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21.1.1 四边形及其内角和
知识点1：四边形的内角和外角
1．若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了四边形的内角和，牢记四边形内角和为360°是关键．
利用四边形内角和为360°的性质，结合已知一组对角互补，推导另一组对角的关系．
【详解】解：∵ 四边形内角和为360°，且一组对角互补，即和为180°，
∴ 另一组对角之和为360°−180°=180°，即互补.
∴ 另一组对角互补.
故选：B．
2．如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠B=190°．若△ACD中，∠CAD=50°，∠ACD=30°，则
∠BCD=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键．
先根据三角形内角和为180°求出∠D，再根据四边形内角和为360°，即可求出∠BCD的度数．
【详解】解：∵在△ACD中，∠CAD=50°，∠ACD=30°，
∴∠D=180°−∠ CAD−∠ACD=180°− ． 50°−30°=100°
∵在四边形ABCD中，∠DAB+∠B=190°，
∴∠BCD=360°− (∠D+∠DAB+∠B)=360°− ． 100°−190°=70°
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．四边形的内角中最多有2个锐角
B．四边形的四个外角不可能都相等
C．四边形的内角和与外角和相等
D．四边形的外角和小于三角形的外角和
【答案】C
【分析】根据四边形的内角和与外角和的性质.四边形的内角和为360°，外角和也为360°；三角形的外角和
为360°判断各选项正误即可．
【详解】∵ 四边形的内角和为360°，外角和也为360°
∴ 四边形的内角和与外角和相等，选项C正确．
选项A：在凸四边形中，可以有3个锐角(如三个内角均为80°，另一个为120°)，故A错误，不符合题意．
选项B：当四边形为矩形时，四个外角均为90°，都相等，故B错误，不符合题意．
选项D：四边形的外角和为360°，三角形的外角和也为360°，两者相等，故D错误，不符合题意．
【点睛】本题考查了多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和的性质是解题关键．
4．一个四边形的内角和与外角和的总和是 ．
【答案】720°
【分析】分别求出四边形的内角和与外角和，再将两者相加得到总和．
【详解】解：四边形的内角和：根据多边形内角和公式(n−2)×180°（n为边数），四边形n=4，
故内角和为：(4−2)×180°=360°．
四边形的外角和：任意多边形的外角和均为360°，因此四边形外角和为360°．
两者总和为360°+360°=720°．
故答案为：720°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是掌握多边形内角和公式及任意多边形外角和为
360°的性质．
5．若一个四边形的四个内角之比为2:3:4:6，则这个四边形中最大内角的度数为 ．
【答案】144°
【分析】设四个内角度数分别为2x，3x，4x，6x，根据四边形内角和为360°，列出方程求解x，再
求最大角6x的度数．
本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和计算方法是解题的关键．
【详解】解：由四边形内角和公式，得2x+3x+4x+6x=360°，
即15x=360°，
解得x=24°，
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学科网（北京）股份有限公司则最大内角为6x=6×24°=144°．
故答案为：144°．
6．一个四边形的一个外角为x°，与它不相邻的三个内角的和是 （用含x的式子表示）．
【答案】(x+180)°
【分析】利用四边形内角和为360°，以及外角与相邻内角互补的关系，通过代数运算求解．
本题考查了多边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设与这个外角相邻的内角为 (180− x)∘
因为四边形的内角和为 360∘，
所以与这个外角不相邻的三个内角的和为： 360∘− (18x0)−∘=(180+x)∘．
故答案为：(x+180)°
7．求出下列图形中x的值．
【详解】解：图①：∵四边形的内角和等于360°，
∴x+2x+4x+3x=360，
解得x=36．
图②：∵四边形的内角和等于360°，
∴x+2x+3x+120=360，
解得x=40．
8．已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A:∠B=1:2．求这个四边形各个内角的度数．
【详解】解：设∠A=x，则∠B=2x，
∴∠C=∠A=x，∠D=∠B=2x．
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴x+2x+x+2x=360°，
解得x=60°，
∴∠A=60°，∠B=120°，∠C=60°，∠D=120°．
知识点2：四边形的不稳定性
9．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形
如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可
得答案．
【详解】解：∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，
∴三角形具有稳定性．
∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定，
∴四边形不具有稳定性．
因此，具有稳定性的是三角形．
故选：D．
10．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A． 太阳能热水器 B． 伸缩门
C． 自行车三脚架 D． 三角形支架
【答案】B
【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可．
【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不
稳定性，
故选：B．
11．下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，
未被三角形分割的多边形不具有稳定性）．
【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意；
B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意；
D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意．
故选：A．
12．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC与∠BCD的外角平分线交于点P，则∠P=
（ ）
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A．180°− α B．180°+ α C． α D．360°− α
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【答案】A
【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形
的内角和定理．
先通过邻补角的定义，四边形的内角和为360°，得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠D=α；再通过角平分线
