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1.5 全等三角形的判定（第三课时）
题型一：利用“ASA”或“AAS”作为判断依据
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很
快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定；
根据ASA即可解答．
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【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因
此符合ASA．
故选D．
2．（24-25 八年级上·江苏泰州·期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快
就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的
三角形．
故选：C．
3．
（24-25 七年级下·河南郑州·期中）如图，在
ABC
和DEF
中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC
DF
∥
，
AC
DF
=
，
C
F
=
，则
ABC
DEF
≌△
△
的依据是（ ）
A．SSA
B．SAS
C．SSS
D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的
关键．
根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解；
【详解】解：AC
DF
∥
，
A
D
=，
在
ABC
和DEF
中，
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A
D
AC
DF
C
F
=
=
=
，
(
)
ASA
ABC
DEF
△
≌△
；
则
ABC
DEF
≌△
△
的依据是ASA；
故选：D
4．（24-25 八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C
走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如
图，AB
PM
CD
∥
∥
，相邻两平行线间的距离相等，AC
BD
，
相交于P，PD
CD
⊥
垂足为D．已知
16
CD =
米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语AB 的长度为16 米，全等的理由是（ ）
A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．SSA
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关
键．由AB
CD
∥
，利用平行线的性质可得
ABP
CDP
=
，利用ASA 定理可得，ABP
CDP
≌
，由全等三
角形的性质可得结果，可得出答案．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
∴
ABP
CDP
=
，
∵PD
CD
⊥
，
∴
90
CDP
=
，
∴
90
ABP
=
，即PB
AB
⊥
，
∵AB
PM
CD
∥
∥
，相邻两平行线间的距离相等，
∴PD
PB
=
，
在ABP
与
CDP
△
中，
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ABP
CDP
PB
PD
APB
CPD
=
=
=
∴
(
)
ASA
ABP
CDP
≌
，
∴
16
CD
AB
=
=
（米），
故选：A．
5．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知
,
CE
AB DF
AB
⊥
⊥
，垂足分别为E，F，AC
DB
∥
，且AE
BF
=
，
那么
AEC
BFD
△
≌△
的依据是（ ）
A．SSS
B．AAA
C．SAS
D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，先由AC
DB
∥
得到
A
B
=，然后由CE
AB
⊥
、
DF
AB
⊥
得到
90
AEC
DFB
=
=
，再结合AE
BF
=
即可得到
AEC
BFD
△
≌△
的理由，解题的关键是熟知
平行线的性质和全等三角形的判定定理．
【详解】解：
AC
DB
，
A
B
= ，
CE
AB
⊥
，DF
AB
⊥
，
90
AEC
DFB
=
=
，
AE
BF
=
，
AEC
BFD
△
≌△
的理由为ASA，
故选：D．
6．（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E 在线段AB 上，点F 在线段AC 上，
,
AB
AC
B
C
=
=
．则
ABF
ACE
≌
△
△
的理论依据是（ ）
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A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键；选用哪
一种方法，取决于题目中的已知条件．
由于
,
AB
AC
B
C
=
=
，加上
A
为公共角，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：在
ABF
△
和
ACE
△
中，
A
A
AB
AC
B
C
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABF
ACE
≌
△
△
．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，AB
AC
=
，
B
C
=
，判定ABE
ACD
≌
的依据是（ ）
A．SSS
B．HL
C．SAS
D．ASA
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件
A
A
=是解题的关键．
由已知条件可得AB
AC
=
、
B
C
=
，再结合隐含条件
A
A
=即可解答．
【详解】解：在ABE
和ACD
中，
已知
A
A
=，AB
AC
=
，
B
C
=
，
所以运用ASA判定ABE
ACD
≌
．
故选：D．
题型二：破碎玻璃修复问题
1．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获
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取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：
,
,
,
,
SSS SAS ASA AAS HL ．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
【详解】②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只
有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A
2．（24-25 八年级上·湖南益阳·期中）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要
去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①和②
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，③中有两个完整的角和它们的夹边，利用ASA 可以得到唯一三角形，故最省事的
是带③去；
故选C．
3．（24-25 八年级上·湖北咸宁·期末）周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中
标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都
一样的三角形玻璃，依据是（ ）
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A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA ，AAS，
HL做题时要根据已知条件进行选择运用．
【详解】解：④号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合全等三角形判定ASA ．
故选：C．
4．（24-25 八年级上·山东菏泽·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去
玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（ ）
A．第1 块
B．第2 块
C．第3 块
D．第4 块
【答案】B
【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理．本题应先假定选择哪块，再对应三角
形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2 块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的.
