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1.5 全等三角形的判定（第二课时）
题型一：利用“SAS”作为判断依据
1．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC
BD
，
的中点O固定，只要测得C
D
，
之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径AB 的长度．此方案中，判定
△
≌△
AOB
COD 的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
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【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“SAS”证明△
≌△
AOB
COD 即可．
【详解】解：由题意，OA
OC
=
，OB
OD
=
，又
AOB
COD
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
COD
≌
，
故选：B．
2．（24-25 八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条AA
BB
、
的中点O 连在一起，使AA
BB
、
可以
绕着点O 自由旋转，则A B
的长等于内槽宽AB ，那么判定
OAB
OA B
≌
△
△
的理由是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】B
【分析】本题主要全等三角形的判定，由O 是AA
BB
，
的中点，可得AO
A O
BO
B O
=
=
，
，再有对顶角相
等，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定AOB
OA B
≌
．
【详解】解：∵O 是AA
BB
，
的中点，
∴AO
A O
BO
B O
=
=
，
，
在
OAB
△
和
OA B
△
中，
AO
A O
AOB
A OB
BO
B O
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
OA B
≌
，
故选：B．
3．（24-25 八年级上·河南郑州·期末）如图①是Rt
ABC
△
，画Rt A B C
，使得Rt
Rt
A B C
ABC
△
≌
△
．如
图②是小明的画图过程，已知
90
MB N
=
，则判定Rt
Rt
A B C
ABC
△
≌
△
的依据是（ ）
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A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．HL
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据SAS判断三角形全等即可．
【详解】解：已知
90
A B C
ABC
=
=
，
由作图可知BA
BA
= ，BC
B C
=
，
∴
(
)
SAS
≌
ABC
A B C
△
△
，
故选：A．
4．（24-25 八年级上·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端AB 的距离的方案：先取一个可直接
到达点A ，B 的点O，连接AO ，BO，延长AO 至点P ，延长BO至点Q ，使得OP
AO
=
，OQ
BO
=
，再
测出PQ 的长度，即可知道A ，B 之间的距离．他设计方案的理由是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．ASA
D．SSS
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，
寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：在
OPQ
△
和
OAB
△
中，
OP
AO
POQ
AOB
OQ
OB
=
=
=
，
∴
(SAS)
OPQ
OAB
△
≌△
，
∴PQ
AB
=
．
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故选：A．
5．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）如图，为了测量水池两边A，B 间的距离，可以先过点A 作射线AE ，
再过点B 作BD
AE
⊥
于点D，在AD延长线上截取DC
AD
=
，连接BC ，则BC 的长就是A，B 间的距离，以
此来判断
ABD
CBD
≌
△
△
的理由是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据DC
AD
=
，
90
ADB
CDB
=
=
，BD
BD
=
，利用SAS判
断
ABD
CBD
≌
△
△
即可．
【详解】解：∵BD
AE
⊥
，
∴
90
ADB
CDB
=
=
，
在
ABD
△
和
CBD
△
中，
90
DC
AD
ADB
CDB
BD
BD
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBD
≌
．
故选：B．
6．（23-24 八年级上·河南郑州·期末）如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点
,
A B 间的距离，可在平地
上找到一个可以直接到达点A 和点B 的一点O，然后延长AO 至D ，使OD
OA
=
，延长BO至C ，使OC
OB
=
，
则
DOC
AOB
≌△
△
，从而通过测量CD的长就可得到
,
A B 间的距离，其全等的依据是（ ）
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A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：在
DOC
△
和
AOB
中
OD
OA
AOB
COD
OC
OB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
DOC
AOB
≌△
△
；
故选D．
7．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，在
ABD
△
与
ABC
中，
,
DAB
CBA AD
BC
=
=
，则可判定
ABD
BAC
△
△
≌
的根据是（ ）
A．ASA
B．SAS
C．AAS
D．SSS
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA 、AAS和HL）
是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：在
ABC
和
ABD
△
中，
∵
,
,
AD
BC
DAB
CBA AB
BA
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
BAD
△
≌△
．
故选B．
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8．
（24-25 八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木
鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示
的“风筝“图案中，AB
AD
=
、
B
D
= 、BC
DE
=
．则可以直接判定（ ）
A．AEG
ABC
≌
B．
AEG
ACF
≌△
△
C．
ABF
ADC
≌
△
△
D．
ABC
ADE
△
△
≌
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析
ABC
和
ADE
，易得
(SAS)
ABC
ADE
≌
．
【详解】解：在
ABC
和
ADE
中，
AB
AD
B
D
BC
DE
=
=
=
，
(SAS)
ABC
ADE
≌
．
故选D．
题型二：利用“SAS”判断三角形全等
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）在
ABC
和DEF
中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角
形全等的是（ ）
A．
,
,
AB
DE BC
DF
A
D
=
=
=
B．
,
,
AB
EF AC
DF
A
D
=
=
=
C．
,
,
AB
BC DE
EF
B
E
=
=
=
D．
,
,
BC
EF AC
DF
C
F
=
=
=
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据选项中所给的条件结合SAS定理分别进行分析，可选出答
案．
【详解】解：如图，
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A、SSA 不能判定
ABC
和DEF
全等，故本选项不符合题意；
B、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
D、可以利用SAS判定
ABC
和DEF
全等，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（24-25 八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，己知BC
EF
=
，AF
DC
=
，点A、F、C、D 四点在同一直线
上．要利用“ SAS ”来判定
ABC
DEF
≌△
△
，下列四个条件：①
A
D
=
；②
ACB
DFE
=
；③AB
DE
∥
；
④BC
EF
∥
．
可以利用的是（ ）
A．①②
B．②④
C．②③
D．①④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“ SAS ”来判定三角形全等是解题的关键．已知
AF
DC
=
，即知AC
DF
=
，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可．
【详解】
AF
DC
=
，
AC
DF
=
∴
，
ACB
DFE
=
，BC
EF
=
，
(
)
ABC
DEF SAS
≌
，
②正确；
BC
EF
∥
，
ACB
DFE
=
，
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根据②，即可判断
ABC
DEF
≌△
△
，
④正确；
添加
A
D
=
或AB
DE
∥
，均不能满足“ SAS ”，
①和③均错误；
可以利用的是②④．
故选：B．
3．（23-24 七年级上·山东威海·期末）如图，在
ABC
中，AD平分
BAC
，AE
AF
=
，可用“SAS”判断全等
的是（ ）
A．
ABD
△
和ACD
B．BDE
和CDF
C．
ADE
和
ADF
△
D．以上三个选项都可以
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根
据角平分线的定义得到∠
∠
EAD
FAD
=
，由全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵AD平分
BAC
，
∴∠
∠
EAD
FAD
=
，
在
ADE
与
ADF
△
中，
AE
AF
EAD
FAD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADF
≌
，
故选：C．
4．（24-25 八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序
号）．
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【答案】②
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：根据SAS可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等；
故答案为：②．
题型三：添加一个条件使得三角形全等（SAS）
1．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，在
ABC
和BAD
中，
BAC
ABD
=
，再添加一个条件就可
以用“ SAS ”判断
ABC
BAD
≌
△
△
，则添加的这个条件为 ．
【答案】AC
BD
=
【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据
SAS证明三角形全等即可．
【详解】解：∵
BAC
ABD
=
，AB
BA
=
，
∴添加AC
BD
=
，可利用“ SAS ”判断
ABC
BAD
≌
△
△
，
故答案为：AC
BD
=
．
2．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）如图，在
ABC
和
DFE
△
中，AC
DE
=
，
90
A
D
=
=
，若要用“SAS”
直接证
ABC
DFE
△
≌△
，则还需补充的条件是 ．
【答案】AB
DF
=
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由AC
DE
=
90
A
D
=
=
，要用“SAS”直接证
ABC
DFE
△
≌△
，则需要补充AB
DF
=
即可．
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【详解】解：补充AB
DF
=
，
∵AC
DE
=
90
A
D
=
=
，AB
DF
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DFE
≌
，
故答案为：AB
DF
=
．
3．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在ABE
和DCF
中，
B
C
=
，AB
DC
=
，若要证明
ABE
DCF
△
≌△
，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可）
【答案】BE
CF
＝
（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS
ASA
，
， AAS， SSS
HL
，
．
由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
【详解】证明：在ABE
和DCF
中，
AB
DC
B
C
BE
CF
=
=
=
，
∴
SAS
ABE
DCF（
）
△
≌△
，
∴要证明
ABE
DCF
△
≌△
，还需要添加一个条件：BE
CF
＝
（答案不唯一）．
故答案为：BE
CF
＝
（答案不唯一）．
4．（24-25 八年级上·四川自贡·期中）如图，点P 在
AOB
的平分线上，若能用SAS 判定AOP
BOP
≌
，则
需添加的一个条件是
【答案】OA
OB
=
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理SAS（在两个三角形中，如果两边和它
们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等）即可得出结论．
【详解】解：∵OP 平分
AOB
，
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∴
AOP
BOP
=
，
∵OP 是公共边，OA
OB
=
，
∴
(
)
SAS
AOP
BOP
≌
，
故答案为：OA
OB
=
．
5．（23-24 八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点E 、F 在AC 上，AD
BC
DF
BE
=
=
，
，要用SAS证
ADF
CBE
△
△
≌
，则需添加的条件为 ．
【答案】
D
B
= /
B
D
=
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据AD
BC
DF
BE
=
=
，
且SAS证
ADF
CBE
△
△
≌
，则添加条件
为
D
B
= ，即可作答．
【详解】解：∵运用SAS证
ADF
CBE
△
△
≌
，且AD
BC
DF
BE
=
=
，
∴添加条件为
D
B
=
即
ADF
△
和
CBE
△
中
AD
BC
D
B
DF
BE
=
=
=
∴
(
)
SAS
ADF
CBE
≌
故答案为：
D
B
=
6．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）如图，已知1
2
= ，要用“SAS”判定
ABD
ACD
△
≌△
，则需要补充
的一个条件为 ．
【答案】BD
CD
=
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“SAS”判定
ABD
ACD
△
≌△
，已知1
2
=
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及公共边AD，添加的条件是BD
CD
=
．
【详解】解：添加的条件是BD
CD
=
，
理由是：在
ABD
△
与ACD
中，
1
1
AD
AD
BD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACD
≌
，
故答案为：BD
CD
=
．
7．（23-24 八年级上·福建泉州·期末）如图，BE
CD
=
，若不添加辅助线并利用“SAS”判定ACE
ABD
≌
，
则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）
【答案】AB
AC
=
（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知图形有一个公共角，再结合BE
CD
=
即可求解，掌握全
等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加的条件为：AB
AC
=
或AE
AD
=
（填写一个条件即可）.
理由：当添加的条件为AB
AC
=
时，
∵AB
AC
=
，BE
CD
=
，
∴AE
AD
=
，
在
ACE
△
和
ABD
△
中，
∵
AC
AB
A
A
AE
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
ABD
≌
；
当添加的条件为AE
AD
=
时，
∵AE
AD
=
，BE
CD
=
，
∴AE
BE
AD CD
−
=
−
，
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即AB
AC
=
，
在
ACE
△
和
ABD
△
中，
∵
AC
AB
A
A
AE
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACE
ABD
≌
；
故答案为：AB
AC
=
或AE
AD
=
（填写一个条件即可）．
题型四：利用“SAS”证明三角形全等（解答题）
1．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点B ，D 在AF 上，AC
FE
=
，AC
FE
∥
，AD
FB
=
．求
证：
ABC
FDE
≌
△
△
；
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出
A
F
=，根据等式的性
质得出AB
FD
=
，最后根据SAS证明
ABC
FDE
≌
△
△
即可．
【详解】证明：∵AC
FE
∥
，
∴
A
F
=，
∵AD
FB
=
，
∴AB
FD
=
，
在
ABC
和FDE
中，
AC
FE
A
F
AB
FD
=
=
=
∴
ABC
FDE
≌
△
△
2．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，在
ABC
和
ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，CAB
EAD
=
，
连接CE ，BD．试说明：
AEC
ADB
△
≌△
．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA 、AAS和HL）
是解题的关键．先证明
CAE
BAD
=
，然后根据SAS可证
AEC
ADB
△
≌△
．
【详解】解：因为
CAB
EAD
=
，
所以
CAB
BAE
EAD
BAE
+
=
+
，
所以
CAE
BAD
=
．
在
AEC
△
和ADB
中，
AC
AB
CAE
BAD
AE
AD
=
=
=
，
所以
(
)
SAS
AEC
ADB
≌
．
3．
（24-25 八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形ACBD中，E 是对角线AB 上一点，AC
AD
=
，BC
BD
=
，
求证：AEC
AED
≌
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明
(
)
SSS
ABC
ABD
△
≌△
得出
CAB
DAB
=
，再证明AEC
AED
≌
．
【详解】证明：在
ABC
和
ABD
△
中，
AC
AD
BC
BD
AB
AB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABC
ABD
△
≌△
，
∴
CAB
DAB
=
，
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在
AEC
△
和
AED
△
中，
AC
AD
CAE
DAE
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEC
AED
≌
．
4．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）如图，ABC
和EFD
分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，
AB
EF
=
，AD
EC
=
，AB
EF
∥
，求证：
ABC
EFD
≌△
△
．
【答案】见解析．
【分析】根据全等三角形的判定找出条件即可．
【详解】∵AB
EF
∥
，
∴
A
E
=，
∵
=
AD
CE ，
∴AD CD
EC
CD
−
=
−
，即AC
DE
=
，
在BAC
和△FED 中，
AB
EF
A
E
AC
ED
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
EFD
≌
．
5．（2025·福建·一模）如图，F、C 是AD上两点，且AF
CD
=
，点E、F、G 在同一直线上，且BC
GF
，
BC
EF
=
．求证：
ABC
DEF
≌
△
△
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【答案】见解析
【分析】根据AF
CD
=
，得出AC
DF
=
，根据BC
GF
，得出
ACB
DFE
=
，即可根据SAS证明
ABC
DEF
≌
△
△
．
【详解】证明：∵AF
CD
=
，
∴AF
CF
CD
CF
+
=
+
，即AC
DF
=
，
∵BC
GF
，
∴
ACB
DFE
=
，
在
ABC
和DEF
中，
BC
EF
ACB
DFE
AC
DF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
．
题型五：利用“SAS”证明三角形全等求角度
1．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D 三点在同一直线上，且AB
AE
=
，AC
AD
=
，
BAE
CAD
=
．若
1
2
3
100
++=
，则
3
的度数为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60
【答案】B
【分析】根据
BAE
CAD
=
得到
BAC
EAD
=
，证明
(
)
SAS
BAC
EAD
≌
，结合三角形外角性质，计算
即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题
的关键．
【详解】解：∵
BAE
CAD
=
，
∴
BAC
EAD
=
，
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17 /
∵
=
=
=
AB AE
BAC
EAD
AC AD
，
∴
(
)
SAS
BAC
EAD
≌
，
∴
1
,
2
ABC
BAC
=
=
，
∵
3
ABC
BAC
=
+
，
∴3
1
2
?
