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1.1 认识三角形
课标要点
1. 掌握三角形定义及分类，能准确识别各类三角形，区分基本几何特征。
2. 理解三角形三边关系定理，熟练判断三条线段能否组成三角形。
3. 认识三角形高线、中线、角平分线，掌握三种线段的画法与性质。
4. 熟记三角形内角和定理并能证明，熟练运用定理求解三角形角度。
5. 掌握三角形外角性质，能结合内角和知识解决综合角度计算问题。
学习重难点
重点：
1. 掌握三角形三边关系及判定应用方法
2. 理解三角形三线定义与核心性质
3. 熟练运用内角和、外角性质计算角度
难点：
1. 钝角三角形高线的准确绘制与辨析
2. 三边关系的灵活综合运用与取值
3. 内外角结合的复杂角度综合计算
第一章
认识三角形
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知识点一 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶
点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
即学即练
．．．．
1．（2026 七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以
A
为角的三角形是（ ）
A．ABE
B．BCD
C．BCE
D．
CDE
△
3．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在ABC
中，D 是BC 边上一点，E 是AD边上一点．在
ACE
△
中，
CAE
的对边是__________．
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知识点二 三角形的分类
三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形{
三边都不相等的三角形
等腰三角形{ 等边三角形 （三边都相等）
底边和腰不相等的等腰三角形（只有两边相等）
2）三角形按角分类：三角形{
直角三角形
斜三角形{锐角三角形
钝角三角形
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶
角，腰和底边的夹角叫做底角。
即学即练
．．．．
4．（25-26 七年级下·河北张家口·期中）ABC
各个内角度数如图所示，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5．（25-26 八年级下·浙江金华·阶段检测）若, ,
a b c 为ABC
的三边长，且(
)(
)
0
a
b
b
c
−
−
=
，则ABC
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期中）ABC
中，
A
B
C
、
、
的度数之比为3:5:7，则ABC
是
____________三角形（填直角、锐角或钝角）
特别提醒
做题先看清分类标准，按角看最大内角判断类型；按边看边长是否相等，等边是特殊等腰。两类标准不
可混用，遇取值范围结合三边关系验证。
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知识点三 三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
即学即练
．．．．
7．（25-26 八年级上·浙江温州·开学考试）已知一个三角形的两边长是4 和7，且周长为偶数，则第三条边
的长度可以是___（写一个）
8．（25-26 八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知三角形的三边长分别为3，
1
a −，5，则化简
3
9
a
a
−
+
−
的结果为________．
9．（24-25 八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边
3
a = ，
7
b =
，第三边是c ．
(1)求第三边c 的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，则c 的值为___________．
知识点四 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四
边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
即学即练
．．．．
10．（25-26 八年级上·北京·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
特别提醒
判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边；已知两边求第三边，两边之差＜第三边＜
两边之和，取值勿忘取整数或范围限制。
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A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
11．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使
其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形具有稳定性
12．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）我国建造的港珠澳大桥全长55 公里，集桥、岛、隧于一体，是世
界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理
是_______．
知识点五 三角形相关的线段
类型
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语
言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中
点的线段．
三角形一个内角的平分线与
它的对边相交，这个角的顶
点与交点之间的线段．
图形语
言
性质
∵AD 是∆ABC 中BC 边的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD 是∆ABC 中BC 边的中线
∵AD 是∆ABC 中∠BAC 的角
平分线
∴∠BAD=∠DAC=
1
2 ∠BAC
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∴BD=CD S△ABD=S△ADC= 1
