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1.2 认识三角形与全等三角形
课标要点
1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本性质，熟练运用三角形三边关系，判断三条线段
能否构成三角形，求解三角形边长的取值范围；掌握三角形内角和定理，能运用性质进行
角度计算与简单几何推理。
2.认识三角形的三种重要线段，理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三种线段
的画法与基本性质，了解线段交点的特征，能运用相关性质解决三角形面积、边长、角度
的基础计算问题。
3.理解全等图形、全等三角形的概念，明确全等三角形能够完全重合的本质特征，掌握全
等三角形的规范书写方式，能精准识别全等图形、全等三角形中的对应顶点、对应边、对
应角。
4.掌握全等三角形的核心性质，牢记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用该性质
进行线段长度、角度大小的计算，完成基础的几何说理与简单推理问题。
5.初步建立平面几何图形认知与几何推理思维，规范几何语言的表达与书写，能结合图形
分析三角形、全等三角形的数量关系与位置关系，为后续几何证明、全等判定学习奠定基
础。
学习重难点
重点：
1.三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用知识点进行计算
与简单几何说理。
2.三角形中线、角平分线、高线的定义、画法及基础性质，能运用三种特殊线段的性质解
决基础几何问题。
3.全等三角形的概念、表示方法，准确识别全等三角形的对应边、对应角。
4.全等三角形的性质，熟练利用对应边相等、对应角相等的结论，完成线段、角度的计算
与基础几何推理。
难点：
1.灵活运用三角形三边关系，结合分类讨论思想求解含参数边长、不确定边长的取值范围，
解决三角形构成判定问题。
2.熟练绘制直角三角形、钝角三角形的高线，区分不同三角形中中线、角平分线、高线的
位置差异，规避概念混淆与画图错误。
第一章
三角形
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3.在图形平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素。
4.综合运用三角形边角性质与全等三角形性质，完成多步几何推理，规范书写几何语言，
构建完整、严谨的简易推理逻辑链。
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知识点
三角形的概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。
2.三角形的三要素：
顶点：三条线段的三个端点，一个三角形有3 个顶点。
边：组成三角形的三条线段，一个三角形有3 条边。
内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角，一个三角形有3 个内角。
3.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C 的三角形记作△ABC，读作“三角形
ABC”。三条边可记作AB、BC、AC，也可对应顶点小写字母记作𝑐、𝑎、𝑏。
随学随练
1．（25-26 八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级上·河北邢台·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边的对角是（ ）
A．∠𝐴
B．∠𝐵
C．∠𝐶
D．以上都不对
3．如图，写出一个以∠𝐵为角的三角形是____________．
易错提醒
容易忽略定义中的“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”两个关键条件。三条线段在同一直线上无
法围成三角形，线段没有首尾相接也不能构成封闭三角形，做题时需重点甄别。
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知识点
三角形的分类
三角形有两种分类标准，分别按角分类、按边分类。
1. 按内角大小分类
锐角三角形：三个内角都是锐角（角度均小于90°）的三角形。
直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，可用Rt△表示，如Rt△ABC。直角三角形有两
条直角边、一条斜边，斜边为最长边。
钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。
2. 按边的长短关系分类
不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。其中相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶
角，腰与底边的夹角叫底角。
等边三角形（正三角形）：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。
随学随练
1．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
2．（25-26 七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上皆有可能
3．（25-26 八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______．
三角形{
锐角三角形
?