故选：B．
5．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中
一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
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【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，结合实际情况分析即可求解．
根据题意，运用边角边判定①，结合边长无法确定得出结论；根据②③的特点，无法得到一块与原来一样
的三角形模具，由角边角判定④，即可求解．
【详解】解：∵可以运用边角边判定三角形全等，但①中角的两边可以无限延长，无法判定边长，
故A 选项不符合题意；
②③不具备边角的关系，无法得到与原来一样的三角形，故B、C 选项不符合题意；
可以运用角边角的方法判定三角形全等，④中的两边延长可以交于一点，得到三角形，
故他要带碎片④到商店去配一块与原来一样的三角形模具，
故选：D ．
6．（24-25 八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需
要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模
具的是（ ）
A．（1）和（3） B．（3）和（4）
C．（1）和（4）
D．（1）和（2）
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据ASA ，可以确定唯一三角形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据ASA ，
可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形，
故选D．
7．（24-25 八年级上·河北唐山·期中）如图，一块三角形玻璃样板不慎被张宇同学碰破了，成为四块碎片．聪
明的张宇经过仔细考虑认为，只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让工人师傅画一块与以前一样的玻璃
样板．你认为下列选项中可行的是（ ）
A．带1，2 或2，3 去就可以
B．带1，4 或3，4 去就可以
C．带1，4 或2，3 去就可以
D．带其中的任意两块去都可以
【答案】B
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【分析】本题考查三角形全等的判定定理解决实际问题，读懂题意，由题中图形，恰当选择三角形全等的
判定定理即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由三角形全等判定定理ASA可知，当选择1和4 时，知道
A
、AB 边和
B
，只要按照ASA ，工人师傅能
画一块与以前一样的玻璃样板；
同理，选择3和4 也行；
综上所述，带1，4 或3，4 去就可以，
故选：B．
题型三：添加一个条件使得三角形全等（AAS 或ASA）
1．（24-25 七年级下·上海松江·阶段练习）如图，
90
C
D
=
=
，若利用AAS证明ABC
BAD
≌
，需添加
的条件是 ．（写出一种即可）
【答案】
ABC
BAD
=
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用AAS可
得出
ABC
BAD
=
，（答案不唯一）进而证明ABC
BAD
≌
，即可得出答案．
【详解】解：在
ABC
和BAD
中，
C
D
ABC
BAD
AB
BA
=
=
=
，
(
)
AAS
ABC
BAD
≌
，
利用AAS证明ABC
BAD
≌
，需添加的条件是
ABC
BAD
=
（答案不唯一）．
故答案为：
ABC
BAD
=
（答案不唯一）．
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2．（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，AC ，BD相交于点O，
A
D
=
，当添加条件 时，
可由“角边角”判定
AOB
DOC
△
△
≌
．
【答案】AO
DO
=
【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹
边对应相等的两个三角形全等．我们已知
A
D
=
，因为对顶角相等，所以
AOB
DOC
=
．根据“角边
角”(
)
ASA 判定定理，要使
AOB
DOC
△
△
≌
，还需要
A
与
AOB
的夹边AO 和
D
与
DOC
的夹边DO 相
等，即
AO
DO
=
．
【详解】解∶
A
D
=
，
AOB
DOC
=
，
由“角边角”判定
AOB
DOC
△
△
≌
，需要添加条件是∶
AO
DO
=
．
故答案为：
AO
DO
=
．
3．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AC 与BD相交于点O，
A
D
=
，OB
OC
=
，不添加辅
功线，判定
ABO
DCO
△
≌△
的依据是 ．
【答案】AAS
【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意可知，
A
D
=
，OB
OC
=
，
AOB
DOC
=
，即可证明
(
)
AAS
ABO
DCO
≌
．
【详解】解：∵
A
D
=
，OB
OC
=
，
AOB
DOC
=
，
∴
(
)
AAS
ABO
DCO
≌
，
故答案为：AAS
4．（24-25 八年级上·湖南娄底·期末）如图，在
ABD
△
与ACD
中，已知
CAD
BAD
=
，在不添加任何辅助
线的前提下，依据“ASA”证明
ABD
ACD
△
≌△
，需再添加一个条件是 ．
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【答案】
ADC
ADB
=
（答案不唯一）
【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于
CAD
BAD
=
，加上AD为公共边，所以当添加
ADC
ADB
=
时，依据“ASA”可判断
ABD
ACD
△
≌△
，
【详解】解：∵
CAD
BAD
=
，AD
AD
=
，
∴当添加
ADC
ADB
=
时，
(
)
ASA
ABD
ACD
≌
．
也可添加
CDE
BDE
=
，则可证明
ADC
ADB
=
，得到
(
)
ASA
ABD
ACD
≌
，
故答案为：
ADC
ADB
=
（答案不唯一）．
5．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E 在同一条直线上，并且
B
E
=，
A
D
=
，
当AB = 时，
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】DE / ED
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个
角相等，根据全等三角形判定条件，当AB
DE
=
时，即可通过角边角求证
ABC
DEF
≌△
△
；
【详解】解：当AB
DE
=
时，
在
ABC
和DEF
中，
B
E
AB
DE
A
D
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABC
DEF
≌
，
∴当AB
DE
=
时，可证
ABC
DEF
≌△
△
，
故答案为：DE ；
6．
（24-25 八年级上·北京·期中）如图，BE 、CD交于点O，且BE
CD
=
，请添加一个条件，使得ABE
ACD
≌
，
则可以添加的条件是： ．
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【答案】
B
C
=
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：
B
C
=
，再由已知条件BE
CD
=
和公共角
A
可利用AAS定理证明ABE
ACD
≌
．
【详解】解：添加条件：
B
C
=
，
在ABE
和ACD
中，
A
A
B
C
BE
CD
=
=
=
，
(
)
AAS
ABE
ACD
≌
，
故答案为：
B
C
=
（答案不唯一）．
7．（23-24 七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E 是边BC 上的两点，BD
CE
ADB
AEC
=
=
，
， 现
要直接用“ AAS”定理来证明
ABD
ACE
≌
△
△
， 请你再添加一个条件： ．
【答案】
BAD
CAE
=
【分析】在ABE
与ACD
中，已知AE
AD
=
，AED
ADE
=
，即已知一角及角的一边对应相等，根据“ AAS”
的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其
中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS、
HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：可添加一个条件：
BAD
CAE
=
，使
ABD
ACE
≌
△
△
．
理由：