?
?
，
∵
1
2
3
100
++=
，
∴2 3
100
=
，
解得
3
50
=
，
故选：B．
2．
（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且
72
ABC
EDC
=
=
，
92
AEB
=
，则
EBD
的度数为（ ）
A．168
B．158
C．128
D．118
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等
三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
【详解】解：如下图所示，连接CE ，
CM 是AB 的垂直平分线，CN 是DE 的垂直平分线，
CA
CB
=
，CE
CD
=
，
ABC
CAB
=
，
CED
CDE
=
，
72
ABC
EDC
=
=
，
72
ABC
EDC
CAB
DEC
=
=
=
=
，
在ABC
中，
180
180
72
72
36
ACB
ABC
BAC
=
−
−
=
−
−
=
，
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18 /
在EDC
中，
180
180
72
72
36
ECD
CED
CDE
=
−
−
=
−
−
=
，
36
ACB
ECD
=
=
，
ACB
ECB
ECD
ECB
−
=
−
，
ACE
BCD
=
，
在ACE
和BCD
中，
CA
CB
ACE
BCD
CE
CD
=
=
=
，
ACE
BCD
≌
，
AEC
BDC
=
，
设
AEC
BDC
=
=
，
则
72
BDE
CDE
BDC
=
−
=
−
，
92
CEB
AEB
AEC
=
−
=
−
，
(
)
72
92
20
BED
DEC
CEB
=
−
=
−
−
=
−
，
在BDE
中，
(
) (
)
180
180
72
20
128
EBD
BED
EDB
=
−
−
=
−
−
−
−
=
．
故选：C．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含45的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示
摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且
13 ,
32
CFE
CFD
=
=
，则
DEC
的度数是（ ）
A．58
B．45
C．77
D．64
【答案】D
【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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19 /
作FH
FE
⊥
交AC 于H ，证明
58
DEF
DHF
FEB
=
=
=
即可解决问题．
【详解】作FH
FE
⊥
交AC 于H ，
∵
90
AFC
EFH
=
=
，
∴
13
AFH
CFE
=
=
，
∵
45 ,
A
FCE
FA
FC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
FAH
FCE
≌
，
∴FH
FE
=
，
∵
13
32
45
DFE
CFE
DFC
=
+
=
+
=
，
∴
90
45
DFH
DFE
DFE
=
−
=
=
,
∵DF
DF
=
，
∴
(
)
SAS
DFE
DFH
≌
，
∴
58
DEF
DHF
A
AFH
=
= +
=
∵
58
FEB
CFE
FCE
=
+
=
，
∴
180
58
58
64
DEC
=
−
−
=
，
故选：D．
4．
（24-25 七年级上·辽宁大连·期末）如图，,
D E 分别在
,
AB AC 上，若
,
AB
AC AD
AE
=
=
，
60 ,
35
A
B
=
=
，
则
BDC
的度数是（ ）
A．95
B．90
C．85
D．80
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明
AEB
ACD
≌
△
△
，得到
C
B
= ，再
根据三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵
,
AB
AC AD
AE
=
=
，
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20 /
又∵
A
A
=，
∴
AEB
ACD
≌
△
△
，
∴
35
C
B
= =
，
∴
95
BDC
A
ACD
= +
=
；
故选A．
5．（24-25 八年级上·重庆荣昌·期末）如图，
ABC
和CDE
都是等腰直角三角形，
90
ACB
DCE
=
=
，
点D 在BC 上，连接AD，ED，延长ED交AB 于点F ，若
28
EBC
=
，则
ADF
的大小为（ ）
A．73
B．72
C．71
D．63
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，关键是利用SAS证明
ACD
与BCE
全等．
根据等腰直角三角形的性质得出AC
BC
=
，CD
CE
=
，进而利用SAS证明ACD
与BCE
全等，利用全等
三角形的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：
ABC
和CDE
都是等腰直角三角形，
AC
BC
=
，CD
CE
=
，
90
ACD
BCE
=
=
，
45
CED
=
，
在ACD
与BCE
中，
90
AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
=
，
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
28
DAC
EBC
=
=
，
45
28
73
ADF
CED
DAC
=
+
=
+
=
，
故选：A．
6．（24-25 八年级上·辽宁营口·期末）如图所示，BD
BC
=
，BE
CA
=
，
62
DBE
C
=
=
，
75
BDE
=
，
则
AFD
的度数为（ ）
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21 /
A．30
B．32
C．33
D．35
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定
理得出
43
E
=
，再证明
(
)
SAS
ABC
EDB
≌
得
43
A
E
=
=
，最后由三角形外角的定义及性质计算即可
得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵
62
DBE
=
，
75
BDE
=
，
∴
180
180
62
75
43
E
DBE
BDE
=
−
−
=
−
−
=
，
在
ABC
和
EDB
△
中，
BC
DB
BCA
DBE
CA
BE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
EDB
≌
，
∴
43
A
E
=
=
，
∴
75
43
32
AFD
BDE
A
=
−=
−
=
，
∴
AFD
的度数为32．
故选：B．
7．（24-25 八年级上·广东云浮·期末）如图，AD
BC
、
相交于点F，AB
AD
=
，AC
AE
=
，1
2
35
= =
，
若AB
ED
∥
，则
BFD
的度数是（ ）
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】B
【分析】由SAS证明ABC
ADE
≌
，根据全等三角形的性质求出
B
D
= ，由平行线的性质得
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22 /
1
35
D
=
=
，则
35
B
=
，然后由三角形外角性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，
平行线的性质，三角形外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：
1
2
=
，
1
2
CAD
CAD
+
= +
，
CAB
EAD
=
，
在ABC
和ADE
中，
AB
AD
CAB
EAD
AC
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
ADE
≌
，
B
D
=
，
AB
ED
∥
，
1
35
D
=
=
，
35
B
=
，
1
70
BFD
B
= +=
，
故选：B．
8．（2025·重庆渝中·二模）如图，
ABC
中，D 为BC 边上一点，CD
AB
=
，
CDE
A
= ，AC
DE
=
，连接
CE ．若
110
B
=
，
50
A
=
，则
ACE
= ．
【答案】90/90度
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得
(
)
SAS
ABC
DCE
≌
，根据全等三角形的性质可得
110
DCB
B
= =
，根据三角形内角和定理求得
ACB
，
进而根据
ACE
DCB
ACB
=
−
，即可求解．
【详解】解：∵CD
AB
=
，
CDE
A
= ，AC
DE
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DCE
≌
∴
110
DCB
B
= =
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23 /
∵
110
B
=
，
50
A
=
，
∴
180
20
ACB
B
C
=
−−
=
∴
90
ACE
DCB
ACB
=
−
=
故答案为：90．
9．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
=
，
ACE
=
，则
AFE
= ．
【答案】
+
/
+
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练根据题意找出全等三角形是解题的
关键．先利用
BAC
DAE
=
=
，得出
BAD
CAE
=
，再证明
ABD
ACE
≌
△
△
，得出
ABD
ACE
=
=
，
再利用三角形内角和定理求出
AFB
，即可求解．
【详解】解：∵
BAC
DAE
=
=
，
∴
BAC
DAF
DAE
DAF
−
=
−
，
∴
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
与
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
ABD
ACE
≌
△
△
，
∴
ABD
ACE
=
=
，
∴
180
180
AFB
ABD
BAC
=
−
−
=
−
−
，
∴
180
AFE
AFB
=
−
=
+
，
故答案为：
+
．
题型六：网格中求角度问题
1．（2025·浙江台州·二模）如图，在3 3
的正方形网格中，线段AB ，CD的端点均在格点上，则1
和
2
的
数量关系是（ ）
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24 /
A．
1
2
180
+ =
B．1
2
=
C．
2
1 90
=
+
D．
2
2 1
=
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
根据
ABM
DCN
△
≌△
，可以知道
1
ABM
=，再用邻补角定义求解即可．
【详解】如图
在ABM
和DCN
中
3
90
1
AM
DN
M
DNC
BM
CN
=
=
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABM
DCN SAS
≌
，
∴
1
ABM
=，
∵
2
180
ABM
+=
，
∵1
2
180
+=
，
故选：A．
2．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则1
2
+的度数是（ ）
A．100
B．90
C．80
D．60
【答案】B
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25 /
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
利用“边角边”证得CAE
DBA
≌
，由全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
依题得：
1
BA
AE
=
= ，
2
AC
BD
=
=
，
90
CAE
DBA
=
=
，
在CAE
和DBA
中，
AE
BA
CAE
DBA
AC
BD
=
=
=
，
(
)
CAE
DBA SAS
≌
，
1
ACE
=
，
2
90
ACE
ACF
+=
=
，
1
2
90
+=
．
故选：B．
3．（2025·江苏扬州·一模）如图，若1
与
2
分别经过格点A、B、C，D、E、F，则1
与
2
的大小关系为
（ ）
A．
1
2
B．1
2
=
C．1
2
D．无法比较
【答案】C
【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关
键．连接AC ，取格点
,
G H ，连接
,
GH GD ，则
(
)
SAS
ABC
GDH
≌
，那么1
GDH
=
，由平行线的性质
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26 /
得到
2
EDH
=
，而
GDH
EDH
，即可求解．
【详解】解：连接AC ，取格点
,
G H ，连接
,
GH GD ，
由网格可得
,
,
90
BC
DH AC
GH
ACB
GHD
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
GDH
≌
，
∴1
GDH
=
，
∵GM
DF
∥
，
∴
2
EDH
=
，
∵
GDH
EDH
，
∴1
2
，
故选：C．
4．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在2 2
的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在小正方形
的格点上，则1
的度数为（ ）
A．45
B．60
C．90
D．180
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
证明
(
)
SAS
ABC
EAD
≌
得
DAE
ABC
=
，又
90
ABC
ACB
+
=
，所以
90
DAE
ACB
+
=
，最后根据
外角的定义即可求出1
的度数．
【详解】解：由题意知：AE
BA
=
，DE
CA
=
，
90
AED
BAC
=
=
，
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27 /
(
)
SAS
ABC
EAD
≌
，
DAE
ABC
=
，
又
90
ABC
ACB
+
=
，
90
+
=
DAE
ACB
，
1
90
DAE
ACB
=
+
=
，
故选：C．
5．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则1
3
+的度数为（ ）
A．60
B．90
C．135
D．180
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”
证明
ABC
和
DEA
△
全等，根据全等三角形对应角相等可得1
4
= ，从而求出
1
3
90
+=
．
【详解】解：如图，在
ABC
和
DEA
△
中，
90
AB
DE
ABC
E
BC
AE
=
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
DEA
≌
，
1
4
= ，
3
4
90
+ =
°，
1
3
90
+=
，
故选：B．
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28 /
6．（24-25 八年级上·河南周口·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则1
2
+
的度数是（ ）
A．30
B．45
C．50
D．60
【答案】B
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明ABC
DEC
≌
，
再由全等三角形的性质可得对应角1
CDE
=
，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
在
ABC
和
EDC
△
中，
90
BC
EC
ABC
DEC
AB
DE
=
=
=
=
，
(
)
ABC
DEC SAS
≌
，
1
CDE
=
，
则1
2
2
45
CDE
+=
+=
．
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29 /
故选：B．
7．（24-25 八年级上·四川宜宾·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E 五点均在
格点上，则
ABC
ADE
+
的度数为（ ）
A．180
B．150
C．120
D．90
【答案】A
【分析】利用已知证明
(
)
SAS
ABF
ADE
≌
，得出
ABF
ADE
=
，根据邻补角定义得出
180
ABC
ABF
+
=
，即可求出结果；
本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角定义，熟悉网格结构，通过观察网格证明
(
)
SAS
ABF
ADE
≌
是解题的关键．
【详解】解：在
ABF
△
与
ADE
中，
AF
AE
F
E
FB
ED
=
=
=
∴
(
)
SAS
ABF
ADE
≌
∴
ABF
ADE
=
∵
180
ABC
ABF
+
=
，
∴
180
ABC
ADE
+
=
．
故选：A．
题型七：利用“SAS”证明三角形全等求线段长度
1．
（24-25 八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，BO为
ABC
的中线，延长BO至D，使OD
OB
=
，连接CD，
已知
6
BC =
，
2
OC
OD
−
=
，则
ABC
与
DOC
△
的周长差是 ．
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30 /
【答案】8
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出
△
≌△
AOB
COD ，根据全等三角形的性质可得AB
CD
=
，再根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵BO为
ABC
的中线，
∴OA
OC
=
，
在
AOB
和
COD
△
中，
OA
OC
AOB
COD
OB
OD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
COD
≌
，
∴AB
CD
=
，
∵
6
BC =
，
2
OC
OD
−
=
，
∴
ABC
与
DOC
△
的周长差是
(
)
AB
BC
OA
OC
OC
OD
CD
+
+
+
−
+
+
6
AB
OC
OC
OC
OD
AB
=
+ +
+
−
−
−
6 OC
OD
= +
−
6
2
=
+
8
= ，
故答案为：8．
2．（24-25 九年级上·河北廊坊·期中）如图，在
ABC
中，BD是中线，作
CAE
C
=
，AE 与BD的延长线
交于点E，且
10
BE =
，则中线BD的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质等知识点，证得
(
)
SAS
AED
CBD
≌
是
