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1.2 一定是直角三角形吗
课标要点
1. 掌握勾股定理的逆定理的内容，明确该定理是由边长关系判定三角形形状的核心依
据，与勾股定理（直角三角形推边长关系）互为逆定理。
2. 理解勾股数的定义并熟记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质，熟练记忆基础常用勾
股数，可快速用于解题判断。
3. 会用判定定理解决基础几何问题与实际应用问题，能结合图形、实际场景（距离、垂
直判定、图形形状判定），运用逆定理解决简单证明、计算、实际应用题。
4.区分勾股定理与勾股定理逆定理的因果关系，清晰辨析两个定理的使用场景。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握勾股定理的逆定理内容，能规范运用定理判定一个三角形是否为直角三角形。
2.牢记常见基础勾股数，掌握勾股数的倍数规律，能快速判断一组正整数是否为勾股数。
3.掌握判定直角三角形的标准解题步骤，会通过计算三边平方关系完成三角形形状判定。
难点：
1.准确找准斜边（最长边），区分勾股定理与逆定理，避免逻辑混淆。
2.根据题干条件，精准选择对应定理：已知直角用勾股定理，证直角用逆定理。
3.在含小数、分数边长，或边长含参数、几何图形拼接、实际生活场景的复杂题目中，灵
活运用逆定理判定直角三角形，结合线段计算、垂直证明、图形面积求解等综合解题。
勾股数的精准辨析
4.理解勾股数的核心前提：必须是正整数，小数、分数即使满足平方关系，也不属于勾股
数，这是选择、填空题高频易错难点。
第一章
勾股定理
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知识点
勾股定理的逆定理
概念：如果一个三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足等式a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角
形，边长c所对的角为直角.
随学随练
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．4，6，10
C．6，8，15
D．5，12，14
【答案】A
【详解】解：A、∵32 + 42 = 9 + 16 = 25，52 = 25，∴32 + 42 = 52，∴可以构成直角三角形，符合题意；
B、∵4 + 6 = 10，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵6 + 8 = 14 < 15，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵52 + 122 = 25 + 144 = 169，142 = 196，∴52 + 122 ≠142，∴不可以构成直角三角形，不符合题意.
2．下列各组边长组成的三角形，不是
．．直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．6，8，10
C．5，12，13
D．2，3，4
【答案】D
【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是
否为直角三角形．
【详解】A 选项：∵32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52，
∴ 该三角形是直角三角形，不符合题意；
B 选项：∵62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，
特别提醒
1）此定理是直角三角形的判定方法，用来证直角；勾股定理是性质，已知直角求边长，二者互为逆定
理.
2）必须先确定最长边，短边平方和只能与最长边平方对比.
易错提醒
1.不区分边长长短，随意拿任意两边平方和与第三边比较，导致判断出错。
2.因果倒置：已知三边证直角却套用勾股定理，逻辑书写错误。
教材延伸
拓展判定：①𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2⇒锐角三角形；②𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2⇒钝角三角形，可直接判断三角形类型。
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∴ 该三角形是直角三角形，不符合题意；
C 选项：∵52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，
∴ 该三角形是直角三角形，不符合题意；
D 选项：∵22 + 32 = 4 + 9 = 13，42 = 16，13 ≠16，
∴ 该三角形不是直角三角形，符合题意．
3．木工用三根木条围框架，长度分别为√2、√2、2，这个框架是_____三角形．
【答案】等腰直角
【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为√2，√2，2．
∵√2 = √2
∴该三角形是等腰三角形．
又∵(√2)
2 + (√2)
2 = 2 + 2 = 4，22 = 4，
∴(√2)
2 + (√2)
2 = 22．
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形．
4．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶= 1，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为______．
【答案】90°
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= √5，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶= 1，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5，𝐴𝐵2 = (√5)
2 = 5，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°
知识点
勾股数（重点）
勾股数的概念：能够满足等式a2 + b2 = c2的三个正整数，叫做一组勾股数。
特别提醒
1.三个数必须同时是正整数，小数、分数、根式组合不叫勾股数。
2.基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。
易错提醒
1.误将 6，8，10 这类倍数数组当成基础勾股数；或把 0.3，0.4，0.5 算作勾股数。
2.只验证等式成立，忽略 “正整数” 这一必备条件。
教材延伸
勾股数性质：一组勾股数同时乘同一个正整数k，得到的新数组仍然是勾股数。例：3,4,5 同乘2 得
6,8,10。
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随学随练
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．12，13，14
B．24，25，26
C．9，30，31
D．9，40，41
【答案】D
【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数.
本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可．
【详解】解：A：∵ 122 + 132 = 144 + 169 = 313，142 = 196，313 ≠196，
∴ 12，13，14 不是勾股数；
B：∵ 242 + 252 = 576 + 625 = 1201，262 = 676，1201 ≠676 ，
∴ 24，25，26 不是勾股数；
C：∵ 92 + 302 = 81 + 900 = 981，312 = 961，981 ≠961 ，
∴ 9，30，31 不是勾股数；
D：∵ 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681 = 412，
∴ 9，40，41 是勾股数．
2．若3、4、a 为勾股数，则a 的相反数的值为（ ）
A．−5
B．5
C．−5或−√7
D．5 或√7
【答案】A
【分析】根据勾股数定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此分a 是斜边、4 是斜边两种情况计
算，舍去不符合勾股数定义的结果，最后求a 的相反数即可．
【详解】解：∵勾股数是能构成直角三角形三边的正整数，
∴a 为正整数，分两种情况讨论：
当a 为斜边时，根据勾股定理得：
𝑎2 = 32 + 42 = 25．
∵𝑎> 0，
∴𝑎= 5，符合勾股数定义；
当4 为斜边时，根据勾股定理得：
𝑎2 = 42 −32 = 7，解得𝑎= √7．
∵√7不是正整数，不符合勾股数定义，舍去；
∴𝑎= 5，a 的相反数为−5，故选A．
3．若6，𝑎，10是勾股数，则𝑎的值是________．
【答案】
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【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为𝑎是最长边，10是最长边，利用勾股
定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当𝑎为最长边时，由勾股定理得，𝑎2 = 62 + 102 = 36 + 100 = 136
∵136不是完全平方数，𝑎不是正整数，不符合勾股数定义，舍去；
当10为最长边时，由勾股定理得 ，𝑎2 = 102 −62 = 100 −36 = 64
∵𝑎> 0
∴𝑎= √64 = 8，8是正整数，符合勾股数定义．
4．杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；
④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．
【答案】12， 35， 37
【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满
足勾股定理.
【详解】解：观察已知勾股数：
第①组：3，4，5
第②组：6，8，10
第③组：8，15，17
第④组：10，24，26
总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加2，因此第⑤组第一个数为10 + 2 = 12 ，
对从第②组开始的勾股数，设第一个数为2𝑘，可得第二个数为𝑘2 −1，第三个数为𝑘2 + 1，验证规律：
当𝑘= 3，对应第②组，2𝑘= 6，𝑘2 −1 = 8 ，𝑘2 + 1 = 10 ，符合，
当𝑘= 4，对应第③组，2𝑘= 8，𝑘2 −1 = 15 ，𝑘2 + 1 = 17 ，符合，
当𝑘= 5，对应第④组，2𝑘= 10，𝑘2 −1 = 24，𝑘2 + 1 = 26 ，符合，
因此第⑤组对应𝑘= 6，计算得：
2𝑘= 12，
𝑘2 −1 = 62 −1 = 35 ，
𝑘2 + 1 = 62 + 1 = 37 ，
验证：122 + 352 = 144 + 1225 = 1369 = 372，满足勾股数定义．
知识点
网格中利用逆定理判定直角三角形
定义：方格网格中，横向格数m、纵向格数n的线段，线段长度平方为m2 + n2；求出三角形三边平方，用逆
定理判断是否为直角三角形．
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随学随练
1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点𝐴，𝐵，𝐶构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
【答案】A
【详解】解：∵设正方形地砖边长为1，
∴𝐵𝐶2 = 82 + 12 = 65，
𝐴𝐶2 = 32 + 22 = 13，
𝐴𝐵2 = 62 + 42 = 52，
在△𝐴𝐵𝐶中，
∵𝐵𝐴2 + 𝐴𝐶2 = 52 + 13 = 65，𝐶𝐵2 = 65，
∴𝐵𝐴2 + 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
故选：A
2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，𝐴，𝐵，𝐶三点均在格点上，则∠𝐵𝐴𝐶的大小
是（ ）
特别提醒
网格解题优先计算三边平方，不用开方求边长，简化计算步骤.