2 S△ABC
用途举
例
1、线段垂直．2、角度相
等．
1、线段相等．2、面积相等．
角度相等．
即学即练
．．．．
13．（24-25 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC
中，AD是BC 边上的中线，已知
5cm
AB =
，
7cm
AC =
，则ACD
和ABD
的周长差为________cm．
14．（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，AD为ABC
的高，BE为ABC
的角平分线，若
70 ,
45
ABC
ACB
=
=
，则
AEB
=______．
15．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在ABC
中，AD，AE ，AF 分别是ABC
的高、角平
分线、中线．
(1)若ABC
的面积为6，则
ABF
△
的面积为______．
(2)当
30
B
=
，
45
C
=
时，求
DAE
的度数．
特别提醒
做题先分清高线、中线、角平分线三类线段各自性质。中线等分底边，平分三角形面积；角平分线分割
出相等两角；高线与对应底边垂直。钝角三角形两条高在外部，作图计算易出错。遇到综合题，标注等
线段、等角、直角，结合内角和、面积公式梳理等量关系解题。
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知识点六 三角形的内角和
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
即学即练
．．．．
的度数是____________．
17．（25-26 八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在ABC
中，内角
ABC
和外角
ACD
的平分线交
于点
,
35
E
E
=
，则
A
=___________．
18．（25-26 八年级上·新疆阿克苏·期末）探索归纳：
特别提醒
解题牢记三内角和为 180°，遇角平分线、折叠、平行线先转化等角。多个未知角可设未知数列方程，
借助外角定理简化运算。复杂图形拆分单个三角形分析，标注已知角度，理清角之间等量代换关系，避
免漏看隐藏平角、直角条件。
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(1)如图1，已知ABC
为直角三角形，
90
A
=
，若沿图中虚线剪去
A
，则1
2
+= ．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知ABC
中，
60
A
=
，剪去
A
后形成四边形，则1
2
+= 度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想1
2
+与
A
的关系是 ．
(4)如图3，若
A
没有剪掉，而是把它折成如图3 的形状，请猜想1
2
+与
A
的关系是 ．
知识点七 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个角。
即学即练
．．．．
19．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在ABC
中，
80
A
=
，
60
B
=
．若D 为BC 延长线上一
点，则
ACD
的度数为_______．
20．（24-25 七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将ABC
纸片沿DE 折叠，
使点C 落在点C处，DC交BC 于点F ．若
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，则当
DEB
=__________度时，
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AB
DC
．
21．（24-25 八年级上·河南焦作·期中）如图，在ABC
中，
22
CAE
=
，
47
C
=
，
30
CBD
=
．
(1)求
AFB
的度数；
(2)若
2
BAF
ABF
=
，求
BAF
∠
的度数．
题型01 三角形的识别与有关概念
典｜例｜精｜析
1．（24-25 七年级下·浙江·期中）图中以BC 为边的三角形有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
变｜式｜巩｜固
2．（25-26 八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（ ）
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A．
A
，
B
，
ACB
是ABC
的内角
B．
BCD
是与
ACB
相邻的角
C．
180
BCD
A
+=
D．ABC
的三条边分别是 AB ，BC ，AC
3．（24-25 八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为______；以
ADE
为外角的三角形
是______；在ADC
中，边AD的对角是______；在ADE
中，
ADE
的对边是______．
4．（25-26 七年级下·全国·专项训练）看图填空．
（1）图中共有________个三角形，分别是____________________；
（2）
BGE
△
的三个顶点分别是________，三条边分别是________________，三个角分别是
____________________；
（3）AEF
中，顶点A 所对的边是________，边AF 所对的顶点是________；
（4）
ACB
是________的内角，
BEF
是________的外角，
ACB
的对边是________．
题型02 三角形的个数问题
典｜例｜精｜析
5．（25-26 七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以AB 为边的三角形的个数是（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变｜式｜巩｜固
6．（25-26 八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C 三点
后，能组成直角三角形ABC．则点C 的位置有（ ）种选法．
A．3
B．6
C．7
D．9
7．（25-26 八年级上·广东江门·阶段检测）如图，共有_________个三角形．
