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1.6 线段垂直平分线的性质
课标要点
1.理解线段垂直平分线定义，分清垂直与平分双重条件，能用文字、图形、符号三种语言
完整描述该几何图形，准确辨别正误图形。
2.探究并掌握线段垂直平分线性质定理，自主完成定理逻辑证明，规范书写推理步骤，会
用定理计算线段长度。
3.掌握线段垂直平分线判定定理，理清性质与判定的因果区别，能依据条件判断点是否在
线段垂直平分线上。
4.熟练运用尺规作图法作线段垂直平分线，知晓每一步作图依据，规范保留圆弧痕迹，准
确作出标准图形。
5.结合三角形题型综合运用定理，挖掘图中隐藏相等线段，提升几何逻辑推理能力，解决
求值与证明类习题。
学习重难点
重点：
1.熟记垂直平分线性质定理，熟练转化几何符号语言，利用线段相等完成简单计算与基础
证明题。
2.掌握尺规作线段垂直平分线完整步骤，理解作图原理，规范作图格式，保留全部作图圆
弧痕迹。
3.分清性质与判定定理用途，根据已知条件正确选取定理，完成基础几何推理书写。
难点：
1.区分性质、判定定理的逻辑因果，做题时易颠倒条件结论，难以精准匹配对应几何题型。
2.在三角形综合图形中，快速识别垂直平分线，找出隐藏等线段建立等量关系解题。
3.理解尺规作图背后全等三角形原理，独立严谨证明所作直线为线段垂直平分线。
第一章
认识三角形
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知识点一 线段垂直平分线
1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；
2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线
段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造
条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外
心.
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即学即练
．．．．
1．（25-26 八年级上·浙江湖州·期末）如图，在ABC
中，边BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，
E ，若ABC
的周长为12，
5
CB = ，则ABD
的周长为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由DE 是BC 垂直平分线，得
,
DB
DC BE
EC
=
=
；利用
ABC
周长求出
7
AB
AC
+
=
；转化ABD
周长为AB
AC
+
即可求得结果．
【详解】解：∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴
,
DB
DC BE
EC
=
=
．
∵ABC
的周长为12，即
12
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴
12
12 5
7
AB
AC
BC
+
=
−
=
−=
．
∵ABD
的周长
AB
BD
AD
=
+
+
，且BD
DC
=
，
∴ABD
的周长
7
AB
DC
AD
AB
AC
=
+
+
=
+
=
．
故选：C．
2．（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在ABC
中，AD是
BAC
的平分线，AD的垂直平分线
交BC 的延长线于点F ，已知
50
B =
∠
，则
CAF
的度数为______．
【答案】50/50 度
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是
解题的关键．根据线段垂直平分线得出AF
DF
=
，推出∠
∠
FAD
FDA
=
，根据角平分线得出
CAD
BAD
=
，根据三角形外角性质得到
FAD
CAF
CAD
=
+
，结合
FDA
B
BAD
= +
，即可得到
50
CAF
B
= =
．
【详解】解：
AD
的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，
AF
DF
=
，
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FAD
FDA
=
，
AD
平分
BAC
，
CAD
BAD
=
，
FAD
CAF
CAD
=
+
，
FDA
B
BAD
= +
，
50
CAF
B
= =
．
故答案为：50．
3．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在ABC
中，AB 边的垂直平分线1l 交BC 于点D ，AC 边的垂
直平分线2l 交BC 于点E ．
(1)若ADE
的周长为15cm，求BC 的长；
(2)若
30 ,
50
=
=
B
C
，求
DAE
的度数．
【答案】(1)15cm
(2)20
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到
,
DA
DB EA
EC
=
=
，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理和等边对等角进行计算即可．
【详解】（1）解：
1l
是AB 边的垂直平分线，
DA
DB
=
，
2l
是AC 边的垂直平分线，
EA
EC
=
，
BC
BD
DE
EC
DA
DE
EA
=
+
+
=
+
+
，
ADE
的周长为15cm，即
15cm
DA
DE
EA
+
+
=
，
15cm
BC
=
；
（2）解：由题意得，
180
100
BAC
B
C
=
−−
=
，
30
50
80
B
C
+
+
=
=
，
,
DA
DB EA
EC
=
=
，
,
BAD
B
EAC
C
=
=
，
(
)
DAE
BAC
BAD
EAC
=
−
+
(
)
BAC
B
C
=
−
+
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20
=
．
知识点二 线段垂直平分线的画法
1.分别以点A、B 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
2.过C、D 两点作直线（直线CD 就是线段AB 的垂直平分线）.
即学即练
．．．．
4．（25-26 八年级上·浙江杭州·阶段检测）小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中
圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法及其性质是解题的
关键．根据题意可知，到三角形三个顶点距离相等的点为三条边的垂直平分线的交点，再根据线段垂直平
分线的作法，逐项分析即可解答．
【详解】解：∵小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，
∴该点为三角形三边的垂直平分线的交点，
选项中只有选项B 中的作图痕迹为其中两条边的线段垂直平分线，故可用直尺找到此点，
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故选：B．
5．（25-26 八年级上·浙江·期中）如图，已知ABC
，AB
AC
，
60
A
=
，
80
C
=
．
(1)尺规作图：作线段BC 的垂直平分线，交AB 于点D ；
(2)求
ACD
的度数．
【答案】(1)
解：如图所示：
图中垂直平分线即为所求；
(2)40
【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性
质是解决问题的关键．
（1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案；
（2）由垂直平分线的性质得到DB
DC
=
，再由等腰三角形性质得到
DCB
B
= ，接着由三角形内角和定
理求出
40
B
=
，从而三角形结合表示出
ACD
求解即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示：
由（1）知，DE 是线段BC 的垂直平分线，
DB
DC
=
，
则
DCB
B
= ，
在ABC
中，
60
A
=
，
80
ACB
=
，则
180
40
B
A
ACB
=
−−
=
，
8
4
0
4
0
0
ACD
ACB
DCB
ACB
B
=
=
−
=
−=
−
．
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6．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在ABC
中，
45
ABC
=
，分别以点A，C 为圆心，大
于1
2 AC 长为半径画弧，两弧相交于点P 和点Q，过P，Q 两点作直线分别交AC
AB
，
于点D，E．
(1)根据作图过程判断：直线DE 是线段AC 的______．
(2)当CE
CB
=
时，将
ACE
△
绕点C 旋转，使CE 与CB 重合得到
A CB
△
，AC 的对应边A C
交AB 于点F，
补全图形，并求
EFC
的度数．
【答案】(1)垂直平分线
(2)
补全图形如下：
67.5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角
的性质，熟知线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据作图方法可得答案；
（2）根据等边对等角得到
CEB
的度数，由线段垂直平分线的性质得到AE
CE
=
，根据等边对等角和三
角形外角的定义求出
ECA
的度数，由旋转的性质得到
BCA
的度数，据此由三角形外角的性质可得答
案．
【详解】（1）解：由作图方法可知直线DE 是线段AC 的垂直平分线；
（2）解：∵CE
CB
=
，
∴
45
CEB
CBE
=
=
，
∵直线DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴AE
CE
=
，
∴
EAC
ECA
=
，
∵
45
CEB
EAC
ECA
=
+
=
∠
∠
∠
，
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∴
22.5
EAC
ECA
=
=
，
由旋转的性质可得
22.5
BCA
ECA
=
=
∠
∠
，
∴
67.5
EFC
BAC
CBF
=
+
=
∠
∠
∠
．
题型01 垂直平分线的基本概念
典｜例｜精｜析
1．关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等．
其中，正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质以及定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线，正确；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故③不正确；
综上分析可知，正确的说法有2 个，故B 正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的定义与性质，掌握垂直平分线的定义与性质是解题的关键．经过某一条
线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”．垂直平分线可以
看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴．
变｜式｜巩｜固
2．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作ABC
，AD是BC 的垂直平分线．下列说法错误
．．的是
解题贴士
需同时满足垂直、平分线段两个条件，二者缺一不可；直线、射线不存在垂直平分线，仅线段独有，线
上任意点到线段两端距离相等。
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（ ）
A．AB
AC
=
B．BD
CD
=
C．
=
B
CAD
D．ABD
ACD
≌
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本
题的关键．根据垂直平分线的性质，得出AB
AC
=
，BD
CD
=
证明
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，再逐一判断即可
解答．
【详解】解：∵AD是BC 的垂直平分线，
∴AB
AC
=
，BD
CD
=
又∵AD
AD
=
∴
(
)
SSS
ABD
ACD
≌
，故A，B，D 正确，
由已知条件无法得出
=
B
CAD
，即
=
B
CAD
不一定成立，选项C 符合题意．
故选：C．
3．如图，直线l 是AB 的垂直平分线，P，Q 是直线l 上两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AP
AQ
=
，BP
BQ
=
B．AB
PQ
=
C．AP
BP
=
，AQ
BQ
=
D．PA
PB
AQ
BQ
=
=
=
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，即可作出判断．
【详解】∵直线l 是AB 的垂直平分线，P，Q 是直线l 上两点，
∴AP
BP
=
，AQ
BQ
=
．
故选：C．
4．如图，线段AB
CD
⊥
，垂足为点O，CO
DO
=
，则下列说法正确的有（ ）
①AB 垂直平分CD；
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②CD垂直平分AB ；
③CD的垂直平分线是AB ；
④AB 的垂直平分线是CD所在的直线；
⑤CD的垂直平分线是AB 所在的直线．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的定义，根据线段垂直平分线的定义逐个判断即可．
【详解】解：①∵线段AB
CD
⊥
，CO
DO
=
，
∴AB 垂直平分CD，故①正确；
②不能证明CD垂直平分AB ，故②④错误；
③CD的垂直平分线是AB 所在的直线．故③错误，⑤正确；
说法正确的有2 个，
故选：B．
题型02 垂直平分线的判定
典｜例｜精｜析
5．有不在同一直线的
, ,
A B C 三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则
活动中心应建在（ ）
A．ABC
三条中线的交点
B．ABC
三条角平分线的交点
C．ABC
三条高线的交点
D．ABC
三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可确定满足条件的点的位置.