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在
ABD
△
与
ACE
△
中，
BAD
CAE
AED
ADE
BD
CE
=
=
=
，
(AAS)
ABD
ACE
≌
．
故答案为
BAD
CAE
=
题型四：利用“AAS 或ASA”简单证明三角形全等（解答题）
1．（2025·云南昆明·二模）如图，AC
DF
∥
，
B
DEF
=
，BE
CF
=
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利
用两直线平行同位角相等得到
DFE
ACB
=
，由此根据ASA 证明
ABC
DEF
≌△
△
即可．
【详解】证明：∵AC
DF
∥
，
∴
DFE
ACB
=
，
∵BE
CF
=
，
∴BE
EC
CF
EC
+
=
+
，
即BC
EF
=
，
在
ABC
和DEF
中
ABC
DEF
BC
EF
ACB
DFE
=
=
=
，
∴
(ASA)
ABC
DEF
≌
△
△
．
2．（24-25 七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知AD是
ABC
边BC 的中线．CE
BF
∥
，CE 、BF 与直
线AD的交点分别为点E 、F ，请说明CDE
与BDF
全等的理由．
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【答案】理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到CD
BD
=
，
平行得到
,
F
CED
DCE
DBF
=
=
，利用AAS，即可得证．
【详解】解：CDE
与BDF
全等的理由如下：
∵AD是
ABC
边BC 的中线，
∴CD
BD
=
，
∵CE
BF
∥
，
∴
,
F
CED
DCE
DBF
=
=
，
∴
(
)
AAS
CDE
BDF
≌
．
3．
（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点D 是
ABC
的边AC 延长线上一点，且DC
AC
=
，过D 作DE
CB
∥
，
且DE
DC
=
，连接AE 交BC 于点F，若
CAB
CFA
=
，求证：
ABC
EAD
△
≌△
．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得DE
CA
=
，
,
E
AFC
D
ACB
=
=
，则有
E
CAB
=
，然后问题可求证．
【详解】证明：∵DC
AC
=
，DE
DC
=
，
∴DE
CA
=
，
∵DE
CB
∥
，
∴
,
E
AFC
D
ACB
=
=
，
∵
CAB
CFA
=
，
∴
E
CAB
=
，
∴
(
)
ASA
ABC
EAD
△
≌△
．
4．
（24-25 九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，BAD
EAC
=
，B
E
=
，BC
ED
=
，求证：ABC
AED
≌
．
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意
可求得
BAC
EAD
=
，利用AAS即可判定BAC
EAD
≌
．
【详解】证明：
BAD
EAC
=
，
BAD
DAC
EAC
DAC
+
=
+
，
BAC
EAD
=
．
在BAC
与EAD
中，
BAC
EAD
B
E
BC
ED
=
=
=
，
(
)
AAS
BAC
EAD
≌
．
5．（2025·云南昭通·二模）如图，
ABC
DCB
=
，
ABD
DCA
=
．求证：
ABC
DCB
△
≌△
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明
DBC
ACB
=
，再利用ASA 即可证明
ABC
DCB
△
≌△
．
【详解】证明：
ABC
DCB
=
，
ABD
DCA
=
，
ABC
ABD
DCB
DCA
−
=
−
，即
DBC
ACB
=
．
在
ABC
和
DCB
△
中，
ABC
DCB
BC
CB
ACB
DBC
=
=
=
，
(
)
ASA
ABC
DCB
≌
．
6．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形ABCD中，E 是BC 边上一点，连接AC
AE
，
，AB
AC
=
，AC 平
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分
BCD
，
BAC
EAD
=
．求证：ABE
ACD
≌
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判
定方法是解题的关键．
由题得
BAE
CAD
=
，根据等腰三角形的性质得到
B
ACB
=
，推出
B
ACD
=
，即可得到结论．
【详解】证明：
BAC
EAD
=
，
BAE
EAC
CAD
EAC
+
=
+
．
BAE
CAD
=
．
AB
AC
=
，
B
ACB
=
．
AC
平分
BCD
，
ACB
ACD
=
．
B
ACD
=
．
在ABE
和ACD
中，
BAE
CAD
AB
AC
B
ACD
=
=
=
，
(
)
ASA
ABE
ACD
≌
．
7．（24-25 九年级下·陕西汉中·阶段练习）将
ABC
和DEF
如图放置．已知AB
DE
=
，AB
EF
∥
，
D
EHC
=
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据“ASA”判定即可．
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【详解】证明：
AB EF
∥
，
B
DEF
=
，
CHE
A
= ，
D
EHC
=
，
A
D
=，
在
ABC
和DEF
中，
A
D
AB
DE
B
DEF
=
=
=
，
(
)
ASA
ABC
DEF
≌
．
题型五：利用“AAS 或ASA”证明三角形全等求角度
1．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，BE平分
ABC
交AC 于点E ，
90
BEC
=
，
过点E 作DE
BC
∥
交AB 于点D ，延长AC 至点F ，连接BF ，若
115
BCF
=
，则
ADE
的度数为（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，关键要掌握全
等三角形的性质与判定．根据题意证明
(
)
ASA
ABE
CBE
≌
△
△
得出
A
BCA
=
，根据邻补角互补得出
65
BCA
=
,根据三角形内角和定理得出
50
ABC
=
，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵BE平分
ABC
∴
ABE
CBE
=
∵
90
BEC
=
∴
90
BEC
BEA
=
=
又∵BE
BE
=
∴
(
)
ASA
ABE
CBE
≌
△
△
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∴
A
BCA
=
∵
115
BCF
=
，
∴
180
115
80
6
1
5
BCF
BCA
=
−
=
=
−
∴
180
2 65
50
ABC
=
−
=
∵DE
BC
∥
∴
50
ADE
ABC
=
=
故选：B．
2．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含45的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示
摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且
13 ,
32
CFE
CFD
=
=
，则
DEC
的度数是（ ）
A．58
B．45
C．77
D．64
【答案】D
【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
作FH
FE
⊥
交AC 于H ，证明
58
DEF
DHF
FEB
=
=
=
即可解决问题．
【详解】作FH
FE
⊥
交AC 于H ，
∵
90
AFC
EFH
=
=
，
∴
13
AFH
CFE
=
=
，
∵
45 ,
A
FCE
FA
FC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
FAH
FCE
≌
，
∴FH
FE
=
，
∵
13
32
45
DFE
CFE
DFC
=
+
=
+
=
，
∴
90
45
DFH
DFE
DFE
=
−
=
=
,
∵DF
DF
=
，
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∴
(
)
SAS
DFE
DFH
≌
，
∴
58
DEF
DHF
A
AFH
=
= +
=
∵
58
FEB
CFE
FCE
=
+
=
，
∴
180
58
58
64
DEC
=
−
−
=
，
故选：D．
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
，AD平分
BAC
，过点B 作BD
AD
⊥
于点D，若
50
C
=
，
15
CBD
=
，则
ABD
的度数为 ．
【答案】65