易错提醒
1.数格子时横、竖格数数错，导致线段平方计算偏差。
2.分不清斜边，把较短线段平方当作c2代入公式。
教材延伸
网格中证明两线段垂直：两条线段作为三角形两边，结合第三条线段构成三角形，满足逆定理即可证垂
直。
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】D
【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= √22 + 42 = √20 = 2√5，
𝐴𝐶= √22 + 12 = √5，
𝐵𝐶= √32 + 42 = 5
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 = 25，
∴△𝐴𝐶𝐵是直角三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一
定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．熟记
勾股定理的内容是解题得关键．
3．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形
是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】根据勾股定理及其逆定理计算判断即可．
【详解】解：①中三角形三边的平方分别为9、13、10，由于9+10=19≠13，所以①不是直角三角形；
②中三角形三边的平方分别为5、20、25，由于5+20=25，所以②是直角三角形；
③中三角形三边的平方分别为8、10、10，由于8+10=18≠10，所以③不是直角三角形；
④中三角形三边的平方分别为8、5、9，由于8+5=13≠9，所以④不是直角三角形
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握在网格中判断直角三角形的方法是解答的关键．
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知识点
利用逆定理证明线段互相垂直
概念：在几何图形中，通过计算三角形三边长度，验证𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，证明三角形存在直角，进而推出两
条线段垂直。
随学随练
1．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 17，𝐵𝐶= 8，𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°．则∠𝐴𝐶𝐵（ ）
A．是锐角
B．是直角
C．是钝角
D．不确定大小
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c 满足𝑎2 +
𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得𝐴𝐶的长；再根据勾股定理逆定理判定∠𝐴𝐶𝐵= 90°即可．
【详解】解：∵𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 15，
∵152 + 82 = 172，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
故选：B
2．已知∠𝐵𝐴𝐷= 90°，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 13，𝐶𝐷= 12，连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的度数为______°．
【答案】
特别提醒
证明题书写格式完整，必须写出三边平方的计算过程，再下直角结论，不可跳步。
易错提醒
直接写边长相等就判定垂直，缺少平方计算的关键步骤，答题扣分。
教材延伸
常用于四边形、折叠图形、多边形内部垂直证明，是几何综合题基础工具。
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90
【分析】先使用勾股定理计算出𝐵𝐷= 5，再根据勾股定理的逆定理判断出∠𝐵𝐷𝐶= 90°．
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = √42 + 32 = 5，
∵𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 52 + 122 = 169 = 132 = 𝐵𝐶2，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°．
3．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐷= 4，𝐴𝐷= 6，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶．求证：𝐴𝐶⊥𝐶𝐷．
【答案】见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出𝐴𝐶2 = 20，进而得到𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，即可证
明△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐷= 90°，即可得出结论．
【详解】证明：在△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 22 + 42 = 20，
∵在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 20 + 42 = 36，𝐴𝐷2 = 62 = 36，
∴𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
∴ △𝐴𝐶𝐷为直角三角形，∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐶𝐷．
知识点
勾股逆定理实际生活应用
内容：生活中通过测量三段长度，利用逆定理检测墙角、门框、地基是否构成标准直角。
随学随练
1．如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知
特别提醒
实际应用题必须先构建几何模型，把文字条件转化为三角形三边长度再计算。
易错提醒
读题遗漏长度单位、看错线段对应三角形边长。
教材延伸
工程测量、行程问题（两人分岔行走）均会用到，是解答大题常考类型。
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快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于点A，B 处，且相距26 海里，如果
知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向航行？
【答案】慢船沿南偏西40°方向航行
【分析】根据三角形的三边长，可知𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，得∠𝐴𝐶𝐵= 90°，从而得出答案．
【详解】解：由题意知，𝐴𝐶= 24海里，𝐵𝐶= 10海里，𝐴𝐵= 26海里，
∵𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 242 + 102 = 676，𝐴𝐵2 = 262 = 676，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵快船沿北偏西50°方向航行，
∴慢船沿南偏西40°方向航行．
2．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地改造成校园劳动实践
基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，𝐴𝐷= 6米，𝐴𝐵= 8米，𝐵𝐶= 24米，
𝐶𝐷= 26米，∠𝐴= 90°．
(1)为方便分区管理，学校计划在𝐵、𝐷两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．
(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．
【答案】(1)至少需要10米的篱笆
(2)这块劳动实践基地的总面积为144平方米
【详解】（1）解：如图，连接𝐵𝐷，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴= 90°，
∵𝐴𝐷= 6，𝐴𝐵= 8，
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∴𝐵𝐷= √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = √62 + 82 = 10；
答：至少需要10 米的篱笆；
（2）解：∵𝐵𝐷= 10，𝐵𝐶= 24，𝐶𝐷= 26，
𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 102 + 242 = 676，𝐶𝐷2 = 262 = 676，
∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐵𝐶=
1
2 × 10 × 24 = 120，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷=
1
2 × 6 × 8 = 24，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 24 + 120 = 144．
答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米．
3．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路原有两个出口𝐴，𝐵，其中𝐴𝐵= 𝑀𝐴，
𝑀𝐵= 1.5km．由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一
条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.9km．
(1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路；
(2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少．
【答案】(1)是 (2)0.05km
【详解】（1）解：∵𝑀𝐵= 1.5，𝑀𝐶= 1.2，𝐵𝐶= 0.9，
∴𝑀𝐵2 = 1.52 = 2.25，𝑀𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 1.22 + 0.92 = 2.25，
∴𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶2 + 𝐵𝐶2．
∴△𝑀𝐶𝐵是直角三角形，且∠𝑀𝐶𝐵= 90°，
∴𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，
∴𝑀𝐶是村庄𝑀到公路距离最短的路；
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝑀𝐴，
∴𝐴𝐶= 𝑀𝐴−0.9．
由（1）可知𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，
∴∠𝑀𝐶𝐴= 90°，
∴𝑀𝐴2 = 𝐴𝐶2 + 𝑀𝐶2，
∴𝑀𝐴2 = (𝑀𝐴−0.9)2 + 1.22，解得𝑀𝐴= 1.25，
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∴𝑀𝐴−𝑀𝐶= 0.05(km)，
答：新修的小路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短0.05km．
拓展
几何直观素养内涵
借助数形结合思想，将几何图形问题转化为代数运算，通过边长的数量关系判断三角形形状，建立 “以
数判形” 的数学思维。打破仅依靠角度判断直角的局限，构建代数量化几何图形的思维模式，是初中数
形结合思想的重要基础，为后续几何综合题学习铺垫核心能力。
1．依据三角形三边平方关系，直接判定三角形类型（设 𝐜 为最长边）
{
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒直角三角形
𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2 ⇒锐角三角形
𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2 ⇒钝角三角形
2．网格图形运算
网格中横向格数为 m，纵向格数为 n，线段平方公式：l2 = m2 + n2，通过求出格点三角形三边的平方，即
可判定是否为直角三角形，无需开方运算。
3.能将工程测量、行程问题、检测垂直等生活实际场景，抽象为三角形几何模型，利用公式解决实际问
题。
活学活用
1．如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，取边𝐵𝐶的中点𝐸，连接𝐷𝐸并延长交𝐴𝐵的延长线于点𝐹．
(1)求证：△𝐶𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹；
(2)如图2，连接𝐴𝐸，当𝐴𝐸= 3，𝐷𝐸= 4，𝐴𝐷= 5时，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐹𝐵𝐸，𝐶𝐸= 𝐵𝐸，利用AAS
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即可证明△𝐶𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹；
（2）根据全等三角形的性质得出𝐷𝐸= 𝐸𝐹=4，𝑆△𝐶𝐸𝐷= 𝑆△𝐵𝐸𝐹，进而可得𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，根据勾股
定理的逆定理得出𝐴𝐸⊥𝐷𝐹，利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐹𝐵𝐸，
∵𝐸是边𝐵𝐶的中点，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐸，
在△𝐶𝐸𝐷和△𝐵𝐸𝐹中，{
∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐹𝐵𝐸
𝐶𝐸= 𝐵𝐸
，
∴△𝐶𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹(AAS)．
（2）解：∵△𝐶𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹=4，𝑆△𝐶𝐸𝐷= 𝑆△𝐵𝐸𝐹，
∴𝑆△𝐶𝐸𝐷+ 𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐷= 𝑆△𝐵𝐸𝐹+ 𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，
∵𝐴𝐸= 3，𝐷𝐸= 4，𝐴𝐷= 5，32 + 42 = 52，
∴𝐴𝐸2 + 𝐷𝐸2 = 𝐴𝐷2，
∴△𝐴𝐸𝐷是直角三角形，𝐴𝐸⊥𝐷𝐹，
∵𝐷𝐹= 𝐷𝐸+ 𝐸𝐹= 2𝐷𝐸= 2 × 4 = 8，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹=
𝐴𝐸⋅𝐷𝐹
2
=
3×8
2 = 12，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 12．
2．（1）仅用无刻度的直尺在图1 中Rt △𝐴𝐵𝐶斜边𝐴𝐶上找一点𝑃，使得𝑃到𝐴𝐵，𝐵𝐶的距离相等．
（2）仅用无刻度的直尺在图2 中作Rt △𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐷
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，矩形和正方形的性质，无刻度的直尺作图，熟练掌握以
上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）利用正方形的性质和角平分线的判定和性质，解答即可；
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（2）利用矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，解答
即可．
【详解】（1）解：如图1，
过点𝐵作𝐵点所在的两个方格的正方形的对角线并延长交𝐴𝐶于点𝑃，
∵𝐵𝑃刚好在边长为两个方格的正方形的对角线所在直线上，
∴𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝑃到𝐴𝐵，𝐵𝐶的距离相等，
∴点𝑃即为所求；
（2）解：如图2，连接𝐴𝐷，
由网格和勾股定理知，𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √32 + 42 = 5，
当𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶边为点𝑀时，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 3 × 4 =
1
2 𝐶𝑀× 𝐴𝐵+
1
2 𝐶𝑀× 𝐴𝐶=
1
2 𝐶𝑀× 5 +
1
2 𝐶𝑀× 3，
∴𝐶𝑀= 1.5，
∴在𝐵𝐶边上找一点𝐷到𝐶的距离为1.5即可，
由矩形的性质和网格知，𝐷为一个方格的中点，
∴此时𝐶𝐷= 1.5，
∴𝑀和𝐷重合，
∴此时𝐴𝐷即为所求作的角平分线．
拓展
逻辑推理素养内涵
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依据数学定义、定理进行严谨的演绎推理，明确因果关系、规范解题步骤、分类讨论全面，做到每一步推
导有理有据。重点培养学生严谨的推理逻辑与规范书写能力，是中考几何证明、解答题重点考查的核心素
养。
1.区分勾股定理与逆定理的互逆逻辑：
勾股定理（由形推数，已知直角求边长）：Rt△⇒𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；勾股定理逆定理（由数推形，已知边
长证直角）：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒Rt△
2.固定严谨推理流程：先将三边从小到大排序 𝑎< 𝑏< 𝑐，再计算、对比 𝑎2 + 𝑏2 与 𝑐2 的大小关系，
最后得出结论，杜绝逻辑倒置。
3.含参数题型分类推理（以三边 3、4、𝑥 为例）：若𝑥为最长边：32 + 42 = 𝑥2；若4为最长边：32 +
𝑥2 = 42
通过分类讨论，保证推理严谨、答案不重不漏。
活学活用
1．已知𝑎、𝑏、𝑐为直角三角形三边，且𝑐为斜边，ℎ为斜边上的高．
(1)下列说法正确的是_________．
A．𝑎2、𝑏2、𝑐2能组成三角形；B．√𝑎、√𝑏、√𝑐能组成直角三角形三边；
C．𝑎+ 𝑏、𝑐+ ℎ、ℎ能组成直角三角形三边；D．
1
𝑎2、
1
𝑏2、
1
𝑐2能组成直角三角形三边．
(2)请选择一个正确选项进行证明．
【答案】(1)C；
(2)见详解．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系证明即可．
【详解】（1）解：A、∵𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
，不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴不能组成三角形，错误；
B 、∵(√𝑎)
2 + (√𝑏)
2 = 𝑎+ 𝑏，(√𝑐)
2 = 𝑐，
由题意得𝑎+ 𝑏> 𝑐，
∴(√𝑎)
2 + (√𝑏)
2 > (√𝑐)
2
∴√𝑎、√𝑏、√𝑐不能组成直角三角形三边，错误；
C、∵𝑎、𝑏、𝑐为直角三角形三边，且𝑐为斜边，ℎ为斜边上的高，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
，且𝑎𝑏= 𝑐ℎ，
又∵(𝑎+ 𝑏)2 + ℎ2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 + ℎ2，
将𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
，𝑎𝑏= 𝑐ℎ，代入得：
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(𝑎+ 𝑏)2 + ℎ2 = 𝑐2 + 2𝑐ℎ+ ℎ2 = (𝑐+ ℎ)2，
∴根据勾股定理逆定理，𝑎+ 𝑏、𝑐+ ℎ、ℎ能组成直角三角形三边，正确；
D、∵(
1
𝑎2)
2
+ (
1
𝑏2)
2
=
𝑎4+𝑏4
𝑎4𝑏4 ，(
1
𝑐2)
2
=
1
𝑐4 =
1
(𝑎2+𝑏2)2，二者不相等，
同理证(
1
𝑎2)
2
+ (
1
𝑐2)
2
≠(
1
𝑏2)
2
，(
1
𝑏2)
2
+ (
1
𝑐2)
2
≠(
1
𝑎2)
2
，可知均不满足勾股定理逆定理，
∴
1
𝑎2、
1
𝑏2、
1
𝑐2不能组成直角三角形三边，错误；
（2）证明C 选项：
∵𝑎、𝑏、𝑐为直角三角形三边，且𝑐为斜边，ℎ为斜边上的高，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
，且𝑎𝑏= 𝑐ℎ，
又∵(𝑎+ 𝑏)2 + ℎ2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 + ℎ2，
将𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
，𝑎𝑏= 𝑐ℎ，代入得：(𝑎+ 𝑏)2 + ℎ2 = 𝑐2 + 2𝑐ℎ+ ℎ2 = (𝑐+ ℎ)2，
∴根据勾股定理逆定理，𝑎+ 𝑏、𝑐+ ℎ、ℎ能组成直角三角形三边．
2．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图
．．．．．．．，并将证明
过程补充完整．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，且𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
求证：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
证明：作∠𝑀𝐶′𝑁= 90°，在𝐶′𝑀上截取𝐶′𝐵′ = 𝑎，𝐶′𝑁上截取𝐶′𝐴′ = 𝑏，连接𝐴′𝐵′．
∴𝐴′𝐵′2 = 𝐵′𝐶′2 + 𝐴′𝐶′2（________）（填推理的依据），
即𝐴′𝐵′2 = 𝑎2 + 𝑏2．
∵________（已知），
∴𝐴′𝐵′ = 𝑐．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，
∵𝐵𝐶= 𝑎= 𝐵′𝐶′，𝐴𝐶= 𝑏= 𝐴′𝐶′，________，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′（________）（填推理的依据）．
∴∠𝐶= ∠𝐶′ = 90°，即△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【答案】如下
【分析】先作一个直角△𝐴′𝐵′𝐶′，使其两条直角边与已知△𝐴𝐵𝐶的两边对应相等，利用勾股定理算出新三
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角形斜边长度等于𝑐，再通过SSS证明两个三角形全等，从而推出△𝐴𝐵𝐶有直角，完成逆定理证明．
【详解】解：如图
勾股定理；
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
𝐴𝐵= 𝑐= 𝐴′𝐵′；
SSS．
题型
判断能否构成直角三角形
▌例1 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4
B．√3，2，√5
C．4，5，√41
D．12，13，14
【答案】C
【分析】若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项验证即可．
【详解】解：选项A．∵22 + 32 = 13，42 = 16，13 ≠16，∴不能构成直角三角形；
选项B．∵(√3)
2 + 22 = 3 + 4 = 7，(√5)
2 = 5，7 ≠5，∴不能构成直角三角形；
选项C．∵42 + 52 = 16 + 25 = 41，(√41)
2 = 41，∴42 + 52 = (√41)
2，能构成直角三角形；
选项D．∵122 + 132 = 144 + 169 = 313，142 = 196，313 ≠196，∴不能构成直角三角形．
▌对点练1-1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13
B．7，24，25
C．6，8，10
D．10，15，20
解题贴士
先将三角形三边长度从小到大排序确定最长边，分别计算两条较短边长的平方之和与最长边的平方，依
据公式a2 + b2 = c2是否成立判定直角三角形，若a2 + b2 > c2为锐角三角形，a2 + b2 < c2则为钝角三角
形，全程仅对比平方数值，不随意组合边长运算.
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【答案】D
【详解】解：A．最长边为13，∵52 + 122 = 25 + 144 = 169，132 = 169，∴52 + 122 = 132，能组成直
角三角形，选项不符合要求；
B．最长边为25，∵72 + 242 = 49 + 576 = 625，252 = 625，∴72 + 242 = 252，能组成直角三角形，选
项不符合要求；
C．最长边为10，∵62 + 82 = 36 + 64 = 100，102 = 100，∴62 + 82 = 102，能组成直角三角形，选项不
符合要求；
D．最长边为20，∵102 + 152 = 100 + 225 = 325，202 = 400，325 ≠400，∴102 + 152 ≠202，不能组
成直角三角形，选项符合要求．
▌对点练1-2．由线段a、b、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．𝑎= 9 𝑏= 40 𝑐= 41
B．𝑎= 5 𝑏= 12 𝑐= 13
C．𝑎= 8 𝑏= 15 𝑐=17
D．𝑎= 9 𝑏= 17 𝑐= 19
【答案】D
【分析】通过验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合条
件的选项即可．
【详解】解：选项A，最长边为𝑐= 41，
∵92 + 402 = 81 + 1600 = 1681，412 = 1681，∴92 + 402 = 412，是直角三角形；
选项B，最长边为𝑐= 13，
∵52 + 122 = 25 + 144 = 169，132 = 169，∴52 + 122 = 132，是直角三角形；
选项C，最长边为𝑐= 17，
∵82 + 152 = 64 + 225 = 289，172 = 289，∴82 + 152 = 172，是直角三角形；
选项D，最长边为𝑐= 19，
∵92 + 172 = 81 + 289 = 370，192 = 361，∴92 + 172 ≠192，不是直角三角形．
题型
勾股数问题
▌例1 勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．√5，2，4
C．3，3，6
D．5，12，13
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义，需要同时满足两个条件：三个数都是正整数，两个较小数的平方和等于最大
解题贴士
严格遵循勾股数必须是正整数、满足a2 + b2 = c2两大条件快速筛选，直接排除小数、分数、无理数形式
的数组，利用 3、4、5；5、12、13 等基础勾股数的整数倍数仍为勾股数的规律快速解题.
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数的平方． 据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：对选项A：12 + 22 = 1 + 4 = 5，32 = 9，5 ≠9，因此A 不符合要求．
对选项B：√5不是正整数，因此B 不符合要求．
对选项C：32 + 32 = 9 + 9 = 18，62 = 36，18 ≠36，因此C 不符合要求．
对选项D：5，12，13都是正整数，且52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，满足定义，因此D 是勾股数．
▌对点练1-1 手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组
纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．72，242，252 B．7，24，26
C．0.7，2.4，2.5
D．14，48，50
【答案】D
【分析】勾股数是指满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2（𝑐为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A：(72)2 + (242)2 = 334177 ≠(252)2，故A 不满足勾股数的定义；
对于选项B：72 + 242 = 625 ≠262，故B 不满足勾股数的定义；
对于选项C：0.7，2.4，2.5都不是正整数，故C 不满足勾股数的定义；
对于选项D：142 + 482 = 2500 = 502，且14，48，50都是正整数，满足勾股数的定义，故D 正确．
▌对点练1-2 定义：如果一个正整数m 能表示成两个不同的正整数a 和b 的平方和，即𝑚= 𝑎2 + 𝑏2，那么
称m 为广义勾股数．给出下面四个结论：①13不是广义勾股数；②178是广义勾股数；③广义勾股数的
2 倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题
目的定义逐项判断即可．
【详解】解：①∵13 = 22 + 32 ，其中2 和3 是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义，
∴13是广义勾股数，故①错误．
②∵ 178 = 32 + 132 ，其中3 和13是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义，
∴178是广义勾股数，故②正确．
③设m 是广义勾股数，且 𝑚= 𝑎2 + 𝑏2(a、b 为不同的正整数)，
则 2𝑚= 2(𝑎2 + 𝑏2) = (𝑎+ 𝑏)2 + (𝑎−𝑏)2，
∵a、b 是不同的正整数，
∴𝑎+ 𝑏和𝑎−𝑏也是正整数，且𝑎+ 𝑏≠𝑎−𝑏，满足广义勾股数的定义，
∴广义勾股数的2 倍是广义勾股数，故③正确．
④例如 5 = 12 + 22, 10 = 12 + 32它们都是广义勾股数， 5 + 10 = 15
但15无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义，
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∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误．
综上，正确的结论有②③，共2 个，
故选：B．
题型
网格中直角三角形问题
▌例1 如图，在5 × 5的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列
选项中，是直角三角形的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐴𝐷𝐶
D．△𝐴𝐵𝐷
【答案】B
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，
然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．
【详解】解：由网格特点，𝐴𝐵2 = 22 + 32 = 13，𝐵𝐶2 = 12 + 22 = 5，𝐶𝐷2 = 12 + 22 = 5，𝐴𝐷2 = 12 +
22 = 5，𝐴𝐶2 = 42 = 16，𝐵𝐷2 = 32 + 12 = 10
A. △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 ≠𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2，则△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故该选项不符合题意；
B. △𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷2 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2，则△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，故该选项符合题意；
C. △𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐶2 ≠𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2，则△𝐴𝐷𝐶不是直角三角形，故该选项不符合题意；
D. △𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵2 ≠𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2，则△𝐴𝐵𝐷不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
▌对点练1-1 如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角
形中，不是直角三角形的是（ ）
解题贴士
借助网格线段平方公式l2 = m2 + n2（m、n分别为横向、纵向格数）计算三角形三边平方值，全程不开
根号简化计算，选取平方数值最大的边作为假想斜边，验证两较小平方之和是否等于最大平方，以此确
定是否为直角三角形.
