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分层作业
1.2 一定是直角三角形吗
目 录
A 组 巩固过关
题型01 判断三边能否构成直角三角形
题型02 勾股数的认识
题型03 勾股树
题型04 网格中的直角三角形
题型05 勾股定理逆定理与三角形的面积
题型06 利用面积法求斜边上的高
题型07 方位角与勾股定理逆定理
题型08 倍长中线与勾股定理逆定理
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
判断三边能否构成直角三角形
一、单选题
1．ABC
三边分别为a 、b 、c ，在下列条件下，ABC
不是直角三角形的是（ ）
A．
8
a = ，
14
b =
，=17
c
B．
2
2
2
a
b
c
+
=
C．
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
D．
5 12 13
a b c =
∶∶
∶
∶
题型01
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【答案】A
【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐
一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：
8
a =
，
14
b =
，
17
c =
，
2
2
2
2
8
14
64 196
260
a
b
+
=
+
=
+
=
，
2
2
17
289
c =
=
，
260
289
，即
2
2
2
a
b
c
+
，
ABC
不是直角三角形，符合题意；
选项B：
2
2
2
a
b
c
+
=
，由勾股定理逆定理可知ABC
是直角三角形，不符合题意；
选项C：
3
a =
，
4
b =
，
5
c =
，
2
2
2
2
9 16
25
5
a
b
c
+
=
+
=
=
=
，
ABC
是直角三角形，不符合题意；
选项D：设
5
a
k
=
，
12
b
k
=
，
13
c
k
=
（
0
k
），
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(5 )
(12 )
25
144
169
(13 )
a
b
k
k
k
k
k
k
c
+
=
+
=
+
=
=
=
，
ABC
是直角三角形，不符合题意．
2．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（ ）．
A．4 5 6
，，
B．1
3 ，1 4 ，1
5
C．12
，，3
D．5 ， 12 ， 13
【答案】C
【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，找出每组中的最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平
方比较，若相等则可构成直角三角形．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形
为直角三角形，
A 选项：∵
2
2
5
16
25
4
41
+
=
+
=
，
2
6
36
=
，41
36
，
∴不能构成直角三角形；
B 选项：∵最长边为1
3 ，
2
2
1
1
1
1
41
4
5
16
25
400
+
=
+
=
，
2
1
1
3
9
=
，41
1
400
9
，
∴不能构成直角三角形；
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C 选项：∵最长边为2 ，
(
)
2
21
3
1 3
4
+
= +
=
，
2
2
4
=
，满足
(
)
2
2
2
1
3
2
+
=
，
∴可以构成直角三角形；
D 选项：∵最长边为13 ，(
)
(
)
2
2
5
12
5 12
17
+
=
+
=
，(
)
2
13
13
=
，17
13
，
∴不能构成直角三角形．
3．有①25 ，7 ，24；②16，20 ，12；③9，40 ，41；④4 ，6 ，8；⑤41，
2
4 ，
2
5 ，各组数为边长，
能组成直角三角形的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】若三角形三边中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，结合三角形
三边关系定理逐一验证各组数即可统计得到结果．
【详解】①25 ，7 ，24,
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，
能组成直角三角形；
②16，20 ，12，
2
2
2
12
16
144
256
400
20
+
=
+
=
=
，
能组成直角三角形；
③9，40 ，41，
2
2
2
9
40
81 1600
1681
41
+
=
+
=
=
，
能组成直角三角形；
④4 ，6 ，8，
2
2
4
6
16
36
52
+
=
+
=
，
2
8
64
=
，52
64
，
不能组成直角三角形；
⑤41，
2
4 ，
2
5 ，
2
2
4
5
16
25
41
+
=
+
=
，不满足三角形三边关系定理，
不能构成三角形，故不能组成直角三角形；
综上，能组成直角三角形的个数为3，故选C．
4．在ABC
中，若
2
2
2
0
AB
BC
AC
+
−
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
90
A
=
B．
90
B
=
C．
90
C
=
D．
60
A
=
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【答案】B
【分析】先对已知等式变形，再根据勾股定理逆定理判断直角位置即可得到结论．
【详解】解：∵
2
2
2
0
AB
BC
AC
+
−
=
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
根据勾股定理的逆定理，可知AC 为斜边，斜边AC 所对的角为
B
，
∴
90
B
=
．
5．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ）
①1，2，3；②2 ，
2 ，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3．
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为
直角三角形，依次验证每组数据即可．
【详解】解：①最长边为3，验证
2
2
1
2
1
4
5
+
= +
=
，而
23
9 5
9
=
，
，故不能构成直角三角形，不符合题意；
②最长边为2，验证(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
+
=
+
=
，与
2
2
4
=
相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意；
③最长边为5，验证
2
2
3
4
9 16
25
+
=
+
=
，与
25
25
=
相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意；
④最长边为1.3，验证
2
2
0.5
1.2
0.25 1.44
1.69
+
=
+
=
，与
2
1.3
1.69
=
相等，满足条件，能构成直角三角形，符
合题意；
综上，符合条件的有②③④，共3 组．
6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是15cm、20cm 、25cm，据此李老师判断这个教
具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180
D．勾股定理
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可.
【详解】解：∵ 三角形三边长为15cm、20cm 、25cm，
而
2
2
2
15
20
225
400
625
25
+
=
+
=
=
，
即两条较短边的平方和等于最长边的平方，
这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理.
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∴B 符合题意.
7．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6 倍，那么得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
【答案】C
【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∵三条边长同时扩大6 倍为6 ,6 ,6
a
b
c ，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
6
6
36
36
36
36
a
b
a
b
a
b
c
+
=
+
=
+
=
，(
)
2
2
6
36
c
c
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
6
6
6
a
b
c
+
=
，
∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大6 倍，那么得到的三角形是直角三角形．
8．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（ ）
A．长分别为2a，2b ，2c的三条线段一定能组成一个直角三角形
B．长分别为
2
a+
，
2
b+ ，
2
c +
的三条线段一定能组成一个直角三角形
C．长分别为a ，b ，
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
D．长分别为
2
a ，
2
b ，
2
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
【答案】A
【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，
A、∵(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
a
b
a
b
a
b
c
c
+
=
+
=
+
=
=
∴长为2 ,2 ,2
a
b
c 的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形；
B、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为5,6,7 ，
∵
2
2
5
6
25
36
61
+
=
+
=
，
2
7
49
=
，61
49
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形；
C、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为3, 4, 5 ，
∵(
)
(
)
2
2
3
4
3
4
7
+
=
+
=
，(
)
2
5
5
=
，7
5
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
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D、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为9,16,25，
∵
2
2
9
16
81
256
337
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，337
625
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
故选：A．
9．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，
那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案．
【详解】解：A、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，
2
2
2
15
20
225
400
625
24
576
+
=
+
=
=
，
∴图中只有一个直角三角形，不符合题意；
B、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，
2
2
2
15
20
225
400
625
25
+
=
+
=
=
，
∴图中有两个直角三角形，符合题意；
C、
2
2
2
7
20
49
400
449
25
625
+
=
+
=
=
，
2
2
2
15
24
225
576
801
25
625
+
=
+
=
=
，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
D、
2
2
2
7
15
49
225
274
20
400
+
=
+
=
=
，
2
2
2
20
24
400
576
976
25
625
+
=
+
=
=
，
∴图中没有直角三角形，不符合题意；
故选：B．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．在Rt
ABC
△
中，已知两边长分别为6 和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为3 4 5
：：，则该三角形是直角三角形
C．ABC
的三边分别为AB
BC
AC
，
，
，若
²
²
²
AB
BC
AC
=
+
，则
A
是直角
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D．在ABC
中，若
2 3 7
A
B
C
：
：
＝：：，则ABC
是直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可.
【详解】解：对于A：∵在Rt
ABC
△
中，两边长分别为6 和8，∴已知的两边6 和8 可能是两条直角边，或一
条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A 错误；
对于B：设三边为3 4 5
k
k
k
、、，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B 正确；
对于C：∵
²
²
²
AB
BC
AC
=
+
，∴由勾股定理逆定理，
90
C
=
（AB 对
C
），而非
A
，故C 错误；
对于D：设
2
3
7
A
x
B
x
C
x
=
=
=
、
、
，则2
3
7
12
180
15
x
x
x
x
x
+
+
=
=
=
，
，∴
7 15
105
90
C
=
=
，
故不是直角三角形，D 错误；
故选：B.