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，延长BD交AC 于E ，证明
(
)
ASA
BAD
EAD
≌
，得
ABD
AED
=
，再结合三角形的外角的性质即可求解，添加辅助线构造全等三
角形是解决问题的关键．
【详解】解：延长BD交AC 于E ，
∵BD
AD
⊥
，
∴
90
ADB
ADE
=
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
BAD
EAD
=
，
又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
ASA
BAD
EAD
≌
，
∴
65
ABD
AED
C
CBD
=
=+
=
，
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故答案为：65．
4．
（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分
ABC
，
70
ACB
=
，
48
ABC
=
，并且
180
BAD
CAD
+
=
，那么
BDC
的度数为 ．
【答案】31/31 度
【分析】延长BA和BC ，过D 点作DE
BA
⊥
于E 点，过D 点作DF
BC
⊥
于F 点，根据BD是
ABC
的平
分线可得出
BDE
BDF
△
≌△
，故DE
DF
=
，过D 点作DG
AC
⊥
于G 点，可得出DE
DG
=
CDG
CDF
≌
，从而
DG
DF
=
，进而得出CD为
ACF
的平分线，得出
54
DCA
=
，再根据
180
ADC
DAC
DCA
=
−
−
即可
得出结论．
本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用．
【详解】解：延长BA和BC ，过D 点作DE
BA
⊥
于E 点，过D 点作DF
BC
⊥
于F 点，
BD
是
ABC
的平分线，
在BDE
与BDF
中，
ABD
CBD
AED
DFC
BD
BD
=
=
=
，
(AAS)
BDE
BDF
≌
，
DE
DF
=
，
又
180
BAD
CAD
+
=
，
180
BAD
EAD
+
=
，
CAD
EAD
=
，
AD
为
EAC
的平分线，
过D 点作DG
AC
⊥
于G 点，
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∵DE
BA
⊥
，
DG
DE
=
．
∴DG
DF
=
，
CD
为
ACF
的平分线，
∵
70
ACB
=
，
(
)
1 180
55
2
DCA
DCF
ACB
=
=
−
=
，
在
ABC
中，
70
ACB
=
，
48
ABC
=
，
180
70
48
62
BAC
=
−
−
=
，
180
62
59
2
DAC
−
=
=
，
180
180
62
55
63
ADC
DAC
DCA
=
−
−
=
−
−
=
，
55
24
31
BDC
DCF
CBD
=
−
=
−
=
．
故答案为：31．
题型六：利用“AAS 或ASA”证明三角形全等求线段长度
1．
（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，点E，F 分别在直线AB 的两侧，且AE
BF
=
，
A
B
=，
DCE
CDF
=
，若
16
AB =
，
4
AC =
，则CD的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到
ACE
BDF
=
，再证明
(
)
AAS
ACE
BDF
≌
得到
4
BD
AC
=
=
，据此根据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵
DCE
CDF
=
，
∴
ACE
BDF
=
，
又∵
A
B
=，AE
BF
=
，
∴
(
)
AAS
ACE
BDF
≌
，
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∴
4
BD
AC
=
=
，
∴
8
CD
AB
AC
BD
=
−
−
=
，
故选：C．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，E 为BC 的中点，且AE
DE
⊥
，延长DE
交AB 的延长线于点F．若
9
AB =
，
4
CD =
，则AD的长为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理
解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“ AAS”可证
BEF
CED
≌
△
△
，可得EF
DE
=
，
4
BF
CD
，由线
段垂直平分线的性质可得
13
AD
AF
=
=
．
【详解】解：E 为BC 的中点，
BE
EC
=
，
AB
DC
，
F
CDE
=
，
FBE
DCE
=
，
在
BEF
△
与
CED
△
中，
F
CDE
FBE
DCE
BE
CE
=
=
=
，
(
)
AAS
BEF
CED
≌
，
EF
DE
=
，
4
BF
CD
，
9
4
13
AF
AB
BF
=
+
= +
=
，
AE
DE
⊥
，EF
DE
=
，
13
AF
AD
=
=
，
故选：C．
3．
（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，BC
AE
、
是锐角
ABF
△
的高，相交于点D，若AD
BF
=
，
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10
AF
，
3
CF = ，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据题意得出
90
DCA
BCF
AEF
=
=
=
，再根据同角的余角相等得出
ADC
F
=
，根据AAS 证明
ADC
BFC
△
≌△
，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
【详解】BC
AE
、
是锐角
ABF
△
的高
90
DCA
BCF
AEF
=
=
=
90
90
DAC
ADC
EAF
F
+
=
+
=
，
ADC
F
=
AD
BF
(
)
AAS
ADC
BFC
≌
3
CD
CF
=
= ,
10 3
7
BC
AC
AF
CF
=
=
−
=
−=
7
3
4
BD
BC
CD
=
−
=
−=
故选C．
4．（23-24 八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E 在一条直线上，若AC
DF
=
，
,
AB
DE AC
DF
，
,
5,
8
BE
m BF
FC
=
=
= ，则m 的值是（ ）
A．15
B．16
C．18
D．20
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得
,
ACB
DFE
B
E
=
=
，
进而根据“AAS”推出
ABC
DEF
≌△
△
，根据全等三角形的性质得到BC
EF
=
，进而求出
5
BF
CE
=
= ，再
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由BE
BF
CF
CE
=
+
+
计算即可得到答案．
【详解】解：AB
DE
∥
，AC
DF
∥
，
,
ACB
DFE
B
E
=
=
，
又AC
DF
=
，
(
)
AAS
ABC
DEF
≌
，
BC
EF
=
，
BC
CF
EF
CF
−
=
−
，即BF
CE
=
，
8
FC = ，
5
BF = ，
∴
5
BF
CE
=
= ，
5 8 5 18
BE
BF
CF
CE
=
+
+
= + + =
，
18
m
=
．
故选：C．
5．（24-25 七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于D，BE
AC
⊥
于E，BE 与AD交
于点F，
5
AD
BD
=
=
，则AF
CD
+
的长度为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据ASA推出BDF
ADC
≌
，根据全等得出CD
DF
=
，
即可得出答案．
【详解】解：∵BE
AC
AD
BC
⊥
⊥
，
，
∴
90
AEB
ADC
BDF
=
=
=
，
∵
AFE
BFD
=
，
180
FBD
BDF
BFD
+
+
=
，
180
AEB
AFE
DAC
+
+
=
，
∴
DAC
DBF
=
，
在BDF
和
ADC
△
中
FBD
DAC
BD
AD
BDF
ADC
=
=
=
，
∴BDF
ADC
≌
，
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∴DF
CD
=
，
∴
5
AF
CD
AF
DF
AD
+
=
+
=
=
，
故答案为：5．
6．
（24-25七年级下·上海·期中）如图，在
ABC
中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 上一点，过点B 作BF
AC
∥
，
交ED的延长线于点F ，如果
12
AC =
，
9
BF =
，那么CE 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得AD
