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1.4 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质
课标要点
1.理解线段垂直平分线与角平分线的定义，明确线段垂直平分线兼具垂直、平分线段的双
重特征，掌握角平分线的基本几何特征，能准确识别线段的垂直平分线、区分角平分线与
其他角分线，掌握过线段中点作垂线的基本作图思路。
2.经历线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理的探索、猜想与证明过程。
3.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上，理解定理与逆定理的互推关系，明晰二者的逻辑区别与联系。
4.掌握尺规作图作已知线段的垂直平分线的方法与尺规作已知角的平分线的作图方法，规
范作图步骤，保留作图痕迹，理解作图原理，能独立完成标准尺规作图。
5.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理、角平分线的性质定理，进行线段相等证明、
角度计算、线段长度求解，结合三角形、全等三角形知识解决简单几何综合问题。
学习重难点
重点：
1.掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理、角平分线的性质定理，熟记定理内容，能熟
练用几何语言规范表述定理。
2.熟练掌握尺规作线段垂直平分线、已知角平分线的作图方法、步骤及作图原理，规范完
成作图并保留痕迹。
3.能直接运用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，证明线段相等、求解线段长度，
解决基础几何计算与证明题。
难点：
1.区分线段垂直平分线性质定理与逆定理的适用场景，区分角平分线性质定理的使用条
件。
2.理解尺规作线段垂直平分线与作已知角平分线的几何原理，结合全等三角形知识解释作
图依据，不机械记忆作图步骤。
3.在复杂几何图形中，挖掘线段垂直平分线、角平分线的隐含条件，结合三角形全等、边
角关系完成多步综合推理证明。
4.灵活运用垂直平分线性质、角平分线性质解决动点、最值类几何题型，结合几何模型转
化线段关系，突破解题思维难点。
第一章
三角形
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知识点
线段垂直平分线的概念与性质（重点）
1.线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简
称中垂线）。
2.线段垂直平分线的定义两大核心条件（缺一不可）：①过线段的中点（平分线段）；②与线段互相垂直
（夹角为90°）。
3.基础几何特征：一条线段有且只有一条垂直平分线；线段的垂直平分线是一条直线，不是射线或线段，
向两端无限延伸。
4.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。
5.线段垂直平分线的性质定理符号语言：
∵若直线𝑙是线段AB 的垂直平分线，点P 在直线𝑙上
∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
6.线段垂直平分线的性质定理的证明：
已知：直线𝑙⊥𝐴𝐵于点O，且OA=OB，C 是直线𝑙上的任意一点。
求证：CA=CB
证明过程:
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∵ 直线𝑙⊥𝐴𝐵
∴ ∠COA=∠COB=90°（垂直的定义）
在△COA 和△COB 中
∵ {
OA = OB
∠COA = ∠COB
CO = CO
∴ △COA≌△COB（SAS）
∴ CA=CB（全等三角形对应边相等）
7.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C 三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流
集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（ ）．
A．△𝐴𝐵𝐶三条中线的交点处 B．△𝐴𝐵𝐶三条高线的交点处
C．△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点处 D．△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距
离相等．
【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相
等．
若一点在𝐴𝐵的垂直平分线上，则该点到A、B 距离相等；
易错提醒
1）使用“垂直平分线上的点到两端点距离相等”的前提：点必须在垂直平分线上。若点不在中垂线
上，绝对不能使用该性质，不可主观臆断线段相等；
2）PA=PB 只能证明点P 在AB 的垂直平分线上，不能直接证明“直线OP 是AB 的垂直平分线”，需要两
个点才能确定一条直线，需取两个满足条件的点，方可判定直线为垂直平分线。
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若一点在𝐵𝐶的垂直平分线上，则该点到B、C 距离相等；
若一点在𝐴𝐶的垂直平分线上，则该点到A、C 距离相等，
三条边垂直平分线的交点，同时在𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C 三点距离全部相
等．
2．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵的中垂线交𝐴𝐵于点D，交𝐵𝐶的延
长线于点E，交𝐴𝐶于点F，若𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 6，则△𝐵𝐶𝐹的周长为_________．
【答案】6
【分析】根据垂直平分线性质可知𝐹𝐴= 𝐹𝐵，根据等腰三角形性质，得出△𝐵𝐶𝐹的周长等于𝐴𝐵+ 𝐵𝐶=
6．
【详解】解：∵𝐴𝐵的中垂线交𝐴𝐶于点F，
∴𝐹𝐴= 𝐹𝐵，
∴𝐵𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐴𝐶，
∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶
∴△𝐵𝐶𝐹的周长= 𝐵𝐹+ 𝐹𝐶+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 6，
∴△𝐵𝐶𝐹的周长= 6．
3．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）如图，𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐵= 8cm，△𝐴𝐵𝐷的周长为25cm，
求𝐵𝐶的长．
【答案】17cm
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷，然后根据△𝐴𝐵𝐷的周长为25cm，可得𝐴𝐵+ 𝐵𝐶=
25cm，即可得出答案．
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【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为25cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 25cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 25cm，
∵𝐴𝐵= 8cm，
∴𝐵𝐶= 25 −8 = 17(cm)．
知识点
角平分线的性质（重点）
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2.符号语言：
∵ OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E
∴ 𝑃𝐷= 𝑃𝐸（角平分线上的点到角两边的距离相等）
随学随练
1．（25-26 八年级下·福建宁德·期末）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐷是𝐵𝐶上一点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．若𝐵𝐷=
8，𝐶𝐷= 6，则点𝐷到𝐴𝐵的距离是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8
【答案】C
特别提醒
题目出现角平分线，优先辅助线：过平分线上的点向角两边作垂线，直接使用性质定理快速得等线
段，是几何证明最简思路。
教材延伸
三角形一条内角平分线与另外两条外角平分线交于旁心，一个三角形共有 3 个旁心；旁心到三角形一
边及另外两边延长线距离相等。
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【分析】根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，如图，
则有𝐷𝐸的长为点𝐷到𝐴𝐵的距离，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 6，
∴点𝐷到𝐴𝐵的距离是6 ．
2．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，若𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷=
1，则𝑆△𝐵𝐶𝐷=_________．
【答案】2
【分析】过D 作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于H，根据角平分线的性质求出𝐷𝐻= 𝐴𝐷= 1，然后计算△𝐵𝐶𝐷的面积即可．
【详解】解：如图，过𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 90°，𝐴𝐷= 1，
∴𝐷𝐻= 𝐴𝐷= 1，
∵𝐵𝐶= 4，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 4 × 1 = 2．
3．（25-26 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂
足分别为𝐷，𝐸．点𝐹，𝐺分别在𝑂𝐴, 𝑂𝐵上，𝐷𝐹= 𝐸𝐺，连接𝑃𝐹, 𝑃𝐺．求证：∠𝑃𝐹𝑂= ∠𝑃𝐺𝑂．