8．（25-26 九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长
边长为20 的整数边三角形的个数是（ ）
A．55
B．105
C．110
D．210
题型03 三角形的分类
典｜例｜精｜析
9．（25-26 八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
A
B
C
= =
，能确定ABC
为直角三角形的条件有（ ）
解题贴士
区分两种分类标准，按角看最大内角，按边看边长关系。等边三角形属于特殊等腰三角形，不可并列分
类，做题看清题干分类要求，不要混淆判定条件。
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A．1 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
变｜式｜巩｜固
10．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）在ABC
中，当
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : 时，这个三角形是______
（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形．
11．（2025 七年级上·浙江宁波·专题练习）在ABC
中，如果
A
B
C
=
+
，且
2
C
B
= ．那么如果按
角分，这是一个______三角形；按边分，这是一个______三角形．
12．（24-25 七年级上·山东青岛·阶段检测）ABC
中，
A
是
B
的2 倍，且
C
比
A
B
+
大12，试判断
ABC
的形状并说明理由．
题型04 构成三角形的条件
典｜例｜精｜析
13．（25-26 七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（ ）
A．2,3,4
B．5,3,3
C．6,6,12
D．6,8,10
变｜式｜巩｜固
14．（25-26 七年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小
棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24 根火柴棒搭
一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形．
16．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个
三角形？分别写出来．
题型05 确定第三边的取值范围及其应用
典｜例｜精｜析
解题贴士
判断三边只需短两边之和大于最长边；已知两边求第三边，取值介于两边差与和之间，取值范围不可忽
略等号，线段长度均为正数。
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17．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为4cm 和6cm，要选择第三根木棒，将他们钉成
一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
变｜式｜巩｜固
18．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）已知三角形的两边
1,
7
a
b
=
=
，若第三边c 为整数，则c 的值为
_____．
19．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）已知ABC
的三边分别为a、b、c，且满足
2
2
8
4
20
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，那么第三边 c 的取值范围为_______．
20．（24-25 七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程：
若
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
+
+
−
+
=
，求a 、b 的值。
解：
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
+
+
−
+
=
2
2
2
2
6
9
0
a
ab
b
b
b
+
+
+
−
+
=
(
)
(
)
2
2
3
0
a
b
b −
+
+
=
0
a
b
+
=
，
3
0
b −=
3
a
= −，
3
b =
根据以上解题过程，试探究下列问题：
(1)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
−
+
−
+ =
，求
2
x
y
+
的值；
(2)已知a 、b 、c 是ABC
的三边，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
b
a
+
−
−
+
=
，求ABC
中最长边c 的取值范围；
(3)已知：
5
2
8
a
b
c
−
+
=
，
2
2
2
5
0
ab
c
c
+
+
+
=
，求a 的值。
题型06 根据三角形中线求长度
典｜例｜精｜析
21．（25-26 八年级上·江西宜春·期中）如图，ABC
的周长是40 ，AD是边BC 上的中线，
14
AB =
，
8
CD =
，则ABD
与ACD
的周长之差为（ ）
解题贴士
中线平分底边，分底边两段相等；已知两边求中线多用倍长中线模型，注意线段等量转换，计算时看清
线段对应关系，勿混淆底边与腰长。
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A．2
B．3
C．4
D．6
变｜式｜巩｜固
22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，CM 是ABC
的中线，
8cm
BC =
，若
BCM
△
的周长比ACM
的周长大
3cm，则AC 的长为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
23．（25-26 八年级上·全国·单元测试）如图，在ABC
中，AB
AC
，AD是BC 边上的中线，若ABD
和
ADC
的周长之差为2 ，且AB 与AC 的和为14，则AB =__________，AC =__________．
24．（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，在ABC