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，那么这
个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解： A、如图：
∵𝐴𝐶2 = 12 + 32 = 10，𝐵𝐶2 = 12 + 22 = 5，𝐴𝐵2 = 12 + 42 = 17，
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
∵𝐴𝐶2 = 22 + 42 = 20，𝐵𝐶2 = 12 + 22 = 5，𝐴𝐵2 = 32 + 42 = 25，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：
∵𝐴𝐵2 = 22 + 22 = 8，𝐴𝐶2 = 22 + 22 = 8，𝐵𝐶2 = 16，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
∵𝐴𝐶2 = 12 + 32 = 10，𝐵𝐶2 = 12 + 32 = 10，𝐴𝐵2 = 22 + 42 = 20，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
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▌对点练1-2 如图，在6×4 的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E 均在格点
上．则∠ABC﹣∠DCE＝（ ）
A．30°
B．42°
C．45°
D．50°
【答案】C
【分析】在A 的右边距离A 点1 个单位的网格上取一点F，在点F 下方1 个单位处取一点G，连接AF，
FG，BG，CG，DF，证明𝛥𝐶𝐸𝐷≅𝛥𝐵𝐹𝐺得∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐺𝐵𝐹，从而得∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐺𝐵𝐶，再证明𝛥𝐺𝐵𝐶
是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】解：在A 的右边距离A 点1 个单位的网格上取一点F，在点F 下方1 个单位处取一点G，连接
AF，FG，BG，CG，DF，
∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD=√10
∴𝛥𝐶𝐸𝐷≅𝛥𝐵𝐹𝐺
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐺𝐵𝐹
∴∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐺𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐶
在𝛥𝐺𝐵𝐶中，𝐺𝐶= 𝐵𝐶= √5，𝐵𝐺= √10
∴𝐺𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐺2
∴𝛥𝐺𝐵𝐶是等腰直角三角形，且∠𝐺𝐶𝐵= 90°
∴∠𝐶𝐺𝐵= ∠𝐺𝐵𝐶= 45°
∴∠𝐴𝐵𝐶﹣∠𝐷𝐶𝐸＝45°
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证
明∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐺𝐵𝐶是解答此题的关键．
题型
利用勾股定理的逆定理求线段长
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▌例1 一个三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则这个三角形最长边上的高是（ ）cm
A．4cm
B．3cm
C．5cm
D．4.8cm
【答案】D
【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形
面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高．
【详解】解：∵62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，
∴该三角形是直角三角形，最长边10cm是斜边，
设最长边上的高为ℎcm，
∵ 三角形面积可表示为
1
2 × 6 × 8，也可表示为
1
2 × 10 × ℎ，
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10 × ℎ，
解得ℎ= 4.8．
▌对点练1-1 如图，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 5，P 是线段𝐴𝐶上一点，连接𝑃𝐵，则𝑃𝐵的长不可能
．．．是（ ）
A．3.5
B．2.5
C．2
D．3
【答案】C
【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高𝐵𝐷．根据垂线段最短
可知，当P 与D 重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 5，
∴𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 32 + 42 = 52 = 𝐴𝐶2，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
过点B 作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，
则𝐵𝐷=
𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
3×4
5 = 2.4，
解题贴士
先根据已知边长判定三角形为直角三角形，确定直角对应的斜边，再套用勾股公式a2 + b2 = c2变形a =
√c2 −b2计算未知线段长度，题目未指明斜边时分情况讨论最长边，舍去边长负数结果.
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∴𝑃𝐵≥𝑃𝐷= 2.4，
故选C．
▌对点练1-2 一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足|𝑎−6| + √𝑏−8 + (𝑐−10)2 = 0，则这个三角
形最短边上的高为______ ．
【答案】8
【分析】利用非负数的性质求出a，b，c 的值，证明△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，再求出斜边上的高即可．
【详解】解：∵|𝑎−8| + √𝑏−6 + （𝑐−10）
2 = 0，
又∵|𝑎−8| ≥0，√𝑏−6 ≥0，（𝑐−10）
2 ≥0，
∴𝑎−8 = 0，𝑏−6 = 0，𝑐−10 = 0，
∴𝑎= 8，𝑏= 6，𝑐= 10，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴这个三角形最短边上的高为8．
故答案为：8．
▌对点练1-3 如图，点𝐶为直线𝑙上的一个动点，𝐴𝐷⊥𝑙于𝐷点，𝐵𝐸⊥𝑙于𝐸点，𝐴𝐷= 𝐷𝐸= 8，𝐵𝐸= 2，当
𝐶𝐷长为______ 时，△𝐴𝐵𝐶 为直角三角形．
【答案】6或4或
13
2
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作𝐵𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，根据
矩形的性质得到𝐵𝐹= 𝐷𝐸= 8，𝐷𝐹= 𝐵𝐸= 2，根据勾股定理用𝐶𝐷表示出𝐴𝐶、𝐵𝐶，分类讨论，根据勾股
定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作𝐵𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，如图：
则四边形𝐷𝐸𝐵𝐹为长方形，
∴𝐵𝐹= 𝐷𝐸= 8，𝐷𝐹= 𝐵𝐸= 2，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷−𝐷𝐹= 6，
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由勾股定理得，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐹2 + 𝐵𝐹2 = 62 + 82 = 100，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 64 + 𝐶𝐷2，
𝐵𝐶2 = (𝐶𝐷+ 𝐷𝐸)2 + 𝐵𝐸2 = (𝐶𝐷+ 8)2 + 4 = 𝐶𝐷2 + 16𝐶𝐷+ 64 + 4，
当∠𝐵𝐴𝐶= 90°时，𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
即100 + 64 + 𝐶𝐷2 = 𝐶𝐷2 + 16𝐶𝐷+ 64 + 4，
16𝐶𝐷= 96，
解得，𝐶𝐷= 6；
当∠𝐴𝐵𝐶= 90°时，如图：作𝐵𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻，
由勾股定理得，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2 = 62 + 82 = 100，𝐴𝐶2 = 64 + 𝐶𝐷2，
𝐵𝐶2 = (𝐷𝐸−𝐶𝐷)2 + 𝐵𝐸2 = (8 −𝐶𝐷)2 + 4 = 𝐶𝐷2 −16𝐶𝐷+ 64 + 4，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2，
即64 + 𝐶𝐷2 = 100 + 𝐶𝐷2 −16𝐶𝐷+ 64 + 4，
16𝐶𝐷= 104，
解得：𝐶𝐷=
13
2 ；
当∠𝐴𝐶𝐵= 90°时，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2
则100 = 64 + 𝐶𝐷2 + 𝐶𝐷2 −16𝐶𝐷+ 64 + 4，
解得：𝐶𝐷= 4，
综上：𝐶𝐷的长为：6或4或
13
2 ．
故答案为：6或4或
13
2 ．
题型
与勾股定理的逆定理有关的角度问题
▌例1 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 17，𝐵𝐶= 8，𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°．则∠𝐴𝐶𝐵=（ ）
解题贴士
通过边长平方关系证明三角形存在直角，直接锁定 90° 特殊角，结合三角形内角和、互余角度关系，
推导其余所求角的度数，把边长的数量关系转化为角度几何关系.
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A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出𝐴𝐶= 15，再结合勾股定理逆定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 90°即可．
【详解】解：∵𝐶𝐷= 12，𝐴𝐷= 9，∠𝐷= 90°，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 15，
∵𝐴𝐵= 17，𝐵𝐶= 8，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 152 + 82 = 289，𝐴𝐵2 = 172 = 289，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
▌对点练1-1 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 1，𝐶𝐷= 3，则∠𝐵的度数为
（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．145°
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键．
连接𝐵𝐷，可求∠𝐴𝐵𝐷= 45°，𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = 8，再由𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2，可得△𝐵𝐶𝐷是直角三角
形，即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
∵∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 45°，𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 = 8，
∵ 𝐵𝐶= 1，𝐶𝐷= 3，
∴𝐵𝐶2 = 1，𝐶𝐷2 = 9，
∴𝐵𝐷2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形，∠𝐷𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 135°．
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故选：C．
▌对点练1-2 如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB 的度数是
（ ）．
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
【答案】D
【分析】将Δ𝐵𝑃𝐶绕点𝐵逆时针旋转60°得Δ𝐵𝐸𝐴，根据旋转的性质得𝐵𝐸= 𝐵𝑃= 4，𝐴𝐸= 𝑃𝐶= 5，∠𝑃𝐵𝐸=
60°，则Δ𝐵𝑃𝐸为等边三角形，得到𝑃𝐸= 𝑃𝐵= 4，∠𝐵𝑃𝐸= 60°，在Δ𝐴𝐸𝑃中，𝐴𝐸= 5，𝐴𝑃= 3，𝑃𝐸= 4，
根据勾股定理的逆定理可得到Δ𝐴𝑃𝐸为直角三角形，且∠𝐴𝑃𝐸= 90°，即可得到∠𝐴𝑃𝐵的度数．
【详解】解：∵Δ𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐶，
可将Δ𝐵𝑃𝐶绕点𝐵逆时针旋转60°得Δ𝐵𝐸𝐴，
如图，连接𝐸𝑃，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝑃= 4，𝐴𝐸= 𝑃𝐶= 5，∠𝑃𝐵𝐸= 60°，
∴Δ𝐵𝑃𝐸为等边三角形，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐵= 4，∠𝐵𝑃𝐸= 60°，
在Δ𝐴𝐸𝑃中，𝐴𝐸= 5，𝐴𝑃= 3，𝑃𝐸= 4，
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∴𝐴𝐸2 = 𝑃𝐸2 + 𝑃𝐴2，
∴Δ𝐴𝑃𝐸为直角三角形，且∠𝐴𝑃𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝑃𝐵= 90° + 60° = 150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋
转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
▌对点练1-338．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 2，𝐵𝐷= 1，𝐶𝐷= √3，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为
____________．
【答案】90°
【分析】由勾股定理的逆定理得到∠𝐶𝐷𝐵= 90°，则△𝐴𝐷𝐶为直角三角形，由勾股定理计算出𝐴𝐶，得出
𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，从而得到结论．
【详解】解：∵ 𝐵𝐶= 2，𝐵𝐷= 1，𝐶𝐷= √3，
∴𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 1 + 3 = 4 = 𝐵𝐶2，
∴△𝐶𝐷𝐵是直角三角形，∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= 90°．
∵𝐴𝐵= 4，𝐵𝐷= 1，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵−𝐵𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = √32 + (√3)2 = 2√3，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 12 + 4 = 16 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
故答案为：90°．
题型
利用勾股定理的逆定理求面积
▌例1 如图，公园里有一块草坪，已知𝐴𝐵= 3米，𝐵𝐶= 4米，𝐶𝐷= 12米，𝐷𝐴= 13米，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，这块
解题贴士
先用逆定理确定直角三角形的两条互相垂直直角边，以两条直角边作为底和高，套用面积公式S =
1
2 ab
直接计算面积，不规则图形可拆分为多个三角形，分别判定直角后分段算面积再求和.
