文档内容
一、单选题
1．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．17 C．17或19 D．19
2．如图， ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若 CDE的周长为21，则BC
的长为（ △ ） △
A．16 B．14 C．12 D．6
3．若（a﹣4）2+|b﹣8|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．18 B．16 C．16或20 D．20
4．如图，在 ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
△
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
7．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则 AMN的周长为（
） △
A．30 B．36 C．42 D．188．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角
形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图， ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长
为5，面积为12，则OE+OF的值为
A．4 B． C．15 D．8
10．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时
出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等
腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
二、填空题
11．若 ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
12．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长
5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm．
13．如图，在 ABC中，∠ABC＝110°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF的度数为 __________
△
14．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为________.
15．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC//OA交OB于点C．若∠AOB＝30°，OC=4cm，则点P到OA的距离PD等于___________cm．
16．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A，得第2条线段AA；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A，得第3条线段AA；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=__．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
三、解答题
18．
如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
19．已知：如图所示，在 中， 平分 ，求证： ．
20．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G
点，试说明FG∥BE的理由．21．用一条长为 20cm 的细绳围成一个等腰三角形
①如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少
②能围成有长是 4cm 的等腰三角形吗？为什么？参考答案
1．C
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验
证能否组成三角形．
【详解】
当腰为5时，三边长分别为5，5，7，符合三角形的三边关系，则其周长是5×2+7=17；
当腰为7时，三边长为7，7，5，符合三角形三边关系，则其周长是7×2+5=19．
所以其周长为17或19．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，
而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
2．C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点，由点E为AC的中点知DE为△ABC中位线，故△ABC的周长是
△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
【详解】
∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，
∴D为BC中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴DE= AB，
∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
∴AB+AC+BC=42，
∴BC=42-15-15=12，
故选C.
【点睛】
此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.
3．D
【解析】
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根
据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】
由（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，得：a﹣4＝0，b﹣8＝0．解得：a=4，b=8．
则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为8，底边长为4．
周长为8+8+4＝20．
故选D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题的关键．
4．A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
∴ 35°.
故选A.
5．B
【解析】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
6．C
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，
∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.
故选C
考点：等腰三角形三线合一
7．A
【解析】
分析：根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MC，NO=NB，所以三角形AMN的周长
是AB+AC．
详解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB，
∵MN∥BC，∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB，
∴∠NBO=∠NOB，∠MOC=∠MCO，
∴MO=MC，NO=NB，
∵AB=12，AC=18，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．
故选A．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
8．C
【解析】
【分析】
先分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也
是满足条件的点P，由此即可求得答案.
【详解】
如图，当OA=OP时，可得P、P 满足条件，
1 2
当OA=AP时，可得P 满足条件，
3
当AP=OP时，可得P 满足条件，
4
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
连接AO，根据S =S +S ，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可.
ABC ABO AOC
△ △ △
【详解】
连接AO，如图，∵AB=AC=5，
∴S =S +S = AB•OE+ AC•OF= OE+ OF=12，
ABC ABO AOC
△ △ △
∴OE+OF= ，
故选 B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是
解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
【详解】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm ，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中
档题．
11．5．
【解析】
∵ ，∴a－1=0，b－2=0，解得a=1，b=2．
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1=2，∴1、1、2不能组成三角形．
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．
12．15【解析】
根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+ ） —（10+
）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+ ）—（x+ ）=5，解得x=5，又因
5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角
形的三边关系．
13．40°
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，BF=CF，推出∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，根据三角形内角和定理求出
∠A+∠C的度数，即可求出∠ABE+∠CBF的度数，就能求出答案．
【详解】
∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，
∴AE=BE，BF=CF，
∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，
∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=110°，
∴∠A+∠C=70°，
∴∠ABE+∠CBF=70°，
∴∠EBF=110°-70°=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，解此题的关键
是求出∠A+∠C的度数，进一步求出∠ABE+∠CBF的度数，题目比较典型，难度不大．
14．
【解析】
【分析】延长AP交BC于D,根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD,再根据等底等高的三角形的面积相等可得 =
, = ,然后求出ΔPBC的面积的面积等于 ,再进行计算即可得解.
【详解】
解：如图
延长AP交BC于D ，
BP平分∠ABC,AP⊥BP,
AP=PD,
= , =
.:.ΔPBC的面积= + = = 1=
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质,三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等,作辅助线构造出等腰
三角形是解题的关键.
15．2
【解析】
【分析】
过P作PM⊥OB于M，推出PD＝PM，根据角平分线定义和平行线性质求出∠POC＝∠CPO，推出OC＝PC＝4，
求出∠PCM＝30°，求出PM即可．
【详解】
过P作PM⊥OB于M．
∵OP平分∠AOB，∠AOB＝30°，∴∠AOP＝∠BOP=15°．
∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∠PCB＝∠AOB＝30°，∴∠POC＝∠CPO，∴PC＝OC＝4．
∵∠PCM＝30°，∴PM PC＝2．
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PM⊥OB，∴PD＝PM＝2．
故答案为2．【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，角平分线定义，平行线性质等知识点的运用，关键是综合运用这些性质进行推理，
题目比较好，是一道综合性比较强的题目．
16．9
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠AAB的度数，∠AAC的度数，∠AAB的度
1 2 1 3 2
数，∠AAC的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
4 3
解：由题意可知：AO=A A，AA=AA，…，
1 1 2 1
则∠AOA=∠OA A，∠AOA =∠A AA，…，
1 1 1 2 1 2
∵∠BOC=9°，
∴∠A AB=18°，∠AAC=27°，∠AAB=36°的度数，∠AAC=45°，…，
1 2 1 3 2 4 3
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
17．60°或120°
【解析】
【分析】
分别从 ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解△】
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
18．（1）证明见解析
（2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【详解】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2） OEF为等腰三角形
理由如△下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
19．详见解析
【解析】
【分析】
在AB上截 ，连结DE，则可证得 ，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE
为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．
【详解】
证明：在AB上截 ，连结DE，在△ADE和△ACD中，
，
， ，
∵
∴ ，
又 ，
，
，
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是在AB上截 构建全等三角形．
20．见解析
【解析】
【分析】
运用SAS证得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可确定
∠BCF=∠DCF，结合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF=CG;可以发现△CFG也是等边三角
形，则∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行线判定定理，即可判定平行．
【详解】
解：理由如下：
∵已知△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60°
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE
在△ACD和△ACE中∴△ACD≌△ACE（SAS）
∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE
∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD 即∠ACD=∠BCA=60°；
在△BCF和△ACG中
∴△BCF≌△ACG（ASA）
∴CF=CG
∴△CFG是等边三角形
∴∠CFG=60°
∴∠CFG=∠BCA=60°
∴FG∥BE（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的判定是解题的关
键．
21．（1）各边长为：8cm，8cm，4cm;（2）见解析．
【解析】
【分析】
(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;
(2)题中没有指4cm所在边是底还是腰,故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验.
【详解】
解：（1）设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，则 2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）能围成有长是 4cm 的等腰三角形， 理由：①当 4cm 为底时，腰长＝8cm；
②当 4cm 为腰时，底边＝12cm，因为 4+4＜12，故不能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为 4cm 的等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用.
