝐷𝑂𝐵是对顶角，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐵，
故A 选项正确；
∵△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷、∠𝐶= ∠𝐵、𝑂𝐴= 𝑂𝐷、𝑂𝐶= 𝑂𝐵，
故B、C 选项正确，D 选项错误．
2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹依次在同一条直线上．若
𝐸𝐶= 4，𝐵𝐹= 7，则𝐵𝐸的长为______．
【答案】
1.5
【分析】先根据全等三角形的对应边相等得𝐵𝐶= 𝐸𝐹，再根据𝐵𝐶+ 𝐸𝐹= 11求出𝐵𝐶= 5.5，最后根据𝐵𝐸=
𝐵𝐶−𝐶𝐸得出答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
∵𝐸𝐶= 4, 𝐵𝐹= 7，𝐵𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶+ 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐶+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐸= 7 + 4 = 11，
∴𝐵𝐶= 5.5，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 5.5 −4 = 1.5．
3．（25-26 七年级下·河南周口·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷，𝐶𝐸= 3，𝐶𝐷= 4，∠𝐴= 40°，∠𝐹𝐷𝐸=
45°．
(1)求𝐴𝐶的长度；
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(2)求∠𝐹的度数．
【答案】(1)7
(2)95°
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到𝐴𝐶= 𝐸𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到∠𝐴= ∠𝐸= 40°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐷，
∵𝐸𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 3 + 4 = 7，
∴𝐴𝐶= 7；
（2）解：：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐸= 40°，
在△𝐸𝐹𝐷中，∠𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐹𝐷𝐸= 180° −40° −45° = 95°．
拓展
三角形三种重要线段对比
对比维度
角平分线
中线
高（高线）
定义核心
平分三角形内角的线段
连接顶点与对边中点的线段 顶点向对边作的垂线段
核心功能
等分内角，角度计算
等分对边、等分三角形面积 计算三角形面积、证明垂直关系
交点名称
内心（内部）
重心（内部）
垂心（位置随三角形变化）
位置特点
所有三角形中均在内部
所有三角形中均在内部
锐角△全内部、直角△交于直角
顶点、钝角△两条在外部
活学活用
1．（25-26 七年级下·海南儋州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
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(2)在△𝐴𝐵𝐶中，分别画出𝐵𝐷边上的高𝐴𝐸和𝐴𝐷边上的高𝐵𝐹；求出∠𝐷𝐴𝐸的度数，猜想∠𝐷𝐴𝐸与∠𝐷𝐵𝐹的数量
关系，并说明理由．
【答案】(1)70°
(2)解：如图，线段𝐴𝐸、𝐵𝐹即为所求；
∵𝐴𝐸是高，
∴𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180° −∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 20°；
猜想∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐵𝐹；理由如下：
∵𝐵𝐹是高，
∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐹= 90°，
∵∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°，∠𝐷𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹+ ∠𝐹= 180°，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐵𝐹；
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得∠𝐵𝐴𝐶= 80°，再根据角平分线的定义求得∠𝐵𝐴𝐷= 40°，即可
根据三角形外角的性质求得答案；
（2）分别过点A 和点B 作对边的垂线段即可画出图形；根据三角形内角和定理即可求得∠𝐷𝐴𝐸的度数；根
据三角形高的定义及三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −30° −70° = 80°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 30° + 40° = 70°；
（2）略
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸为边𝐵𝐶上的高，点D 为边𝐵𝐶上的一点，连接
𝐴𝐷．
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(1)当𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线时，若∠𝐶= 66°，∠𝐵= 36°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
(2)当𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的中线时，若𝐴𝐵= 10，△𝐴𝐷𝐶的周长比△𝐴𝐵𝐷的周长少2，求𝐴𝐶的长度．
【答案】(1)15°
(2)8
【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠𝐵𝐴𝐶，进而求出∠𝐵𝐴𝐷，然后根据两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐸，最
后利用角的和差关系即可求解；
（2）首先结合已知条件和中线的性质确定𝐴𝐵，𝐴𝐶的数量关系，继而可以求解．
【详解】（1）解：∵∠𝐶= 66°，∠𝐵= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 180° −66° −36° = 78°．
又∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 78° = 39°．
∵𝐴𝐸为边𝐵𝐶上的高，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 90° −∠𝐵= 90° −36° = 54°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 54° −39° = 15°．
（2）解：∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷．
又∵△𝐴𝐷𝐶的周长比△𝐴𝐵𝐷的周长少2，𝐴𝐵= 10，
∴(𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵) −(𝐴𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐴𝐶) = 2，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵−2 = 10 −2 = 8．
拓展
三角形内角与外角性质对比
对比维度
三角形内角
三角形外角
数量
单个三角形共3 个
单个三角形共6 个（3 组对顶角相等）
核心关系
三内角和为180°
一个外角=两个不相邻内角和；外角＞任意不相邻内角
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取值范围
均大于0°、小于180°
均大于0°、小于180°
应用场景
求内角、判断三角形形状
角度推导、角度大小比较、证明不等关系
活学活用
1.（2026·河北唐山·模拟预测）在如图标出的四个角中，最大的角是（ ）
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
【答案】D
【详解】解：延长𝐵𝐶交𝐴𝐷于点𝑇
由三角形的外角性质可得，∠5 > ∠1, ∠5 > ∠2，∠4 > ∠5,∠4 > ∠3
∴最大的角是∠4．
2．（25-26 八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，外角∠𝐴𝐶𝐷=
110°，求∠𝐴𝐸𝐶的度数．
【答案】75°
【分析】先根据外角的性质得出∠𝐵𝐴𝐶= 80°，再根据角平分线的定义求出∠𝐵𝐴𝐸的度数，最后根据
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷= 110°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐵= 110° −40° = 70°，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 35°，
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∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 40° + 35° = 75°．
题型
三角形的概念
▌例1.（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以∠𝐴为角的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐸
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐵𝐶𝐸
D．△𝐶𝐷𝐸
【答案】A
【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可．
本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义，得以∠𝐴为角的三角形是△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，
故选：A．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·河北邯郸·期末）在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸边的对角是（ ）
A．𝐷𝐹
B．∠𝐷
C．∠𝐸
D．∠𝐹
【答案】D