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草坪的面积是（ ）
A．24平方米
B．36平方米
C．48平方米
D．72平方米
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出𝐴𝐶= 5，再根据勾股定理的逆定理得到∠𝐴𝐶𝐷= 90°，最后根据草坪的面积=
𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，即可求解．
【详解】解：∵ 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3米，𝐵𝐶= 4米，
∴ 𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √32 + 42 = 5米，
∵ 𝐶𝐷= 12米，𝐷𝐴= 13米，
∴ 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 52 + 122 = 169 = 132 = 𝐴𝐷2，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴这块草坪的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵· 𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶· 𝐶𝐷=
1
2 × 3 × 4 +
1
2 × 5 × 12 = 36平方米，
故选：B．
▌对点练1-1 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 9 ，𝐵𝐶= 12 ，𝐶𝐷= 8，𝐴𝐷= 17，则四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（ ）
A．108
B．114
C．122
D．158
【答案】B
【分析】连接𝐴𝐶，勾股定理求出𝐴𝐶的长，勾股定理逆定理得到△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，再利用分割法求出
四边形的面积即可．
【详解】解：连接𝐴𝐶，
∵∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 9 ，𝐵𝐶= 12 ，
∴𝐴𝐶= √92 + 122 = 15，
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∵𝐶𝐷2 + 𝐴𝐶2 = 82 + 152 = 172 = 𝐴𝐷2，
∴△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，且∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 9 × 12 +
1
2 × 8 × 15 = 114．
▌对点练1-2 如图，在△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐷= 15，𝐴𝐶= 12，𝐷𝐶= 9，B 是𝐶𝐷延长线上的一点，连接𝐴𝐵．若
𝐴𝐵= 20，则△𝐴𝐵𝐷的面积为____________．
【答案】42
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
先用勾股定理逆定理证明△𝐴𝐷𝐶是直角三角形，且∠𝐶= 90°.再由勾股定理求出𝐵𝐶的长，得到𝐵𝐷的长，利
用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】解：在△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐷= 15，𝐴𝐶= 12，𝐷𝐶= 9，
∴𝐴𝐶2 + 𝐷𝐶2 = 122 + 92 = 152 = 𝐴𝐷2，即𝐴𝐶2 + 𝐷𝐶2 = 𝐴𝐷2，
∴△𝐴𝐷𝐶是直角三角形，且∠𝐶= 90°.
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2，即𝐵𝐶2 + 122 = 202，
解得𝐵𝐶= 16（负值已舍去），
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐷𝐶= 16 −9 = 7，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积为
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐶=
1
2 × 7 × 12 = 42
故答案为：42
▌对点练1-3 如图△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 13，𝐴𝐶= 5，𝐴𝐷= 6，则△𝐴𝐵𝐶的面积是______．
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐴𝐷= 𝐷𝐸，连接
CE，得到𝐴𝐸= 2𝐴𝐷= 12，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，得到𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 13，进而证明∠𝐶𝐴𝐸= 90°，即可求出
△ABC 面积．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐴𝐷= 𝐷𝐸，连接CE，
∴𝐴𝐸= 2𝐴𝐷= 12，
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∴在△𝐴𝐵𝐷和△𝐸𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐷= 𝐸𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐶𝐷，
∴𝐸𝐶= 𝐴𝐵= 13，
∵𝐴𝐶= 5，𝐴𝐸= 12，
∴𝐴𝐶2 + 𝐴𝐸2 = 𝐸𝐶2，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐸𝐷𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸 =
1
2 ⋅𝐴𝐶⋅𝐴𝐸= 30．
故答案为：30
题型7 与勾股定理的逆定理拓展的相关问题
▌例1 已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过
最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
解题贴士
综合折叠、动点、多图形组合等条件，先依托折叠对应边相等、动点距离表达式等条件表示三角形三边，
再使用逆定理建立方程求解参数、证明垂直关系，灵活结合前一问结论当作已知条件逐层推导综合问题
答案.
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∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角
三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形
外部，一条高在内部．
▌对点练1-1 已知：𝑎= 𝑛2 + 1，𝑏= 2𝑛，𝑐= 𝑛2 −1．
(1)当𝑛= 299时，𝑎+ 𝑏的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当𝑛= 4时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1 的
整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)9 × 104
(2)60
(3)正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理
是解题的关键．
（1）根据题意可得𝑎+ 𝑏= (𝑛2 + 1 + 2𝑛) = (𝑛+ 1)2，把𝑛= 299代入计算，并应用科学记数法表示方法
表示即可；
（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且𝑎是斜边，再利用三角形的面积公式计算即
可；
（3）先计算𝑏2 + 𝑐2 = (2𝑛)2 + (𝑛2 −1)2，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】（1）解：𝑎+ 𝑏= 𝑛2 + 1 + 2𝑛= (𝑛+ 1)2，
当𝑛= 299时，
𝑎+ 𝑏= (299 + 1)2 = 3002 = 90000 = 9 × 104；
故答案为：9 × 104；
（2）解：∵𝑎= 𝑛2 + 1，𝑏= 2𝑛，𝑐= 𝑛2 −1，
当𝑛= 4时，𝑎= 42 + 1 = 17，𝑏= 2 × 4 = 8，𝑐= 42 −1 = 15，
∴𝑏2 + 𝑐2 = 289 = 𝑎2，
∴这个三角形是直角三角形，且𝑎是斜边，
∴这个三角形的面积是
1
2 × 8 × 15 = 60，
故答案为：60；
（3）解：小明的发现正确，理由如下：
∵𝑏2 + 𝑐2 = (2𝑛)2 + (𝑛2 −1)2 = 4𝑛2 + (𝑛2)2 −2𝑛2 + 1 = (𝑛2 + 1)2 = 𝑎2，
∴𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2，
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∴当𝑛取大于1 的整数时，𝑎、𝑏、𝑐为一组勾股数．
▌对点练1-2 阅读下列内容：设𝑎，𝑏，𝑐是一个三角形的三条边的长，且𝑎最大，我们可以利用𝑎，𝑏，𝑐之
间的关系来判断这个三角形的形状：①若𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2，则该三角形是直角三角形；②若𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2，
则该三角形是钝角三角形；③若𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长
分别是4，5，6，则最长边是6，62 = 36 < 42 + 52，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，𝑥，且这个三角形是直角三角形，则𝑥的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长𝑎= √𝑥2 + 3𝑧2，𝑏= √𝑥−𝑦2，𝑐= √2𝑦−
9
2，其中𝑎是最长边长，则该三角形
是__________三角形．
【答案】 锐角三角形 13或√119 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x 的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x 为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12 是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=√119，
综上所述：x=13 或√119．
故答案为：13 或√119；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+
9
2=(x-
1
2)2+(y-1)2+3z2+
13
4 ＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
▌对点练1-3 若正整数a，b，c 满足方程𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，则称这一组正整数(𝑎, 𝑏, 𝑐)为“商高数”．下面列举5
组“商高数”：(3,4,5)，(5,12,13)，(6,8,10)，(7,24,25)，(12,16,20)，注意这5 组“商高数”的结构有如下规
律：
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{
4 = 2 × 2 × 1,
3 = 22 −12,
5 = 22 + 12;
{
12 = 2 × 3 × 2,
5 = 32 −22,
13 = 32 + 22;
{
6 = 2 × 3 × 1,
8 = 32 −12,
10 = 32 + 12;
{
24 = 2 × 4 × 3,
7 = 42 −32,
25 = 42 + 32;
{
16 = 2 × 4 × 2,
12 = 42 −22,
20 = 42 + 22．
根据以上规律，回答以下问题：
(1)写出各数都大于30 的两组“商高数”；
(2)用两个正整数𝑚, 𝑛(𝑚> 𝑛)表示一组“商高数”，并证明你的结论．
【答案】(1)两组数为：(42,40,58) (48,55,73)
(2)“商高数”可表示为由2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2三个数构成的数组，证明见解析
【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数𝑚> 𝑛，则“商高数”可表示为由2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2三个
数构成的数组，取适当的值代入即可；
（2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可.
【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数𝑚> 𝑛，则“商高数”可表示为由2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2
三个数构成的数组，通过选择合适的𝑚, 𝑛,使用2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2均大于30；
第一组：取𝑚= 7, 𝑛= 3，𝑎= 2 × 7 × 3 = 42,𝑏= 72 −32 = 40, 𝑐= 72 + 32 = 58,即(42,40,58).
第二组：取𝑚= 8, 𝑛= 3，𝑎= 2 × 8 × 3 = 48,𝑏= 82 −32 = 55, 𝑐= 82 + 32 = 73,即(48,55,73).
（2）解：用两个正整数𝑚> 𝑛，则“商高数”可表示为由2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2三个数构成的数组，
设𝑎= 2𝑚𝑛, 𝑏= 𝑚2 −𝑛2, 𝑐= 𝑚2 + 𝑛2，
证明：𝑎2 + 𝑏2 = (2𝑚𝑛)2 + (𝑚2 −𝑛2)2，
= 4𝑚2𝑛2 + 𝑚4 −2𝑚2𝑛2 + 𝑛4，
= 𝑚4 + 2𝑚2𝑛2 + 𝑛4，
= (𝑚2 + 𝑛2)2.
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.
