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1.1 认识三角形（第2 课时）
题型一：判断三角形的高是否正确
1．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可．
【详解】解：线段BE 是
ABC
的高，则过点B 作AC 的垂线，垂足为E ；故满足题意的只有选项D；
故选D．
2．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列直角三角
板的位置摆放正确（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出答案．
【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，
借助直角三角板作△ABC 的边BC 上的高，直角三角板的位置摆放正确的是
，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）在△ABC 中，AB 边的高说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高．
本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键．
【详解】
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解：根据题意，
是符合题意的，A，B，D 都不符合题意，
故选C．
4．（24-25 七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在
ACE
△
中，AE 边上的高是（ ）
A．线段EC
B．线段BG
C．线段CD
D．线段AF
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在 ABC
中，AE 边上的高是过点A 向直线AE 所作的垂线段，
据此可得答案．
【详解】解：在
ACE
△
中，AE 边上的高是线段CD，
故选：C ．
5．（24-25 七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC 中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB 边上的高
B．线段BE 是AC 边上的高
C．线段CF 是AC 边上的高
D．线段CF 是BC 边上的高
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足
与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的
垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：
AD
BC
⊥
于点D ，
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ABC
中，AD是BC 边上的高，故A 不符合题意，
BE
AC
⊥
，线段BE 是AC 边上的高，B 选项符合题意；
CF
AB
⊥
于点F ，
CF
是AB 边上的高，故C 选项不符合题意，D 选项不符合题意．
故选：B．
6．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC 中，AD
BC
⊥
于点D
FA
AB
⊥
，
于点A ，则△ABC 的
边BC 上的高是（ ）
A．BD
B．AF
C．AD
D．AB
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段
叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得．
【详解】解：∵在△ABC 中，AD
BC
⊥
于点D ，
∴△ABC 的边BC 上的高是AD，
故选：C．
题型二：正确识别三角形的角平分线、高、中线
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，1
2
= ，G 为AD的中点，连接BG 并延长交AC
于点E．过点C 作CF
AD
⊥
于点H，交AB 于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段AD是ABE
的角平分线
B．线段CH 是ACD
中AD边上的高
C．线段BE 是
ABD
△
中AD边上的中线
D．线段AH 是△ABC 的角平分线
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【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念．根据三角形的角平分线、三
角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角
形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对
边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】解：A、由1
2
= ，根据三角形的角平分线的概念，知AG 是ABE
的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的高的概念，知CH 为ACD
的边AD上的高，故本选项正确；
C、根据三角形的中线的概念，知BG 是
ABD
△
中AD上的中线，故本选项错误；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是
ABC
的角平分线，故本选项错误．
故选：B．
2．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，ABC
的角平分线AD与中线BE交于点O，对于下列结论：①
AO 是ABE
的角平分线；②BO是ABD
的中线；③AE
CE
＝
；④OB
OE
＝
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】B
【分析】本题三角形的角平分线、中线的概念和性质，掌握三角形的角平分线、中线的概念是解题的关键．
根据三角形的角平分线、中线的概念判断即可．
【详解】解：∵ABC
的角平分线AD与中线BE交于点O，
∴AO 是ABE
的角平分线，AE
EC
=
，BO不是ABD
的中线，
故①③正确，符合题意；②错误，不符合题意；
∵AO 不是ABE
的中线，
∴BO
EO
，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25 八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，D，E 是AC 上两点，且AE
DE
=
，
BD平分
EBC
，那么下列说法中不正确的是（ ）
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A．BE 是
ABD
△
的中线
B．BD是BCE
的角平分线
C．1
2
3
= =
D．BC 是BCE
的高
【答案】C
【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容
是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A 选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义
即可判断出B 选项的正误；利用角平分线的性质只能得到
2
3
=
，但没有办法得到1
2
3
= = ，可判
断出C 选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D．
【详解】解：∵AE
DE
=
，即点E 为AD中点，
∴BE 是
ABD
△
的中线，故A 正确，不符合题意；
∵BD平分
EBC
，
∴BD是BCE
的角平分线，故B 正确，不符合题意；
∵BD平分
EBC
，
∴
2
3
=
．
∵AE
DE
=
，AB
BD
，
∴
2
1
，故C 错误，符合题意；
∵
90
C
=
，即BC
CE
⊥
，
∴BC 是BCE
的高，故D 正确，不符合题意．
故选C．
4．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，ABC
的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确
的是（ ）
A．AO 是ABE
的角平分线
B．ED是EBC
的角平分线
C．DE 是ADC
的中线
D．BO是ABD
的角平分线
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【答案】D
【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得
ABE
EBC
=
，BD
CB
=
，逐项判断即可判
定BO是ABD
的角平分线．
【详解】解：A∵ABC
的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴
ABE
EBC
=
，BD
CB
=
，
在ABE
中，
BAD
不一定等于
CAD
，
∴AO 不一定是ABE
的角平分线，A 错误；
B∵
DEB
不一定等于
DEC
，那么ED不一定是EBC
的角平分线，B 错误；
C 在ADC
中，AE
CE
，DE 不一定是ADC
的中线，C 错误；
D∵
ABE
EBC
=
，
∴BO是ABD
的角平分线，D 正确；
故选：D．
5．
（24-25 八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在△ABC 中，AB 边上的高是 ，BC 边上的高是 ；
在△BCF 中，CF 边上的高是 ．
【答案】 CE / EC AD/ DA BC /CB
【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个
三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可．
【详解】解：在△ABC 中，AB 边上的高是CE ，BC 边上的高是AD；在△BCF 中，CF 边上的高是BC ．
故答案为：CE ；AD；BC
题型三：三角形角平分线、高、中线中相关概念
1．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
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【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等
概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：A 、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
B、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
C 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
D 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：C ．
2．（24-25 七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60°
D．三角形的内角和与三角形形状无关
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可．
【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形
内部，故本选项错误，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；
C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60 度，故本选项错误，不符合
题意；
D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180 度，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（24-25 七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三
条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（ ）
A．3个
B．2 个
C．1个
D．0 个
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高的定义，根据三角形的中线、角平分线、高的定义逐个分
析判断，即可求解．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故原说法正确；
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②三角形的三条高所在的直线交于一点，故原说法正确；
③三角形的三条中线必交于一点，故原说法正确；
说法正确的有3个．
故选：A．
4．（24-25 七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（ ）
A．都在这个三角形内
B．都在这个三角形外
C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外
D．可能和这个三角形的一边重合
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的中线的概念即可解答．
【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部，
故答案为：A．
5．（23-24 八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做
三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的
概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．
【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误；
②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误；
③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确．
故选：A．
题型四：根据三角形的中线求线段长度
1．
（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，CD是△ABC 的中线，
9
BC =
，
4
=
AD
，若ACD
的周长比
BCD
△
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的周长小4，则△ABC 的周长为 ．
【答案】22
【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可．
【详解】解：∵CD为△ABC 的AB 边上的中线，
∴
4
BD
AD
=
=
，
∴
8
AB
BD
AD
=
+
=
，
∵ACD
的周长比
BCD
△
的周长小4，
∴(
) (
)
4
BC
BD
CD
AC
AD
CD
+
+
−
+
+
=
，
∴
4
BC
AC
−
=
，
∵
9
BC =
，
∴
5
AC = ，
∴△ABC 的周长为
8 9 5
22
AB
BC
AC
+
+
= + + =
，
故答案为：22．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）已知AD是△ABC 的边BC 上的中线，若
ABD
△
的周长比ACD
的周长
大6，则AB 与AC 的差是 .