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【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理．
由角平分线的性质，可得𝑃𝐷= 𝑃𝐸，可证得△𝑃𝐷𝐹≌△𝑃𝐸𝐺(SAS)，根据三角形全等的性质，即可证得结
论．
【详解】证明：∵𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝐹= 90°，∠𝑃𝐸𝐺= 90°，
∴∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑃𝐸𝐺，
∵𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸，
在△𝑃𝐷𝐹和△𝑃𝐸𝐺中，
{
𝑃𝐷= 𝑃𝐸
∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑃𝐸𝐺
𝐷𝐹= 𝐸𝐺
，
∴△𝑃𝐷𝐹≌△𝑃𝐸𝐺(SAS)，
∴∠𝑃𝐹𝑂= ∠𝑃𝐺𝑂．
知识点
尺规作图
1.已知直线BC，点A 是直线BC 上一点，作直线BC 的垂线：
步骤一：以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC 于点M 和点N；
步骤二：分别以M 和N 为圆心，大于
1
2 MN长度为半径画弧，两弧分别相交于点P 和点Q；
步骤三：作直线PQ，直线PQ 即为所求。（如图1）
2.已知直线BC，点A 是直线BC 外一点，作直线BC 的垂线：
步骤一：以点A 为圆心，大于点A 到直线BC 的距离为半径作弧，分别交BC 于点M 和点N；
步骤二：分别以M 和N 为圆心，大于
1
2 MN长度为半径画弧，两弧分别相交于点P 和点Q；
步骤三：作直线PQ，直线PQ 即为所求。（如图2）
3.已知线段AB，作线段AB 的垂直平分线：
步骤一：分别以A，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D；
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步骤二：作直线CD，则CD 即为所求。（如图3）
图1 图2 图3
4.已知∠BAC，作其平分线AD：
步骤一：以点A 为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F 两点；
步骤二：分别以点E，F 为圆心，大于
1
2 𝐸𝐹长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D；
步骤三：作射线AD，射线AD 即为所求。
随学随练
1．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，请用尺规作图法作𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点
E，交𝐴𝐶于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，直线𝐸𝐹即为所求．
特别提醒
作已知线段的垂直平分线的核心原理：利用垂直平分线的性质定理的逆定理，通过画弧找两组等距
点，确定垂直平分线，是考试基础作图必考题型。
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【分析】分别以𝐴, 𝐶为圆心，大于
1
2 𝐴𝐶为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可．
【详解】略
2．（25-26 八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知∠𝐴𝑂𝐵，点𝑀在射线𝑂𝐵上，请用尺规作图法在∠𝐴𝑂𝐵的内
部找一点𝑃，使得点𝑃到边𝑂𝐴、𝑂𝐵的距离相等，且点𝑃到点𝑂和点𝑀的距离相等．（不写作法，保留作图痕
迹）
【答案】见解析
【分析】作𝑂𝑀的垂直平分线，∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，两线交点即为所求.
【详解】解：如图，作𝑂𝑀的垂直平分线，∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，两线交点𝑃即为所求.
拓展
垂直平分线性质定理 VS 逆定理
对比维度
性质定理
逆定理
推理方向
由「位置」推「边长」
由「边长」推「位置」
核心条件
点在中垂线上
点到线段两端距离相等
推导结论
点到线段两端距离相等
点在这条线段的中垂线上
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用途
快速证线段相等，简化证明
判定点的位置、证明垂直平分线
逻辑关系
原定理，正向推理
逆定理，反向推理，二者互逆
活学活用
1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点D，交𝐴𝐶于点E，
连接𝐵𝐸．若△𝐴𝐵𝐶的周长为24，𝐵𝐷= 5，则△𝐴𝐵𝐸的周长是（ ）
A．12
B．19
C．16
D．14
【答案】D
【分析】由线段垂直平分线的性质得到𝐵𝐸= 𝐶𝐸, 𝐵𝐶= 2𝐵𝐷= 10，再根据△𝐴𝐵𝐶的周长求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐶=
14，据此可得答案．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点D，交𝐴𝐶于点E，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸, 𝐵𝐶= 2𝐵𝐷= 10，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为24，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 24，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 14，
∴△𝐴𝐵𝐸的周长= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 14．
2．（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，E 是𝐴𝐷上一点，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，求证：
𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，
先根据“斜边直角边”Rt △𝐵𝐷𝐸 ≌Rt △𝐶𝐷𝐸，可得𝐴𝐷是𝐵𝐶的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得
出答案．
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【详解】证明：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高（已知）
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°（高的定义）
在Rt △𝐵𝐷𝐸和Rt △𝐶𝐷𝐸中，
{𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸 ≌Rt △𝐶𝐷𝐸(HL)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷（全等三角形的对应边相等）．
又∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷是𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
拓展
尺规作图作垂线与垂直平分线归纳对比
作图项目
核心步骤概括
核心原理
易错扣分点
适用场景
过直线上一点
作垂线
定点截弧得两点→两端
画弧交汇→连线得垂线
SSS 全等、垂直
定义
半径过小无交
点、擦除作图痕
迹
直线上定点作
直角、垂直证
明
过直线外一点
作垂线
外点截弧交直线→双侧
画弧交汇→连线垂直
中垂线性质、
全等推理
误将垂线画成线
段、未双向延长
求点到直线距
离、几何高作
图
作线段垂直平
分线
两端点画弧→上下交点
连线→得中垂线
垂直平分线判
定定理
只画单侧弧、连
线未双向延长
平分线段、证
边长相等、找
外心
活学活用
1．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段𝐴𝐵的两个端点为圆心，大于
1
2 𝐴𝐵的长为半径作弧，
两弧分别相交于点E，F，作直线𝐸𝐹交𝐴𝐵于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．线段𝐴𝐵垂直平分直线𝐸𝐹
B．点O 不是线段𝐸𝐹的中点
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C．直线𝐸𝐹垂直平分线段𝐴𝐵
D．直线𝐸𝐹垂直但不平分线段𝐴𝐵
【答案】C
【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断．
【详解】解：由作法得𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐵，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
即直线𝐸𝐹垂直平分线段𝐴𝐵．
2．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，完成下列尺规作图（保留
作图痕迹，不写作图步骤）；
(1)作𝐴𝐵边上的中线；
(2)作𝐴𝐶边上的高．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【详解】（1）解：如图𝐶𝐷即为𝐴𝐵边上的中线；
（2）解：如图𝐵𝐸即为𝐴𝐶边上的高．
题型
利用线段垂直平分线的性质求解
▌例1.（25-26 八年级上·辽宁营口·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，直线𝑀𝑁为线段𝐵𝐶的垂直平分线，交𝐴𝐶于点
解题贴士
利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等，进行线段等量代换，常结合周长、线段和差计算。
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𝐷，连接𝐵𝐷．若𝐴𝐷= 4cm，𝐵𝐷= 10cm，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．13cm