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31 /
解题的关键．
由三角形中线的定义可得AD
DC
=
，再运用SAS证明
AED
CBD
≌
△
△
可得BD
ED
=
，最后根据中线的定义
即可解答．
【详解】解：∵在
ABC
中，BD是中线，
∴AD
DC
=
，
∵
CAE
C
=
，
ADE
BDC
=
，
∴
(
)
SAS
AED
CBD
≌
，
∴BD
ED
=
，
∵
10
BE =
，
∴
1
5
2
BD
BE
=
=
．
故答案为：5．
3．
（24-25 八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，ABC
中，
6
AB =
，
5
BC = ，
4
AC =
，AD平分
BAC
交BC 于D ，在AB 截取AE
AC
=
，则BE 的长为 ，BDE
的周长为 ．
【答案】 2 7
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明ADE
ADC
≌
．利用已知条件求解
2
BE =
，
证明
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，得到ED
CD
=
，从而
5
BC
BD
CD
DE
BD
=
+
=
+
= ，即可求得BDE
的周长．
【详解】解：∵
6
AB =
，
5
BC = ，
4
AC =
，AE
AC
=
，
∴
2
BE
AB
AE
AB
AC
=
−
=
−
=
，
∵AD平分
BAC
交BC 于D ，
∴
EAD
CAD
=
，
在
ADE
和
ADC
△
中，
AE
AC
EAD
CAD
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，
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∴ED
CD
=
，
∴
5
BC
BD
CD
DE
BD
=
+
=
+
= ，
∴BDE
的周长
7
BE
BD
ED
=
+
+
=
．
故答案为：2，7．
4．
（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABD
CBD
=
，AB
BC
=
，若
5
DC =
，
则AD的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用SAS证明
ABD
CBD
≌
△
△
，再利用全等三角形的性质“全
等三角形的对应边相等”即可求解．
【详解】解：在
ABD
△
和
CBD
△
中，
AB
CB
ABD
CBD
BD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBD
≌
，
∴AD
DC
=
，
∵
5
DC =
，
∴
5
AD
DC
．
故答案为：5．
5．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）如图，在
ABC
中，
2
C
CAB
=
，
CAB
和
ABC
的角平分线交于
点O，若
14 cm
AB =
，
8.5 cm
BC =
，则点O与点C 的距离为 cm．
【答案】5.5
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确
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33 /
添加辅助线是解决此题的关键．由题易得CO平分
ACB
，进而根据
2
2
ACB
ACD
CAB
=
=
得到
ACD
CAB
=
，所以AD
CD
=
，进而再根据角平分线构造全等，在BC 上截取BE
BD
=
，证
(
)
OBD
OBE SAS
≌
，进而得OE
OD
=
，然后利用线段的和差运算即可得解．
【详解】解：如图，连接CO并延长，交AB 于点D ，在BC 上截取BE
BD
=
，
O
是
BAC
和
ABC
的角平分线的交点，
CO
平分
ACB
，
2
ACB
ACD
=
，
ACD
BCD
=
，
2
ACB
CAB
=
，
ACD
CAB
=
，
AD
CD
=
，
BO
平分
ABC
，
OBD
OBE
=
，
在OBD
和OBE
中，
BD
BE
OBD
OBE
OB
OB
=
=
=
，
(
)
SAS
OBD
OBE
≌
，
OE
OD
=
，
ODB
OEB
=
，
2
ODB
ACD
CAD
ACD
=
+
=
，
ACD
BCD
=
，
2
OEB
BCD
BCD
COE
=
=
+
，
BCD
COE
=
，
OE
CE
OD
=
=
，设CD
xcm
=
，则AD
xcm
=
，
14cm
AB =
，
(
)
14
BD
x cm
BE
=
−
=
，
8.5cm
BC =
，
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(
)
(
)
8.5
14
5.5 cm
CE
BC
BE
x
x
=
−
=
−
−
=
−
，
(
)
5.5
OE
OD
x
cm
=
=
−
，
(
)
5.5
5.5
CO
CD
OD
x
x
cm
=
−
=
−
−
=
，
故答案为：5.5．
6．
（24-25 八年级上·陕西商洛·期末）如图，ABC
与
ADE
相交于点A，AD
AB
=
，DAC
BAE
=
，AE
AC
=
，
若
6
BC =
，则DE 的长度是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由
DAC
BAE
=
得到
BAC
DAE
=
，再由SAS即可证明
BAC
DAE
△
≌△
，继而
6
DE
BC
=
=
．
【详解】解：∵
DAC
BAE
=
，
∴
BAC
DAE
=
，
∵AD
AB
=
，AE
AC
=
，
∴
(
)
SAS
BAC
DAE
△
≌△
，
∴
6
DE
BC
=
=
，
故答案为：6．
7．（24-25 七年级下·上海青浦·期末）把
ABC
的中线AD延长到点E ，使DE
AD
=
，连接BE ，如果
3
AB = ，
ACD
的周长比
ABD
△
的周长大2，那么BE = ．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出
5
AC =
，进而证明
ADC
EDB
≌
得出BE =
5
AC =
，即可求解．
【详解】解：如图
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∵AD是
ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵ACD
的周长比
ABD
△
的周长大2，
∴
(
)
2
AD
CD
AC
AB
BD
AD
+
+
−
+
+
=
，
∴
2
AC
AB
−
=
∵
3
AB =
∴
5
AC =
∵
,
,
AD
DE BD
CD
ADC
EDB
=
=
=
，
∴
ADC
EDB
≌
∴BE =
5
AC =
故答案为：5．
题型八：全等三角形的判定综合
1．（24-25 八年级上·吉林长春·期中）如图，在
ABC
和
ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
，
点C 在DE 上．
(1)求证：
ABD
ACE
△
△
≌
．
(2)若
35
BDA
=
，则
BDE
=______°．
【答案】(1)见解析(2)70
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【分析】（1）根据等式的性质，可得
=
BAD
CAE
，根据SAS可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得
ADC
AEC
=
，根据等量
代换，可得证明结论．
【详解】（1）证明：
=
BAC
DAE
，
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，
即
=
BAD
CAE
．
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
EAC
AD
AE
=
=
=
，
SAS
ABD
ACE
≌
（
）；
（2）证明：
ABD
ACE
≌
△
△
，
ADB
AEC
=
，AD
AE
=
ADC
AEC
=
35
BDA
ADC
=
=
∴
2
2 35
70
BDC
BDA
=
=
=
．
故答案为：70 ．
2．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同
侧作ACD
和BCE
，且CA
CD
=
，CB
CE
=
，
ACD
BCE
=
，直线AE 与BD交于点F．
(1)如图1，求证：
ACE
DCB
△
△
≌
；
(2)若
60
ACD
=
，则
AFB
= ；
(3)如图2，若
ACD
a
=
，则
AFB
= ．（用含a 的式子表示）
【答案】(1)见详解(2)120(3)180
−
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等；
（1）由SAS可判定
ACE
DCB
△
△
≌
，即可得证；
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（2）由全等三角形的性质得
CAE
CDB
=
，由三角形的外角性质得
60
CAE
CBD
+
=
，即可求解；
（3）由全等三角形的性质得
CAE
CDB
=
，由三角形的外角性质得
CAE
CBD
+
=
，即可求解；
掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：
ACD
BCE
=
，
ACD
DCE
BCE
DCE
+
=
+
，
ACE
DCB
=
，
在
ACE
△
和
DCB
△
中
CA
CD
ACE
DCB
CE
CB
=
=
=
，
ACE
DCB
△
△
≌
（SAS）；
（2）解：
60
ACD
=
，
60
CDB
CBD
+
=
，
ACE
DCB
≌
，
CAE
CDB
=
，
60
CAE
CBD
+
=
，
(
)
180
AFB
CAE
CBD
=
−
+
120
=
，
故答案为：120；
（3）解：
ACD
=
，
CDB
CBD
+
=
，
ACE
DCB
≌
，
CAE
CDB
=
，
CAE
CBD
+
=
，
(
)
180
AFB
CAE
CBD
=
−
+
180
=
−
，
故答案为：180
−
．
3．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点E ，F 分别在四边形ABCD的边AB ，CD的延长线上，
连接EF 分别交AD，BC 于点G ，H ，AB
CD
，AE
CF
=
，EH
FG
=
．
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(1)
AEG
△
与
CFH
△
全等吗？为什么？
(2)判断线段AD与BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) AEG
CFH
≌
，见解析；
(2) AD
BC
，见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．
( )
1 根据平行线的性质可知
E
F
= ，根据EH
FG
=
可得：EG
FH
=
，利用SAS可证AEG
CFH
；
( )
2 由( )
1 可知AEG
CFH
，根据全等三角形对应角相等，可证
AGE
CHF
=
，根据内错角相等，两直
线平行可得：AD
BC
．
【详解】（1）解：AEG
CFH
≌
，
理由如下：
AB
CD
，
E
F
= ，
EH
FG
=
，
EH
GH
FG
GH
+
=
+
，
EG
FH
=
，
在
AEG
△
和
CFH
△
中，
AE
CF
E
F
EG
FH
=
=
=
，
AEG
CFH
；
（2）解：AD
BC
，
理由如下：
由( )
1 可知，AEG
CFH
，
AGE
CHF
=
，
AD
BC
．
4．（24-25 七年级下·重庆北碚·期中）如图，已知AD
BC
∥
且AD
BC
=
，E 、F 是BD上两点，且BE
DF
=
．
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39 /
(1)求证：
ADE
CBF
≌
；
(2)若
35
CBD
=
，
95
BCF
=
，求
AEB
的度数．
【答案】(1)见解析(2)130
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等式的性质可得出BF
DE
=
，根据平行线的性质得出
ADE
CBF
=
，然后根据SAS证明
ADE
CBF
≌
即可；
（2）根据三角形内角和定理求出
50
BFC
=
，根据全等三角形的性质求出
50
AED
=
，然后根据邻补角
定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵BE
DF
=
，
∴BE
EF
DF
EF
+
=
+
，
∴BF
DE
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
ADE
CBF
=
，
在
ADE
和CBF
中，
AD
BC
ADE
CBF
DE
BF
=
=
=
，
∴
ADE
CBF
≌
；
（2）解：∵
35
CBD
=
，
95
BCF
=
，
∴
50
BFC
=
，
∵
ADE
CBF
≌
，
∴
50
AED
BFC
=
=
，
∴
130
AEB
=
°．
5．（2025·浙江金华·二模）如图，已知B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB
DE
=
，AB ∥DE ，BE
CF
=
，
AC 与DE 交于点G ．
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(1)求证：ABC
≌
DEF
．
(2)若
40
B
=
，
80
F
=
，求
EGC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
60
EGC
=
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由BE
CF
=
得BC
EF
=
，根据平行线的性质求出
B
DEF
=
，然后根据SAS可证明
ABC
DEF
≌△
△
；
（2）根据全等三角形的性质求出
80
ACB
F
=
=
，由三角形内角和定理可得
60
A
=
，根据平行线的性
质可求
EGC
的度数．
【详解】（1）证明：∵BE
CF
=
，
∴BE
EC
CF
EC
+
=
+
，
即BC
EF
=
，
∵AB
DE
∥
，
∴
B
DEF
=
，
在
ABC
和DEF
中，
AB
DE
B
DEF
BC
EF
=
=
=
∴
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
△
△
；
（2）解：由（1）知，
ABC
DEF
≌△
△
，
∴
80
ACB
F
=
=
，
∵
40
B
=
，
∴
180
60
A
B
ACB
−−
=
=
，
∵AB
DE
∥
，
∴
60
EGC
A
= =
．
6．（2025·江苏无锡·二模）如图，点D 在
ABC
的边AB 上，DF 经过边AC 的中点E ，且EF
DE
=
．
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41 /
(1)求证：ADE
CFE
≌
；
(2)若
5
AB =
，
4
CF =
，求BD的长．
【答案】(1)见解析(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）利用全等三角形的判定即可证明；
（2）利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：点E 是边AC 的中点，
AE
CE
=
，
在
ADE
和
CFE
△
中，
AE
CE
AED
CEF
DE
FE
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
CFE
≌
．
（2）解：由（1）得，ADE
CFE
≌
，
4
AD
CF
=
=
，
5
AB =
，
5
4 1
BD
AB
AD
=
−
= −
= ．
BD
的长为1．
7．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形ABCD中，AB
CD
=
，AE
CF
=
，BF
DE
=
，
(1)求证：
ABE
CDF
△
≌△
；
(2)求证：
DAE
BCF
=
；
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
（1）由SSS 证明ABE
CDF
≌
即可；
（2）由全等三角形的性质得
ABE
CDF
=
，利用SAS证明ABD
CDB
≌
，根据全等三角形的性质求出
BAD
DCB
=
，再根据角的和差得出结论．
【详解】（1）证明：
BF
DE
=
，
BF
EF
DE
EF
−
=
−
，
即BE
DF
=
，
在ABE
和CDF
中，
AB
CD
AE
CF
BE
DF
=
=
=
(
)
SSS
ABE
CDF
≌
（2）证明：由（1）可知，
ABE
CDF
△
≌△
，
ABE
CDF
=
，
在ABD
和CDB
中，
AB
CD
ABD
CDB
BD
DB
=
=
=
(
)
SAS
ABD
CDB
≌
，
BAD
DCB
=
，
BAD
BAE
DCB
DCF
−
=
−
，
即
DAE
BCF
=
．
8．
（24-25 八年级下·江西九江·期中）在等腰
ABC
与等腰
ADE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
=
，
连接BD和CE 相交于点P ，交AC 于点M ，交AD于点N ．
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43 /
(1)求证：BAD
CAE
≌
；
(2)求证：PA平分
BPE
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用角的和差可得
BAD
CAE
=
，结合AB
AC
=
，AD
AE
=
，即可由SAS证得；
（2）过点A 作AH
BD
⊥
，AF
CE
⊥
，由（1）可知BAD
CAE
≌
，推出
BAD
CAE
S
S
=
△
△
，BD
CE
=
，然后利
用面积公式进而得到AH
AF
=
，根据角平线的判定定理即可判定．
【详解】（1）证明：
BAC
DAE
=
=
，
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
BAD
CAE
=
，
又
AB
AC
=
，AD
AE
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
．
（2）证明：过点A 作AH
BD
⊥
，AF
CE
⊥
，如图，
由（1）可知BAD
CAE
≌
，
BAD
CAE
S
S
=
，BD
CE
=
，
1
1
2
2
BD
AH
CE
AF
=
，
AH
AF
=
，
又
AH
BD
⊥
，AF
CE
⊥
，
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44 /
PA
平分
BPE
．
9．（24-25 七年级下·山东济南·期中）在
ABC
中，
,
50
AB
AC
BAC
=
=
；在
ADE
中，
,
50
AD
AE
DAE
=
=
．证明：
①BD
CE
=
；
②连接
,
BD EC 交于点O，求
BOC
的度数．
【答案】①证明见解析；②50
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定
理是解题的关键．
①先证明
BAD
CAE
