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1.2 定义与命题
题型一：判断是否为命题
1．（24-25 七年级下·重庆江津·期中）下列语句不是命题的是（ ）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段AB 上取点C ，使得
2
CA
CB
=
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？
（1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果a
b
= −，那么
2
2
a
b
=
；（4）奇数不能被2 整除．
3．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）下列句子是不是命题？为什么？
(1)连接A，B 两点；
(2)这本书是你的吗？
(3)邻补角不相等；
(4)小亮今天是不是生病了？
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4．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）生活在水里的动物是鱼．
（3）作两条相交直线．
（4）
和相等吗？
（5）全等三角形的对应边相等．
（6）三个角对应相等的两个三角形全等．
（7）画线段
2cm
AB =
．
5．（24-25 八年级上·全国·课后作业）阅读下文，并从中摘出定义和命题：
在大气中，水蒸气、二氧化碳和其他一些气体的作用与玻璃窗类似．这些气体允许太阳光到达地面，但是
阻止热量从地球表面逃逸，这种保持地球表面热能的作用，称为温室效应．如果没有温室效应，地球就会
变冷，平均温度大约将下降33℃．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)将27 开立方．
(2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？
(3)锐角小于直角．
(4)
0
a
（a 为实数）．
7．（24-25 八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)正数大于一切负数吗？
(2)两点之间线段最短．
(3) 2 不是无理数．
(4)作一条直线和已知直线垂直．
题型二：判断命题的真假
1．（北京市密云区2023-2024 学年下学期七年级数学期末试题）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
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B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一直线的两直线平行
2．（24-25 七年级下·吉林·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．如果
,
a
b b
c
=
=
，那么a
c
=
C．同位角相等，两直线平行
D．若
0
ab =
，则
0
a =
或
0
b =
3．（24-25 七年级下·广东汕头·期中）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线
的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．其中
真命题的个数是（ ）．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
4．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线AB ，CD被直线BC 所截，分别在
ABC
和
BCD
的内部
作射线BE 和射线CF ．现有以下三个条件：①
,
AB
BC CD
BC
⊥
⊥
；②1
2
= ；③BE
CF
∥
．若以①②为
题设，③为结论组成一个命题，请判断这个命题的真假，若为真命题，请说明理由；若为假命题，请举出
反例．
5．（24-25 七年级下·陕西安康·阶段练习）已知命题“如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
.”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如
果是假命题，举出一个反例．
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
(2)内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
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题型三：将命题改写为“如果......那么......”的形式
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和
结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)同角的余角相等．
2．（24-25 七年级下·陕西榆林·阶段练习）已知命题“异号两数相加和为零．”
(1)将该命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)判断该命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例．
3．（23-24 七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和
结论．
(1)有两个角为60的三角形是等边三角形；
(2)两个连续偶数相差2
4．（2024 七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
(3)等腰三角形的两底角相等．
5．（24-25 八年级上·广西贺州·期末）命题“内错角相等，两直线平行．”
(1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）．
题型四：举例说明命题的真假
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断命题“若a
b
，则
2
2
a
b
的真假，并证明．
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2．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断命题“对于所有的正整数n，代数式
2
3
7
n
n
−
+
的值是质数”的真假，
并证明．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例．
(1)两个锐角的和是锐角；
(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(3)如果
2
2
a
b
=
，那么a
b
=
．
4．（23-24 七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，
如果是假命题，举出个反例．
(1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
(2)同旁内角互补．
5．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一
反例．
①两个锐角的和是锐角；
②0 既不是正数，也不是负数．
（2）如图，已知钝角
AOB
，点D 在射线OB 上，画直线DE
OB
⊥
及DF
OA
⊥
，垂足为F ．
6．（24-25 八年级上·河北保定·阶段练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命
题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补；
(3)等角的余角相等．
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题型一：命题与平行线的性质与判定结合
1．（2025 七年级下·上海·专题练习）如图，已知点E 、F 分别在AB 、CD上，连接EC 、BF 交AD于点G 、
H ．有以下三个论断：①1
2
= ；②
B
C
=