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依
据三角形中线的定义，即可得到BD
CD
=
，再根据
ABD
△
的周长比ACD
的周长大6，即可得出AB 与AC
的差为6．
【详解】解：
AD
是△ABC 的边BC 上的中线，
BD
CD
=
，
ABD
△
的周长比ACD
的周长大6，
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(
)
(
)
6
AB
BD
AD
AC
CD
AD
+
+
−
+
+
=
，
即
6
AB
AC
−
= ，
故答案为：6．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中(
),
2
,
AB
BC
AB
AC AC
=
边上的中线BD把△ABC
的周长分成30 和20 两部分，则BC 的长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到CD
AD
=
，根据
2
AB
AC
=
，得到
4
AB
AD
=
，根据BD把△ABC 的周长分成30 和20 两部分，进行求解即可．
【详解】解：∵BD为中线，
∴
1
2
CD
AD
AC
=
=
，
∵
2
AB
AC
=
，
∴
4
AB
AD
=
，
∵中线BD把△ABC 的周长分成30 和20 两部分，且AB
BC
，
∴
30,
20
AB
AD
BC
CD
+
=
+
=
，
∴5
30
AD =
，
∴
6
AD =
，
∴
6
CD
AD
=
=
，
∴
20
14
BC
CD
=
−
=
；
故答案为：14．
4．（23-24 七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC 中，E，G 分别是AB ，AC 上的点，F，D 是BC
上的点，连接EF ，AD，DG ，AB
DG
∥
，1
2
180
+=
．
(1)求证：AD
EF
∥
；
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(2)若DG 是
ADC
的平分线，
2
140
=
，
60
C
=
，求
AGD
的度数；
(3)若△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，当中线AD将△ABC 分成周长差为2cm 的两部分，求AC 的长．
【答案】(1)见解析(2)
100
AGD
=
(3)
4cm
AC =
或20 cm
3
【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出
1
BAD
=
，再根据题意可得出
2
180
BAD
+=
，最后根据
同旁内角互补，两直线平行，即可得出AD
EF
；
（2）根据题意可求出1
的大小，再根据角平分线的定义，得出
1
GDC
= ，最后根据三角形外角的性质，
即可求出
AGD
的大小；
（3）设
cm
AB
BC
x
=
=
，则
(
)
16
2
cm
AC
x
=
−
，得出
3
2
ABD
C
x
AD
=
+
，
3
16
2
ACD
C
x
AD
=
−
+
，分两种情况：
当
2cm
ABD
ACD
C
C
−
=
时，当
2cm
ACD
ADB
C
C
−
=
时，分别列出方程，求出x 的值，再求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵AB
DG
∥
，
∴
1
BAD
=
，
∵1
2
180
+=
，
∴
2
180
BAD
+=
，
∴AD
EF
．
（2）解：∵1
2
180
+=
，
2
140
=
，
∴1 180 140
40
=
−
=
，
∵DG 是
ADC
的平分线，
∴
1
40
GDC
= =
，
∵
60
C
=
，
∴
40
60
100
AGD
GDC
C
=
+
=
+
=
．
（3）解：∵△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，
∴设
cm
AB
BC
x
=
=
，则
(
)
16
2
cm
AC
x
=
−
，
∵AD是△ABC 的中线，
∴
1 cm
2
BD
CD
x
=
=
，
则
1
3
2
2
ABD
C
AB
BD
AD
x
x
AD
x
AD
=
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)
1
3
16
2
16
2
2
ACD
C
AC
CD
AD
x
x
AD
x
AD
=
+
+
=
−
+
+
=
−
+
，
当
2cm
ABD
ACD
C
C
−
=
时，3
3
16
2
2
2
x
AD
x
AD
+
−
−
+
=
，
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解得：
6
x =
，
∴
(
)
16
2 6
4 cm
AC =
−
=
；
当
2cm
ACD
ADB
C
C
−
=
时，
3
3
16
2
2
2
x
AD
x
AD
−
+
−
+
=
，
解得：
14
3
x =
，
∴
(
)
14
20
16
2
cm
3
3
AC =
−
=
；
综上可知：
4cm
AC =
或20 cm
3
．
5．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在△ABC 中，AD是中线，
10cm
AB =
，
6cm
AC =
．
(1)求
ABD
△
与ACD
的周长差．
(2)点E 在边AB 上，连接ED，若△BDE 与四边形ACDE 的周长相等，求线段AE 的长．
【答案】(1)4cm (2)2cm
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）
ABD
△
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，由中线的定义可得BD
CD
=
，即可
解答；
（2）由图可知BDE
的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，BD
DC
=
，所以
BE
AE
AC
=
+
，则可解得AE 长．
【详解】（1）解：
ABD
△
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，
∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
∴
ABD
△
与ACD
的周长差：(
) (
)
4cm
AB
BD
AD
AC
CD
AD
AB
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
；
（2）解：由图可知：BDE
的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，
又∵BDE
的周长与四边形ACDE 的周长相等，D 是BC 的中点，
∴BD
DC
=
，BE
BD
DE
AE
AC
DC
DE
+
+
=
+
+
+
，
∴BE
AE
AC
=
+
，
又∵
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，BE
AB
AE
=
−
，
∴AE
AC
AB
AE
+
=
−
，
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∴10
6
AE
AE
−
=
+ ，
∴
2cm
AE =
．
6．（24-25 八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC 中，AE 是边BC 上的中线，AD
BC
⊥
交BC 于点D ，
F 为AB 的中点，连接EF ．已知
6
AD =
，△ABC 的面积为24．
(1)求CE 的长．
(2)若
7
AE =
，求
AEF
△
与
BEF
△
的周长差．
【答案】(1)4 (2)3
【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识．
（1）根据三角形的面积求出
8
BC = ，根据三角形中线即可求出CE 的长；
（2）根据三角形中线得到AF
BF
=
，
AEF
△
的周长
AE
EF
AF
AE
EF
BF
=
+
+
=
+
+
，
BEF
△
的周长
BE
EF
BF
=
+
+
，作差即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
6
AD =
，△ABC 的面积为24．AD
BC
⊥
交BC 于点D ，
∴1
1
6
24
2
2
AD BC
BC
=
=
，
解得
8
BC = ，
∵AE 是边BC 上的中线，
∴
1
4
2
CE
BE
BC
=
=
=
（2）∵F 为AB 的中点，
∴AF
BF
=
∵
AEF
△
的周长
AE
EF
AF
AE
EF
BF
=
+
+
=
+
+
，
BEF
△
的周长
BE
EF
BF
=
+
+
，
∴
AEF
△
与
BEF
△
的周长差
7
4
3
AE
BE
=
−
=
−
= ．
题型五：三角形中相关作图题
1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C
在小正方形的顶点上．
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15 /
(1)画出△ABC 中边AB 上的高CD；
(2)画出△ABC 中边AC 上的中线BE；
(3)直接写出ABE
的面积为______．
(4)
9
AB =
，直接写出CD =______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4 (4)16
9
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）利用网格特征作BH
AB
⊥
，再利用平移的性质作CG 交AB 于点D，即可得到答案；
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E 点，连接BE 即可得到答案；
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，CD为所求；
（2）解：如图所示，BE为所求；
（3）解：
1
1
4 4
4
2
4
ABE
ABC
S
S
=
=
=
；
（4）解：∵
1
·
8
2
ABC
S
ABCD
=
=
，
9
AB =
，
∴
2 8
16
9
9
CD
=
=
．
2．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）如图，已知ABC
，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边AB 上的高CD；
(2)过点D作直线BC 的垂线，垂足为E ；
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16 /
(3)点B 到直线CD的距离是线段_______的长度；
(4)线段CE 的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3) BD；(4)C ，DE ；
【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．
( )
1 过点C 作线段CD
BA
⊥
垂足D 在BA的延长线上，线段CD即为AB 边上的高；
( )
2 过点E 作线段DE
BC
⊥
，垂足为点E ，线段DE 即为所求；
( )
3 点B 到直线CD的距离是点B 到直线CD的垂线段DE 的长度；
( )
4 因为线段CE 是点C 到线段DE 的垂线段，所以线段CE 是点C 到线段DE 的距离．
【详解】（1）解：如下图所示，
线段CD即为AB 边上的高；
（2）解：如下图所示，
（3）解：点B 到直线CD的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；
（4）解：线段CE 的长度表示点C 到直线DE 的距离，
故答案为：C ，DE ；
3．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 均在
小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
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17 /
(1)画出△ABC 的边BC 上的高AD；
(2)画出△ABC 的边AC 上的中线BE ；
(3)过点B 作AC 的平行线BF ；
(4)线段
10
AB =
，直接写出点C 到直线AB 的距离______．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)12
5
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积．
（1）根据三角形的高的定义画图即可．
（2）根据三角形的中线的定义画图即可．
（3）运用网格特征，观察AC ，且结合平行线的判定，即可作图．
（4）由题意可得
12
ABC
S
=
△
，再根据三角形面积公式列式计算得点C 到直线AB 的距离，即可作答．
【详解】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：如图，BE 即为所求；
（3）解：过点B 作AC 的平行线BF ，如图所示：
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18 /
（4）解：依题意，
1
1
4 6
12
2
2
ABC
S
BC
AD
=
=
=
，
∵线段
10
AB =
，
∴点C 到直线AB 的距离
12
12
1
1
5
10
2
2
ABC
S
AB
=
=
=
．
故答案为：12
5 ．
4．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，AB
AC
，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边BC 上的高AD；
(2)点A 到直线BC 的距离是线段______的长度；
(3)边BC 上有一点E ，连接AE ，如果
ABE
AEC
S
S
=
，那么线段AE 是△ABC 的______；（填“高”、“中线”或“角
平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果
:
2:3
ED CD =
，
6
AED
S
=
△
，那么
ABC
S
=
______．
【答案】(1)见解析(2) AD(3)中线(4)30
【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义画图即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（3）由题意可得BE
CE
=
，则线段AE 是△ABC 的中线；
（4）由题意可得，
:
2:3,
AED
ADC
S
S
=
则
9,
ADC
S
=
进而可得，
15
AEC
AED
ADC
S
S
S
=
+
=
， 则
2
30.