=∠
，再证明
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，即可证明BD
CE
=
；
②先由三角形内角和定理得到
130
ABC
ACB
+
=
，再导角证明
130
OBC
OCB
ABC
ACB
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
，
据此可得答案．
【详解】证明：①∵
50
BAC
DAE
=
=
∠
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
∠
∠
∠
，即
BAD
CAE
=∠
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
；
②∵在
ABC
中，
50
BAC
=
，
∴
180
130
ABC
ACB
BAC
+
=
−
=
，
∵
ABD
ACE
≌
△
△
，
∴
ACE
ABD
=
，
∴
130
OBC
OCB
OBC
OCA
ACB
OBC
ABD
ACB
ABC
ACB
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
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45 /
∴
180
50
BOC
OBC
OCB
=
−
−
=
．
10．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，已知A、D、C、E 在同一直线上，
=
AD
CE ，AB
DF
∥
，AB
DF
=
．
(1)求证：
ABC
DFE
△
△
≌
；
(2)连接CF ，若
60
BCF
=
，
20
=
DFC
°，求
DFE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定
条件是解题的关键．
（1）先证明AC
DE
=
，
A
FDE
=
，再利用SAS证明
ABC
DFE
△
△
≌
即可；
（2）根据全等三角形对应角相等推出BC
EF
∥
，求得
60
CFE
=
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵
=
AD
CE ，
∴AD
CD
CE
CD
+
=
+
，即AC
DE
=
，
∵AB
DF
∥
，
∴
A
FDE
=
，
在
ABC
和
DFE
△
中，
AB
DF
A
FDE
AC
DE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DFE
△
△
≌
；
（2）解：∵
ABC
DFE
△
△
≌
，
∴
ACB
E
= ，
∴BC
EF
∥
，
∴
BCF
CFE
=
，
∵
60
BCF
=
，
∴
60
CFE
=
，
∴
80
DFE
DFC
CFE
=
+
=
．
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46 /
题型一：利用“SAS”证明三角形全等求取值范围
1．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）在
ABC
中，D 为BC 的中点，
1
AB = ，
2
AD =
，则AC 长度可以是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长AD至E ，使得
2
DE
AD
=
=
，即
得
4
AE =
，可证
(
)
SAS
CDE
BDA
≌
，得到
1
CE
AB
=
= ，再根据三角形三边关系求出AC 的取值范围即可
求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长AD至E ，使得
2
DE
AD
=
=
，
∴
2 2
4
AE = + =
，
∵D为BC 的中点，
∴CD
BD
=
，
在CDE
和
BDA
△
中，
ED
AD
CDE
BDA
CD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CDE
BDA
≌
，
∴
1
CE
AB
=
= ，
∵AE
CE
AC
AE
CE
−
+
，
∴4 1
4 1
AC
−
+ ，
即3
5
AC
，
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∴AC 长度可以是4 ，
故选：D ．
2．（24-25 八年级上·上海杨浦·期中）在
ABC
中，
5
7
AB
AC
=
=
，
，AD是BC 边上的中线，则AD的取值
范围是（ ）
A．0
12
AD
B．1
6
AD
C．0
6
AD
D．2
12
AD
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键．
延长AD到E，使AD
DE
=
，连接BE ，证
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，推出
7
AC
BE
=
= ，在ABE
中，根据三角
形三边关系定理得出BE
AB
AE
BE
AB
−
+
，代入求出即可．
【详解】解： 延长AD到E，使AD
DE
=
，连接BE ，
∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
∵
ADC
EDB
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
7
AC
BE
=
= ，
∵
5
AB =
，在ABE
中，BE
AB
AE
BE
AB
−
+
，
∴7 5
2
7
5
AD
−
+ ，
∴1
6
AD
．
故选：B．
3．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，ABC
中，AB
a
= ，AC
b
= ，点D 是
ABC
外角平分线AD上的
一点，连接BD，CD，若BD
m
=
， CD
n
= ，则下列关系正确的是（ ）
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A．a
b
m
n
+
+
B．a
b
m
n
+
+
C．a
b
m
n
+
+
D．a
b
m
n
+
+
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．
在BA的延长线上取AE
AC
=
，连接DE ，根据题意得出
EAD
CAD
=
，可证
EAD
CAD
≌
△
△
，得到
ED
CD
=
，根据三角形三边关系得出BD
ED
BE
+
，即可得到答案．
【详解】解：如图，在BA的延长线上取AE
AC
=
，连接DE ，
AD
平分
EAC
，
EAD
CAD
=
，
在EAD
和CAD
中
AE
AC
EAD
AD
AD
AD
=
=
=
，
EAD
CAD
≌
，
ED
CD
=
，
在BED
中，BD
ED
BE
+
，
BE
AB
AE
AB
AC
=
+
=
+
，
BD
CD
AB
AC
+
+
，
AB
a
= ，AC
b
= ，BD
m
=
， CD
n
= ，
a
b
m
n
+
+
故选：A ．
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4．（24-25 八年级上·河南三门峡·期末）如图，在
ABC
中，
12
AB =
，
6
BC =
，D 是AC 的中点，则AC 边
上的中线BD的长度可能是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，延长BD到E，使得BD
ED
=
，
连接CE ，可证明
(
)
SAS
ADB
CDE
≌
得到
12
CE
AB
=
=
，再利用三角形三边的关系求出BE 的长的范围即
可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长BD到E，使得BD
ED
=
，连接CE ，
∵D是AC 的中点，
∴AD
CD
=
，
又∵BD
ED
=
，
ADB
CDE
=
，
∴
(
)
SAS
ADB
CDE
≌
，
∴
12
CE
AB
=
=
，
∵
6
BC =
，CE
BC
BE
CE
BC
−
+
，
∴6
18
BE
，
∴6
2
18
BD
，
∴3
9
BD
，
∴四个选项中，只有B 选项符合题意，
故选：B．
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题型二：全等三角形中最值问题
1．（24-25 八年级上·广西玉林·期中）如下图所示，在
ABC
中，
70
ABC
=
，BD平分
ABC
，P 为线段
BD上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APD
的度数是（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，
直角三角形的性质，解题的关键是找出使AP
PE
+
最小时点P 的位置．在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，证
明
(
)
SAS
PBQ
PBE
≌
，得出PE
PQ
=
，说明AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，找出当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，交BD于点P，根据三角形内角和，求出
结果即可．
【详解】解：在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE，如图所示：
∵BD平分
ABC
，
∴
1
35
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
又∵BP
BP
=
，
∴
(
)
SAS
PBQ
PBE
≌
，
∴PE
PQ
=
，
∴AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，
∴当A、P、E 在同一直线上，且AE
BC
⊥
时，AP
PE
+
最小，即AP
PQ
+
最小，过点A 作AE
BC
⊥
于点E，
交BD于点P，如图所示：
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∵
90
AEB
=
，
70
ABE
=
，
∴
90
20
BAE
ABE
=
−
=
，
∴
20
35
55
APD
ABP
BAP
=
+
=
+
=
，故A 正确．
故选：A．
2．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角
ABC
，
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
4
AC =
，E 为AC
中点，
BAC
的角平分线交BC 于点D，F，G 分别是AD和AC 上的动点，则EF
FG
+
的最小值为（ ）
A．2
B．
3
C．2
D．2
1
+
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及
正确作出辅助线．
连接BF 交AD于点F，过点B 作BG
AC
⊥
于点G，通过证明
(
)
SAS
FAE
FAB
≌
，得出EF
BF
=
，则当点
B、F、G 三点共线时，EF
FG
BF
FG
BG
+
=
+
=
，进而得出当BG
AC
⊥
时，BG 最小，再根据
1
1
2
2
ABC
S
AC BG
AB BC
=
=
，求出BG，即可解答．
【详解】解：连接BF 交AD于点F，过点B 作BG
AC
⊥
于点G，
∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
4
AC =
，
∴
1
2
2
AB
AC
=
=
，
根据勾股定理可得：
2
2
2 3
BC
AC
AB
=
−
=
，
∵E 为AC 中点，
∴
1
2
2
AE
AC
=
=
，
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∵AD为
BAC
的角平分线，
∴
DAE
DAB
=
，
在FAE
和FAB
中，
AE
AB
DAE
DAB
AF
AF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
FAE
FAB
≌
，
∴EF
BF
=
，
∴当点B、F、G 三点共线时，EF
FG
BF
FG
BG
+
=
+
=
，
当BG
AC
⊥
时，BG 最小，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AC BG
AB BC
=
=
，
∴AC BG
AB BC
=
，
即4
2 2 3
BG=
，
解得：
3
BG=
，
故选：B．
3．（24-25 八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB =
，AD
平分
CAB
交BC 于D 点，E，F 分别是AD，AC 上的动点，则CE
EF
+
的最小值为（ ）
A．15
2
B．5
C．3
D．12
5
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等．
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利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则CE
EF
+
的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度，然后
根据等面积法求解即可．
【详解】解：在AB 上取一点G ， 使AG
AF
=
，连接CG ，
,
CAD
BAD AE
AE
=
=
，
(
)
SAS
AEF
AEG
≌
，
FE
EG
=
，
CE
EF
CE
EG
CG
+
=
+
，
则最小值时CG 垂直AB ，
这时，
1
1
2
2
ABC
S
AC
BC
AB CG
=
=
，即3 4
5CG
=
，
解得
12
5
CG =
．
∴CE
EF
+
的最小值为12
5 ．
故选：D．
4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
8
BC = ，
6
AC =
．如果点P 在
ACB
的平分线所在的直线l 上，那么AP
BP
−
的最大值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是
解题关键．在线段CB 上取点A，使得
6
A C
AC
=
=
，证明
ACP
A CP
△
≌△
得AP
A P
=
，再由三角形的三
边关系得A P
BP
A B
−
，从而当P ，A，B 在同一直线上时，A P
BP
−
取最大值
2
A B
=
，从而问题得解．
【详解】如图，在线段CB 上取点A，使得
6
A C
AC
=
=
，连接A P
．
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54 /
因为点P 在
ACB
的平分线所在的直线l 上，
所以
ACP
A CP
=
．
因为CP
CP
=
，
所以
ACP
A CP
△
≌△
，
所以AP
A P
=
，
所以AP
BP
A P
BP
−
=
−
．
因为
8
BC = ，
6
AC =
，
所以
2
A B
BC
A C
=
−
=
．
因为A P
BP
A B
−
，
所以当点P ，A，B 在同一直线上时，A P
BP
−
取最大值为A B
的长，
所以
2
AP
BP
A P
BP
−
=
−
，
所以AP
BP
−
的最大值为2．
故答案为：2．
5．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，
ABC
=
，连接AC ，在射
线AB
CA
、
上存在两动点E
F
、，满足AE
CF
=
，若
ACE
=
，当BF
CE
+
的值最小时，则
CBF =
∠
（用
，表示）
【答案】
−
/
−
+
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在CD上截取CH
CA
=
，
连接HF ，BH ，证明
(
)
SAS
EAC
FCH
≌
，则HF
CE
=
，当B
F
H
、、
三点共线时，BF
CE
+
的值最小，
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然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，在CD上截取CH
CA
=
，连接HF ，BH ，
∵AB
CD
∥
，
∴
EAC
FCH
=
，
∵AE
CF
=
，
∴
(
)
SAS
EAC
FCH
≌
，
∴HF
CE
=
，
∴当B
F
H
、、
三点共线时，BF
CE
+
的值最小，
如图，若E 在AB 上时，
∵EAC
FCH
≌
，
∴
FHC
ACE
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
ABF
FHC
=
=
，
∴
CBF
ABC
ABF
=
−
=
−
，
若E 在AB 延长线上时，
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同理可得：
CBF
=
−
，
综上可知：
CBF
=
−
，
故答案为：
−
．
6．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB =
，AD
平分
CAB
交BC 于D 点，E，F 分别是AD，AC 上的动点，则CE
EF
+
的最小值为 ．
【答案】12
5
【分析】在AB 上取一点F，使AF
AF
=
，连接EF，判断出
(
)
SAS
AEF
AEF
≌
，得出EF
EF
=
，进而
得出当点C，E，F在同一条线上，且CE
AB
⊥
时，CE
EF
+
最小，即CE
EF
+
最小，其值为CH ，最后用
面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在AB 上取一点F，使AF
AF
=
，连接EF，作CH
AB
⊥
，
AD
平分
BAC
，
DAC
DAB
，
AE
AE
=
，
∴
(
)
SAS
AEF
AEF
≌
，
EF
EF
=
，
CE
EF
CE
EF
+
=
+
，
∴当点C，E，F在同一条线上，且CE
AB
⊥
时，CE
EF
+
最小，即CE
EF
+
最小，其值为CH ，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CH
=
=
，
3 4
12
5
5
AC BC
CH
AB
=
=
=
，
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即CE
EF
+
的最小值为12
5 ，
故答案为：12
5 ．
题型三：全等三角形中动点问题（SAS）
1．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形ABCD中，
6
AB =
,
8
AD = ．延长BC 到
点E，使
4
CE =
，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿BC
CD
DA
−
−
向终点A 运动，
设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时．ABP
和
DCE
△
全等．
【答案】2 或9
【分析】本题考查了全等三角形的判定及长方形的特点，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．结合
ABP
和
DCE
△
全等分两种情况进行讨论，①当
4
BP
CE
=
=
时，②当
4
AP
CE
=
=
时，根据题意得出
2
4
BP
t
=
=
和
22
