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分层作业
1.3 勾股定理的应用
目 录
A 组 巩固过关
题型01 水杯中的筷子问题
题型02 求长方体中的最大长度问题
题型03 梯子的滑落问题
题型04 折叠问题与勾股定理
题型05 航海问题与勾股定理
题型06 利用勾股定理求河的宽度
题型07 求台阶上的地毯长度
题型08 求汽车超速问题
题型09 求受台风影响问题
题型10 构造双勾股解直角三角形
题型11 求立体图形的最短路径问题
题型12 利用勾股定理求芦苇高度问题
题型13 汽车通过隧道问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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水杯中的筷子问题
一、单选题
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是20cm ，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，
这只铅笔露在笔筒外部的长度为cm
h
，则h 的最小值是（ ）
A．4cm
B．4.5cm
C．5cm
D．6cm
2．将一根24cm 长的筷子置于底面圆直径为15cm、高为8cm 的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面
的长度为cm
h
，则h 的取值范围是（ ）
A．
17
h
B．7
16
h
C．15
16
h
D．
8
h
3．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20 的直吸管露
在罐外部分的长度a 的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ）
A．1
3
a
B．2
3
a
C．3
5
a
D．4
5
a
二、填空题
4．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为4cm 3cm 12cm
，
，
．现有一长为17cm的吸管
插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为cm
h
，则h 的取值范围是_______．
5．一个圆柱形饮料罐，底面半径为3，高为4，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐
题型01
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内部分a 的长度范围是___________．
6．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4cm ，宽为3cm ，高为12cm，在它的一角处开一个插吸管
的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm ，则此吸管的总长度为_____cm．
求长方体中的最大长度问题
一、填空题
1．有一根长70cm 的木棒，___________（填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为50cm、40 cm 、30 cm 的
空木箱中．
2．如图，是一个长方体盒子，长为12cm，宽为9cm，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料
管的最大长度是________cm．（忽略塑料管粗细）
二、解答题
3．如图是长
4cm
AB =
、宽
3cm
BC =
、高
12cm
BE =
的长方体容器．
(1)求底面矩形ABCD的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
题型02
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梯子的滑落问题
一、单选题
1．一架10m长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端6m，如果梯子的顶端下滑2m ，则梯脚将水
平移动（ ）
A．0.5m
B．0.75m
C．1m
D．2m
二、填空题
2．如图，长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距
离为________ m ．
3．如图，一根长10m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A 距离底端6m．如果梯子的顶端B 下滑2m，
那么梯足将滑动AA=________ m ．
三、解答题
4．如图，AB 是一架长2.5 米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点B 离墙的距离BE的长为0.7
米．
(1)此时梯子顶端点A离地面的距离AE 是多少米？
(2)若梯子顶端从点A下滑至点C 的距离AC 是0.4 米，那么梯子底端将向左滑动的距离BD是多少米？
题型03
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5．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE 时，梯子A到左墙的距离AE 为0.7m，
梯子顶端D到地面的距离DE 为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC 上，梯子顶端C 到地
面的距离CB 为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m ）
6．消防车上的云梯示意图如图1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高4 米，如图2，某栋楼发生火
灾，在这栋楼的B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的
距离OA为15 米．
(1)求B 处与地面的距离．
(2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米？
7．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑
块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体C 的
升降．实验初始状态如图1 所示(
)
AC
BC
⊥
，物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离是6dm，
绳长(
)
AB
AC
+
为18dm ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B 和物体C 的大小忽略不
计，都看作一点）
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(1)求AB 的长．
(2)如图2，若滑块B 水平向左滑动9dm，求物体C 上升的高度．
折叠问题与勾股定理
一、单选题
1．如图，货车高
(
)
4m
4m
AC =
，卸货时后面支架AB 弯折落在地面
1A 处，经过测量
1
2 m
AC =
，则弯折点B
与地面的距离为（ ）
A．2m
B．3m
C．3 m
2
D．(
)
4
3 m
−
2．如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，沿DE 折叠，使点A与点B 重合，则DE 的长为（ ）
A．11
3
B．4
C．24
5
D．15
4
3．在ABC
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，点D 在BC 上，将ACD
沿AD对折，点C 刚好
落在AB 上的E 点，则CD的长（ ）
题型04
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A．4
B．3
C．5
D．6
4．如图，在长方形ABCD中，
6,
8
CD
AD
=
=
．将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC
上的点F 处，则EF 的长为（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
二、填空题
5．如图，长方形ABCD中，点E 在边AB 上，将长方形ABCD沿直线DE 折叠，点A恰好落在边BC 上的点
F 处，若
5
AD = ，
3
DC =
，则BF 的长是______．
6．如图，长方形纸片ABCD中，
3cm
AB =
，
9cm
AD =
，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C