钝角三角形
知识点
三角形内角和定理（重点）
易错提醒
1）按角分类时：一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角，不存在两个直角或两
个钝角的三角形；
2）按边分类时：等边三角形属于等腰三角形的特例，做题判断题中“等腰三角形是等边三角形”为错
误的，“等边三角形是等腰三角形”为正确的。
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1.三角形内角和定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。
2.定理应用：①已知三角形两个内角的度数，求第三个内角；②已知三角形内角的数量关系，列方程求内
角度数；③判断三角形的形状（通过计算最大内角的度数判断）。
随学随练
1．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）如图，已知𝑎∥𝑏，∠1 = 25°，∠2 = 50°，则∠3的度数为（ ）
A．145°
B．140°
C．115°
D．105°
2．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，若∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 210°，则∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=________°．
3．（25-26 七年级下·河北衡水·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，点𝐸在𝐵𝐶边上，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
垂足为𝐹，∠1 = ∠2．
(1)试说明𝐷𝐺∥𝐵𝐶；
(2)若∠𝐵= 34°，∠𝐴𝐶𝐷= 46°，求∠3的度数．
特别提醒
1）直角三角形的两个锐角互余（和为90°），可直接用于快速计算角度；
2）三角形内角和与平行线性质、角平分线结合的题型是常考题型，解题核心始终围绕内角和180°推
导。
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知识点
三角形的三边关系（重点）
1.核心定理：三角形任意两边的和大于第三边。
2.推论：三角形任意两边的差小于第三边。
随学随练
1．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（ ）
A．1cm,3cm, 4cm B．2cm,4cm, 5cm
C．6cm, 3cm, 2cm D．2cm, 5cm, 8cm
2．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸𝐴，𝐵间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点
𝑂，测得𝑂𝐴= 10m，𝑂𝐵= 6.5m，那么𝐴，𝐵间的距离可能是（ ）
A．3m
B．12m
C．17m
D．20m
3．（25-26 七年级下·重庆·期中）已知𝑎、𝑏、𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三边长，化简：2√(𝑎−𝑏−𝑐)2 −
√(𝑏−𝑐−𝑎)3
3
=_________．
知识点
与三角形有关的线段（重点）
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段，叫作三角形的角平分线。
2.三角形的角平分线的性质：
特别提醒
易错提醒
如果明确了𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0为一元二次方程，就隐含了𝑎≠0这个条件.
教材延伸
三角形中，大边对大角，小边对小角。即边长越长，对应的内角越大；边长越短，对应的内角越小，可
用于快速比较三角形边角大小。
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①三角形的角平分线平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角；
②任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心；
③三角形内心到三角形三边的距离相等。
3.三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。
4.三角形的中线的性质：
三角形的中线平分对边，将对边分为两条相等的线段；
任意三角形的三条中线全部在三角形内部，且三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；
三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）；
三角形重心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍。
5.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角
形的这条边上的高（高线）。
6.三角形的高的作用：专门用于求三角形面积，面积公式：𝑆=
1
2 × 底× 高。
7.三角形高所在的位置
锐角三角形：三条高全部在三角形内部，交点在三角形内部；
直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在斜边内部，三条高的交点为直角顶点；
钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条边上的高在三角形外部（需延长对边作垂线），三条
高的交点在三角形外部。
易错提醒
1）三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线、不是射线；
2）钝角三角形两条高在外部，作图时必须先延长对边再作垂线，不能直接在三角形内部画，考试作图
题极易出错；
3）中线平分三角形面积，不平分周长！切勿主观认为中线可以平分三角形周长，周长是否相等需单独
计算验证。
教材延伸
内心、重心、垂心汇总：
角平分线交点：内心（到三边距离相等）；
中线交点：重心（2:1 比例性质）；
高线交点：垂心（位置随三角形类型变化）。
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随学随练
1．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°, 𝐷, 𝐸是𝐴𝐶上两点，且𝐴𝐸= 𝐷𝐸, 𝐵𝐷平分
∠𝐸𝐵𝐶，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1 = ∠2 = ∠3
B．𝐵𝐷是△𝐵𝐶𝐸的角平分线
C．𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线
D．𝐵𝐶是△𝐵𝐷𝐸的高
2．（25-26 七年级下·广东广州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 1．