2
4
AP
t
=
−
=
求解，即可解题．
【详解】解：①当
4
BP
CE
=
=
时，ABP
和
DCE
△
全等．
四边形ABCD为长方形，
AB
CD
=
，
90
B
DCB
=
=
，
90
DCE
ABP
=
=
，
在ABP
和
DCE
△
中，
90
AB
DC
ABP
DCE
BP
CE
=
=
=
=
，
SAS
ABP
DCE
≌
（
）
，
2
4
BP
t
=
=
，
所以
2
t =
，
②当
4
AP
CE
=
=
时，ABP
和
DCE
△
全等．
与①同理，根据SAS证得：BAP
DCE
≌
，
在长方形ABCD中，
6
AB =
，
8
AD = ．
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6,
8
CD
BC
=
=
，
8 6 8
22
BC
CD
AD
+
+
= + + =
，
22
2
4
AP
t
=
−
=
，
解得
9
t =
．
所以，当t 的值为2 或9 秒时．ABP
和
DCE
△
全等．
故答案为：2 或9．
2．（24-25 八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，
12cm,
20cm
AB
CD
BC
=
=
=
，点P 从
点B 出发，以2cm / s的速度沿BC 向点C 运动（到点C 停止运动），同时，点Q 从点C 出发（到点D 停止运
动），以cm/ s
x
的速度沿CD向点D 运动，当x 的值为 ，可以使ABP
与
PQC
△
全等．
【答案】2.4 或2
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当BP
CQ
=
，AB
PC
=
时，ABP
PCQ
△
≌△
，当AB
CQ
=
，
BP
CP
=
时，
ABP
QCP
△
≌△
，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想
是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
B
C
=
=
．
当BP
CQ
=
，AB
PC
=
时，
ABP
PCQ
△
≌△
，
∵
12cm
AB
CD
=
=
，
∴
12cm
P
AB
C =
=
，
∴
m
20
c
12
8
BP
BC
CP
=
−
=
−
=
，
∴
8
2
4s
t =
=
，
8cm
CQ
BP
=
=
，
∴
8 4
2
x =
=
；
当AB
CQ
=
，BP
CP
=
时，
ABP
QCP
△
≌△
，
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∵BP
CP
=
，
20cm
BC =
，
∴
10cm
BP
CP
=
=
，
∴
10 2
5s
t =
=
，
∴
12 5
2.4
x =
=
；
综上所述，x 的值为2.4 或2．
故答案为：2.4 或2．
3．
（24-25 八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形ABCD中，
4
AB =
，
6
AD =
，延长BC 到点E，使
8
BE =
．动
点P 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿BC
CD
DA
−
−
方向向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，
当ABP
和
DCE
△
全等时，t 的值为 ．
【答案】1 或7
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
分
90
ABP
DCE
=
=
和
90
BAP
DCE
=
=
两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答
即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
4
AB
CD
=
=
，
6
AD
BC
=
=
，
90
A
B
BCD
= =
=
，
∴
90
DCE
=
，
2
CE
BE
BC
=
−
=
，
若
90
ABP
DCE
=
=
，则当
2
BP
CE
=
=
时，
根据SAS可得
ABP
DCE
△
≌△
，
∴
2
2
BP
t
=
=
，解得
1
t = ；
若
90
BAP
DCE
=
=
，则当
2
AP
CE
=
=
时，
根据SAS可得
BAP
DCE
△
≌△
，
∴
(
)
6
4
6
2
16
2
2
AP
t
t
=
+
+
−
=
−
=
，解得：
7
t =
．
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综上，当ABP
和
DCE
△
全等时，t 的值为1 或7．
故答案为：1 或7．
4．（23-24 七年级下·广东揭阳·期末）如图，在
ABC
中，已知AB
AC
=
，
90
BAC
=
，AH 是
ABC
的高，
4cm
AH =
，
8cm
BC =
，直线CM
BC
⊥
，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3 厘米的速度运动，动点
E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒1 厘米的速度向远离C 点的方向运动，连接AD
AE
、
，经过 秒
时，
ABD
ACE
≌
△
△
．
【答案】2 或4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，假设
ABD
ACE
≌
△
△
，根据全等三角形的对应边相等得出
BD
CE
=
，分别用含t 的代数式表示CE 和BD，得到关于t 的方程，从而求出t 的值．
【详解】解：动点E 从点C 沿射线CM 方向运动2 秒或当动点E 从点C 沿射线CM 的反向延长线方向运动
4 秒时，
ABD
ACE
≌
△
△
．
理由如下：
①当E 在射线CM 上时，D 必在CB 上，则需BD
CE
=
．如图所示，
∵
8 3
CE
t
BD
t
=
= −
，
，
∴
8
3
t
t
= −
，
∴
2
t =
，
∵在
ABD
△
和
ACE
△
中，
45
AB
AC
B
ACE
BD
CE
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
；
②当E 在CM 的反向延长线上时，D 必在CB 延长线上，则需BD
CE
=
．如图，
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∵
3
8
CE
t
BD
t
=
=
−
，
，
∴
3
8
t
t
=
−，
∴
4
t =
，
∵在
ABD
△
和
ACE
△
中，
135
AB
AC
ABD
ACE
BD
CE
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
≌
．
综上可知，当
2
t =
或
4
t =
时
ABD
ACE
≌
△
△
．
故答案为：2 或4．
5．（24-25 八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形ABCD中，
10
AB =
厘米，
8
BC = 厘米，
12
CD =
厘
米，
B
C
=
，点E 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点
Q 在线段CD上由C 点向D 点运动，当点Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使
BEP
△
与CPQ
全等．
【答案】2 或5
2
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是弄清题意，分情况进行讨论．由全等三角形的
判定，分两种情况讨论，当BP
CQ
=
，BE
PC
=
时，BPE
CQP
△
≌△
，当CQ
BE
=
，PB
PC
=
时，BPE
CPQ
≌
，
再进一步即可解决问题．
【详解】解：设P 运动的时间是t 秒，
2
PB
t
=
（厘米），
(
)
8
2
PC
BC
BP
t
=
−
=
−
厘米，
B
C
=
，
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当BP
CQ
=
，BE
PC
=
时，
BPE
CQP
△
≌△
，
BP
CQ
=
，P ，Q 运动的时间相等，
Q
的运动速度是2 厘米/ 秒；
当CQ
BE
=
，PB
PC
=
时，BPE
CPQ
≌
，
E
是AB 中点，
5
CQ
BE
=
=
厘米，
∵BP
CP
=
，
∴2
8 2
t
t
= −
，
2
t
=
，
∴
5
5
2
2
=
厘米/秒．
当点Q 的运动速度为2 厘米/秒或5
2 厘米/秒时BPE
与CQP
全等．
故答案为：2 或5
2 ．
6．（24-25 八年级上·陕西榆林·期末）如图，
8cm
AB =
，
60
A
B
= =
，
6cm
AC
BD
=
=
，点P 在线段AB
上以1cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD上以cm/ s
x
的速度由点B 向点D 运动，它们运
动的时间为( )s
t
．当x = 时，
ACP
△
与
BPQ
全等．
【答案】1 或1.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得
cm
AP
t
=
，
cm
BQ
tx
=
，则
(
)
8
cm
BP
t
=
−
，再
分两种情况：当AC
BP
=
，AP
BQ
=
，
(
)
SAS
ACP
BPQ
≌
，当AC
BQ
=
，AP
BP
=
时，
(
)
SAS
ACP
BQP
≌
，
分别求解即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：根据题意得：
cm
AP
t
=
，
cm
BQ
tx
=
，
∴
(
)
8
cm
BP
t
=
−
，
∵
60
A
B
= =
，
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∴当AC
BP
=
，AP
BQ
=
，
(
)
SAS
ACP
BPQ
≌
，
即8
6
t
−= ，tx
t
= ，
解得：
2
t =
，
1
x = ，
当AC
BQ
=
，AP
BP
=
时，
(
)
SAS
ACP
BQP
≌
，
即
6
xt =
，
8
t
t
=
−，
解得：
4
t =
，
1.5
x =
；
综上所述，当x =1 或1.5 时，
ACP
△
与
BPQ
全等，
故答案为：1 或1.5．
题型四：全等三角形中多结论问题
1．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
=
=
，
38
EBD
=
，
现有下列结论：①
ACE
DCB
=
；②
BDC
AEC
△
≌△
；③BD
AE
=
；④
128
AEB
=
．其中不正确的有
（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明
(SAS)
BDC
AEC
△
≌△
，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：
90
=
=
ACB
ECD
，
ACB
BCE
ECD
BCE
−
=
−
BCD
ACE
=
，故①正确
在BDC
和
AEC
△
中，
AC
BC
BCD
ACE
DC
EC
=
=
=
(SAS)
BDC
AEC
≌
，故②正确；
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DBC
EAC
=
，BD
AE
=
，故③正确；
38
EBD
DBC
EBC
=
+
=
，
38
EAC
EBC
+
=
，
90
38
52
ABE
EAB
+
=
−
=
，
180
(
)
180
52
128
AEB
ABE
EAB
=
−
+
=
−
=
，故④正确；
故选：A．
2．（24-25 七年级下·福建三明·期中）如图，在
ABC
和
ADE
中，
36
CAB
DAE
=
=
，AB
AC
=
，
AD
AE
=
．连接CD，连接BE 并延长交AC ，AD于点F ，G ．若BE 恰好平分
ABC
，则下列结论不正确
的是（ ）
A．
ADC
AEB
=
B．CD
AB
∥
C．DE
GE
=
D．
36
FAB
FBA
=
=
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
证明
DAC
EAB
△
≌△
是解题的关键．
利用AAS证明
DAC
EAB
△
≌△
可得
ADC
AEB
=
；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角
形的性质可求出
36
DCA
CAB
=
=
，即可判定CD
AB
∥
；假设DE
GE
=
，根据等腰三角形的性质、三角
形内角和定理求出
AEG
ABE
=
，即可判定CD
AB
∥
；根据等腰三角形的判定求出ABF
是等腰三角形．
【详解】解：
36
CAB
DAE
=
=
，
CAB
CAE
DAE
CAE
−
=
−
，
即
DAC
EAB
=
，
在
DAC
△
和EAB
中，
AD
AE
DAC
EAB
AC
AB
=
=
=
，
(SAS)
≌
DAC
EAB
，
ADC
AEB
=
，
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故A 选项正确，不符合题意；
AC
AB
=
，
ACB
ABC
=
，
36
CAB
DAE
=
=
，
(180
36 )
2
72
ACB
ABC
=
=
−
=
，
BE
平分
ABC
，
36
ABE
CBE
=
=
，
DAC
EAB
≌
，
36
DCA
ABE
=
=
，
36
DCA
CAB
=
=
，
CD
AB
∥
，
故B 选项正确，不符合题意；
假设DE
GE
=
，
36
DAE
=
，AD
AE
=
，
1
(180
36 )
72
2
ADE
AED
=
=
−
=
，
=
DE
GE
，
72
DGE
ADE
=
=
，
180
2 72
36
DEG
=
−
=
，
72
36
36
AEG
AED
DEG
=
−
=
−
=
，
36
CAB
=
，AB
AC
=
，
72
ABC
=
，
BE
恰好平分
ABC
，
36
ABE
=
，
AEG
ABE
=
，
AE
AB
∥
（这与AE 与AB 交于A 点矛盾），
假设不成立，
故C 选项不正确，符合题意；
BE
恰好平分
ABC
，
36
ABE
=
，
∵
36
CAB
DAE
=
=
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∴
36
FAB
FBA
=
=
，
故D 选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．
（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，在
ABC
和
DCE
△
中，
90
ACB
DCE
AC
BC
CD
CE
=
=
=
=
，
，
，
连接AE
BD
，
，且AE 与BD的延长线交于点G ，连接CG ．下列四个结论：
①AE
BG
⊥
；
②
−
=
BG
AE
DG ；
③
180
GDC
CEA
+
=
；
④GC 平分
BGE
．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形、角平分线、三角形内角和的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
性质，作CM
BD
⊥
于点M ，CN
AE
⊥
于点N ，AC 与BG 交于点O，通过证明BCD
ACE
≌
，推导得
AE
BG
⊥
、GC 平分
BGE
；根据三角形内角和性质，得
180
GDC
CEA
+
=
，即可得到答案．
【详解】如图，作CM
BD
⊥
于点M ，CN
AE
⊥
于点N ，AC 与BG 交于点O，
90
ACB
DCE
=
=
，
ACB
ACD
DCE
ACD
−
=
−
，即
BCD
ACE
=
，
AC
BC
CD
CE
=
=
，
，
BCD
△
和
ACE
△
中，
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AC
BC
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
(
)
SAS
BCD
ACE
≌
．
CBD
CAE
BD
AE
=
=
，
，
∴
AOG
COB
=
，
AGB
ACB
=
=
90 ，
AE
BG
⊥
，①中的结论正确；
BG
BD
DG
BD
AE
−
=
=
，
，
BG
AE
DG
−
=
，②中的结论正确；
AE
BG
⊥
，
90
BGE
=
，
(
)
360
180
GDC
CEA
BGE
DCE
+
=
−
+
=
，③中的结论正确；
BCD
ACE
≌
，
CM
CN
=
∴四边形MCNG为正方形．
GC
平分
BGE
，④中的结论正确．
∴正确的结论有4 个．
故选：D．
4．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满
足AD
AC
=
，点E 为BC 上一点，连接AE ，
1
2
BAE
CAD
=
，连接DE ．下列结论：①AC
DE
⊥
；②
ADE
ACB
=
；③若CD
AB
∥
，则AE
AD
⊥
；④
2
DE
CE
BE
=
+
．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
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【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
延长EB至G，使BE
BG
=
，从而得出
GAE
CAD
=
，进一步证明
GAC
EAD
=
，且AE
AG
=
，利用SAS
证明GAC
EAD
≌
，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设
BAE
x
= ，
则
2
CAD
x
=
，根据平行线的性质，及角的计算即可得出
=90
DAE
即可判断③；当
BAE
EAC
=
时，
可得出AC
DE
⊥
；
BAE
EAC
时，则无法说明AC
DE
⊥
，即可判断①．
【详解】解：如图，延长EB至G，使BE
BG
=
，设AC 与DE 交于点M，
90
ABC
=
，
AB
GE
⊥
，
AB
垂直平分GE ，
AG
AE
=
，
GAB
BAE
=
，
1
2
BAE
GAE
=
，
1
2
BAE
CAD
=
，
GAE
CAD
=
，
GAE
EAC
CAD
EAC
+
=
+
，
GAC
EAD
=
，
在
GAC
△
和EAD
中，
AG
AE
GAC
DAE
AC
AD
=
=
=
，
(
)
SAS
GAC
EAD
≌
，
G
AED
=
，
ACB
ADE
=
，
②是正确；
AG
AE
=
，
G
AEG
AED
=
=
，
AE
平分
BED
，
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当
BAE
EAC
=
时，
90
AME
ABE
=
=
，则AC
DE
⊥
；
当
BAE
EAC
时，
AME
ABE
，则无法说明AC
DE
⊥
；
①是错误的；
设
BAE
x
= ，则
2
CAD
x
=
，
(
)
1
180
2
90
2
ACD
ADC
x
x
=
=
−
=
−
，
AB
CD
，
90
BAC
ACD
x
=
=
−，
90
90
2
CAE
BAC
EAB
x
x
x
=
−
=
−−
=
−
，
90
2
2
90
DAE
CAE
DAC
x
x
=
+
=
−
+
=
，
AE
AD
