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1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 1.3 勾股定理的应用 课标要点 1.掌握勾股定理与勾股定理逆定理的核心内涵，能在真实生活情境、立体图形情境中，识 别直角三角形模型，完成边长计算、垂直判定等基础应用。 2.掌握立体图形最短路径求解方法，能通过侧面展开，将立体问题转化为平面直角三角形 问题，落实转化与化归数学思想。 3.能利用勾股定理解决生活经典模型问题，包括梯子滑动、旗杆高度、池塘测距、门框过 杆、航海方位测距等实际题型。 4.能利用勾股定理逆定理，通过三边数量关系判定直角、验证垂直，解决工程测量、方位 判断类实际问题。 5.经历实际问题抽象为几何模型的全过程，发展几何直观、模型观念、运算能力与应用意 识四大核心素养。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理a2 + b2 = c2求解实际情境中直角三角形的未知边长，规范书写解题 步骤。 2.熟练掌握立体图形（圆柱、长方体）侧面展开方法，利用勾股定理求解最短爬行路径问 题。 3.能准确从生活场景中抽象出直角三角形模型，掌握“找直角、定斜边、代公式、算结果” 的标准解题流程。 4.熟练运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形，解决生活中垂直、直角验证类 实操问题。 难点： 1.立体图形展开的空间转化，无法精准判断展开后直角三角形的两条直角边长度，容易混 淆立体边长与平面边长。 2.复杂生活情境中隐藏直角的挖掘，不会通过作辅助线构造直角三角形，导致无法套用勾 股定理解题。 3.区分勾股定理与逆定理的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知边长证直角用逆 定理，容易混淆误用。 4.最短路径问题的逻辑推理，无法理解 “两点之间线段最短” 结合勾股定理的原理，出 现路径判断错误。 第一章 勾股定理 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 知识点 勾股定理应用的总体思路 3 / 40 学科网（北京）股份有限公司 概念：勾股定理应用的本质：把生活实际问题、立体图形问题、折叠问题、方位问题，抽象转化为直角三角 形模型，再利用勾股定理a2 + b2 = c2求解未知边长、距离、高度、路径。. 随学随练 1．如图所示，一轮船以6 海里/时的速度从港口𝐴出发向东北方向航行，另一轮船以8 海里/时的速度同时 从港口𝐴出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（ ） A．20 海里 B．10 海里 C．30 海里 D．25 海里 2．把一张长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷按如图方式折叠，使顶点𝐵和𝐷点重合，折痕为𝐸𝐹．若𝐴𝐵= 15，𝐵𝐶= 25，则 𝐴𝐸的长度是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ） 特别提醒 1）勾股定理只用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用. 2）所有应用题第一步：找直角、构造直角三角形. 3）这里c指的是斜边、最长边，不可随意代换. 易错提醒 1.不建模、不画图，凭感觉代公式，极容易会错。 2.分不清直角边与斜边，公式代入颠倒。 3.单位不统一直接计算。 教材延伸 本节所有题型均基于三种数学思想：建模思想、转化思想、方程思想，是整个八上几何的核心解题思 4 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．√3 B．1 + √2 C．3 D．√5 4．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点𝐵处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点𝐴处，则蚂蚁从外壁𝐴处到内壁𝐵处的爬行最短路线长 为（杯壁厚度不计）（ ） A．12cm B．15cm C．17cm D．25cm 5．一架云梯长25分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7分米，如果梯子的顶端下滑了4分米，那 么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 6．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽 为4m． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元/m2，则购买地毯需花费多少元？ 知识点 梯子滑动模型 基本概念：墙、地面互相垂直，构成固定直角三角形。 梯子长度=斜边（恒定不变），滑动前后斜边长度不变，利用两次勾股定理求滑动距离。 5 / 40 学科网（北京）股份有限公司 随学随练 1．如图，长3m的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为1.8m，则梯子顶端距离地面的高 度为（ ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 2．如图，一根长13m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端5m．如果梯子的顶端下滑7m， 那么梯足将滑动（ ）． A．7m B．8m C．9m D．10m 3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5 米，顶端与地面的距离为2 米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端 与地面的距离为2.4 米，则两个书柜之间的距离为（ ） 特别提醒 1.梯子长度永远不变，是本题唯一隐藏条件。 2.下滑距离=原高−现高。 3.外移距离=现底距−原底距。 易错提醒 1.误以为梯子长度会变短或变长。 2.直接用原始边长加减，不重新计算前后高度。 教材延伸 梯子模型常考方程题型：已知滑动距离，设未知高建立方程求解。 6 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．1.5 米 B．2.2 米 C．2.4 米 D．2.5 米 4．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度𝐶𝐸，测得如下数据：①测得𝐵𝐷的长度 为12 m；（𝐵𝐷⊥𝐶𝐸）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐵𝐶的长为15 m；③若小明同学想使风筝沿 𝐶𝐷方向下降4 m，则他应该往回收线___________m． 5．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯𝐵𝐷水平放置，则刚好与𝐷𝐸一样长，已知滑梯的高度𝐶𝐸为3 米， 𝐵𝐶为1 米．则滑道𝐵𝐷的长度为______． 知识点 航海方位角应用模型形 定义：利用上北下南左西右东，正北、正南与正东、正西互相垂直，航行路线构成直角三角形，用勾股定理 求直线距离。 随学随练 1．