【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键．
根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角．
【详解】解：如图所示：
∴𝐷𝐸边的对角是∠𝐹，
故选：D．
解题贴士
1）判断核心：同时满足三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接三个条件；
2）快速排错：曲线、开口图形、三点共线图形均不是三角形。
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▌对点练1-2.（25-26 八年级上·江西宜春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是（ ）
A．𝐴𝐷
B．𝐴𝐵
C．𝐴𝐶
D．𝐵𝐸
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据三角形的识别与有关概念求解．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是𝐴𝐵，
故选：B．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．5
【答案】D
【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察
所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案．
【详解】解：图中的单个三角形有△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐷𝐸，共3 个，
由2 个三角形组成的三角形有△𝐴𝐵𝐷，共1 个，
由3 个三角形组成的三角形有△𝐴𝐵𝐶，共1 个，
所以共有3 + 1 + 1 = 5（个）三角形．
故选：D．
题型
三角形的分类
▌例1.（25-26 八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（ ）
解题贴士
1）按角判型：看最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形；
2）按边判型：三边不等为不等边三角形，两边及以上相等为等腰三角形（等边是特殊等腰）。
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A．等腰三角形
B．等边三角形
C．三边都不相等的三角形
D．直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可．
【详解】解：由图可知，这个三角形是三边都不相等的三角形．
故选：C．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个
三角形的类别为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．无法判断
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图
可得，这个三角形为锐角三角形．
【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形．
故选：C．
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且满足|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| =
0，则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个
数都为零，得到𝑎= 𝑏= 𝑐，进而得到△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
【详解】解：∵|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，
∴𝑎−𝑐= 0, 𝑏−𝑐= 0，
∴𝑎= 𝑐, 𝑏= 𝑐，
∴𝑎= 𝑏= 𝑐，
∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，
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∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
故答案为：等边．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏
在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P 满足条件：△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件
的P 点的个数为______个．
【答案】6
【分析】分三种情况，当∠𝐴𝑃𝐵= 90°时，当∠𝑃𝐴𝐵= 90°时，当∠𝐴𝐵𝑃= 90°时，分别找出符合条件的P 点
的个数，即可解决问题．
本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，分三种情况：
当∠𝐴𝑃𝐵= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个；
当∠𝑃𝐴𝐵= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个；
当∠𝐴𝐵𝑃= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个；
综上所述，△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件的P 点的个数为2 + 2 + 2 = 6（个）．
故答案为：6．
题型
三角形三边关系的应用
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▌例1.（25-26 七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2 和7，则第三边的边长可以是
（ ）
A．3
B．5
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配符合范围的选项即可，三角形三边
关系为三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边．
【详解】设第三边的长为c，
∵三角形已知两条边长分别为2 和7，
∴7 −2 < 𝑐< 7 + 2，即5 < 𝑐< 9，
选项中只有C 选项的8 满足该范围，因此选C．
▌例2.（2026·河北沧州·二模）如图1 是圆规实物图，图2 是其示意图，其中𝑂𝐴= 𝑂𝐵，以A 为支撑点铅笔
芯端点B 绕点A 旋转做出圆．若𝑂𝐴= 6cm，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可）
【答案】5cm（答案不唯一）
【详解】解：根据三角形的三边关系可知𝑂𝐴−𝑂𝐵< 𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵，
又∵𝑂𝐵= 𝑂𝐴= 6cm，，
∴0 < 𝐴𝐵< 12
则该圆的半径可能是5cm（答案不唯一）．
▌对点练1-1.（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（ ）
A．5，8，2
B．3，4，5
C．6，6，1
D．5，12，13
【答案】A
解题贴士
1）快速判定能否构成三角形：只需验证两短边之和＞最长边；
2）求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和；
3）周长取值：最小周长略大于两倍短边，最大周长略小于两倍长边。
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【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，依次判定各选项即可
【详解】解：A、∵ 5 + 2 = 7 < 8，不满足三角形三边关系，
∴ 长度为5，8，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
B、∵ 3 + 4 > 5，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵ 1 + 6 > 6，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵ 5 + 12 > 13，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，本选项不符合题意
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是𝑎、𝑏、𝑐，化简|2𝑎+ 2𝑏−𝑐| −
|𝑏−𝑎−𝑐|的结果是（ ）
A．2𝑎
B．𝑎+ 3𝑏−2𝑐
C．2(𝑎+ 𝑏)
D．−2𝑏
【答案】B
【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化
简即可．
【详解】解：∵𝑎、𝑏、𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴2𝑎+ 2𝑏> 𝑐，𝑏−𝑎−𝑐< 0．
∴|2𝑎+ 2𝑏−𝑐| −|𝑏−𝑎−𝑐| = (2𝑎+ 2𝑏−𝑐) −[−(𝑏−𝑎−𝑐)] = 2𝑎+ 2𝑏−𝑐+ 𝑏−𝑎−𝑐= 𝑎+ 3𝑏−2𝑐．
▌对点练1-3.（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3 和5，若周长是奇数，则第三
边的长为______．
【答案】3 或5 或7
【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关
系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2 而小于8，再结合三角
形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解．
【详解】解：设第三边长为x，
根据三角形三边关系可知：5 −3 < 𝑥< 5 + 3，
即2 < 𝑥< 8，
则x 可以是3，4，5，6，7，
∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8，
∴x 为奇数，
故x 可取3 或5 或7．
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题型
三角形的内角和定理
▌例1.（25-26 七年级下·江西南昌·期末）如果三角形的三个内角分别是(2𝑥−𝑦)°，(𝑥+ 𝑦)°，𝑥°，则x 的值
为（ ）
A．40
B．45
C．50
D．55
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理，将三个内角相加等于180°，化简后即可求出𝑥的值.
【详解】解：∵三角形的内角和为180°，
∴(2𝑥−𝑦)° + (𝑥+ 𝑦)° + 𝑥° = 180°，
∴2𝑥−𝑦+ 𝑥+ 𝑦+ 𝑥= 180，
∴4𝑥= 180，
解得𝑥= 45，
因此𝑥的值为45.