二、填空题
11．在ABC
中，a，b，c 分别是
A
，
B
，
C
的对边，若
2
(
)(
)
b
a b
a
c
−
+
=
，则
B
= ______．
【答案】90
【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断ABC
的形状，即可得到
B
的度
数．
【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：
2
2
2
b
a
c
−
=
，
移项得：
2
2
2
b
a
c
=
+
，
根据勾股定理的逆定理可知，ABC
是直角三角形，b 为斜边，
B
是b 所对的角，
因此
90
B
=
．
12．一个三角形的三边长分别是6 厘米，8厘米，9厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角
三角形．
【答案】不是
【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三
角形，否则不是直角三角形，验证三边长是否满足该关系，即可判断．
【详解】解：由题意可知三角形三边长分别为6 厘米，8厘米，9厘米，其中最长边为9厘米，
计算两条较短边的平方和：
2
2
6
8
36
64
100
+
=
+
=
，
最长边的平方为：
2
9
81
=
，
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∵100
81
，
即
2
2
2
6
8
9
+
，
故这个三角形不是直角三角形．
三、解答题
13．已知ABC
中，A
、B
、C
所对边长分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边满足
9
12
15
0
a
b
c
−
−
−
+
+
=
，
试判断ABC
的形状．
【答案】
ABC
是直角三角形
【分析】根据绝对值的非负性可求出, ,
a b c 的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵
9
12
15
0
a
b
c
−
−
−
+
+
=
，
∴
9,
12,
15
a
b
c
=
=
=
，
∵
2
2
2
9
12
15
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
14．一个三角形的周长为24cm ，三边长之比为3:4:5 ，求这个三角形三边的长度，并判断三角形的形状．
【答案】三边分别：6cm， 8cm，10cm，该三角形为直角三角形
【分析】根据三边长之比为3:4:5 ，设三边长分别为3 cm
x
，4 cm
x
，5 cm
x
，再根据周长，列方程求解即可．
【详解】解：由三边长之比为3:4:5，故设三边长为3 cm
x
，4 cm
x
，5 cm
x
，
由三角形的周长为24cm 可得3
4
5
24
x
x
x
+
+
=
，
解得
2
x =
，
三边分别：6cm，8cm，10cm，
2
2
2
6
8
10
+
=
，
∴该三角形为直角三角形．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD中，F 为CD的中点，E 是BC 上一点，且
1
4
EC
BC
=
．求证：AEF
是直角三角形．
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；由题意易得
90
B
C
D
=
=
=
，
4
AB
BC
CD
=
=
=
，
1
1
4
CE
BC
=
= ，
2
CF
DF
=
=
，然后由勾股定理可得
2
2
5
AE
AB
BE
=
+
=
，
2
2
5
EF
CE
CF
=
+
=
，
2
2
2 5
AF
AD
DF
=
+
=
，进而根据勾股定理逆定理可进
行求解．
【详解】证明：正方形ABCD的边长是4，F 为CD的中点，E 是BC 上一点，且
1
4
EC
BC
=
．
90
B
C
D
=
=
=
，
4
AB
BC
CD
=
=
=
，
1
1
4
CE
BC
=
= ，
2
CF
DF
=
=
，
3
BE
= ，
2
2
5
AE
AB
BE
=
+
=
，
2
2
5
EF
CE
CF
=
+
=
，
2
2
2 5
AF
AD
DF
=
+
=
，
2
2
2
20
5
25
AF
EF
AE
+
=
+
=
=
，
AEF
是直角三角形．
16．如图，分别以ABC
的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为
1S ，2
S ，3
S ，且
1
2
3
S
S
S
+
=
，
那么ABC
是不是直角三角形？请说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
是解题关键．分别
试卷第10 页，共61 页
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求出
1
2
3
S
S
S
、、
，再结合
1
2
3
S
S
S
+
=
，即可得出
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，说明ABC
是直角三角形．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
∵
2
1
1
π
2
2
AC
S
=
，
2
2
1
π
2
2
BC
S
=
，
2
3
1
π
2
2
AB
S
=
，
又∵
1
2
3
S
S
S
+
=
，
∴
2
2
2
1
1
1
π
π
π
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
17．在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满
生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量
90
7
ABC
AB
=
=
，
米，
24
BC =
米，
20
CD =
米，
15
AD =
米，求空地的面积．
【答案】空地的面积是
2
234m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积．
由勾股定理得
25m
AC =
，再由勾股定理的逆定理得ACD
是直角三角形．且
90
D
=
，然后由三角形面积
公式即可得出结论．
【详解】解：连接AC ，
在Rt
ABC
△
中，
7m,
24m
AB
BC
=
=
，
∴
2
2
25m
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
20
CD
m
=
，
15m
AD =
，
试卷第11 页，共61 页
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∴
2
2
2
2
15
20
625
AD
CD
+
=
=
+
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，且
90
D
=
，
∴
ACD
ABC
ABCD
S
S
S
=
+
△
△
四边形
1
1
2
2
AD CD
AB BC
=
+
1
1
20 15
7 24
2
2
=
+
150 84
=
+
(
)
2
234 m
=
．
答：空地的面积是
2
234m ．
勾股数的认识
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5
B．7，24，25
C．1
5 ，1
12 ，1
13
D．3
−，4
−，5
−
【答案】B
【分析】勾股数需满足两个条件，三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定
义逐一判断选项即可．
【详解】解：A、0.3，0.4，0.5 不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意；
B、
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，且7，24，25 都是正整数，故7，24，25 是勾股数，该选项符合题意；
C、1
5 ，1
12 ，1
13 不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意；
D、3
−，4
−，5
−不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意．
2．下列几组数，能组成勾股定理的（ ）
（1）0.3，0.4 ，0.5 （2）4 ，6 ，8（3）32， 42， 52 （4）5，12，13 （5）20 ，21，29
A．5个
B．4 个
C．3个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出各组数较小两个
题型02
试卷第12 页，共61 页
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数的平方和，与最大的数的平方进行比较，若结果相等，则能满足勾股定理，反之不能．
【详解】解：（1）
2
2
0.3
0.4
0.25
+
=
，
2
0.5
0.25
=
，故
2
2
2
0.3
0.4
0.5
+
=
，故能组成勾股定理；
（2）
2
2
4
6
52
+
=
，
2
8
64
=
，故
2
2
2
4
6
8
+
，故不能组成勾股定理；
（3）
2
2
32
42
2788
+
=
，
2
52
2704
=
，故
2
2
2
32
42
52
+
，故不能组成勾股定理；
（4）
2
2
5
12
169
+
=
，
2
13
169
=
， 故
2
2
2
5
12
13
+
=
，故能组成勾股定理；
（5）
2
2
20
21
841
+
=
，
2
29
841
=
， 故
2
2
2
20
21
29
+
=
，故能组成勾股定理；
综上，故能组成勾股定理的有3组数．
故选：C ．
3．手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，
能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．
2
7 ，
2
24 ，
2
25
B．7 ，24 ，26
C．0.7 ，2.4，2.5
D．14，48 ，50
【答案】D
【分析】勾股数是指满足
2
2
2
a
b
c
+
=
（c 为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A：(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
7
24
334177
25
+
=
，故A 不满足勾股数的定义；
对于选项B：
2
2
2
7
24
625
26
+
=
，故B 不满足勾股数的定义；
对于选项C：0.7 ，2.4，2.5 都不是正整数，故C 不满足勾股数的定义；
对于选项D：
2
2
2
14
48
2500
50
+
=
=
，且14，48 ，50都是正整数，满足勾股数的定义，故D 正确．
4．有下列各组数：①3,4,5；②8,15,17 ；③0.5,1.2,1.3；④1, 3, 2 ，其中勾股数有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的
定义逐一判断各组数是否符合．
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足
2
2
2
a
b
c
+
=
即可．
【详解】∵勾股数需为正整数，且满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，
对于①：3,4,5均为正整数，且
2
2
2
3
4
25
5
+
=
=
，∴是勾股数，
对于②：8,15,17 均为正整数，且
2
2
2
8
15
289
17
+
=
=
，∴是勾股数，
对于③：0.5,1.2,1.3均不是整数，∴不是勾股数，
对于④：1, 3, 2 中3 和
2 不是整数，∴不是勾股数．
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∴勾股数有2 组．
故选B．
二、填空题
5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅
简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾
股数为______．
【答案】13，84，85
【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数．
观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为
1
b + ，
根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13，
设第二个数字为b，则第三个数字为
1
b + ，
由勾股定理，得
(
)
2
2
2
13
1
b
b
+
=
+
，
即
2
2
169
2
1
b
b
b
+
=
+
+ ，
整理得169
2
1
b
=
+ ，
解得
84
b =
，
故
1
85
b + =
．
因此第⑥组勾股数为13,84,85．
故答案为：13,84,85．
勾股树
一、单选题
1．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，
B ，C ，D的面积分别为3，2 ，2 ，5，则正方形G 的面积为（ ）．
题型03
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A．5
B．12
C．7
D．9
【答案】B
【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可．
【详解】解：如图，
在Rt PQR
中，
2
2
2
QR
PR
PQ
=
+
，
∴
3
2
5
E
A
B
S
S
S
=
+
= +
=
，
同理可得，
7
F
C
D
S
S
S
=
+
=
，
∴
12
G
E
F
S
S
S
=
+
=
．
2．如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为
1S ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直
角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为
2
S
，按照此规律继续下去，则
2025
S
的值为（ ）
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A．
2025
1
2
B．
2024
1
2
C．
2023
1
2
D．
2022
1
2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据
面积的变化找出变化规律“
1
1
=4
2
n
n
S
−
”是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分
1S 、
2
S 、
3
S 、
4
S 的值，根据面
积的变化即可找出变化规律“
1
1
=4
2
n
n
S
−
”，依此规律即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