BD
=
，由平行线的性质可
得
F
DEA
=
，
DBF
A
= ，证明
(
)
AAS
BDF
ADE
≌
，得出
9
AE
BF
=
=
，即可得解．
【详解】解：∵D是边AB 的中点，
∴AD
BD
=
，
∵BF
AC
∥
，
∴
F
DEA
=
，
DBF
A
= ，
∴
(
)
AAS
BDF
ADE
≌
，
∴
9
AE
BF
=
=
，
∴
3
CE
AC
AE
=
−
= ，
故答案为：3．
7．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
，线段BE 交AC 于点
,
,
P AD
BE CE
BE
⊥
⊥
，垂足分别为D，E，且
BAD
CBE
=
．若
5,
1.8
AD
CE
=
=
，则DE 的长为 ．
【答案】3.2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据AAS证明BAD
CBE
≌
得
1.8
BD
CE
=
=
，
5
BE
AD
=
=
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从而可求出DE 的长．
【详解】解：∵
,
AD
BE CE
BE
⊥
⊥
，
∴
90
ADB
BEC
=
=
°，
在BAD
和
CBE
△
中，
90
BAD
CBE
ADB
BEC
AB
BC
=
=
=
=
∴
(
)
AAS
BAD
CBE
≌
，
∴
1.8
BD
CE
=
=
，
5
BE
AD
=
= ，
∴
5 1.8
3.2
DE
BE
BD
=
−
= −
=
,
故答案为：3.2
8．
（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD与BE 相交于点O，且AD
AE
=
，
B
C
=
，若
4
BE = ，则CD = ．
【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定
理．
根据AAS证明BAE
CAD
△
≌△
，于是得到BE
CD
=
，结合题干条件即可求出CD的长．
【详解】解：∵在BAE
和CAD
中，
A
A
B
C
AD
AE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BAE
CAD
≌
，
∴BE
DC
=
，
∵
4
BE =
，
∴
4
CD =
，
故答案为4．
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27 /
题型七：利用“AAS 或ASA”证明三角形全等求面积
1．（24-25 七年级下·上海青浦·期末）如图，点D 为
ABC
内一点，DB平分
ABC
，DA
DB
⊥
，连接DC ，
如果
ABC
的面积为s，那么
BCD
△
的面积为 ．（用含s的式子表示）
【答案】1
2 s/0.5s
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长AD交BC 于点E ，证明
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
得出AD
DE
=
，进而根据三角形中线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，延长AD交BC 于点E ，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
EBD
=
，
∵DA
DB
⊥
，
∴
BDA
BDE
=
又∵BD
BD
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
∴AD
DE
=
∴
2
2
2
ABC
ABE
AEC
BDE
CDE
BDC
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
∵
ABC
的面积为s，
∴
BCD
△
的面积为1
2 s
故答案为：1
2 s ．
2．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，BD是
ABC
的角平分线，AE
BD
⊥
，
2
AB =
，
4
BC =
，ABE
的面积是3，则
ABC
的面积为 ．
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【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长AE 交BD于F ，由ASA
可判定
ABE
FBE
△
≌△
，由全等三角形的性质得
2
AB
FB
=
=
，
3
ABE
FBE
S
S
=
=
，由三角形的中线得
6
CF
S
=
△A
，
即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键．
【详解】解：延长AE 交BC 于F ，
BD是
ABC
的角平分线，AE
BD
⊥
，
ABE
FBE
=
，
90
AEB
FEB
=
=
，
BE
BE
=
，
ABE
FBE
△
≌△
（ASA），
2
AB
FB
=
=
，
3
ABE
FBE
S
S
=
=
，
6
ABF
S
=
，
4
BC =
，
2
BF
CF
=
= ，
6
ACF
S
=
，
2 6
12
ABC
S
= =
，
故答案为：12．
3．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，
ABC
中，
90
BAC
=
，
3
AB = ，
4
AC =
，BD平分
ABC
，
且AD
BD
⊥
，则
ABD
△
与
ADC
△
的面积和是 ．
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【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等
三角形是解题关键．延长AD交BC 于点E ，证明
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
，由全等三角形的性质可得AD
ED
=
，
ABD
EBD
S
S
=
，进而可知
CAD
CED
S
S
=
，即可获得答案．
【详解】解：如下图，延长AD交BC 于点E ，
∵
90
BAC
=
，
3
AB = ，
4
AC =
，
∴
1
1
3 4
6
2
2
ABC
S
AB AC
=
=
=
△
，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
EBD
=
，
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
BDA
BDE
=
=
，
在
ABD
△
和
EBD
△
中，
ABD
EBD
BD
BD
BDA
BDE
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
EBD
≌
，
∴AD
ED
=
，
ABD
EBD
S
S
=
，
∴
CAD
CED
S
S
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
ABD
ADC
ABC
S
S
S
+
=
=
=
．
故答案为：3．
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4．（24-25 九年级上·四川南充·期中）如图，四边形ABCD中，
90
BAD
ACB
=
=
，AB
AD
=
，
3
AC =
，
1
BC = ，则四边形ABCD的面积是
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D 作DE
AC
⊥
于E，证明
ABC
DAE
△
≌△
，得出
3
AC
DE
=
= ，然后根据
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
求解即可．
【详解】解∶过D 作DE
AC
⊥
于E，则
90
AED
=
，
∴
90
EAD
ADE
+
=
，
∵
90
BAD
ACB
=
=
，
∴
90
BAC
DAE
+
=
，
∴
BAC
ADE
=
，
又
90
ACB
DEA
=
=
，AB
AD
=
，
∴
ABC
DAE
△
≌△
，
∴
3
AC
DE
=
= ，
∴
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
BC AC
AC DE
=
+
1
1
1 3
3 3
2
2
=
+
6
=
，
故答案为：6．
5．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，
ABC
的面积为
2
1cm ，BP平分
ABC
，AP
BP
⊥
于P ，
则
PBC
△
的面积为
2
cm ．
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【答案】1
2 /0.5
【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将
该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长AP 交BC 于E ，证明ABP