中，AD是中线，
10cm,
6cm
AB
AC
=
=
．
(1)求ABD
与ACD
的周长差；
(2)点E 在边AB 上，连接ED．若ABC
的周长被DE 分成的两部分的差是2cm ，求线段AE 的长．
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题型07 根据三角形中线求面积
典｜例｜精｜析
25．（25-26 九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在ABC
中，已知点D、E、F 分别为边BC 、AD、CE
的中点，若ABC
的面积为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
变｜式｜巩｜固
26．（25-26 八年级上·安徽六安·期中）如图，D 是ABC
中边AB 的中点，连接CD，E 是CD的中点，连
接AE ，BE．若
8
ABC
S
＝，则阴影部分的面积为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
27．（25-26 七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，ABC
的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC ，
AD，BE，CE 的中点，则
AFG
△
的面积是________．
28．（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）已知ABC
的面积是60，请完成下列问题：
解题贴士
三角形中线将三角形分成面积相等两部分，多条中线分割可等分面积。解题找准底边中点，等底同高面
积相等，结合整体面积快速求小三角形面积。
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(1)如图1，若AD是ABC
的边BC 上的中线，则ABD
的面积________ ACD
的面积（填“”“”或
“ = ”）；
(2)如图2，若
,
CD BE 分别是ABC
的边
,
AB AC 上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连结
AO ，由AD
DB
=
得：
ADO
BDO
S
S
=
，同理：
AEO
CEO
S
S
=
，设
,
ADO
AEO
S
x S
y
=
=
，则
,
BDO
CEO
S
x S
y
=
=
，由题
意得：
1
1
30,
30
2
2
ABE
ABC
ADC
ABC
S
S
S
S
=
=
=
=
，可列方程组为：
2
30
2
30
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得________，通过解这个
方程组可得四边形ADOE 的面积为________；
(3)如图3，
:
1: 3,
:
1: 2
AD DB
CE AE
=
=
，请你计算四边形ADOE 的面积，并说明理由．
题型08 重心的概念
典｜例｜精｜析
29．（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（ ）
A．三条高线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．以上都是
变｜式｜巩｜固
30．（25-26 八年级上·陕西西安·阶段检测）画出下图中ABC
的重心．
31．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，在8 8
的网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC
的顶
点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚
解题贴士
重心是三角形三条中线交点，仅中线交点才是重心。重心分中线比 2:1，分割出六个面积相等小三角形，
区分重心、垂心、内心，不可混淆。
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线表示，画图结果用实线表示）．
(1)画出ABC
关于AC 对称的ACD
（点B 的对应点是点D）；
(2)画出ABC
的重心O；
(3)直接写出四边形ABCD的面积______．
32．（25-26 八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将
其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探
究．请你帮助他们完成下列问题：
(1)如图②，小组成员在三角形薄板ABC 上画出中线AD，可以得到
ABD
S
_______
ACD
S△
（填“”“ = ”或
“”）；
(2)如图③，三角形薄板ABC 的三条中线AD
CE
BF
，
，
相交于点O，试判断三角形薄板ABC 被三条中线所
分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由；
(3)结合（2）中的结论，直接写出
:
AO OD的值．
题型09 画三角形的高
典｜例｜精｜析
33．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）ABC
中BC 边上高的作法正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
变｜式｜巩｜固
34．（24-25 七年级下·河北张家口·期中）如图，ABC
的边AB 上的高是（ ）
A．DB
B．CF
C．AF
D．BE
35．（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，ABC
的高AD，BE交于点F，则
（1）在
ABF
△
中，BF 边上的高为 __；
（2）在ADC
中，AD边上的高为 __．
36．（25-26 八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知在直角三角形ABC 中，
90 ,
8,
6,
10
BAC
AB
AC
BC
=
=
=
=
．
(1)作出ABC
的高AD和中线AE ；
(2)求ABE
的面积；
(3)求AD的长．
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题型10 与三角形的高有关计算问题
典｜例｜精｜析
37．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC
中，
40
BCA
=
，
60
ABC
=
．若BF 是
ABC
的
高，与角平分线AE 相交于点O．则
EOF
的度数为（ ）．
A．130
B．70
C．110
D．100
变｜式｜巩｜固
38．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，点D 沿BC 自B 向C 移动(
点D 不与B、C 重合) ．作CE
AD
⊥
于点E，BF
AD
⊥
于点F，则CE
BF
+
的值为（ ）
A．一直增大
B．一直减少
C．先减小后增大
D．先增大后减小
39．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 中点，过点D 作
DP
AB
⊥
，
3
DP =
，E 为BC 上一点，过点E 作EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
4.2
EM =
，则EN =________．
40．（24-25 八年级上·安徽安庆·期中）如图，在Rt
ABC
△
与Rt ACD
中，BC 与AD相交于点E，EF
BC
⊥
解题贴士
三角形高与底边垂直，自带 90° 直角，可结合内角和计算角度。锐角三角形三条高均在内部，直角三
角形两条高与直角边重合，钝角两条高在外部。计算面积牢记底高对应，勿错配底边与高，遇外部高别
漏补延长线，结合直角三角形边角关系列式求解。
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交AC 于点F．
(1) ABC
中BC 边上的高是___________；
ACE
△
中AE 边上的高是___________；
(2)若
3cm
AB =
，
4cm
CD =
，
4cm
AE =
，求
ACE
△
的面积．
题型11 三角形的角平分线
典｜例｜精｜析
41．（25-26 八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，AD，AE ，AF 分别是ABC
的中线、角平分线和高
线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD
CD
=
B．DF
CF
=
C．
90
AEB
=
D．
1
2
BAE
BAC
=
变｜式｜巩｜固
42．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，BD平分
ABC
交AC 于D，
作DE
DB
⊥
交AB 于E，已知
40
A =
∠
，则
ADE
的度数为（ ）
A．40
B．35
C．30
D．25
43．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，ABC
中AD，BE分别是ABC
的高和角平分线，若
70
C
=
，
95
AEB
=
，则
BAD
=_____°．
解题贴士
角平分线平分三角形内角，分得两角相等。内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，计算角度常结
合内角和，注意区分内外角平分线模型。
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44．（2023·浙江金华·二模）如图，AD
BC
∥
，点E 是BA延长线上一点，
E
DCE
=
．
(1)求证：
B
D
= ．
(2)若CE 平分
BCD
，
47
E
=
，求
B
的度数．
题型12 与平行线有关的三角形内角和问题
典｜例｜精｜析
45．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在ABC
中，
70
C
=
，直线DE 经过点A 且DE
BC
∥
，若
30
DAB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．70
B．80
C．90
D．100
变｜式｜巩｜固
46．（25-26 七年级下·上海嘉定·期末）如图，AB
CD
∥
，PF
AB
⊥
，垂足为点F ，如果
45
PEC
=
，那
么
EPF
=______．
解题贴士
作平行线转移内角拼成平角，巧用同位角、内错角相等代换角度，计算时找准平行线截出的等角，结合
180° 平角列式求解。
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47．（25-26 八年级下·全国·课堂例题）如图，
/ /
AB
CD ，EF 分别与AB ，CD交于点A，F，若
20
E
=
，
130
EFD
=
，则
B
=______．
48．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，EF
CD
∥
，GD
CA
∥
．
(1)求证：1
2
180
+=
；
(2)若CD平分
ACB
，DG 平分
CDB
，且
35
A
=
，求
ABC
的度数．
题型13 与角平分线有关的三角形内角和问题
典｜例｜精｜析
49．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，BD是ABC
的角平分线，CE 是ABC
的高，
50
ABC
=
，
80
ACB
=
，点F 为边AB 上一点，当ADF
为直角三角形时，
BDF
的度数为__________________．
解题贴士
遇角平分线先标相等两角，结合内角和列式，内外角平分线有固定角度结论，设元简化计算，区分两种
平分线模型避免混淆。
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变｜式｜巩｜固
50．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
中，BD
AC
⊥
于点D ，
CAB
的平分线AE 交
BD于点E ，
60
AED
=
，
40
ABC
=
，则
C
的度数是________．
51．（25-26 七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程：
如图，
ACE
是ABC
的一个外角，
50
A
=
，
ABC
的平分线与
ACE
的平分线交于点D ，求
D
的度
数．
解：因为
ABC
的平分线与
ACE
的平分线交于D ，
所以
1
2
2
ABC
=
，
1
4
2
=
．（ ）（填推理依据）
因为
ACE
是ABC
的外角，
4
是BCD
的外角，
所以
ACE
A
= + ，
4
D
= + ．
（ ）（填推理依据）
…
52．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题．