⊥
，
③是正确的；
GAC
EAD
≌
，
CG
DE
=
，
2
CG
CE
GE
CE
BE
=
+
=
+
，
2
DE
CE
BE
=
+
，
④是正确的；
故选C．
5．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在
ABC
中，以它的边AB
AC
、
为直角边，分别在形外作等腰
直角三角形
,
ABD ACE ，连接
,
BE CD ．下列结论中不一定成立
．．．．．的是（ ）
A．BE
CD
=
B．
90
EFC
=
C．AF 平分
BFC
D．
DAF
DCA
=
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角
形的判定是解题的关键．
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利用SAS证明
BAE
DAC
≌
△
△
则BE
CD
=
，即可判断A；由于
BAE
DAC
≌
△
△
，则1
2
= ，而
3=
4
，
故
90
DFB
DAB
=
=
，即可判断B；过点A 作AM
BE
⊥
于点M ，过点A 作AN
DC
⊥
于点N ，由于
BAE
DAC
≌
△
△
，则
BAE
DAC
S
S
=
△
△
，而BE
CD
=
，故AM
AN
=
，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，
条件不足，不能证明．
【详解】解：由题意得
,
,
90
AB
AD AC
AE
BAD
CAE
=
=
=
=
，
∴
BAE
DAC
=
，
∴
(
)
SAS
BAE
DAC
≌
，
∴BE
CD
=
，故A 正确，不符合题意；
如图：
∵
BAE
DAC
≌
△
△
，
∴1
2
= ，
∵
3=
4
，
∴
90
DFB
DAB
=
=
，
∴
90
EFC
=
，故B 正确，不符合题意；
如图：过点A 作AM
BE
⊥
于点M ，过点A 作AN
DC
⊥
于点N ，
∵
BAE
DAC
≌
△
△
，
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∴
BAE
DAC
S
S
=
△
△
，
∵BE
CD
=
，
∴AM
AN
=
，
∴AM
BE
⊥
，AN
DC
⊥
∴AF 平分
BFC
，故C 正确，不符合题意；
∵现有条件不足以证明
DAF
DCA
=
，故D 错误，符合题意，
故选：D．
6．
（24-25 八年级上·湖北黄石·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满足AD
AC
=
，
E 为BC 上一点，连接AE ，
2
CAD
BAE
=
，连接DE ，下列结论中：①
ADE
ACB
=
；②
AEB
AED
=
；
③AC
DE
⊥
；④
2
DE
CE
BE
=
+
．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．如图所示，延长EB到点F ，使得BF
BE
=
，连接AF ，设
,
AC DE 交于点G ，可证
(
)
SAS
AFC
AED
≌
，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即
可求解．
【详解】解：如图所示，延长EB到点F ，使得BF
BE
=
，连接AF ，设
,
AC DE 交于点G ，
∵AB
BC
⊥
，
∴AB 垂直平分EF ，
∴AE
AF
=
，
BAF
BAE
=
，
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∴
2
EAF
BAE
CAD
=
=
，
∴
EAF
EAC
EAC
CAD
+
=
+
，即
FAC
EAD
=
，
在AFC
和
AED
△
中，
AF
AE
FAC
EAD
AC
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AFC
AED
≌
，
∴
ADE
ACB
=
，故①正确；
∴
AFB
AEB
AED
=
=
，故②正确；
∴
2
DE
FC
FB
BE
EC
BE
EC
=
=
+
+
=
+
，即
2
DE
CE
BE
=
+
，故④正确；
∵
AED
AEB
=
，
∴EA平分
BED
，
当
BAE
GAE
=
时，
90
ABE
AGE
=
=
，即AC
DE
⊥
，
∵无法确定
BAE
与
GAE
的数量关系，
∴无法确定AC
DE
⊥
，故③错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选：C ．
7．
（24-25 八年级上·广东潮州·期末）如图，在
ABC
中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于E，
=
DE
EF ，AE
EC
=
，
则以下说法：①
ADE
EFC
=
；②
BDF
ECF
FEC
=
+
；③
180
B
DEC
+
=
；④
ABC
DBCF
S
S
=
四边形
，
说法正确的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，平行线的判定及性质，解答时证明三
角形全等是关键．根据条件证明ADE
CFE
≌
得到
A
ACF
=
，
ADE
CFE
S
S
=
△
△
，
ADE
EFC
=
，从而得
证AD
CF
∥
，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解．
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73 /
【详解】解：在
ADE
和
CFE
△
中，
DE
EF
AED
CEF
AE
EC
=
=
=
，
(
)
SAS
ADE
CFE
≌
，
A
ACF
=
，
ADE
CFE
S
S
=
△
△
，
ADE
EFC
=
，①正确，
AD
CF
∥
，
ADE
CFE
BDCE
BDCE
S
S
S
S
+
=
+
四边形
四边形
，
180
B
BCF
+
=
，
ABC
DBCF
S
S
=
四边形
，④正确，
∵
BCF
BCA
ACF
=
+
，
DEC
F
ACF
= +
，
∴当
BCA
F
= 时，有
BCF
DEC
=
，这时
180
B
DEC
+
=
，
但
BCA
与
F
不一定相等，
∴
180
B
DEC
+
=
不一定成立，故③错误；
∵
BDF
A
AED
=+
，
AED
FEC
=
，
A
ECF
=
，
∴
BDF
ECF
FEC
=
+
，故②正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选C．
题型五：全等三角形中解答题压轴
1．（24-25 八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E
F
、分
别是BC
CD
、
边上的点．且
1
2
EAF
BAD
=
．探究线段BE
EF
DF
、
、
的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当
90
B
D
=
=
，小宁探究此问题的方法是：
延长EB到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，请你补全小宁的解题思路：先证明
ABG
Δ
≌________；再证明AEG
≌
_________；即可得出线段BE
EF
DF
、
、
之间的数量关系是______________________．
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E
F
、分别是边BC
CD
、
上的点，且
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1
2
EAF
BAD
=
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
180
B
D
+
=
，E
F
、分别是BC
CD
、
所在直线上的点，且
1
2
EAF
BAD
=
．请直接写出BF
EF
DF
、
、
线段之间的数量关系．
【答案】(1)
,
,
ADF
AEF EF
BE
FD
=
+
(2)成立，理由见解析
(3) EF
BE
FD
=
−
或EF
FD BE
=
−
或EF
BE
FD
=
+
；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可；
（2）延长EB 到点G，使BG
DF
=
，连接AG ，先证明
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，再证明
(SAS)
AEG
AEF
≌
，
即可得出线段BE
EF
FD
、
、
之间的数量关系；
（3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明ABG
ADF
≌
；再证明AEG
AEF
≌
；即可得出线段BE
EF
FD
、
、
之间的数量关系是EF
BE
FD
=
+
，
故答案为：
ADF
△
，
AEF
△
，EF
BE
FD
=
+
；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长EG 到点G，使BG
DF
=
，连接AG ，
∵
180
180
ABC
D
ABG
ABC
+
=
+
=
，
，
∴
D
ABG
=
，
在ABG
与
ADF
△
中，
AB
AD
ABG
D
BG
DF
=
=
=
，
∴
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，
∴AG
AF
BAG
DAF
=
=
，∠
∠
，
∴
BAG
BAF
DAF
BAF
+
=
+
，
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∴
GAF
BAD
=
，
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
2
EAF
GAF
=
∴
GAE
EAF
=
，
在
AEG
△
与
AEF
△
中，
AG
AF
GAE
EAF
AE
AE
=
=
=
，
∴
(SAS)
AEG
AEF
≌
，
∴EF
EG
=
，
∵EG= BE+BG ，
∴EF
BE
FD
=
+
；
（3）解：EF
BE
FD
=
−
或EF
FD BE
=
−
或EF
BE
FD
=
+
，理由如下：
①EF
BE
FD
=
−
，如图：在BE 上截取BG ，使BG
DF
=
，连接AG ，
∵
180
180
B
ADC
ADF
ADC
+
=
+
=
，
∴
B
ADF
=
在ABG
与
ADF
△
中，
AB
AD
B
ADF
BG
DF
=
=
=
∴
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
∴AG
AF
BAG
DAF
=
=
，∠
∠
，
∴
BAG
GAD
DAF
GAD
+
=
+
，
∴
GAF
BAD
=
，
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76 /
∵
1
2
EAF
BAD
=
，
∴
1
2
EAF
GAF
=
∴
GAE
EAF
=
，
在
AEG
△
与
AEF
△
中，
AG
AF
GAE
EAF
AE
AE
=
=
=
，
∴
(SAS)
AEG
AEF
≌
，
∴EF
EG
=
，
∵EG
BE
BG
=
−
，
∴EF
BE
FD
=
−
；
②EF
FD BE
=
−
，如图，在DF 上截取DH
BE
=
，
同第一种情况，先证得
(SAS)
ABE
ADH
≌
，再证得
(SAS)
AEF
AHF
△
≌△
，
∴EF
FH
FD
DH
FD
BE
=
=
−
=
−
；
③由（1）、（2）可知，EF
BE
FD
=
+
；
④如图，点E 在BC 延长线上，点F 在DC 延长线上，此时线段BE
EF
FD
、
、
之间并无直接数量关系；
综上，线段BE
EF
FD
、
、
之间的数量关系为EF
BE
FD
=
−
或EF
FD BE
=
−
或EF
BE
FD
=
+
．
2．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角
ABC
中，
90 ,
ACB
CA
CB
=
=
，点D 在射线CB 上
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运动（不与点B ，C 重合），连接AD，以AD为直角边作等腰直角
ADE
（点E 与点C 在直线AB 的两侧），
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
，连接BE ．设
CAD
=
．
(1)如图1，点D 在线段CB 上运动．
①求
BAE
的度数（用含的代数式表示）；
②用等式表示线段
,
,
BC BD BE 之间的数量关系并证明；
(2)如图2，当点D在线段CB 的延长线上运动，直接用等式表示线段BC ，BD，BE 之间的数量关系．
【答案】(1)①
45
BAE
=
+
；②
2
BE
BC
BD
=
−
，证明见解析
(2)
2
BE
BC
BD
=
+
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算．
（1）①先得到
45
CAB
=
，再由角的和差计算即可；
②在BC 延长线上截取CF
CD
=
，连接AF ，先证明
(
)
Δ
SAS
ACF
ACD
≌
，再证明
(
)
SAS
ABF
ABE
≌
，再
BE
BF
BC
CF
=
=
+
，进行线段和差计算证明即可；
（2）同上证明即可．
【详解】（1）解：①∵
90 ,
ACB
CA
CB
=
=
，
∴
45
CAB
=
，
∴
45
DAB
=
−
，
∴
(
)
90
45
45
BAE
DAE
DAB
=
−
=
−
−
=
+
；
②
2
BE
BC
BD
=
−
，
证明：在BC 延长线上截取CF
CD
=
，连接AF ，
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78 /
∵
90 ,
ACF
ACD
AC
AC
=
=
=
，
∵
(
)
Δ
SAS
ACF
ACD
≌
，
∴
,
AF
AD
CAF
CAD
=
=
=
，
∴
45
FAB
CAB
CAF
=
+
=
+
，
∴
FAB
BAE
=
，
∵AD
AE
=
，
∴AF
AE
=
，
∵AB
AB
=
，
∴
(
)
SAS
ABF
ABE
≌
，
∴BF
BE
=
，
∴
(
)
2
BE
BC
CF
BC
CD
BC
BC
BD
BC
BD
=
+
=
+
=
+
−
=
−
；
（2）解：
2
BE
BC
BD
=
+
在BC 延长线上截取CF
CD
=
，连接AF ，
∵
90 ,
ACF
ACD
AC
AC
=
=
=
，
∵
(
)
Δ
SAS
ACF
ACD
≌
，
∴
,
AF
AD
CAF
CAD
=
=
=
，
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∴
45
FAB
CAB
CAF
=
+
=
+
，
∵
45
90
45
BAE
BAD
DAE
CAD
CAB
DAE
=
+
=
−
+
=
−
+
=
+
∴
FAB
BAE
=
，
∵AD
AE
=
，
∴AF
AE
=
，
∵AB
AB
=
，
∴
(
)
SAS
ABF
ABE
≌
，
∴BF
BE
=
，
∴
(
)
2
BE
BC
CF
BC
CD
BC
BC
BD
BC
BD
=
+
=
+
=
+
+
=
+
．
3．（23-24 八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在
ABC
和
ADE
中，
AB
AC
AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，
，
．连接BD
CE
，
．
(1)求证：BD
CE
=
；
(2)将
ABC
和
ADE
绕点A 向相反方向旋转，如图2，BD与CE 交于点O，BD与AC 交于点F．
①若
70
BAC
=
，求
BOC
的度数；
②连接AO ，求证：OA平分BOE ；
③若G 为CE 上一点，GE
OD
AG
CO
=
=
，
，且AG
BD
，连接CD，直接写出
AEG
与
ACD
的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①70；②见解析；③
90
AEG
ACD
+
=
【分析】（1）根据
BAC
DAE
=
，推出
BAD
CAE
=
，结合SAS证明BAD
CAE
≌
，即可得出结论；
（2）①根据BAD
CAE
≌
，得出
ABD
ACE
=
，根据
AFB
CFO
=
，结合三角形内角和定理即可得出
答案；
②过点A 作AM
BD
⊥
于点M，AN
CE
⊥
于点N，根据BAD
CAE
≌
，得出
ABD
ACE
S
S
BD
CE
=
=
，
，证明
AM
AN
=
，即可证明结论；
③连接CD， 证明
(
)
SAS
ADO
AEG
≌
，得出
OAD
GAE
AO
AG
=
=
，
，证明
BOA
BOC
=
，根据等
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腰三角形三线合一得出OF
AC
AF
CF
⊥
=
，
，根据垂直平分线的性质得出AD
CD
=
，再根据
90
ACD
CDO
+
=
，即可求出结果．
【详解】（1）证明：
BAC
DAE
=
，
BAD
CAD
CAE
CAD
+
=
+
，
即：
BAD
CAE
=
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
BD
CE
=
；
（2）①解：根据解析（1）可知，BAD
CAE
≌
，
ABD
ACE
=
，
AFB
CFO
=
，
又
180
ABF
AFB
BAC
FCO
CFO
BOC
+
+
=
+
+
=
，
70
BOC
BAC
=
=
；
②证明：过点A 作AM
BD
⊥
于点M，AN
CE
⊥
于点N，如图所示：
BAD
CAE
△
≌△
，
ABD
ACE
S
S
BD
CE
=
=
，
，
∴1
1
2
2
BD AH
CE CE
=
，
AM
AN
=
，
OA
平分BOE ；
③解：
90
AEG
ACD
+
=
；理由如下：
连接CD，如图3 所示：
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BAD
CAE
△
≌△
，
ADO
AEG
=
，
在
ADO
△
和
AEG
△
中，
AD
AE
ADO
AEG
OD
GE
=
=
=
，
(
)
SAS
ADO
AEG
≌
，
OAD
GAE
AO
AG
=
=
，
，
AOG
AGO
=
，
OAD
DAG
GAE
DAG
+
=
+
，
即：
OAG
DAE
=
，
DAE
BAC
=
，
BAC
OAG
=
，
在
ABF
△
和COF
中，
180
180
BAC
ABD
AFB
BOC
ACE
CFO
=
−
−
=
−
−
，
，
ABD
ACE
AFB
CFO
=
=
，
，
BAC
BOC
=
，
BOC
OAG
=
，
AG
BD
∥
，
BOA
OAG
=
，
BOA
BOC
=
，
AO
AG
AG
CO
=
=
，
，
AO
CO
=
，
BOA
BOC
=
，
OF
AC
AF
CF
⊥
=
，
，
OF
垂直平分AC ，
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AD
CD
=
，
ADO
CDO
=
，
CDO
AEG
=
，
90
=
CFD
，
90
ACD
CDO
+
=
，
90
AEG
ACD
+
=
．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）问题探究
（1）如图①，在直线l 的异侧有
,
A B 两点，其距离为4．点P 为直线l 上的动点，则AP