EBP
≌
得到AP
PE
=
，
再利用三角形的中线性质求解即可．
【详解】解：延长AP 交BC 于E ，
BP
平分
ABC
，
ABP
EBP
=
，
AP
BP
⊥
，
90
APB
EPB
=
=
，
在ABP
和
EBP
△
中，
ABP
EBP
BP
BP
APB
EPB
=
=
=
，
(ASA)
ABP
EBP
≌
，
AP
PE
=
，
ABP
EBP
S
S
=
△
△
ACP
ECP
S
S
=
，
ABC
的面积为
2
1cm ，
2
1
1 cm
2
2
PBC
EBP
ECP
ABC
S
S
S
S
=
+
=
=
．
故答案为：1
2 ．
6．（24-25 七年级下·上海·期中）在
ABC
中，AD、CE 是高，AD、CE 相交于F ，AF
BC
=
，连接DE ，
3
AE
BE
=
，
ABC
的面积为7．则AFC
的面积等于 ．
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【答案】7
2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明
(
)
AAS
EAF
ECB
≌
得到
AE
CE
BE
FE
=
=
，
；根据
3
AE
BE
=
，得到
3
2
4
3
AE
AB
CF
CF
=
=
，
，由此求解即可．
【详解】解：∵在
ABC
中，AD、CE 是高，
∴
90
AEC
ADC
BEC
=
=
=
，
∵
AFE
CFD
=
，
180
AEF
AFE
EAF
+
+
=
，
180
CDF
CFD
DCF
+
+
=
，
∴
EAF
ECB
=
，
又∵AF
BC
=
，
∴
(
)
AAS
EAF
ECB
≌
，
∴AE
CE
BE
FE
=
=
，
，
∵
3
AE
BE
=
，
∴
3
3
AE
CE
BE
EF
=
=
=
，
∴
3
2
4
3
AE
AB
CF
CE
=
=
，
，
∴
3
21
4
4
ACE
ABC
S
S
=
=
△
△
，
∴
2
7
3
2
ACF
ACE
S
S
=
=
△
△
，
故答案为：7
2 ．
7．（23-24 七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形ABC 中，
60
BAC
=
，BE ，CD分别为
ABC
的
角平分线．BE ，CD相交于点F ，FG 平分
BFC
，已知
3
BD =
，
2
CE =
，BFC
的面积
2.5
=
，求
BCD
△
的面积= ．
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【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，FM
AB
⊥
于
点M ，根据角平分线性质定理求出FM
FN
=
，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出
60
BFD
BFG
=
=
，利用ASA证明
BDF
BGF
△
≌△
，CEF
CGF
≌
，则BD
BG
=
，CE
CG
=
，
5
BC
BG
CG
BD
CE
=
+
=
+
= ，根据三角形面积公式求出
1
FN
FM
= =
，
1
3
2
2
BDF
S
BD FM
=
=
，再根据
BCD
△
的面
积
BDF
BFC
S
S
=
+
求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，FM
AB
⊥
于点M ，
60
BAC
=
，BE 、CD为三角形ABC 的角平分线，
1
1
1
(180
)
60
2
2
2
EBC
DCB
ABC
ACB
BAC
+
=
+
=
−
=
，FM
FN
=
，
180
(
)
120
BFC
EBC
DCB
=
−
+
=
，
60
BFD
=
，
FG
平分
BFC
，
1
60
2
BFG
BFC
DFB
=
=
=
，
在BDF
和BGF
中，
BFD
BFG
BF
BF
DBF
GBF
=
=
=
，
(ASA)
BDF
BGF
≌
，
BD
BG
=
，
同理可得
(ASA)
CEF
CGF
≌
，
CE
CG
=
，
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BC
BG
CG
BD
CE
=
+
=
+
，
3
BD
BG
=
=
，
2
CE
CG
=
=
，
5
BC
= ，
BFC
的面积
2.5
=
，
1
2.5
2 BC FN
=
，
1
FN
= ，
1
FM
= ，
1
1
3
3 1
2
2
2
BDF
S
BD FM
=
=
=
，
BCD
△
的面积
4
BDF
BFC
S
S
=
+
=
，
故答案为：4．
题型八：全等三角形的判定综合
1．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，已知：
D
B
= ，AD
BC
∥
，AE
CF
=
．
(1)求证：
ADF
CBE
△
≌△
(2)若
20,
17
AC
CE
=
=
，求EF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是
解题的关键．
（1）先由平行线的性质得到
A
C
=
，再证明AF
CE
=
，据此可利用AAS证明
ADF
CBE
△
≌△
；
（2）由全等三角形的性质可得
17
AF
CE
=
=
，再求出CF 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
∥
，
∴
A
C
=
，
∵AE
CF
=
，
∴AE
EF
CF
EF
+
=
+
，即AF
CE
=
，
又∵
D
B
= ，
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∴
(
)
AAS
ADF
CBE
≌
△
△
；
（2）解：∵
ADF
CBE
△
≌△
，
∴
17
AF
CE
=
=
，
∴
3
CF
AC
AF
=
−
= ，
∴
14
EF
CE
CF
=
−
=
．
2．（24-25 七年级下·吉林·阶段练习）如图，
ABD
△
是等腰直角三角形，
90
ADB
=
，点F 是AD上一点（点
F 不与点A、D 重合），延长BD至点C ，使DC
DF
=
．
(1)求证：BDF
ADC
≌
；
(2)求证：BE
AC
⊥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）等腰直角三角形，得到AD
BD
=
，进而得到
90
ADC
ADB
=
=
，再根据DC
DF
=
，即可得证；
（2）根据全等三角形的对应角相等，得到
DBF
CAD
=
，进而得到
90
DBF
ACD
CAD
ACD
+
=
+
=
，
得到
90
BEC
=
，即可得证．
【详解】（1）证明：∵
ABD
△
是等腰直角三角形，
90
ADB
=
，
∴AD
BD
=
，
90
ADC
ADB
=
=
，
又∵DC
DF
=
，
∴
(
)
SAS
BDF
ADC
≌
△
△
；
（2）由（1）知：
(
)
SAS
BDF
ADC
≌
△
△
，
∴
DBF
CAD
=
，
∴
90
DBF
ACD
CAD
ACD
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
90
BEC
DBF
ACD
=
−
+
=
，
∴BE
AC
⊥
．
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3．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，CB
AD
⊥
，AE
DC
⊥
，垂足分别为B ，E ，AE ，BC 相交于点F ，
且AB
BC
=
．
(1)求证：
ABF
CBD
≌
△
△
；
(2)已知
7
AD =
，
2
BF =
，求CF 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
3
CF = ．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．
（1）由条件可求得
A
C
=
，利用ASA可证明ABF
CBD
≌
；
（2）根据全等三角形的性质得AB
CB
=
，
2
BD
BF
=
=
，则
7
2
5
BC
AB
=
=
−
=
，然后再根据CF
CB
BF
=
−
即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵CB
AD
⊥
，
∴
90
ABC
CBD
=
=
，
∴
90
C
D
+
=
；
∵AE
DC
⊥
，
∴
90
A
D
+
=
，
∴
A
C
=
；
在
ABF
△
和
CBD
△
中，
A
C
AB
BC
ABF
CBD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABF
CBD
≌
；
（2）解：∵
ABF
CBD
≌
△
△
，
2
BF =
，
∴AB
CB
=
，
2
BD
BF
=
=
，
∵
7
AD =
，
∴
7
2
5
BC
AB
=
=
−
=
，
∴
3
CF
BC
BF
=
−
=
．