B．14cm
C．15cm
D．16cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是
解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到𝐶𝐷= 𝐵𝐷= 10cm，则𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 14cm．
【详解】解：∵直线𝑀𝑁为𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷= 10cm，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 14cm，
故选：B．
▌例2.（25-26 八年级上·河南郑州·月考）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶=
10，求△𝐴𝐵𝐷的周长．
【答案】18
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直
平分线的性质，可知𝐴𝐷= 𝐶𝐷，进而可知𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，即可求出△𝐴𝐵𝐷的周长．
【详解】解∶∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 10，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为8 + 10 = 18．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·吉林松原·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶
于点E，连接𝐶𝐷，若𝐴𝐵= 12cm，𝐵𝐶= 8cm，则△𝐵𝐷𝐶的周长为（ ）
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A．4cm
B．6cm
C．10cm
D．20cm
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
根据𝐸𝐷是𝐴𝐶的垂直平分线，得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷，再根据𝐵𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，即可求
解．
【详解】解：∵𝐸𝐷是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵= 12cm，𝐵𝐶= 8cm，
∴△𝐵𝐷𝐶的周长为𝐵𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 20cm．
故选：D．
▌对点练1-2．（25-26 九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵交
𝐵𝐶于点𝐷，若△𝐴𝐶𝐷的周长为50cm，则𝐴𝐶+ 𝐵𝐶=_____．
【答案】50cm
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得出𝐴𝐷= 𝐷𝐵，进而利用三角形的周长解
答即可．
【详解】解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐵，
∵△𝐴𝐶𝐷的周长为50cm，
即𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 50cm．
故答案为：50cm．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江·月考）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸𝐷是𝐴𝐵的垂直平分线，𝐴𝐷= 3，△𝐴𝐶𝐸
的周长为10，则△𝐴𝐵𝐶的周长为______．
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【答案】16
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得𝐴𝐸= 𝐵𝐸, 𝐴𝐵= 2𝐴𝐷= 2 × 3 = 6，然后
求出△𝐴𝐶𝐸的周长为𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 10，再求解△𝐴𝐵𝐶的周长即可
．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：∵𝐸𝐷是𝐴𝐵的垂直平分线，𝐴𝐷= 3，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸, 𝐴𝐵= 2𝐴𝐷= 2 × 3 = 6，
∴△𝐴𝐶𝐸的周长= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶，
∵△𝐴𝐶𝐸的周长为10，
∴𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 10，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 6 + 10 = 16．
故答案为：16．
▌对点练1-4．如图，已知𝐴𝐶比𝐵𝐶小4cm，𝐴𝐵的垂直平分线𝐸𝐹交𝐴𝐵于点E，交𝐵𝐶于点F，△𝐴𝐶𝐹的周长
为18cm，求𝐴𝐶, 𝐵𝐶的长．
【答案】𝐴𝐶= 7cm,𝐵𝐶= 11cm
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△𝐴𝐶𝐹的周
长= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得𝐴𝐹= 𝐵𝐹，然后求出△𝐴𝐶𝐹的周长= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，
即可得解．
【详解】解：∵𝐸𝐹是𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐹，
∵△𝐴𝐶𝐹的周长为18cm，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐹+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐹+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 18cm，
∵𝐴𝐶比𝐵𝐶小4cm，即𝐴𝐶+ 4 = 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐶+ 4 = 18cm，
∴𝐴𝐶= 7cm，
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∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶+ 4 = 11cm．
题型
线段垂直平分线性质的实际应用
▌例1.（25-26 八年级下·陕西咸阳·月考）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题
的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶三条高线的交点处
B．△𝐴𝐵𝐶三条中线的交点处
C．△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点处 D．△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐶的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等．
∴观景台应建在△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点处．
▌对点练1-1.（25-26 八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有𝐴、𝐵、𝐶三名同学站在一个三角形的三
个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公
平，则凳子应放的最适当的位置在△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三条垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即
可．
【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到△𝐴𝐵𝐶三个顶点𝐴、𝐵、𝐶的距离相等，
又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴ 凳子应放置在△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点处，
故选D．
解题贴士
将地点、道路抽象为点、直线；作两点连线的垂直平分线，与目标直线交点即为到两点等距的选址。
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▌对点练1-2.如图，在足球场内，𝐴，𝐵，𝐶表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放
置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．𝐴𝐶，𝐵𝐶两边高线的交点处
B．𝐴𝐶，𝐵𝐶两边中线的交点处
C．𝐴𝐶，𝐵𝐶两边垂直平分线的交点处
D．∠𝐴，∠𝐵两内角平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据足球到三个运动员的距离相等，即点到线段的两端点距离相等，得到足球所在的位置是三条
边的中垂线的交点，即可解答．
【详解】解：由题意得：足球所在的位置是三条边的中垂线的交点，
即：应放在𝐴𝐶, 𝐵𝐶两边垂直平分线的交点处．
题型
尺规作图——作垂线
▌例1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，在BC 上作一点D，使得𝐷𝐴⊥𝐴𝐵（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图中过一点作已知直线的垂线，解决问题的关键是熟练掌握作图步骤.
根据作图步骤操作，注意保留作图痕迹.