，③AB
CD
∥
．
(1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①AD
CB
∥
；②
B
DCF
=
；③
BAD
BCD
=
．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题．
(1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式）
(2)请选择其中一个真命题进行论证．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线AB ，CD被直线BC 所截，分别在
ABC
和
BCD
的内部
作射线BE和射线CF ．现有以下三个条件：①
,
AB
BC CD
BC
⊥
⊥
；②1
2
= ；③BE
CF
∥
．
(1)请你以①②作为题设，③作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出这个命题；
(2)判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出理由；若为假命题，请举出反例．
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4．（24-25 七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互
相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知AD BF
∥
，AE
BC
∥
，AF
EC
，若
45
B
=
，
75
C
=
，将求
FAD
的过程填写完整．
解：
AD
BF
∥
，
B
ADC
=
．
AE
BC
∥
，
①
180
DAE
+
=
．
又
45
B
=
，可解得
DAE
=（ ② ）．
AE
BC
∥
，
180
C
E
+=
．
AF
EC
，
FAE
= ③ ．（④此处填推理的依据）
又
75
C
=
，可解得
FAE
=（ ⑤ ）
360
FAD
DAE
FAE
=
−
−
=（ ⑥ ）．
5．
（24-25 七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，
甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
，AC 与DE 交于点G．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：
A
D
=
；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学
相同，得到
A
D
∠
∠
，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由．
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6．
（24-25 七年级下·山东德州·阶段练习）如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，有下面三个选项，CE
AB
①
∥
；
A
B
=
②
；
CE
③
平分
ACD
．
(1)从①②③中选出两个作为题设，另一个作为结论，写出所有真命题；
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
7．（24-25 七年级下·吉林·阶段练习）【感知】如图，已知
A
C
=
，若AB
CD
∥
，则BC
AD
∥
．请补全证
明过程．
证明：
AB
CD
∥
（已知），
ABE
C
=
（___________）．
A
C
=
（已知），
ABE
=___________（等量代换），
BC
AD
∥
（___________）；
【延伸】若前提“
A
C
=
”不变，将题设中的“ AB
CD
∥
”与结论“ BC
AD
∥
”调换，命题是真命题还是假命
题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．
8．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形ABC 中，D ，E 是AB 上的点，F 是BC 上一点，G ，
H 是AC 上的点，FD
AB
⊥
．连接EF ，EH ，EG ．有下列三个条件：①EG
AB
⊥
；②1
2
= ；③EH
BC
∥
．
(1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真
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命题还是假命题；
(2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
题型二：命题与其他知识点综合
1．（24-25 九年级上·浙江金华·期末）对于一个任意的四位数M ，若M 的千位数字与个位数字之和等于百
位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为3 7
1 9
+
= +
，所以四
位数3197 是稳定数．
(1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
(3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边
形——筝形．
(1)请你给“筝形”下定义；
(2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系；
(3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形．
3．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请
你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：①
2
2
3
1
8 1
−
= ；②
2
2
5
3
8 2
−
=
；③
2
2
7
5
8 3
−
= ；……
(1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________；
(2)验证规律：设两个连续奇数为2
1 2
1
n
n
+
−
，
（其中n 为正整数），请验证它们的平方差是8 的倍数；
(3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8 的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”）
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4．（23-24 八年级上·河北廊坊·期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①
2
2
4
2
4 3
−
=
；
②
2
2
6
4
4 5
−
=
；
③
2
2
8
6
4 7
−
=
；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为2n ，2
2
n+
（n 为正整数），则它们的平方差是4 的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8 的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
5．（23-24 七年级下·北京·期中）对任意的实数m 有如下规定：用
m 表示不小于m 的最小整数，例如
5
3, 5
5,
1.3
1
2
=
−
=
= −
，请回答下列问题：
(1)①
0
1
x
x
−
：②
2022
2022
x
x
−
=
−
；③
3
3
x
x
=
④
x
y
x
y
+
=
+
；⑤若
x
a
= （a 为整数），
则
1
a
x
a
−
．以上五个命题中为真命题的是________（填序号）．
(2)关于x 的方程
1
2
1
x
x
−
=
+ 的解为________
6．（23-24 七年级下·北京·期中）对任意的实数m 有如下规定：用[ ]
m 表示不大于m 的最大整数，称为m 的
整数部分，用{ }
m 表示
[ ]
m
m
−
的值，称为m 的小数部分．例如：[2.4]
2,{2.4}
0.4,[4.2]