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(1)已知：如图1，在ABC
中，
60
A
=
，BP，CP 分别平分
ABC
和
ACB
，
BPC
的度数是
_________．
(2)已知：如图2，
DBC
与
ECB
分别是ABC
的两个外角，且
210
DBC
ECB
+
=
．则
A
=
_________．
(3)如图3，在四边形ABCD中，
F
为四边形ABCD的
ABC
的平分线及外角
DCE
的平分线所在的直线
构成的锐角，若设
A
=
，
D
=
，求
F
的度数．（用含，的式子表示）
题型14 三角形折叠中的角度问题
典｜例｜精｜析
53．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）如图，在ABC
中，D 是BC 边上的一点，将ABD
沿AD翻折，使
点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若
75
ADB
=
，
47
C
=
，则
B
的度数为（ ）
A．77
B．75
C．62
D．58
变｜式｜巩｜固
54．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在ABC
中，
80
A
=
，
40
B
=
，点M ，N 分别是AB ，
BC 上动点，沿MN 所在的直线折叠
B
，使点B 的对应点B落在AC 上．若
90
NB C
=
，则
MNB
的度
数为（ ）
解题贴士
折叠前后对应角相等，利用内角和、平角建立等量关系。顶点分内部、外部两种情况，找准重叠等角，
设未知数快速计算角度。
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A．60
B．75
C．80
D．85
55．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片ABCD中，E 为边AD上一点，将纸片沿EB，
EC 折叠，点A落在点A的位置，点D 落在点D的位置（点A在点D右侧）．若
20
A ED
=
，则
BEC
=__________．
56．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52 页第19 题
部分内容．
【问题回顾】
(1)已知：如图1，在ABC
中，
60
A
=
，BD，CD分别平分
ABC
和
ACB
，
BDC
的度数是 ．
(2)已知：如图2，在ABC
中，BE平分
ABC
，CE 平分外角
ACE
，试判断
A
和
E
的数量关系，并说
明理由．
(3)如图3，BF 平分外角
CBP
，CF 平分外角
BCQ
，若设
A
=
，则
F
= ．（用含的式子表示）
【拓展与应用】
(4)如图4，BI 平分
ABC
，CI 平分
ACB
，把ABC
折叠，使点A与点I 重合，若1
2
130
+=
，则
BIC
= ．
题型15 三角形内角和的应用
典｜例｜精｜析
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57．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C，且
A
，
B
，
D
保持不变．为了舒适，可调整
E
的大小，使
130
EFD
=
，则图中
E
应________（填
“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ）
A．增加，5
B．增加，10
C．减小，5
D．减小，10
变｜式｜巩｜固
58．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图1是一辆变速自行车的实物图，图2 是抽象出来的部分示意
图，已知直线EF 与BD相交于点P ，AB
CD
∥
，
12
P
=
，
100
CFP
=
，则
ABP
的大小为（ ）
A．95
B．92
C．90
D．88
59．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，
能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含45角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成
的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2 中的图形．若
1
2
= ，则
3
= _____．
60．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）在ABC
中，
40
ABC
ACB
=
=
，点D 在直线BC 上（点D 不与
端点B ，C 重合）．
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(1)如图①，当点D在线段BC 上时，连接AD，作
40
ADE
=
，DE 交线段AC 于点E ．
①若
110
BDA
=
，则
EDC
= °，
BAD
= °；
②当点D在线段BC 上运动时，试猜想
BAD
与
EDC
的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，当点D在CB 的延长线上时，连接AD，作
40
ADE
=
，DE 交直线AC 于点E ，若
15
BAD
=
，请直接写出
AED
∠
的度数．
题型16 三角形中压轴题
典｜例｜精｜析
61．（25-26 七年级下·北京东城·期末）已知直线AB
CD
∥
，点E，F 分别在直线AB ，CD上，点P 为直
线AB ，CD外一点，连接PE，PF ．
BEP
的平分线所在直线与
EPF
的平分线所在直线交于点M．
(1)如图1，若
150
BEP
=
，
120
DFP
=
，则
EPF
=________；
(2)如图2，当点P 位于直线AB 与直线CD之间，直线EF 右侧时，试探究
EMP
与
PFD
之间的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3．当点P 在直线AB 上方时，补全图形并写出
EMP
与
PFD
之间的数量关系．
变｜式｜巩｜固
62．（25-26 七年级下·浙江杭州·期末）已知：AB
CD
，点E，M 分别是直线AB ，CD上的点，F 为射线
MC 上一动点，连接EF 、EM ，过点F 作FG
EF
⊥
交射线EM 于点G，点H 为射线EM 上一点，且FG
平分
MFH
．