【详解】解：如图，点𝐷即为所求．
▌对点练1-1.如图，已知直线𝐴𝐵及𝐴𝐵外一点P．求作：经过点P 且垂直于𝐴𝐵的直线．
解题贴士
分点在直线上、直线外两种情况，利用圆弧得到对称两点，再作垂直直线。
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【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)．
以P 为圆心大到P 到𝐴𝐵的距离为半径作圆弧，交𝐴𝐵于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在𝐴𝐵下
方作圆弧，两圆弧交于点C，连线𝑃𝐶，𝑃𝐶⊥𝐴𝐵，以此求解．
【详解】解：如图，𝑃𝐶⊥𝐴𝐵，直线𝑃𝐶即为所求作．
▌对点练1-2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，利用尺规作出𝐵𝐶边上的高．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—三角形的高，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．过点𝐴作
𝐴𝐻⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵延长线于𝐻即可．
【详解】解：作𝐵𝐶边上的高𝐴𝐻如图．
题型
尺规作图——作已知线段的垂直平分线
▌例1.尺规作图：作线段𝐴𝐵的中垂线𝐶𝐷．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
解题贴士
分别以线段两端点为圆心，大于
1
2线段长画弧，两侧得交点，过两点作直线。
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【答案】图见解析
【分析】本题考查了作图，应用与设计作图，要熟悉垂直平分线的作法．分别以𝐴、𝐵为圆心，大于
1
2 𝐴𝐵的
长为半径作弧，两弧相交于𝐶、𝐷，作直线𝐶𝐷即为𝐴𝐵的中垂线；
【详解】解：如图所示：
直线𝐶𝐷即为所求．
▌对点练1-1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴> ∠𝐵．
(1)在边𝐵𝐶上找到一点E，使它到两点A、B 的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接𝐴𝐸，若𝐴𝐶= 21，𝐵𝐶= 27，求△𝐴𝐸𝐶的周长．
【答案】(1)见解析
(2)48
【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键．
（1）作出线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点E，则点E 即为所求；
（2）根据垂直平分线的性质和三角形周长公式进行解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：点E 即为所求；
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（2）∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴△𝐴𝐸𝐶的周长= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 21 + 27 = 48．
▌对点练1-2.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，请用尺规作图法，在△𝐴𝐵𝐶外求作一点D，使点D 到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点
距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利
用尺规分别作𝐵𝐶、𝐴𝐶的垂直平分线交于点𝐷，连接𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷，根据垂直平分线的性质可得𝐴𝐷= 𝐵𝐷=
𝐶𝐷，则点D 即为所求．
【详解】解：如图，分别作𝐵𝐶、𝐴𝐶的垂直平分线交于点𝐷，连接𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷，
∵𝐵𝐶、𝐴𝐶的垂直平分线交于点𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
即点D 到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点距离都相等，
∴点D 即为所求．
▌对点练1-3.（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑃是𝐵𝐶边上一点，连接𝐴𝑃，请用尺
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规作图法作直线𝑙，使得直线𝑙是线段𝐴𝑃的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】
如图所示，直线𝑙即为所求．
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作图方法作图即可，熟练掌握线段垂直
平分线的作图方法是解题的关键．
【详解】略
题型
利用角平分线的性质求长度
▌例1.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，𝐷𝐸= 2，则𝐷𝐹的长是（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出𝐷𝐹= 𝐷𝐸，从而求出𝐷𝐹的长．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， 且𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
∵𝐷𝐸= 2，
∴𝐷𝐹= 2．
解题贴士
角平分线上的点向角两边作垂线，垂线段相等，借此转化线段，结合方程求值。
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▌例2.（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，过点𝑃作𝑃𝐶⊥𝑂𝐴于点𝐶，𝑃𝐸⊥
𝑂𝐵于点𝐸，点𝐷在边𝑂𝐵上，且𝐷𝑃= 2𝑃𝐸= 2．求点𝑃到射线𝑂𝐴的距离．
【答案】1
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是
解题的关键．根据角平分线的性质得到𝑃𝐸= 𝑃𝐶，求得𝑃𝐸= 1，从而得到P 到𝑂𝐴的距离．
【详解】解：∵𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，𝑃𝐶⊥𝑂𝐴于点𝐶，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，
∴𝑃𝐶= 𝑃𝐸，
∵𝐷𝑃= 2𝑃𝐸= 2，
∴𝑃𝐸= 1，
∴点𝑃到射线𝑂𝐴的距离是线段𝑃𝐶的长，是1．
▌对点练1-1.如图，𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，若𝑃𝐸= 2，则𝑃到𝑂𝐴的距离为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质，可得𝑃𝐷= 𝑃𝐸，由此求解即可．
【详解】解：∵𝑃到𝑂𝐴的距离即为𝑃𝐷，且𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，
又∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，
且𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸= 2，
∴𝑃到𝑂𝐴的距离为2．
▌对点练1-2.把两个同样大小的含30°角的直角三角尺按如图所示方式放置，其中𝑀是𝐴𝐷与𝐵𝐶的交点，若
𝐶𝑀= 4，则点𝑀到𝐴𝐵的距离为_____．
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【答案】4
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
根据题意可得∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝐵= 30° = ∠𝑀𝐴𝐵，推出𝐴𝑀平分∠𝐶𝐴𝐵，过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，得𝑀𝑁=
𝑀𝐶即可解答．
【详解】解：由题意，得：∠𝐷= ∠𝐶= 90°, ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵= 30°，
∴𝑀𝐶⊥𝐴𝐶, ∠𝐶𝐴𝐵= 60°，
∴∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝐵= 30° = ∠𝑀𝐴𝐵，
∴𝐴𝑀平分∠𝐶𝐴𝐵，
过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点𝑁，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐶= 4，
则点𝑀到𝐴𝐵的距离为4，
故答案为：4．
▌对点练1-3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐷，若𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15，𝐵𝐶= 10，则
𝐴𝐷的长为__________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．
过点D 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点E，再根据角平分线的性质定理得出𝐴𝐷= 𝐷𝐸，然后根据𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15求出
𝐷𝐸，即可得出答案．
【详解】解：过点D 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点E，
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∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 90°，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐸，
∵𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15，𝐵𝐶= 10，
∴
1
2 × 10 ⋅𝐷𝐸= 15，
∴𝐷𝐸= 3，
∴𝐴𝐷= 3．
故答案为：3．
▌对点练1-4.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝐵𝐶= 30，𝐵𝐷: 𝐷𝐶= 3: 2．求𝐷𝐸
的长．
【答案】𝐷𝐸= 12
【分析】根据𝐵𝐶= 30，𝐵𝐷: 𝐷𝐶= 3: 2即可求出𝐷𝐶的长，再根据角平分线的性质定理即可解答．
本题主要考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．熟练掌握角平分线的性质定
理是解题的关键．
【详解】∵𝐵𝐷: 𝐷𝐶= 3: 2，𝐵𝐶= 30，
∴𝐵𝐷= 18，𝐷𝐶= 12；
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶= 12．
题型
利用角平分线的性质求面积
▌例1.（25-26 八年级上·云南德宏·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝐷𝐹⊥
解题贴士
角平分线上点向两边作垂线段等长，作为三角形等高，借助面积公式转化计算。
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𝐴𝐶于F，𝐴𝐵= 9cm，𝐷𝐹= 4cm，则△𝐴𝐵𝐷的面积是（ ）
A．12cm2
B．13cm2
C．18cm2
D．36cm2
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，
𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 4cm，再根据三角形面积计算公式可求出△𝐴𝐵𝐷的面积．
【详解】解：∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于F，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 4cm，
∵𝐴𝐵= 9cm，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸= 4cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐷𝐸=
1
2 × 9 × 4 = 18(cm2)．