CDE
△
是等腰直角三角形，
DE
CE
=
，
90
CED
=
，
2
2
2
2
=
+
=2
CD
DE
CE
DE
，
2
= 2
DE
CD
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的
2
2 倍，
0
2
1
1
=2 =4=4
2
S
，
2
1
2
2
1
= 2
=2=4
2
2
S
，
2
2
3
2
1
=
2
=1=4
2
2
S
，
2
3
4
2
1
1
= 1
=
=4
2
2
2
S
，
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，
1
1
=4
2
n
n
S
−
，
2024
2022
2025
1
1
=4
=
2
2
S
，
故选：D．
二、填空题
3．如图，正方形ABCD的边AB ，CD向外作Rt
ABE
△
，Rt CDF
，
90
AEB
DCF
=
=
，以AE ，EB，
CF ，DF 为边向外作正方形，面积分别为6，2，S，11，则S的值为_______．
【答案】3
【详解】解：在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
AE
BE
AB
+
=
，
∴
2
6
2
8
AB =
+
=
同理可得：
2
2
2
DC
CF
DF
+
=
，
∴8
11
S
+
=
，
∴
3
S = ．
4．有一个边长为1 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，
三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4 个正方形（如图②），如果按此规
律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
_______．
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【答案】2026
【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律．
根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∵正方形的边长为1，
∴
2
2
1
a
b
+
= ，
由图①可知，“生长”1 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形
的面积，
∴所有正方形的面积和为：2 1
2
=
，
由图②可知，“生长”2 次后，所有正方形的面积和为：3 1
3
= ，
∴“生长”2025 次后，所有正方形的面积和为：2026 1
2026
=
．
故答案为：2026．
5．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾
股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一
生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为______．
【答案】127
【分析】本题考查图形的规律．根据前三代的正方形的个数分别为3、7、15 可得第n 代有(
)
1
2
1
n+ −
个正方
形，据此即可解答．
【详解】解：第一代有3 个正方形，
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第二代有7 个正方形，
第三代有15 个正方形，
第n 代有(
)
1
2
1
n+ −
个正方形，
故第六代有
7
2
1
127
−=
（个）正方形，
故答案为：127．
网格中的直角三角形
一、单选题
1．如图，在5 5
的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列选项
中，是直角三角形的是（ ）
A．ABC
B．BCD
C．ADC
D．ABD
【答案】B
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，
然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．
【详解】解：由网格特点，
2
2
2
2
3
13
AB =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
BC =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
CD =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
AD =
+
=
，
2
2
4
16
AC =
=
，
2
2
2
3
1
10
BD =
+
=
A.
ABC
中，
2
2
2
AC
BC
AB
+
，则ABC
不是直角三角形，故该选项不符合题意；
B.
BCD
中，
2
2
2
BD
BC
CD
=
+
，则BCD
是直角三角形，故该选项符合题意；
C.
ADC
中，
2
2
2
AC
CD
AD
+
，则ADC
不是直角三角形，故该选项不符合题意；
D.
ABD
中，
2
2
2
AB
BD
AD
+
，则ABD
不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A，B ，C 构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
题型04
试卷第19 页，共61 页
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A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
【答案】A
【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，则三角形ABC 是直角三角形．根据勾股定理求得ABC
各边的长，再利用勾股定理的逆定理
进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：设正方形地砖边长为1，
2
2
2
8
1
65
BC
=
+
=
，
2
2
2
3
2
13
AC =
+
=
，
2
2
2
6
4
52
AB =
+
=
，
在ABC
中，
2
2
52
13
65
BA
AC
+
=
+
=
，
2
65
CB =
，
2
2
2
BA
AC
CB
+
=
，
ABC
是直角三角形．
故选：A
二、填空题
3．图中，是直角三角形的序号是________．
【答案】④⑤
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角
试卷第20 页，共61 页
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形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：①三角形的三边长分别为
2
2
2 +2
2 2
=
，
2
2
1
2
5
+
=
，3，因为
2
2
2
(2 2)
( 5)
3
+
，所以
不是直角三角形，故不符合题意；
②三角形的三边长分别为
2
2
3 +4
5
=
，
2
2
1
3
10
+
=
，3，因为
2
2
2
3
( 10)
5
+
，所以不是直角三角形，故
不符合题意；
③三角形的三边长分别为
2
2
1
2
5
+
=
，
2
2
1
3
10
+
=
，
2
2
1
4
17
+
=
，因为
2
2
2
( 5)
( 10)
( 17)
+
，所
以不是直角三角形，故不符合题意；
④三角形的三边长分别为
2
2
1
3
10
+
=
，
2
2
1
3
10
+
=
，
2
2
2
4
2 5
+
=
，因为
2
2
2
( 10)
( 10)
(2 5)
，所
以是直角三角形，故符合题意；
⑤三角形的三边长分别为
2
2
2
3
13
+
=
，
2
2
2
3
13
+
=
，
2
2
1
5
26
+
=
，因为
2
2
2
( 13)
( 13)
( 26)
+
=
，
所以是直角三角形，故符合题意；
⑥三角形的三边长分别为
2
2
1
4
17
+
=
，
2
2
2
3
13
+
=
，
2
2
1
3
10
+
=
，因为
2
2
2
( 10)
( 13)
( 17)
+
，
所以不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：④⑤．
三、解答题
4．如图是由边长都为1 的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求证：
90
BCD
=
．
【答案】(1)14.5
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积；
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（1）根据正方形的面积减去4 个三角形的面积以及1 个正方形面积即可求解；
（2）根据已知边长得出
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，进而可得出
90
BCD
=
．
【详解】（1）解：四边形ABCD的面积为：5 5 2 1 2 4 2 2 5 1 2 4 1 2 1 14.5
−−−−−=
．
（2）证明：如图，连接BD．
∵
2
2
2
3
4
25
BD =
+
=
，
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1
20
5
25
BC
CD
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
BCD
=
．
5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，ABC
的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)判断BAC
的形状，并说明理由；
(2)求点A 到边BC 的距离．
【答案】(1) BAC
是直角三角形．理由见解析
(2)点A 到边BC 的距离为2
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）由题意易得
2
20
AB =
，
2
5
AC =
，
2
25
BC =
，然后利用勾股定理逆定理可求解；
（2）设点A 到边BC 的距离为h，则由等面积法可进行求解．
【详解】（1）解：BAC
是直角三角形．
理由：由题意，得
2
2
2
4
2
20
AB =
+
=
，
2
2
2
2
1
5
AC =
+
= ，
2
2
2
4
3
25
BC =
+
=
，
∴
2
2
2
25
+
=
=
AB
AC
BC ，
∴BAC
是直角三角形，且
90
BAC
=
．
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（2）∵
90
BAC
=
，
∴
1
1
5 2 5
5
2
2
ABC
S
AC AB
=
=
=
．
设点A 到边BC 的距离为h，
∴
1
5
2
ABC
S
BC h
=
=
，即1
5
5
2
h
= ，
∴
2
h =
，即点A 到边BC 的距离为2．
6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C 均落在格点上．
(1)计算线段AB 的长度 ；
(2)判断△ABC 的形状 ；
(3)写出△ABC 的面积 ；
(4)画出△ABC 关于直线l 的轴对称图形△A1B1C1．
【答案】(1) 10
(2)直角三角形
(3)5
(4)图形见解析
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）求出BC、AC 的长即可判断△ABC 的形状；
（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形，直接利用公式求面积；
（4）分别画出A、B、C 关于直线l 的轴对称点
1
1
1
A
B
C
、、
，再依次链接
1
1
1
A
B
C
、、
即可．
【详解】（1）
2
2
1
3
10
AB =
+
=
（2）
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
2
2
2
4
2 5
BC =
+
=
∴
2
2
2
20
AB
AC
BC
+
=
=
∴△ABC 的形状是一个直角三角形
试卷第23 页，共61 页
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（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形
∴
1
1
=
=
10
10=5
2
2
ABC
S
AB AC
（4）图形如图所示：
【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线
段所在的直角三角形．
勾股定理逆定理与三角形的面积
一、单选题
1．若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60 cm ，则它的面积为（ ）
A．
2
60 cm
B．
2
80 cm
C．
2
100 cm
D．
2
120 cm
【答案】D
【分析】先根据边长比例设三边长为5x，12x ，13x，结合周长求出x ，再利用勾股定理的逆定理判断三角
形为直角三角形，最后计算面积即可．
【详解】解：∵三角形三条边长之比为5:12:13
∴设三边长分别为5 cm
x
，12 cm
x
，13 cm
x
∵三角形周长为60cm
∴5
12
13
60
x
x
x
+
+
=
解得
2
x =
∴三角形三边长分别为10cm，24cm ，26cm
∵
2
2
2
10
24
100
576
676
26
+
=
+
=
=
∴该三角形是直角三角形，两条直角边为10cm和24cm
题型05
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∴面积为
2
1 10 24
120cm
2
=
．
2．如图，在四边形ABCD中，
3
AB =
，
4
BC =
，
1
CD = ，
2 6
AD =
，AB
BC
⊥
，四边形ABCD的面积为
（ ）
A．12
B．6
6
+
C．2 6
D．2 6
6
+
【答案】B
【分析】连接AC ，可知
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
，由勾股定理的逆定理得到ACD
是一个直角三角形，则
四边形面积可求．
【详解】解：连接AC ，如图所示：
在Rt
ABC
△
中，
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴ 在ACD
中，(
)
2
2
2
2 6
1
5
+
=
，
即
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
∴ACD
为直角三角形，
∴
1
1
1
1
3 4
2 6 1
6
6
2
2
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
AB BC
AD CD
=
+
=
+
=
+
=
+
四边形
.