一艘轮船以12 海里/时的速度从港口𝐴出发向北航行，另一轮船以5 海里/时的速度同时从港口𝐴出发向 东航行，离开港口1 小时后两船相距（ ） 特别提醒 1.北偏东、北偏西、南偏东一定先南北、后东西。 2.必须画图确定直角顶点。 易错提醒 1.方位理解颠倒（东偏北≠北偏东）。 2.看不出垂直关系，建不出直角三角形。 教材延伸 常结合勾股定理逆定理判断航行是否垂直、是否原路折返。 7 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．12 海里 B．8 海里 C．10 海里 D．13 海里 2．如图所示，甲货船以16 海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船乙以12 海里/小时的 速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3 小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（ ） A．35 海里 B．50 海里 C．60 海里 D．40 海里 3．一艘轮船位于灯塔𝑃的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的𝐴处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达𝐵 处，此时与灯塔𝑃的距离为（ ） A．27海里 B．75海里 C．50海里 D．15√3海里 4．如图所示为雷达图，规定：1 个单位长度代表100m，以点𝑂为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心 圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点𝑂处用雷达发现𝐴，𝐵两处鱼群，那么𝐴，𝐵两处鱼 群的距离是（ ） A．5m B．100m C．500m D．300m 5．如图，某港口𝑃位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时 12nmile的速度沿北偏西50°方向航行，“海天”号以每小时16nmile的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开 港口一个半小时后分别位于𝑅、𝑄处，此时两艘轮船相距________nmile． 8 / 40 学科网（北京）股份有限公司 知识点 折叠问题中的勾股定理应用 概念：根据图形折叠性质：折叠前后全等、对应边相等、对应角相等。 解题通常方法：设未知边长为 x；用折叠等量表示其余边长；在Rt△中列勾股方程求解。 随学随练 1．如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 8，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵与𝐴𝐶的中点𝐹重合，折痕为 𝐷𝐸，则𝐶𝐸的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4, 𝐴𝐷= 8，将此长方形沿𝐸𝐹折叠，使点𝐷与点𝐵重合，则𝐴𝐸的长度为 （ ） 特别提醒 1.折叠题必考方程思想，不用方程基本无法解。 2.重点抓取：折叠重合边=等量边。 易错提醒 1.找不到折叠相等边，无法列式。 2.代数式表达边长出错，方程列错。 教材延伸 属于八上期末大题高频：长方形折叠求边长、求折痕、求面积。 9 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐷= 9cm，将此长方形折叠，使点𝐵与点𝐷重合，折痕为𝐸𝐹， 则𝐵𝐹的长为（ ） A．6cm B．7.5cm C．5cm D．4cm 4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐶= 5cm，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点C 与点A 重合，得折 痕𝐷𝐸，则△𝐴𝐵𝐸的周长等于_______cm． 知识点 圆柱体图形最短路径问题 内容：圆柱侧面为曲面，曲面最短路径不能直接求。解题方法：侧面展开变长方形→两点连线为线段最短 →构造直角三角形用勾股定理。直角边：圆柱高、底面半周长。 特别提醒 1.圆柱展开底面长度是 半周长πr，不是直径！ 2.最短路径一定是平面线段。 易错提醒 1.把底面直径当成展开底边（本节最大易错点）。 2.不展开直接在曲面上连线计算。 教材延伸 圆柱最短路径公式：L = √ℎ2 + (πr)2；属于期末高频填空压轴。 10 / 40 学科网（北京）股份有限公司 随学随练 1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A 位于盒外底面的边缘，如果在A 处 有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B 处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A．13cm B．√61cm C．8cm D．2√34cm 2．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为1.5m，高为6m的柱子 上，有一条雕龙从柱底𝐴点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的𝐷点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为 （ ） A．4.5米 B．7.5米 C．12.5米 D．15米 3．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高𝐴𝐵为4，𝐵𝐶是上底的直径，一只蚂蚁从点𝐴出发，沿着圆柱的侧 面爬行到𝐶，则爬行的最短距离是________． 知识点6 长方体（立方体）表面最短路径 定义：长方体表面行走，有三种展开方式，得到三种斜边长度，取最小值即为最短路径。设长宽高分别为： 𝑎、𝑏、𝑐可得三种展开的计算公式： 1.长宽合并：√(𝑎+ 𝑏)2 + 𝑐2；2.长高合并：√(𝑎+ 𝑐)2 + 𝑏2；3.宽高合并：√(𝑏+ 𝑐)2 + 𝑎2 11 / 40 学科网（北京）股份有限公司 随学随练 1．如图，在一张边长为5cm的正方形纸板𝐴𝐵𝐶𝐷上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与𝐴𝐷平行且 相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点𝐴出发，翻过木块到达点𝐶处，则蚂蚁爬行的最短 路径长为（ ） A．12cm B．5√3cm C．(5 + √26)cm D．√74cm 2．如图，长方体的长𝐵𝐸= 20cm，宽𝐴𝐵= 10cm，高𝐴𝐷= 15cm，点𝑀在𝐶𝐻上，且𝐶𝑀= 5cm．如果一只 蚂蚁要沿着长方体的表面从点𝐴爬到点𝑀，那么它爬行的最短路程是（ ） A．15√2cm B．10√5cm C．30cm D．(5 + 5√13)cm 3．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长𝐴𝐵= 4米，宽𝐵𝐶= 1米，高𝐵𝐵′ = 2米．工作人员要 从箱底的𝐴点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的𝐶′点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是 ________米． 