▌例2.（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部
分图案．已知𝑙1 ∥𝑙2，∠1 = ∠2 = 70°，∠3 = ∠4 = 50°，则∠5 =____________°．
【答案】120
【分析】由三角形内角和定理可得∠6 = 80°，结合平行线的性质可得∠7 = 100°，最后再由多边形的外角
和定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图：
解题贴士
1）基础用法：直接利用内角和180°，已知两角求第三角；
2）直角三角形速算：两锐角互余，直接相减求角。
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∵∠3 = ∠4 = 50°，
∴∠6 = 180° −∠3 −∠4 = 80°，
∵𝑙1 ∥𝑙2，
∴∠7 = 180° −∠6 = 100°，
∵∠1 + ∠2 + ∠7 + ∠5 = 360°，∠1 = ∠2 = 70°，
∴∠5 = 360° −∠1 −∠2 −∠7 = 120°．
▌对点练1-1.（25-26 七年级下·福建莆田·期末）如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平
面示意图．已知路灯𝐴𝐵和折臂的底座𝐶𝐷都与地面𝑀𝑁垂直，同时上折臂𝐴𝐸与下折臂𝐷𝐸的夹角∠𝐴𝐸𝐷=
70°，下折臂与底座𝐶𝐷的夹角∠𝐶𝐷𝐸= 120°，那么上折臂𝐴𝐸与路灯𝐴𝐵的夹角∠𝐵𝐴𝐸的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】D
【分析】过点E 作𝐸𝐹∥𝑀𝑁交𝐴𝐵于点F，过点D 作𝐷𝐻∥𝑀𝑁，由平行线的性质求出∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐷𝐻= 30°，
进而求得∠𝐴𝐸𝐹= 40°，然后由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：如图，过点E 作𝐸𝐹∥𝑀𝑁交𝐴𝐵于点F，过点D 作𝐷𝐻∥𝑀𝑁，
∵𝐶𝐷⊥𝑀𝑁，𝐷𝐻∥𝑀𝑁，
∴𝐶𝐷⊥𝐻𝐷，
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∴∠𝐻𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐶𝐷𝐸= 120°，
∴∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐻𝐷𝐶= 120° −90° = 30°，
∵𝐸𝐹∥𝑀𝑁，𝐷𝐻∥𝑀𝑁，
∴𝐸𝐹∥𝐷𝐻，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐷𝐻= 30°，
∵∠𝐴𝐸𝐷= 70°，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐷𝐸𝐹= 70° −30° = 40°，
∵𝐴𝐵⊥𝑀𝑁，𝐸𝐹∥𝑀𝑁，
∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 90° −∠𝐴𝐸𝐹= 90° −40° = 50°．
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2．
(1)如图1，若∠𝐴𝐶𝐵= 70°，求∠BPC 的度数；
(2)如图2，过P 点作𝑃𝑄∥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点Q，猜想∠𝑃𝑄𝐶与∠𝐵𝑃𝐶的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠𝐵𝑃𝐶= 110°
(2)∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝑄𝐶．理由如下：
∵𝑃𝑄∥𝐴𝐶，
∴∠𝑃𝑄𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∵∠𝐵𝑃𝐶+ ∠2 + ∠𝑃𝐶𝐵= 180°，∠1 = ∠2，
∴∠𝐵𝑃𝐶+ ∠1 + ∠𝑃𝐶𝐵= 180°，
即∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝑄𝐶．
【分析】（1）根据∠𝐴𝐶𝐵= 70°及∠1 = ∠2，可证明∠2 + ∠𝑃𝐶𝐵= 70°，再根据三角形内角和定理，即可求
得答案；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∴∠1 + ∠𝑃𝐶𝐵= 70°，
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∵∠1 = ∠2，
∴∠2 + ∠𝑃𝐶𝐵= 70°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −(∠2 + ∠𝑃𝐶𝐵) = 180° −70° = 110°；
（2）略
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐷于点𝐹，过点𝐴作
𝐴𝐵∥𝐶𝐹，且交𝐷𝐶的延长线于点𝐵，点𝐸在𝐴𝐶的延长线上，且∠𝐸= ∠𝐵．
(1)求证：𝐶𝐹∥𝐷𝐸；
(2)若∠𝐸= ∠𝐵= 50°，∠𝐶𝐷𝐸= 2∠𝐴𝐷𝐶，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)见解析
(2)105°
【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐹解答．
（1）根据平行线的性质得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐹，进而利用角平分线的定义得出∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐹𝐶𝐷，进而利用平行
线的判定解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐹，
∵𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐹𝐶𝐷，
∵∠𝐸= ∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴𝐶𝐹∥𝐷𝐸；
（2）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐹，𝐶𝐹∥𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸= 50°，
∵∠𝐶𝐷𝐸= 2∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 25°，
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∴∠𝐵𝐴𝐷= 180° −50° −25° = 105°．
题型
与三角形的角平分线有关的计算
▌例1.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= 38°，则∠𝐶的度数
是（ ）
A．16°
B．30°
C．38°
D．76°
【答案】C
【分析】由𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线可得∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°，由𝐴𝐷∥𝐵𝐶得∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°．
【详解】解：∵𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 110°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，则𝑥
的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，结合题意
得到∠2 + ∠3 = 35°，由此三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 110°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −110° = 70°，
解题贴士
1）基础技巧：角平分线等分内角，等分两角度数相等；
2）通用解法：设最小角为x，结合内角和、外角定理列方程求解。
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∵∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4,∠1 + ∠2 = ∠𝐴𝐵𝐶, ∠3 + ∠4 = ∠𝐴𝐶𝐵，
∴2∠2 + 2∠3 = ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∴∠2 + ∠3 =
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 35°，
在△𝑃𝐵𝐶中，𝑥° = 180° −(∠2 + ∠3) = 180° −35° = 145°，
∴𝑥= 145，
故选：C ．
▌对点练1-2.（25-26 七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 55°, ∠𝐵: ∠𝐴= 5: 11，𝐶𝐷是
∠𝐴𝐶𝐵的平分线，则∠𝐵𝐶𝐷=________．
【答案】50°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算．
根据∠𝐴= 55°,∠𝐵: ∠𝐴= 5: 11求出∠𝐵= 25°，进而求出∠𝐴𝐶𝐵= 100°，根据角平分线的定义作答即可．
【详解】解：∵∠𝐴= 55°,∠𝐵: ∠𝐴= 5: 11，
∴∠𝐵=
5
11 ∠𝐴=
5
11 × 55° = 25°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −55° −25° = 100°，
∵𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 50°．
故答案为：50°．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝐸，𝐶𝐹相交于点
𝐺．
(1)若∠𝐴= 40°，则∠𝐵𝐺𝐶的度数为 °．
(2)若∠𝐴= 𝛼，求∠𝐵𝐺𝐶（用含𝛼的代数式表示）．
【答案】(1)110
(2)∠𝐵𝐺𝐶= 90° +
1
2 𝛼
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【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵的值，再根据角平分线的定义易得出∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵的值，然后
再根据三角形内角和即可得出答案；
（2）根据三角形内角和得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵的值，再根据角平分线的定义易得出∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵的值，然后
再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ∠𝐴= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 140°，
∵ 𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 × 140° = 70°，
∴∠𝐵𝐺𝐶= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180° −70° = 110°，
故答案为：110；
（2）解：∵ ∠𝐴= 𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −𝛼，
∵ 𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2 × (180° −𝛼) = 90° −
1
2 𝛼，
∴∠𝐵𝐺𝐶= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180° −(90° −
1
2 𝛼) = 90° +
1
2 𝛼．
题型
与三角形的中线有关的计算
▌例1.（25-26 七年级下·四川乐山·期末）如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为
24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ）
解题贴士
1）边长技巧：中线平分对边，分割出两条等长线段；
2）面积技巧：任意中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；
3）周长技巧：两小三角形周长差=三角形剩余两边的边长差。
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A．12
B．8
C．6
D．4
【答案】C
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为24，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
∵𝐸为𝐴𝐷的中点，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 6．
▌例2.（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，若△𝐴𝐶𝐷的周长
为18，则△𝐴𝐵𝐷的周长为_________．
【答案】20