▌例2.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长是22，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于D，且𝑂𝐷= 3，△
𝐴𝐵𝐶的面积是________．
【答案】33
【分析】过点𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，连接𝑂𝐴，先得出𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，𝑂𝐷= 𝑂𝐹= 3，再
得出𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 22，然后根据△𝐴𝐵𝐶的面积等于𝑆△𝑂𝐴𝐵+ 𝑆△𝑂𝐵𝐶+ 𝑆△𝑂𝐴𝐶求解即可．
【详解】解：如图，过点𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，连接𝑂𝐴，
∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，且𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，𝑂𝐹⊥𝐴𝐶，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，𝑂𝐷= 3，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，𝑂𝐷= 𝑂𝐹= 3，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长是22，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 22，
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∴△𝐴𝐵𝐶的面积等于𝑆△𝑂𝐴𝐵+ 𝑆△𝑂𝐵𝐶+ 𝑆△𝑂𝐴𝐶
= 1
2 𝐴𝐵· 𝑂𝐸+ 1
2 𝐵𝐶· 𝑂𝐷+ 1
2 𝐴𝐶· 𝑂𝐹
= 3
2 𝐴𝐵+ 3
2 𝐵𝐶+ 3
2 𝐴𝐶
= 3
2 (𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶)
= 3
2 × 22
= 33．
▌对点练1-1.（25-26 八年级下·广西来宾·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 8，则
𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐴𝐷𝐶=（ ）
A．1: 1
B．4: 5
C．5: 4
D．16:25
【答案】C
【分析】作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，由角平分线的性质定理可得𝐷𝐸= 𝐷𝐹，再结合三角形的面积
公式计算即可得出结果．
【详解】解：如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，且𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 8，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷:𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝐴𝐵: 𝐴𝐶= 5: 4．
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·上海静安·期末）如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐷交
𝐵𝐶于点𝐷，𝐶𝐷= 5，𝐴𝐵= 16，则△𝐴𝐵𝐷的面积是______．
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【答案】40
【分析】过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，通过角平分线的性质可得𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 5，再由面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 5，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积是
1
2 𝐴𝐵× 𝐸𝐷=
1
2 × 16 × 5 = 40．
▌对点练1-3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交BC 于D．若𝐴𝐵= 10，𝐶𝐷= 3．求△𝐴𝐵𝐷
的面积．
【答案】15
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，根据角平分线上的点到角的两边距离
相等可得𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 3，然后利用△𝐴𝐵𝐷的面积列式计算即可得解．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，如图所示：
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∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐷，∠𝐶= 90°，𝐶𝐷= 3，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 3，
∵𝐴𝐵= 10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 10 × 3 = 15．
题型
角平分线性质的实际应用
▌例1.如图所示的是一块三角形草坪𝐴𝐵𝐶 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的
距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶 三条中线的交点处
B．△𝐴𝐵𝐶 三条角平分线的交点处
C．△𝐴𝐵𝐶 三条高所在直线的交点处
D．△𝐴𝐵𝐶 三边的垂直平分线的交点处
【答案】B
【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为
三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置．
▌对点练1-1.如图，直线𝑎、𝑏、𝑐表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（ ）
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，即可求解．
解题贴士
道路边界抽象成角两边，满足到两边距离相等的点在角平分线上，结合限制条件确定位置。
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【详解】解：如图1，作△𝐴𝐵𝐶两内角的角平分线，交于点𝑃，即所求中转站地址；
理由：∵ △𝐴𝐵𝐶两内角的角平分线，交于点𝑃，
∴ 𝑃𝐸= 𝑃𝐹，𝑃𝐷= 𝑃𝐹，
∴ 𝑃𝐸= 𝑃𝐹= 𝑃𝐷，即点𝑃到三条公路的距离相等；
同理可得，如图2，图3，图4，作△𝐴𝐵𝐶两外角的角平分线，交于点𝑃，即所求中转站地址．
综上所述，可供选择的地址有四处．
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·上海·期中）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，△𝐴𝐵𝐶是一个正在
修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭𝐻，使该凉亭到公路𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶的距离都相等，则凉亭𝐻是
△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭𝐻，使该凉亭到公路𝐴𝐵、
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𝐴𝐶、𝐵𝐶的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
▌对点练1-3.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相
等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到
三边的距离相等．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴该点应是三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
题型
尺规作图——作已知角的平分线
▌例1.（25-26 八年级上·四川南充·期中）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，按以下步骤作图：①以𝐵为
圆心，任意长为半径作弧，分别交𝐵𝐴、𝐵𝐶于𝑀、𝑁两点；②分别以𝑀、𝑁为圆心，以大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径
作弧，两弧相交于点𝑃；③作射线𝐵𝑃，交𝐴𝐶于𝐷点．若𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，则线段𝐶𝐷的长为
（ ）
A．3
B．5
C．
16
3
D．6
【答案】A
【分析】过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，根据基本作图，得∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷，设𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 𝑥，根据三角形的面
积不变，得
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐶，求解即可；
【详解】解：过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，根据基本作图，得∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷，
解题贴士
顶点为圆心画弧交两边，再以两个交点为圆心、大于两点间距一半长画弧，内部交点与顶点连射线。
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∵𝐷𝐶⊥𝐵𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
设𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 𝑥，根据三角形的面积不变，得
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐶=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，
∴
1
2 × 10 ⋅𝑥+
1
2 × 6 ⋅𝑥=
1
2 × 6 × 8，
解得𝑥= 3；
故线段𝐶𝐷的长为3；
▌例2.（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A 在∠𝑀𝑂𝑁的边𝑂𝑁上，请用尺规作图法在∠𝑀𝑂𝑁内部求
作点P，连接𝑂𝑃，使点P 到𝑂𝑀和𝑂𝑁的距离相等，且𝑃𝑂= 𝑂𝐴．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】所作图形如图所示：
【分析】以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交𝑂𝑀，𝑂𝑁于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距
离一半为半径画弧，然后再以点O 为圆心，𝑂𝐴长为半径画弧，交∠𝑀𝑂𝑁角平分线于点P，进而问题可求
解．
【详解】略
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐶= 90°,∠𝐵= 24°．以点A 为圆
心，以任意长为半径画弧，分别交𝐴𝐵, 𝐴𝐶于点M，N；再分别以点M，N 为圆心，以大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径
画弧，两弧相交于点P．连接𝐴𝑃并延长交𝐵𝐶于点D，则∠𝐴𝐷𝐵=_________．
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【答案】123°/123 度
【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理；
先利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶，再根据作图知𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，求出∠𝐵𝐴𝐷，再利用三角形内角和定理