落在点H 的位置，折痕为EF ，则ABE
的面积为______
2
cm ．
三、解答题
7．如图，点E 是长方形ABCD边上的一点，将边AD沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，若
4cm
AB =
，
5cm
BC =
，求EC 的长．
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8．已知，四边形ABCD为长方形，
8
AB =
，
10
BC =
，点E 由点D 向DA运动，点F 由点D 向DC 运动．将
CBF
△
沿BF 折叠，点C 恰好落在点E 处时，求此时BF 的长；
航海问题与勾股定理
一、单选题
1．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿北偏东40方向航行，乙船沿南偏东50
方向航行，1.5小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛．若C 、B 两岛相距30海里，则乙船的航速是（ ）
A．8海里/时
B．12海里/时
C．16海里/时
D．20 海里/时
2．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/ 时的速度沿北偏东35方向航行，乙船沿南偏东55
方向航行，2 小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 （ ）
题型05
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A．20 海里/ 时
B．30海里/ 时
C．40 海里/ 时
D．50海里/ 时
二、填空题
3．如图，我军巡逻艇正在A 处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12 海里的B 处有一艘走私船，以18
海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C 处将其追上，我军
巡逻艇的航行路程AC =_______海里．
三、解答题
4．如图，在离水面高度为5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13 米，此人以0.5米/
秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D 的位置．
(1)求CD的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
利用勾股定理求河的宽度
一、单选题
1．如图，湖的两岸有A，C 两点，在与AC 成直角的BC 方向上的点C 处测得
15
AB =
米，
12
BC =
米，则A，
C 两点间的距离为（ ）
题型06
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A．3 米
B．6 米
C．9 米
D．10 米
2．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点
C 与欲到达地点B 相距8 米，结果轮船在水中实际航行的路程AC 比河的宽度AB 多2 米，则河的宽度AB 是
（ ）
A．6 米
B．9 米
C．12 米
D．15 米
3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的
长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x 步，则可列方程为（ ）
A．30
50
x
x
+
=
−
B．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
−
=
C．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
D．
(
)
2
2
2
50
30
x
x
+
−
=
二、填空题
4．AI 机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A 处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B 处，由于水
流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程AC 为15米，则AB 的长为_______
米．
5．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度AB 为2.5 米，一名学生站
在C 处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高CD为1.6米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，这名
学生从进入感应区到进门，需行进______米．
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三、解答题
6．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具无
法直接测得A、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ，
在AB 的延长线上取一点D ，使得
12
BD =
米．经测量
34
AC =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，请你计算点A、
B 之间的距离．
7．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B 之间的距离，他们的操作
过程如下：①沿AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C ，使
6
BC =
米；②在AC 的一侧选点D ，恰
好使
8
BD =
米，
10
CD =
米；③测得
17
AD =
米．请根据他们的操作过程，回答以下问题：
(1)求
ABD
的度数；
(2)求出A，B 两点间的距离．
8．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的
顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
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9．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到
点E ，同时小船从点A移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知AC ________ BC
CE
+
（填“”“”“ = ”）；
(2)若
5
CF = 米，
12
=
AF
米，
4
AB =
米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．
求台阶上的地毯长度
一、单选题
1．如图，在高为5 m ，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．25m
B．18m
C．17m
D．13m
二、填空题
2．如图，在一个高为3m 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为7m，则楼梯斜面AB 的长为_______m．
题型07
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三、解答题
3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽
为4m．
(1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；
(2)若地毯的价格为120 元
2
/m ，则购买地毯需花费多少元？
求汽车超速问题
一、填空题
1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚
好行驶到路面车速检测仪A 的正前方30 m 的C 处，过了2s后，小车到达B 处，此时测得A、B 间距离为50m，
AC
BC
⊥
，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”）
二、解答题
2．如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
90
AN =
米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到
达N 点时开始计时，离开M 点时停止计时，已知
150
AM =
米．
题型08