【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐶𝐷的周长为18，𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐴𝐶= 18，即𝐴𝐷+ 𝐷𝐶= 12，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 12，
∵𝐴𝐵= 8，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 20．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·广西玉林·期末）如图，若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐷= 4，则𝐵𝐶的长度为
（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质可知𝐵𝐶= 2𝐵𝐷．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，即𝐵𝐷= 𝐶D
∴𝐵𝐶= 2𝐵𝐷
∵𝐵𝐷= 4
∴𝐵𝐶= 8．
故选：D．
▌对点练1-2.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，若
△𝐷𝐸𝐹的面积为1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．
【答案】8
【详解】解：∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，
∴𝐵𝐶= 2𝐶𝐷、𝐴𝐷= 2𝐷𝐸、𝐶𝐸= 2𝐸𝐹，
∴𝐷𝐹是△𝐶𝐷𝐸的中线，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 2，
∴𝑆𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝐷𝐸𝐶= 2 × 2 = 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆𝐴𝐷𝐶= 2 × 4 = 8．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△
𝐴𝐶𝐷的高与角平分线．
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(1)若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，𝐴𝐵= 7，求𝐴𝐶的长；
(2)若∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°，求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
【答案】(1)5
(2)11°
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解
题的关键．
（1）根据三角形的中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再由三角形的周长公式推出𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，据此可得答案；
（2）由三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐶的度数，由高线和角平分线的定义求出∠𝐷𝐸𝐴，∠𝐴𝐷𝐹，再求出∠𝐴𝐷𝐸
的度数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，
∴(𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐴) −(𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴) = 𝐴𝐵−𝐴𝐶= 2，
∵𝐴𝐵= 7，
∴𝐴𝐶= 5；
（2）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 180° −40° −62° = 78°，
∵𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△𝐴𝐶𝐷的高与角平分线，
∴∠𝐷𝐸𝐴= 90°，∠𝐴𝐷𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 78° = 39°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90° −∠𝐷𝐴𝐶= 90° −40° = 50°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐹= 50° −39° = 11°．
题型
画三角形的高
▌例1.（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上高的作法正确的是（ ）
解题贴士
1）作图核心：过顶点，向对边或对边延长线作垂线，顶点到垂足线段即为高；
2）分类画法：锐角三角形三高在内部；直角三角形两直角边互为高；钝角三角形两条高在外部；
3）得分关键：必须标垂直符号，垂足落在对应边上。
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高线的定义即可解答．
【详解】解：A 选项中，作的是𝐴𝐶边上的高，不符合题意；
B 选项中，没有经过顶点𝐴，不符合题意；
C 选项中，𝐴𝐸不垂直𝐵𝐶，不符合题意；
D 选项中，𝐴𝐸过点𝐴且垂直𝐵𝐶，符合题意．
▌对点练1-1.（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺𝐷𝐸𝐹的一条直角边摆放在△𝐴𝐵𝐶
的𝐴𝐵边上，另一条直角边经过顶点C，则𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．中线
B．高线
C．角平分线
D．中位线
【答案】B
【详解】解：根据题意得：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高线．
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·陕西西安·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的高线为（ ）
A．𝐶𝐸
B．𝐴𝐸
C．𝐶𝐷
D．𝐶𝐹
【答案】B
【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，
∴△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高应过顶点𝐴且垂直于𝐵𝐶所在直线，
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观察图形可知，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸，
∴𝐵𝐶边上的高线为𝐴𝐸．
题型
与三角形的高有关的计算
▌例1.（2026·陕西安康·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的中线，𝐴𝐸是边𝐵𝐶上的高．若𝐵𝐶= 4，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 3，则𝐴𝐸的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】解：∵𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 6，
∵𝐴𝐸是边𝐵𝐶上的高，𝐵𝐶= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸= 2𝐴𝐸= 6，
∴𝐴𝐸= 3．
▌例2.（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
若∠𝐵= 42°，∠𝐴𝐸𝐶= 75°，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【答案】24°
解题贴士
1）核心方法：等面积法，同一个三角形底×对应高的乘积相等；
2）直角三角形专属：两直角边乘积=斜边×斜边上的高；
3）解题思路：知底求高、知高求底，优先套用等面积公式。
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【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即
可求解．
【详解】解：∵∠𝐵= 42°，∠𝐴𝐸𝐶= 75°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 33°．
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸= 66°．
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°．
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐶𝐵= 24°．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·重庆铜梁·期末）如图，𝐴𝐸，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸= 6, 𝐶𝐷= 4，则
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
（ ）
A．
4
3
B．
5
4
C．
3
2
D．
2
3
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高；
利用等面积法列式求解即可．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐸⋅𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷，且𝐴𝐸= 6, 𝐶𝐷= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 6 ⋅𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 4，即3𝐵𝐶= 2𝐴𝐵，
∴
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
3
2，
故选：C．
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐷= 6，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，若𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点E，则𝐴𝐸=_______．
【答案】4
【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积问题，根据三角形中线的性质得到𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12，再
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根据𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷× 𝐴𝐸求解即可．
【详解】解：如图：
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷× 𝐴𝐸，即
1
2 × 6 × 𝐴𝐸= 12，
解得𝐴𝐸= 4．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·安徽六安·期中）如图，𝐴𝐹、𝐴𝐷分别为△𝐴𝐵𝐶的边BC 上的高线和中线，𝐵𝐺
为𝐴𝐶边上的高线，已知𝐴𝐹= 6，𝐵𝐷= 10，𝐵𝐺= 5．
(1)求𝐵𝐶的长和△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)求𝐴𝐶的长．
【答案】(1)20；60
(2)24
【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结
合面积公式进行计算．
（1）利用中线性质求𝐵𝐶的长，再用三角形面积公式求面积；
（2）通过三角形面积的两种表示方法求𝐴𝐶的长．
【详解】（1）解：∵ 𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴ 𝐵𝐷= 𝐷𝐶= 10，
则𝐵𝐶= 2𝐵𝐷= 2 × 10 = 20，
∴ △𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐹=
1
2 × 20 × 6 = 60；
（2）解：∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐺= 60，
∴ 𝐴𝐶=
60×2
5
= 24．
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题型
图形的全等
▌例1.（25-26 七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．两个周长相等的三角形
B．两个面积相等的三角形
C．两个半径相等的圆
D．两个底和高分别相等的平行四边形
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果.
【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形.
A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形.
B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形.
C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形.
D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全
等图形.