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(1)如图1，若
EFM
为钝角，
①求证：EF 平分
CFH
；
②若
BEM
GFM
GEF
=
+
，求
BEM
的度数；
(2)如图2，若
EFM
为锐角，
BEM
GFM
GEF
=
+
，探究
MFH
与
MHF
之间的数量关系．
63．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线AB 与直线CD平行，两个相同的直角三角尺
EFG
和
MNP
△
摆放在AB 与CD之间，其中
90
EGF
MPN
=
=
，
60
GEF
PMN
=
=
，点E 在直线
AB 上，边MN 在直线CD上，点G，P，F，N 在同一条直线上．
(1)请猜想
AEG
的度数，并说明理由．
(2)将EFG
绕点E 以每秒2的速度逆时针旋转并记为EF G
，设运动时间为t 秒（0
60
t
）．
①如图2，
MNP
△
固定不动，当EF与
MNP
△
的其中一边平行时，求t 的值．
②如图3，点Q 在边G F上，连结EQ ，使EQ 平分
GEF
．在EFG
旋转的同时，
MNP
△
也绕点M 以
每秒1的速度顺时针旋转并记为
MN P
△
．当EQ 与
MN P
△
的其中一边平行时，请直接写出t 的值．
64．（25-26 七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成
趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观
栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解
决下列问题：如图1，在三角形ABC 中，
90
ABC
=
，直线a 与边
,
AC AB 分别交于
,
D E 两点，直线b 与
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边
,
BC AC 分别交于
,
F G 两点，且a
b
．
(1)若
35
AED
=
，求
BFG
的度数；
(2)如图2，P 为边AB 上一点，连接PF ，若
180
PFG
BFG
+
=
，请你探索
PFG
与
AED
∠
的数量关
系，并说明理由；
(3)如图3，若
AED
n
=
，延长AB 交直线b 于点Q ，在线段DG 上有一点M ，连结
,
ME MQ ，请直接写出
,
,
MEQ
EMQ
MQF
之间的数量关系（用含n 的式子表示）．
基础通关
1．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5 和x，则x 的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）在ABC
中，BC 边上的高线为（ ）
A．CE
B．AE
C．CD
D．CF
3．（25-26 九年级下·山东菏泽·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则
BGE
的度数为（ ）
A．75
B．85
C．90
D．105
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4．（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，将ABC
沿着DE 折叠，使点B 与点C 重合，若
76
A
=
，
32
C
=
，则
ABE
的度数为（ ）
A．40
B．32
C．30
D．45
5．（25-26 七年级下·河南周口·期中）如图，AD是ABC
的中线．若
2
ACD
S
=
，则
ABC
S
=
△
_____．
6．（24-25 七年级下·甘肃武威·期末）如图，DE
AB
⊥
，
30
A
=
，
55
D
=
，则
ACB
的度数为
_____ ．
7．（18-19 七年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一
块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中=_________．
8．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，AD是ABC
的中线，DE
AB
⊥
于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，
2
DF
DE
=
，则AB 是AC 的________倍．
9．（25-26 七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，ABC
的顶点都在方格纸的格点上．
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(1)画出ABC
向上平移6 格后的图形
A B C
△
；
(2)画出
A B C
△
的高C H
；
(3)直接写出BB和CC的关系：_____．
10．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在ACD
中，CF 平分
ACD
交AD于点F ，过点A作
AB
CF
∥
，且交DC 的延长线于点B ，点E 在AC 的延长线上，且
E
B
=．
(1)求证：CF
DE
∥
；
(2)若
50
E
B
= =
，
2
CDE
ADC
=
，求
BAD
的度数．
素养提升
11．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）已知一副三角板按如图方式摆放，其中
90
A
D
=
=
，
30
B
=
，
45
F
=
．若AB
EF
∥
，则1
的度数为（ ）
A．90
B．105
C．120
D．135
12．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠，点C 落在C处．若
70
BFE
=
，则
BFC
的度数为（ ）
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A．20
B．30
C．40
D．45
13．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，BD为ABC
的中线，AE 为ABD
的中线，AF 为
AEC
△
的
中线，若AEF
的面积为
2
2cm ，则ABC
的面积为（ ）
A．
2
8cm
B．
2
12cm
C．
2
16cm
D．
2
18cm
14．（2026·安徽宿州·二模）如图，在ABC
中，
1
3
PBC
ABC
=
，
1