ABC
AEC
S
S
=
=
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19 /
【详解】（1）解：如图，AD即为所求，
（2）解：点A 到直线BC 的距离是线段AD的长度，
故答案为：AD；
（3）解：如图，
,
ABE
AEC
S
S
=
,
BE
CE
=
∴线段AE 是△ABC 的中线，
故答案为：中线；
（4）解：
:
2:3,
ED CD =
6
AED
S
=
△
，
:
2:3,
AED
ADC
S
S
=
9,
ADC
S
=
15,
AEC
AED
ADC
S
S
S
=
+
=
2
30
ABC
AEC
S
S
=
=
，
故答案为：30．
5．（23-24 七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ABC 的
三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D，点E、F 分别是B、
C 的对应点．
(1)画出△ABC 中AB 边上的高CH （提醒：别忘了标注字母）；
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20 /
(2)请画出平移后的DEF
（提醒：别忘了标注字母）；
(3)求平移后的DEF
的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3
【分析】本题考查了平移作图，画三角形的高，利用网格求图形的面积，确定平移后图形的基本要素有两
个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确
定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；
（2）利用点A 、D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B 、C 的对应点E 、F 即可；
（3）利用三角形面积公式计算出DEF
的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，CH 即为所做AB 边上的高；
（2）解：如图所示，DEF
即为所求；
（3）解：
1
2 3
3
2
DEF
S
=
=
．
6．（23-24 七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1 个单位，每个小正方形
的顶点叫格点．
(1)将△ABC 向左平移8 格，再向下平移1 格．请在图中画出平移后的A B C
；
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21 /
(2)利用网格在图中画出△ABC 的中线BD，高线AE ；
(3)在图中能使
ABC
PBC
S
S
=
的格点P 的个数有 个（点P 异于A）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)9
【分析】本题考查了平移作图，作中线和高线，平行线间的距离等知识，熟练掌握相关知识点正确作图即
可．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）取AC 中点D，连接BD即为中线；延长BC 与过点A 的水平线的交点为E ，AE 即为高线；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，以及平行线间的距离相等，过点A 作与BC 平行的直线l ，点P 为直
线l 上的格点，即可得解．
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所求作；
（2）解：如图，中线BD，高线AE 即为所求作；
（3）解：过点A 作与BC 平行的直线l ，点P 为直线l 上的格点，
则除点A 外，格点P 的个数有9个；
题型六：网格中求面积问题
1．（24-25 八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1 的正方形，则△ABC 的面积是（ ）
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22 /
A．1.5
B．2.5
C．3.5
D．4.5
【答案】C
【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得△ABC 的面积等于正方形的面积减去3个直角三角形的面
积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：
1
1
1
4 4
1 1
3 4
3 4
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
3.5
=
；
故选：C．
2．（24-25 八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做
格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，则△ABC 的面积为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可．
【详解】解：根据网格特点可知，BD
AC
⊥
交AC 的延长线于点D，
∵
2,
3,
AC
BD
=
=
∴△ABC 的面积
1
1
2 3
3
2
2
AC BD
=
=
=
，
故答案为：3
3．（24-25 九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的
每一个顶点都在格点上，则格点四边形ABCD的面积为 ．
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23 /
【答案】13
【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可．
【详解】解：如图，作长方形DFHE ，
∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1，
∴
4
FH =
，
5
HE = ，
1
AF = ，
2
BF =
，
2
BH =
，
4
CH =
，
1
CE = ，
4
DE =
∴
1
1
1
5 4
1 2
2 4
1 4
13
2
2
2
ABF
BCH
DCE
ABCD
FHED
S
S
S
S
S
=
−
−
−
= −
−
−
=
△
△
△
四边形
矩形
．
故答案为：13
4．（23-24 八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D、F 在网格中的格点处，AF 与BC 相交于点E，
设小正方形的边长为1，则阴影部分DEF
的面积等于 ．
【答案】4.5
【分析】本题主要考查三角形的面积，由网格图求解
ADE
和
ADF
△
的面积，再利用
DEF
ADF
ADE
S
S
S
=
−
可
求解．
【详解】解：由图可知：四边形ABCD为平行四边形，
∴
1
1
2 3
3
2
2
ADE
ABCD
S
S
=
=
=
四边形
，
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24 /
∵
1
5 3
7.5
2
ADF
S
=
=
，
∴
7.5 3
4.5
DEF
ADF
ADE
S
S
S
=
−
=
−=
．
故答案为：4.5．
5．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为(2,4)，(6,2) ，(2,0) ，则三
角形ABC 的面积为 ．
【答案】8
【分析】此题考查了利用网格求三角形的面积，坐标与图形等知识．求出
4
AC =
，三角形ABC 的边AC 上
的高为4，即可求出答案．
【详解】解：由题意，得
4
AC =
，
∵点B 的坐标为(6,2) ，边AC
y
轴，
∴点B 到直线AC 的距离为6
2
4
−
=
，
即三角形ABC 的边AC 上的高为4，
∴
1
4 4
8
2
ABC
S
=
=
三角形
．
故答案为：8
6．（24-25 七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1 厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，
其面积是( )平方厘米。
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25 /
【答案】46
【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与
长方形，再相加即可求解．
【详解】解：如图所示，
阴影部分面积为：
1
1
1
5 6
6 1
7 2
6 2
46
2
2
2
+
+
+
=
故答案为：46 ．
7．（24-25 八年级上·重庆·阶段练习）如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B ，C 均在
格点上，D是AB 与网格线的交点，则CD的长为 ．
【答案】8
3 /
2
2 3
【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是
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26 /
解题的关键．利用网格求出△ABC 的面积，再利用
3
2
ABC
DBC
DAC
S
S
S
CD
=
+
=
△
△
△
即可求解．
【详解】解：由图可得△ABC 的面积为
1
1
1
3 3
1 3
2 2
1 3
4
2
2
2
−
−
−
=
，
由
1
1
3
2
1
2
2
2
ABC
DBC
DAC
S
S
S
CD
CD
CD
=
+
=
+
=
△
△
△
，
则3
4
2CD =
，
解得：
8
3
CD =
，
故答案为：8
3 ．
题型一：根据三角形的中线求面积
1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC 中，D
E
F
，，
分别是BC
AD
CE
，
，
的中点，
2
4cm
ABC
S
=
△
，则
BEF
S
等于（ ）
2
cm
A．2
B．1
C．0.5
D．0.25
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得
2
1
1
4
2cm
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，得到
2
1
1cm
2
BDE
ABD
S
S
=
=
，
2
1
1cm
2
CDE
ACD
S
S
=
=
，求出
2
2cm
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
=
，得到
2
1
1cm
2
BEF
BCE
S
S
=
=
，
即可得到答案．
【详解】解：D
E
F
，，
分别是BC
AD
CE
，
，
的中点，
2
4cm
ABC
S
=
△
，
2
1
1
4
2cm
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，
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27 /
2
1
1cm
2
BDE
ABD
S
S
=
=
，
2
1
1cm
2
CDE
ACD
S
S
=
=
，
2
2cm
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
=
，
2
1
1cm
2
BEF
BCE
S
S
=
=
，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC 中，D、E、F 分别为BC
AD
CE
、
、
的中点，且
2
48cm
ABC
S
=
，则DEF
的面积等于（ ）
A．
2
4cm
B．
2
6cm
C．
2
8cm
D．
2
10cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据
ABC
的面积，依次得出
ADC
△
、CDE
及DEF
的面积即
可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键．
【详解】解：
2
48cm
ABC
S
=
，且点D 是BC 的中点，
2
1
24cm
2
ACD
ABC
S
S
=
=
△
△
．
点E 是AD的中点，
2
1
12cm
2
CDE
ACD
S
S
=
=
△
△
．
点F 为CE 的中点，
2
1
6cm
2
DEF
CDE
S
S
=
=
△
△
．
故选：B．
3．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC 中，点A ，B ，C 分别是线段
1A B ，
1
B C ，
1
C A的
中点，若△ABC 的面积是1，则
1
1
1
A BC
△
的面积是（ ）
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28 /
A．4
B．6
C．7
D．9
【答案】C
【分析】本题考查三角形的中线，连接
1
AB ，
1
BC ，
1
CA ，根据三角形的中线平分面积求出
1
1
1
1
1
1 1
2
A BB
A AB
ABB
S
S
S
=
+
= + =
△
△
△
，同理得到
1
1
2
B CC
S
=
△
，
1
1
2
A AC
S
=
△
，分割法求出
1
1
1
A BC
△
的面积即可．
【详解】如图，连接
1
AB ，
1
BC ，
1
CA ，
点A ，B ，C 分别是线段
1A B ，
1
B C ，
1
C A的中点，
1
1
ABB
ABC
S
S
=
=
△
△
，
1
1
1
1
A AB
ABB
S
S
=
=
△
△
，
1
1
1
1
1
1 1
2
A BB
A AB
ABB
S
S
S
=
+
= + =
△
△
△
，
同理，
1
1
2
B CC
S
=
△
，
1
1
2
A AC
S
=
△
，
1 1 1
1
1
1
1
1
1
2
2
2 1
7
A B C
A BB
B CC
A AC
ABC
S
S
S
S
S
=
+
+
+
=
+
+
+ =
△
△
△
△
△
，
故选：C．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，BD是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是
ABD
△
的边BD上的中线，BF
是ABE
的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是16，则阴影部分的面积是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
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29 /
【答案】A
【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中
线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：
BD
是
ABC
的边AC 上的中线，
1
1 16
8
2
2
ABD
BCD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
，
AE
是
ABD
△
的边BD上的中线，
1
1 8
4
2
2
ABE
ADE
ABD
S
S
S
=
=
=
=
，
BF
是ABE
的边AE 上的中线，
1
1
4
2
2
2
BEF
ABF
ABE
S
S
S
=
=
=
=
，
由题意，可知：ED，CF 均为
ACE
△
的中线，
1
4
2
CEF
ACF
ADE
ACE
S
S
S
S
=
=
=
=
，
则
2
4
6
BEF
CEF
S
S
S
=
+
=
+
=
阴影
，
故选：A．
5．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，
3
BC
BD
=
，连接AD，点E 是
AD上一点，
:
2:3
AE ED =
，连接CE ，点F 是CE 上一点，连接BF 交AD于点G ，若
2
BGD
EFG
S
S
−
=
，
20
ABC
S
=
，则四边形FGDC 的面积是 ．
【答案】15
2
【分析】本题考查的是等高的三角形的面积之间的关系，多项式的乘法，理解等高的两个三角形的面积关
系是解本题的关键，先依次求解
16
3
ACE
S
=
，
24
8
3
DCE
S
=
=
，
10
3
BDF
S
=
，
20
3
CDF
S
=
，
20
4
8
3
3
DEF
CDE
CDF
S
S
S
=
−
= −
=
，设
EFG
S
x
=
，则
2
BGD
S
x
=
+
，可得
2
BEG
S
x
=
−
，
4
3
FGD
S
x
=
−
，结合
BGE
FEG
BGD
FGD
S
S
EG
S
S
DG
=
=
，可得
BGE
FGD
BGD
EFG
S
S
S
S
=
，再建立方程求解即可.
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【详解】解：∵
20
ABC
S
=
，
3
BC
BD
=
，
∴
2
CD
BD
=
，
∴
20
3
ABD
S
=
，
40
3
ACD
S
=
，
∵
:
2:3
AE ED =
，
∴
16
3
ACE
S
=
，
24
8
3
DCE
S
=
=
，
如图，连接BE ，DF ，
∵
:
2:3
AE ED =
，
20
3
ABD
S
=
，
∴
8
3
AEB
S
=
，
12
4
3
BED
S
=
=
，
∵
2
BGD
EFG
S
S
−
=
，
∴
2
BED
BEF
S
S
−
=
，
∴
2
BEF
S
=
△
，
∵
4
8
12
BCE
BED
CDE
S
S
S
=
+
=
+
=
，
∴
12
2
10
BCF
BCE
BEF
S
S
S
=
−
=
−
=
，
∵
2
CD
BD
=
，
∴
10
3
BDF
S
=
，
20
3
CDF
S
=
，
20
4
8
3
3
DEF
CDE
CDF
S
S
S
=
−
= −
=
，
设
EFG
S
x
=
，则
2
BGD
S
x
=
+
，
∴
2
BEG
S
x
=
−
，
4
3
FGD
S
x
=
−
，
∵
BGE
FEG
BGD
FGD
S
S
EG
S
S
DG
=
=
，
∴
BGE
FGD
BGD
EFG
S
S
S
S
=
，
∴(
)
(
)
4
2
2
3
x
x
x
x
−
−
=
+
，
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解得：
1
2
x =
，
∴四边形FGDC的面积是：
1
15
8
2
2
CDE
EFG
S
S
−
= −
=
.