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合．
【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同．
选项A 中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形；
选项B 中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形；
选项C 中，两个三角形大小不同，不是全等形；
选项D 中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形；
故选：D．
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（ ）
解题贴士
判定技巧：只需看形状、大小完全相同，与位置、旋转、翻转无关。
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可．
【详解】解：观察发现：B，C，D 选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
A 选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选：A．
题型
全等三角形的性质
▌例1.（25-26 七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则∠𝐸的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
【答案】C
【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出∠𝐸，利用三角形内角和定理计算即可求
解．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，且𝐴𝐶= 𝑛，𝐵𝐶= 𝑚，𝐷𝐹= 𝑛，𝐸𝐹= 𝑚，
∴ ∠𝐸= ∠𝐵，
∵ ∠𝐴= 65°，∠𝐶= 45°，
∴ ∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 70°，
∴ ∠𝐸= 70°．
解题贴士
1）核心性质：对应边相等、对应角相等（解题第一依据）；
2）衍生性质：对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长、面积相等；
3）解题关键：先找对应顶点，再匹配边角，杜绝对应关系错误。
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▌例2.（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，点𝐶，𝐸，𝐹，𝐵依次在同一条直线上，
𝐵𝐶= 9，𝐸𝐹= 5，求𝐶𝐸的长．
【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到𝐵𝐸= 𝐶𝐹，进而得到𝐶𝐸= 𝐵𝐹，再根
据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸−𝐸𝐹= 𝐶𝐹−𝐸𝐹，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐵𝐹= 2𝐶𝐸+ 𝐸𝐹，
∵𝐵𝐶= 9，𝐸𝐹= 5，
∴𝐶𝐸= 2．
▌对点练1-1.（25-26 七年级下·上海闵行·期末）已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是
（ ）
A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等
C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质逐一判断选项即可，需注意全等三角形仅对应元素相等，非对应元素不一
定相等．
【详解】解：∵全等三角形的对应角相等，对应边相等，是全等三角形的基本性质，
∴选项A，B 一定正确，不符合题意；
∵三角形的周长为三边长度之和，全等三角形三边对应相等，
∴两个三角形的周长一定相等，选项C 正确，不符合题意；
∵全等三角形只有对应边上的高相等，题目未指明是对应高，
∴这两个三角形的高不一定相等，选项D 不一定正确，符合题意．
▌对点练1-2.（2026·四川成都·中考真题）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸, ∠𝐴= 40°,∠𝐸= 62°，则∠𝐸𝐷𝐹的度
数为（ ）
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A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出∠𝐹= ∠𝐴= 40°，再根据三角形的内角和定理求出∠𝐸𝐷𝐹的度数即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，∠𝐴= 40°，∠𝐸= 62°，
∴∠𝐹= ∠𝐴= 40°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= 180° −∠𝐸−∠𝐹= 180° −40° −62° = 78°．
▌对点练1-3.（2026·四川成都·二模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点E，A，B 依次在同一条直线上，若
𝐴𝐶= 4，𝐵𝐸= 10，则𝐴𝐷的长为________．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，然后根据已知线段的长度求出结果即
可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∵𝐴𝐶= 4，
∴𝐴𝐸= 4，
∵𝐵𝐸= 10，
∴𝐴𝐵= 10 −4 = 6，即𝐴𝐷= 6．
▌对点练1-4.（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4.5，且点𝐵
在线段𝐴𝐶上．
(1)求𝐷𝐸的长；
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(2)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
【答案】(1)1.5
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 4.5，𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 3，然后通过线段和差即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶， 然后由平角定义即可求证．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4.5，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 4.5，𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 3，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸= 1.5；
（2）证明：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶，
∵点𝐵在线段𝐴𝐶上，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
即𝐷𝐵⊥𝐴𝐶．
基础通关
1．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）已知三角形的两边长分别为3 和7，则第三边长不可能是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】D
【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，即可
判断出不可能的边长．
【详解】解：设第三边长为𝑥，
∵三角形的两边长分别为3 和7，
∴7 −3 < 𝑥< 7 + 3即4 < 𝑥< 10，
∵11 不在4 < 𝑥< 10的范围内，
∴第三边长不可能是11．
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度4cm和8cm的木条，现需再选一根
木条拼接，下列长度中可选用的是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．11cm
D．12cm
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【答案】C
【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配符合条件
的选项即可．
【详解】解：已有两根长度为4cm和8cm的木条，设第三根木条长度为𝑥cm，
根据三角形三边关系可得：8 −4 < 𝑥< 8 + 4
∴4 < 𝑥< 12
观察各选项，只有11cm符合该范围．
3．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6
B．2，5，8
C．3，5，7
D．9，2，2
【答案】C
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可，只需比较较短两边的和与最长边的大小即
可快速判断．
【详解】解：选项A：3 + 3 = 6，等于第三边，不能组成三角形；
选项B：2 + 5 = 7 < 8，和小于第三边，不能组成三角形；
选项C：3 + 5 = 8 > 7，满足三边关系，能组成三角形；
选项D：2 + 2 = 4 < 9，和小于第三边，不能组成三角形．
4．（25-26 七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和
C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等
【答案】D
【详解】解：∵ 三角形三条中线的交点为三角形的重心，一定在三角形内部，
∴ A 选项错误；
∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ B 选项错误；
∵ 根据三角形三边关系，三角形任意两边之差小于第三边，
∴ C 选项错误；
∵ 全等三角形对应边相等，面积相等，因此对应边上的高相等，
∴ D 选项正确．
5．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐸，且𝐴𝐵= 10，𝐴𝐹= 6，则𝐵𝐸的长为
（ ）
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A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】D
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 6，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵−𝐴𝐸= 10 −6 = 4．
6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判
断．
【详解】解：选项A、C、D 中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B 中的两个图形可以重
合，是全等图形；
故选：B．