的定义结合三角形内角和为180°即可求出∠P．
【详解】解：如图，
∵∠ABC+∠EBC=180°,∠DCB+∠FCB=180°，
∴∠ABC+∠EBC+∠DCB+∠FCB=360°．
又∵∠ABC+∠DCB+∠A+∠D=360°，
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠D=α．
∵ ∠ABC与∠BCD的外角平分线交于点P，
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∴∠PBC= ∠EBC，∠PCB= ∠FCB．
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学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
∴∠PBC+∠PCB= ∠EBC+ ∠FCB= (∠EBC+∠FCB)= α．
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1
∴∠P=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°− α．
2
故选：A．
13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系？请说明理由．
(2)BE与DF有什么位置关系？请说明理由．
【详解】（1）∠1+∠2=90°．理由：
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF．
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°− ， 90°−90°=180°
∴2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°．
（2）BE∥DF．理由：
∵在△FCD中，∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°．
∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．
14．阅读下列材料，完成相应的任务：
全等四边形根据全等图形的定义可知：四条边分别相等，四个角也分别相等的两个四边形全等.在“探索三
角形全等的条件” 时，我们把两个三角形中“一条边相等” 或“一个角相等”称为一个条件.智慧小组的
同学类比“探索三角形全等条件”的方法，探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，四边形
ABCD和四边形A'B'C'D'中，连接对角线AC，A'C'，这样两个四边形全等的问题就转化为
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学科网（北京）股份有限公司“△ABC≌△A'B'C'”与“△ACD ≌ △A 'C 'D '”的问题.若先给定“△ABC≌△A'B'C'”的条件，只要再增加2个
条件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出两个四边形中“四条边分别相等，四个角也分别相等”，从而说明两个
四边形全等.
按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'先给出如下条件：AB＝A'B'，∠B＝
∠B'，BC＝B'C'，小亮在此基础上又给出“AD＝A'D'，CD＝C'D'”两个条件，他们认为满足这五个条件能得
到“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”.
(1)请根据小明和小亮给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”的理由；
(2)请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择______题.
A．在材料中“小明所给条件”的基础上，小颖又给出两个条件“AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'”，满足这
五个条件_______(填“能”或“不能”)得到“四边形 ABCD≌四边形A'B'C'D'”.
B．在材料中“小明所给条件”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件(要求：不同于小亮的条件)，使
“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”，你添加的条件是：①___________；②__________.
【详解】(1)证明：在△ABC和△A'B'C'中，
∵¿
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)
∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，
在△ACD 和△A'C'D'中，
∵¿
∴△ACD≌△A'C'D'(SSS)
∴∠DAC＝∠D'A'C'，∠DCA＝∠D'C'A'，∠D＝∠D'
∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A'+∠B'C'A'
即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'
∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，
∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'
(2)A题：小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中，
∵¿
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学科网（北京）股份有限公司∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)
∴AC＝A'C'
根据AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'，不能判定△ACD≌△A'C'D'
∴不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'
故答案为不能
B题.小明给出的条件可得：在△ABC和△A'B'C'中，
∵¿
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)
∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，
在△ACD和△A'C'D'中，
∵¿
∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)
∴AD＝A'D'，CD＝C'D'，∠DCA＝∠D'C'A'.
∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A' +∠B'C'A'
即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'
∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，
∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'
故答案为∠D=∠D′，∠DAC=∠D′A′C′.
【点睛】本题主要考查全等三角形判定定理，将四边形转化为两个三角形全等判定是关键.
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