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等.
解题贴士
判定需两点到线段两端距离均相等，两点确定直线才可判定；单点相等不能判定，注意区分判定与性质
的条件结论，切勿混淆。
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∴要使点到A，B 的距离相等，该点一定在AB 的垂直平分线上，
同理，要使点到B ，C 的距离相等，该点一定在BC 的垂直平分线上.
∴两条垂直平分线的交点，到A，B ，C 三个点的距离都相等，
∴活动中心应建在ABC
三条边的垂直平分线的交点.
变｜式｜巩｜固
6．如图，在ABC
中，D是BC 上的一点，连接AD，作DE
AB
⊥
交AB 于点E ，DF
AC
⊥
交AC 于点
F ，且AD平分
BAC
，连接EF ．
(1)证明：AD垂直平分EF ；
(2)若ABC
面积为36,
12,
4
BC
DE
=
=
，求ABC
的周长．
【答案】(1)证明：
DF
AC
⊥
，DE
AB
⊥
，
AED
AFD
=
，
AD
平分
BAC
，
EAD
FAD
=
，
在AED
和AFD
中，
AED
AFD
EAD
FAD
AD
AD
=
=
=
(
)
AED
AFD AAS
≌
，
,
DE
DF AE
AF
=
=
，
点A和点D在EF 的垂直平分线上，
AD
垂直平分EF ；
(2)30
【分析】（1）证明AED
AFD
≌
，可得AE
AF
DE
DF
=
=
，
，从而得到点A和点D 在EF 的垂直平分线上
即可．
（2）由三角形的面积可求出
18
AB
AC
+
=
，根据三角形周长公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得ADE
ADF
≌
，
90
AED
AFD
=
=
，DE
DF
=
，
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(
)
1
1
1
36
2
2
2
ABC
S
AB DE
AC DF
DE AB
AC
=
+
=
+
=
，
4
DE =
18
AB
AC
+
=
，
12
BC =
ABC
的周长为30．
7．如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 为CD的中点，连接AE ，BE，BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的
延长线于点F ．求证：
(1) AD
FC
=
；
(2) BE是AF 的垂直平分线；
(3)猜想：线段AB ，BC ，AD之间关系，并说明理由．
【答案】(1)证明：
AD
BC
∥
，
,
EAD
F
D
ECF
=
=
，
又∵E 为CD的中点，
DE
CE
=
，
在ADE
和
FCE
△
中
EAD
F
D
ECF
DE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
FCE
≌
，
∴AD
FC
=
．
(2)证明：∵ADE
FCE
≌
，
∴AE
FE
=
，
又∵BE
AE
⊥
，
∴BE是AF 的垂直平分线；
(3)结论：AB
BC
AD
=
+
，理由如下：
在
AEB
△
和FEB
中，
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90
AE
FE
AEB
FEB
BE
BE
=
=
=
=
，
(
)
AEB
FEB SAS
≌
，
AB
FB
=
，
由（1）可知FC
AD
=
，
AB
FB
BC
FC
BC
AD
=
=
+
=
+
，
即AB
BC
AD
=
+
．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得
,
F
DAE
ECF
D
=
=
，再根据线段中点的定义可得CE
DE
=
，
然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）由（1）得AE
FE
=
，再由垂直平分线的判定即可证明；
（3）根据全等三角形的判定和性质得出
AEB
FEB
△
≌△
，确定AB
FB
=
，由（1）可知FC
AD
=
，根据
AB
FB
BC
FC
BC
AD
=
=
+
=
+
即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
8．如图，在ABC
中，
90
BAC
，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，F，AC 的垂直平分线分
别交AC ，BC 于点M，N，直线EF ，MN 交于点P ．
(1)求证：点P 在线段BC 的垂直平分线上．
(2)若AFN
的周长为8cm ，
PBC
△
的周长为18cm，求PA的长．
【答案】(1)
证明：连接PA，PB，PC ，
PE
垂直平分AB ，PM 垂直平分AC ，
PB
PA
=
，PC
PA
=
，
PB
PC
=
，
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点P 在线段BC 的垂直平分线上；
(2)5cm
【分析】（1）连接PA，PB，PC ，由线段垂直平分线的性质推出PB
PA
=
，PC
PA
=
，得到PB
PC
=
，
即可证明；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AF
BF
=
，AN
CN
=
，PB
PA
=
，PC
PA
=
，然后利用三角形的周
长公式以及等量代换即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：
PE
垂直平分AB ，PM 垂直平分AC ，
AF
BF
=
，AN
CN
=
，
AFN
的周长为8cm ，
8cm
AF
FN
AN
BF
FN
CN
BC
+
+
=
+
+
=
=
，即
8cm
BC =
，
PB
PC
=
，
PBC
△
的周长为18cm，
18cm
BC
PB
PC
+
+
=
，
18cm 8cm
10cm
PB
PC
+
=
−
=
，
PE
垂直平分AB ，PM 垂直平分AC ，
PB
PA
=
，PC
PA
=
，
5cm
PA
=
．
题型03 利用垂直平分线的性质求角度
典｜例｜精｜析
9．如图，在ABC
中，
30
B
=
，
50
C
=
，通过观察尺规作图的痕迹，
DAE
的度数是（ ）
A．35
B．40
C．70
D．50
【答案】A
【分析】根据尺规作图痕迹得到DF 所在直线垂直平分线段AB ，AE 所在直线平分
DAC
；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，DB
DA
=
，同一个三角形中等边对等角可知
DAB
的度
数，利用三角形内角和是180得到
BAC
的度数，最后根据角平分线进行求解即可．
【详解】解：根据尺规作图痕迹可知：DF 所在直线垂直平分线段AB ，AE 所在直线平分
DAC
；
∵DF 所在直线垂直平分线段AB ，
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∴DB
DA
=
，
∴
30
DAB
B
= =
，
∵
30
B
=
，
50
C
=
，
∴
180
180
30
50
100
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
，
∴
100
30
70
DAC
BAC
DAB
=
−
=
−
=
，
又∵AE 平分
DAC
，
∴
1
1
70
35
2
2
DAE
DAC
=
=
=
．
变｜式｜巩｜固
10．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于M、
N 两点，作直线MN ，分别交AC
AB
、
于点P、D，连接BP．若点P 到AB
BC
、
的距离相等，则
APD
的
度数为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75
【答案】C
【分析】由作图可知，PD是AB 的垂直平分线，得到PA
PB
=
，
90
PDA
PDB
=
=
，再得到
PAB
PBA
=
，根据题意得到BP是
ABC
的角平分线，得到
PBA
PBC
=
，进一步得到
30
PAB
=
，
即可求解．
【详解】解：由作图可知，PD是AB 的垂直平分线，
∴PA
PB
=
，
90
PDA
PDB
=
=
，
∴
PAB
PBA
=
，
∵点P 到AB
BC
、
的距离相等，
∴PD
PC
=
，
又∵
90
PDB
=
，
90
C
=
，
∴BP是
ABC
的角平分线，
∴
PBA
PBC
=
，
∴
3
90
PAB
PBA
PBC
PAB
+
+
=
=
，
∴
30
PAB
=
，
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∴
90
90
30
60
APD
PAB
=
−
=
−
=
．
11．如图，在ABC
中，
120
BAC
=
，边AB 的垂直平分线DM ，交AB 于点D ，交BC 于点M ，边AC
的垂直平分线EN 交AC 于点E ．交BC 于点N ，连接AM ，AN ．则
MAN
= ___．
【答案】6
【分析】由垂直平分线性质可得AM
BM
=
，AN
CN
=
，所以
B
BAM
=
，
C
CAN
=
，然后通过三角
形内角和定理求得
60
B
C
+
=
，则有
60
BAM
CAN
+
=
，最后通过角度和与差即可求解．
【详解】解：∵边AB 的垂直平分线DM ，交AB 于点D ，交BC 于点M ，边AC 的垂直平分线EN 交AC 于
点E ，
∴AM
BM
=
，AN
CN
=
，
∴
B
BAM
=
，
C
CAN
=
，
∵
180
BAC
B
C
++
=
，
∴
60
B
C
+
=
，
∴
60
BAM
CAN
+
=
，
∴
(
)
120
60
60
MAN
BAC
BAM
CAN
=
−
+
=
−
=
．
12．如图，在ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点
,
F D 为线段CE 的中点，
AD
BC
⊥
．
(1)求证：BE
AC
=
．
(2)若
32
B =
∠
，求
BAC
的度数．
【答案】(1)证明：如图所示，连接AE ，
EF
是AB 的垂直平分线，
BE
AE
=
，
AD
BC
⊥
，D是CE 的中点，
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AD
是CE 的垂直平分线
AE
AC
=
，
BE
AC
=
；
(2)84
【分析】（1）连接AE ，利用垂直平分线的性质得到BE
AE
=
，再结合AD
BC
⊥
、D 是CE 中点，得到
AE
AC
=
，进而证明BE
AC
=
；
（2）证明
(
)
EFB
EFA SAS
≌
，得到
32
EAF
B
= =
，根据三角形外角性质得到
AEC
的度数，同理求
出
C
的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，
∴
,
BF
AF EF
AB
=
⊥
，
∴
90
EFB
EFA
=
=
，
又∵EF
EF
=
，
∴
(
)
EFB
EFA SAS
≌
，
∴
32
EAF
B
= =
，
∴
64
AEC
EAF
B
=
+=
，
同理可得
64
C
ACE
=
=
，
∴
180
84
BAC
B
C
=
−−
=
．
题型04 利用垂直平分线的性质求长度
典｜例｜精｜析
13．如图，DE 是ABC
的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E，且
8,
5
AC
BC
=
=
，则
BEC
的周长是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
解题贴士
找准垂直平分线上点，直接转化两段线段相等；审题识别隐藏平分线，等量代换计算，避免混淆性质与
判定定理。
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【答案】B
【详解】解：∵DE 是ABC
的边AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
，
∵
8,
5
AC
BC
=
=
，
∴BEC
的周长是：
13
BE
EC
BC
AE
EC
BC
AC
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
．
变｜式｜巩｜固
14．如图，点E 为ABC
的边BC 上一点，AE 的垂直平分线刚好经过点C 且与AB 边交于点D，连接
DE ，若
8
AB =
，
5
AC = ，
9
BC =
，则BDE
的周长是（ ）
A．10
B．15
C．14
D．12