特别提醒 1.必须三算对比取最小，不能只算一种。 2.越“扁平”的展开面，路径越短。 易错提醒 1.只算一种直接写答案。 2.展开后找错两条直角边。 教材延伸 正方体任意两点最短路径只有两类结果，可直接秒杀选择题。 12 / 40 学科网（北京）股份有限公司 拓展 模型观念素养内涵 能够将生活实际场景、立体图形场景、动态变化场景，剥离无关信息，抽象固化为直角三角形数学模型， 利用勾股定理解决现实问题，是本章应用题的核心解题素养。 1.场景模型化能力：所有实际问题（梯子、航海、折叠、立体路径、工程测量），本质全部是直角三角 形模型，解题第一步必须完成“实景→几何图形”的转化，拒绝凭题意硬算。 2.动态模型不变量思维：梯子滑动、图形折叠、路径变换等动态问题中，抓恒定条件（梯子长度不 变、折叠边长不变），以不变应万变，是压轴题核心突破口。 3.方程模型构建能力：遇到边长未知、边长存在数量关系的题型，主动设未知数，建立勾股方程模 型，突破单纯公式计算的局限，适配所有中高难度题型。 4.模型归类迁移能力：掌握经典固定模型（圆柱展开模型、长方体三路径模型、方位角垂直模型、梯 子滑动模型），可直接迁移到同类变式题，实现举一反三。 活学活用 1．综合与实践 物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角． 如图，直线𝐸𝐹为水平平面镜，𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，𝐵𝐷⊥𝐸𝐹，垂足分别为C、D，入射点O 是线段𝐶𝐷的中点，𝑂𝑀 为法线，已知𝐴𝐶= 6 cm，𝐶𝐷= 8 cm． (1)求入射光线𝐴𝑂的长度； (2)求反射光线𝑂𝐵的长度． 2．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为400m2的 办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 13 / 40 学科网（北京）股份有限公司 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知𝐴𝐵= 12m，𝐵𝐶= 9m，𝐶𝐷= 8m，𝐴𝐷= 17m，∠𝐴𝐵𝐶= 90°． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道𝐴𝐶，则这条直道𝐴𝐶的长度为 ________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要 求． 3．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图11， 已知一辆移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上，沿东西方向由𝐴向𝐵行驶，嘉嘉家在公路的一侧点𝐶处，且点𝐶与 直线𝐴𝐵上的两点𝐴、𝐵的距离分别为𝐴𝐶= 300m，𝐵𝐶= 400m，又𝐴𝐵= 500m，假如移动广播车周边260 米以内能听到广播宣传． (1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路𝐴𝐵上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点𝐸时，嘉嘉在家刚好听 到广播，当移动广播车行驶到点𝐹时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即𝐶𝐸= 𝐶𝐹= 260米，问嘉嘉在家听 到广播宣传的时长是多长？ 拓展 几何直观素养内涵 通过画图、展开图形、还原立体结构，直观感知图形边角关系、垂直关系、线段长短关系，依托图形辅助 推理，规避逻辑漏洞，解决无图、立体、动态几何难题。 1.无图题主动作图能力：航海、测距、高度测量等无题干图形的题型，必须自主绘制简易几何示意图，精 14 / 40 学科网（北京）股份有限公司 准定位直角、边长、方位，避免审题错误。 2.立体图形平面化直观能力：具备空间想象能力，可将圆柱、长方体曲面或立体表面，直观展开为平面图 形，理解“立体最短路径=平面线段”的几何原理。 3.图形折叠直观推理能力：能直观识别折叠前后重合边、相等角、全等图形，快速锁定直角三角形位置， 精准抓取解题等量条件。 4.数形结合纠错能力：依托图形直观区分直角边与斜边、垂直与不垂直关系，杜绝公式代反、边长找错、 模型用错等低级易错点。 活学活用 4．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在 滑块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体 C 的升降．实验初始状态如图1 所示（𝐴𝐶⊥𝐵𝐶），物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离 是6dm，绳长（𝐴𝐵+ 𝐴𝐶）为18dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B 和物体C 的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下𝐴𝐵的长； (2)如图2，若物体C 上升7dm到达𝐶1的高度时，滑块B 水平向左滑动到𝐵1，求𝐵𝐵1的长． 5．如图，有一架秋千，当它静止在𝐴𝐷的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千𝐴𝐷往前推送3m （即𝐶𝐵= 3m），如图1 到达𝐴𝐵的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度𝐵𝐹为1.8m，秋千的绳索始终保持拉 直的状态． (1)求秋千𝐴𝐷的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千𝐴𝐷往前推送4m（即𝐶𝑀= 4m），如图2 求此时踏板离地的垂直高度𝑀𝑁为多 15 / 40 学科网（北京）股份有限公司 少？ 6．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三 角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边 为c）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路𝐶𝐻，现测得𝐶𝐴= 1千米，𝐴𝐵= 2.1 千米，𝐵𝐶= 1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路𝐶𝐻的长． 题型 勾股定理在网格问题中的应用 ▌例1 如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（ ） 解题贴士 利用网格横、竖线互相垂直的特点构造直角三角形，数方格得到两条直角边长a、b；运用勾股定理c = √a2 + b2计算网格内斜线段长度；若需要判断三角形形状，则结合勾股定理逆定理验证，注意找准线段 对应的直角三角形，不要随意选取方格边长. 16 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 ▌对点练1-1．