故答案为：15
2
6．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC 的面积为1，分别延长BC 至点D ，使CD
BC
=
，
延长CA 至点E ，使AE
AC
=
，延长AB 至点F ，使BF
AB
=
，依次连接DE
EF
FD
，
，
，则阴影部分的面积
为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接AD
BE
CF
、
、
，可得
1
ABE
ABC
S
S
=
=
，即得
1
BEF
ABE
S
S
=
=
，
进而得到
2
AEF
ABE
BEF
S
S
S
=
+
=
，同理可得
2
BDF
S
=
，
2
CDE
S
=
△
，再根据
AEF
BDF
CDE
S
S
S
S
=
+
+
阴影
即可求
解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AD
BE
CF
、
、
，
∵AE
AC
=
，
∴
1
ABE
ABC
S
S
=
=
，
∵BF
AB
=
，
∴
1
BEF
ABE
S
S
=
=
，
∴
1 1
2
AEF
ABE
BEF
S
S
S
=
+
= + =
，
同理可得，
2
BDF
S
=
，
2
CDE
S
=
△
，
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32 /
∴
2
2
2
6
AEF
BDF
CDE
S
S
S
S
=
+
+
=
+ +
=
阴影
，
故答案为：6 ．
7．（24-25 八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 的中点，连
接AE ，BF ，CD交于点G ，△ABC 的面积为6，设BDG
的面积为
1S ，CGF
△
的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
+
= ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的
关系．
利用三角形中线平分面积性质，得出
3
ACD
BCD
ABF
BCF
S
S
S
S
=
=
=
=
．根据中点及等底等高三角形面积相
等，得到
1
ADG
BDG
S
S
S
=
=
，
2
CFG
AFG
S
S
S
=
=
．分别表示出
1
2
2
ABF
S
S
S
=
+
，
2
1
2
ACD
S
S
S
=
+
，将二者相
加构建关于
1
2
S
S
+
的等式并求解．
【详解】∵D，F 分别是
ABC
的边AB ，AC 的中点，△ABC 的面积为6，
∴
3
1
2
ACD
BCD
ABC
S
S
S
=
=
=
，
3
1
2
ABF
BCF
ABC
S
S
S
=
=
=
．
∵F 是AC 中点，D是AB 中点，BDG
的面积为
1S ，
CGF
△
的面积为
2
S ，
∴
1
ADG
BDG
S
S
S
=
=
，
2
CFG
AFG
S
S
S
=
=
∴
1
2
2
3
ABF
ADG
BDG
AFG
S
S
S
S
S
S
+
=
+
=
+
=
2
1
2
ACD
AGF
CGF
ADG
S
S
S
S
S
S
=
+
+
=
+
．
∴
2
1
1
2
2
2
3 3
ABF
ACD
S
S
S
S
S
S
+
=
+
+
+
= +
，即
1
2
3(
)
6
S
S
+
=
，
解得
1
2
2
S
S
+
=
．
故答案为：2．
8．
（24-25 六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，点E 是AD的中点，
2
CF
EF
=
，
2
5
GC
BC
=
，
则BFG
的面积是长方形ABCD面积的 ．
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【答案】1
5
【分析】本题考查了分数的应用，三角形的面积公式；根据三角形的面积公式可得
2
3
CBF
EBC
S
S
=
，
1
2
EBC
ABCD
S
S
=
长方形
，则
1
3
CBF
ABCD
S
S
=
长方形
，进而得出
3
5
BFG
BCF
S
S
=
，即可求解．
【详解】解：∵
2
CF
EF
=
∴
1
2
EFB
CBF
S
EF
S
FC
=
=
∴
2
3
CBF
EBC
S
S
=
又∵
1
1
2
2
EBC
ABCD
S
BC
AB
S
=
=
长方形
∴
2
1
1
3
2
3
CBF
ABCD
ABCD
S
S
S
=
=
长方形
长方形
∵
2
5
GC
BC
=
∴
3
5
BG
BC
=
∴
3
5
BFG
BCF
S
BG
S
BC
=
=
即
1
3
3
1
5
5
5
3
A
BFG
BC
BCD
ABCD
F
S
S
S
S
=
=
=
长方形
长方形
故答案为：1
5 ．
题型二：利用三角形的面积求高
1．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知D 、E 分别为△ABC 的边BC 、AC 的中点，连接BE ，AF
为ABE
的中线，连接FD ，若
8
BC = ，四边形AFDC 的面积为20 ，则△ABC 的BC 边上高长为（ ）
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34 /
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，连接DE ，设
DEF
S
x
=
△
，BC 边上高长为h，由三
角形中线的性质得
2
2
DEB
DEF
S
S
x
=
=
，
1
2
AFE
ABE
S
S
=
，即得
2
DEC
DEB
S
S
x
=
=
，
2
4
BCE
DEB
S
S
x
=
=
，进而
得
2
8
ABC
BCE
S
S
x
=
=
，
4
ABE
BCE
S
S
x
=
=
，即得到
1
2
2
AFE
ABE
S
S
x
=
=
，再根据四边形AFDC 的面积为20 得
2
2
20
x
x
x
+ +
=
，解得
4
x = ，即得到
8
32
ABC
S
x
=
=
，最后根据三角形面积公式计算即可求解，掌握三角形
的中线性质是解题的关键．
【详解】解：连接DE ，设
DEF
S
x
=
△
，BC 边上高长为h，
∵AF 为ABE
的中线，
∴点F 为BD的中点，
∴
2
2
DEB
DEF
S
S
x
=
=
，
1
2
AFE
ABE
S
S
=
，
∵点E 是BC 的中点，
∴
2
DEC
DEB
S
S
x
=
=
，
2
4
BCE
DEB
S
S
x
=
=
，
∵点E 是AC 的中点，
∴
2
8
ABC
BCE
S
S
x
=
=
，
4
ABE
BCE
S
S
x
=
=
，
∴
1
1
4
2
2
2
AFE
ABE
S
S
x
x
=
=
=
，
∵四边形AFDC 的面积为20 ，
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∴2
2
20
x
x
x
+ +
=
，
解得
4
x = ，
∴
8
32
ABC
S
x
=
=
，
∴1
1
·
8
32
2
2
BC h
h
=
=
，
解得
8
h = ，
故选：C ．
2.（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC 中，
2
AB
AC
=
=
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
⊥
于点E ，PF
AC
⊥
于点F ，若
1
ABC
S
=
△
，则PE
PF
+
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键．
根据题意得到
1
1
·
·
1
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
+
=
+
=
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AP ，
∵
,
,
2,
1
ABC
PE
AB PF
AC AB
AC
S
⊥
⊥
=
=
=
，
∴
1
1
·
·
1
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
+
=
+
=
，
(
)
1
1
2 AB PE
PF
+
= ，
∴
1
PE
PF
+
= ，
故选：A
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36 /
3．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC 中，AB
AC
=
，D 为BC 中点，过点D 作DP
AB
⊥
，
3
DP =
，E 为BC 上一点，过点E 作EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
4.2
EM =
，则EN = ．
【答案】1.8
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出
1
1
2
2
ABC
ABF
ACF
S
S
S
AB DF
AC EF
=
+
=
+
是解此题的关键．连接AD，AE ，根据D 为BC 中点，得出
1
2
ABD
ACD
S
S
AB DP
=
=
，从而得出
2
ABC
ABD
ACD
ABD
S
S
S
S
AB DP
=
+
=
=
，根据三角形面积得出
1
1
2
2
ABC
ABE
ACE
S
S
S
AB EM
AC EN
=
+
=
+
，从而得出
1
1
2
2
AB DP
AB EM
AB EN
=
+
，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，AE ，
，D 为BC 中点，
∴
1
2
ABD
ACD
S
S
AB DP
=
=
，
∴
2
ABC
ABD
ACD
ABD
S
S
S
S
AB DP
=
+
=
=
，
∵EM
AB
⊥
，EN
AC
⊥
，
1
1
2
2
ABC
ABE
ACE
S
S
S
AB EM
AC EN
=
+
=
+
，
∴
1
1
2
2
AB DP
AB EM
AB EN
=
+
，
∵
3
DP =
，
4.2
EM =
，
∴
1
1
3
4.2
2
2
AB
AB
AB EN
=
+
，
解得：
1.8
EN =
．
故答案为：1.8．
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4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC 中，
(
)
90
C
A
ABC
=
，点D，P 分别在边AB ，
AC 上，且BP
AP
=
，DE
BP
⊥
，DF
AP
⊥
，垂足分别为点E．F．若
24
ABC
S
=
，
8
AC =
，则DE
DF
+
的
值 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出
1
2
ABP
S
AP BC
=
△
，再根据
ABP
ADP
BDP
S
S
S
=
+
，得出
(
)
1
2
ABP
S
AP DE
DF
=
+
，即可得出
6
DE
DF
BC
+
=
=
．
【详解】解：∵
90
C
=
，
24
ABC
S
=
，
8
AC =
，
∴
1
2
ABP
S
AP BC
=
△
，
1
2
ABC
S
AC BC
=
，
∴
1
24
8
2
BC
=
，
∴
6
BC =
，
∵DE
BP
⊥
，DF
AP
⊥
，
∴
1
1
2
2
ABP
ADP
BDP
S
S
S
AP DF
BP DE
=
+
=
+
，
∵BP
AP
=
，
∴
(
)
1
1
1
2
2
2
ABP
S
AP DF
AP DE
AP DE
DF
=
+
=
+
，
∴
(
)
1
1
2
2
AP DE
DF
AP BC
+
=
，则
6
DE
DF
BC
+
=
=
，
故答案为：6．
5．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
6
AD =
，D 为BC 边
上一点，AD
CD
=
，P 为AC 上一点，过点P 作PM
AD
⊥
于点M ，PN
BC
⊥
于点N ，求PM
PN
+
的值 ．
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【答案】4
【分析】本题考查了三角形的面积，先求出
