文档内容
13.3.1 三角形的内角(第二课时)教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本课时主要研究直角三角形的性质与判定.性质方面，明确直角三角形的两个锐角互余，
这是基于三角形内角和定理，在直角三角形这一特殊情境下的重要结论；判定方面，掌握
有两个角互余的三角形是直角三角形这一判定定理.
2. 内容分析
从知识体系来看，直角三角形的性质与判定是三角形内角和定理的延续与深化，是对
三角形分类中直角三角形的进一步研究.它不仅为后续学习全等三角形、相似三角形等知识
奠定基础，也是解决实际问题中涉及角度计算与判断的重要工具 .直角三角形的性质“两
个锐角互余”体现了直角三角形内角之间的特殊数量关系，是直角三角形的重要特征之一
而判定定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”则是从角的数量关系角度，逆向判断
一个三角形是否为直角三角形，实现了性质与判定的互逆转化.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的
性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计
算和推理.
（2）掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.
（3）在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学
思维能力.
2. 目标解析
（1）学生需通过对三角形内角和定理的运用，结合直角三角形直角为 90°的条件，推
导出两个锐角互余的结论，并能在具体的直角三角形问题中，已知一个锐角的度数，准确
求出另一个锐角的度数，或在涉及多个直角三角形的图形中，利用该性质进行角度之间的
关系推导.
（2）学生要理解从“直角三角形的性质”到“直角三角形的判定”的逆向思维过程，
能够在给定三角形的两个角互余的条件下，迅速判定该三角形为直角三角形，并能清晰阐述判定的依据.
（3）学生通过经历性质与判定的探究活动，感受数学知识之间的内在联系，体会从特
殊到一般、从正向到逆向的数学思维方式，提升逻辑推理的严密性和条理性.
三、教学问题诊断分析
1. 性质理解与应用问题
学生在理解直角三角形两个锐角互余的性质时，可能存在仅记忆结论，而对其推导过
程理解不深刻的问题.在应用性质时，若问题情境较为复杂，如涉及多个直角三角形组合、
角度关系隐含在图形中等情况，学生可能难以准确提取有用信息，灵活运用性质进行角度
计算和推理.
2. 复杂条件的转化困难
学生在面对多个条件混合的复杂问题时，可能无法理清条件之间的逻辑关系，导致解
题思路混乱.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：运用直角三角形的性质和判定解决较复杂
的几何问题.
五、教学过程设计
（一）复习引入
1. 三角形内角和定理的内容是什么？
三角形的内角和等于180°.
2.你是怎么证明三角形内角和定理的？
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
证明： 过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
（二）合作探究
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.
探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？
答 由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°，A
即∠A+∠B+90°=180°，
所以∠A+∠B=90°.
也就是说，直角三角形的两个锐角互余.
B C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反
过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°.
A
求证：△ABC是直角三角形.
证明：由三角形的内角和定理，得：
∠A+∠B+∠C=180°，即90°+∠C=180°，
所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形.
B C
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形.
（三）典例分析
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小.
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.(直角三角形的两个锐角互余.)
在Rt△BDE中，
C
∠DBE=90°-∠BED. D
E
∵∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠DBE. A B
（四）巩固练习
1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B.
在Rt△ADC中，
∠ACD=90°-∠A.(直角三角形的两个锐角互余. ) C
在Rt△ABC中，
∠B=90°-∠A.
A D B
∴∠ACD=∠B.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE
是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形.理由如下：
A
D
1
E
2
C B在Rt△ABC中，
∠A+∠2=90°.(直角三角形的两个锐角互余..)
∵∠1=∠2，
∴ ∠A+∠1=90°.
∴△ADE是直角三角形.(有两个角互余的三角形是直角三角形.)
3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度
数为（ C ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；
③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 ①②③ （填序号）．
5．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝90°﹣∠B；
④∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于
点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC＝18°，
2
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 直角 三角形．
解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
2．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ A
）
A．34° B．44° C．124° D．134°
3．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，
需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ B ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
4．（杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ D ）
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
（七）小结梳理（八）布置作业
（1）基础性作业：习题13.3第4，10题.
（2）探究性作业：搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法.
六、教学反思