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4．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、B 、C 、D 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB
的两侧，且AE
BF
=
，AE
BF
∥
，
=
AEC
BFD
．
(1)求证：AC
DB
=
(2)求证：ADE
BCF
≌
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由平行线的性质得到
EAC
FBD
=
，根据ASA即可证明
ACE
BDF
≌
，即可得出结论；
（2）由AC
DB
=
，得到AD
BC
=
，根据SAS即可证明ADE
BCF
≌
．
【详解】（1）证明：∵AE
BF
∥
，
∴
EAC
FBD
=
，
在
ACE
△
和BDF
中，
EAC
FBD
AE
BF
AEC
BFD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ACE
BDF
≌
，
∴AC
DB
=
；
（2）证明：∵AC
DB
=
，
∴AD
BC
=
，
在
ADE
和
BCF
中，
AD
BC
EAC
FBD
AE
BF
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
BCF
△
△
≌
．
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5．
（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，在
ABC
中，已知
2
ABC
ACB
=
，BD平分
ABC
，AD
BD
⊥
，
(1)若BDC
的面积是5，求
ABC
的面积；
(2)求证：
2
AC
BD
=
．
【答案】(1)10
(2)证明见解析
【分析】（1）延长AD交BC 于点H ，可证
(
)
ASA
ABD
HBD
≌
，可得AD
HD
=
，进而由中线性质可得
BAD
BHD
S
S
=
，
CAD
CHD
S
S
=
，即得
5
BAD
CAD
BHD
CHD
BDC
S
S
S
S
S
+
=
+
=
=
，即可求解；
（2 ）过点B 作BF
AC
⊥
于F ，过点C 作CE
BD
⊥
的延长线于E ，可证
(
)
AAS
BCF
CBE
≌
，可得BF
CE
=
，
又由（1）得
2
ABC
BDC
S
S
=
△
△
，即可得1
1
·
2
?
2
2
AC BF
BDCE
=
，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关
键．
【详解】（1）解：延长AD交BC 于点H ，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
HBD
=
，
∵AD
BD
⊥
，
∴
90
ADB
HDB
=
=
，
∵BD
BD
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
HBD
≌
，
∴AD
HD
=
，
∴
BAD
BHD
S
S
=
，
CAD
CHD
S
S
=
，
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∴
5
BAD
CAD
BHD
CHD
BDC
S
S
S
S
S
+
=
+
=
=
，
∴
5
5
10
ABC
S
=
+
=
；
（2）证明：过点B 作BF
AC
⊥
于F ，过点C 作CE
BD
⊥
的延长线于E ，则
90
BFC
CEB
=
=
∠
∠
，
∵
2
ABC
ACB
=
，BD平分
ABC
，
∴
BCF
CBE
=
，
又∵BC
CB
=
，
∴
(
)
AAS
BCF
CBE
≌
，
∴BF
CE
=
，
∵
5
BDC
S
= ，
10
ABC
S
=
△
，
∴
2
ABC
BDC
S
S
=
△
△
，
即1
1
·
2
?
2
2
AC BF
BDCE
=
，
∴
2
AC
BD
=
．
6．（2025·海南·一模）如图，点E、C、D、A 在同一条直线上，AB
DF
∥
，AB
DE
=
，B
E
=，线段BC
与线段DF 交于点G．
(1)求证：
ABC
DEF
≌
△
△
；
(2)若
38
BGF
=
，
82
A
=
，求
F
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
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解答的关键．
（1）先证明
A
EDF
=
，再根据全等三角形的判定ASA 可证得结论；
（2）先平行线的性质得到
38
B
BGF
=
=
，再根据三角形的内角和定理求出
ACB
，最后根据全等三角
形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB
DF
∥
，
∴
A
EDF
=
，
在
ABC
和DEF
中，
A
EDF
AB
DE
B
E
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABC
DEF
≌
；
（2）解：∵AB
DF
∥
，
38
BGF
=
，
∴
38
B
BGF
=
=
，
∵
82
A
=
，
∴
180
60
ACB
B
A
=
−−=
，
∵
ABC
DEF
≌
△
△
，
∴
60
F
ACB
=
=
．
7．
（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点B，C，D 在同一条直线上，
,
,
AB
BD DE
AB AC
BE
⊥
=
∥
，
且AC
BE
⊥
．
(1)试说明BC
DE
=
．
(2)若
12
DE =
，C 是BD的中点，求AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出
E
ACB
=
，然后根据AAS证明
ABC
BDE
△
≌△
，
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最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可．
【详解】（1）证明：
AB
BD
⊥
，
90
ABC
=
，
又DE
AB
∥
，
180
90
BDE
ABC
=
−
=
，
BDE
ABC
=
，
在Rt
BDE
△
中，
90
DBE
E
+
=
，
∵AC
BE
⊥
，
∴
90
DBE
ACB
+
=
，
ACB
E
= ，
又
BDE
ABC
=
，AC
BE
=
，
(
)
AAS
ABC
BDE
≌
，
BC
DE
=
；
（2）解：由（1）得
ABC
BDE
△
≌△
，
12
BC
BC
=
=
，AB
BD
=
，
又点C 是BD的中点，
2
24
BD
BC
=
=
，
24
AB
BD
=
=
．
8．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形ABCD中，DC
CB
⊥
，AD
BE
，BF 平分
ABC
，且DF
CF
=
，
连接AF 并延长，交BC 的延长线于点E ．
(1)求证：AF 平分
DAB
；
(2)若ABE
的面积是24，
3
DF =
，求AB 长．
【答案】(1)见解析
(2)8
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【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）过点F 作FG
AB
⊥
于点G ，由DC
BE
⊥
， BF 平分
ABC
，得到FC
FG
=
，
90
DCE
=
，推出DF
FG
=
，
即可得到结论；
（2）由（1）知FG
DF
=
，得到
3
FG
DF
=
= ，证明
(
)
ASA
ADF
ECF
≌
，得到AF
EF
=
，推出
1
1
12
2
24
2
ABF
ABE
S
S
=
=
=
，求出
8
AB =
．
【详解】（1）证明：过点F 作FG
AB
⊥
于点G ，
DC
BE
⊥
，垂足为C ，且BF 平分
ABC
，
FC
FG
=
，
90
DCE
=
，
DF
CF
=
，
DF
FG
=
，
AD
BE
，
90
ADC
DCE
=
=
，即FD
DA
⊥
，
AF
平分
DAB
；
（2）解：由（1）知FG
DF
=
，
3
FG
DF
=
= ，
在
ADF
△
和
ECF
△
中，
90
ADF
ECF
DF
CF
AFD
EFC
=
=
=
=
，
(
)
ASA
ADF
ECF
≌
，
AF
EF
=
，
1
1
12
2
2
24
ABF
ABE
S
S
=
=
=
，
1
1
·
3
12
2
2
AB FG
AB
=
=
，
8
AB
= ．
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43 /
题型九：全等三角形的判定实际应用
1．（24-25 八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低
点B．最终荡到最高点C 处，若
=90
AOC
，
8.5
OA =
米，水平距离
4
BD =
米，则点C 与点B 的高度差CE
为 米．
【答案】4.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.