4,{4.2}
0.2
=
=
=
=
．请
回答下列问题：
(1)
3[ 10] = ______，
3
{ 10}= ______；
(2)当
0
x
时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①0
{ }
1
x
；②[
1]
[ ] 1
x
x
+
=
+ ；③{
1}
{ } 1
x
x
+
=
+ ；④若[ ]
x
a
=
（a 为整数），则
1
a
x
a
+ ．
(3)当
0
x
时，解关于x 的方程2[
1]
3
5
2{ }
x
x
x
+
+
=
−
．
7．（23-24 八年级上·河北沧州·阶段练习）定义：对于任意实数a ，b ，如果满足a
b
ab
+
=
，那么称a ，b 互
为“美好数”，点( , )
a b 为“美好点”．
(1)下列命题：①1.5 与3 互为“美好数”；②若点( , )
a b 为“美好点”，则点( , )
b a 也一定为“美好点”；③若点a 与
b 互为相反数，则( , )
a b 一定不是“美好点”；④存在与1 互为“美好数”的数．其中真命题是________（填序
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号）
(2)若( ,3)
a
为“美好点”，求a 的值．
(3)已知x ，y 是二元一次方程组
2
9
2
2
7
x
y
m
x
y
m
−
=
−
+
=
−
的解，请判断点( , )
x y 是否为“美好点”？若是，请求出m 的
值；若不是，请说明理由．
1．（24-25 七年级下·四川南充·期中）下列说法中：
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法：
①同位角相等，两直线平行；
②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三角形的一个外角等于两个内角的和；
⑤已知同一平面内
70
AOB
=
，
30
BOC
=
，则
100
AOC
=
．
正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（24-25 七年级下·陕西延安·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若
0
ab
，则
0
a b
+ <
”是假命题的反
例是（ ）
A．
1,
2
a
b
= −
= −
B．
1,
2
a
b
= −
=
C．
2,
1
a
b
= −
=
D．
1,
2
a
b
=
=
4．（24-25 七年级下·河北廊坊·阶段练习）命题：①若a
b
x a
c
x
+
=
+
=
,
，则b
c
=
；②互为相反数的两个有
理数的平方相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；④一对对顶角的角平分线在同一直线
上．对于以上命题有如下判断：I：①是真命题；II：只有一个假命题；III：②是真命题，④是假命题．其
中判断正确的是（ ）
A．I
B．II
C．I 和II
D．都正确
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5．（24-25 七年级下·山东济宁·阶段练习）下列命题中，其中真命题有（ ）个
（1）在同一平面内，如果直线a
b
b
c
⊥
⊥
，
，那么a
c
；（2）两条直线平行，同旁内角相等；（3）过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）直线外一点到这
条直线的垂线段叫做点到直线的距离；（6）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定
相等．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（24-25 七年级下·全国·单元测试）观察下列各式：
2
2
3
2
3
2
−
=
+
，
2
2
4
3
4
3
−
=
+
，
2
2
5
4
5
4
−
=
+
，，
用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填
“真”或“假”）．
7．（24-25 七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；
③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）．
8．（24-25 七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数m 的值说明命题“如果m 能被4 整除，那么它也能被
8整除”是假命题，这个数m 可以是 ．
9．（2024 八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c 在同一平面内，下列四条命题：
①如果a
b
∥，a
c
⊥
，那么b
c
⊥；②如果b
a
∥，c
a
∥，那么b
c
∥；③如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
⊥；
④如果b
a
⊥
，c
a
⊥
，那么b
c
∥．其中假命题的是 ．（填写序号）
10．（24-25 八年级上·全国·课后作业）如图，三角形ABC 中，D ，E 是边BC 上的两点，G 是边AB 上一点，
连接EG 并延长．交CA 的延长线于点F ．现有以下条件：①AD平分
BAC
；②EF
AD
∥
；③
AGF
F
=
．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
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11．
（24-25 七年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知AB
BC
⊥
，1
2
90
+=
，现有3 个条件：①
2
3
=
；
②
2
3
90
+
=
∠
∠
；③BE
DF
∥
．
(1)请在上述3 个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
______，结论是______；（填序号）
(2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程．
12．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，点、、
B
E
C 在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出
两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB
CD
∥
；②1
2
= ，
3=
4
；③AE
ED
⊥
．
(1)上述问题有哪几个真命题？
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
13．（24-25 八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分
线互相平行，那么这两条直线互相平行”．
(1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整．
已知：直线l 分别与AB ，CD交于点G ，E ，EF ，GH 分别平分______和______，且______．
求证：______；
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(2)判断这个命题的真假，并证明．
14．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分
内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
2
2
1
0
1
−
=
2
2
2
1
3
−
=
2
2
3
2
5
−
=
(1)将11写成两个正整数平方差的形式：__________ 11
=
；
(2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母n （
0
n
，且n 为整数）的等式表示上述的规律为：__________；
(3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）．