试卷第25 页，共61 页
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二、填空题
3．在ABC
中，
3
AC =
，
2
BC =
，
7
AB =
，则ABC
的面积为 _______________．
【答案】3
【分析】根据勾股定理逆定理判断ABC
的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积．
【详解】解：由题意得
2
2
( 3)
3
AC =
= ，
2
2
2
4
BC =
=
，
2
2
( 7)
7
AB =
=
，
可得
2
2
2
3
4
7
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
根据勾股定理逆定理可知
ABC
是直角三角形，
90
C
=
，
由三角形面积公式得
1
1
3 2
3
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
．
4．如图，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
13
CD =
，
12
AD =
，四边形ABCD的面积为
_________．
【答案】36
【分析】连接AC ，利用勾股定理的逆定理可得
90
CAD
=
，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形
的面积之和求解即可.
【详解】解：连接AC ，
∵
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴
2
2
2
2
2
3
4
25
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
∵
13
CD =
，
12
AD =
，
∴
2
2
2
2
2
12
25
169,
13
169
AD
AC
CD
+
=
+
=
=
=
，
∴
2
2
2
AD
AC
CD
+
=
，
∴
90
CAD
=
，
∵
1
1
3 4
6
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
，
试卷第26 页，共61 页
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1
1 12 5
30
2
2
ADC
S
AD
AC
=
=
=
，
∴
6
30
36
ADC
ABC
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
.
5．如图，点E 在边长为13 的正方形ABCD内，
5
AE = ，
12
BE =
，求出图中阴影部分的面积是______．
【答案】139
【分析】根据题意证明
2
2
2
AE
BE
AB
+
=
，得到
90
AEB
=
，据此根据
ABE
ABCD
S
S
S
=
−
阴影
正方形
进行求解即可．
【详解】解：∵
5
AE = ，
12
BE =
，
13
AB =
，
∴
2
2
2
2
2
2
169
5
3
12
1
AE
BE
AB
=
=
=
+
+
=
∴
90
AEB
=
∴
2
1
139
2
ABE
ABCD
S
S
S
AB
AE
BE
=
−
=
−
=
△
阴影
正方形
．
三、解答题
6．如图，四边形ABCD，
2
AB
AD
=
=
，
3
BC = ，
1
CD = ，
90
A
=
．
(1)求
ADC
的度数．
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)135
(2)2
2
+
【分析】（1）连接BD，根据勾股定理逆定理得出BCD
为直角三角形，
=90
BDC
，再由等腰直角三角
形的性质确定
45
ADB
ABD
=
=
，即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接BD，
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，
∵
2
AB
AD
=
=
，
90
A
=
，
∴
2
2
2 2
BD
AD
AB
=
+
=
，
45
ADB
ABD
=
=
，
∵
2
1
CD = ，
2
8
BD =
，
2
9
BC =
，
∴
2
2
2
CD
BD
BC
+
=
，
∴BCD
为直角三角形，
=90
BDC
，
∴
135
ADC
BDC
ADB
=
+
=
（2）四边形ABCD的面积为：
1
1
1
1
2 2
1 2 2
2
2
2
2
2
2
ABD
BCD
S
S
AD AB
CD BD
+
=
+
=
+
=
+
．
7．如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，已知
25
AB =
，
15
BC =
，
9
DB =
．
(1)求AC ，CD的长；
(2)求证：ABC
是直角三角形．
【答案】(1) AC = 20 ；
12
CD =
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理先求解
12
CD =
，进一步利用勾股定理求解AC 即可．
（2）证明
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
即可．
【详解】（1）解：
CD
AB
⊥
∵
，
90
BDC
ADC
=
=
，
2
2
12
CD
BC
BD
=
−
=
．
25
AB =
，
9
DB =
，
16
AD
AB
DB
=
−
=
，
2
2
20
AC
AD
CD
=
+
=
．
试卷第28 页，共61 页
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（2）证明：
20
AC =
，
15
BC =
，
25
AB =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．
ABC
是直角三角形．
8．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得
6
AB =
，
8
BC = ，
24
CD =
，
26
AD =
，
90
ABC
=
，试求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积是96
【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再由勾股定理的逆定理判断出ACD
是直角三角形，进而可得出结
论．
【详解】解：如图，连接AC ．
在ABC
中，
90
ABC
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，
∴
2
2
6
8
10
AC =
+
=
，
∵
24
CD =
，
26
AD =
，
10
AC =
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，且
90
ACD
=
，
∴
1
1
10 24
6 8
120
24
96
2
2
ACD
ABC
S
S
S
=
−
=
−
=
−
=
阴影
△
△
．
故阴影部分的面积是96．
9．如图，在ABC
中，
2 17
BC =
，点D 在边AC 上，
8
BD =
，
2
CD =
．
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(1)猜想
ADB
的度数，并说明理由；
(2)若
17
=
AB
，求ABC
的面积．
【答案】(1)90；理由见解析
(2)68
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．
（1）利用股定理逆定理得到
90
BDC
=
，从而求出结果；
（2）利用勾股定理求出AD的长，利用AC
AD CD
=
+
求出AC 的长，最后求三角形面积即可．
【详解】（1）解：
90
ADB
=
，理由如下：
2
64
BD =
，
2
4
CD =
，
2
68
BC =
，
2
2
2
BC
BD
CD
=
+
，
90
BDC
=
，
180
90
ADB
BDC
=
−
=
；
（2）在Rt ABD
中，
由勾股定理得
2
2
2
2
17
8
15
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
17
AC
AD
CD
=
+
=
，
1
1 17 8
68
2
2
ABC
S
AC BD
=
=
=
△
．
利用面积法求斜边上的高
一、单选题
1．一个三角形的三边长分别为6cm 8cm 10cm
、
、
，则这个三角形最长边上的高是（ ）cm
A．4cm
B．3cm
C．5cm
D．4.8cm
【答案】D
【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形
面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高．
【详解】解：∵
2
2
2
6
8
36
64
100
10
，
∴该三角形是直角三角形，最长边10cm是斜边，
设最长边上的高为cm
h
，
题型06
试卷第30 页，共61 页
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∵ 三角形面积可表示为1
6 8
2，也可表示为1 10
2
h
，
∴1
1
6 8
10
2
2
h
=
，
解得
4.8
h =
．
二、填空题
2．若三角形的三边分别为1，2 ，3 ，则该三角形最大边上的高长为：________．
【答案】
6
3
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高．
【详解】解：∵1
2
3
，
∴该三角形的最大边为3 ，
∵
(
)
2
21
2
1
2
3
+
= +
=
，(
)
2
3
3
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
21
2
3
+
=
，
∴该三角形是直角三角形，直角边为1和
2 ，
设最大边上的高为h ，根据三角形面积相等可得： 1
1
1
2
3
2
2
h
=
，
化简得
3
2
h =
，
解得：
6
3
h =
．
3．在ABC
中，
5
AC = ，
12
BC =
，
13
AB =
，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是___．
【答案】60
13
【分析】作CP
AB
⊥
于P ，根据垂线段最短推出此时PC 最小，根据勾股定理的逆定理证明
90
ACB
=
，
根据三角形的面积公式求出PC ．
【详解】解：作CP
AB
⊥
于P ，
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由垂线段最短可知，此时PC 最小，
∵
5
AC = ，
12
BC =
，
13
AB =
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AC
BC
AB
PC
=
=
△
，
即1
1
5 12
13
2
2
PC
=
，
解得
60
13
PC =
．
方位角与逆定理
一、填空题
1．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方
向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里．它们离开港口一个小时后分别位于点
Q、R 处，且相距20 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行．
【答案】西北
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角
三角形进行解答．
根据题意，得出PRQ
的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出PRQ
是直角三角形，再求解即可．
【详解】解：由题知，
16
PQ =
海里，
12
PR =
海里，
20
QR =
海里，
45
SPQ
=
，
2
2
2
2
2
16
12
400
400
PQ
PR
,QR
+
=
+
=
=
，
题型07
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2
2
2
PQ
PR
QR
+
=
，
PRQ
是直角三角形，且
90
RPQ
=
，
90
45
45
SPR
RPQ
SPQ
=
−
=
−
=
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北．
二、解答题
2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A 出发，客船的速度是20nmile/h ，货船的速度是15nmile/h，
货船沿南偏东80方向航行，2h 后，货船到达B 处，客船到达C 处，此时两船相距50nmile ．求客船航行的
方向．
【答案】北偏东10
【分析】证明ABC
是直角三角形，即可求解．
【详解】解：由题意，得
15 2
30nmile
AB =
=
，
20 2
40nmile
AC =
=
，