12
ACD
S
=
，然后根据1
1
12
2
2
CD PN
AD PM
+
=
即可求出
PM
PN
+
的值．
【详解】解：∵
6
AD =
，AD
CD
=
，
∴
6
CD = ，
∵
90
ABC
=
，
4
AB =
，
∴
1
6 4
12
2
ACD
S
=
=
．
∵PM
AD
⊥
，PN
BC
⊥
，
∴1
1
12
2
2
CD PN
AD PM
+
=
，
∴1
1
6
6
12
2
2
PN
PM
+
=
，
∴(
)
3
12
PN
PM
+
=
，
∴
4
PN
PM
+
=
，
古答案为：4．
6．
（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形ABC 中
5
AB =
，ABC
的面积15， BD
平分
ABC
交AC 于点D，若M 、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM
MN
+
的最小值为
【答案】6
【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点C 作CE
AB
⊥
于点E ，解题
的关键是理解CE 的长度即为CM
MN
+
最小值．
【详解】解：过点C 作CE
AB
⊥
于点E ，交BD于点M，过点M 作MN
BC
⊥
于N，
BD平分
ABC
，
⊥
ME
AB于点E ，M N
BC
⊥
于N，
M N
M E
=
，
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CE
CM
ME
=
+
当点M 与M重合，点N 与N 重合时，CM
MN
+
的最小值．
三角形ABC 的面积为15，
5
AB =
，
1
5
15
2
CE
=
，
6
CE =
．
即CM
MN
+
的最小值为6 ．
故答案为：6 ．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中，
90 ,
,
,
ACB
AD
BC BE
AC CF
AB
⊥
⊥
⊥
，垂足
分别为D ，E ，F ，则△ABC 的边BC 上的高为线段 ，边AC 上的高为线段 ；若
9
5,
4,
5
AC
BC
BE
=
=
=
，则
ABC
S
为 ．
【答案】 AD BE 9
2
【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：因为AD
BC
⊥
，
所以△ABC 的边BC 上的高为线段AD，
因为BE
AC
⊥
，
所以边AC 上的高为线段BE ，
因为
9
5,
5
AC
BE
=
=
所以
1
1
9
9
5
2
2
5
2
ABC
S
AC
BE
=
=
=
，
故答案为：AD，BE ，9
2 ．
题型三：三角形综合应用之多结论问题
1．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，
6
AB =
，
8
AC =
，
10
BC =
，AD是
高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
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40 /
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④
2.4
AD =
，以上说法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量
关系；根据三角形的中线和面积公式可确定ABE
和BCE
的面积关系以及求出AD的长度，从而可得答案．
【详解】解：
BE
是△ABC 的中线，
AE
EC
=
，
ABE
的面积等于BCE
的面积，
故①正确；
90
BAC
=
，AD是△ABC 的高，
∴
90
AFG
ACG
+
=
，
90
DCG
DGC
+
=
，
CF
是△ABC 的角平分线，
∴
ACG
DCG
=
，
AFG
DGC
=
，
又
DGC
AGF
=
，
AFG
AGF
=
，
故②正确；
FAG
DAC
DAC
ACD
+
=
+
90
=
，
FAG
ACD
=
，
ACD
ACF
DCF
=
+
2 ACF
=
，
2
FAG
ACF
=
故③正确；
∵2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，
6 8
4.8
10
AB AC
AD
BC
=
=
=
，
故④错误；
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41 /
故选：C
2．（24-25 七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，给出以下结论：①
ABE
BCE
S
S
；②
AFG
AGF
=
；③
2
FAG
ACF
=
；④AD BC
AB AC
=
，其中结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，
同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可．
【详解】解：∵BE 是△ABC 的中线，
∴
ABE
BCE
S
S
=
，故①错误；
∵CF 是△ABC 的角平分线，
∴
1
2
ACF
BCF
ACB
，
∵
90
BAC
=
，AD是△ABC 的高，
∴
90 ,
90
ACF
AFC
CGD
BCF
+
=
+
=
，
∴
AFC
CGD
=
，
∵
AGF
CGD
=
，
∴
AFG
AGF
=
；故②正确；
∵
90 ,
90
ABC
ACB
ABC
BAD
+
=
+
=
，
∴
BAD
ACB
=
，即：
2
FAG
ACB
ACF
=
=
；故③正确；
∵
1
1
2
2
ABC
S
AB AC
BC AD
=
=
，
∴AD BC
AB AC
=
；故④正确；
故选B．
3．（24-25 八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC 中，
90
6
8
10
BAC
AB
AC
BC
AD
=
=
=
=
，
，
，
，
是高，
BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，下面说法正确的是（ ）
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①BCE
的周长
ABE
−△
的周长
4
=
；②
AFG
AGF
=
；③
ACF
BCF
S
S
=
；④
2
FAG
ACF
=
；⑤
2.4
AD =
A．①③⑤
B．①②④
C．①③④⑤
D．②③④
【答案】B
【分析】由AD是高，BE 是中线，CF 是角平分线，可得
90
ADC
=
，AE
CE
=
，
1
2
ACF
BCF
ACD
=
=
，
AF
BF
，根据BCE
的周长
ABE
−△
的周长为
(
)
4
BC
BE
CE
AB
BE
AE
+
+
−
+
+
=
，可判断①的正误；由
90
BAD
CAD
CAD
ACD
+
=
=
+
，可得
90
BAD
ACD
CAD
=
=
−
，则
90
AFG
ACF
=
−
，
90
AGF
ACF
=
−
，即
AFG
AGF
=
，进而可判断②的正误；由1
1
2
2
AF
AC
BF
AC
，可得
ACF
△
的面积
BCF
△
的面积，进而可判断③的正误；由
2
BAD
ACD
ACF
=
=
，可得
2
FAG
ACF
=
，进而
可判断④的正误；由
1
1
2
2
ABC
S
AB
AC
BC
AD
=
=
，可得1
1
6 8
10
2
2
AD
=
，解得
4.8
AD =
，进而可判
断⑤的正误．
【详解】解：∵AD是高，BE 是中线，CF 是角平分线，
∴
90
ADC
=
，AE
CE
=
，
1
2
ACF
BCF
ACD
=
=
，AF
BF
，
∴BCE
的周长
ABE
−△
的周长为
(
)
4
BC
BE
CE
AB
BE
AE
+
+
−
+
+
=
，①正确，故符合要求；
∴1
1
2
2
AF
AC
BF
AC
，则
ACF
△
的面积
BCF
△
的面积，③错误，故不符合要求；
∵
90
BAD
CAD
CAD
ACD
+
=
=
+
，
∴
90
BAD
ACD
CAD
=
=
−
，
∴
180
90
AFG
BAC
ACF
ACF
=
−
−
=
−
，
90
90
90
AGF
ACF
CAD
ACF
BAD
ACF
ACD
ACF
=
+
=
+
−
=
+
−
=
−
，
∴
AFG
AGF
=
，②正确，故符合要求；
∵
2
BAD
ACD
ACF
=
=
，
∴
2
FAG
ACF
=
，④正确，故符合要求；
∵
1
1
2
2
ABC
S
AB
AC
BC
AD
=
=
，
∴1
1
6 8
10
2
2
AD
=
，解得
4.8
AD =
，⑤错误，故不符合要求，
∴①②④正确，
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故选：B．
4．（23-24 七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ．下面说法中：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
：②
AFG
AGF
=
；③
2
BAD
ACF
=
；④AF
FB
=
．正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②③
D．③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质
是解题的关键．
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得
ABC
CAD
=
，利用三角形外角的性质结合角
平分线的定义可求解
AFG
AGF
=
，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定
④．
【详解】解：∵BE 是△ABC 的中线，
∴AE
CE
=
，
∴
BE
BCE
S
S
=
△A
△
，故①正确；
∵AD是△ABC 的高线，
∴
90
ADC
=
，
∴
90
ABC
BAD
+
=
，
∵
90
BAC
=
，
∴
90
BAD
CAD
+
=
，
∴
ABC
CAD
=
，
∵CF 为
ABC
的角平分线，
∴
1
2
ACF
BCF
ACB
，
∵
AFG
ABD
BCF
=
+
，
AGF
ACF
CAD
=
+
，
∴
AFG
AGF
=
，故②正确；
∵
90
BAD
CAD
ACB
CAD
+
=
+
=
，
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∴
BAD
ACD
=
，
∴
2
BAD
ACF
=
，故③正确；
根据已知条件无法证明AF
FB
=
，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
5．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABC
BD
BE
、
，
分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线
上，FH
BE
⊥
交BD于G ，交BC 于H ，下列结论：①
DBE
F
=；②2 BEF
BAF
C
=
+
；③
1 (
)
2
F
BAC
C
=
−
；④
BGH
ABE
C
=
+
，正确的序号是（ ）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明
结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明
DBE
BAC
C
DBE
=
=
=
，再结合①的结论可证明
结论③；证明
AEB
ABE
C
=
+
，再由BD
FC
⊥
，FH
BE
⊥
，可以证明结论④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，设BE 交FH 于点J ，
①∵BD
FD
⊥
，
∴
90
FGD
F
+
=
，
∵FH
BE
⊥
，
∴
90
BGJ
DBE
+
=
，
∵
FGD
BGJ
=
，
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∴
DBE
F
=，故①正确；