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点均在格点上． (1)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积； (2)探究四边形对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷的位置关系． ▌对点练1-2．如图是由16 个边长为1 的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三 个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 题型 折叠问题 ▌例1 如图．在直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 15cm，𝐴𝐶= 9cm，现将直角边𝐴𝐶沿过点𝐴的 解题贴士 依据折叠性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；设未知边长为x，利用等量关系用含x的代数式表示 直角三角形各边长；在直角三角形中列出方程a2 + b2 = c2求解；找准折叠后形成直角三角形的位置，不 要找错等量线段. 17 / 40 学科网（北京）股份有限公司 直线折叠，使它落在𝐴𝐵边上、若折痕交𝐵𝐶于点𝐷，点𝐶落在点𝐸处，你能求出𝐶𝐷的长吗？请写出求解过 程． ▌对点练1-1 如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐴𝐵上，将△𝐴𝐷𝐸沿直线𝐷𝐸翻折，点A 恰好落在边𝐵𝐶上的 点F 处，𝐴𝐸= 13，𝐵𝐹= 12． (1)求𝐴𝐵的长； (2)求△𝐶𝐷𝐹的面积． ▌对点练1-2 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 8． (1)𝑃为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝑃沿直线𝐴𝑃翻折至△𝐴𝐸𝑃的位置（点𝐵落在点𝐸处），当点𝐸落在𝐶𝐷边上时，利 用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑）．并直接写出 此时𝑃𝐵=_______； (2)点𝑄为射线𝐷𝐶上的一个动点，将△𝐴𝐷𝑄沿𝐴𝑄翻折，点𝐷恰好落在直线𝐵𝑄上的点𝐷′处，求𝐷𝑄的长． 题型 解决梯子下滑问题 解题贴士 墙面与地面垂直，梯子长度为斜边c且长度恒定不变；初始状态由a2 + b2 = c2求出初始直角边；梯子滑 动后，再次利用c2 −a1 2 = b1 2求出滑动后的直角边长；前后边长作差，得到梯子下滑距离或底部外移距 离，禁止直接对边长进行加减运算. 18 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1 如图，长2.5m的梯子𝐴𝐵靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离𝐵𝐶= 1.5m． (1)求梯子顶端距地面的高度𝐴𝐶； (2)若梯子顶端𝐴沿墙面向下滑动0.5m，则梯子底端𝐵向右滑动______m． ▌对点练1-1 如图，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点𝐴处，底 端位于地面的点𝐶处，点𝐶到墙面的距离𝐶𝐵为0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平 方向滑动了几米？ ▌对点练1-2 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬22m长的云梯到24m高的宿舍楼顶营救“被困” 学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A 离地面4m、与宿舍外墙𝑂𝑀的距离是8m．云梯够长吗？请 说明理由． 19 / 40 学科网（北京）股份有限公司 题型 解决水杯中深度、高度问题 ▌例1 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出 水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺 的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ ▌对点练1-1 如图，已知钓鱼竿𝐴𝐶的长为10m，露在水面上的鱼线𝐵𝐶长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的 情况，把鱼竿𝐴𝐶转动到𝐴𝐶′的位置，此时露在水面上的鱼线𝐵′𝐶′长为8m，求𝐵𝐵′的长． ▌对点练1-2《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水 深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长𝐴𝐵为1 丈（1 丈= 10尺）的正方形．在水 解题贴士 将水杯竖直高度、底面半径作为两条直角边，杯内倾斜木棒为斜边，构建直角三角形；设水杯深度、木 棒外露长度等未知量，结合a2 + b2 = c2列方程求解；分清水平底面半径、竖直高度、倾斜线段三者的对 应关系，避免混淆直角边与斜边. 20 / 40 学科网（北京）股份有限公司 池正中央O 处有一根芦苇𝑂𝐶，它高出水面的部分𝐶𝐷为1 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶 端恰好到达岸边的水面，即𝑂𝐶= 𝑂𝐸． (1)求水池的深度𝑂𝐷． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池 底面边长𝐴𝐵记作2a，O 为𝐴𝐵的中点，水的深度𝑂𝐷记作b，芦苇高出水面的部分𝐶𝐷记作𝑛(𝑛< 𝑎)，则水池 的深度b 可通过计算 𝑎2−𝑛2 2𝑛得到．请说明此解法的正确性． 题型 航海问题 ▌例1 如图所示，一艘轮船以18km/h的速度离开港口O 点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以24 km/h 的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 解题贴士 按照“上北下南，左西右东”画出方位示意图，南北方向与东西方向互相垂直，形成直角三角形；提取 两段航行路程作为直角边a、b，利用c = √a2 + b2求出两点直线距离；区分行进路程与直线距离，准确 解读北偏东、北偏西等方位描述. 21 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1 如图，在离水面高度为5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子𝐵𝐶的长为13 米，此人 以0.5米/秒的速度收绳，6 秒后船移动 到点𝐷的位置． (1)求𝐶𝐷的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ ▌对点练1-2 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合 军演，如图，我军巡逻舰队在点𝐴处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15 海里的点𝐵处有可疑目标正在 以16 海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小 时后在点𝐶处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 题型 台阶地毯长度问题 ▌例1 如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5 米，𝐴𝐶= 5米，𝐴𝐵= 13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所 需防滑材料的面积至少为（ ） A．