即可求出∠𝐴𝐷𝐵．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°,∠𝐵= 24°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 180° −90° −24° = 66°，
由作图知𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 33°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵= 180° −33° −24° = 123°，
故答案为：123°．
▌对点练1-2.（2025·陕西·模拟预测）如图，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，请用尺规作图法在∠𝐴𝐶𝐷内部求作射线
𝐶𝑃，使得∠𝐷𝐶𝑃=
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐵)．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】
【分析】以点𝐶为圆心，适当长为半径画弧，分别与𝐴𝐶、𝐶𝐷交于点𝑀、𝑁，分别以𝑀、𝑁为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧在∠𝐴𝐶𝐷内相交于一点，连接点𝐶与两弧的交点并延长，即为所求射线𝐶𝑃．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵，
∵∠𝐷𝐶𝑃=
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐵)，
∴∠𝐷𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，
∴𝐶𝑃是∠𝐴𝐶𝐷的平分线．
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如图，作∠𝐴𝐶𝐷的平分线𝐶𝑃，射线𝐶𝑃即为所求．
▌对点练1-3.（25-26 八年级·江苏·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°．
(1)尺规作图：作∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点D；
(2)应用与计算：若𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，求点D 到𝐴𝐵的距离．
【答案】(1)如图，𝐴𝐷即为所求，
(2)3
【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作∠𝐵𝐴𝐶的角平分线𝐴𝐷．
（2） 利用角平分线的性质，得点𝐷到𝐴𝐵的距离等于𝐷𝐶，再通过面积法列方程求解．
【详解】（1）解：以点𝐴为圆心，适当长度为半径画弧，分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于两点，再分别以这两点为圆心，
大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶内部交于一点，作射线𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷即为所
求．
（2）解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
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设𝐷𝐶= 𝐷𝐸= 𝑥，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐴𝐵𝐷，
∴
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐷𝐶+
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐷𝐸，
即
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 6 × 𝑥+
1
2 × 10 × 𝑥，
∴24 = 3𝑥+ 5𝑥= 8𝑥，
解得𝑥= 3，
∴点𝐷到𝐴𝐵的距离为3．
基础通关
1．（25-26 八年级下·重庆·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 9，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐶于点
D，交𝐴𝐵于点E，则△𝐵𝐸𝐶的周长为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可知𝐴𝐸= 𝐶𝐸，可得𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+
𝐵𝐶，即可求得答案．
【详解】解：∵𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐶于点D，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
∴△𝐵𝐸𝐶的周长为𝐵𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 9 + 8 = 17．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶长为半径作弧，交𝐵𝐶边于点
𝐷，再分别以点𝐵，𝐷为圆心，大于
1
2 𝐵𝐷的长为半径作弧，两弧交于𝑀，𝑁两点，作直线𝑀𝑁，交𝐴𝐵于点
𝐸．若△𝐴𝐷𝐸的周长为21，𝐴𝐶= 9，则𝐴𝐵的长为（ ）
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A．8
B．10
C．12
D．18
【答案】C
【分析】由题意可得𝐴𝐷= 𝐴𝐶= 9，𝑀𝑁垂直平分𝐵𝐷，由线段垂直平分线的性质可得𝐵𝐸= 𝐷𝐸，再结合△
𝐴𝐷𝐸的周长为21，计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得：𝐴𝐷= 𝐴𝐶= 9，𝑀𝑁垂直平分𝐵𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为21，
∴𝐴𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵= 21，
∵𝐴𝐷= 9，
∴𝐴𝐵= 12．
3．（25-26 八年级下·全国·期中）游戏时，3 名同学分别站在△𝐴𝐵𝐶三个顶点的位置上、要求在他们中间放
一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即
可．
【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到△𝐴𝐵𝐶三个顶点𝐴、𝐵、𝐶的距离相等，
又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴ 凳子应放置在△𝐴𝐵𝐶三边垂直平分线的交点处．
4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，以点𝐴为圆心，小于𝐴𝐶长为半径画弧
分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于点𝑃、𝑄，又分别以𝑃、𝑄为圆心，大于
1
2 𝑃𝑄为半径画弧交于点𝑀，连接𝐴𝑀交𝐵𝐶于点
D．已知𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 2，则△𝐴𝐵𝐷的面积是（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，利用角平分线的性质可得点𝐷到𝐴𝐵的距离等于𝐶𝐷的
长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=
1
2 × 5 × 2 = 5．
5．（25-26 八年级上·山东德州·期中）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，𝐴𝐷过点𝑃，且与
𝐴𝐵垂直．若𝐴𝐷= 8，则点𝑃到𝐵𝐶的距离是 （ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【分析】过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得𝑃𝐴= 𝑃𝐸，𝑃𝐷= 𝑃𝐸，那
么𝑃𝐸= 𝑃𝐴= 𝑃𝐷，又𝐴𝐷= 8，进而求出𝑃𝐸长．
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【详解】解：过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，如图，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，
∴𝑃𝐷⊥𝐶𝐷，
∵𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐸，𝑃𝐷= 𝑃𝐸，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐴= 𝑃𝐷，
∵𝑃𝐴+ 𝑃𝐷= 𝐴𝐷= 8，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐷= 4，
∴𝑃𝐸= 4．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，若𝐵𝐶= 4, 𝐷𝐸= 1.6，
则𝐵𝐷的长为______．
【答案】2.4
【分析】由角平分线的性质可得𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 1.6，即可得出答案．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°,𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶 , 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸= 1.6，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 1.6，
∵𝐵𝐶= 4,
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐶𝐷= 4 −1.6 = 2.4．
7．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，按以下步骤作图：①以点𝐴为圆心，适当长为半径作
弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝑀，𝑁；②分别以点𝑀，𝑁为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径作弧，两弧交于点𝑃；③
作射线𝐴𝑃交𝐵𝐶于点𝐷，若𝐴𝐵: 𝐴𝐶= 3: 5；△𝐴𝐵𝐷的面积为6，则△𝐴𝐵𝐶的面积为__________．
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【答案】16
【分析】作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，由作图可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，由角平分线的性质定理可得𝐷𝐸=
𝐷𝐹，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，
由作图可得𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，𝐴𝐵: 𝐴𝐶= 3: 5，
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐹=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
3
5，
∵△𝐴𝐵𝐷的面积为6，
∴△𝐴𝐶𝐷的面积为10，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 6 + 10 = 16．
8．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）尺规作图：如图，已知△𝐴𝐵𝐶，请在𝐴𝐶边上找一点𝐷，使得点𝐷到
𝐵、𝐶两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】如图所示，点𝐷为所求点：
【分析】作线段𝐵𝐶的垂直平分线交𝐴𝐶于𝐷即可．
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【详解】略
9．（25-26 八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的边𝑂𝐴上一点，求作：∠𝐴𝑂𝐵内部的点𝑃，
使点𝑃到点𝑂和点𝐶的距离相等且𝐶𝑃⊥𝑂𝐵．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法
【答案】
【分析】作𝑂𝐶的垂直平分线，再过点𝐶作𝑂𝐵的垂线，两线交点即为点𝑃．