7．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶=
5，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，则𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是__________．
【答案】
7
5
【分析】过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，交𝐷𝐸于𝐹，可得𝐴𝐹= 1，利用“等积法”可求出𝐴𝐻=
12
5 ，进而求出𝐹𝐻=
7
5，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，交𝐷𝐸于𝐹，则∠𝐴𝐻𝐶= 90°，
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∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∵点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，
∴𝐴𝐹= 1，
∵∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 5，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐻=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，即
1
2 × 5𝐴𝐻=
1
2 × 3 × 4，
解得：𝐴𝐻=
12
5 ，
∴𝐹𝐻= 𝐴𝐻−𝐴𝐹=
12
5 −1 =
7
5，
∴𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是
7
5．
8．（25-26 七年级下·江西抚州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐶𝐷= 3𝐵𝐷，若△𝐴𝐵𝐷的面积为
4，则△𝐶𝐷𝐸的面积为________．
【答案】6
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝐷= 3𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐷的面积为4，
∴△𝐴𝐶𝐷的面积为3 × 4 = 12，
∵𝐸是𝐴𝐶的中点，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 12 = 6．
9．（25-26 七年级下·河南周口·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°
(1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
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(2)若𝐶𝐷平分 ∠𝐴𝐶𝐵，求 ∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)70°
(2)35°
【分析】（1）根据三角形内角和为180 度可得答案；
（2）根据角平分线的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 70°；
（2）解：由（1）得∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°．
10．（25-26 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐷，𝐶𝐸是它的高，𝐴𝐹是它的中
线．若𝐴𝐵= 𝐵𝐹，𝑆△𝐴𝐶𝐹= 6，求线段𝐶𝐸的长．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得𝐴𝐵= 𝐵𝐹=
1
2 𝐵𝐶= 4，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐹= 12，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 𝐶𝐸，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐹是中线，𝐵𝐶= 8，𝑆△𝐴𝐶𝐹= 6，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐹=
1
2 𝐵𝐶= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐹= 12，
∵𝐶𝐸是高，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵× 𝐶𝐸，即
1
2 × 4𝐶𝐸= 12，
∴𝐶𝐸= 6．
11．（25-26 八年级上·广东湛江·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，若𝐵𝐸= 8, 𝐷𝐸= 3，求𝐵𝐶的长．
【答案】13
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．
先根据全等三角形的性质得到𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 8，再计算出𝐵𝐷的值，然后计算𝐵𝐶即可．
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【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷= 8，
∵𝐷𝐸= 3，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐷𝐸= 8 −3 = 5，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 5 + 8 = 13．
12．（25-26 八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐸在𝐴𝐵上，∠𝐷= 30°, ∠𝐸𝐵𝐷=
65°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
【答案】∠𝐴𝐵𝐶= 85°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解
题的关键．根据三角形内角和定理得出∠𝐷𝐸𝐵= 180° −30° −65° = 85°，再根据全等三角形的性质求出
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐵= 85°．
【详解】解：∵∠𝐷= 30°, ∠𝐸𝐵𝐷= 65°，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 180° −30° −65° = 85°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐵= 85°．
13．（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，点𝐴、𝐶、𝐷在同一条直线上．
(1)求证：𝐴𝐵∥𝐷𝐸；
(2)若𝐸𝐷= 3，𝐶𝐷= 4，求线段𝐴𝐵的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对
应边相等进行推理计算．
（1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行；
（2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出𝐴𝐵的长．
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【详解】（1）证明：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐷= ∠𝐶𝐴𝐵，
∴ 𝐴𝐵∥𝐷𝐸；
（2）解：∵ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∵ 𝐸𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐷= 3，
∵ 𝐶𝐷= 4，
∴ 𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 3 + 4 = 7，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 7．
素养提升
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，𝑥，8，若此三角形的周长为奇数，则满
足条件的三角形个数为（ ）．
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．无数个
【答案】C
【分析】先根据三角形三边关系求出x 的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x 的奇偶性，统计符合
条件的x 的个数即可．
【详解】解：∵三角形三边长分别为5，𝑥，8
∴根据三角形三边关系得 8 −5 < 𝑥< 8 + 5，即 3 < 𝑥< 13，
∵三角形周长为奇数，周长为 5 + 8 + 𝑥= 13 + 𝑥，且13是奇数，
∴𝑥必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数，
∵边长𝑥为正整数，
∴符合条件的𝑥为4,6,8,10,12，共5个，
∴满足条件的三角形个数为5个．
2．（25-26 七年级下·重庆南岸·期末）如图，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，以下说法不正确的是（）
A．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高 B．𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐶上的高
C．𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高 D．𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高
【答案】B
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【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线
段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠𝐸= 90°，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐸，
∴𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐸上的高，不是边𝐴𝐶上的高，故该选项说法错误，符合题意；
C、∵∠𝐹= 90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，
∴𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
D、∵∠𝐹= 90°，
∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高，故该选项说法正确，不符合题意．