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得CA
CE
=
，DA
DE
=
，进而求出BE的长，最后利用三角形周长
公式及线段和差关系求解即可．
【详解】解：AE 的垂直平分线经过点C 且与AB 边交于点D ，
CD垂直平分AE ，
CA
CE
=
，DA
DE
=
，
5
AC = ，
9
BC =
，
5
CE =
，
9 5
4
BE
BC
CE
=
−
= −=
，
8
AB =
，
BDE
的周长
8 4
12
BD
DA
BE
AB
BE
=
+
+
=
+
= +
=
．
15．如图，已知在ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线分别交
C、
A
AB于点D ，E ，ABC
的周长为
16cm，BCE
的周长为10cm，那么底边BC = ______cm ．
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【答案】4
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE
CE
=
，从而将BCE
的周长转化为AB
BC
+
，结合ABC
的
周长及AB
AC
=
建立等量关系求解即可．
【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AE
CE
=
，
∵BCE
的周长为10cm，
∴
10cm
BE
CE
BC
+
+
=
，
∴
10cm
BE
AE
BC
+
+
=
，即
10cm
AB
BC
+
=
，
∵ABC
的周长为16cm，
∴
16cm
AB
AC
BC
+
+
=
，
∵AB
AC
=
，
∴2
16cm
AB
BC
+
=
，
∴(
) (
)
2
16 10
AB
BC
AB
BC
+
−
+
=
−
，
解得
6
AB =
，
∴
(
)
10
6
4 cm
BC =
−
=
．
16．如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
，垂足为D ，点E 在边AB 上，且BD
DE
=
，EF 垂直平分AC ，交AC
于点F ，连接CE ．
(1)求证：AE
BC
=
；
(2)若ABC
的周长为21，
8
AC =
，求BCE
的周长．
【答案】(1)证明：
CD
AB
⊥
∵
，且BD
DE
=
，
CD
垂直平分BE．
BC
EC
=
，
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EF
垂直平分AC ，
AE
EC
=
，
AE
BC
=
；
(2)13
【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可；
（2）根据ABC
的周长以及AC 的长度可得BC
AB
+
的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由
此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
EF
垂直平分AC ，
AE
EC
=
，
ABC
的周长为21，
8
AC = ，
13
BC
AB
+
=
，
13
BC
AE
BE
+
+
=
13
BC
EC
BE
+
+
=
即BCE
的周长为13．
题型05 利用垂直平分线的性质解决面积问题
典｜例｜精｜析
17．如图，在ABC
中，BD是ABC
的中线，EF 是BC 边的中垂线，且BD与EF 相交于点G，连接
AG
CG
、
，若四边形CDGE 与四边形ACEG 的面积分别为7 和11，则ABC
的面积为（ ）
A．18
B．20
C．22
D．36
【答案】B
【分析】由中线，中垂线得
,
AD
CD BE
CE
=
=
，相应的得到三角形面积之间的关系
,
,
ADG
CDG
CDB
ADB
BEG
CEG
S
S
S
S
S
S
=
=
=
，求得
11 7
4
ADG
CDG
S
S
=
=
−
=
.进而得
3
CEG
BEG
S
S
=
=
，
10
ADB
CDB
S
S
=
=
.从而求解．
【详解】解：∵BD是ABC
的中线，EF 是BC 边的中垂线，
∴
,
AD
CD BE
CE
=
=
.
∴
,
,
ADG
CDG
CDB
ADB
BEG
CEG
S
S
S
S
S
S
=
=
=
.
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∵四边形CDGE 与四边形ACEG 的面积分别为7 和11，
∴
11 7
4
ADG
CDG
S
S
=
=
−
=
.
∴
7
4
3
CEG
BEG
S
S
=
=
−
=
.
∴
3
7
10
ADB
CDB
S
S
=
= +
=
.
∴
2
20
ABC
ADB
S
S
=
=
.
故选：B
【点睛】本题考查三角形中线、垂直平分线的性质，由三角形的位置关系得到面积之间的关系是解题的关
键．
变｜式｜巩｜固
18．如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE 是BC 边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，则
△ABC 的面积是___cm2．
【答案】24．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD＝DC，求出AB+AC＝14cm，进而得出AB，根据直角三角形面
积公式代入1
2
AB
AC
求出即可．
【详解】∵DE 是BC 边上的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∵△ABD 的周长为14cm，
∴BD+AD+AB＝14cm，
∴AB+AD+CD＝14cm，
∴AB+AC＝14cm，
∵AC＝8cm，
∴AB＝6cm，
∴△ABC 的面积是
1
1
6 8
24
2
2
AB
AC
=
=
（cm2）
故答案为：24．
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【点睛】本题考查了三角形面积和线段垂直平分线性质，熟练掌握线段垂直平分线上点到线段的两个端点
的距离相等．
19．如图，在ABC
中，
90
A
=
．
(1)尺规作图：在AC 边上确定一点D，使得点D 到B，C 两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接BD，若
15
AC =
，ABD
的周长为23，求ABC
的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)60
【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线
等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）用尺规作出线段BC 的垂直平分线即可；
（2）设AD
x
=
，可用x 表示出DC 和BD，再根据ABD
的周长23，列出关于x 的方程求解，即可求得
AB ，从而可求得ABC
的面积为60．
【详解】（1）解：连接BD，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
可得：DB
DC
=
，
点D 即为所求．
（2）解：设AD
x
=
，则
15
DC
AC
AD
x
=
−
=
−
．
∵DB
DC
=
，
∴
15
BD
x
=
−
．
∴ABD
的周长为
(
)
15
15
AB
AD
BD
AB
x
x
AB
+
+
=
+
+
−
=
+
．
∵ABD
的周长23，得：
∴
15
23
AB+
=
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解得：
8
AB =
．
∴ABC
的面积为：
1
1 8 15
60
2
2
ABC
S
AB
AC
=
=
=
．
答：ABC
的面积为60．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，且
DAC
BAC
=
，
ACD
ACB
=
．
(1)求证：AC 是线段BD的垂直平分线；
(2)若对角线
10
AC =
，
8
BD =
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
证明：在ABC
和ADC
中，
DAC
BAC
AC
AC
ACD
ACB
=
=
=
，
(
)
ASA
ABC
ADC
≌
，
AB
AD
=
，CB
CD
=
，
点
,
A C 在线段BD的垂直平分线上，
AC
是线段BD的垂直平分线；
(2)40
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质：
（1）证明
(
)
ASA
ABC
ADC
≌
全等得到AB
AD
=
，CB
CD
=
，即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质得到AO
BD
⊥
，CO
BD
⊥
，再根据
1
2
ABD
S
BD AO
=
△
，
1
2
BCD
S
BD CO
=
△
，
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知AC 是线段BD的垂直平分线，
AO
BD
⊥
，CO
BD
⊥
，
1
2
ABD
S
BD AO
=
△
，
1
2
BCD
S
BD CO
=
△
，
四边形ABCD的面积
ABD
BCD
S
S
=
+
1
1
2
2
BD AO
BD CO
=
+
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(
)
1
2 BD AO
CO
=
+
1
2 BD AC
=
1 8 10
2
=
40
=
．
题型06 垂直平分线性质的实际应用
典｜例｜精｜析
21．在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（ABC
）安装滴灌系统，工程师计划在AC 边的垂直
平分线上铺设管道，交AC 于E、交BC 于D．已知
6
AE
cm
=
，其中ABD
区域的滴灌管道总长为26cm ，
则整个农田（ABC
）的滴灌管道总长为（ ）
A．32cm
B．38cm
C．44cm
D．50cm
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出
2
AC
AE
=
，AD
CD
=
，将ABC
的周长转化为ABD
的周长加
上AC 的长即可求解．
【详解】解：
DE
是AC 的垂直平分线，
,
AD
CD AE
CE
=
=
，
6
AE =
，
2
12
AC
AE
CE
AE
=
+
=
=
，
ABD
区域的滴灌管道总长为26 ，
26
AB
BD
AD
+
+
=
，
ABC
的滴灌管道总长
(
)
26 12
38
AB
BC
AC
AB
BD
CD
AC
AB
BD
AD
AC
cm
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
．
变｜式｜巩｜固
22．综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折ABC
(
)
AB
AC
，使点C 落在边AB 上的点E 处，得到折痕AD，把纸片展平，如图
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①，发现四边形AEDC 满足：AE
AC
=
，DE
DC
=
．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝
形”．
【初步探究】
（1）如图②，四边形AEDC 是筝形，AE
AC
=
，DE
DC
=
．则线段AD和线段CE 的位置关系是什么？
请证明；
【综合运用】
（2）如图②，在“筝形” AEDC 中，已知
6
AD =
，
4
CE =
，求“筝形” AEDC 的面积．
【答案】
（1）AD垂直平分线段EC ；
证明：已知AE
AC
=
，DE
DC
=
．
在AED
和ACD
中，
AE
AC
ED
CD
AD
AD
=
=
=
∴
SSS
AED
ACD
≌
（
），
∴
EAD
CAD
=
，
在AEO
和ACO
中，
AE
AC
EAO
CAO
AO
AO
=
=
=
∴
(
)
SAS
AEO
ACO
≌
，
∴EO
CO
=
，
1
90
2
AOE
AOC
EOC
=
=
=
，
∴AD垂直平分线段EC ．
（2）12．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题
的关键．
（1）先证
SSS
AED
ACD
≌
（
），再证
(
)
SAS
AEO
ACO
≌
，即可得解；