65m2 B．85m2 C．90m2 D．150m2 解题贴士 运用平移思想，地毯总长度=台阶所有竖直高度之和+台阶所有水平宽度之和；若给出台阶斜边长，可借 助勾股定理a2 + b2 = c2求出总高度、总水平长度，再相加得到地毯总长，无需分段计算每一级台阶. 22 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1 如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形𝐴𝐵𝐶．已知直角边𝐵𝐶长5m，斜边𝐴𝐵的 长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯宽为2m．那么购买这种地毯至少 需要多少元？ ▌对点练1-2 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 题型7 判断是否超速问题 ▌例1 交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在一条城市街路上 直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距 离为50m，这辆小汽车超速了吗？ 解题贴士 根据道路垂直关系构造直角三角形，用c = √a2 + b2求出车辆实际直线行驶距离；结合已知行驶时间， 利用公式v = s t计算行驶速度，将计算速度与道路限速对比，判断车辆是否超速. 23 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-1 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心𝐴到公路的垂直距离为1200 米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公 路𝐵处，距𝐴处2000 米；44 秒后，车辆行驶到公路上的𝐷处，距𝐴处1300 米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心𝐴到景观公路只有一条长为1500 米的小路𝐴𝐶．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员， 当外来车辆到达𝐷处时，安保人员同时开车从𝐴出发，沿小路𝐴𝐶进行拦截，若安保人员车速为30m/s，能 否成功在𝐶处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． ▌对点练1-2 如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行 的直线𝑙上的点𝐶处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪𝐶处正前方50 m的𝐵处，经 过4 s后，大巴车到达𝐴处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离𝐴𝐶为130 m． (1)求𝐴𝐵的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m/s = 3.6km/h） 题型8 选址问题 24 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌例1 如图，在笔直的铁路上A、B 两点相距25km，C、D 为两村庄，𝐷𝐴= 10km，𝐶𝐵= 15km，𝐷𝐴⊥ 𝐴𝐵于A，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，现要在𝐴𝐵上建一个中转站E，使得C、D 两村到E 站的距离相等，求E 应建在距 A 多远处？ ▌对点练1-1 如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投放点C 的正北方向3km处 有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km． (1)求快递投放点B，C 之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D 到 小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离． ▌对点练1-2【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为𝑎，较小的直角边长都为𝑏，斜边长 都为𝑐，大正方形的面积可以表示为𝑐2，也可以表示为4 × 1 2 𝑎𝑏+ (𝑎−𝑏)2，由此推导出重要的勾股定理： 如果直角三角形两条直角边长为𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，则𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，Rt △𝐴𝐷𝐸与Rt △𝐸𝐵𝐶按如图所示位置放置，连接CD， 解题贴士 根据题目“两处距离相等”的条件设定未知数x，在线段上确定选址位置；在图中找出两个直角三角形， 分别用含x的代数式表示边长；依据距离相等列出勾股方程 a2 + x2 = b2 + (d −x)2，解方程求出选址位 置. 25 / 40 学科网（北京）股份有限公司 其中∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄𝐶，河边原有两个取水点𝐴，𝐵，其中𝐴𝐵= 𝐴𝐶，由于某种原 因，由𝐶到𝐴的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点𝐻（𝐴、𝐻、𝐵在同一条直 线上），并新修一条路CH，且𝐶𝐻⊥𝐴𝐵.测得𝐶𝐻= 2.4千米，𝐻𝐵= 1.8千米，求新路CH 比原路CA 少多少 千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若𝐴𝐵≠𝐴𝐶时，𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐵= 7，设𝐴𝐻= 𝑥，求𝑥的值. 题型9 河宽问题 ▌例1 为了求出湖两岸𝐴，𝐵两点之间的距离，观测者小林在点𝐶设桩，使△𝐴𝐵𝐶恰好为直角三角形 (∠𝐵= 90°)，如图所示，通过测量得𝐴𝐶长为10m，𝐵𝐶长为8m，求出图中𝐴、𝐵两点之间的距离． ▌对点练1-1 如图，某渡船从点B 处沿着与河岸垂直的路线𝐴𝐵横渡，由于受水流的影响，实际沿着𝐵𝐶航 行，上岸地点C 与欲到达地点A 相距70 米，结果发现𝐵𝐶比河宽𝐴𝐵多10 米． (1)求该河的宽度𝐴𝐵；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5 米，从C 回到A 时，速度为每秒4 米，求航行总时间． 解题贴士 河岸垂线为直角边（河宽，设为a），沿岸水平距离为另一条直角边b，两点斜线距离为斜边c；选用变形 公式 a = √c2 −b2 直接计算河宽；作图明确垂直关系，河宽一定是垂线段长度，不可当成斜边. 