即：“商高数”可表示为由2𝑚𝑛, 𝑚2 −𝑛2, 𝑚2 + 𝑛2三个数构成的数组”．
基础通关
1．下列四组数据中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13
B．0.3，0.4，0.5
C．5，6，7
D．1，√2，√3
【答案】A
【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，
据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：对于选项A，5，12，13 都是正整数，且52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132，∴是勾股数；
对于选项B，0.3，0.4，0.5 都不是正整数，∴不是勾股数；
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对于选项C，52 + 62 = 25 + 36 = 61，72 = 49，61 ≠49，∴不是勾股数；
对于选项D，√2，√3不是正整数，∴不是勾股数．
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5
B．1，2，√6
C．6，7，8
D．7，12，13
【答案】A
【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，先确定每组的最大边，再计算两条较小边的平方和，验证是否
等于最大边的平方，即可得出结论．
【详解】解：对于选项A，三个数为3，4，5，最大边为5，∵32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52，∴这组数能作
为直角三角形的三边长；
对于选项B，最大边为√6，∵12 + 22 = 1 + 4 = 5，(√6)2 = 6，5 ≠6，∴这组数不能作为直角三角形的三
边长；
对于选项C，最大边为8，∵62 + 72 = 36 + 49 = 85，82 = 64，85 ≠64，∴这组数不能作为直角三角形的
三边长；
对于选项D，最大边为13，∵72 + 122 = 49 + 144 = 193，132 = 169，193 ≠169，∴这组数不能作为直
角三角形的三边长．
3．在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 −𝐴𝐶2 = 0，则下列结论正确的是（ ）
A．∠𝐴= 90°
B．∠𝐵= 90°
C．∠𝐶= 90°
D．∠𝐴= 60°
【答案】B
【分析】先对已知等式变形，再根据勾股定理逆定理判断直角位置即可得到结论．
【详解】解：∵ 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 −𝐴𝐶2 = 0，
∴ 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2，
根据勾股定理的逆定理，可知𝐴𝐶为斜边，斜边𝐴𝐶所对的角为∠𝐵，
∴ ∠𝐵= 90°．
4．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022 倍，得到的新三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．形状不能确定
【答案】B
【分析】原直角三角形三边满足勾股定理，三边扩大相同倍数后，仍满足勾股定理，即可判断形状．
【详解】解：设原直角三角形的两直角边长为𝑎、𝑏，斜边长为𝑐，
由勾股定理得𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
三边扩大到原来的2022 倍后，新三角形三边长为2022𝑎、2022𝑏、2022𝑐，
∵(2022𝑎)2 + (2022𝑏)2 = 20222 × (𝑎2 + 𝑏2) = 20222 × 𝑐2 = (2022𝑐)2，
∴新三角形满足勾股定理的逆定理，新三角形为直角三角形．
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5．已知△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶的形状为________．
【答案】直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵𝑎2 = 𝑏2 −𝑐2，
∴𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
6．勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2本身就是一个关于𝑎，𝑏，𝑐的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正
整数解(𝑎, 𝑏, 𝑐)通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学
习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
𝑎
6
8
10
12
14
…
𝑏
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当𝑎= 18时，𝑏𝑐的值为_____．
【答案】6560
【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到𝑐与𝑏的关系，再结合勾股定理求出𝑏和𝑐的值，进而计算𝑏𝑐的
值．
【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足𝑐= 𝑏+ 2．
已知𝑎= 18，由勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，代入𝑐= 𝑏+ 2得：182 + 𝑏2 = (𝑏+ 2)2
展开得：324 + 𝑏2 = 𝑏2 + 4𝑏+ 4
整理得：4𝑏= 320
解得𝑏= 80，则𝑐= 80 + 2 = 82．
因此𝑏𝑐= 80 × 82 = 6560．
7．若7，24，x 是一组勾股数，则x 的值为________．
【答案】25
【分析】分两种情况讨论，𝑥为最长边和24为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的𝑥的值．
【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论：
当𝑥为最长边时，根据勾股定理得：
𝑥2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
由𝑥> 0，得𝑥= √625 = 25 ，25是正整数，符合要求；
当24为最长边时，根据勾股定理得：
𝑥2 = 242 −72 = 576 −49 = 527
因为527不是完全平方数，𝑥不是正整数，不符合勾股数定义，舍去．
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8．如图，点E 在边长为13 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内，𝐴𝐸= 5，𝐵𝐸= 12，求出图中阴影部分的面积是______．
【答案】139
【分析】根据题意证明𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐴𝐵2，得到∠𝐴𝐸𝐵= 90°，据此根据𝑆阴影= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸进行求
解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐸= 5，𝐵𝐸= 12，𝐴𝐵= 13，
∴𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 52 + 122 = 169 = 132 = 𝐴𝐵2
∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°
∴𝑆阴影= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝐴𝐵2 −
1
2 𝐴𝐸× 𝐵𝐸= 139．
9．如图，在3 × 3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1 + ∠2 =_____．
【答案】45°
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，
然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【详解】解：如图所示，作𝐴𝐶∥𝐷𝐸，连接𝐵𝐶，
则∠1 = ∠3，
设每个小正方形的边长为𝑎，
则𝐴𝐵= √5𝑎，𝐵𝐶= √5𝑎，𝐴𝐶= √10𝑎，
∵𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 10𝑎2 = 𝐴𝐶2，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
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∴∠3 + ∠2 = 45°，
∴∠1 + ∠2 = 45°，
故答案为：45°．
10．如图，按如下步骤画图：
第一次操作：以面积为1 的正方形的一条边为斜边画一个直角三角形，再分别以这个直角三角形的两条直
角边为边长画两个正方形；
第二次操作：分别以这两个正方形的一条边为斜边画直角三角形，再分别以所画直角三角形的两条直角边
为边长画四个正方形；
…
重复以上操作，则完成第10 次操作后图中所有
．．正方形的面积和是__________．
【答案】11
【分析】如图，设正方形B 的边长为b，正方形C 的边长为c，根据题意可得每一次操作，面积和增加1，
据此求解即可．
【详解】解：如图，设正方形B 的边长为b，正方形C 的边长为c，
由题意得：𝑆𝐴= 1，
由勾股定理得：𝑆𝐵+ 𝑆𝐶= 𝑏2 + 𝑐2 = 1，
则第一次操作后形成的图形中所有的正方形的面积和为1 + 1 = 2，
同理可得：第二次操作后形成的图形中所有的正方形面积和为1 + 1 + 1 = 3，
第三次操作后形成的图形中所有正方形的面积和为1 + 1 + 1 + 1 = 4，
……
∴完成第10 次操作后图中所有
．．正方形的面积和是11．
11．如图，在三角形支架中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐵= 2m, 𝐴𝐶= 1.5m,𝐷𝐶= 0.9m
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(1)求𝐵𝐷的长；
(2)判断支架外框△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
【答案】(1)1.6m
(2)△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，理由如下：
由（1）知，𝐵𝐷= 1.6m，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 1.6 + 0.9 = 2.5m，
∵𝐴𝐵= 2m，𝐴𝐶= 1.5m，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 22 + 1.52 = 6.25，𝐵𝐶2 = 2.52 = 6.25，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】（1）对Rt △𝐴𝐷𝐶和Rt △𝐴𝐷𝐵运用勾股定理求解即可；
（2）证明△𝐴𝐵𝐶三边长满足𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，由勾股定理的逆定理可知，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐶= 1.5m，𝐷𝐶= 0.9m，
∴𝐴𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = √1.52 −0.92 = 1.2(m)
在Rt △𝐴𝐷𝐵中，𝐴𝐵= 2m，𝐴𝐷= 1.2m
∴𝐵𝐷= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐷2 = √22 −1.22 = 1.6(m)
∴𝐵𝐷的长为1.6m；
（2）略
12．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4√2，𝐶𝐷= 2√17，𝐷𝐴= 2．
(1)求𝐴𝐶长度
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(2)求∠𝐷𝐴𝐵的度数；
【答案】(1)8；
(2)135°.