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（2）根据垂直平分线的性质得
1
2
2
OE
OC
CE
=
=
=
，进而求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）由（1）知AD垂直平分线段EC ，
∴
1
2
2
OE
OC
CE
=
=
=
，
∴
1
2
2
12
2
ADE
AEDC
S
S
AD OE
=
=
=
筝形
．
23．某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域ABC
内修一条
小路AD，如图①，已知AB 的长为6 米，AD为BC 边上的中线．
【尝试分析】
为了研究ADC
的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②，
延长AD到E ，使DE
AD
=
，连接BE，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题．
（1）求证：ADC
EDB
≌
；
（2 ）测得AC 的长为4 米，小明据此说小路AD的长度不可能为5.5米，他说得对吗？为什么？
【实际应用】
（3）如图③，若ABC
为直角三角形，
90
B
=
．若要修一条与BC 垂直的路CE ，CE 的长为8米，且
要求AD
DE
⊥
，求AE 的长度．
【答案】（1）证明：∵AD为BC 边上的中线，
BD
CD
=
，
在ADC
和EDB
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
(
)
ADC
EDB SAS
≌
（2 ）解：由（1）知ADC
EDB
≌
，
4
BE
AC
=
=
米，
在ABE
中，AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，
∴6
4
6
4
AE
−
+ 米，
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即2
10
AE
，
∵
2
AE
AD
=
，
∴2
2
10
AD
，
∴1
5
AD
，
小明说得对，小路AD的长度不可能为5.5米；
（3）14米
【分析】（1）利用判定定理“SAS”即可求证；
（2 ）由全等三角形的性质得
4
BE
AC
=
=
，进而由三角形的三边关系得
2
10
AE
，即得到1
5
AD
，即可说明；
（3）延长AD，交EC 的延长线于点F ，可证
(
)
ASA
ABD
FCD
≌
，得到
6
AB
FC
=
=
米，AD
FD
=
，即
得到
14
EF
CE
CF
=
+
=
，再根据线段垂直平分线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解
题的关键．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图③，延长AD，交EC 的延长线于点F ，
CE
BC
⊥
，
90
DCF =
，
90
B
=
，
90
B
DCF
=
=
，
AD是ABC
的中线，
BD
CD
=
，
在ABD
和FCD
中，
90
B
DCF
BD
CD
ADB
FDC
=
=
=
=
，
(
)
ASA
ABD
FCD
≌
，
6
AB
FC
=
=
米，AD
FD
=
，
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8
CE =
米，
8 6
14
EF
CE
CF
=
+
= +
=
米，
又AD
FD
=
，AD
DE
⊥
，
DE 垂直平分AF ，
14
AE
EF
=
=
米．
24．【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们
认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AB
AC
=
，DB
DC
=
．求证：AD
BC
⊥
．
【模型应用】（2） 如图2，
AMC
△
中，
MAC
的平分线交MC 于点D．请你从以下两个条件：①
AM
MD
AC
+
=
；②
2
M
C
=
中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过
程．（注：只需选择一种情况作答）
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
性质，三角形的外角性质等：
（1）利用垂直平分线的判定，得出点A在BC 的垂直平分线上，点D 在BC 的垂直平分线上，即可证明
AD
BC
⊥
；
（2）选择②为条件，①为结论：在AC 取点N，使AN
AM
=
，连接DN ，证明
ADM
ADN
△
≌△
，可得
DM
DN
=
，
AMD
AND
=
，再由
2
AMD
C
=
，可得
C
CDN
=
，从而得到DN
CN
=
，即可；选择
①为条件，②为结论：在AC 取点N，使AN
AM
=
，连接DN ，证明
ADM
ADN
△
≌△
，可得DM
DN
=
，
AMD
AND
=
，再由AC
AM
MD
=
+
，可得DN
CN
=
，从而得到
C
CDN
=
，即可；
【详解】解：（1）连接BC
∵AB
AC
=
，
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∴点A在BC 的垂直平分线上，
∵DB
DC
=
，
∴点D 在BC 的垂直平分线上，
∴AD是BC 的垂直平分线
即AD
BC
⊥
；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在AC 取点N，使AN
AM
=
，连接DN ，
∵AD平分
MAC
，
∴
DAM
DAN
=
，
在
ADM
△
和ADN
中，
∵AM
AN
=
，
DAM
DAN
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
ADM
ADN SAS
≌
，
∴DM
DN
=
，
AMD
AND
=
，
∵
2
AMD
C
=
，
∴
2
AND
C
CDN
C
=
=
+
，
∴
CDN
C
=
，
∴DN
CN
=
，
∴
=
DM
CN ，
∵AC
AN
NC
=
+
，
∴AC
AM
MD
=
+
；
选择①为条件，②为结论
如图，在AC 取点N，使AN
AM
=
，连接DN ，
∵AD平分
MAC
，
∴
DAM
DAN
=
，
在
ADM
△
和ADN
中，
∵AM
AN
=
，
DAM
DAN
=
，AD
AD
=
，
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∴
(
)
ADM
ADN SAS
≌
，
∴DM
DN
=
，
AMD
AND
=
，
∵AC
AM
MD
=
+
，AC
AN
NC
=
+
，
∴
=
DM
CN ，
∴DN
CN
=
，
∴
C
CDN
=
，
∴
2
AMD
AND
CDN
C
C
=
=
+
=
；
题型07 尺规作垂直平分线
典｜例｜精｜析
25．如图：已知线段AB ，请完成以下任务：
(1)用尺规作图法作出线段AB 的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）．
(2)某同学按照如下步骤完成作图：
①分别以点A、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧在线段AB 的上方交于点N ；
②保持圆心A、B 不变，更换另一个大于1
2 AB 的长度为半径，再次画弧，两弧在线段AB 的上方交于点
M ；
③过M 、N 两点作直线．
该同学认为这条直线MN 就是线段AB 的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由．
【答案】(1)解：线段AB 的垂直平分线，如图所示：
解题贴士
画弧半径需大于线段一半，上下两侧均画弧；保留全部圆弧痕迹，连线两交点，不可随手画直线，牢记
作图全等依据。
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(2)解：正确，
理由如下：
连接MA
MB
、
和NA
NB
、
，如图所示：
MA
MB
=
，NA
NB
=
，
在AMN
和BMN
中，
MA
MB
NA
NB
MN
MN
=
=
=
(
)
SSS
AMN
BMN
≌
，
AMO
BMO
=
，
在AMO
和BMO
中，
MA
MB
AMO
BMO
MO
MO
=
=
=
(
)
SAS
AMO
BMO
≌
，
AO
BO
=
，
AOM
BOM
=
，
180
AOM
BOM
+
=
，
90
AOM
BOM
=
=
，即MO
AB
⊥
，
AO
BO
=
，
直线MN 就是线段AB 的垂直平分线．
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【分析】（1）分别以A
B
、为圆心，大于1
2 AB 的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段
AB 的垂直平分线；
（2）连接MA
MB
、
和NA
NB
、
，由尺规作图得到MA
MB
=
，NA
NB
=
，由全等三角形的判定与性质得到
MO
AB
⊥
、AO
BO
=
，结合垂直平分线定义即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）略
变｜式｜巩｜固
26．如图，在ABC
中，AB 的垂直平分线交边AB 于点D ，交边BC 于点E ．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC 上作点E （要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接AE ，如果
12
BC =
，
10
AC =
，求
AEC
△
的周长．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段AB 的垂直平分线，交边AB 于点D ，交边BC 于点
E ，则点E 即为所求．
（2）由垂直平分线的性质得AE
BE
=
，从而可求出
AEC
△
的周长．
【详解】（1）略
（2）解：由作图得：DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
，
∵
12
BC =
，
10
AC =
，
∴
AEC
△
的周长
12 10
22
AE
EC
AC
BE
EC
AC
BC
AC
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
．
27．如图，在ABC
中，BD平分
ABC
，
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(1)作图：作BC 边的垂直平分线分别交BC ，BD于点E ，F （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作
法）；
(2)在（1）的条件下，连接CF ，若
60
A
=
，
FCB
FBC
=
，
24
ABD
=
，求
ACF
的度数．
【答案】(1)解：如图，直线EF 即为所求；
(2)
48
ACF
=
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据角平分线的定义得出
48
ABC
=
，
24
CBD
=
°，利用三角形外角的性质得出
84
FDC
=
，
48
DFC
=
，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，
BD
平分
ABC
，
24
ABD
FBC
=
=
．
∵
FCB
FBC
=
，
24
=
=
FCB
FBC
，
∴
60
24
84
FDC
A
ABD
= +
=
+
=
，
48
DFC
FCB
FBC
=
+
=
，
180
48
ACF
FDC
DFC
−
−
=
=
．
28．如图，在ABC
中，AD是ABC
的角平分线．
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(1)作线段AD的垂直平分线交AB 于点E ，连接DE ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点D 作DF
AB
∥
交AC 于点F ，求证：DE
DF
=
．
【答案】(1)作图如图所示；
(2)证明：如图，过点D ，作DF
AB
∥
交AC 于点F ，
AD
平分
BAC
，
BAD
CAD
=
，
点E 在AD的垂直平分线上，
AE
DE
=
，
EAD
EDA
=
，
DF
AB
∥
，
BAD
ADF
=
，
ADE
ADF
=
在ADE
和ADF
中，
,
,
,
EAD
FAD
AD
AD
ADE
ADF
=
=
=
(
)
ASA
ADE
ADF
≌
，
DE
DF
=
.