26 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-2 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利 用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课 题 测量某水潭的宽度𝐴𝐵 测量工 具 测角仪、测距仪等 测量过 程及示 意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B 周围均被围栏所围，因此A、B 处均 无法到达，测量小组在与𝐴𝐵垂直的直线l 上取点C（𝐴𝐶⊥𝐴𝐵于点A），用测 距仪测得𝐴𝐶、𝐵𝐶的长 测量数 据 𝐴𝐶= 8米，𝐵𝐶= 17米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度𝐴𝐵． 题型10 最短路径问题 ▌例1 如图，圆柱的底面周长为6，𝐴𝐶是底面圆的直径，点P 是𝐵𝐶上一点，且𝑃𝐶= 4，一只蚂蚁从A 点出 发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短路程是多少？（请画出示意图） 解题贴士 立体图形表面最短路径遵循“两点之间线段最短”，将立体侧面展开为平面图形；构造直角三角形，两条 直角边对应立体图形的高与底面展开长度，使用c = √a2 + b2计算斜边；长方体存在多种展开方式，需 要算出多个结果后选取最小值. 27 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌例2 如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，𝐴，𝐷为长方体的两个顶点． (1)求点𝐴到点𝐷之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点𝐴爬到点𝐷，求爬行的最短路程． ▌对点练1-1 你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高0.9m、宽 1.2m的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ ▌对点练1-2 如图所示，壁虎在一座油罐的下底边𝐴处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的𝐵处有一只 害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋 路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？(𝜋取3.14， 底面周长取整数） 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-3 如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米． (1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的 高为多少分米？ (2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食 物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？ ▌对点练1-4 综合与实践，如图1，点𝐴代表某工厂大门，水平直线𝑙代表一条笔直的道路，工厂计划在道路 𝑙上建一个储物点𝐵． (1)如图，若车间在道路的另一侧点𝐶处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点𝐵处取物品，然后到车间𝐶，请画图说明，储物点𝐵设在道路𝑙的 何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路𝑙上增加一个储物点𝐷，要求储物点𝐷在储物点𝐵的右侧，两个储物点的间距固定，工作 人员每天进入工厂后，先到储物点𝐵处取物品，然后沿着道路走到储物点𝐷取物品，最后到车间𝐶，请画图 说明，储物点𝐷设在道路𝑙的何处，工作人员所走的路程最短． (2) 如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点𝐴、点𝐶到水平直线𝑙的距离分别为500 米、300 米，点𝐴、点 𝐶之间的水平距离为700 米，𝐵𝐷的长度为100 米，工作人员所走的最短路程是多少？ 29 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-5【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过 上底面的点𝐴和下底面上与点𝐴相对的点𝐶嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点𝐵在点𝐴的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿𝐴𝐵剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A． B． C． D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为5dm，4dm，3dm（即𝐴𝐵= 5dm，𝐵𝐶= 4dm， 𝐴𝐸= 3dm）的无盖长方体木箱，𝐴𝐵𝐶𝐷为底面．现在箱外的点𝐴处有一只蚂蚁，箱内的点𝐶处有一滴蜂 蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长 度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 题型11 勾股定理的逆定理的实际应用 ▌例1 为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形𝐴𝐵𝐶𝐷空地上补种草皮．如图，经测 量∠𝐵= 90°,𝐴𝐵= 6m, 𝐵𝐶= 8m,𝐶𝐷= 24m, 𝐴𝐷= 26m，若补种草皮的单价是20 元/m2，求完成补种共需 要多少钱． 解题贴士 设三角形三边为a、b、c，先确定最长边c；分别计算a2 + b2与c2，若a2 + b2 = c2，则该三角形为直角三 角形，对应场景两条线段互相垂直；若不相等，则不存在直角，多用于检测墙角、道路、支架是否垂直. 30 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌例2 图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得𝐴𝐵= 8dm，𝐵𝐶= 9dm，𝐶𝐷= 12dm， 𝐴𝐷= 17dm，其中𝐴𝐵与𝐵𝐷之间由一个固定为90°的零件连接（即∠𝐴𝐵𝐷= 90°） (1)求线段𝐵𝐷的长度； (2)安全标准规定：需满足𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． ▌对点练1-1 如图，东湖景区内有一块四边形空地𝐴𝐵𝐶𝐷，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需 要测量其面积，经测量∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 20m，𝐵𝐶= 15m，𝐶𝐷= 7m，𝐴𝐷= 24m． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30 元，请你计算购买草坪需要花多少元． 31 / 40 学科网（北京）股份有限公司 ▌对点练1-2 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄𝑀，从村庄𝑀到公路原有两个出口𝐴、𝐵，其中𝐴𝐵= 1.4km，𝑀𝐵= 1.3km，由于暴雨导致𝑀到𝐴的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁 边新修一条小路𝑀𝐶（𝐴，𝐶，𝐵在同一条直线上），测得𝑀𝐶= 1.2km，𝐵𝐶= 0.5km． (1)从村庄𝑀到公路，请通过计算说明𝑀𝐶是否为距离最近的路； (2)求新修的路𝑀𝐶比原来的路𝑀𝐴短多少？ ▌对点练1-3 项目化学习：以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案： 课题 检验自行车架是否合格 检验方式 说明书，数学定理 测量示意 图 说明：上管𝐴𝐵= 64cm，下管𝐴𝐷= 80cm，∠𝐵𝐷𝐶= 90°，后下叉𝐶𝐷= 55cm，后上叉𝐶𝐵= 73cm． 设计要求：保证𝐴𝐵∥𝐶𝐷． 32 / 40 学科网（北京）股份有限公司 检验过程 检验步骤 数值 1．计算𝐵𝐷的长度 …… 2．确定∠𝐴𝐵𝐷的角度 …… 结论 …… 请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程． 基础通关 1．一块三角形沙地三边长分别为6m, 8m, 10m，则这块沙地的面积为（ ） A．24m2 B．48m2 C．60m2 D．80m2 2．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田 的长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为𝑥步，则可列方程为（ ） A．30 + 𝑥= 50 −𝑥 B．302 + (50 −𝑥)2 = 𝑥2 C．302 + 𝑥2 = (50 −𝑥)2 D．𝑥2 + (50 −𝑥)2 = 302 3．如图所示，有一个棱长为2 米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短 路径为（ ） A．6 米 B．2√5米 C．2√3米 D．4 米 4．如图，有一块直角三角形纸片，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，将斜边𝐴𝐵翻折，使点A 落在直角边 𝐵𝐶延长线上的点D 处，折痕为𝐵𝐸，则𝐶𝐷的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投 壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cm，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） 33 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．8cm B．8.5cm C．9cm D．11cm 6．如图，超市在医院的南偏东30°的方向，且到医院的距离为600m，公园到医院的距离为800m．若公园 到超市的距离为1000m，则公园在医院的北偏东_________的方向． 7．一个圆柱形饮料罐底面周长为3 cm，高为2 cm．一只蚂蚁从底面圆周上的点𝐴处出发，沿圆柱侧面爬行 一周到点𝐵处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 8．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 3， 𝐵𝐶= 13，𝐶𝐷= 12，且∠𝐵𝐴𝐷= 90°．若连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的度数为______． 9．如图，在长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4．点E 在边𝐶𝐷上，将这张纸片沿𝐴𝐸翻折，使点D 落在 长方形内的点F 处．若直线𝐸𝐹恰好经过点B，则𝐷𝐸的长为_________． 10．一艘轮船以5 千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12 千米/时的速度 向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？ 11．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架𝐴𝐶= 80cm，𝐵𝐶= 60cm，两轮中心的距离𝐴𝐵= 34 / 40 学科网（北京）股份有限公司 100cm． (1)判断支架𝐴𝐶，𝐵𝐶是否垂直； (2)求点C 到𝐴𝐵的距离 12．某小区临街的拐角处有一块四边形空地𝐴𝐵𝐶𝐷（如图），物业准备进行绿化．经测量，∠𝐴𝐵𝐶= 90°， 𝐴𝐵= 7m, 𝐵𝐶= 24m, 𝐶𝐷= 20m,𝐴𝐷= 15m，若绿化的费用为120 元/m2，则绿化这片区域需要多少钱？ 13．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到 25 m（即𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 25 m），消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m（即𝐵𝐸= 19 m）高的 𝐵处救人后，还要从28 m（即𝐷𝐸= 28 m）高的𝐷处救人，这时消防车从𝐴处向着火的楼房靠近的距离𝐴𝐶为 多少米？（延长𝐴𝐶交𝐷𝐸于点𝑂，𝐴𝑂⊥𝐷𝐸，点𝐵在𝐷𝐸上，𝑂𝐸的长即为消防车的高4 m） 素养提升 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直 吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） 35 / 40 学科网（北京）股份有限公司 A．12 ≤𝑎≤13 B．12 ≤𝑎≤15 C．5 ≤𝑎≤12 D．5 ≤𝑎≤13 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1 个单位长度，A，B，C，D 都在格点上，以点A 为圆心，𝐴𝐵 的长为半径画弧，交𝐶𝐷于点E，则𝐶𝐸的长为（ ） A．5 −√7 B．4 −√7 C．10 −2√7 D．2√7 −5 3．如图，在4 × 4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点𝐴，𝐵，𝐶都在格点上，若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的边𝐵𝐶上的高，则𝐴𝐷的长为（ ） A．√35 5 B． 7√5 10 C．7√5 D． 7√5 5 4．某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道𝐶𝐷长100 米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一 条步行观光路线(折线𝐴𝑃−𝑃𝑄−𝑄𝐵 )，𝐴为起点，𝐵为终点．已知𝐴、𝐵到观景栈道𝐶𝐷的距离𝐴𝐷= 60米、 𝐵𝐶= 20米，要使池边观景路线𝑃𝑄为40 米，则步行观光路线的最短长度为（ ）． A．