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(1)若一辆汽车以108 km / h 的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3 秒，该车是否超速？请说明理由．
求受台风影响问题
一、填空题
1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O处交会，点A到MN 的直线距离为100m．公路PQ 上点A处距离点O处
300m．如果火车行驶时，周围260m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20m/s的
速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为______s ．
二、解答题
2．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路MN 的
一侧有一报亭A，报亭A 到公路MN 的距离AB 为600 米，且宣讲车P 周围1 000 米以内能听到广播宣传，
宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200 米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为一海港，
当AC
BC
⊥
时，A 点到B，C 两点的距离分别为1000km和600km，以台风中心为圆心周围520km以内为受
影响区域．
题型09
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(1)求BC ；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为100km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
4．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20
/ h
km
的速度移动，已知城市A到BC 的距离AD为160km．
(1)求台风中心从B 点移到D 点的距离BD的长？
(2)如果在距台风中心200km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小
时？
构造双勾股解直角三角形
一、解答题
1．如图，铁路上A，B 两站（视为直线上两点）相距27km ，C，D 为两村庄（视为两个点），DA
AB
⊥
于A，
CB
AB
⊥
于B ．已知
24km
DA=
，
15km
CB =
，现要在铁路AB 上建设一个特产收购站E ，使得C ，D 两村
到E 站的距离相等，则E 站应建在距离A 站多少千米处？
2．如图，某学校（A点）到公路（直线l ）的距离为30m，到公交站（D 点）的距离AD为50m ，现在公路
边上建一个商店（C 点），使商店到学校A及公交站D 的距离相等，求商店C 与公交站D 之间的距离．
题型10
答案第16 页，共36 页
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3．如图，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A 、凉亭B，观景台A 到马路的距离（AC
的长）为70m，凉亭B到马路的距离（BD的长）为10m，CD的长为80m ．现计划在路段CD之间放置一
个自动售货点G ，使得G 到A 、B两处的距离相等，该自动售货点G 应该修建在离点C 多远处？
4．某市准备在铁路AB 上修建火车站E ，以方便铁路AB 两旁的C ，D 两城的居民出行．如图，C 城到铁
路AB 的距离
20km
AC =
，D 城到铁路AB 的距离
60km
DB =
，
100km
AB =
，经市政府与铁路部门协商最后
确定在到C ，D两城距离相等的E 处修建火车站，求AE ，BE的长．
5．如图，直线l 为一条公路，A，D 两处各有一个村庄，AB
l
⊥于点B，DC
l
⊥于点C，
4
AB =
千米，
8
BC =
千米，
6
CD =
千米．现需要在BC 上建立一个物资调运站E，使得E 到A，D 两个村庄距离相等，请求出E
到C 的距离．
求立体图形的最短路径问题
一、单选题
1．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面
爬行到点C 的最短路程为（ ）
题型11
答案第17 页，共36 页
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A．17cm
B．13cm
C．12cm
D．2 61cm
2．如图，圆柱形玻璃容器高6cm，底面周长为24cm ，在容器内壁距下底1cm的点A 处有一只蚂蚁，在蚂
蚁正对面的容器上底边点B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（ ）cm．
A．12
B．13
C．6 5
D．6 3
3．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20 的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B 处，点B
离点C 的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．25
B．5 29
C．5 37
D．35
4．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm 、2dm，A和B 是这个台阶上两
个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程
是（ ）
A．20
B．24
C．25
D．35
5．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一个长方体的木块．已知
8
AD = 米，
7
AB =
米，该木块的较长
边与AD平行，横截面是边长为4 米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C 处需要走的最短路程是
答案第18 页，共36 页
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________米，
A．17
B．5 17
C．113
D．19
6．如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A．3
B．1
2
+
C．3
D．5
7．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B 处，已知
长方体长6cm，宽5cm，高3cm．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B 点，则蜘蛛爬行的
最短路程是（）cm．
A．9.8
B．10
C．106
D．130
8．如图，圆柱形水桶的桶高为16cm，底面周长为12cm，在桶内壁离桶底4cm 的点A 处有一滴污渍，此时，
一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿3cm ，且与污渍A 在同一轴截面相对的点B 处，则小虫从外壁B
处到内壁A 处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（ ）
A．13cm
B．5 10cm
C．15cm
D．3 29cm
9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8 的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路
线的长是（ ）
答案第19 页，共36 页
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A．130
B．10
C．73
3
+
D．8 3 2
+
10．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm ．如果一只小虫从点A 开始爬行，经过两个侧面爬行
到另一条侧棱的中点B 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cm
B．5.5cm
C．6cm
D．7cm
二、填空题
11．如图，圆柱高为12cm，底面周长为10cm，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A 爬到点B 处觅食，要爬行的
最短路程是________cm．
12．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A 处出发，沿圆柱侧面爬