3．（25-26 七年级下·重庆万州·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一直线上，𝐴𝐶与𝐷𝐸相交
于点𝑀，𝐷𝐹= 6，𝐴𝑀= 2，则𝑀𝐶的长度是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹得到𝐴𝐶= 𝐷𝐹= 6，再根据𝑀𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝑀即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
∵𝐷𝐹= 6，
∴𝐴𝐶= 6，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝑀+ 𝑀𝐶，𝐴𝑀= 2，
∴𝑀𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝑀= 6 −2 = 4．
4．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐷𝐸𝐹的周长为12，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，则𝐷𝐹的
长为______．
【答案】5
【分析】先求出△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶的长，再利用全等三角形的性质即可求得𝐷𝐹的长．
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【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐷𝐸𝐹的周长为12，
∴Δ𝐴𝐵𝐶的周长为12，𝐷𝐹= 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= 12 −𝐴𝐵−𝐵𝐶= 12 −3 −4 = 5，
∴𝐷𝐹= 5．
5．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）如图，若△𝐴𝐵𝐶的面积为2，且点A，B，C 分别是𝐸𝐶、𝐴𝐹、𝐵𝐷的中
点，那么阴影部分的面积为________．
【答案】12
【分析】连接𝐴𝐷、𝐵𝐹、𝐶𝐹，由点A，B，C 分别是𝐸𝐶，𝐴𝐹，𝐵𝐷的中点得出𝑆△𝐶𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，𝑆△𝐴𝐵𝐸=
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，从而得出𝑆△𝐷𝐵𝐹= 2𝑆△𝐶𝐵𝐹= 4，𝑆△𝐹𝐴𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 4，𝑆△𝐸𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷=
4，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐷、𝐵𝐹、𝐶𝐹，
，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为2，且点A，B，C 分别是𝐸𝐶，𝐴𝐹，𝐵𝐷的中点，
∴𝑆△𝐶𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2，
∴𝑆△𝐷𝐵𝐹= 2𝑆△𝐶𝐵𝐹= 4，𝑆△𝐹𝐴𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 4，𝑆△𝐸𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 4，
∴阴影部分的面积为𝑆△𝐷𝐵𝐹+ 𝑆△𝐹𝐴𝐸+ 𝑆△𝐸𝐶𝐷= 12．
6．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，点C 和点E，点A 和点F 是对应顶点，
𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷= 3，∠𝐴= 30°，∠𝐸= 55°，求𝐹𝐷的长，以及∠𝐶，∠𝐹𝐷𝐸的度数．
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【答案】𝐹𝐷= 5，∠𝐶= 55°，∠𝐹𝐷𝐸= 95°
【分析】利用全等三角形性质得对应边、对应角相等．由𝐴𝐷+ 𝐵𝐷算出𝐴𝐵的长度，再根据对应边相等得到
𝐹𝐷的长．由对应角相等直接得到∠𝐶的度数；再利用三角形内角和定理，先算出△𝐴𝐵𝐶中∠𝐵的度数，最后
根据对应角相等得到∠𝐹𝐷𝐸的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，点𝐶和点𝐸、点𝐴和点𝐹是对应顶点，
∴𝐴𝐵= 𝐹𝐷，∠𝐶= ∠𝐸，∠𝐵= ∠𝐹𝐷𝐸．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷，𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷= 3，
∴𝐴𝐵= 2 + 3 = 5，
∴𝐹𝐷= 5．
∵∠𝐸= 55°，
∴∠𝐶= 55°．
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∠𝐴= 30°，∠𝐶= 55°，
∴∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 180° −30° −55° = 95°，
∴∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐵= 95°．
7．（25-26 七年级下·河北张家口·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸．
(1)若∠𝐴= 40°，∠𝐸= 52°，求∠𝐴𝐷𝐸的度数；
(2)若𝐴𝐹= 10，𝐷𝐵= 4，求AB 的长．
【答案】(1)92°
(2)7
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠𝐹= ∠𝐴= 40°，再利用三角形外角的性质进行解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐹𝐷，利用线段的差得到𝐴𝐷= 𝐹𝐵，再求出𝐴𝐷+ 𝐹𝐵= 6，即可求出
答案．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，∠𝐴= 40°，
∴∠𝐹= ∠𝐴= 40°，
∵∠𝐸= 52°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐹= 92°．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐹𝐷，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐷= 𝐹𝐷−𝐵𝐷，
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即𝐴𝐷= 𝐹𝐵，
∵𝐴𝐹= 10，𝐷𝐵= 4，
∴𝐴𝐷+ 𝐹𝐵= 𝐴𝐹−𝐷𝐵= 6，
∴𝐴𝐷= 𝐹𝐵=
1
2 × 6 = 3，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵= 7．
8．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心𝑂处悬吊起来，发现纸板处于水平状
态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的面积关系为：𝑆△𝐴𝐵𝐷_______𝑆△𝐴𝐶𝐷（填>、<或=）；
(2)如图③，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，猜想△𝐵𝐹𝐺与△𝐶𝐸𝐺的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶、𝐴𝐵于点𝐷、𝐸、𝐹，求
𝐷𝐺
𝐴𝐺的值；
(4)如图④，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，且𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，若𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 4，求四边形𝐴𝐸𝐺𝐷的面积．
【答案】(1)=
(2)𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐺𝐸𝐶，理由如下：
∵点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐹= 𝐴𝐹=
1
2 𝐴𝐵, 𝐴𝐸= 𝐸𝐶=
1
2 𝐴𝐶，
∵△𝐵𝐶𝐹和△𝐴𝐵𝐶同高，设高为𝐻，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹=
1
2 × 𝐵𝐹× 𝐻=
1
2 ×
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐻=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
同理得𝑆△𝐵𝐶𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹−𝑆△𝐵𝐺𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝐺𝐶，
∴𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐺𝐸𝐶；
(3)
𝐷𝐺
𝐴𝐺=
1
2
(4)𝑆四边形𝐴𝐸𝐺𝐷=
16
3
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【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算：
（1）根据△ABC的中线得到𝐵𝐷= 𝐶𝐷，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论；
（2）根据题干中关于重心的定义得𝐵𝐹=
1
2 𝐴𝐵, 𝐸𝐶=
1
2 𝐴𝐶，由于△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐹同高，△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐸同
高，得出𝑆△𝐵𝐶𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐸=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，去掉公共三角形△𝐵𝐺𝐶，即可得到△𝐵𝐹𝐺与△𝐶𝐸𝐺的面积相等；
（3）根据题干中关于重心的定义得𝐵𝐷= 𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶，利用三角形面积公式得𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐸，
去掉公共部分，得𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆△𝐴𝐸𝐺，利用三角形等底同高得𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆△𝐺𝐷𝐶，𝑆△𝐶𝐺𝐸= 𝑆△𝐴𝐸𝐺，即可得出结
论；
（4）连接𝐴𝐺交𝐵𝐶于点𝑀，先求出𝑆△𝐵𝐺𝐶，通过各三角形底边之间的关系，得到𝑆△𝐴𝐸𝐺= 𝑆△𝐵𝐺𝑀、𝑆△𝐴𝐷𝐺=