50nmile
BC =
．
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
ABC
是直角三角形，且
90
BAC
=
．
货船沿南偏东80方向航行，
客船航行的方向为北偏东90
80
10
−
=
．
3．在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P 位于
东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航
行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口1.5小时后分别位于Q、R 处，且相距30 海里，如
果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
试卷第33 页，共61 页
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【答案】沿北偏西45（或西北）方向航行
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角
形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
求出
,
PR PQ 的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．
【详解】解：由题意可得：
12 1.5
18
RP =
=
海里，
16 1.5
24
PQ =
=
海里，
30
QR =
海里，
∵
2
2
2
18
24
30
+
=
，
∴RPQ
是直角三角形，
∴
90
RPQ
=
，
∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东45方向航行，
∴
45
RPS
=
，
∴“海天”号沿北偏西45（或西北）方向航行．
倍长中线与勾股定理逆定理
一、填空题
1．如图，在ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，边BC 的中线
2
AD =
，为了求出边BC 的长，小明同学做了以下
辅助线：延长AD到E，使DE
AD
=
，连接CE ．则BC = ________．
【答案】2 13
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握三角形全等的判定方法
是解题的关键．
题型08
试卷第34 页，共61 页
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由两边和夹角对应相等可得ABD
ECD
≌
，得到
3
EC
AB
=
= ，
2
AD
DE
=
=
，证明
AEC
△
是直角三角形，
利用勾股定理求得CD的长度即可解答．
【详解】解：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
在ADB
和
EDC
△
中，
AD
DE
ADB
EDC
BD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
ABD
ECD SAS
≌
，
∴
3
EC
AB
=
= ，
2
AD
DE
=
=
，
∴
4
AE
AD
DE
=
+
=
，
∵
5
AC = ，
∴
2
2
2
2
2
2
4
3
25
5
AE
EC
AC
=
=
=
+
+
=
，
∴
AEC
△
是直角三角形，且
90
E
=
，
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
2
3
2
13
CD
CE
DE
=
+
=
+
=
，
∴
13
CD =
，
∴
2
2 13
BC
CD
=
=
．
故答案为：2 13 ．
二、解答题
2．如图，ABC
中，点D 为BC 的中点，
5
AB =
，
3
AC =
，
2
AD =
，求：CD的长．
【答案】13
【分析】延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．利用勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形全等的判定
和性质，求解即可．
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【详解】解：延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．
∵点D 为BC 的中点，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DG
ADC
GDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BGD
≌
，
∴AC
BG
=
，
CAD
G
=
．
∵
5
AB =
，
3
AC =
，
2
AD =
，
∴
5
AB =
，
3
BG =
，
2
4
AG
AD
=
=
∵
2
2
2
3
4
5
+
=
，
∴
2
2
2
AG + BG
AB
=
．
∴
90
G
=
．
∴
2
2
2
2
3
2
13
CD
BD
BG
DG
=
=
+
=
+
=
．
3．如图，在ABC
中，
5
AB =
，
13
AC =
，BC 边上的中线
6
AD =
，延长AD至点E ，使DE
AD
=
，连接CE ．
(1)求证：CE
AB
=
；
(2)求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
61
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌
试卷第36 页，共61 页
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握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义得CD
BD
=
，证明
(
)
SAS
ECD
ABD
≌
，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先推出
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，确定
ACE
△
是直角三角形，且
90
E
=
，再根据勾股定理得
2
2
CD
DE
CE
=
+
即可．
【详解】（1）证明：∵AD是ABC
的中线，
∴CD
BD
=
，
在ECD
和ABD
中，
CD
BD
EDC
ADB
ED
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ECD
ABD
≌
，
∴CE
AB
=
；
（2）解：∵
6
AD =
，DE
AD
=
，
∴
12
AE
AD
DE
=
+
=
，
又∵
5
AB =
，
13
AC =
，
∴
5
CE
AB
=
=
，
∵
2
2
2
5
12
25 144
169
13
+
=
+
=
=
，
∴
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，
∴
ACE
△
是直角三角形，且
90
E
=
，
∴
2
2
2
2
6
5
61
CD
DE
CE
=
+
=
+
=
，
∴CD的长为
61 ．
一、单选题
1．下列各数中，能与5，12 组成一组勾股数
．．．的是（ ）
试卷第37 页，共61 页
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A．13
B．119
C．13 或119
D．10
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股定理和勾股数的知识是解题的关键．勾股数是指三个正整数满足勾
股定理，需检查选项是否为正整数且与5、12 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
．
【详解】解：当5 和12 为直角边时，斜边
2
2
5
12
13
c =
+
=
，为正整数；
当12 为斜边时，另一直角边
2
2
12
5
119
−
=
，不是正整数；
∴ 只有13 满足勾股数定义，
故选：A．
2．下列条件中，不能判定ABC
为直角三角形的个数为（ ）
①
23
a =
，
2
4
b =
，
2
5
c =
；②
2
2
2
AB
BC
AC
−
=
；③
5
a =
，
12
b =
，
13
c =
；④: :
1:2: 3
a b c =
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定
理逆定理进行排除选项即可．
【详解】解：①因为
2
2
2
81
256
337
a
b
c
+
=
+
=
，所以不能构成直角三角形；
②因为
2
2
2
AB
BC
AC
−
=
，所以能构成直角三角形；
③因为
2
2
2
5 12
17
a
b
c
+
=
+
=
，所以不能构成直角三角形；
④由: :
1:2: 3
a b c =
，可设
,
2 ,
3
a
k b
k c
k
=
=
=
，
所以
2
2
2
2
4
a
c
k
b
+
=
=
，能构成直角三角形；
综上所述：不能判定ABC
为直角三角形的个数为2 个；
故选B．
3．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并
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灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、
2
2
2
9
12
15
+
=
，
2
2
25
13
5
1
+
，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
B、
2
2
2
5
12
13
+
=
，
2
2
2
9
13
15
+
，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
C、
2
2
2
9
12
15
+
=
，
2
2
2
5
12
13
+
=
，故包含两个直角三角形，故符合题意；
D、
2
2
2
5
9
12
+
，
2
2
2
12
13
15
+
，故不包含两个直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
4．从长度分别为2cm
cm 4cm 5cm 6cm
x
，
，
，
，
的5 根长短不一的木棒中随机抽取一根，能与3cm和4cm 的木棒
围成直角三角形的概率为2
5 ，则x 是（ ）
A．5
B．7
C．7 或5
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理与概率的综合应用，先根据勾股定理确定能与3cm、4cm 围成直角三角形的木棒
长度，再结合概率条件确定x 的值．
【详解】解：∵能与3cm 4cm
、
木棒围成直角三角形，需分两种情况：
①当3cm 4cm
、
为直角边时，斜边长度为
2
2
3
4
5cm
+
=
；
②当4cm为斜边、3cm为直角边时，另一直角边长度为
2
2
4
3
7cm
−
=
；
∵从5 根木棒中抽取符合条件的概率为2
5 ，说明有2 根木棒符合条件；
已知原木棒中有5cm的木棒且长短不一，
∴需
7
x =
，此时符合条件的木棒共2 根，满足概率要求．
综上，x 是7 ．
故选：B．
5．已知ABC
的三边分别为
2
1
k −，2k ，
2
1(
1)
k
k
+
，则ABC
为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：∵(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
1
2
2
2
1
1
4
1
k
k
k
k
k
k
k
k
−
+
=
+
+
−
+
=
+
=
+
，
∴ABC
为直角三角形．
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6．下列命题：
①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；
②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a
b
c
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】D
【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案．
【详解】解：对四个命题逐一判断：
①∵题目未说明5 和12 都是直角边，当12 是斜边时，斜边不是13，∴①错误；
②∵a ，b ，c 是一组勾股数，不妨设
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
(3 )
(3 )
9
9
9
9
(3 )
a
b
a
b
a
b
c
c
+
=
+
=
+
=
=
，
∴3a ，3b ，3c 仍是勾股数，故②正确；
③∵
2
2
12
21
144
441
585
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，