行一周到点B 处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm．
13．2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U 型池场地金牌的运动员，如图，
该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m 的半圆，
其边缘
18m
AB
CD
=
=
，点E 在CD上，
2m
CE =
．从A点滑到E 点，滑行的最短路程是______m．（边缘部
答案第20 页，共36 页
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分的厚度忽略不计，π 取3）
14．如图，圆柱底面半径为5 cm
，高为24cm ，点A，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B 在同一
条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3 圈到B 点，则这根棉线的长度最短为_______．
15．如图，圆柱底面的周长为60cm ，高为40cm ，要在圆柱的侧面上过点A和点C 镶嵌一圈金属丝，这圈
金属丝的最短长度为______．
16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底
部2cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点B正对面的容器外壁，且离容器上沿5cm的点A处，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______cm．
三、解答题
17．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑
布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱
上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A 到点C，B 为AC 的中点），每
根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？
答案第21 页，共36 页
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18．如图，在一个长AB 为7m ，宽AD为4m 的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和
场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C 处需要走的最短路程
是多少？
19．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，
中间可供滑行部分的截面是弧长为5m 的半圆，其边缘
12m
AD
BC
=
=
（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱
好者从B 点滑到D 点，求他滑行的最短距离．
20．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1 所示．A和B 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过
计算得到AB 长度即为最短路程，则AB =______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外
壁，离杯子上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚
度不计）
答案第22 页，共36 页
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利用勾股定理求芦苇高度问题
一、单选题
1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学
史上“葭生池中”的问题．如图，
5
AB =
，
1
DC = ，BD
BA
=
，则AC 是（ ）
A．8
B．4
C．5
D．3
2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一
尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x 尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．(
)
2
2
2
1
5
x
x
−
+
=
B．
(
)
2
2
2
10
1
x
x
+
=
+
C．(
)
2
2
2
1
10
x
x
−
+
=
D．
(
)
2
2
25
1
x
x
+
=
+
3．如图，有一个水池，其底面是边长为16 尺的正方形，一根芦苇AB 生长在它的正中央，高出水面部分BC
题型12
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的长为2 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B，则这
根芦苇AB 的长为（ ）
A．15 尺
B．16 尺
C．17 尺
D．18 尺
二、解答题
4．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一
丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇
的长各是多少尺？(1 丈10
=
尺)
汽车通过隧道问题
一、解答题
1．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m，该隧道内设双车道（共有2
条车道），正中间有0.6m宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高4m ，
宽2m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．
2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5 米，宽1.6 米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，
题型13
答案第24 页，共36 页
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已知半圆的直径为2 米，长方形的另一条边长是2.3 米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
一、单选题
1．如图，一个圆柱的高是12cm，底面圆的周长是18cm，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上
底面的点B 处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
A．9cm
B．15cm
C．6 13 cm
D．6 5 cm
2．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架
24cm
AC =
，
18cm
CB =
，两轮中心的距离
30cm
AB =
，
则点C 到AB 的距离为（ ）cm．
A．72
5
B．36
5
C．144
5
D．18
5
3．如图，ABC
顶点A ，B ，C 在边长为1 的正方形网格格点上，若CD
AB
⊥
于点D ，则CD的长为（ ）．
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A．3
5
B．6
5
C．12
5
D．5
6
4．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm ，盒子高为12cm，点B 在顶点A 正上方7cm 处．用红
色彩带从顶点A 开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B 开始绕侧面到顶点C 装饰，则红色与
黄色彩带的总长度至少为（ ）cm
A．38
B．28
C．13
193
+
D．25
601
+
5．如图，长方体的长
15
BE
cm
=
，宽
10cm
AB =
，高
20
AD
cm
=
，点 M 在CH 上，且
5
CM
cm
=
，一只蚂
蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 29cm
B．24cm
C．5 37cm
D．25cm
6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10的直吸管露
在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