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．
(1)利用勾股定理即可求出𝐴𝐶的长度；
(2)由(1)可知𝐴𝐶= 8，又因为𝐶𝐷= 2√17，𝐷𝐴= 2，可得：𝐴𝐶2 + 𝐴𝐷2 = 𝐷𝐶2，利用勾股定理的逆定理可
知∠𝐷𝐴𝐶= 90°，由∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4√2，可知∠𝐵𝐴𝐶= 45°，由角之间的关系即可求出∠𝐷𝐴𝐵的度
数．
【详解】（1）解：如下图所示，连接𝐴𝐶，
∵ ∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4√2，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √(4√2)
2 + (4√2)
2 = √32 + 32 = 8；
（2）解：∵ ∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4√2，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
∵ 𝐶𝐷= 2√17，𝐷𝐴= 2，
由(1)可知𝐴𝐶= 8，
∵𝐴𝐶2 + 𝐴𝐷2 = 82 + 22 = 68 = (2√17)
2 = 𝐷𝐶2，
∴△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90° + 45° = 135°．
13．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝐴= 90°，𝐴𝐶= 24，𝐴𝐵= 26，点𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐷𝐶，𝐷𝐵，
且𝐶𝐷= 8，𝐵𝐷= 6．
(1)求𝐵𝐶的长；
(2)求四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积．
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【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定
理判定直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出𝐵𝐶的长；
（2）先通过勾股定理的逆定理判定△𝐵𝐶𝐷为直角三角形，再将四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积拆分为两个直角三角形
面积之和，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝐴= 90°，𝐴𝐶= 24，𝐴𝐵= 26，由勾股定理𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = √262 −242 = 10
∴𝐵𝐶的长为10；
（2）解：在△𝐵𝐶𝐷中，
∵𝐶𝐷= 8，𝐵𝐷= 6，
∴𝐶𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 82 + 62 = 100，
又∵𝐵𝐶2 = 102 = 100，
∴𝐶𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 𝐵𝐶2，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 10 × 24 +
1
2 × 6 × 8 = 144．
14．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边𝑎，𝑏，𝑐分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若
是，请指出哪一个角是直角，并说明理由．
(1)𝑎= 9，𝑏= 41，𝑐= 40．
(2)𝑎= 8𝑘，𝑏= 15𝑘，𝑐= 17𝑘(𝑘> 0)．
【答案】(1)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．∠𝐵是直角．理由见解析
(2)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．∠𝐶是直角．理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可；
（2）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐵是直角．理由如下：
∵92 + 402 = 412，即𝑎2 + 𝑐2 = 𝑏2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且∠𝐵= 90°
（2）解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶是直角．理由如下：
∵(8𝑘)2 + (15𝑘)2 = (17𝑘)2，即𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且∠𝐶= 90°．
15．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n 表示大于1 的整
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数，则2𝑛，𝑛2 −1，𝑛2 + 1为勾股数．例如：当𝑛= 2时，2𝑛= 4，𝑛2 −1 = 3，𝑛2 + 1 = 5．
∵32 + 42 = 52，
∴数据3，4，5 是勾股数．
对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵𝑛> 1，
∴𝑛2 + 1 −2𝑛= (𝑛−1)2 > 0，
∴𝑛2 + 1① 2𝑛．（填“>”或“<”）
∵𝑛2 + 1 −(𝑛2 −1) = 2 > 0，
∴𝑛2 + 1 > 𝑛2 −1．
∵(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 =② =③ ，(𝑛2 + 1)2 =④ ，
∴(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 = (𝑛2 + 1)2，
∴2𝑛, 𝑛2 −1, 𝑛2 + 1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a，b 为勾股数，且𝑎< 𝑏，求a，b 的值．
【答案】(1)①>；②𝑛4 −2𝑛2 + 1 + 4𝑛2；③𝑛4 + 2𝑛2 + 1；④𝑛4 + 2𝑛2 + 1．
(2)𝑎= 15，𝑏= 17或𝑎= 6，𝑏= 10．
【分析】本题考查了勾股数及其应用．
（1）根据解题过程，结合上下文即可完成；
（2）分三种情况：2𝑛= 8；𝑛2 −1 = 8；𝑛2 + 1 = 8，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数．
【详解】（1）解：∵𝑛> 1，
∴𝑛2 + 1 −2𝑛= (𝑛−1)2 > 0，
∴𝑛2 + 1 > 2𝑛．
∵𝑛2 + 1 −(𝑛2 −1) = 2 > 0，
∴𝑛2 + 1 > 𝑛2 −1．
∵(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 = 𝑛4 −2𝑛2 + 1 + 4𝑛2 = 𝑛4 + 2𝑛2 + 1，(𝑛2 + 1)2 = 𝑛4 + 2𝑛2 + 1，
∴(𝑛2 −1)2 + (2𝑛)2 = (𝑛2 + 1)2，
∴2𝑛, 𝑛2 −1, 𝑛2 + 1为勾股数．
①>；②𝑛4 −2𝑛2 + 1 + 4𝑛2；③𝑛4 + 2𝑛2 + 1；④𝑛4 + 2𝑛2 + 1．
（2）解：分三种情况：
①若2𝑛= 8，则𝑛= 4，
∴𝑛2 −1 = 15,𝑛2 + 1 = 17，
∴𝑎= 15, 𝑏= 17；
②若𝑛2 −1 = 8，则𝑛= 3，
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∴2𝑛= 6, 𝑛2 + 1 = 10，
∴𝑎= 6, 𝑏= 10；
③若𝑛2 + 1 = 8，则𝑛= √7不是有理数，故舍去．
综上所述，𝑎= 15，𝑏= 17或𝑎= 6，𝑏= 10．
素养提升
1．如图，某海警舰艇A 在海岛O 的北偏西40°，6nmile处，遇险渔船B 与海警舰艇A 相距10nmile，渔船
B 与海岛O 相距8nmile，则渔船B 在海岛O 的（ ）
A．北偏东40°
B．北偏东50°
C．东偏北60°
D．东偏北70°
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△𝐴𝑂𝐵为直角三角形，得出∠𝐴𝑂𝐵= 90°，再结合方位角的定义计算
即可.
【详解】解：由题意，𝑂𝐴= 6, 𝑂𝐵= 8, 𝐴𝐵= 10，
∴𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100，
∵𝐴𝐵2 = 102 = 100，∴𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，
∴△𝐴𝑂𝐵是直角三角形，且∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
∵舰艇𝐴在海岛𝑂的北偏西40°方向
∴𝑂𝐴与正北方向的夹角为40°，
∴𝑂𝐵与正北方向的夹角为90° −40° = 50°，
∴渔船𝐵在海岛𝑂的北偏东50°方向 上.
2．下列命题：①若a、b、c 为一组勾股数，则4a，4b，4c 仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3
和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个
等腰直角三角形的三边是a、b、c（𝑎> 𝑏= 𝑐），那么𝑎：𝑏：𝑐= √2：1：1．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】C
【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题
即可得到答案；
【详解】解：
①∵𝑎、𝑏、𝑐为一组勾股数，不妨设𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，且𝑎、𝑏、𝑐都是正整数，
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∴(4𝑎)2 + (4𝑏)2 = 16𝑎2 + 16𝑏2 = 16(𝑎2 + 𝑏2) = 16𝑐2 = (4𝑐)2， 且4𝑎、4𝑏、4𝑐都是正整数，因此4𝑎、
4𝑏、4𝑐仍是勾股数，故①正确；
②直角三角形的两边长为3 和4 时，若4 是斜边，第三边长为√42 −32 = √7，不一定为5，故②错误；
③∵122 + 212 = 144 + 441 = 585，252 = 625， ∴122 + 212 ≠252，因此这个三角形不是直角三角形，
故③错误；
④∵等腰直角三角形中𝑎> 𝑏= 𝑐，𝑎是斜边， ∴𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 = 2𝑏2，即𝑎= √2𝑏，
∴𝑎: 𝑏: 𝑐= √2𝑏: 𝑏: 𝑏= √2:1: 1，故④正确；
综上，正确的命题是①④；
3．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25 的小木棒摆成两个直角三角形，
下列摆法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角
形，即可解答．
【详解】解：∵72 + 242 = 252，152 + 202 = 252，
∴长度为7，24，25 的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25 的小棒是斜边；
长度为15，20，25 的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25 的小棒是斜边．
符合条件的图形为选项B．
4．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与
繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1 个图形是正方形，第2 个图形是以正方形的一边为斜
边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方
形，重复上述步骤得到第3 个图形，……，则第2026 个图形中正方形的个数为（ ）
A．2027
B．22025 + 1
C．22026 −1
D．22026 + 1
【答案】C
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【详解】解：由题图可知，第1 个图形有1 个正方形，
第2 个图形中共有1 + 21 = 3 = (22 −1)个正方形，
第3 个图形中共有1 + 21 + 22 = 7 = (23 −1)个正方形，
第4 个图形中共有1 + 21 + 22 + 23 = 15 = (24 −1)个正方形，
第5 个图形中共有1 + 21 + 22 + 23 + 24 = 31 = (25 −1)个正方形，
……
第2026 个图形中共有1 + 21 + 22 + 23 + 24 +⋅⋅⋅+22025 = (22026 −1)个正方形．
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐶边上，𝐵𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝑀．若点𝑀是𝐴𝐵边的中点，𝐴𝐶= 16，
𝐵𝐶= 12，𝐴𝐵= 20，则四边形𝐵𝐶𝐷𝐸的面积等于________．
【答案】96
【分析】证明△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，求得𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 96，由𝐵𝐸∥𝐴𝐶，得∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝑀，而
∠𝐵𝑀𝐸= ∠𝐴𝑀𝐷，𝐵𝑀= 𝐴𝑀，即可根据“AAS”证明△𝐵𝑀𝐸≌△𝐴𝑀𝐷，则𝑆△𝐵𝑀𝐸= 𝑆△𝐴𝑀𝐷，即可推导出
𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 96，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵𝐴𝐶= 16，𝐵𝐶= 12，𝐴𝐵= 20，162 + 122 = 400 = 202，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2 × 16 × 12 = 96，
∵𝐵𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝑀，
∵点𝑀是𝐴𝐵边的中点，
∴𝐵𝑀= 𝐴𝑀，
在△𝐵𝑀𝐸和△𝐴𝑀𝐷中，
{
∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝑀
∠𝐵𝑀𝐸= ∠𝐴𝑀𝐷
𝐵𝑀= 𝐴𝑀
，
∴△𝐵𝑀𝐸≌△𝐴𝑀𝐷(AAS)，
∴𝑆△𝐵𝑀𝐸= 𝑆△𝐴𝑀𝐷，
∴𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝐸= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝑀+ 𝑆△𝐵𝑀𝐸= 𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝑀+ 𝑆△𝐴𝑀𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 96．
6．如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 4√5cm，𝐴𝐶= 4cm，𝐵𝐶= 8cm，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点B 与点A 重合，
折痕为𝐷𝐸．则𝐶𝐷的长为____．
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【答案】
3cm/3 厘米
【分析】根据勾股定理的逆定理判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，利用折叠的性质得出𝐴𝐷= 𝐵𝐷，设𝐶𝐷长为𝑥，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中利用勾股定理列方程求解；
【详解】解：∵𝐴𝐶= 4cm，𝐵𝐶= 8cm，𝐴𝐵= 4√5cm，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 42 + 82 = 80，𝐴𝐵2 = (4√5)2 = 80，
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐶= 90°，
设𝐶𝐷= 𝑥cm，则𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= (8 −𝑥)cm，
由折叠的性质可知，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= (8 −𝑥)cm，
在Rt △𝐴𝐶𝐷中，由勾股定理得𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
即42 + 𝑥2 = (8 −𝑥)2，
整理得16 + 𝑥2 = 64 −16𝑥+ 𝑥2，
解得𝑥= 3，
∴𝐶𝐷= 3cm．
7．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵，𝐶𝐷向外作Rt △𝐴𝐵𝐸，Rt △𝐶𝐷𝐹，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹= 90°，以𝐴𝐸，𝐸𝐵，
𝐶𝐹，𝐷𝐹为边向外作正方形，面积分别为6，2，𝑆，11，则𝑆的值为_______．
【答案】3
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐴𝐵2，
∴𝐴𝐵2 = 6 + 2 = 8
同理可得：𝐷𝐶2 + 𝐶𝐹2 = 𝐷𝐹2，
∴8 + 𝑆= 11，
∴𝑆= 3．
8．图1是远光超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架𝐴𝐶= 8 dm，𝐴𝐵= 6 dm，两轮中心的距