2
2
2
12
21
25
+
，不满足直角三角形的条件，
∴该三角形不是直角三角形，故③错误；
④∵等腰直角三角形中a
b
c
=
，a 为斜边，
∴由勾股定理得
2
2
2
b
c
a
+
=
，代入b
c
=
得
2
2
2
a
b
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
:
:
2
:
:
2:1:1
a
b
c
b
b
b
=
=
，故④正确；
综上，正确的命题是②④．
7．如图，在ABC
中，若
10
AB =
，
6
BC =
，
8
AC = ，则AC 边上的中线BD的长为（ ）
A．5
B．4
C．2 13
D．2 10
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理可得ABC
为直角三角形，且
90
ACB
=
，再利用勾股定理解答即可．
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【详解】解：∵
10
AB =
，
6
BC =
，
8
AC = ，
∴
2
2
2
2
2
2
6
8
10
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
∴ABC
为直角三角形，且
90
ACB
=
，
∵BD是AC 边上的中线，
∴
1
4
2
=
=
CD
AC
，
∴
2
2
2
2
6
4
2 13
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
．
8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D 的边长分别是
3，5，2，3，则最大正方形E 的面积为（ ）
A．40
B．45
C．47
D．50
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意得
2
2
1
3
5
34
A
B
S
S
S
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
3
13
C
D
S
S
S
=
+
=
+
=
，
1
2
47
E
S
S
S
=
+
=
∴
．
9．如图，在ABC
中，
13,
12,
5
AB
AC
BC
=
=
=
，点D 是AC 的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
试卷第41 页，共61 页
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A．6
B．13
2
C．7
D．
61
【答案】D
【分析】先利用勾股定理的逆定理判定ABC
为直角三角形，再根据中点的定义求出CD的长度，最后在
Rt BCD
中用勾股定理计算BD的长．
【详解】解：∵
12
AC =
，
5
BC =
，
13
AB =
，
∴
2
2
2
2
12
5
144
25
169
AC
BC
+
=
+
=
+
=
，
2
2
13
169
AB =
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
C
=
．
∵点D是AC 的中点，
∴
1
6
2
CD
AC
=
=
．
∴在Rt BCD
中，
2
2
2
2
5
6
25
36
61
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
+
=
．
10．如图，Rt
ABC
△
中，BD平分
ABC
，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，如果点M，N 分别为BD
BC
，
上的
动点，那么CM
MN
+
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．4.8
D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在BA上截取BE
BN
=
，
连接ME ，可证明
(
)
SAS
BEM
BNM
≌
，得到ME
MN
=
，则当C、M、E 三点共线，且CE
AB
⊥
时，CM
ME
+
有最小值，即此时CM
MN
+
有最小值，最小值为CE 的长，可证明
90
ACB
=
，利用等面积法求出CE 的
长即可得到答案．
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【详解】解：如图所示，在BA上截取BE
BN
=
，连接ME ，
∵BD平分
ABC
，
∴
MBN
MBE
=
∠
∠
，
又∵BM
BM
BE
BN
=
=
，
，
∴
(
)
SAS
BEM
BNM
≌
，
∴ME
MN
=
，
∴CM
MN
CM
ME
+
=
+
，
∵CM
ME
CE
+
，且垂线段最短，
∴当C、M、E 三点共线，且CE
AB
⊥
时，CM
ME
+
有最小值，即此时CM
MN
+
有最小值，最小值为CE 的
长，
∵
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，
∴
2
2
2
2
2
2
6
8
100
10
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
∴
90
ACB
=
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CE
=
=
△
，
∴1
1
6 8
10
2
2
CE
=
，
∴
4.8
CE =
，
∴CM
MN
+
的最小值为4.8，
故选：C．
二、填空题
11．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，
重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第
二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________
试卷第43 页，共61 页
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【答案】511
【分析】通过观察图形，分析每一代勾股树中正方形个数的构成，归纳出第n 代正方形个数的规律，代入
8
n =
利用有理数的乘方运算进行计算．
【详解】解：第一代勾股树中正方形有1 2
3
+
= （个），
第二代勾股树中正方形有
2
1 2
2
7
+
+
=
（个），
第三代勾股树中正方形有
2
3
1
2
2
2
15
+
+
+
=
（个），
∴第n 代勾股树中正方形有
2
3
1 2 2
2
2n
+ +
+
+
+
（个），
第八代勾股树中正方形有
2
3
4
5
6
7
8
1
2
2
2
2
2
2
2
2
511
+
+
+
+
+
+
+
+
=
（个）．
12．如图，在每个小正方形的边长均为1 的正方形网格中，有三条线段, ,
a b c （线段端点都在格点上），以
这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：由图，得
2
2
2
1
2
5
a =
+
=
，
2
2
2
1
3
10
c =
+
=
，
2
2
2
3
2
13
b =
+
=
，
∵
2
2
15
13
a
c
+
=
，
即
2
2
2
a
c
b
+
，
∴三条线段, ,
a b c 不能组成直角三角形．
故答案为：不能．
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13．如图，在ABC
中，点D 是ABC
内一点，连接
,
,
AD BD AD
BD
⊥
．已知
4,
3,
13,
12
AD
BD
AC
BC
=
=
=
=
，
则图中阴影部分的面积为______．
【答案】24
【分析】在Rt ABD
中，利用勾股定理可得
5
AB =
，再利用勾股定理逆定理可得ABC
为直角三角形，且
90
ABC
=
，然后根据图中阴影部分的面积为
ABC
ABD
S
S
−
，即可求解．
【详解】解：在Rt ABD
中，
4,
3
AD
BD
=
=
，
∴
2
2
5
AB
AD
BD
=
+
=
，
∵
13,
12
AC
BC
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
13
169,
12
5
144 15
169
AC
BC
AB
=
=
+
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
BC
AB
AC
+
=
，
∴ABC
为直角三角形，且
90
ABC
=
，
∴图中阴影部分的面积为
1
1
1
1
5 12
4 3
24
2
2
2
2
ABC
ABD
S
S
AB BC
AD BD
−
=
−
=
−
=
．
14．如图，点C 为直线l 上的一个动点，AD
l
⊥于D 点，BE
l
⊥于E 点，
8
AD
DE
=
= ，
2
BE =
，当CD长
为______ 时，ABC
为直角三角形．
【答案】6 或4 或13
2
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作BF
AD
⊥
于F ，根据
矩形的性质得到
8
BF
DE
=
= ，
2
DF
BE
=
=
，根据勾股定理用CD表示出AC 、BC ，分类讨论，根据勾股
定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF
AD
⊥
于F ，如图：
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则四边形DEBF 为长方形，
∴
8
BF
DE
=
= ，
2
DF
BE
=
=
，
∴
6
AF
AD
DF
=
−
=
，
由勾股定理得，
2
2
2
2
2
6
8
100
AB
AF
BF
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
64
AC
AD
CD
CD
=
+
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
4
16
64
4
BC
CD
DE
BE
CD
CD
CD
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
，
当
90
BAC
=
时，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
即
2
2
100
64
16
64
4
CD
CD
CD
+
+
=
+
+
+
，
16
96
CD =
，
解得，
6
CD =
；
当
90
ABC
=
时，如图：作BH
AD
⊥
于H ，
由勾股定理得，
2
2
2
2
2
6
8
100
AB
AH
BH
=
+
=
+
=
，
2
2
64
AC
CD
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
4
16
64
4
BC
DE
CD
BE
CD
CD
CD
=
−
+
=
−
+
=
−
+
+
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AC
AB
BC
=
+
，
即
2
2
64
100
16
64
4
CD
CD
CD
+
=
+
−
+
+
，
16
104
CD =
，
解得：
13
2
CD =
；
当
90
ACB
=
时，在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
则
2
2
100
64
16
64
4
CD
CD
CD
=
+
+
−
+
+
，
解得：
4
CD =
，
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综上：CD的长为：6 或4 或13
2 ．
故答案为：6 或4 或13
2 ．
三、解答题
15．如图，在ABC
中，
(1)当
12
AB =
，
13
BC =
，
5
AC =
时，求ABC
的面积．
(2)当
41
AB =
，
8
BC = ，
5
AC =
时，求ABC
的面积．
【答案】(1)30
(2)16
【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算；
（1）先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，再根据直角三角形
的两条直角边，计算出三角形的面积；
（2）首先根据边长关系判断ABC
不是直角三角形，过点A 作AD
BC
⊥
于点D，根据
2
2
2
2
2
AC
CD
AB
BD
AD
−
=
−
=
列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）∵
12
AB =
，
13
BC =
，
5
AC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
12
5
169
13
AB
AC
BC
+
=
+
=
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
BAC
=
，
∴
1
1 12 5
30
2
2
ABC
S
AB
AC
=
=
=
.