【详解】略
10．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°．请用尺规作图法，在边𝐵𝐶上求作一
点D，使∠𝐵𝐴𝐷= 30°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】如图，点D 即为所求．
【分析】作∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°．
【详解】略
11．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点P 在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
垂足分别为D，E．点F，G 分别在𝑂𝐴，𝑂𝐵上，𝐷𝐹= 𝐸𝐺，连接𝑃𝐹，𝑃𝐺．求证：∠𝐷𝑃𝐹= ∠𝐸𝑃𝐺．
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【答案】证明：∵𝑃𝐷⊥𝑂𝐴, 𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝐹= 90°,∠𝑃𝐸𝐺= 90°，
∴∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑃𝐸𝐺，
∵𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点P 在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴, 𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸，
在△𝑃𝐷𝐹和△𝑃𝐸𝐺中{
𝑃𝐷= 𝑃𝐸
∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑃𝐸𝐺
𝐷𝐹= 𝐸𝐺
，
∴△𝑃𝐷𝐹≌△𝑃𝐸𝐺(SAS)，
∴∠𝐷𝑃𝐹= ∠𝐸𝑃𝐺．
【分析】先根据角平分线的性质证𝑃𝐷= 𝑃𝐸，然后再证△𝑃𝐷𝐹≌△𝑃𝐸𝐺(SAS)，最后根据全等三角形的性质
即可求解．
【详解】略
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸，𝐴𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐶的高．
(1)试说明：∠𝐵= ∠𝐷；
(2)已知𝐴𝐸= 8，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，
∴∠𝐵= ∠𝐷；
(2)𝐴𝐹= 8
【分析】（1）证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(SAS)，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，再根据角平分线的性质得到答案.
【详解】（1）略；
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（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐴𝐸，𝐴𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐶的高，即𝐴𝐸⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∵𝐴𝐸= 8，
∴𝐴𝐹= 8.
素养提升
1．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，线段𝐵𝐶的垂直平分线𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐶于点
𝐸，连接𝐵𝐸，若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 8，则△𝐴𝐵𝐸的周长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得𝐵𝐸= 𝐶𝐸，进而可得△𝐴𝐵𝐸的周长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，即可求解．
【详解】解：∵𝐷𝐸是线段𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸的周长为𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 4 + 8 = 12．
2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=
3
2 𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐷交𝐴𝐶边于点D．若△𝐴𝐵𝐶的
面积为25，则△𝐵𝐶𝐷的面积是（ ）
A．6
B．9
C．10
D．15
【答案】D
【分析】因为𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点𝐷到𝐴𝐵、𝐵𝐶的距离相等，即△
𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐷的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底𝐴𝐵和𝐵𝐶的长度比，结合已知𝐵𝐶
与𝐴𝐵的比例，可得到△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐷的面积比；因为△𝐴𝐵𝐶的面积是△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐵𝐷的面积之和，所以
结合总面积和两个三角形的面积比，可求出△𝐵𝐶𝐷的面积．
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【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵, 𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵𝐵𝐶=
3
2 𝐴𝐵，
即
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2×𝐴𝐵×𝐷𝐸
1
2×𝐵𝐶×𝐷𝐹=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
2
3 𝑆△𝐵𝐶𝐷，
又∵△𝐴𝐵𝐶的总面积25，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 25，
∴
2
3 𝑆△𝐵𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 25，
解得𝑆△𝐵𝐶𝐷= 15．
3．（25-26 七年级下·重庆大渡口·期末）如图，𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶的垂直平分线，若𝐵𝐶= 6，𝐴𝐸= 2，则
𝐵𝐸=_________．
【答案】4
【分析】根据垂直平分线的性质计算即可．
【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∵𝐴𝐸= 2，
∴𝐸𝐶= 2，
∵𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐵𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐸𝐶，
∵𝐵𝐶= 6，
∴𝐵𝐸= 6 −2，
∴𝐵𝐸= 4．
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4．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说
法：①∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶；②∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷；③∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵．其中正确的是________（填序号）．
【答案】②③
【分析】根据尺规作图判断出𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，即可作答．
【详解】解：根据尺规作图：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴②∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷正确；
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90° = ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸，故③正确；
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∵∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180° = ∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∵无法确定𝐷𝐸是否平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴无法确定∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
即无法确定①∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶，
故正确的有：②③．
5．（25-26 七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题
(1)【感知】如图①，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点𝑃是𝑂𝐶上任一点，作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝐷和
𝐸，若𝑃𝐷= 5，则𝑃𝐸=__________；
(2)【探究】如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是它的角平分线．若𝐴𝐵∶𝐴𝐶= 7 ∶5．求△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的面积
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比；
(3)【应用】如图③，△𝐴𝐵𝐶的周长是13．𝐵𝑂、𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷．若𝑂𝐷= 3，
求△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】(1)5
(2)7 ∶5
(3)
39
2
【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可；
（2）根据角平分线的性质，可知△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的高相等，面积比等于底边长的比；
（3）确定O 为△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将△𝐴𝐵𝐶面积分割为三个小三角形
面积之和，利用周长和距离计算总面积．
【详解】（1）解：∵𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐷= 5；
（2）解：作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐸和𝐹，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
设𝐷𝐸= 𝐷𝐹= ℎ，
则𝑆Δ𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× ℎ, 𝑆Δ𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐴𝐶× ℎ，
∴𝑆△
𝐴𝐵𝐷: 𝑆△
𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵: 𝐴𝐶．
∵𝐴𝐵∶𝐴𝐶= 7 ∶5，
∴△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的面积比为7 ∶5．
答：△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的面积比为7 ∶5；
（3）解：作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，𝑂𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐸和𝐹，连接𝑂𝐴，