BP
+
的最小值为 ；
（2）如图②，已知
ABC
边AC 上有一点D ，且满足AD
CB
=
，过点A 作AE
BC
∥
，并截取AE
AC
=
，
连接ED，求证：ED
AB
=
；
问题解决
（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图
③所示的
ABC
，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小
路BE 和AF ，其中点E ，点F 分别在
,
AC CD 上，且满足AE
CF
=
，为节约成本，要求两条小路的长度和最
小，即BE
AF
+
最小．已知，在
ABC
中，
,
55 ,
AB
AC
BAC
CD
AB
=
=
⊥
，垂足为点D ．那么这样的设
计要求能否达到？若能，求出当BE
AF
+
最小时
AFD
的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到，80
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解
是解题关键．
（1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解；
（2）根据平行线的性质得出
EAD
C
=
，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）以FC 为边，C 为顶点，向下作
FCG
BAE
=
，使得CG
AB
=
，连接FG ，利用全等三角形的判定
和性质得出BE
FG
=
，确定当A、F、G 三点共线时，BE
AF
+
最小，结合图形，利用各角之间关系即可求
解．
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【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短，
∴当A、P、B 三点共线时，AP
BP
+
取得最小值，
即
4
AP
BP
AB
+
=
=
；
（2）证明：∵ AE
BC
∥
，
∴
EAD
C
=
，
∵AD
CB
=
，AE
AC
=
，
∴
(SAS)
EAD
ACB
≌
，
∴ED
AB
=
；
（3）以FC 为边，C 为顶点，向下作
FCG
BAE
=
，使得CG
AB
=
，连接FG ，如图所示：
∵AE
CF
=
，
∴
(SAS)
ABE
CGF
≌
，
∴BE
FG
=
，
∴BE
AF
AF
FG
+
=
+
，
当A、F、G 三点共线时，BE
AF
+
最小，此时，点F 位置如图所示：
此时，
AFD
FAC
ACD
=
+
，
根据题意得：
55
FCG
BAC
=
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
∴
35
ACD
=
，
∴
90
ACG
ACD
FCG
=
+
=
∠
∠
∠
，
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∵CG
AB
AC
=
=
，
∴
45
FAC
=
，
∴
80
AFD
ACD
FAC
=
+
=
．
5．
（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在
ABC
中，AD为高线，
12
AC =
．点E为AC 上一点，
1
2
CE
AE
=
，
连接BE，交AD于点O，若BDO
ADC
≌
．
(1)猜想线段BO与AC 的位置关系，并说明理由．
(2)若动点Q 从点A 出发沿射线AE 以每秒4 个单位长度的速度运动，运动的时间为t 秒．
①当点Q 在线段AE 上时，是否存在t 的值，使得
BOQ
△
的面积为18？若存在，请求出t 的值；若不存在，
请说明理由；
②动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒1 个单位长度的速度向终点B 运动，P，Q 两点同时出发，当点P 到
达点B 时，P，Q 两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF
AO
=
，当AOP
与
FCQ
全等时，请直接写出t 的值．
【答案】(1) BO
AC
⊥
，理由见解析
(2)①存在t 的值，使得
BOQ
△
的面积为
5
18,
4
t =
；②t 的值为12
5 或 4
【分析】（1）由全等三角形的性质可得
OBD
CAD
=
，根据三角形内角和结合等式的性质可得
90
AEO
ODB
=
=
，即可求解；
（2）①由全等三角形的性质可得
12
BO
AC
=
=
，由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：BO
AC
⊥
，理由如下：
由题意，∵AD为高，
90
ODB
=
，
又 ∵BDO
ADC
≌
，
=
OBD
CAD，
,
,
180 ,
180
OBD
CAD
BOD
AOE
OBD
ODB
BOD
AOE
OAE
AEO
=
=
+
+
=
+
+
=
，
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90
AEO
ODB
=
=
，
BO
AC
⊥
．
（2）解：①存在t 的值，使得
BOQ
△
的面积为 18 ，理由如下：
由题意，∵
,
12
BDO
ADC AC =
≌
，
12
=
=
BO
AC
，
1
2
CE
AE
=
，
2
8,
4
3
AE
AC
CE
=
=
=
，
由（1）可知，
90
BEC
=
，
BE
AC
⊥
，
∵Q 在线段AE 上，
(
)
1
1 12
8
4
18
2
2
BOQ
S
BO QE
t
=
=
−
=
，
解得：
5
4
t =
；
②∵BDO
ADC
≌
，
BOD
ACD
\ ?
?
，
a 、当点F 在线段BC 延长线上时，如图3，
BOD
ACD
?
?
，
AOP
QCF
=
，
AO
CF
=
，
∴当OP
CQ
=
时，
(
)
AOP
FCQ SAS
≌
，
此时，
12
4
t
t
=
−
，
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解得：
12
5
t =
；
b、当点F 在线段BC 上时，如图4，
BOD
ACD
?
?
，
AOP
FCQ
\ ?
?
，
AO
CF
=
，
∴当OP
CQ
=
时，
(
)
AOP
FCQ SAS
≌
，
此时，
4
12
t
t
=
−
，
解得：
4
t =
；
综上所述，当AOP
与FCQ
全等时，t 的值为12
5 或 4 ．
6．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它
是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣
小组进行了如下操作：
(1)如图，两个等腰三角形
ABC
和
ADE
中，AB
AC
=
，AE
AD
=
，
BAC
DAE
=
，连接BD
CE
、
．此
时BD和CE 的数量关系是什么？并说明理由；
(2)如图，两个等腰三角形
ABD
△
和
ACE
△
中AB
AD
=
，AE
AC
=
，
CAE
DAB
=
=
．连接BE
CD
，
，
两线交于点P，则
BPC
= ．
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【答案】(1) BD
CE
=
，理由见解析
(2)180
−
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知手拉手
模型证明三角形全等是解题的关键．
（1）先证明
BAD
CAE
=
，再利用SAS证明
ABD
ACE
≌
△
△
，即可证明BD
CE
=
；
（2）同理可证明ACD
AEB
≌
，得到
ABE
ADC
=
；由三角形内角和定理可得
180
ADB
ABD
+
=
−
∠
∠
，
则可导角证明
180
PDB
PBD
+
=
−
∠
∠
，则由三角形外角的性质可得
180
BPC
PDB
PBD
=
+
=
−
∠
∠
∠
．-
【详解】（1）解：BD
CE
=
，理由如下：
∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
BAE
DAE
BAE
+
=
+
，
∴
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴BD
CE
=
；
（2）解：∵
CAE
DAB
=
=
，
∴
CAE
BAC
DAB
BAC
+
=
+
，
∴
CAD
EAB
=
，
在ACD
和AEB
中，
AC
AE
CAD
EAB
AD
AB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACD
AEB
≌
△
△
，
∴
ABE
ADC
=
；
∵
DAB
=
，
∴
180
ADB
ABD
+
=
−
∠
∠
，
∴
180
ADC
PDB
ABD
+
+
=
−
∠
∠
∠
，
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∴
180
ABE
PDB
ABD
+
+
=
−
∠
∠
∠
，
∴
180
PDB
PBD
+
=
−
∠
∠
，
∴
180
BPC
PDB
PBD
=
+
=
−
∠
∠
∠
．
7．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，将Rt
ABC
△
沿着斜边AC 翻
折得到Rt ADC
，点E、F 分别是射线CB 、射线DC 上的点，且
1
2
EAF
DAB
=
．
(1)初步探索：如图1，点F 在线段DC 上，试探究线段BE 、DF 、EF 之间的数量关系．
小华同学探究此问题的思路是：延长CD至点M ，使得DM
BE
=
，连接AM ，先证明ADM
ABE
≌
，再证
明
MAF
EAF
≌
△
△
，请你根据该思路探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；
(2)探索延伸：如图2，点F 在线段DC 的延长线上，BE 、DF 、EF 之间的数量关系是 ．
(3)灵活运用：在Rt
ABC
△
中，若
6
AB =
，
8
BC = ，
10
AC =
，
3
DC
CF
=
，则
CEF
△
的周长为 ．
【答案】(1) BE
DF
EF
+
=
，见解析
(2) BE
EF
DF
+
=
(3)16 或64
3
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决
本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
（1）延长CD至点M ， 使得DM
BE
=
， 连接AM ，证明
(
)
SAS
ADM
ABE
≌
，得出
BAE
DAM
=
，
AE
AM
=
， 证明
(
)
SAS
MAF
EAF
≌
， 得出EF
FD
BE
=
+
；
（2）在CD上截取DM
BE
=
， 连接AM ， 证明
(
)
SAS
ADM
ABE
≌
，得出
BAE
DAM
=
， AE
AM
=
，
证明
(
)
SAS
MAF
EAF
≌
， 得出EF
FM
FD
DM
FD
BE
=
=
−
=
−
；
（3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案．
【详解】（1）解：
,
EF
BE
DF
=
+
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89 /
理由：延长CD至点M ，使得DM
BE
=
，连接AM ，
∵将Rt ABC
沿着斜边AC 翻折得到Rt ADC
，
,
90
AB
AD
B
ADC
=
=
=
，
90
B
ADM
=
=
，
(
)
SAS
ADM
ABE
≌
，
,
BAE
DAM AE
AM
=
=
，
1
2
EAF
DAB
=
，
1
,
2
BAE
DAF
BAD
+
=
1
2
DAF
DAM
FAM
EAF
BAD
+
=
=
=
，
AF
AF
=
，
(
)
SAS
MAF
EAF
≌
，
EF
FM
FD
DM
FD
BE
=
=
+
=
+
，
故答案为：EF
FD
BE
=
+
；
（2）解：在CD上截取DM
BE
=
，连接AM ，
∵将Rt ABC
沿着斜边AC 翻折得到Rt ADC
，
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,
90
AB
AD
ABC
ADC
=
=
=
，
∴
90
ABE
ADF
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADM
ABE
≌
，
∴
BAE
DAM
=
， AE
AM
=
，
1
2
EAF
DAB
=
，
1
2
MAF
BAD
=
，
1
2
FAM
EAF
BAD
=
=
，
∵AF
AF
=
，
∴
(
)
SAS
MAF
EAF
≌
，
∴EF
FM
FD
DM
FD
BE
=
=
−
=
−
；
故答案为： DF
BE
EF
=
+
；
（3）当点F 在线段DC 上时， 如图1，
CEF
的周长为：
2
16
CEF
C
CE
CF
EF
CE
CF
DF
DM
CE
CD
BE
BC
CD
BC
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
=
=
；
当点F 在线段DC 的延长线上时，如图2 ，
CEF
的周长为：
2
8
2
2
2
3
3
CEF
C
CE
CF
EF
BC
BE
CF
FM
BC
DM
CF
FM
BC
DF
CF
BC
CF
BC
DC
BC
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
，
故答案为：16或 64
3 ．
1．（23-24 八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．0 的平方根、算术平方根和立方根都是0
D．两边和一角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌
握相关定理是解题关键．
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根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可．
【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意；
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意；
C．0 的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意；
D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
2．
（24-25 七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木
鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的
“风筝”图案中，AB
AD
=
、
B
D
= 、BC
DE
=
．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A．
ABC
ADE
△
≌△
B．
ABF
ADG
≌
△
△
C．FC
GE
=
D．AG
GC
=
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析
ABC
和
ADE
，易得
(SAS)
ABC
ADE
≌
，证明A，得出
,
BAC
DAE BC
DE
=
=
，
再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C．
【详解】解：在
ABC
和
ADE
中，
AB
AD
B
D
BC
DE
=
=
=
，
(SAS)
ABC
ADE
≌
，故选项A 不符合题意；
∴
,
BAC
DAE BC
DE
=
=
，
∴
BAC
EAC
DAE
EAC
−
=
−
，即
BAE
DAG
=
，
∵AB
AD
=
、
B
D
= ，
∴
(ASA)
ABF
ADG
≌
△
△
，故选项B 不符合题意；
∴BF
DG
=
，
∴BC
BF
DE
DG
−
=
−
，即FC
GE
=
，故选项C 不符合题意；
无法证明AG
GC
=
，故选项D 符合题意；
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92 /
故选：D
3．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在6 7
的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，
点
,
,
,
A B C D 均为格点，连接
,
,
,
AB BC CD BD ，下列说法正确的是（ ）
A．
BAC
BDC
=
B．
50
BAC
BDC
+
=
C．
130
BCD
=
D．
45
ABD
BDC
−
=
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，可证明
ABC
BED
△
≌△
得到
BAC
EBD
=
，由
EBD
BDC
∠
∠
，可得
BAC
BDC
，据此可判断A；再由
45
DCE
=
即可判断B、
C、D．
【详解】解：如图所示，取格点E，
由网格的特点可得
90
AB
BE
BC
DE
ABC
BED
=
=
=
=
=
，
，∠
∠
，
∴
ABC
BED
△
≌△
，
∴
BAC
EBD
=
，
∵
EBD
BDC
∠
∠
，
∴
BAC
BDC
，故A 错误；
由网格的特点可得
45
DCE
=
，
∴
45
DBC
BDC
DCE
+
=
=
∠
∠
∠
，
180
45
135
BCD
=
−
=
，故C 错误；
∴
45
BDC
DCE
DBC
DBC
=
−
=
−
∠
∠
∠
，
45
BAC
BDC
+
=
，故B 错误
∵
90
ABD
ABC
DBC
DBC
=
−
=
−
∠
∠
∠
，
∴
90
45
45
ABD
BDC
DBC
DBC
−
=
−
−
+
=
∠
∠
，故D 正确；
故选：D．
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4．（24-25 八年级上·河北石家庄·期末）要测量A，B 间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量
方案：
方案Ⅰ
①如图1，选定点O；
②连接AO ，并延长到点C，使OC
OA
=
，连接
BO，并延长到点D，使OD
OB
=
；
③连接DC ，测量DC 的长度即可．
方案Ⅱ
①如图2，选定点O；
②连接
,
AO BO ，并分别延长到点F，
E，使
,
OF
OB OE
OA
=
=
；
③连接EF ，测量EF 的长度即可．
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：方案Ⅰ：在
AOB
与
COD
△
中，
AO
OC
AOB
COD
OB
OD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
COD
≌
，
∴AB
CD
=
；
方案Ⅱ：在
AOB
与
COD
△
中，
AO
EO
AOB
EOF
OB
OF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
EOF
≌
，
∴AB
EF
=
，
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∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行.