3
PCB
ACB
=
，且
72
A
=
．则
BPC
的度数为（ ）
A．108
B．120
C．144
D．150
15．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）如图，ABC
中，
4
AB
AC
=
=
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
⊥
于
点E，PF
AC
⊥
于点F，若
3
ABC
S
=
△
，则PE
PF
+
=________．
16．（25-26 七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹
部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，AB
CD
AC
DE
∥
，
∥
，点F 在直
线AC 上，
110
50
FAB
E
=
=
∠
，∠
，则
DCE
的度数为___________．
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17．（25-26 八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，在ABC
中，已知点D，E，F 分别为边
,
,
BC AD CE 的
中点，且ABC
的面积等于
2
4cm ，则阴影部分图形面积等于__
2
cm ．
18．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图1，直线MN
PQ
∥
，直角三角尺ABC 的锐角顶点A，C 分别在
直线MN ，PQ 上，点B 在直线MN
PQ
，
之间，
60
ACB
=
．
（1）当
35
BCP
=
时，
MAB
=______；
（2）如图2，在线段AB 上取一点D ，过点D 作直线EF
PQ
，若射线CG 平分
ACP
，且满足
BDE
EDG
=
，则
BCP
=_____．
19．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在ABC
中，AD
AE
AF
，
，
分别是ABC
的高、角平分
线、中线．
(1)若
12cm
AB =
，
10cm
AC =
，求
ABF
△
与
ACF
△
的周长之差；
(2)当
30
B
=
，
50
C
=
时，求
DAE
的度数．
20．（25-26 七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线AM
BN
，
60
BAM
=
，点P 是直线AM 上的一
个动点（不与点A重合），BC ，BD分别平分
ABP
和
PBN
．
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(1)当点P 在点A左侧时，若
42
DPB
=
，则
PDB
=______°．
(2)若点P 为点A左侧运动时，求
CBD
的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明
理由．
(3)
ACB
与
ABD
之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
迁移创新
21．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线1
2
l
l
∥，点A，B 在1l 上，点C ，D 在2l 上，连接AC ，
AD，BC ，且AD，BC 交于点E ．若AD平分
BAC
，
(
)
1
ACE
x
ECD
=
+
，
90
AEC
y ECD
+
=
，
当x ，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x
y
+
B．x
y
−
C．2x
y
−
D．
2
x
y
−
22．（25-26 七年级下·浙江台州·期末）如图，点B 在线段AE 上(
)
AB
BE
，分别以AB ，BE为边作正方
形ABCD，正方形BEFG，若要求三角形CAF （阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（ ）．
A． EF
B． AD
C． CF
D． AF
23．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF 折叠（折线EF 交AD，BC 于
E ，F ），点C 、D 分别对应点
1
C ，
1
D ，
1
ED 交BC 于G ，再将四边形
1
1
C DGF 沿FG 折叠，点
1
C 、
1
D 分
别对应点
2
C 、
2
D ，
2
GD 交EF 于H ．若
EFB
=
，则
2
FHD
的度数为________（用含的代数式表
示）．
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24．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
，AC 与BD交于点E，
ADB
ACB
AEB
+
=
，设ADE
的面积为
1S ，ABE
的面积为
2
S ，BCE
的面积为
3
S ，
CDE
△
的面积
为
4
S ．
(1)求证：
2
4
S
S
=
(2)若
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 都是整数，且四边形ABCD的面积是25，求
1S 的值．
25．（25-26 七年级下·浙江·期中）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在
某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1 所示，灯A射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回
转，灯B 射线从BP开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒
1 度，灯B 转动的速度是每秒2 度．假定主道路是平行的，即QP
MN
∥
，且
:
4:5
BAM
BAN
=
．
(1)填空：
BAN
= ________；
(2)若灯A射线先转动24 秒，灯B 射线才开始转动，在灯A射线到达AN 之前，B 灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，两灯射出的光束相交于点C ，过点C 作
BCD
，交MN 于点D ，且
140
BCD
=
，则在转动过程中，试探究
ABC
与
ACD
的数量关系．