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离𝐵𝐶= 10 dm．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘𝐷与点𝐴的距离𝐴𝐷= 13 dm，𝐴𝐸= 5 dm，且𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐸和𝐵𝐶都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘𝐷到𝐵𝐶的距离．
【答案】(1)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；理由如下：
购物车侧面简化示意图中，支架𝐴𝐶= 8 dm，𝐴𝐵= 6 dm，两轮中心的距离𝐵𝐶= 10 dm，
∵82 + 62 = 102，即𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
(2)16.8dm
【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得𝐷𝐸= 12 dm，运用等面积法可得𝐴𝐺= 4.8 dm，由此即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，
∵𝐴𝐷= 13 dm，𝐴𝐸= 5 dm，𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸= √𝐴𝐷2 −𝐴𝐸2 = √132 −52 = 12dm，
由（1）得，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐺，
∴𝐴𝐺=
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
6×8
10 = 4.8dm，
∴购物车上篮子的左边缘𝐷到𝐵𝐶的距离为𝐷𝐸+ 𝐴𝐺= 12 + 4.8 = 16.8dm．
9．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了
演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础．
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(1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大
正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为𝑎, 𝑏(𝑎< 𝑏)，斜边长为
c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
(2)【问题解决】如图2，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵= 13，𝐵𝐶= 12，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，求阴影部分的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便
村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐻，使𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，
现测得𝐶𝐴= 1.3千米，𝐴𝐵= 1.4千米，𝐵𝐶= 1.5千米，求新修路𝐶𝐻的长为________千米．（只填空）
【答案】(1)见解析
(2)24
(3)1.2
【分析】（1）根据面积法求解即可；
（2）先由勾股定理求解𝐴𝐶，然后由勾股定理逆定理证明∠𝐴𝐶𝐵= 90°，最后由𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐷求解
即可；
（3）设𝐴𝐻= 𝑥，则𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 1.4 −𝑥，然后对Rt △𝐶𝐻𝐴,Rt △𝐵𝐶𝐻运用勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）解：方法一：(𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2；
方法二：4 ×
1
2 𝑎𝑏+ 𝑐2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2；
整理，得𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 2𝑎𝑏+ 𝑐2，
所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2；
（2）解：∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2 = 5
∵𝐴𝐵= 13，𝐵𝐶= 12
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 52 + 122 = 169，𝐴𝐵2 = 132
∴𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴𝑆阴影=
1
2 × 5 × 12 −
1
2 × 3 × 4 = 24；
（3）解：设𝐴𝐻= 𝑥千米，则𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= (1.4 −𝑥)千米，
∵𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，
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∴𝐶𝐻2 = 𝐴𝐶2 −𝐴𝐻2 = 𝐵𝐶2 −𝐵𝐻2
∴1.32 −𝑥2 = 1.52 −(1.4 −𝑥)2，
解得𝑥= 0.5，
∴𝐶𝐻= √1.32 −0.52 = 1.2（千米）．
迁移创新
1．如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，分别以线段𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐶边向外作正方形，正
方形的面积分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，连接𝐴𝐶，利用勾股定理可以得到：𝑆1 + 𝑆2 = 𝑆3 + 𝑆4．根据材料提示
完成下列问题：
(1)如图2，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高，分别以线段𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐶为边向外作正方形，正方形的面积
分别为𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，请写出𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4的等量关系___________；
(2)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝐶= 2√3，点𝐷是𝐵𝐶上一点，且𝐵𝐶= 4𝐵𝐷，若𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，求证：△
𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
(3)如图4，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以线段𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶为边向外作正方形，正方形的面积分别17，24，49，试
求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)𝑆1 + 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑆4
(2)见解析
(3)7√2
【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示𝐴𝐷2，得出各边平方的关系，将正方形面积转化
为边长平方，即可得出四个面积的等量关系；
（2）设𝐵𝐷= 𝑥表示出𝐶𝐷，利用双直角三角形共高列方程求出𝐵𝐶，再用勾股定理逆定理证明△𝐴𝐵𝐶是直角
三角形即可；
（3）由正方形面积得三边平方与𝐵𝐶长，作高𝐴𝐸设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算△𝐴𝐵𝐶
的面积即可．
【详解】（1）解：在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐴𝐷𝐶中，
𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2，𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷2，
∴𝐴𝐵2 −𝐵𝐷2 = 𝐴𝐶2 −𝐶𝐷2，
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∴𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐷2 + 𝐴𝐶2，
∵𝑆1 = 𝐴𝐵2，𝑆2 = 𝐵𝐷2，𝑆3 = 𝐶𝐷2，𝑆4 = 𝐴𝐶2，
∴𝑆1 + 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑆4；
（2）证明：∵𝐵𝐶= 4𝐵𝐷，
∴设𝐵𝐷= 𝑥，则𝐶𝐷= 3𝑥，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，
∵𝐴𝐵= 2，𝐴𝐶= 2√3，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐴𝐷𝐶中，
22 −𝑥2 = (2√3)
2 −(3𝑥)2，
解得𝑥= 1或𝑥= −1（不符合题意，舍去），
∴𝐵𝐶= 4𝐵𝐷= 4，
∵𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 22 + (2√3)
2 = 16，
𝐵𝐶2 = 42 = 16，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
（3）解：如图，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，
设𝐵𝐸= 𝑦，则𝐶𝐸= 7 −𝑦，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90∘，
∵𝐴𝐵2 = 17，𝐴𝐶2 = 24，
∴Rt △𝐴𝐵𝐸和Rt △𝐴𝐶𝐸中，
17 −𝑦2 = 24 −(7 −𝑦)2，
解得𝑦= 3，
∴𝐴𝐸2 = 17 −9 = 8，
∴𝐴𝐸= 2√2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=
1
2 × 7 × 2√2 = 7√2．
2．定义：若a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑐2，则称△𝐴𝐵𝐶为“方倍三角形”．
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(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 120°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，P 为𝐴𝐶边上一点，将△𝐴𝐵𝑃沿直线𝐵𝑃进行折叠，点A
落在点D 处，连接𝐶𝐷，𝐴𝐷．若△𝐴𝐵𝐷为“方倍三角形”，且𝐴𝑃= √2，求△𝑃𝐷𝐶的面积．
【答案】(1)A
(2)√3 −1
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进
而可以判断；
（2）根据题意可得△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐵𝑃，根据“方倍三角形”定义可得△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，从而证明Δ𝐴𝑃𝐷为
等腰直角三角形，可得𝐴𝑃= 𝐷𝑃= √2，延长𝐵𝑃交𝐴𝐷于点𝐸，根据勾股定理求出𝐵𝐸的长，根据△𝑃𝐵𝐶为等
腰直角三角形，可得𝑃𝐶= √2𝑃𝐵= √6 −√2，进而可以求△𝑃𝐷𝐶的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为𝑎，
则𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：𝐴；
（2）由题意可知：
△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐵𝑃，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃，
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根据“方倍三角形”定义可知：
𝐵𝐴2 + 𝐵𝐷2 = 2𝐴𝐷2 = 2𝐵𝐴2，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝑃= 30°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 90°，
∵∠𝐶𝑃𝐵= 45°，
∴∠𝐴𝑃𝐵= 180° −45° = 135°，
∴∠𝐷𝑃𝐶= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 120°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 15°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 45°，
∴△𝐴𝑃𝐷为等腰直角三角形，
∴𝐴𝑃= 𝐷𝑃= √2，
∴𝐴𝐷= 2，
延长𝐵𝑃交𝐴𝐷于点𝐸，如图，
∵∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝑃𝐵𝐷，
∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，𝑃𝐸=
1
2 𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 1，
∴𝐵𝐸= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐸2 = √4 −1 = √3，
∴𝑃𝐵= 𝐵𝐸−𝑃𝐸= √3 −1，
∵∠𝐶𝑃𝐵= ∠𝑃𝐶𝐵= 45°，
∴△𝑃𝐵𝐶为等腰直角三角形，
∴𝑃𝐶= √2𝑃𝐵= √6 −√2，
∴𝑆△𝑃𝐷𝐶=
1
2 × 𝑃𝐶⋅𝑃𝐷=
1
2 × (√6 −√2) × √2 = √3 −1．
3．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
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例：求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值．
分析：√𝑥2 + 32和√(12 −𝑥)2 + 22是勾股定理的形式，√𝑥2 + 32是直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜
边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12 −𝑥和2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△𝐴𝐵𝐶和
△𝐷𝐸𝐹，并使直角边𝐵𝐶和𝐸𝐹在同一直线上（图1），向右平移直角△𝐴𝐵𝐶使点B 和E 重合（图2），这时
𝐶𝐹= 𝑥+ 12 −𝑥= 12，𝐴𝐶= 3，𝐷𝐹= 2，问题就变成“点B 在线段𝐶𝐹的何处时，𝐴𝐵+ 𝐷𝐵最短？”根据两
点间线段最短，得到线段𝐴𝐷就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式√𝑥2 + 16 + √(8 −𝑥)2 + 4(0 < 𝑥< 8) 的最小值；
【模型拓展】
(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x 满足√52 −𝑥2 + √122 −𝑥2 = 13 ，求x 的值．
【答案】(1)13
(2)10
(3)𝑥=
60
13
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【详解】（1）解：𝐶𝐹= 𝑥+ 12 −𝑥= 12，𝐴𝐶= 3，𝐷𝐹= 2，
根据两点间线段最短，得到线段𝐴𝐷就是它们的最小值．如图，当𝐴、𝐵、𝐷三点共线时，作𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于点
𝐺，则有𝐺𝐷= 𝐶𝐹= 12,𝐴𝐺= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐺= 𝐴𝐶+ 𝐷𝐹= 5，
∴𝐴𝐷= √52 + 122 = 13，
∴√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值是13，
故答案为13；
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（2）如图，由√𝑥2 + 16 + √(8 −𝑥)2 + 4 = √𝑥2 + 42 + √(8 −𝑥)2 + 22
𝐴𝐶= 4，𝐷𝐹= 2，𝐶𝐹= 𝑥+ 8 −𝑥= 8，
𝐴𝐻= 4 + 2 = 6, 𝐻𝐷= 𝐶𝐹= 8，
∴𝐴𝐷= √62 + 82 = 10，
∴√𝑥2 + 16 + √(8 −𝑥)2 + 4(0 < 𝑥< 8) 的最小值是10；
（3）解：构造△𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 12，如图所示：
设𝐶𝐷= 𝑥，则𝐴𝐷= √52 −𝑥2，𝐵𝐷= √122 −𝑥2，
∴𝐴𝐵= √52 −𝑥2 + √122 −𝑥2 = 13，
∵52 + 122 = 132，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴
1
2 × 5 × 12 =
1
2 × 13 × 𝑥，
∴𝑥=
60
13，
∴方程的解是𝑥=
60
13．