（2）解：∵
41
AB =
，
8
BC = ，
5
AC =
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
41
5
66
64
8
AB
AC
BC
+
=
+
=
=
=
，
∴ABC
不是直角三角形，如图，
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过点A 作AD
BC
⊥
于点D，
∴
90
ADC
ADB
=
=
，
设BD
x
=
，则
8
CD
x
= −，
∵
2
2
2
2
2
AC
CD
AB
BD
AD
−
=
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
5
8
41
x
x
−
−
=
−
，
∴
5
x = ，
∴
5
3
BD
CD
=
=
，
，
∴
2
2
25
9
4
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
，
∴
1
1 8 4
16
2
2
ABC
S
BC
AD
=
=
=
△
．
16．如图，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，
5
AD = ，
5 5
CD =
，求四边形ABCD的面
积．
【答案】49
【分析】连接AC ，利用勾股定理求出AC 长度，利用勾股定理的逆定理得出ACD
为直角三角形，最后利
用面积公式求解．
【详解】解：如图，连接AC ．
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根据勾股定理，得
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
．
5
AD =
，
5 5
CD =
，
2
2
2
100
25
125
AC
AD
CD
+
=
+
=
=
，
ACD
为直角三角形，且
90
CAD
=
，
1
1
6 8
5 10
49
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
△
△
．
17．如图，小微同学想测量一条河的宽度MP ，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点
H ，发现MP 延长线上的点N 处有一棵大树，用测距仪测得
34
=
MH
米，
30
=
NH
米，
31
=
HP
米，已知
16
MN =
米，请你计算这条河的宽度MP ．（结果保留根号）
【答案】(
)
16
61
−
米．
【分析】根据勾股定理的逆定理，确定
90
N
=
，再利用勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：
16
MN =
米，
30
=
NH
米，
34
=
MH
米，
2
2
2
MN
NH
MH
+
=
，
MNH
为直角三角形，且
90
N
=
，
在Rt NPH
中，
31
=
HP
米，
30
=
NH
米，
2
2
61
NP
HP
NH
=
−
=
米，
(
)
16
61
MP
MN
NP
=
−
=
−
米，
即这条河的宽度MP 为(
)
16
61
−
米．
18．如图．四边形ABCD中，
90 ,
3,
4
ABC
AB
BC
=
=
=
，连接AC ，且AC
CD
=
，若
5 2
AD =
，求BD的
长．
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【答案】
65
【分析】根据
90
ABC
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，利用勾股定理求出
5
AC
CD
=
=
；过点D 作DE
BC
⊥
交BC 延
长线于E ，利用勾股定理得到ACD
是直角三角形，再证明
ABC
CED
△
≌△
得到CE ，DE 的长，最后，利用
勾股定理求出BD的长即可．
【详解】解：∵
90
ABC
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵AC
CD
=
，
∴
5
CD = ；
过点D作DE
BC
⊥
交BC 延长线于E ．
∴
90
CED
=
，
∵
5 2
AD =
，
∴
2
2
50
AC
CD
+
=
，
(
)
2
2
5 2
50
AD =
=
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，
90
ACD
=
，
∴
90
BAC
ACB
ACB
ECD
+
=
+
=
，
∴
BAC
ECD
=
．
在ABC
和
CED
△
中，
ABC
CED
BAC
ECD
AC
CD
=
=
=
，
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∴
(
)
ABC
CED AAS
≌
，
∴
3
AB
CE
=
=
，
4
BC
DE
=
=
，
∴
7
BE
BC
CE
=
+
=
，
∴
2
2
65
BD
BE
DE
=
+
=
．
19．如图，ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，BC 边上的中线
2
AD =
，延长AD到点E，使得DE
AD
=
，连接CE ．
(1)求证：DEC
DAB
≌
；
(2)求BC 的长；
(3)求ABC
的面积．
【答案】(1)证明：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
又∵
ADB
EDC
AD
ED
=
=
，
，
∴
(
)
DEC
DAB SAS
≌
；
(2)2 13
(3)6
【分析】（1）利用SAS即可证明DEC
DAB
≌
；
（2）可证明
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，得到
90
AEC
=
；再利用勾股定理求出CD的长即可得到答案；
（3）由全等三角形的性质得到
ABD
ECD
S
S
=
，则可证明
ABC
ACE
S
S
=
，据此根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵DEC
DAB
≌
，
∴
3
CE
AB
=
=
，
∵
2
DE
AD
=
=
，
∴
4
AE
AD
DE
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
4
3
16
9
25
AE
CE
+
=
+
=
+
=
，
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又∵
2
2
5
25
AC =
=
，
∴
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，
∴
90
AEC
=
；
在Rt
CED
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
3
2
13
CD
CE
DE
=
+
=
+
=
，
∵AD是ABC
的中线，
∴
2
2 13
BC
CD
=
=
；
（3）解：∵DEC
DAB
≌
，
∴
ABD
ECD
S
S
=
，
∴
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
ECD
ACD
S
S
=
+
ACE
S
=
1
2 AE CE
=
1
4 3
2
=
6
=
．
20． 如图1， 在三角形ABC 中，AD为BC 边上的高．
(1)若
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
， 求证： AB
AC
⊥
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
=
时，ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
⊥
于点 D．经测量，斜梁
5m
AC =
，
2.4m
BD =
，横梁
4m
BC =
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
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(2)正确，理由见解析
(3)这个房梁安全，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
=
−
①，
2
2
2
AD
AB
BD
=
−
②，
+
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
=
−
+
−
=
+
−
−
，结合
2
AD
BD CD
=
，化简得
(
)
2
2
2
BD
CD
AC
AB
+
=
+
，即
2
2
2
BC
AC
AB
=
+
，即可得出结论；
（3）根据勾股定理得
(
)
3.2 m
CD =
，再得到
(
)
3 m
AC =
，再进一步即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在ABC
中，AD为BC 边上的高，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
∵
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
20,
4
8
80
AC
AD
CD
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
，
10
BC
CD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
100
10
AC
AB
BC
+
=
=
=
，
∴
90
BAC
=
，
∴AB
AC
⊥
；
（2）解：正确，理由如下：
AD
BC
⊥
，
∴在Rt ACD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
=
−
①，
在Rt ABD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AB
BD
=
−
②，
+
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
=
−
+
−
=
+
−
−
，
2
AD
BD CD
=
，
2
2
2
2
2BD CD
AC
AB
CD
BD
=
+
−
−
，
∴
2
2
2
2
2
BD
BD CD
CD
AC
AB
+
+
=
+
，
∴(
)
2
2
2
BD
CD
AC
AB
+
=
+
，即
2
2
2
BC
AC
AB
=
+
，
ABC
为直角三角形；
（3）解：安全，理由如下：
4m
BC =
，
2.4m
BD =
，BD
AC
⊥
，
在Rt BCD
中，根据勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2.4
3.2 m
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
小学
初中
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∴
5 3.2
1.8
AD = −
=
，
∴
2
2
3
AB
AD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
3
4
25
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
ABC
是直角三角形，
∴这个房梁安全．
一、单选题
1．如图，在ABC
中，ABC
的平分线交AC 于点D，E 为线段BD上一动点，F 为边AB 上一动点，若
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD
DC
=
= ，则AE
EF
+
的最小值为（ ）
A．4
B．2 7
C．10
D．24
5
【答案】D
【分析】在BC 边上取点G 使BG
BF
=
，连接EG ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，证明EBF
EBG
≌
，可得
EF
EG
=
，从而得到AE
EF
AE
EG
+
=
+
，当点A，E，G 三点共线时，AE
EF
+
取得最小值，最小值为AH 的
长，再根据勾股定理的逆定理可得ABD
为直角三角形，且BD
AD
⊥
，然后证明ABD
CBD
≌
，
5
AB
BC
=
=
，
再根据
1
1
2
2
ABC
S
BD
AC
AH
BC
=
=
，即可求解．
【详解】解：如图，在BC 边上取点G 使BG
BF
=
，连接EG ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，
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∵
ABC
的平分线交AC 于点D，
∴
EBF
EBG
=
，
∵BG
BF
=
，BE
BE
=
，
∴
(
)
EBF
EBG SAS
≌
，
∴EF
EG
=
，
∴AE
EF
AE
EG
+
=
+
，
当点A，E，G 三点共线时，AE
EF
+
取得最小值，最小值为AH 的长，
在ABD
中，
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD = ，
∴
2
2
2
BD
AD
AB
+
=
，
∴ABD
为直角三角形，且BD
AD
⊥
，
∴
90
ADB
CDB
=
=
，
∵
,
AD
CD BD
BD
=
=
，
∴
(
)