𝑆△𝐶𝐺𝑀，进而求出四边形𝐴𝐸𝐺𝐷的面积．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是三角形𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷的底边分别是𝐵𝐷和𝐶𝐷，它们共用同一个顶点𝐴，
∴它们的高相等，设为ℎ，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× ℎ=
1
2 × 𝐷𝐶× ℎ= 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
（2）解：𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐺𝐸𝐶，理由略．
（3）解：∵点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶，
∵△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐶同高，设高为𝑎，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝑎=
1
2 ×
1
2 × 𝐵𝐶× 𝑎=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆△𝐴𝐸𝐺，
同理：∵△𝐵𝐷𝐺,△𝐺𝐷𝐶等底同高，△𝐶𝐺𝐸,△𝐴𝐸𝐺等底同高，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆△𝐺𝐷𝐶，𝑆△𝐶𝐺𝐸= 𝑆△𝐴𝐸𝐺，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐶= 2𝑆△𝐺𝐷𝐶，
∴
𝐷𝐺
𝐴𝐺=
1
2．
（4）解：如图，连接𝐴𝐺交𝐵𝐶于点𝑀，
∵𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，
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∴由（3）可得出，
𝐷𝐺
𝐵𝐺=
𝐺𝑀
𝐴𝐺=
1
2，𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
设𝐷𝐺= 𝑥，𝐵𝐺= 2𝑥，
∴
𝐵𝐺
𝐵𝐷=
𝐵𝐺
𝐵𝐺+𝐺𝐷=
2𝑥
2𝑥+𝑥=
2
3，
同理得
𝐶𝐺
𝐶𝐸=
𝐴𝐺
𝐴𝑀=
2
3，
𝐺𝑀
𝐴𝑀=
𝐴𝑀−𝐴𝐺
𝐴𝑀
=
1
3，
∵𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 4，
∴𝐵𝐺= 4，𝐶𝐺=
8
3，
∵𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐵𝐺𝐶=
1
2 𝐵𝐺⋅𝐶𝐺=
1
2 × 4 ×
8
3 =
16
3 ，
∵△𝐴𝐺𝐸,△𝐴𝐵𝐺同高，
∴设它们的高为𝑏，
∵𝑆△𝐴𝐸𝐺=
1
2 𝐴𝐸× 𝑏，𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐵× 𝑏，且𝐴𝐸= 𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐵× 𝑏=
1
2 × 2𝐴𝐸× 𝑏= 2 ×
1
2 × 𝐴𝐸× 𝑏= 2𝑆△𝐴𝐸𝐺，
∵△𝐴𝐵𝐺、△𝐵𝐺𝑀和△𝐴𝐵𝑀同高，设高为𝑐，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐺× 𝑐，𝑆△𝐵𝐺𝑀=
1
2 𝐺𝑀× 𝑐，𝑆△𝐴𝐵𝑀=
1
2 𝐴𝑀× 𝑐，
∵
𝐴𝐺
𝐴𝑀=
2
3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 𝐴𝐺× 𝑐=
1
2 ×
2
3 × 𝐴𝑀× 𝑐=
2
3 ×
1
2 × 𝐴𝑀× 𝑐=
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝑀，
∴ 𝑆△𝐵𝐺𝑀=
1
2 𝐺𝑀× 𝑐=
1
2 ×
1
2 𝐴𝐺× 𝑐=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 ×
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝑀=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝑀，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐺= 2𝑆△𝐴𝐸𝐺，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐺=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐺=
1
2 ×
2
3 𝑆△𝐴𝐵𝑀=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝑀= 𝑆△𝐵𝐺𝑀，
同理可得，𝑆△𝐴𝐷𝐺= 𝑆△𝐶𝐺𝑀，
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐺𝐷= 𝑆△𝐴𝐸𝐺+ 𝑆△𝐴𝐷𝐺= 𝑆△𝐵𝐺𝑀+ 𝑆△𝐶𝐺𝑀= 𝑆△𝐵𝐺𝐶=
16
3 ．
迁移创新
1．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②
是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形𝐴𝐵𝐶𝐷表示，司机位于
车内左前方，眼睛用点O 表示，𝑂𝐸∥𝐴𝐵，左侧后视镜用线段𝐴𝑃表示，左后视镜打开后𝐴𝑃与𝐴𝐵形成的
∠𝐵𝐴𝑃可在一定范围内调节，点H 为入射点，𝐻𝐻′为法线，图上各点均在同一平面内．当∠𝐵𝐴𝑃= 60°，
∠𝐸𝑂𝐻= 70°，则反射角∠𝐻′𝐻𝑂的大小（ ）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】设𝑂𝐻与𝐴𝐵交于点𝐺，先求出∠𝐴𝐺𝐻= ∠𝐸𝑂𝐻= 70°，再求出∠𝐴𝐻𝐺的度数，然后结合∠𝐴𝐻𝐻′ =
90°计算即可．
【详解】解：如图，设𝑂𝐻与𝐴𝐵交于点𝐺，
∵𝑂𝐸∥𝐴𝐵，∠𝐸𝑂𝐻= 70°，
∴∠𝐴𝐺𝐻= ∠𝐸𝑂𝐻= 70°，
∵∠𝐵𝐴𝑃= 60°，
∴∠𝐴𝐻𝐺= 180° −∠𝐵𝐴𝑃−∠𝐴𝐺𝐻= 50°，
∵点𝐻为入射点，𝐻𝐻′为法线，
∴𝐻𝐻′ ⊥𝐴𝑃，
∴∠𝐴𝐻𝐻′ = 90°，
∴∠𝐻′𝐻𝑂= ∠𝐴𝐻𝐻′ −∠𝐴𝐻𝐺= 40°．
2．（25-26 八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3cm，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 4cm，∠𝐴=
∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，点P 以3cm/s的速度从点A 出发，沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷运动，同时点Q 以1cm/s的速
度从点A 出发，沿𝐴→𝐷运动，当P、Q 两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时
间为𝑡(s)(𝑡> 0)．
小学
初中
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(1)当点P 在𝐴→𝐵运动的过程中，𝐴𝑃=______cm；𝐵𝑃=______cm（用含t 的代数式表示）；
(2)当𝑡= 3s时，△𝐴𝑃𝑄的面积=______cm2；
(3)连接𝐴𝑃、𝐶𝑄，当△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐷𝑄时，求t 的值；
(4)当△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑄为底的等腰三角形时，求t 的值及此时△𝐴𝑃𝑄的面积．
【答案】(1)3𝑡；(3 −3𝑡)
(2)
3
2
(3)𝑡=
7
4
(4)𝑡=
6
5，𝑆△𝐴𝑃𝑄=
9
5 cm2
【分析】（1）根据点P 运动的速度和时间即可表示出𝐴𝑃= 3𝑡cm，然后根据𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃即可求解；
（2）首先画出图形，然后根据题意得到𝐷𝑃= 3 −2 = 1(cm)，𝐴𝑄= 1 × 3 = 3(cm)，然后利用三角形面积
公式求解即可；
（3）由△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐷𝑄得到𝐷𝑄= 𝐵𝑃，然后列方程求解即可；
（4）根据△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑄为底的等腰三角形，则点P 在边𝐵𝐶上，根据等腰三角形的性质得𝑄𝐸= 𝐴𝐸=
1
2 𝑡cm，又𝑃𝐵= 3𝑡−𝐴𝐵= (3𝑡−3)cm，然后根据𝑃𝐵= 3𝑡−𝐴𝐵= (3𝑡−3)cm，得方程
1
2 𝑡= 3𝑡−3，求解
得到t 值；最后根据三角形面积公式求出△𝐴𝑃𝑄的面积即可．
【详解】（1）解：∵点P 以3cm/s的速度从A 点出发，沿𝐴→𝐵运动，
∴𝐴𝑃= 3𝑡cm，
∵𝐴𝐵= 3cm，
∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= (3 −3𝑡)cm．
故答案为：3𝑡；(3 −3𝑡)；
（2）解：当𝑡= 3s时，P 运动的路程为：3 × 3 = 9(cm)，
∵𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 3 + 4 = 7(cm)，
又∵9cm > 7cm，
∴此时点P 在边𝐶𝐷上，如图所示，
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∴𝐶𝑃= 9 −7 = 2(cm)，
∴𝐷𝑃= 3 −2 = 1(cm)，
∴𝐴𝑄= 1 × 3 = 3(cm)，
∴𝑆△𝐴𝑃𝑄=
1
2 𝐴𝑄⋅𝐷𝑃=
1
2 × 3 × 1 =
3
2 (cm2)．
故答案为：
3
2．
（3）如图所示，
∵△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐷𝑄
∴𝐷𝑄= 𝐵𝑃
∴4 −𝑡= 3𝑡−3
∴𝑡=
7
4；
（4）解：∵△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑄为底的等腰三角形
∴点P 在边𝐵𝐶上，
过点P 作𝑃𝐸⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷于点E，如图，
∴𝑃𝑄= 𝐴𝑃，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，𝐴𝑄= 𝑡cm，
∴𝑄𝐸= 𝐴𝐸=
1
2 𝑡cm，
∴∠𝑃𝐸𝐴= 90°，
∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴根据题意可得四边形𝑃𝐸𝐴𝐵是长方形，
∴𝑃𝐵= 𝐴𝐸=
1
2 𝑡cm，
∵𝑃𝐵= 3𝑡−𝐴𝐵= (3𝑡−3)cm，
∴
1
2 𝑡= 3𝑡−3，
解得：𝑡=
6
5，
∴𝐴𝑄=
6
5 cm，
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∴𝑆△𝐴𝑃𝑄=
1
2 𝐴𝑄⋅𝑃𝐸=
1
2 ×
6
5 × 3 =
9
5 (cm2)．
【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积，熟练掌
握相关性质是解题的关键．