(1)求周长𝐶的取值范围；
(2)已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷的周长为10，求△𝐵𝐶𝐷的周长．
3．（25-26 七年级下·贵州贵阳·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，点E 是边𝐵𝐶上一点．
(1)若𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠1 = 35°，∠2 = 20°，分别求∠𝐶和∠𝐵的度数．
(2)若𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸的面积相等吗？为什么？
知识点
三角形外角性质（重点）
1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有6 个外角，
每组对顶角相等。
2.三角形外角的两大核心性质
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性质1（等量关系）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
性质2（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
随学随练
1．（2026·四川内江·中考真题）如图，若𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 80°，∠𝐸= 36°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．36°
B．44°
C．50°
D．54°
2．（25-26 七年级下·河南周口·期末）三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°，则另一
个不相邻内角为_______°．
3．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）如图，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，若∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，则
∠𝐴=_______°
知识点
全等三角形
1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。
3.对应元素概念：互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。
4.表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注意：书写时必须严格对应顶点顺序，例如：△ABC≌△DEF，表示A 与D、B 与E、C 与F 分别为对应顶
点，对应边、对应角随之确定，顺序不可混乱。
易错提醒
外角性质中，必须是“不相邻”的两个内角。切勿混淆为“三角形的外角等于任意两个内角和”，相邻
内角与外角互为邻补角，和为180°，不适用该性质。
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随学随练
1．（25-26 八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等图形的形状、大小都相同
B．两个圆是全等图形
C．两个形状相同的图形称为全等图形
D．面积相等的两个三角形是全等图形
2．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点
全等三角形的性质（重点）
1.全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。
2.性质符号语言（答题标准句式）
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形对应边相等）
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等）
易错提醒
1）很多学生随意书写全等三角形顶点顺序，这是高频扣分点。“≌”连接的两个三角形，顶点顺序一
一对应，顺序写错，对应边、对应角全部错误，后续计算和证明全盘出错；
2）区分“对应边/角”与“对边/角”：对应边、对应角是两个全等三角形之间的边角关系；对边、对
角是同一个三角形内部边与角的位置关系，不可混用概念。
教材延伸
1）两个全等三角形可以完全重合，位置可以不同，但形状大小完全一致。一个三角形的全等图形有无
数个（位置不同），但边角数据完全相同；
2）全等三角形的周长相等、面积相等；
3）全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线全部相等。
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随学随练
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，𝐴𝐵与𝐶𝐷交于点𝑂，△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐵，点𝐵，𝐶是对应点，下列
说法错误的是（ ）
A．∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐵
B．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
C．∠𝐵= ∠𝐶
D．𝑂𝐴= 𝑂𝐵
2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹依次在同一条直线上．若
𝐸𝐶= 4，𝐵𝐹= 7，则𝐵𝐸的长为______．
3．（25-26 七年级下·河南周口·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷，𝐶𝐸= 3，𝐶𝐷= 4，∠𝐴= 40°，∠𝐹𝐷𝐸=
45°．
(1)求𝐴𝐶的长度；
(2)求∠𝐹的度数．
拓展
三角形三种重要线段对比
对比维度
角平分线
中线
高（高线）
定义核心
平分三角形内角的线段
连接顶点与对边中点的线段 顶点向对边作的垂线段
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核心功能
等分内角，角度计算
等分对边、等分三角形面积 计算三角形面积、证明垂直关系
交点名称
内心（内部）
重心（内部）
垂心（位置随三角形变化）
位置特点
所有三角形中均在内部
所有三角形中均在内部
锐角△全内部、直角△交于直角
顶点、钝角△两条在外部
活学活用
1．（25-26 七年级下·海南儋州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 70°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
(2)在△𝐴𝐵𝐶中，分别画出𝐵𝐷边上的高𝐴𝐸和𝐴𝐷边上的高𝐵𝐹；求出∠𝐷𝐴𝐸的度数，猜想∠𝐷𝐴𝐸与∠𝐷𝐵𝐹的数量