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段
垂直平分线的应用．
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（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线EF 即可．
（2）根据垂直平分线的性质得AE
DE
=
，运用平行线的性质可得
ADE
ADF
=
，运用ASA 证明
ADE
ADF
≌
即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
题型08 垂直平分线的辅助线添加问题
典｜例｜精｜析
29．如图，直线l 是ABC
的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，E 是直线l 上任意一点，且
7
AC =
，
10
BC =
，
8
AB =
，则
AEC
△
的周长的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．15
D．17
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
连接BE，由题意可得AE
BE
=
，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得BE
EC
BC
+
，可得当点E 是
BC 与直线l 的交点时，BE
EC
的值最小，即
AEC
△
的周长的最小，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接BE，
直线l 是AB 的垂直平分线，E 是直线l 上任意一点，
AE
BE
=
，
BE
EC
BC
+
，
当点E 是BC 与直线l 的交点时，BE
EC
BC
，即BE
EC
的值最小，
7
AC =
，
10
BC =
，
AEC
△
的周长的最小值为：
10
7
17
AE
EC
AC
BE
EC
AC
BC
AC
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
．
故选：D．
变｜式｜巩｜固
30．如图，在ABC
中，BD平分
ABC
，线段CD的垂直平分线交CD于点E，交BC 于点F．若
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AB
FB
=
，ABC
的周长为15，
6
BC =
，则CD的长度为________．
【答案】3
【分析】连接DF ，证明
ABD
FBD
≌
△
△
，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解．
【详解】解：如图，连接DF ，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
FBD
=
；
∵AB
FB
=
，BD
BD
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
FBD
≌
，
∴AD
FD
=
；
∵EF 是线段CD的垂直平分线，
∴FD
FC
=
，
∴AD
FC
=
，
∴
6
AD
AB
FC
FB
BC
+
=
+
=
= ；
∵ABC
的周长为15，
∴
15
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴
15
AB
BC
AD
CD
+
+
+
=
，
即2
15
BC
CD
+
=
，
∴
3
CD =
．
31．如图在四边形ABCD中，AD
BC
．取CD中点P，连接AP ，BP，若AP
BP
⊥
．
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(1)求证：AD
BC
AB
+
=
；
(2)若
90
C
=
，四边形ABCD面积为78，
13
AB =
，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
12
CD =
【分析】（1）延长AP 交BC 的延长线于E，根据AD
BC
可知
DAP
E
= ，再根据点P 为CD的中点，可
证得
(
)
AAS
ADP
ECP
≌
，结合全等三角形的性质可知AP
PE
=
，AD
CE
=
，再由BP是线段AE 的垂直平
分线，可得AB
BE
=
，再由线段的和差以及等量代换即可得证；
（2）由（1）
13
AD
BC
AB
+
=
=
，根据梯形面积公式，列方程，求CD的长．
【详解】（1）证明：延长AP 交BC 的延长线于E，
∵AD
BC
，
∴
DAP
E
= ，
∵取CD中点P，
∴PD
PC
=
，
在ADP
与
ECP
△
中，
DAP
E
APD
CPE
PD
PC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ADP
ECP
≌
，
∴AP
PE
=
，AD
CE
=
，
∵PB
AE
⊥
，
∴AB
BE
BC
CE
BC
AD
=
=
+
=
+
，
即AD
BC
AB
+
=
；
（2）解：由（1）知，
13
AD
BC
AB
+
=
=
，
∵AD
BC
，
90
BCD
=
，
∴四边形ABCD面积
(
)
1
2 AD
BC
CD
=
+
1 13
78
2
CD
=
=
，
∴
12
CD =
．
32．如图，在ABC
中，边AB 的垂直平分线分别交AB
BC
，
于点 M，D，边AC 的垂直平分线分别交
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AC
BC
，
于点 N，E，MD
NE
，
的延长线交于点 O．
(1)若
10
BC =
，求ADE
的周长．
(2)试判断点O 是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)10
(2)
解：点O 在BC 的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AO
BO
CO
，
，
，
∵OM
ON
，
分别垂直平分AB
AC
，
，
∴OA
OB
OA
OC
=
=
，
，
∴OB
OC
=
，
∴点O 在BC 的垂直平分线上．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可；
（2）连接AO
BO
CO
，
，
，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可．
【详解】（1）解：∵AB
AC
，
的垂直平分线分别交BC 于点D，E，
∴AD
BD
AE
CE
=
=
，
，
∴
10
AD
DE
AE
BD
DE
CE
BC
+
+
=
+
+
=
=
，
∴ADE
的周长为10；
（2）略
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题型09 垂直平分线的判定与性质综合
典｜例｜精｜析
33．如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
，垂足为D，AF 是
BAD
的角平分线，点F 在BC 上，过F 作
FE
AB
⊥
，垂足为E，交AD的延长线于点G．
(1)求证：BF
GF
=
；
(2)若D 是BC 的中点，且
5
AC =
，求线段AG 的长度，并说明理由．
【答案】(1)证明：
AF
是
BAD
的角平分线，
BAF
GAF
=
AD
BC
⊥
，FE
AB
⊥
，
90
GDF
BEF
=
=
BFE
GFD
=
，
90
B
BFE
=
−
，
90
G
GFD
=
−
，
B
G
=
，
在
ABF
△
和AGF
中，
B
G
BAF
GAF
AF
AF
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABF
AGF
≌
，
BF
GF
=
．
(2)
5
AG =
，
理由：
AD
BC
⊥
，D 是BC 中点，
AD是BC 的垂直平分线，
5
AB
AC
=
=
，
由（1）得，
(
)
AAS
ABF
AGF
≌
，
AB
AG
=
，
5
AG
AC
=
= ．
【分析】（1）由AF 是
BAD
的角平分线，可得
BAF
GAF
=
，由AD
BC
⊥
，FE
AB
⊥
，
B
G
=
，可
证
(
)
AAS
ABF
AGF
≌
即可；
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（2）先证得AD是BC 的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）略
变｜式｜巩｜固
34．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、
“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所
要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称
为“倍长中线法”．
(1)【问题解决】如图1，在ABC
中，
6
AB =
，
10
AC =
，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD的取值
范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接
BE），请结合小明做的辅助线，直接写出AD的取值范围______；
(2)【类比运用】如图2，
90
ABD
ECD
ADE
=
=
=
，点D 为BC 的中点，
8
AB =
，
20
CE =
，求AE 的
长；
(3)【拓展探究】如图3，在ABD
和
ACE
△
中，
90
DAB
CAE
=
=
，AB
AD
=
，AC
AE
=
．连接DE ，
BC ，点F 是BC 的中点，连接FA并延长，与DE 相交于点G ．若
2
AF =
，
3
DG = ，请直接写出GE 的长
度．
【答案】(1)2
8
AD
(2)28
(3)1
【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解；
（2）如图，延长ED至点H ，使
=
ED
HD，连接BH ，证CDE
BDH
≌
，求得AH 的长，证得AD为线段
EH 的垂直平分线即可解答；
（3）如图，延长AF 至点H ，使AF
HF
=
，连接BH ，先证BFH
CFA
≌
，得
ACF
HBF
=
，
BH
AC
=
，再根据平行线的性质得
DAE
ABH
=
，再证
DAE
ABH
△
≌△
即可解答．
【详解】（1）解：在ABC
中，D 是BC 的中点，
BD
CD
=
，
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DE
AD
=
，
ADC
EDB
=
，
(
)
ADC
EDB SAS
≌
10
BE
AC
=
=
，
6
AB =
，
10 6
10
6
AE
−
+ ，
即4
16
AE
，
DE
AD
=
，
2
AE
AD
=
，
4
2
16
AD
，
2
8
AD
；
（2）如图，延长ED至点H ，使
=
ED
HD，连接BH ，
点D 为BC 的中点，
BD
CD
=
，
ED
HD
=
，
CDE
BDH
=
，
(
)
SAS
CDE
BDH
≌
，
20
BH
CE
=
=
，
90
DBH
DCE
=
=
，
90
ABD
=
，
90
90
180
ABD
DBH
+
=
+
=
，
A
，B ，H 三点共线，
8
20
28
AH
AB
BH
AB
CE
=
+
=
+
= +
=
，
90
ADE
=
，
AD
EH
⊥
，
ED
HD
=
，
AD
为线段EH 的垂直平分线，
28
AE
AH
=
=
；
（3）如图，延长AF 至点H ，使AF
HF
=
，连接BH ，
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点F 为BC 的中点，
BF
CF
=
，
在BFH
和CFA
中，
BF
CF
BFH
CFA
HF
AF
=
=
=
，
(
)
SAS
BFH
CFA
≌
，
ACF
HBF
=
，BH
AC
=
，
AC
BH
∥
AC
AE
=
，
BH
AE
=
，
AC
BH
∥
，
180
HBA
CAB
+
=
，
90
DAB
CAE
=
=
，
180
DAE
CAB
+
=
，
DAE
ABH
=
，
在
ABH
△
和DAE
中，
AD
AB
DAE
ABH
AE
BH
=
=
=
，
(
)
SAS
DAE
ABH
≌
，
2
4
DE
AH
AF
=
=
=
，
3
DG =
，
4 3 1
GE
DE
DG
=
−
=
−= ．
35．如图，在ABC
中，DM ，EN 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，与边AB 交点分别为点M，N，
DM 与EN 相交于点F．
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(1)若
110
ACB
=
，则
MCN
的度数为______；
(2)若
MCN
=
，试求
MFN
的度数（用含的代数式表示）；
(3)连接FA，FB，FC ，若CMN
的周长为8，FAB
的周长为18，求FC 的长．
【答案】(1)40
(2)90
2
−
(3)
5
FC =
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得AM
CM
=
，BN
CN
=
，根据等边对等角可得
A
ACM
=
，
B
BCN
=
，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质得AM
CM
=
，BN
CN
=
，根据等边对等角可得
A
ACM
=
，
B
BCN
=
，再求出
A
B
+，然后求出
90
2
ACB
=
+
，最后利用四边形的内角和定理计算即可得
解；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM
CM
=
，BN
CN
=
，然后求出
CMN
C
AB
=
，再由DF ，EF 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，求出FA
FC
=
，FB
FC
=
即可求解．
【详解】（1）解：
DM
，EN 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，
AM
CM
=
，BN
CN
=
，
A
ACM