故选：D．
5．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）如图，在
ABC
和DEF
中，D ，A ，E ，B 在同一条直线上．下面
五个条件：①AC
DF
=
；②DA
EB
=
；③EF
BC
=
；④EF
BC
∥
；⑤
C
F
=
以其中的三个作为条件，
可以证明另一个成立的是（ ）
A．①②⑤⇒④
B．①②④⇒③
C．①③⑤⇒②
D．②③⑤⇒①
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等
三角形的判定方法，逐项判断选项中的三个条件能否判定
ABC
和DEF
全等即可．
【详解】解：A、由DA
EB
=
，可知DE
AB
=
，且AC
DF
=
，C
F
=
，由SSA 不能判定
ABC
和DEF
全
等，无法得到
ABC
DEF
=
，所以无法证明EF
BC
∥
，不符合题意；
B、由DA
EB
=
，EF
BC
∥
，可知DE
AB
=
，ABC
DEF
=
，又AC
DF
=
，由SSA 不能判定
ABC
和DEF
全等，无法得到EF
BC
=
，不符合题意；
C、由AC
DF
=
，EF
BC
=
，C
F
=
，可知
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
△
△
，所以DE
AB
=
，可得DE
AE
AB
AE
−
=
−
，
即DA
EB
=
，符合题意；
D、由DA
EB
=
，可知DE
AB
=
，且EF
BC
=
，
C
F
=
，由SSA 不能判定
ABC
和DEF
全等，无法得
到AC
DF
=
，不符合题意；
故选：C．
6．（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图，在PAB
中，
A
B
=，M ，N ，K 分别是PA，PB ，AB 上
的点，且AM
BK
=
，BN
AK
=
．若
40
MKN
=
，则
P
的度数为（ ）
A．110
B．100
C．130
D．95
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【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键；根据题意证明AMK
BKN
≌
，再结合外角的性质可求得
A
MKN
=
，再利用三角
形内角和定理即可求得
P
；
【详解】解：在
AMK
△
和
BKN
△
中，
AM
BK
A
B
AK
BN
=
=
=
，
AMK
BKN
△
≌△
，
AMK
BKN
=
，
A
AMK
MKN
BKN
+
=
+
，
40
A
MKN
=
=
，
180
180
40
40
100
P
A
B
=
−−=
−
−
=
；
故选：B．
7．（24-25 八年级上·湖北孝感·期中）AD是
ABC
的中线，点E 、F 分别是AD和AD延长线上的点，且
DE
DF
=
，分别连接BF 、CE ，下列结论：①BF
CE
=
，②
ABD
△
和ACD
面积相等，③BF
CE
∥
，④
=
ACE
DCE ．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识
点，熟练掌握是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得，然后利用“SAS”证明BDE
和CDE
全等，根据全等三角形对应边相等可得
CE
BF
=
，判断①；全等三角形对应角相等可得
F
CED
=
，再根据内错角相等，两直线平行可得BF
CE
∥
，
判断③；根据等底同高的三角形的面积相等判断②；最后根据点E 位置不确定，
ACE
与
DCE
不一定
相等，判断④．
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【详解】解：∵AD是
ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
在BDE
和CDE
中，
BD
CD
BDF
CDE
DE
DF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
BDF
CDE
≌
，
∴CE
BF
F
CED
=
=
，
，
故①正确，
∴BF
CE
∥
，
故③正确；
∵BD
CD
=
，点A 到BD
CD
、
的距离相等，
∴
ABD
△
和ACD
面积相等，
故②正确，
点E 是AD上的点，位置不确定，
∴
ACE
与
DCE
不一定相等，
故④不正确，
综上所述．
正确的是①②③，共3 个．
故选：C．
8．（24-25 八年级上·河南驻马店·期中）如图，在
ABC
中，若
B
C
=
，BD
CE
=
，CD
BF
=
，则
EDF
=
（ ）
A．90
A
−
B．90
2
A
−
C．180
2 A
−
D．45
2
A
+
【答案】B
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97 /
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质
定理是解题关键．由题意易证
(
)
SAS
FBD
DCE
≌
，即得出
BDF
CED
=
，BFD
CDE
=
，再结合三角
形内角和定理可得出
B
C
EDF
=
=
，从而即可求解．
【详解】解：在FBD
和DCE
中，
BF
CD
B
C
BD
CE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
FBD
DCE
≌
，
∴
BDF
CED
=
，
BFD
CDE
=
，
∴
BFD
BDF
CDE
CED
+
=
+
．
∵
180
BFD
BDF
B
CDE
CED
EDF
+
+=
+
+
=
，
∴
B
C
EDF
=
=
，
∴
(
)
1 180
90
2
2
A
EDF
B
A
= =
−
=
−
．
故选：B．
9．
（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，AB
AC
=
，AD
AE
=
，BAC
DAE
=
，1
25
=
，2
30
=
，
则
3
=
【答案】55/55 度
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由
BAC
DAE
=
得到
BAD
CAE
=
，
即可证明
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，得到
2
30
ABD
= =
，再由三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
在
ABD
△
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
=
=
，
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∴
(
)
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴
2
30
ABD
= =
，
∴
3
1
25
30
55
ABD
= +
=
+
=
．
故答案为：55
10．（24-25 七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在3 3
的正方形网格中，1
2
+等于 ．
【答案】90/90 度
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），
先证出
ABC
DEF
≌△
△
，再根据全等三角形的性质可得
2
BAC
= ，由此即可得．
【详解】解：如图
由题意得：
90
BAG
B
E
= =
=
，
,
AB
DE BC
EF
=
=
，
在
ABC
和DEF
中，
90
AB
DE
B
E
BC
EF
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DEF
≌
，
∴
2
BAC
= ，
∴1
1
90
2
BAC
BAG
=
= +
=
+
，
故答案为：90．
11．（2025 九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，
(0
90 )
ECF
=
，
180
B
D
+
=
，
CB
CD
=
，且BE
DF
EF
+
=
，则
BCD
= （用含α 的代数式表示）．
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【答案】2
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关
键.
延长AB 到点G，使BG
DF
=
，连接CG ，证明CBG
CDF
≌
，得CG
CF
=
，BCG
DCF
=
，再利用SSS
证明
G
ECF
EC
≌
，得
ECG
ECF
=
，从而解决问题．
【详解】解：如图，延长AB 到点G，使BG
DF
=
，连接CG ，
180
ABC
D
+
=
，
180
ABC
CBG
，
CBG
D
= ，
又
CB
CD
=
，BG
DF
=
，
∴
(
)
SAS
CBG
CDF
≌
，
CG
CF
=
，
BCG
DCF
=
，
若BE
DF
EF
+
=
，
则EG
EF
=
，
(SSS)
ECF
ECG
≌
，
ECG
ECF
=
，
2
2
BCD
ECF
=
=
，
故答案为：2．
12．（24-25 八年级上·广东中山·期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度． 已知
,
OA
OD OB
OC
=
=
，
8cm,
10cm
AB
EF
=
=
， 则该容器壁的厚度为 cm．
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【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
只要证明
(
)
SAS
AOB
DOC
△
≌△
，可得
8cm
AB
CD
=
=
，即可解决问题．
【详解】解：在
AOB
和
DOC
△
中，
OA
OD
AOB
DOC
BO
OC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AOB
DOC
△
≌△
，
∴
8cm
AB
CD
=
=
，
∵
10cm
EF =
，
∴圆柱形容器的壁厚是(
)
(
)
1 10 8
1 cm
2
−
=
，
故答案为：1．
13．（24-25 八年级上·四川眉山·期中）如图，已知四边形ABCD中，
12
AB =
厘米，
8
BC = 厘米，
14
CD =
厘
米，
B
C
=
，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同
时，点Q 在线段CD上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使BPE
与以C、
P、Q 三点所构成的三角形全等．
【答案】3 或9
2
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．分
两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度．
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101 /
【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则
3
BP
t
=
，
8 3
CP
t
= −
，
∵
B
C
=
，点E 为线段AB 的中点，
12
AB =
．
∴
6
BE
AE
=
=
，
∴①当
6
BE
CP
=
=
，BP
CQ
=
时，BPE
与CQP
全等，
此时，6
8 3t
= −
，
解得
2
3
t =
，
∴
2
BP
CQ
=
=
，
此时，点Q 的运动速度为
2
2
3
3
= 厘米/秒；
②当
6
BE
CQ
=
=
，BP
CP
=
时，BPE
与CQP
全等，
此时，3
8 3
t
t
= −
，
解得
4
3
t =
，
∴点Q 的运动速度为
4
9
6
3
2
=
厘米/秒；
综上所述，点Q 的运动速度为3 厘米/秒或9
2 厘米/秒时，能够使BPE
与以C、P、Q 三点所构成的三角形
全等．
故答案为：3或9
2
14．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点D 和点C 在线段BE 上，
F
ABC
ED
≌△
△
．
(1)求证：BD
EC
=
；
(2)判断线段AD与FC 的关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质，即可解答．
（2）AD
FC
AD
FC
=
∥
，
．由
F
ABC
ED
≌△
△
，可得AC
FD
ACD
FDC
=
=
，
，继而证明
ACD
FDC
≌
△
△
，
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即可解答．
【详解】（1）证明：
ABC
FED
≌
，
BC
ED
=
，
BD
CE
=
；
（2）解：AD
FC
AD
FC
=
∥
，
．
理由如下：
ABC
FED
≌
，
AC
FD
ACD
FDC
=
=
，
，
DC
CD
=
，
ACD
FDC
≌
，
ADC
FCD
AD
FC
=
=
，
，
AD
FC
∥
．
15．
（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，已知BD为
ABC
的平分线，AB
BC
=
，点P 在BD上，PM
AD
⊥
于M，PN
CD
⊥
于N，求证：PM
PN
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全
等三角形并得到
ADB
CDB
=
是解题的关键．根据角平分线的定义可得
ABD
CBD
=
，然后利用“边角
边”证明ABD
和CBD
全等，根据全等三角形对应角相等可得
ADB
CDB
=
，推出BD为
ADC
的角平分
线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【详解】证明：∵BD为
ABC
的角平分线，
∴
ABD
CBD
=
，
在ABD
和CBD
中，
AB
BC
ABD
CBD
BD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBD
≌
，
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∴
ADB
CDB
=
，
∴BD为
ADC
的角平分线，
∵点P 在BD上，
,
PM
AD PN
CD
⊥
⊥
，
∴PM
PN
=
．
16．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是4 4
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线
段AB 与AC 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的
作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中找一格点D，连结AD，使
DAB
与
BAC
互余；
(2)在图②中找一格点E ，连结CE ，使
ACE
与
BAC
互余；
(3)在图③中找一点F ，连结AF 、CF ，使
AFC
与
BAC
互余．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，互余的概念，平行线及线段的垂直平分线的性质等知识．
（1）取一格点D，使
90
DAB
BAC
+
=
即可；
（2）取一格点E ，使CE
AB
⊥
，则
90
ACE
BAC
+
=
；
（3）两种作法：作AB
CF
∥
且
90
CAF =
∠
；或作线段AC 垂直平分线，
90
FAC
=
；均可得符合条件的
点F．
【详解】（1）解：如图所示，点D 即为所；
90
DAB
BAC
+
=
，即
DAB
与
BAC
互余；
（2）解：如图所示，点E 即为所；
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104 /
由图可知CE
AB
⊥
，
∴
90
ACE
BAC
+
=
，即
ACE
与
BAC
互余；
（3）解：如图所示，点F 即为所；
由图可知，AB
CF
∥
，
90
CAF =
∠
，
∴
BAC
ACF
=
，
90
BAC
AFC
ACF
AFC
?
?
?
?
?，
即
AFC
与
BAC
互余；
或
由图可知，
FCA
BAC
=
，
90
FAC
=
，
∴
90
BAC
A
A
C
A
F
FC
FC
行
+?
=
=
+邪
，
即
AFC
与
BAC
互余．
17．
（24-25 七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知在
ABC
中，B
C
=
，
10 cm
AB
AC
=
=
，
8 cm
BC =
，
D为AB 的中点，设点P 在线段BC 上以3 cm / s 的速度由B 点向C 点运动，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点
运动．
(1)若Q 点运动的速度与P 点相同，且点P ，Q 同时出发，经过1 秒钟后，BP = ___________cm；CQ =
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___________cm
(2)在（1）的条件下，请说明
BPD
△
≌
CQP
．
(3)若点P
Q
，
同时出发，但运动的速度不相同，当Q 点的运动速度为多少时，
BPD
△
与CQP
全等？
【答案】(1)3；3
(2)见解析
(3)15
/
4 cm s
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键；选用哪
一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了等腰三角形的性质．
(1)根据Q 点运动的速度与P 点相同，且点P，Q 同时出发，经过1 秒钟后，可得
3cm
BP =
；
3cm
CQ =
；
(2)先用t 表示出BP，当
1
t = 时，
3cm
BP
CQ
=
=
，
5cm
PC
BD
=
=
，再根据等腰三角形的性质得到
B
C
=
，
于是可根据“SAS”判断
(
)
SAS
BDP
CPQ
≌
；
(3)设点Q 的运动速度为cm/ s
x
，则
cm
CQ
tx
=
，由于
B
C
=
，则当BD
CP
=
，BP
CQ
=
时，根据“SAS”
可判断BDP
CPQ
≌
，即8 3
5
t
−
= ，3t
tx
=
；当BD
CQ
=
，BP
CP
=
时，根据“SAS”可判断
BDP
CQP
△
≌△
．即
5
tx =
，3
8 3
t
t
= −
，然后分别解方程可得到的值．
【详解】（1）解：Q 点运动的速度与点P 相同，且点P ，Q 同时出发，经过1 秒钟后，
3cm
BP =
；
3cm
CQ =
；
故答案为：3，3；
（2）证明：由题意得：
3 cm
BP
t
=
，
(
)
8
cm
3
PC
BC
BP
t
=
−
=
−
；
当
1
t = 时，
3cm
BP =
，
5cm
PC =
，
3cm
CQ =
，
点D 为AB 的中点，
5cm
BD
=
，
AB
AC
=
，
B
C
=
，
在
BPD
△
和CQP
中，
BD
CP
B
C
BP
CQ
=
=
=
，
(
)
SAS
BPD
CQP
≌
；
（3）解：设点Q 的运动速度cm/ s
x
，则
cm
CQ
tx
=
，
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B
C
=
，
当BD
CP
=
，BP
CQ
=
时，
(
)
SAS
BDP
CPQ
≌
，
即8 3
5
t
−
= ，3t
tx
=
，
解得
1
t = ，
3
x = （舍去）；
当BD
CQ
=
，BP
CP
=
时，
(
)
SAS
BDP
CPQ
≌
，
即
5
tx =
，3
8 3
t
t
= −
，
解得
4
3
t =
，
15
4
x =
，
综上所述，当点Q 的运动速度为15
/
4 cm s 时，能够使
BPD
△
与CQP
全等．