②∵BE 平分
ABC
，
∴
1
2
ABE
CBE
ABC
=
=
，
∵
BEF
CBE
C
=
+
，
∴2
2
2
2
BEF
CBE
C
ABC
C
=
+
=
+
，
∵
BAF
ABC
C
=
+，
∴2 BEF
BAF
C
=
+
，故②正确；
③∵
90
ABD
BAC
=
−
，
ABE
CBD
DBE
=
−
，
∴
90
DBE
ABE
ABD
CBD
DBE
BAC
=
−
=
−
−
+
，
∴2
90
DBE
CBD
BAC
=
−
+
，
∵
90
CBD
C
=
−
，
∴2 DBE
BAC
C
=
−
，
∴
(
)
1
2
DBE
BAC
C
=
−
，
由①得，
DBE
F
=，
∴
(
)
1
2
F
BAC
C
=
−
，故③正确；
④∵
AEB
EBC
C
=
+
，
ABE
EBC
=
，
∴
AEB
ABE
C
=
+
，
∵BD
FC
⊥
，FH
BE
⊥
，
∴
FGD
BGH
FEB
=
=
，
∴
BGH
ABE
C
=
+
，故④正确；
∴正确的序号是①②③④，
故选：D ．
题型四：三角形中三条重要线段综合
1．（23-24 七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC 中，E，G 分别是AB ，AC 上的点，F，D 是BC
上的点，连接EF ，AD，DG ，AB
DG
∥
，1
2
180
+=
．
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(1)求证：AD
EF
∥
；
(2)若DG 是
ADC
的平分线，
2
140
=
，
60
C
=
，求
AGD
的度数；
(3)若△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，当中线AD将△ABC 分成周长差为2cm 的两部分，求AC 的长．
【答案】(1)见解析(2)
100
AGD
=
(3)
4cm
AC =
或20 cm
3
【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出
1
BAD
=
，再根据题意可得出
2
180
BAD
+=
，最后根据
同旁内角互补，两直线平行，即可得出AD
EF
；
（2）根据题意可求出1
的大小，再根据角平分线的定义，得出
1
GDC
= ，最后根据三角形外角的性质，
即可求出
AGD
的大小；
（3）设
cm
AB
BC
x
=
=
，则
(
)
16
2
cm
AC
x
=
−
，得出
3
2
ABD
C
x
AD
=
+
，
3
16
2
ACD
C
x
AD
=
−
+
，分两种情况：
当
2cm
ABD
ACD
C
C
−
=
时，当
2cm
ACD
ADB
C
C
−
=
时，分别列出方程，求出x 的值，再求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵AB
DG
∥
，
∴
1
BAD
=
，
∵1
2
180
+=
，
∴
2
180
BAD
+=
，
∴AD
EF
．
（2）解：∵1
2
180
+=
，
2
140
=
，
∴1 180 140
40
=
−
=
，
∵DG 是
ADC
的平分线，
∴
1
40
GDC
= =
，
∵
60
C
=
，
∴
40
60
100
AGD
GDC
C
=
+
=
+
=
．
（3）解：∵△ABC 的周长为16cm，AB
BC
=
，
∴设
cm
AB
BC
x
=
=
，则
(
)
16
2
cm
AC
x
=
−
，
∵AD是△ABC 的中线，
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∴
1 cm
2
BD
CD
x
=
=
，
则
1
3
2
2
ABD
C
AB
BD
AD
x
x
AD
x
AD
=
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)
1
3
16
2
16
2
2
ACD
C
AC
CD
AD
x
x
AD
x
AD
=
+
+
=
−
+
+
=
−
+
，
当
2cm
ABD
ACD
C
C
−
=
时，3
3
16
2
2
2
x
AD
x
AD
+
−
−
+
=
，
解得：
6
x =
，
∴
(
)
16
2 6
4 cm
AC =
−
=
；
当
2cm
ACD
ADB
C
C
−
=
时，
3
3
16
2
2
2
x
AD
x
AD
−
+
−
+
=
，
解得：
14
3
x =
，
∴
(
)
14
20
16
2
cm
3
3
AC =
−
=
；
综上可知：
4cm
AC =
或20 cm
3
．
2．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在△ABC 中，AD是中线，
10cm
AB =
，
6cm
AC =
．
(1)求
ABD
△
与ACD
的周长差．
(2)点E 在边AB 上，连接ED，若△BDE 与四边形ACDE 的周长相等，求线段AE 的长．
【答案】(1)4cm (2)2cm
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）
ABD
△
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，由中线的定义可得BD
CD
=
，即可
解答；
（2）由图可知BDE
的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，BD
DC
=
，所以
BE
AE
AC
=
+
，则可解得AE 长．
【详解】（1）解：
ABD
△
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，ACD
的周长
AC
CD
AD
=
+
+
，
∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
∴
ABD
△
与ACD
的周长差：(
) (
)
4cm
AB
BD
AD
AC
CD
AD
AB
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
；
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（2）解：由图可知：BDE
的周长
BE
BD
DE
=
+
+
，四边形ACDE 的周长
AE
AC
DC
DE
=
+
+
+
，
又∵BDE
的周长与四边形ACDE 的周长相等，D 是BC 的中点，
∴BD
DC
=
，BE
BD
DE
AE
AC
DC
DE
+
+
=
+
+
+
，
∴BE
AE
AC
=
+
，
又∵
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，BE
AB
AE
=
−
，
∴AE
AC
AB
AE
+
=
−
，
∴10
6
AE
AE
−
=
+ ，
∴
2cm
AE =
．
3．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC 中，BE 是△ABC 的角平分线，点D 在边AB 上（不与
点A ，B 重合），CD与BE 交于点O．
(1)若CD是中线，
7
BC =
，
5
AC =
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为__________．
(2)若
80
A
=
，CD是角平分线，求
BOC
=__________．
(3)若
62
ABC
=
，CD是高，求
BOC
的度数．
【答案】(1)2 (2)130(3)121．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知
识是解题的关键．
（1）由CD是△ABC 的中线，得到AD
BD
=
，再分别求出
BCD
△
和ACD
的周长，求差即可；
（2）由三角形内角和定理求出
100
ABC
ACB
+
=
，再根据角平分线的性质求出
50
OBC
OCB
+
=
，
即可求解；
（3）由CD是△ABC 的高，得到
90
CDB
=
，从而得到
28
BCO
=
，根据BE 平分
ABC
，得到
31
OBC
=
，
即可求解．
【详解】（1）解：∵CD是△ABC 的中线，
∴AD
BD
=
，
∵
7
BC =
，
5
AC = ，
∴
BCD
△
的周长
7
BC
CD
BD
CD
BD
=
+
+
=
+
+
，
ACD
的周长
5
AC
CD
BD
CD
AD
=
+
+
= +
+
，
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∴
BCD
△
的周长−
ACD
的周长
(
)
7
5
2
CD
BD
CD
AD
=
+
+
−
+
+
=
，
故答案为：2 ；
（2）解：∵
80
A
=
，
∴
180
100
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∵BE 、CD是△ABC 的角平分线，
∴
1
2
OBC
ABC
=
，
1
2
OCB
ACB
=
，
∴
(
)
1
1
1
1 100
50
2
2
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
+
=
+
=
=
，
∴
(
)
180
180
50
130
=
−
+
=
−
=
BOC
OBC
OCB
，
故答案为：130；
（3）解：
CD
是△ABC 的高，
90
CDB
=
，
62
ABC
=
，
90
90
62
28
BCD
ABC
=
−
=
−
=
，即
28
BCO
=
，
BE
平分
ABC
，
1
1
62
31
2
2
EBC
ABC
=
=
=
，即
31
OBC
=
，
∴
180
180
28
31
121
BOC
OBC
BCO
=
−
−
=
−
−
=
．
4．（2025 八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为80，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
40
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
【答案】(1)8(2)60
【分析】（1）利用面积法求解即可．
（2）求出
ABC
，再根据
90
BAF
ABC
=
−
求解即可．
【详解】（1）解：∵AD是
ABC
的中线，
10
BD =
，
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∴
2
2 10
20
BC
BD
=
=
=
．
∵AF 是△ABC 的高，△ABC 的面积为80，
∴1
1
20
80
2
2
BC AF
AF
=
=
，
∴
8
AF =
．
（2）解：∵
40
BED
=
，
∴
180
140
AEB
BED
=
−
=
．
在ABE
中，
140
AEB
?
? ，
25
BAD
=
，
∴
180
140
25
15
ABE
=
−
−
=
．
∵BE 是
ABD
△
的角平分线，
∴
2
2 15
30
ABC
ABE
=
=
=
．
∵AF 是△ABC 的高，∴
90
AFB
=
，
∴
90
90
30
60
BAF
ABC
=
−
=
−
=
．
6．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上．
(1)若1
2
35
= =
，
3=
4
，求
DAC
的度数；
(2)若
2
2
6
9
0
AB
AC
AC
−
−
−
=
，AD为△ABC 的中线，
ABD
△
的周长与ACD
的周长之比为5:4，求ACD
的周长．
【答案】(1)
40
DAC
=
；
(2) ACD
的周长为12．
【分析】（1）利用外角性质得出
3
4
70
= =
，再用三角形的内角和即可求解；
（2 ）由
2
2
6
9
0
AB
AC
AC
−
−
−
=
，得
3
AB
AC
=
+ ，再根据三角形中线得性质得出BD
CD
=
，则
(
) (
)
:
5: 4
AB
AD
BD
AC
AD
CD
+
+
+
+
=
，然后代入即可求解；
本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，中线，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵1
2
35
= =
，3
1
2
?
?
?