=
，
B
BCN
=
，
180
A
B
ACM
BCN
MCN
++
+
+
=
，
110
ACB
ACM
BCN
MCN
=
+
+
=
，
70
A
B
+=
，
140
A
B
ACM
BCN
++
+
=
，
180
140
40
MCN
=
−
=
；
故答案为：40；
（2）
DM
，EN 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，
AM
CM
=
，BN
CN
=
，
90
CDF
CEF
=
=
，
A
ACM
=
，
B
BCN
=
，
180
A
B
ACM
BCN
MCN
++
+
+
=
，
MCN
=
，
90
2
A
B
+
=
−
，
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180
90
2
ACB
A
B
=
−−=
+
，
四边形DFEC 的内角和为360，
360
180
ACB
MFN
CDF
CEF
+
=
−
−
=
，
90
2
MFN
=
−
；
故答案为：90
2
−
；
（3）如图所示，
DM
，EN 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，
AM
CM
=
，BN
CN
=
，
CMN
C
CM
MN
CN
AM
MN
BN
AB
=
+
+
=
+
+
=
，
CMN
的周长为8，
8
AB
= ，
FAB
的周长为18，
18
FA
FB
AB
+
+
=
，
10
FA
FB
+
=
，
DF
，EF 分别垂直平分线段AC 和线段BC ，
FA
FC
=
，FB
FC
=
，
2
10
FC
=
，
5
FC
= ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形
的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
36．综合与实践
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ABC
中，若
6
AB =
，
4
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
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小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E ，使DE
AD
=
，连接BE．请根
据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值
范围是________；
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，M 是BC 边的中点，且
90
AMD
=
，若AB 与CD不平行，试判断
AB
CD
+
与AD之间的数量关系；
【灵活运用】
（3）如图3，若在（2）的基础上，增加AM 平分
BAD
，
5
AD = ，
3
CD =
，求AB 的长．
【答案】（1）SAS；1
5
AD
；（2）AB
CD
AD
+
，理由见解析；（3）2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性
质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答；
（2）延长AM 到E，使AM
ME
=
，连接CE ，DE ，证明
ABM
ECM
≌
△
△
，根据全等三角形的性质及三
角形三边关系解答；
（3）延长DM ，AB 交于点F，证明
BMF
CMD
≌
△
△
(
)
ASA
AMD
AMF
≌
得出DM
MF
=
，AD
AF
=
，
证明
BMF
CMD
≌
△
△
得出CD
BE
=
，则可得出结论．
【详解】解：（1）在ADC
和EDB
中，
BD
CD
BDE
CDA
ED
AD
=
=
=
，
(
)
ADC
EDB SAS
≌
，
故答案为：SAS ；
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，
4
AC =
，
4
EB
AC
=
= ，
在ABE
中，
6
AB =
，
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AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，
∴6
4
6
4
AE
−
+ ，
1
2
DE
AD
AE
=
=
又
，
∴2
2
10
AD
，
1
5
AD
，
故答案为：1
5
AD
；
（2）AB
CD
AD
+
，
理由如下：延长AM 到E ，使AM
ME
=
，连接CE ，DE ，
在ABM
和
ECM
△
中，
AM
EM
AMB
EMC
BM
CM
=
=
=
，
(
)
SAS
ABM
ECM
≌
，
AB
EC
=
，
AM
ME
=
，
90
AMD
=
，
∴DM 垂直平分AE ，
AD
DE
=
，
在DCE
中，
CE
CD
DE
+
，
AB
CD
AD
+
；
（3）延长DM ，AB 交于点F ，
AM
∵
平分
BAD
，
DAM
FAM
=
，
AM
DF
⊥
，
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90
AMD
AMF
=
=
，
在AMD
和AMF
中，
AMD
AMF
AM
AM
DAM
FAM
=
=
=
，
(
)
ASA
AMD
AMF
≌
，
DM
MF
=
，AD
AF
=
，
在BMF
和
CMD
△
中
BM
CM
BMF
CMD
MF
DM
=
=
=
，
(
)
SAS
BMF
CMD
≌
，
CD
BF
=
，
AF
AD
AB
BF
AB
CD
=
=
+
=
+
5
AD = ，
3
CD =
，
5
3
2
AB
= −= ．
基础通关
1．（25-26 八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有、、
A
B
C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置
上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应
放的最适当的位置在ABC
的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三条垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即
可．
【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到ABC
三个顶点A、B 、C 的距离相等，
又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴ 凳子应放置在ABC
三边垂直平分线的交点处，
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故选D．
2．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在ABC
中，线段AC 的垂直平分线交BC 于点D，连接AD，
则下列结论一定成立的是（ ）
A．AD
BD
=
B．BD
CD
=
C．AD
BD
BC
+
=
D．AB
BD
BC
+
=
【答案】C
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出AD
CD
=
，即可得到答案．
【详解】解：∵线段AC 的垂直平分线交BC 于点D，
∴AD
CD
=
，
∴AD
BD
CD
BD
BC
+
=
+
=
，
故选：C．
3．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，ABC
的边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，若
18
PA
PB
+
=
，则PC 的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关
键．
由题意，结合垂直平分线的性质得到PA
PB
PC
=
=
，再结合
18
PA
PB
+
=
即可得到答案．
【详解】解：
ABC
的边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，
PA
PB
PC
=
=
，
18
PA
PB
+
=
，
9
PC
PA
=
=
，
故选：C．
4．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC
中，BC 的垂直平分线交AB 于点D，交BC 于点
E．若
9cm,
6cm
AB
AC
=
=
，则ACD
的周长为（ ）
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A．12cm
B．15cm
C．16cm
D．18cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后根据等量代换进行求解即可．
【详解】解：∵DE 垂直平分线段BC ，
∴BD
CD
=
，
∴
9cm
AD
CD
AD
BD
AB
+
=
+
=
=
，
∴ACD
的周长为
9
6
15cm
AD
CD
AC
+
+
= +
=
，
故选：B．
5．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交
AC 于点E ，已知
24
AB
BC
+
=
，那么BCE
的周长为________．
【答案】24
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得AE
BE
=
，再求出
24
AB
BC
+
=
，据此即可求出BCE
的周长．
【详解】解：
DE
垂直平分线段AB ，
AE
BE
=
，
24
AB
BC
+
=
，AB
AC
=
，
24
AC
BC
+
=
，
BCE
△
的周长为
24
BE
CE
BC
AE
CE
BC
AC
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
，
故答案为：24．
6．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在ABC
中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧交BC 于点
D，再分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧分别交于点M 和点N，连接MN 交AB
于点E，若
18
AB =
，
10
AC =
，则ADE
的周长为______．
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【答案】28
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到MN 为BD的垂直平分线．
根据作法可得AD
AC
=
，再由垂直平分线的画法可得MN 为BD的垂直平分线，由此可得EB
ED
=
，再根
据三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧交BC 于点D，
∴
10
AD
AC
=
=
，
∵以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧分别交于点M 和点N，
∴MN 为BD的垂直平分线，
∴EB
ED
=
，
∵
18
AB
AE
EB
=
+
=
，
∴
18
AE
ED
+
=
，
∴ADE
的周长为
18 10
28
AE
ED
AD
+
+
=
+
=
．
故答案为：28 ．
7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，点O为ABC
三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为
6 cm ，则AO
BO
CO
+
+
= _____cm．
【答案】18
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；
根据垂直平分线的性质可知AO
BO
CO
=
=
即可得知三者相加的和．
【详解】解：∵点O 为ABC
三边垂直平分线的交点
∴
6
AO
BO
CO
cm
=
=
=
∴
3
3 6
18
AO
BO
CO
AO
cm
+
+
=
= =
故答案为：18 ．
8．（25-26 八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC
中，AB
AC
，
的垂直平分线与BC 分别交于
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115
D
E
BAC
=
，，
，则
DAE
=___________．
【答案】50
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定
理求出
B
C
+
的度数，由线段垂直平分线的性质得到
,
DB
DA EA
EC
=
=
，则由等边对等角可推出
DAB
EAC
+
∠
∠
的度数，据此可得答案．
【详解】解：∵
115
BAC
=
，
180
BAC
B
C
++
=
，
∴
65
B
C
+
=
，
∵AB
AC
，
的垂直平分线与BC 分别交于D
E
，
，
∴
,
DB
DA EA
EC
=
=
，
∴
DAB
B
EAC
C
=
=
，
，
∴
65
DAB
EAC
B
C
+
= +
=
，
∴
(
)
50
DAE
BAC
DAB
EAC
=
−
+
=
，
故答案为：50．
9．（2026·陕西西安·二模）如图，E 是ABC
的边BC 上一点．请你用尺规作图法在BC 上方作Rt BEF
，
使得点F 在AB 边上，且BF 为斜边．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】利用尺规作图中作过点E 的垂线的方法，先作垂线，再与AB 交于F 点，Rt BEF
即可作出．
【详解】如图所示，Rt BEF
即为所求．
10．（25-26 八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，ABC
中，AD
BC
⊥
，BD
DE
=
，EF 垂直平分AC ，交