关系，并说明理由．
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸为边𝐵𝐶上的高，点D 为边𝐵𝐶上的一点，连接
𝐴𝐷．
(1)当𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线时，若∠𝐶= 66°，∠𝐵= 36°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
(2)当𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的中线时，若𝐴𝐵= 10，△𝐴𝐷𝐶的周长比△𝐴𝐵𝐷的周长少2，求𝐴𝐶的长度．
拓展
三角形内角与外角性质对比
对比维度
三角形内角
三角形外角
数量
单个三角形共3 个
单个三角形共6 个（3 组对顶角相等）
核心关系
三内角和为180°
一个外角=两个不相邻内角和；外角＞任意不相邻内角
取值范围
均大于0°、小于180°
均大于0°、小于180°
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应用场景
求内角、判断三角形形状
角度推导、角度大小比较、证明不等关系
活学活用
1.（2026·河北唐山·模拟预测）在如图标出的四个角中，最大的角是（ ）
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
2．（25-26 八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，外角∠𝐴𝐶𝐷=
110°，求∠𝐴𝐸𝐶的度数．
题型
三角形的概念
▌例1.（25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以∠𝐴为角的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐸
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐵𝐶𝐸
D．△𝐶𝐷𝐸
解题贴士
1）判断核心：同时满足三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接三个条件；
2）快速排错：曲线、开口图形、三点共线图形均不是三角形。
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▌对点练1-1.（25-26 八年级上·河北邯郸·期末）在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸边的对角是（ ）
A．𝐷𝐹
B．∠𝐷
C．∠𝐸
D．∠𝐹
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·江西宜春·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是（ ）
A．𝐴𝐷
B．𝐴𝐵
C．𝐴𝐶
D．𝐵𝐸
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．5
题型
三角形的分类
▌例1.（25-26 八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．三边都不相等的三角形
D．直角三角形
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个
三角形的类别为（ ）
解题贴士
1）按角判型：看最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形；
2）按边判型：三边不等为不等边三角形，两边及以上相等为等腰三角形（等边是特殊等腰）。
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A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．无法判断
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且满足|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| =
0，则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏
在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P 满足条件：△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件
的P 点的个数为______个．
题型
三角形三边关系的应用
▌例1.（25-26 七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2 和7，则第三边的边长可以是
（ ）
A．3
B．5
C．8
D．9
▌例2.（2026·河北沧州·二模）如图1 是圆规实物图，图2 是其示意图，其中𝑂𝐴= 𝑂𝐵，以A 为支撑点铅笔
芯端点B 绕点A 旋转做出圆．若𝑂𝐴= 6cm，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可）
解题贴士
1）快速判定能否构成三角形：只需验证两短边之和＞最长边；
2）求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和；
3）周长取值：最小周长略大于两倍短边，最大周长略小于两倍长边。
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▌对点练1-1.（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（ ）
A．5，8，2
B．3，4，5
C．6，6，1
D．5，12，13
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·江西萍乡·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是𝑎、𝑏、𝑐，化简|2𝑎+ 2𝑏−𝑐| −
|𝑏−𝑎−𝑐|的结果是（ ）
A．2𝑎
B．𝑎+ 3𝑏−2𝑐
C．2(𝑎+ 𝑏)
D．−2𝑏
▌对点练1-3.（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3 和5，若周长是奇数，则第三
边的长为______．
题型
三角形的内角和定理
▌例1.（25-26 七年级下·江西南昌·期末）如果三角形的三个内角分别是(2𝑥−𝑦)°，(𝑥+ 𝑦)°，𝑥°，则x 的值
为（ ）
A．40
B．45
C．50
D．55
▌例2.（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部
分图案．已知𝑙1 ∥𝑙2，∠1 = ∠2 = 70°，∠3 = ∠4 = 50°，则∠5 =____________°．
解题贴士
1）基础用法：直接利用内角和180°，已知两角求第三角；
2）直角三角形速算：两锐角互余，直接相减求角。