ABD
CBD SAS
≌
，
∴
5
AB
BC
=
=
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
BD
AC
AH
BC
=
=
，
∴
(
)
1
1
4
3 3
5
2
2 AH
+
=
，
∴
24
5
AH =
．
则AE
EF
+
的最小值为24
5
二、解答题
2．第12 届世界运动会于2025 年8 月7 日至8 月17 日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更
试卷第55 页，共61 页
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多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知
16km
AB =
，
20km
AC =
，
13km
BD =
，点B 在点C 的正西方向，点D 在点C 的正北方5km处．
(1)试判断AB 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A 飞到D，求线段AD的长度．
【答案】(1) AB 与BC 的位置关系为AB
BC
⊥
，理由见解析；
(2)线段AD的长度为3 65km．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
（1）由勾股定理可得BC ，根据勾股定理的逆定理可得
90
ABC
=
，从而可得AB 与BC 的位置关系；
（2）作AP
CD
⊥
，交DC 延长线于点P ，则四边形ABCP是长方形，根据勾股定理即可得线段AD的长度．
【详解】（1）解：AB 与BC 的位置关系为AB
BC
⊥
，理由：
根据题意可知，
13km
BD =
，
5
CD
km
=
，
90
BCD
=
，
∴
(
)
2
2
13
5
12
BC
km
=
−
=
，
又∵
16km
AB =
，
20km
AC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
16
12
20
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，
∴AB
BC
⊥
．
（2）解：作AP
CD
⊥
，交DC 延长线于点P ，则四边形ABCP是长方形，
∴
90
P
=
，
16
CP
AB
km
=
=
，
12
AP
BC
km
=
=
，
∴
(
)
5 16
21
DP
km
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
21
12
3 65
AD
km
=
+
=
∴线段AD的长度为3 65km．
试卷第56 页，共61 页
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3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16 页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分
别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．
【解决问题】：已知在ABC
中，
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)15
(2)有，见解析
【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
(2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC 为直角三角形，直接两直角边的积除以2 求面积，
【详解】（1）∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
∴
4
7.5 8.5
10
2
p
+
+
=
=
∴
(
) (
) (
)
10
10
4
10
7.5
10
8.5
10 6 2.5 1.5
225
15
ABC
S
=
−
−
−
=
=
=
△
（2）证明：∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
∴
2
2
64
4
16
4
AC =
=
=
，
2
2
15
225
2
4
BC
=
=
，
2
2
17
289
2
4
AB
=
=
∴
2
2
2
64
225
289
4
4
4
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
∴
90
C
=
所以∆ABC 为直角三角形；
∴
1
1
4 7.5
15
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
△
【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
4．解决问题
试卷第57 页，共61 页
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(1)如图1，Rt
Rt
ABE
DEC
≌
△
△
，
90
A
D
=
=
，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1 证明勾股定
理
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)如图2，AD
CD
⊥
，
13
AB =
，
12
BC =
，
4
AD =
，
3
CD =
，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决
定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，使
,
CH
AB
⊥
现测得
1.3
CA =
千米，
1.4
AB =
千米，
1.5
BC =
千米，求新修路CH 的长为______千米．（只填空）
【答案】(1)见详解；
(2)24；
(3)1.2
【分析】
（1）根据三角形全等以及
90
A
D
=
=
可得
90
BEC
=
，再由三角形面积公式可分别求解出
BEC
、
ABE
与DEC
的面积，再由梯形面积公式求解出梯形ABCD的面积，由此可证勾股定理；
（2）根据勾股定理可求解AC 的长度，再由勾股定理逆定理可得
ACB
为90 度，分别计算ABC
与ACD
的
面积即可求解阴影面积；
（3）设AH
x
=
，在Rt AHC
中由勾股定理表示
2
2
2
CH
AC
AH
=
−
，在Rt
BHC
△
中由勾股定理表示
2
2
2
CH
BC
BH
=
−
，列式求解x 的值，再回代求CH 即可．
【详解】（1）证明：
R
Rt
t D
AB
C
E
E
≌
，
AEB
DCE
=
，
90
A
D
=
=
，
90
DEC
DCE
+
=
，
90
DEC
AEB
+
=
，即
90
BEC
=
，
2
1
1
1
2
2
2
2
BEC
ABE
DEC
c
S
S
S
c c
a b
a b
ab
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)(
)
2
2
1
2
2
ABCD
a
b
S
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
梯形
，
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ab
+
+
=
+
，即
2
2
2
a
b
c
+
=
；
（2）解：
AD
CD
⊥
，
4
AD =
，
3
CD =
，
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2
2
2
2
3
4
5
AC
CD
AD
=
+
=
+
=
，
13
AB =
，
12
BC =
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
5 12
3 4
24
2
2
ABC
ACD
S
S
S
=
−
=
−
=
阴影
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设AH
x
=
千米，则
(
)
1.4
BH
x
=
−
千米，
CH
AB
⊥
，
90
CHA
CHB
=
=
，
在Rt AHC
中，
2
2
2
CH
AC
AH
=
−
，
在Rt
BHC
△
中，
2
2
2
CH
BC
BH
=
−
，
2
2
2
2
AC
AH
BC
BH
−
=
−
，即
(
)
2
2
2
2
1.3
1.5
1.4
x
x
−
=
−
−
，
整理得，2.8
1.4
x =
，
解得，
0.5
x =
，
0.5
AH
=
千米，
2
2
2
2
1.3
0.5
1.2
CH
AC
AH
=
−
=
−
=
（千米），
答：新修路CH 的长为1.2 千米．
5．如图①，在ABC
中，若
6
AB =
，
4
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】
（1）解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E ，使DE
AD
=
，再连接BE（或将ACD
绕着点D 逆时
针旋转180得到EBD
，把AB 、AC ，2AD集中在ABE
中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出
中线AD的取值范围是________；
【应用】
（2）如图②，在ABC
中，点D 为边BC 的中点，已知
10
AB =
，
6
AC =
，
4
AD =
，求BC 的长；
【拓展】
（3）如图③，在ABC
中，
90
C
=
，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，过点D 作DN
DM
⊥
交边
AC 于点N，连接MN ．已知
1
AM = ，
3
BN =
，则MN 的长为________．
试卷第59 页，共61 页
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【答案】（1）1
5
AD
（2）4 13 （3）
10
MN =
【分析】（1）根据
(
)
SAS
CAD
BED
≌
，得到BE
AC
=
，利用三角形三边关系定理解答即可．
（2）延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．证明
(
)
SAS
CAD
BGD
≌
，
得到
10
AB =
，
6
BG =
，
2
8
AG
AD
=
=
，根据勾股定理的逆定理，证明
90
CAD
G
=
=
．根据勾股定理解
答即可．
（3）延长MD到点Q；使DQ
MD
=
，连接
,
BQ NQ ，先证明
(
)
SAS
MAD
QBD
≌
，再证明BQ
AC
∥
，得到
直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证．
本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，
熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：延长AD到点E；使DE
AD
=
，连接BE．
∵AD是边BC 上的中线，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DE
ADC
EDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BED
≌
，
∴AC
BE
=
．
∵
<
<
AB
BE
AE AB
BE
−
+
,
试卷第60 页，共61 页
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∴
<
<
AB
AC
AE AB
AC
−
+
，
∵
6
AB =
，
4
AC =
，
∴2
2
10
AD
故1
5
AD
．
故答案为：1
5
AD
．
（2）解：延长AD到点G；使DG
AD
=
，连接BG ．
∵AD是边BC 上的中线，
∴DC
DB
=
，
∵
AD
DG
ADC
GDB
DC
DB
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
BGD
≌
，
∴AC
BG
=
，
CAD
G
=
．
∵
10
AB =
，
6
AC =
，
4
AD =
，
∴
10
AB =
，
6
BG =
，
2
8
AG
AD
=
=
∵
2
2
2
AG + BG
AB
=
．
∴
90
CAD
G
=
=
．
∴
2
2
2 13
DC
AD
AC
=
+
=
，
故
2
4 13
BC
DC
=
=
．
（3）解：延长MD到点Q；使DQ
MD
=
，连接
,
BQ NQ ．
∵点D 是AB 的中点，DN
DM
⊥
，
∴AD
DB
=
，直线DN 是线段MQ 的垂直平分线，
∴MN
QN
=
，
试卷第61 页，共61 页
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∵
AD
DB
ADM
BDQ
DM
DQ
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
MAD
QBD
≌
，
∴AM
BQ
=
，
A
DBQ
=
．
∴BQ
AC
∥
，
∵
90
C
=
∴
90
QBN
=
，
∵
1
AM = ，
3
BN = ，
∴
2
2
10
NQ
BN
BQ
=
+
=
∴
10
MN =
．
故答案为：10 ．