AC 于点F ，交BC 于点E ．
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(1)求证：AB
CE
=
；
(2)若
2cm
BD =
，
5cm
EC =
，求ABE
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14cm
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平
分线上任意一点到线段的两个端点距离相等．
（1）先证得AD垂直平分BE则AB
AE
=
，而EF 垂直平分AC ，则AE
EC
=
，等量代换即可证明；
（2）由（1）得
5cm
AB
AE
EC
=
=
=
，而
2cm
BD
DE
=
=
，再由三角形周长公式求解．
【详解】（1）证明：
AD
BC
⊥
，BD
DE
=
，
∴AD垂直平分BE
AB
AE
=
∵EF 垂直平分AC ，
AE
EC
=
，
∴AB
CE
=
；
（2）解：由（1）得
5cm
AB
AE
EC
=
=
=
，
∵
2cm
BD
DE
=
=
，
∴ABE
的周长为
(
)
5
5
2
2
14 cm
AB
AE
BE
+
+
=
+
+
+
=
素养提升
11．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE 是ABC
中AC 边的垂直平分线．若
8cm
BC =
，
10cm
AB =
，
9cm
AC =
，则EBC
的周长为（ ）
A．17cm
B．18cm
C．19cm
D．27cm
【答案】B
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【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE
CE
=
，从而将EBC
的周长转化为AB
BC
+
，代入数据计算
即可．
【详解】解：
DE
是ABC
中AC 边的垂直平分线，
AE
CE
=
，
EBC
△
的周长
BC
CE
BE
BC
AE
BE
BC
AB
=
+
+
=
+
+
=
+
，
8cm
BC =
，
10cm
AB =
，
EBC
△
的周长
(
)
8 10
18 cm
=
+
=
．
12．（25-26 七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角ABC
中，
9
BC =
，AB 的垂直平分线分别交
AB 、BC 于点D、E，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F、G，
1
EG = ，则AEG
的周长为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE
BE
=
，AG
CG
=
，据此即可求解．
【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE
BE
=
，
∵GF 是AC 的垂直平分线，
∴AG
CG
=
，
∴AEG
的周长
2
9
2
11
AE
EG
AG
BE
EG
CG
BC
EG
=
+
+
=
+
+
=
+
= +
=
．
13．（2023·青海海东·二模）如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
，垂足为点D ，EF 垂直平分AC ，交BC 于点
E ，交AC 于点F ，连接AE ，若BD
DE
=
，ABC
的周长为16，
3
AF =
，则DC 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由BD
DE
=
，AD
BC
⊥
，得AD垂直平分BE，所以
AE
AB
=
，又EF 垂直平分AC 则AE
CE
=
，
3
CF
AF
=
= ，可得AE
AB
CE
=
=
，
6
AC =
，然后通过
ABC
的周长为16可得
10
AB
CE
BE
+
+
=
，从而得出
5
CE
DE
+
=
即可．
【详解】解：∵BD
DE
=
，AD
BC
⊥
，
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∴AD垂直平分BE，
∴AE
AB
=
，
∵EF 垂直平分AC ，
∴AE
CE
=
，
3
CF
AF
=
= ，
∴AE
AB
CE
=
=
，
6
AC =
，
∵ABC
的周长为16，
∴
16
AC
AB
BC
+
+
=
，
∴6
16
AB
CE
BE
+
+
+
=
，
∴
10
AB
CE
BE
+
+
=
，
∴
2
10
CE
CE
DE
+
+
=
，
∴
5
CE
DE
+
=
，
∴
5
CD = ，
故选：B．
14．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰ABC
中，AB
AC
=
，边AC 的垂直平分线EF 分别交
AC ，AB 于点E，F，D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若
4
BC =
，ABC
的面积为12，则
CDM
周长的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】A
【分析】根据中垂线的性质，
,
A C 两点关于EF 对称，连接AD，交EF 于点M ，此时CDM
的周长最
小，利用等腰三角形的性质，求出AD，进而求出CDM
的周长的最小值即可．
【详解】解：∵CDM
的周长
CM
MD
CD
=
+
+
，
∴当CM
MD
+
最小时，CDM
的周长最小．
∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴
,
A C 两点关于EF 对称，
∴CM
MD
AM
MD
AD
+
=
+
，
连接AD，交EF 于点M ，此时CDM
的周长最小，
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∵AB
AC
=
，D 为BC 边的中点，
∴AD
BC
⊥
，
∴
1
1
4
12
2
2
ABC
S
BC AD
AD
=
=
=
，
∴
6
AD =
，
∴CDM
的周长
6
2
8
AD
CD
=
+
= +
= ．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和中垂线的性质，以及利用轴对称解决周长最小问题．熟练掌握相关
知识点以及将军饮马问题，是解题的关键．
15．（25-26 八年级下·浙江宁波·假期作业）如图，在ABC
中，
90
B
=
，
2
AB =
，AD是ABC
的中线，
CE
BC
⊥
，
4
CE =
，且
90
ADE
=
，则AE =____________．
【答案】6
【分析】延长AD交EC 的延长线于F ，证明
ABD
FCD
△
≌△
，得到
2
CF
AB
=
=
，AD
DF
=
，根据垂直
平分线的性质解答．
【详解】解：延长AD交EC 的延长线于F ，如图所示：
∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
AB
BC
⊥
，EF
BC
⊥
，
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ABD
FCD
=
，
又∵
ADB
FDC
=
，
(
)
ASA
ABD
FCD
≌
，
2
CF
AB
=
=
，AD
DF
=
，
90
ADE
=
，
4
2
6
AE
EF
CE
CF
=
=
+
=
+
=
．
16．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，ABC
中，AB
AC
=
，DE 是AB 的中垂线，点D 在AB 上，
点E 在AC 上，若ABC
的周长为25cm，EBC
的周长为16cm，那么AC 的长度为______cm．
【答案】9
【分析】由已知条件，根据垂直平分线性质，得到线段相等，进行线段的等量代换后得到答案．
【详解】解：
DE
是AB 的中垂线，
EB
EA
=
，
ABC
的周长为25cm，EBC
的周长为16cm，
∴
25
AB
AC
BC
+
+
=
，EB
EC
BC
+
+
= EA
EC
BC
+
+
=
16
BC
AC
+
=
，
(
)
25
25 16
9
AC
AB
AC
BC
=
=
−
+
=
−
=
．
17．（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，在等腰ABC
中，AB
AC
AD
BC
=
⊥
，
于点D，E，F 两动点分别
在线段AD
AB
、
上运动，若
48
BAC
=
，则当BE
EF
+
取得最小值时，
BEF
的度数为___．
【答案】48
【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外
角定理是解题的关键．
先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解．
【详解】解：过C 作CF
AB
⊥
于F，交AD于E，连接
,
BE CE
，
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∵
,
AB
AC AD
BC
=
⊥
，
∴BD
CD
=
，
∴AD垂直平分BC ，
1 (180
48 )
66
2
ABC
ACB
=
=
−
=
，
∴
,
90
24
CE
BE
BCF
ABC
=
=
−
=
，
∴
24 ,
E CB
E BC
BE
EF
CE
EF
CE
E F
CF
=
=
+
=
+
+
=
，
即当点
,
,
C E F
三点共线，且CF
AB
⊥
时，BE
EF
+
的最小值为CF的长，
∴
24
24
48
BE F
BCF
CBE
=
+
=
+
=
．
故答案为：48．
18．（25-26 八年级上·浙江温州·期中）如图，在ABC
中，
2
B
C
= ，AD
BC
⊥
于点D ，作AC 边上的中
垂线EF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若ABC
周长为26，
10
AC =
，则DC 的长为______．
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、
等腰三角形的性质是解题的关键．
根据三角形的周长公式求出AB
BC
+
，根据线段垂直平分线的性质可得EA
EC
=
，由等腰三角形的性质可
得BD
DE
=
，结合图形，进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接AE ，
∵ABC
的周长为26 ，
26
AB
AC
BC
+
+
=
，
10
AC =
，
16
AB
BC
+
=
，
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EF
垂直平分AC ，
EA
EC
=
，
1
C
=
，
∴
2
1
2
C
C
= +
= ，
∵
2
B
C
= ，
∴
2
B
= ，
∴AB
AE
=
，
∴AB
CE
=
，
AD
BC
⊥
，
BD
DE
=
，
2
2
2
2
16
AB
BC
AB
BE
CE
CE
DE
CE
CE
DE
CD
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
=
，
8
CD
= ．
故答案为：8．
19．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABC
中，D 是BC 上的一点，连接AD，作DE
AB
⊥
交
AB 于点E，DF
AC
⊥
交AC 于点F，且AD平分
BAC
，连接EF ．
(1)证明：AD垂直平分EF ．
(2)若ABC
的周长为18，面积为24，
6
BC =
，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
4
DE =
【分析】（1）证明
(
)
AAS
AED
AFD
≌
，得到
,
DE
DF AE
AF
=
=
，即可得证；
（2）根据三角形的周长，求出
12
AB
AC
+
=
，分割法求面积，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）证明：∵
,
DF
AC DE
AB
⊥
⊥
，
∴
AED
AFD
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
EAD
FAD
=
，
在AED
和AFD
中，
AED
AFD
EAD
FAD
AD
AD
=
=
=
，
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∴
(
)
AAS
AED
AFD
≌
，
∴
,
DE
DF AE
AF
=
=
，
∴点A 和点D 在EF 的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF ；
（2）解：∵
6
BC =
，ABC
的周长为18，
∴
12
AB
AC
+
=
，
由（1）得ADE
ADF
≌
，
∴
90
AED
AFD
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
24
2
2
2
ABC
S
AB DE
AC DF
DE AB
AC
=
+
=
+
=
，
∴1
12
24
2 DE
=
，
∴
4
DE =
．
20．（25-26 八年级上·天津和平·期末）已知：ABC
是等边三角形，点O 是直线BC 上方的一点，连接
AO
BO
CO
，
，
，并且
60
BOC
=
(1)如图1，BO交AC 于点M，若CO
BC
⊥
，求证：
CAO
ACO
=
；
(2)如图2，CO交AB 于点N，作AD
CO
⊥
于点D，求CO
BO
DO
−
的值．
【答案】(1)
证明：
CO
BC
⊥
，
90
BCO
．
60
BOC
=
，
30
OBC
=
，
ABC
是等边三角形，
60
ABC
=
．
1
2
OBC
ABC
=
．
BM
平分
ABC
．
BM
AC
⊥
，AM
CM
=
．
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OM
是AC 的垂直平分线．
AO
CO
=
．
CAO
ACO
=
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴
对称的性质；
（1）证明
60
ABC
=
，证明BM
AC
⊥
，AM
CM
=
，即可得到结论.