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▌对点练1-1.（25-26 七年级下·福建莆田·期末）如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平
面示意图．已知路灯𝐴𝐵和折臂的底座𝐶𝐷都与地面𝑀𝑁垂直，同时上折臂𝐴𝐸与下折臂𝐷𝐸的夹角∠𝐴𝐸𝐷=
70°，下折臂与底座𝐶𝐷的夹角∠𝐶𝐷𝐸= 120°，那么上折臂𝐴𝐸与路灯𝐴𝐵的夹角∠𝐵𝐴𝐸的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠1 = ∠2．
(1)如图1，若∠𝐴𝐶𝐵= 70°，求∠BPC 的度数；
(2)如图2，过P 点作𝑃𝑄∥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点Q，猜想∠𝑃𝑄𝐶与∠𝐵𝑃𝐶的数量关系，并说明理由．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐷于点𝐹，过点𝐴作
𝐴𝐵∥𝐶𝐹，且交𝐷𝐶的延长线于点𝐵，点𝐸在𝐴𝐶的延长线上，且∠𝐸= ∠𝐵．
(1)求证：𝐶𝐹∥𝐷𝐸；
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(2)若∠𝐸= ∠𝐵= 50°，∠𝐶𝐷𝐸= 2∠𝐴𝐷𝐶，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
题型
与三角形的角平分线有关的计算
▌例1.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= 38°，则∠𝐶的度数
是（ ）
A．16°
B．30°
C．38°
D．76°
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 110°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，则𝑥
的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
▌对点练1-2.（25-26 七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 55°, ∠𝐵: ∠𝐴= 5: 11，𝐶𝐷是
∠𝐴𝐶𝐵的平分线，则∠𝐵𝐶𝐷=________．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·浙江·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝐸，𝐶𝐹相交于点
𝐺．
解题贴士
1）基础技巧：角平分线等分内角，等分两角度数相等；
2）通用解法：设最小角为x，结合内角和、外角定理列方程求解。
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(1)若∠𝐴= 40°，则∠𝐵𝐺𝐶的度数为 °．
(2)若∠𝐴= 𝛼，求∠𝐵𝐺𝐶（用含𝛼的代数式表示）．
题型
与三角形的中线有关的计算
▌例1.（25-26 七年级下·四川乐山·期末）如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为
24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
▌例2.（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，若△𝐴𝐶𝐷的周长
为18，则△𝐴𝐵𝐷的周长为_________．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·广西玉林·期末）如图，若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐷= 4，则𝐵𝐶的长度为
（ ）
解题贴士
1）边长技巧：中线平分对边，分割出两条等长线段；
2）面积技巧：任意中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；
3）周长技巧：两小三角形周长差=三角形剩余两边的边长差。
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A．2
B．3
C．4
D．8
▌对点练1-2.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，若
△𝐷𝐸𝐹的面积为1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·重庆江津·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐷𝐸、𝐷𝐹分别是△
𝐴𝐶𝐷的高与角平分线．
(1)若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长差为2，𝐴𝐵= 7，求𝐴𝐶的长；
(2)若∠𝐴𝐶𝐵= 62°，∠𝐷𝐴𝐶= 40°，求∠𝐸𝐷𝐹的度数．
题型
画三角形的高
▌例1.（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上高的作法正确的是（ ）
A．
B．
解题贴士
1）作图核心：过顶点，向对边或对边延长线作垂线，顶点到垂足线段即为高；
2）分类画法：锐角三角形三高在内部；直角三角形两直角边互为高；钝角三角形两条高在外部；
3）得分关键：必须标垂直符号，垂足落在对应边上。
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C．
D．
▌对点练1-1.（25-26 九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺𝐷𝐸𝐹的一条直角边摆放在△𝐴𝐵𝐶
的𝐴𝐵边上，另一条直角边经过顶点C，则𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．中线
B．高线
C．角平分线
D．中位线
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·陕西西安·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的高线为（ ）
A．𝐶𝐸
B．𝐴𝐸
C．𝐶𝐷
D．𝐶𝐹
题型
与三角形的高有关的计算
▌例1.（2026·陕西安康·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的中线，𝐴𝐸是边𝐵𝐶上的高．若𝐵𝐶= 4，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 3，则𝐴𝐸的长为（ ）
解题贴士
1）核心方法：等面积法，同一个三角形底×对应高的乘积相等；
2）直角三角形专属：两直角边乘积=斜边×斜边上的高；
3）解题思路：知底求高、知高求底，优先套用等面积公式。
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A．3
B．4
C．5
D．6