答案第26 页，共36 页
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A．2
3
a
B．3
4
a
C．4
5
a
D．5
6
a
7．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B ，C ，D 都在格点（即小正方形的顶点）上，以点A为
圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点E ，连接AE ，则CE
DE
−
的值为（ ）
A．3
5
2
−
B．5
C．4
D．3 5
5
+
8．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高AC 为1 丈，倚木杆AB 于墙，使木杆之上端
与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1 尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即CD），问木杆长是多少？设
木杆长x 尺，根据题意可列方程为（1 丈10
=
尺）（ ）
A．(
)
2
2
1
10
x
x
+
=
+
B．
(
)
2
2
2
10
1
x
x
+
−
=
C．(
)
2
2
2
1
1
x
x
−
+
=
D．(
)
2
2
2
1
10
x
x
+
+
=
9．如图，东西方向上有A，C 两地相距5 千米，甲以8 千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙
以6 千米/时的速度从C 地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3 千米时，最短用时是（ ）
A．0.4 小时
B．0.5 小时
C．0.6 小时
D．0.8 小时
10．如图，一张三角形纸片ABC ，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
10cm
AB =
．将纸片沿直线DE 折叠，使点A与
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点B 重合，则CD的长是（ ）
A．9 cm
4
B．2cm
C．7 cm
4
D．3cm
二、解答题
11．已知，四边形ABCD为长方形，
8
AB =
，
10
BC =
，点E 由点D 向DA运动，点F 由点D 向DC 运动．将
CBF
△
沿BF 折叠，点C 恰好落在点E 处时，求此时BF 的长；
12．如图，每一个小正方形的边长为a ，
(1)画出格点ABC
关于直线DE 对称的
A B C
△
；
(2)在DE 上画出点P ，使PA
PC
+
最小；
(3)在DE 上画出点Q ，使QA
QB
−
最大；
(4)直接写出QA
QB
−
的最大值为 ．
13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B 两处观测点，观测点A 距离鸟类巢
穴80m ，观测点B 距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B 相距100m．火车行驶时会对周围52m 范围造成噪声
污染．
答案第28 页，共36 页
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(1)求点C 到铁路AB 的距离；
(2)当一列长度为260m的火车以30m/s 的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声
污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不
计）．
14．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了
“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为16 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为34 米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7 米．
(1)求风筝的垂直高度CE ；
(2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18 米，则他应该往回收线多少米？
15．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各
几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1 丈（1 丈10
=
尺）的正方形．在水池正中央O处有
一根芦苇OA，它高出水面的部分CA 为1 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边
的水面，即OB
OA
=
．求水池的深度OC 及芦苇的长度OA；
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16．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C 移动到E，
同时小船从A 移动到B，且绳长始终保持不变，其中
5
CF = 米，
12
=
AF
米．回答下列问题：
(1)若
8
AB =
米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号）
(2)若小亮以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20 秒内将船从A 处移动到岸边点F 的位置；
(3)在（2）的条件下，若小亮收绳t 秒后，小船到F 的距离刚好等于所收绳长，求t 的值．
17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直
角边长分别为a ，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾
股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
(1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若
4
a =
，
6
b =
，则空白部分的面积为 ．
(3)如图3，长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．若
5
AD = ，
3
AB =
，求EF 的长．
18．综合与实践
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已
知云梯最多伸长到25m，消防车高4m ，救援时云梯伸到最长．
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【任务】在演练中消防员接到命令，必须在A，B处两个求救点救援．
【现场勘察】勘察A，B离地面O 的高度分别为
24m
A O
=
，
28m
B O
=
．
【解决问题】
(1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在A处，求消防车云梯底部A处距离着火楼距离是多
少？
(2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离AB 为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达B处，完成救援
任务？
19．图1 是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是
2
c ；另一种是四个直角三角形与中
间小正方形的面积之和，即
(
)
2
1
4
2 ab
b
a
+
−
，从而得到等式
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
=
+
−
，化简便得勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
(1)如图2，在6 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得
到ABC
．
①AB 的长为_______．
②请利用“双求法”，求边AB 上的高CD．
(2)如图3，在ABC
中，
13
AC =
，
15
AB =
，
4
BC =
，求边BC 上的高AD．
20．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强
的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B 与监测点A 所在的直线由东向西移动，已知点C