（2）在CD上截取CE
BO
=
，连接AE ，证明
(
)
SAS
ACE
ABO
≌
，得出
2
OE
DO
=
，即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，在CD上截取CE
BO
=
，连接AE ，
∵ABC
时等边三角形，
∴
,
60
AC
AB
BAC
=
=
，
ANC
BNO
=
，
60
BAC
BOC
=
=
，
ACE
ABO
=
．
在
ACE
△
和ABO
中，
AC
AB
ACE
ABO
CE
BO
=
=
=
，
(
)
SAS
ACE
ABO
≌
．
AE
AO
=
．
⊥
AD
CO ，
2
OE
DO
=
．
2
CO
BO
CO
CE
OE
DO
DO
DO
−
−
=
=
=
．
迁移创新
21．（25-26 八年级上·江西南昌·期中）如图，已知线段AB 与线段AB 外一点C ，分别以点
,
A B 为圆心，
,
AC BC 长为半径画弧，两弧分别交于点
,
C D ，连接
,
,
,
,
AC BC AD BD CD ，若
10
AB =
，四边形ACBD的面
积为65，则CD的长为（ ）
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A．6.5
B．10
C．13
D．26
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定
理．由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出AB
CD
⊥
，由三角形的面积公式得到四边形ACBD的面积
1
65
2 AB CD
=
=
．
【详解】解：由题意得到：
,
AC
AD BC
BD
=
=
，
A
和B 都在线段CD的垂直平分线上，
AB
CD
⊥
，设交点为O，
ABC
的面积
1
2 AB OC
=
，ABD
的面积
1
2 AB OD
=
四边形ACBD的面积
ABC
=
的面积
ABD
+
的面积
(
)
1
1
65
2
2
AB
OC
OD
AB CD
=
+
=
=
，
10
AB =
，
13
CD
=
．
故选：C．
22．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，在ABC
中，D 是AC 的中点，过点D 作DE
BC
⊥
于点E ，
AB 的垂直平分线分别交AB ，DE 于点F ，G ，且
1
2
FG
AB
=
．若
2
DG =
，
3
EG =
，则BC 的长为（ ）
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A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍
长中线法证明
(
)
SAS
ADH
CDE
≌
得出AH
CE
=
，
DAH
C
=
，，进而得出
90
H
CED
=
=
，证明
GBA
是等腰直角三角形，
(
)
AAS
EBG
HGA
≌
得出BE
GH
=
，
3
EG
HA
=
=
，进而根据线段的和差关
系，即可求解．
【详解】解：如图，延长ED至H ，使得DH
ED
=
，连接HA，GB ，
∵D是AC 的中点，
∴AD
DC
=
，
又∵
ADH
CDE
=
，
∴
(
)
SAS
ADH
CDE
≌
，
∴AH
CE
=
，
DAH
C
=
，
∴AH
CB
∥
，
∵DE
BC
⊥
，
∴
90
H
CED
=
=
，
∵GF 垂直平分AB ，
1
2
FG
AB
=
，
∴
90
GFB
GFA
=
=
，GF
BF
AF
=
=
，GB
GA
=
，
∴
,
GFB GFA
是等腰直角三角形，
∴
45
BGF
AGF
=
=
，
63 / 68
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∴
90
BGA
=
，
∴GBA
是等腰直角三角形，
又∵
90
DHA
CED
=
=
，
∴
90
EGB
HGA
HAG
=
−
=
，
∴
(
)
AAS
EBG
HGA
≌
，
∴BE
GH
=
，
3
EG
HA
=
= ，
∵
5
DH
ED
DG
EG
=
=
+
= ，
∴
7
BE
GH
DG
DH
=
=
+
=
，
∴
10
BC
BE
CE
=
+
=
故选：B．
23．（24-25 九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
于点D，E、F 两动点
分别在线段AD
AB
、
上运动，若
40
BAC
=
，则当BE
EF
+
取得最小值时，
BEF
的度数为________°．
【答案】40
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质
等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：连接CE ，先证明
(
)
SAS
CDE
BDE
≌
得到CE
BE
=
，从而推出当C、E、F 三点共线且CF
AB
⊥
时
最小，即此时BE
EF
+
最小；如图：过点C 作CF
AB
⊥
于点F交AD于点E，连接BE，由三线合一定理
得到
1
20
2
BAD
BAC
=
=
，则
70
ABD
=
，故当BE
EF
+
最小时，
90
CF B
=
、
20
BCF
=
，同理
可得CE
BE
=
，则
20
CBE
BCE
=
=
，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图：连接CE ，
∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴CD
BD
=
，
90
ADC
ADB
=
=
，
又∵DE
DE
=
，
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∴
(
)
SAS
CDE
BDE
≌
，
∴CE
BE
=
，
∴BE
EF
CE
EF
+
=
+
，
∴当C、E、F 三点共线且CF
AB
⊥
时CE
EF
+
最小，即此时BE
EF
+
最小，
如图：过点C 作CF
AB
⊥
于点F交AD于点E，连接BE，
∵
40
BAC
=
，
∴
1
20
2
BAD
BAC
=
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
70
ABD
=
，
同理可得CE
BE
=
，
∵
90
CF B
=
，
∴
20
CBE
BCE
=
=
，
∴
40
BE F
BCE
CBE
=
+
=
．
∴当BE
EF
+
取得最小值时，
BEF
的度数为40．
故答案为：40．
24．（25-26 七年级下·重庆江北·期中）如图，在四边形ABCD中，AB
AD
=
AD
BC
，过点A 作AE
BC
⊥
.
于点E，连接AC ，若
2
B
BCA
=
，
3
BC
CD
=
+ ，则BE的长为_______．
【答案】1.5
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，
熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．在CE 边上截取EF
BE
=
，连接AF ，利用垂直平分
线的性质证得AB
AF
=
，利用已知和AD
BC
证出
DAC
FAC
=
，然后证出AFC
≌ADC ，进而即可得
出答案．
【详解】解：在CE 边上截取EF
BE
=
，连接AF ，
AE
BC
⊥
，
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AB
AF
=
，
B
AFB
ACB
FAC
=
=
+
，
2
B
BCA
=
，
BCA
FAC
=
，
AD
BC
，
BCA
DAC
FAC
=
=
，
AB
AD
=
，
AD
AF
=
，
在AFC
和ADC
中
AC
AC
FAC
DAC
AF
AD
=
=
=
；
∴AFC
≌ADC ，
CF
CD
=
，
3
BC
CD
=
+
，
3
BC
CD
CF
BF
=
+ =
+
，
2
3
BF
BE
=
= ，
1.5
BE
=
．
故答案为：1.5．
25．（24-25 八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，
请你和他们一起活动吧．
(1)如图1，在ABC
中，若
10
AB =
，
8
BC = ，求AC 边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考
的；延长BD至E ，使DE
BD
=
，连接CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE
中利用三角形三边关
系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线
BD的取值范围是________．
(2)如图2，在ABC
中，
90
B
=
，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若
DM
DN
⊥
．试说明：AM
CN
MN
+
．
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(3)如图3，在ABC
中，点D 是AC 的中点，AB
MB
=
，BC
BN
=
，其中
90
ABM
NBC
=
=
，连接
MN ，探索BD与MN 的关系，并说明理由．
【答案】(1)SAS；1
9
BD
(2)证明见解析
(3)
2
MN
BD
=
，BD
MN
⊥
；理由见解析
【分析】（1）证明
(
)
ABD
CED SAS
≌
得出
10
CE
AB
=
=
，在△CBE 中，由三角形的三边关系即可得出结
论；
（2）延长ND至点F ，使FD
ND
=
，连接AF 、MF ，同（1）得：
AFD
CND
≌
△
△
，由全等三角形的性
质得出AF
CN
=
，由线段垂直平分线的性质得出MF
MN
=
，在
AFM
△
中，由三角形的三边关系即可得出
结论；
（3）延长BD至E ，使DE
BD
=
，连接CE ，由（1）得：
ABD
CED
≌
△
△
，由全等三角形的性质得出
=
ABD
E
，AB
CE
=
，得到
BCE
MBN
=
，证明
BCE
NBM
≌
△
△
得出BE
MN
=
，
EBC
MNB
=
，则2BD
MN
=
．延长DB交MN 于G ，证明
90
BGN
=
即可得出结论．
【详解】（1）解：延长BD至E ，使DE
BD
=
，连接CE ，
∵BD是AC 边上的中线，
10
AB =
，
8
BC = ，
∴AD
CD
=
，
在ABD
和
CED
△
中，
AD
CD
ADB
CDE
BD
ED
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
CED SAS
≌
，
∴
10
CE
AB
=
=
，
在△CBE 中，CE
BC
BE
CE
BC
−
+
，
∴10 8
10 8
BD
DE
−
+
+ ，即2
18
BD
，
∴1
9
BD
，
故答案为：SAS；1
9
BD
；
（2）证明：如图2 所示，延长ND至点F ，使FD
ND
=
，连接AF 、MF ，
由（1）得：
(
)
SAS
AFD
CND
≌
，
∴AF
CN
=
，
∵DM
DN
⊥
，FD
ND
=
，
∴MD垂直平分FN ，
∴MF
MN
=
，
在
AFM
△
中，AM
AF
MF
+
，
67 / 68
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∴AM
CN
MN
+
；
（3）解：2BD
MN
=
，BD
MN
⊥
．理由如下：
如图3 所示，延长BD至E ，使DE
BD
=
，连接CE ，
由（1）得：
(
)
ABD
CED SAS
≌
，
∴
=
ABD
E
，AB
CE
=
，
∵
90
ABM
NBC
=
=
，
∴
180
ABC
MBN
+
=
，
即
180
ABD
CBD
MBN
+
+
=
，
∵
180
E
CBD
BCE
+
+
=
，
∴
BCE
MBN
=
，
∵AB
MB
=
，BC
BN
=
，
∴CE
BM
=
，
在BCE
和NBM
中，
CE
BM
BCE
NBM
BC
NB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BCE
NBM
≌
，
∴BE
NM
=
，
EBC
MNB
=
，
∴2BD
MN
=
，
延长DB交MN 于G ，
∵
90
NBC
=
，
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∴
90
EBC
NBG
+
=
，
∴
90
MNB
NBG
+
=
，
∴
90
BGN
=
，
∴BD
MN
⊥
，
即
2
MN
BD
=
，BD
MN
⊥
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义，三角形的三边关系、
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的关系等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