▌例2.（25-26 八年级上·浙江台州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
若∠𝐵= 42°，∠𝐴𝐸𝐶= 75°，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·重庆铜梁·期末）如图，𝐴𝐸，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸= 6, 𝐶𝐷= 4，则
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
（ ）
A．
4
3
B．
5
4
C．
3
2
D．
2
3
▌对点练1-2.（25-26 七年级下·福建宁德·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐵𝐷= 6，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，若𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点E，则𝐴𝐸=_______．
▌对点练1-3.（25-26 八年级上·安徽六安·期中）如图，𝐴𝐹、𝐴𝐷分别为△𝐴𝐵𝐶的边BC 上的高线和中线，𝐵𝐺
为𝐴𝐶边上的高线，已知𝐴𝐹= 6，𝐵𝐷= 10，𝐵𝐺= 5．
(1)求𝐵𝐶的长和△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)求𝐴𝐶的长．
题型
图形的全等
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▌例1.（25-26 七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．两个周长相等的三角形
B．两个面积相等的三角形
C．两个半径相等的圆
D．两个底和高分别相等的平行四边形
▌对点练1-1.（25-26 八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2.（25-26 八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
全等三角形的性质
▌例1.（25-26 七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则∠𝐸的度数是（ ）
解题贴士
判定技巧：只需看形状、大小完全相同，与位置、旋转、翻转无关。
解题贴士
1）核心性质：对应边相等、对应角相等（解题第一依据）；
2）衍生性质：对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长、面积相等；
3）解题关键：先找对应顶点，再匹配边角，杜绝对应关系错误。
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A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
▌例2.（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，点𝐶，𝐸，𝐹，𝐵依次在同一条直线上，
𝐵𝐶= 9，𝐸𝐹= 5，求𝐶𝐸的长．
▌对点练1-1.（25-26 七年级下·上海闵行·期末）已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是
（ ）
A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等
C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等
▌对点练1-2.（2026·四川成都·中考真题）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸, ∠𝐴= 40°,∠𝐸= 62°，则∠𝐸𝐷𝐹的度
数为（ ）
A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
▌对点练1-3.（2026·四川成都·二模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点E，A，B 依次在同一条直线上，若
𝐴𝐶= 4，𝐵𝐸= 10，则𝐴𝐷的长为________．
▌对点练1-4.（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4.5，且点𝐵
在线段𝐴𝐶上．
(1)求𝐷𝐸的长；
(2)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
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基础通关
1．（25-26 七年级下·山西晋中·期末）已知三角形的两边长分别为3 和7，则第三边长不可能是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度4cm和8cm的木条，现需再选一根
木条拼接，下列长度中可选用的是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．11cm
D．12cm
3．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6
B．2，5，8
C．3，5，7
D．9，2，2
4．（25-26 七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和
C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等
5．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐸，且𝐴𝐵= 10，𝐴𝐹= 6，则𝐵𝐸的长为
（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
6．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶=
5，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，则𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是__________．
8．（25-26 七年级下·江西抚州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐶𝐷= 3𝐵𝐷，若△𝐴𝐵𝐷的面积为
4，则△𝐶𝐷𝐸的面积为________．
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9．（25-26 七年级下·河南周口·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°
(1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(2)若𝐶𝐷平分 ∠𝐴𝐶𝐵，求 ∠𝐴𝐶𝐷的度数．