∵𝐵𝑂、𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，𝑂𝐹= 𝑂𝐷= 3．
△𝐴𝐵𝐶的面积可分割为△𝐴𝑂𝐵、△𝐵𝑂𝐶、△𝐴𝑂𝐶 的面积之和（如图），
小学
初中
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即𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐵𝑂𝐶+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶
= 1
2 × 𝐴𝐵× 3 + 1
2 × 𝐵𝐶× 3 + 1
2 × 𝐴𝐶× 3
=
3
2 (𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶)．
∵△𝐴𝐵𝐶的周长是13，即𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 13，
∴𝑆△
𝐴𝐵𝐶=
39
2 ．
6．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时
期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如
图所示的△𝐴𝐵𝐶，其中𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出𝐵𝐶的中点𝑂；连接𝐴𝑂并延长到𝐷，使𝑂𝐷= 3𝐴𝑂．（保留作图痕迹，不写作
法）
(2)连接𝐵𝐷, 𝐶𝐷，求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图和线段的作图进行解答即可；
（2）根据等腰三角形三线合一得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．利用SAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶．点𝑂为𝐵𝐶的中点．
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∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷．
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
．
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)
7．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于
点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点F，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐸𝐹．
(1)证明：𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹．
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为18，面积为24，𝐵𝐶= 6，求𝐷𝐸的长．
【答案】(1)见解析
(2)𝐷𝐸= 4
【分析】（1）证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(AAS)，得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，即可得证；
（2）根据三角形的周长，求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 12，分割法求面积，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶, 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐹𝐷中，
{
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴点A 和点D 在𝐸𝐹的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；
（2）解：∵𝐵𝐶= 6，△𝐴𝐵𝐶的周长为18，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 12，
由（1）得△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹=
1
2 𝐷𝐸(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶) = 24，
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∴
1
2 𝐷𝐸× 12 = 24，
∴𝐷𝐸= 4．
8．（25-26 八年级上·河南信阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，E 是𝐵𝐶上一点，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
且𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点F，连接𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵𝐴𝐸= 50°，求∠𝐶的度数；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为20，𝐴𝐶= 8，求𝐷𝐶的长．
【答案】(1)32.5°
(2)6
【分析】（1）先证明𝐴𝐷是线段𝐵𝐸的垂直平分线，从而可得𝐴𝐵= 𝐴𝐸，再根据等边对等角得出∠𝐴𝐵𝐸=
∠𝐴𝐸𝐵，结合∠𝐵𝐴𝐸= 50°可求得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵= 65°，根据垂直平分线的性质得出𝐴𝐸= 𝐶𝐸，再根据等边
对等角得出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐶，然后利用三角形外角的性质得出∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶= 65°，进而求得∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐶=
32.5°；
（2）先根据△𝐴𝐵𝐶的周长为20，得到𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 20，结合𝐴𝐶= 8，可得𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 12，再根据
𝐴𝐸= 𝐶𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，可得𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 12，进而得到𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 6，从而可求得𝐷𝐶．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐷是线段𝐵𝐸的垂直平分线，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵=
1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐸) = 65°，
∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶= 65°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐶= 32.5°；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶的周长为20，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 20，
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∵𝐴𝐶= 8，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 12，
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 12，
∴2𝐷𝐸+ 2𝐸𝐶= 12，
∴𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 6，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 6．
迁移创新
1．尺规作图的历史背景可追溯至古希腊数学，其核心规则由伊诺皮迪斯在公元前5 世纪首次明确提出，
后经欧几里得在《几何原本》中系统化，成为古希腊几何学的金科玉律．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑃为边𝐴𝐶上一点，连接𝐵𝑃．
(1)请用尺规作图法作𝐵𝑃的垂直平分线𝐸𝐹，使得直线𝐸𝐹交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐵𝐶于点𝐹．（保留作图痕迹，不写作
法）
(2)在（1）的条件下，若∠𝐴𝐵𝑃= 15°，则∠𝐵𝐸𝐹的度数为________°．
【答案】(1)见详解
(2)75
【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关相
关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，作𝐵𝑃的垂直平分线𝐸𝐹，即可作答．
（2）垂直平分线的性质，可得直角，则∠𝐵𝐸𝐹= 90° −15° = 75°即可作答．
【详解】（1）解：作𝐵𝑃的垂直平分线𝐸𝐹，如图所示：
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（2）解：∵𝐵𝑃⊥𝐸𝐹，∠𝐴𝐵𝑃= 15°．
∴∠𝐵𝐸𝐹= 90° −15° = 75°．
故答案为：75
2．（25-26 七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习
项目主题：确定三角形菜园的小门位置
项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责
管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜
畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸．
方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图△𝐴𝐵𝐶；
第二步：确定菜园小门的位置．
为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点𝐷）在靠路的一边𝐴𝐵上，且到菜园另外两边（𝐴𝐶和𝐵𝐶）的
距离相等．即：𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线
方案实施：
(1)测量获得菜园的两个内角∠𝛼，∠𝛽及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段𝑎），如图所示．
请你利用尺规作出△𝐴𝐵𝐶（其中∠𝐴= ∠𝛼，∠𝐵= ∠𝛽，𝐴𝐵= 𝑎）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写
作法）；
(2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的△𝐴𝐵𝐶中作出了𝐶𝐷，确定小门的位置（点𝐷），测得
∠𝛼= 30°，∠𝛽= 60°，求出∠𝐶𝐷𝐴的度数．
【答案】(1)解：如图，△𝐴𝐵𝐶即为所求；
(2)如图，𝐶𝐷即为所求；∠𝐶𝐷𝐴= 105°
【分析】（1）先作出线段𝐴𝐵=线段𝑎，然后在点𝐴，𝐵处分别作出∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝛼，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝛽即可；
（2）作∠𝐴𝐶𝐵的角平分线与𝐴𝐵的交点即为点𝐷，根据三角形内角和定理先求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由角平分
线的定义可得∠𝐴𝐶𝐷的度数，最后再由三角形内角和定理求出∠𝐶𝐷𝐴的度数即可．
【详解】（1）略
（2）解：图略；
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∵∠𝛼= 30°，∠𝛽= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝛼−∠𝛽= 180° −30° −60° = 90°，
∵𝐶𝐷是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= 180° −∠𝛼−∠𝐴𝐶𝐷= 180° −30° −45° = 105°．