，
∴
3
4
70
= =
，
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∴
180
3
4
180
70
70
40
DAC
=
−−=
−
−
=
，
（2）解：∵
2
2
6
9
0
AB
AC
AC
−
−
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
9
3
AB
AC
AC
AC
=
+
+
=
+
，
∴
3
AB
AC
=
+ ，
∵AD为△ABC 的中线，
∴BD
CD
=
，
∴
ABD
△
的周长为AB
AD
BD
+
+
，ACD
的周长为AC
AD
CD
+
+
，
∵
ABD
△
的周长与ACD
的周长之比为5:4，
∴(
) (
)
:
5: 4
AB
AD
BD
AC
AD
CD
+
+
+
+
=
，
∴
4
5
AD
CD
AB
AC
+
=
−
，
∴
(
)
4
3
5
12
AD
CD
AC
AC
AC
+
=
+
−
=
−
，
∴
12
AD
CD
AC
+
+
=
，
∴ACD
的周长为12．
7．（24-25 八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD，AE ，AF 分别是△ABC 的高线，角平分线和中线，
(1)下列结论：①BF
AF
=
，②
BAE
CAE
=
，③
1
2
ABF
ABC
S
S
=
△
△
，④
C
与
CAD
互余，其中正确的是
________（只填序号）．
(2)若
56
C
=
，
36
B
=
，求
DAE
的度数．
(3)若
C
B
，直接写出
DAE
与
C
B
−之间的数量关系．
【答案】(1)②③④(2)10(3)
1 (
)
2
DAE
C
B
=
−
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质
是解题的关键．
（1）依据
,
,
AD AE AF 分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出AD
BC
⊥
，
BAE
CAE
=
，
BF
CF
=
，据此分别判断各选项即可；
（2）先根据三角形的内角和求出
BAC
，然后分别求出
BAE
和
BAD
，再利用角的和差计算即可；
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（3）根据题意可以用
B
和
C
表示出
CAD
和
CAE
，从而可以得到
DAE
与
C
B
−的关系．
【详解】（1）解：∵AD，AE ，AF 分别是
ABC
的高线，角平分线，中线，
∴AD
BC
⊥
，
BAE
CAE
=
，BF
CF
=
，
而BF
AF
=
不一定成立，故①不正确，②正确；
∴
90
ADB
=
，
∴
90
C
CAD
+
=
，即
C
与
CAD
互余，④正确；
∴
1
2
ABF
S
BF AD
△
，
1
2
ABC
S
BC AD
BF AD
△
,
∴
1
2
ABF
ABC
S
S
=
△
△
，③正确；
综上所述，正确的是：②③④，
故答案为：②③④；
（2）解：∵
56
C
=
，
36
B
=
，
∴
180
180
36
56
88
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
，
∵
BAE
CAE
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
1
88
44
2
2
BAE
BAC
，
90
90
36
54
BAD
B
=
−=
−
=
，
∴
54
44
10
BAD
BAE
DAE
；
（3）解：
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
，
理由：在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，
180
CAB
B
C
=
−−，
90
CAD
C
=
−
，
1 (180
)
2
CAE
B
C
=
−−
，
1
1
(180
)
(90
)
(
)
2
2
DAE
B
C
C
C
B
=
−−
−
−
=
−
．
8．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，
4cm
AC =
，
3cm
BC =
，
5cm
AB =
，
若动点P 从点C 开始，按C
A
B
C
→
→
→
的路径运动，且速度为2cm/s，设运动的时间为st ．
(1)当t = ________时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分；
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(2)当t 为何值时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分？
(3)当P 在AC 上运动，t 为何值时，BCP
的面积为
2
4cm ？
【答案】(1)3(2)
13s
4
t =
(3)
4 s
3
t =
【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P 的位置是解题的关键．
（1）先求出ABC
的周长为12cm，所以当CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时
6
CA
AP
+
=
，再根据时间= 路程速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P 在AB 中点时，把△ABC 的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）当P 在AC 上时，根据
1
2
BCP
S
BC CP
=
列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵ABC
的周长为
5 4 3 12cm
AC
BC
AB
+
+
= + + =
，
∵CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分，
∴
6
CA
AP
+
=
，
∴当
6 2
3s
t = =
时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分，
故答案为：3；
（2）当CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分时，
点P 为AB 的中点，
∴点P 运动的路程为
5
13
4
2
2
+
=
，
∴
13
13
2
s
2
4
t =
=
，
∴当
13s
4
t =
时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分时；
（3）当P 在AC 上时，
∵BCP
的面积为
2
4cm ，
∴
1
1
3 2
4
2
2
BCP
S
BC CP
t
=
=
=
，
解得：
4 s
3
t =
，
∴当
4 s
3
t =
时，BCP
的面积为
2
4cm ．
1．（23-24 七年级上·山东淄博·阶段练习）给出下列说法正确的是（ ）
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A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高
D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键．
根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误；
B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法
错误；
C．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说
法错误；
D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确；
故选：D．
2．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，AD、CE 是ABC
的两条高，
4
AB =
，
16
5
CB =
，
7
CE
AD
+
=
，
则ABC
的面积为（ ）
A．56
9
B．112
9
C．140
9
D．70
9
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关
键是列出CE 的方程．
根据三角形的面积公式列出CE 的方程进行解答便可．
【详解】解：∵AD、CE 是ABC
的两条高，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CE
CB AD
=
=
，
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又∵
4
AB =
，
16
5
CB =
，
7
CE
AD
+
=
，
∴1
1
16
4
(7
)
2
2
5
CE
CE
=
−
∴
28
9
CE =
，
∴
1
1
28
56
4
2
2
9
9
ABC
S
AB CE
=
=
=
，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，
2
AF
FB
=
，
3
CE
AE
=
，
连接CF 交DE 于点P，则DP
EP 的值为（ ）
A．1
2
B．2
5
C．1
3
D．2
7
【答案】C
【分析】连接
,
DF EF ，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到
1
2
CDF
BFC
S
S
=
，
3
3
4
2
CEF
ACF
CBF
S
S
S
=
=
，
进而得到
CPD
FPD
FPE
CPE
S
S
DP
S
S
PE
=
=
，推出
1
2
3
2
BFC
FCD
FCE
BFC
S
S
DP
PE
S
S
=
=
，即可得解．
【详解】解：连接
,
DF EF ，
∵D 是边BC 上的中点，
∴
1
2
CDF
BFC
S
S
=
，
∵
2
AF
FB
=
，
∴
2
AFC
CBF
S
S
=
，
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∵
3
CE
AE
=
，
∴
3
3
4
2
CEF
ACF
CBF
S
S
S
=
=
，
∵
CPD
FPD
FPE
CPE
S
S
DP
S
S
PE
=
=
，
∴
FPD
CPD
FPE
CPE
S
S
DP
S
S
PE
+
=
+
，
即：
1
1
2
3
3
2
BFC
FCD
FCE
BFC
S
S
DP
PE
S
S
=
=
=
；
故选C．
4．
（24-25 七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E ，F 分别在AB ，CD上，AF
CE
⊥
，垂足为点O，AEC
B
= ，
若
4
AF =
，
3
BF = ，
5
AB =
，则点F 到直线AB 的距离为（ ）
A．3
B．2.5
C．2.4
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直
线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
首先证明EC
BF
∥
，再证明
90
AFB
=
，最后运用面积法可求出点F 到直线AB 的距离．
【详解】解：∵
AEC
B
= ，
∴EC
BF
∥
，
∵AF
CE
⊥
，
∴
90
COF
COA
=
=
,
∴
90
BFA
COF
=
=
，
设点F 到直线AB 的距离为h，且
4
AF =
，
3
BF = ，
5
AB =
，
∴
1
1
·
·
2
2
AFB
S
AF FB
AB h
=
=
，
∴1
1
3 4
5
2
2
h
=
，
∴
12
2.4
5
h =
=
，
故选：C
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5．（24-25 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC 中，AD
AE
AF
，
，
分别是BC 边上的高线、角平分线、
中线，下列结论错误的是（ ）
A．
90
ADB
=
B．
1
2
BAF
BAC
=
C．BF
CF
=
D．
ABF
ACF
S
S
=
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平
分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键．
分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可．
【详解】解：
AD
是BC 上的高线，
90
ADB
=
，
A
正确，不符合题意；
AE
是
BAC
的平分线，
1
2
BAE
BAC
=
，
B
错误，符合题意；
AF
是BC 上的中线，
BF
CF
=
，
ABF
ACF
S
S
=
，
CD
正确，不符合题意．
故选：B．
6．（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，AD是△ABC 的中线，DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，E，F 分别是垂
足．已知
2
AB
AC
=
，
12
DE =
，则DF 的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积．
根据三角形中线的性质得到
ABD
△
的面积
ACD
=△
的面积，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：
AD
是△ABC 的中线，
ABD
的面积
ACD
=△
的面积，
DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，
1
1
2
2
AB DF
AC DE
=
，
2
AB
AC
=
，
1
1
2
2
2
AC DF
AC DE
=
，
2
DE
DF
=
，
12
DE =
，
6
DF
=
．
故选：C．
7．（2025 九年级下·云南·学业考试）已知AD是△ABC 边BC 上的中线，P 是AD的中点，若
PBD
△
的面积
为2，则△ABC 的面积为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【分析】本题考查三角形中线的性质—中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．由于P 是AD的中点，AP
DP
=
，那么
PBA
△
和
PBD
△
可看作等底同高的两个三角形，根据三角
形的面积公式，得出
PBA
△
和
PBD
△
的面积相等，进而得出
ABD
△
的面积等于
PBD
△
的面积的2 倍；同理，
由于D是BC 的中点，得出
ABC
的面积等于
ABD
△
的面积的2 倍，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
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点P 是AD的中点，
PBD
△
的面积为2，
2
PBA
PBD
S
S
=
=
△
△
，
4
ADB
PBA
PBD
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
AD
是
ABC
边BC 上的中线，
4
ADC
ADB
S
S
=
=
△
△
，
8
ADC
A
A
BC
DB
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
故选：B．
8．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，D 是ABC
的边BC 上任意一点，E
F
、分别是线段AD
CE
、
的
中点，且ABC
的面积为
2
20cm ，则BEF
的面积是
2
cm ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键．
根据点E 是AD中点，得到
(
)
2
10
DBE
DCE
BCE
S
S
S
cm
+
=
=
，根据点F 是CE 的中点，得到
(
)
2
1
5
2
BEF
BFC
BCE
S
S
S
cm
=
=
=
，由即可求解．
【详解】解：∵点E 是AD中点，
∴
,
ABE
DBE
ACE
DCE
S
S
S
S
=
=
，
∴
(
)
2
2
2
20
DBE
DCE
ABC
S
S
S
cm
+
=
=
，
∴
(
)
2
10
DBE
DCE
BCE
S
S
S
cm
+
=
=
，
∵点F 是CE 的中点，
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∴
(
)
2
1
5
2
BEF
BFC
BCE
S
S
S
cm
=
=
=
，
故答案为：5 ．
9．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC 中(
)
AC
AB
，
2
AC
BC
=
，BC 边上的中线AD把△ABC
的周长分成60 和40 两部分，AC 和AB 的长分别为 ．
【答案】48 和28
【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由题意可得
60,
40
AC
CD
AB
BD
+
=
+
=
，则
20
AB
AC
=
−
，进而根据三角形中线的性质，得出
5
20
100
2
AC
BC
AB
AC
+
+
=
−
=
，即可求解．
【详解】解：因为AD是△ABC 中BC 边上的中线，所以BD
CD
=
．
因为
2
AC
BC
=
，所以
1
2
BC
AC
=
．
因为BC 边上的中线AD把△ABC 的周长分成60 和40 两部分，AC
AB
，
所以
(
)
60
40
20
AC
CD
AB
BD
AC
AB
+
−
+
=
−
=
−
=
，即
1
5
20,
20
20
60
40
100
2
2
AB
AC
AC
BC
AB
AC
AC
AC
AC
=
−
+
+
=
+
+
−
=
−
=
+
=
，
解得
48
AC =
，则
48 20
28
AB =
−
=
．
故答案为：48 和28 ．
10．（24-25 七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知AD，AE 分别是△ABC 的中线和高，且
5cm
AB =
，
3cm
AC =
，则
ABD
△
与ACD
的周长的差为 cm．ABD
△
的面积与ACD
的面积的关系为 ．
【答案】 2cm
ABD
ACD
S
S
=
【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
根据三角形的中线的定义可得BD
CD
=
，然后求出
ABD
△
与ACD
的周长之差
AB
AC
=
−
．由
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1
1
,
2
2
ABD
ABC
ACD
ABC
S
S
S
S
=
=
可得
ABD
ACD
S
S
=
．
【详解】解：∵AD为中线，
∴BD
CD
=
，
∴
ABD
△
与ACD
的周长之差
(
)
(
)
AB
AD
BD
AC
AD
CD
AB
AC
=
+
+
−
+
+
=
−
，
∵
5cm
3cm
AB
AC
=
=
，
，
∴
ABD
△
与ACD
的周长之差
5 3
2 cm
= −=（
）．
∵
1
1
,
2
2
ABD
ABC
ACD
ABC
S
S
S
S
=
=
，
∴
ABD
ACD
S
S
=
．
故答案为：2cm ；
ABD
ACD
S
S
=
．
11．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为60 ，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
42
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
【答案】(1)
6
AF =
(2)
56
BAF
=
【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关
键是掌握相关知识．
（1）由三角形的中线定理可得：
1
30
2
ACD
ABC
S
S
=
=
△
△
，
10
CD
BD
=
=
，再结合
1
30
2
ACD
S
CD AF
=
=
，即可
求解；
（2）根据三角形的外角性质可求出
17
ABE
=
，根据角平分线的定义可得
34
ABF
=
，最后根据三角形
的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：AD是
ABC
的中线，
ABC
的面积为60 ，
1
30
2
ACD
ABC
S
S
=
=
△
△
，
10
CD
BD
=
=
，
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1
30
2
ACD
S
CD AF
=
=
，
2 30
60
6
10
AF
CD
=
=
=
，
6
AF =
；
（2）
42
BED
=
，
25
BAD
=
，
42
25
17
ABE
BED
BAD
=
−
=
−
=
，
BE 是
ABD
△
的角平分线，
2
34
ABF
ABE
=
=
，
AF 是△ABC 的高，
90
AFB
=
，
180
180
34
90
56
BAF
ABF
AFB
=
−
−
=
−
−
=
，
56
BAF
=
．
12．（24-25 七年级下·全国·期中）如图，在△ABC 中，
BAC
为钝角，以BC 为边作长方形BCED ．
(1)猜想：
ADE
ABD
ACE
S
S
S
−
−
=
△
△
△
（ ）
A．
ABD
S
B．
ADE
S
C．
ABC
S
D．
BCED
S长方形
(2)用两种方法证明你的猜想．
【答案】(1)C(2)见解析
【分析】本题考查三角形的面积，利用割补法表示三角形的面积是解题的关键．
（1）根据（2）中证明得到结论即可；
（2）方法一：过点A 作AF
BD
⊥
交DB延长线于点F ，延长FA、EC 交于点H ，得到BFCH 和四边形FDEH
为长方形，然后得到
1
1
·
,
?