100 米 B．120 米 C．140 米 D．160 米 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程长为________cm． 6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点E、F 在边𝐴𝐵上，将边𝐴𝐶沿𝐶𝐸翻折，使点A 落在𝐴𝐵上的点D 36 / 40 学科网（北京）股份有限公司 处，再将边𝐵𝐶沿𝐶𝐹翻折，使点B 落在𝐶𝐷的延长线上的点𝐵′处．若𝐶𝐸= 8，𝐵′𝐹= 2，则线段𝐵𝐶的长为 ______，△𝐴𝐵𝐶的面积为______． 7．【问题情境】如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的高． (1)【数学知识】若𝐴𝐷= 1，𝐵𝐷= 2，𝐶𝐷= 4，求证：𝐴𝐵⊥𝐵𝐶； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁𝐵𝐷⊥ 𝐴𝐶，斜梁𝐴𝐶= 2.1 m，𝐵𝐷= 1.2 m，横梁𝐵𝐶= 2 m．若横梁𝐵𝐶与竖梁𝐴𝐵不垂直则为不安全房梁，请判 断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 8．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归 一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知𝐵𝐴= 𝐵𝐶，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D 三点在同一直线上），并修建一条观光小 路𝐴𝐷，测得𝐴𝐶= 1.5 km，𝐷𝐶= 0.9 km，𝐴𝐷= 1.2 km． 37 / 40 学科网（北京）股份有限公司 (1)判断△𝐴𝐶𝐷的形状，并说明理由； (2)求原路线𝐴𝐵的长． 9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理” 后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离𝐵𝐷的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线𝐵𝐶的长为13米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为1.7米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度𝐶𝐸； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿𝐶𝐷方向下降7米到点𝑀，那么他应该往回收线多少米？（结果保 留根号） 迁移创新 1．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 38 / 40 学科网（北京）股份有限公司 【项目准备】 求代数式√𝑥2 + 32 + √(12 −𝑥)2 + 22的最小值，√𝑥2 + 32可看作直角边分别是x 和3 的直角三角形的斜 边，√(12 −𝑥)2 + 22是直角边分别是12 −𝑥和2 的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它 们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1 所示），这时𝐵𝐶= 𝑥+ 12 −𝑥= 12，𝐴𝐵= 3， 𝐶𝐷= 2．原问题就变成“点E 在线段𝐵𝐶的何处时，𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的值最小？” 解决方法：如图2，连接𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸′，此时当点E 与点𝐸′重合时，𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的值最小，依据为 _____①_____，将𝐴𝐵延长至点F，使得𝐵𝐹=_____②_____（填线段），连接𝐷𝐹，则𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹= 3 + 2 = 5，𝐵𝐶= 𝐷𝐹= 12，易求得𝐴𝐷=_____③_____，即𝐴𝐸+ 𝐷𝐸的最小值为𝐴𝐷的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (3) 如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A 村庄到河岸的垂直距离为2km，B 村庄到河岸的垂直距离为 3km，且A，B 之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥𝑃𝑄，使得从A 到B 的路程最 短，求出这个最短路程的长． 2．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题 探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B 是直线l 上方两点，点A 到直线l 的距离为1m，点B 到直线l 的距离为3m，在 直线l 上找一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵最短． 39 / 40 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图2，作点𝐴′与点A 关于直线l 对称，连接𝐴𝐴′交直线l 于点O，连接𝐴′𝐵交直线l 于点P，连接𝐴𝑃，则 点P 即为所求，则𝑂𝐴′ =______m，𝑃𝐴 _____ 𝑃𝐴′（选填> 、<或=）； (2)如图3，过𝐴′作𝐴′𝐶∥𝑙，过B 作𝐵𝐶⊥𝐴′𝐶于C，若𝐴′𝐶= 3m，则𝐵𝐶=____m，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵=_____； 活动二：某小区有一个矩形𝐴𝐵𝐶𝐷停车场，长𝐴𝐷= 34m，宽𝐴𝐵= 30m，大门𝐸𝐹设在𝐶𝐷处，如图4，小区 内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长 为2m的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车 场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m，𝑂1、𝑂2是两个充电桩的中心，𝑂1𝑂2叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿𝐴𝐷方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距 为_______m； (4)调研发现，在停车场四个角落修4 个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为1m，需 在𝐴𝐷边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到𝑂1、𝑂2的距离的和最短，则这个最短距离为 __________m． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司