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为一海港，且点C 与A，B 两点的距离分别为300km、400km，且
90
ACB
=
，过点C 作CE
AB
⊥
于点E，
以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
(1)求监测点A 与监测点B 之间的距离；
(2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由；
(3)若台风的速度为25km/h ，则台风影响该海港多长时间？
21．如图1，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A、凉亭B ，已知AC
EF
⊥
于点
,
C BD
EF
⊥
于点
,
700m,
100m
D AC
BD
=
=
，
800m
CD =
．
请结合所学知识，解决下列问题：
(1)【基础应用】
观景台A与凉亭B 之间的直线距离AB =__________ m ；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G ，使G 到A，B 两处的距离相等，该
自动售货点G 应修建在离点C 多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF 边上设置一个便民服务点M ，使得M 到A、
B 两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M 到A、B 两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，点P，Q 分别为AB ，CD上一个动点，将正方形沿PQ 折叠，点D 的对应点M
始终落在BC 上，已知
8
AB =
，当点M 为BC 中点时，DQ 的长为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，有一张直角三角形纸片ABC ，
90
ACB
=
，
4cm
AC =
，
3cm
BC =
．将三角形纸片沿AD翻折，
使点B 落在直角边AC 延长线上的点E 处，则CE 的长为（ ）
A．1cm
B．1.5cm
C．2cm
D．3cm
二、填空题
3．如图，
3,
4,
5
AC
BC
AB
=
=
=
，点D 是直线BC 右侧一动点，且满足BCD
的面积是3，则BD
CD
+
的最
小值为______．
4．如图，一大楼的外墙面ADEF 与地面ABCD垂直，点P 在墙面上．若
10m
AP
AB
=
=
，点P 到AD的距
离为6m，现要从点P 处靠墙和地面铺设管道至点B 处，则管道的长度最短为____________m．
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5．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6 米，在底面
周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3 圈到达柱顶正上方的D 点，则雕刻在木柱
上的巨龙长至少为_____米．
三、解答题
6．如下图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C 与点A重合，点B 落在点B处，折痕EF 分别与AB ，DC 交
于点E ，F ．
(1)求证：ADF
ABE
≌
．
(2)若
12
AD =
，
18
DC =
，则AEF
的面积为__________．
7．如图，在长方形纸片ABCD中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE
沿AE 折叠得到
AFE
△
，连接CF ．若
4
AB =
，
6
BC =
，求CF 的长．
8．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
素
材
一
【提出问题】求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
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素
材
二
【建立模型】如图1，
2
23
x +
可看作直角
边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2
的直角三角形的斜边．构造两个直角三角
形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角
边在同一直线上，这时
12
12,
3,
2
CF
x
x
AC
DF
=
+
−
=
=
=
，
问题就转为“在CF 上求点B，使．AB
BD
+
最小”问题．
素
材
三
【解答过程】如图2，连接AD，交CF 于点
B，此时．AB
DB
+
的值最小，将AC 延长
至点H，使得
2
CH
DF
=
=
，连接HD ．∵
3
2
5,
12
AH
AC
CH
HD
CF
=
+
=
+
=
=
=
，∴
在Rt ADH
中，
2
2
5
12
13
AD =
+
=
，∴
min
13
AB
DB
AD
+
=
=
，∴
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值是13．
(1)任务一：【解决问题】代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ．
(2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km ，村庄A 点到河岸的垂直距离为3km ，村庄
B 点到河岸的垂直距离为5km，且点A，B 到河岸的垂足之间的水平距离为15km．现计划在河上建一座垂
直于河岸的桥PQ ，使得从A 到P，过桥PQ ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 km．
(3)任务三：思维拓展：已知正数x 满足
2
2
81
144
15
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
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9．课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A B
，两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A B
，对
应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
一、单选题
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深
几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即
5
AC =
，
1
DC = ，BD
BA
=
，则BC = （ ）
A．8
B．10
C．12
D．13
2．（2020·广西·中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun，门槛的
意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2 为图1 的平面示意图)，推开双门，双门
间隙CD的距离为2 寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10
=
寸)，则AB 的长是（ ）
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A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
二、填空题
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
4
BC =
，D 是边AC 的中点，
E 是边BC 上一点，连接BD
DE
、
．将
CDE
△
沿DE 翻折，点C 落在BD上的点F 处，则CE = ________．
4．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行30km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向
航行40km 至C 港，则A，C 两港之间的距离为___________km．
5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm
的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂
蚁从外壁B 处到内壁A处所走的最短路程为___________cm．（杯壁厚度不计）