10．（25-26 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐷，𝐶𝐸是它的高，𝐴𝐹是它的中
线．若𝐴𝐵= 𝐵𝐹，𝑆△𝐴𝐶𝐹= 6，求线段𝐶𝐸的长．
11．（25-26 八年级上·广东湛江·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，若𝐵𝐸= 8, 𝐷𝐸= 3，求𝐵𝐶的长．
12．（25-26 八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐸在𝐴𝐵上，∠𝐷= 30°, ∠𝐸𝐵𝐷=
65°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
13．（25-26 八年级上·福建福州·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，点𝐴、𝐶、𝐷在同一条直线上．
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(1)求证：𝐴𝐵∥𝐷𝐸；
(2)若𝐸𝐷= 3，𝐶𝐷= 4，求线段𝐴𝐵的长．
素养提升
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，𝑥，8，若此三角形的周长为奇数，则满
足条件的三角形个数为（ ）．
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．无数个
2．（25-26 七年级下·重庆南岸·期末）如图，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，以下说法不正确的是（）
A．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高 B．𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐶上的高
C．𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高 D．𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高
3．（25-26 七年级下·重庆万州·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一直线上，𝐴𝐶与𝐷𝐸相交
于点𝑀，𝐷𝐹= 6，𝐴𝑀= 2，则𝑀𝐶的长度是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐷𝐸𝐹的周长为12，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，则𝐷𝐹的
长为______．
5．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）如图，若△𝐴𝐵𝐶的面积为2，且点A，B，C 分别是𝐸𝐶、𝐴𝐹、𝐵𝐷的中
点，那么阴影部分的面积为________．
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6．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，点C 和点E，点A 和点F 是对应顶点，
𝐴𝐷= 2，𝐵𝐷= 3，∠𝐴= 30°，∠𝐸= 55°，求𝐹𝐷的长，以及∠𝐶，∠𝐹𝐷𝐸的度数．
7．（25-26 七年级下·河北张家口·期中）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸．
(1)若∠𝐴= 40°，∠𝐸= 52°，求∠𝐴𝐷𝐸的度数；
(2)若𝐴𝐹= 10，𝐷𝐵= 4，求AB 的长．
8．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心𝑂处悬吊起来，发现纸板处于水平状
态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，则△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的面积关系为：𝑆△𝐴𝐵𝐷_______𝑆△𝐴𝐶𝐷（填>、<或=）；
(2)如图③，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，猜想△𝐵𝐹𝐺与△𝐶𝐸𝐺的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶、𝐴𝐵于点𝐷、𝐸、𝐹，求
𝐷𝐺
𝐴𝐺的值；
(4)如图④，点𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，且𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，若𝐵𝐷= 6，𝐶𝐸= 4，求四边形𝐴𝐸𝐺𝐷的面积．
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迁移创新
1．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②
是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形𝐴𝐵𝐶𝐷表示，司机位于
车内左前方，眼睛用点O 表示，𝑂𝐸∥𝐴𝐵，左侧后视镜用线段𝐴𝑃表示，左后视镜打开后𝐴𝑃与𝐴𝐵形成的
∠𝐵𝐴𝑃可在一定范围内调节，点H 为入射点，𝐻𝐻′为法线，图上各点均在同一平面内．当∠𝐵𝐴𝑃= 60°，
∠𝐸𝑂𝐻= 70°，则反射角∠𝐻′𝐻𝑂的大小（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．（25-26 八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3cm，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 4cm，∠𝐴=
∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，点P 以3cm/s的速度从点A 出发，沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷运动，同时点Q 以1cm/s的速
度从点A 出发，沿𝐴→𝐷运动，当P、Q 两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时
间为𝑡(s)(𝑡> 0)．
(1)当点P 在𝐴→𝐵运动的过程中，𝐴𝑃=______cm；𝐵𝑃=______cm（用含t 的代数式表示）；
(2)当𝑡= 3s时，△𝐴𝑃𝑄的面积=______cm2；
(3)连接𝐴𝑃、𝐶𝑄，当△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐷𝑄时，求t 的值；
(4)当△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑄为底的等腰三角形时，求t 的值及此时△𝐴𝑃𝑄的面积．