2
2
ABD
ACE
S
BD AF S
CE AH
=
=
1
·
2
ADE
S
DE DF
=
，计算
ADE
ABD
ACE
S
S
S
−
−
即可解
题；方法二：过点A 作AP
BD
交DE 于点P ，得到(
)
2
ABD
ACE
BCED
S
S
S
+
=
长方形
，然后计算
ADE
ABD
ACE
S
S
S
−
−
解题即可．
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【详解】（1）根据（2）中证明得到
ADE
ABD
ACE
ABC
S
S
S
S
−
−
=
，
故选：C；
（2）方法一：将三角形面积进行表示计算
过点A 作AF
BD
⊥
交DB延长线于点F ，延长FA、EC 交于点H ，
∵四边形BCED 为长方形，
90
DBC
BDE
BCE
CED
=
=
=
=
，
∴四边形BFCH 和四边形FDEH 为长方形，
,
90 ,
,
FH
DE
H
AF
AH
BC
DE BD
CE
=
=
+
=
=
=
，
∵
1
1
·
,
?
2
2
ABD
ACE
S
BD AF S
CE AH
=
=
1
·
2
ADE
S
DE DF
=
，
ADE
ABD
ACE
S
S
S
−
−
1
1
1
2
2
2
DE DF
BD AF
CE AH
=
−
−
(
)
1
1
2
2
DE DF
BD
AF
AH
=
−
+
1
1
2
2
DE DF
BD DE
=
−
(
)
1
2 DE
DF
BD
=
−
1
2
DE BF
=
1
2
BC BF
=
ABC
S
=
；
方法二：利用图形的拼接与转化
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64 /
如图，过点A 作AP
BD
交DE 于点P ，
∵四边形BCED 是长方形，
1
2
ABD
ACE
BDP
CEP
BCED
S
S
S
S
S
+
=
+
=
长方形
，
(
)
2
ABD
ACE
BCED
S
S
S
+
=
长方形
，
∴
(
)
ADE
ABD
ACE
ABC
ABD
ACE
BCED
S
S
S
S
S
S
S
−
−
=
+
−
+
−
长方形
ABD
ACE
S
S
−
，
(
)
2
ABC
ABD
ACE
BCED
S
S
S
S
=
+
−
+
长方形
ABC
S
=
．
13．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，
B 重合），连接CD交BE 于点O．
(1)若CD是中线，
5
BC = ，
3
AC =
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为 ；
(2)若CD
AB
⊥
，
60
ABC
=
，求
BOC
的度数．
【答案】(1)2 (2)120
【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）由三角形中线的概念可得AD
BD
=
，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案；
（2）由三角形的高的概念可得
=90
BDC
，由三角形角平分线的定义可得
1
30
2
ABE
ABC
=
=
，由三角
形外角的性质可得
BOC
BDC
ABE
=
+
，于是得解．
【详解】（1）解：
CD
是△ABC 的中线，
AD
BD
=
，
5
BC =
，
3
AC = ，
BCD
△
与ACD
的周长差
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(
) (
)
BC
BD
CD
AC
AD
CD
=
+
+
−
+
+
BC
AC
=
−
5 3
= −
2
=
，
故答案为：2 ；
（2）解：
CD
AB
⊥
，
90
BDC
=
，
BE
是△ABC 的角平分线，
60
ABC
=
，
1
1
60
30
2
2
ABE
ABC
=
=
=
，
90
30
120
BOC
BDC
ABE
=
+
=
+
=
．
14．（2025 七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】
运用基本事实“同位角相等，两直线平行”
证明“两直线平行，同位角相等”．
已知：如图1，直线AB ，CD被直线EF 所截，AB
CD
∥
．求证：1
2
= ．
证明：首先，假设1
2
，那么可以过点O 作直线GH ，使得
2
EOH
= ．根据“同位角相等，两直线平
行”可以得到GH
CD
∥
，这样，过点O 就有两条直线AB ，GH 都与CD平行，这与基本事实“过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾．
所以假设不正确，于是1
2
= ．
【解决问题】
(1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程．
已知：如图2，
,
,
AB
CD EF
AB GH
AB
⊥
⊥
∥
．求证：EF
GH
=
．
首先，假设________，将GH 沿着直线BA的方向平移，使点G 与点E 重合，点H 的对应点Q 在直线AB 上．因
为EF
GH
，所以点Q 与点F 不重合．由
,
EQ
GH GH
AB
⊥
∥
，易得EQ
AB
⊥
，而EF
AB
⊥
，同时EQ
AB
⊥
，
这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是EF
GH
=
．
(2)如图3，
1
,
AB
CD S
∥
表示
EFO
△
的面积，
2
S 表示
GHO
△
的面积．求证：
1
2
S
S
=
．
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(3)按照要求，画出图形，并简要说明画法．
①如图4，过点A 画一条直线，将△ABC 分割成面积相等的两部分；
②如图5，在△ABC 中，N 是AB 上的一点（不是中点），过点N 画一条直线将△ABC 分割成面积相等的两
部分．
【答案】(1) EF
GH
，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”
(2)见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）由阅读材料可求解；
（2）由两条平行线之间的距离处处相等，可得
EFH
GFH
S
S
=
△
△
，即可证
1
2
S
S
=
；
（3）①取BC 的中点D，连接AD，则直线AD即为所求；
②取BC 的中点D，连接ND，过点A 作AM
ND
∥
，交BC 于点M，连接MN ，则直线MN 即为所求直线．
【详解】（1）解：补全证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程．
假设EF
GH
，将GH 沿着直线BA的方向平移，使点G 与点E 重合，点H 的对应点Q 在直线AB 上．
∵EF
GH
，
∴点Q 与点F 不重合．
由
,
EQ
GH GH
AB
⊥
∥
，得EQ
AB
⊥
，而EF
AB
⊥
，同时EQ
AB
⊥
，这与基本事实“在同一平面内，过一点
有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以假设不正确，于是EF
GH
=
．
故答案为：EF
GH
，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”．
（2）证明：过点E 作EP
AB
⊥
于点P，过点G 作GQ
AB
⊥
于点Q．
由（1）可知，EP
GQ
=
．
∵
1
1
,
2
2
EFH
GFH
S
FH EP S
FH GQ
=
=
△
△
，
∴
EFH
GFH
S
S
=
△
△
．
∵
1
EFH
OFH
S
S
S
=
−
△
△
．
2
GFH
OFH
S
S
S
=
−
△
△
，
∴
1
2
S
S
=
．
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67 /
（3）解：①如图1，取BC 的中点D，连接AD，则直线AD即为所求．
②如图2，取BC 的中点D，连接ND，过点A 作AM
ND
∥
，交BC 于点M，连接MN ，则直线MN 即为所
求．
根据（2）同理可得∵
AEN
ADN
EDN
S
S
S
=
−
，
MED
MND
EDN
S
S
S
=
−
，
根据平行线间距离相等得出
ADN
MND
S
S
=
，
∴
AEN
MED
S
S
=
，
根据中线可得
ABD
ACD
S
S
=
，
∴
,
MNB
ABD
MED
AEN
ABD
ACD
MED
AEN
ACD
ACMN
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
−
=
=
−
+
=
四边形
．
∴
MNB
ACMN
S
S
=
四边形
．