作AF
BO
⊥
于F，CG
BO
⊥
于G，根据AAS可证AOF
OCG
≌
，根据全等三角形的性质可得
4
OG =
米，
根据线段的和差关系和等量关系可求点C 与点B 的高度差CE ．
【详解】解：作AF
BO
⊥
于F，CG
BO
⊥
于G，
∵
90
AOC
AOF
COG
=
+
=
，
90
AOF
OAF
+
=
，
∴
COG
OAF
=
，
在AOF
与OCG
中，
AFO
OGC
OAF
COG
AO
OC
=
=
=
，
∴AOF
OCG
≌
（AAS），
∴
4
OG
AF
BD
=
=
=
米，
则
8.5 4
4.5
CE
GB
OB OG
=
=
−
=
−
=
（米）．
故答案为：4.5 ．
2．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A
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44 /
处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B 处接住她后用力一堆，爸爸在C 处接住她．若
点B 距离地面的高度为1.5m，点B 到OA的距离BD为1.7m，点C 距离地面的高度是1.6m，
90
BOC
=
，
则点C 到OA的距离CE 为 米．
【答案】1.8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，由AAS证明OBD
COE
≌
得出OE
BD
=
，CE
OD
=
即
可推出结果．
【详解】解：点B 距离地面的高度为1.5m，点C 距离地面的高度是1.6m，
点D 距离地面的高度为1.5m，点E 距离地面的高度是1.6m，
(
)
1.6 1.5
0.1 m
DE
=
−
=
，
90
BDO
BOC
=
=
，
90
OBD
BOE
BOE
COD
+
=
+
=
，
OBD
COD
=
，
又由题意可知，OB
OC
=
，
(
)
AAS
OBD
COE
≌
，
1.7m
OE
BD
=
=
，CE
OD
=
，
(
)
1.7
0.1
1.8 m
CE
OD
OE
DE
=
=
+
=
+
=
，
点C 到OA的距离CE 为1.8m，
故答案为：1.8．
3．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块垒了两堵与
地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC
BC
=
，
90
ACB
=
），则两堵木墙之
间的距离为 cm．
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45 /
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得
9cm
AD =
，
21cm
BE =
，由余角性质得
CAD
BCE
=
，进而可得
(
)
AAS
ACD
CBE
△
≌△
，即得
9cm
AD
CE
=
=
，
21cm
CD
BE
=
=
，再根据线段的
和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
3 3
9cm
AD = =
，
3 7
21cm
BE = =
，
90
ADC
CEB
=
=
，
∴
90
ACD
CAD
+
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
BCE
+
=
，
∴
CAD
BCE
=
，
又∵AC
CB
=
，
∴
(
)
AAS
ACD
CBE
△
≌△
，
∴
9cm
AD
CE
=
=
，
21cm
CD
BE
=
=
，
∴
21 9
30cm
DE
CD CE
=
+
=
+ =
，
故答案为：30．
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，在一个支架的横杆上点O 处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A
可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB 位置，此时
过点B 作BD
OA
⊥
于点D；当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直（图中的点A，B，O，C 在同一平
面上），过点C 作CE
OA
⊥
于点E．已知
13cm
CE =
，细绳OA的长为15cm，则AD的长为 cm．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
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证明
COE
B
= ，结合
90
CEO
ODB
=
=
，OB
OC
=
，得
COE
OBD
△
≌△
，得
13
CE
OD
=
=
，即得
2
AD =
．
【详解】解：由条件可知
90
BOD
COE
BOC
+
=
=
，
又∵CE
OA
⊥
，BD
OA
⊥
，
∴
90
COE
B
BOD
= =
−
，
在COE
和OBD
中，
CEO
ODB
COE
B
OC
OB
=
=
=
，
∴
(
)
COE
OBD AAS
≌
，
∴
13cm
CE
OD
=
=
，
又∵
15cm
OA =
，
∴
(
)
15 13
2 cm
AD =
−
=
．
故答案为：2．
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍CD与高楼AB 之间选定一点
P ，在点P 处用测角仪测得木棍顶端C 的视线PC 与地面的夹角
19
DPC
=
，测得楼顶A 的视线PA与地面
的夹角
71
BPA
=
，量得点P 到楼底的距离PB 与木棍高度相等，都等于5m ，量得木棍与高楼之间的距离
23m
DB =
，则高楼的高度是 m ．
【答案】18
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证明CDP
PBA
≌
，得到PD
AB
=
，即可得到答案．
【详解】解：
90
CDP
=
，
19
DPC
=
，
90
71
DCP
DPC
=
−
=
，
71
BPA
=
，
DCP
BPA
=
，
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47 /
在
CDP
△
和
PBA
△
中
5m
90
DCP
BPA
CD
PB
CDP
PBA
=
=
=
=
=
，
(
)
ASA
CDP
PBA
≌
，
PD
AB
=
，
23m
DB =
23 5 18m
AB
PD
DB
PB
=
=
−
=
−=
，
故答案为：18．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，太阳光线AC 与A C
是平行的，AB 表示一棵松树，A B
表示一
棵杨树，同一时刻两棵树的影长相等．已知杨树高5m ，则松树高 ．
【答案】5m/5 米
【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
用ASA证明
A
ABC
B C
≌
△
△
，由全等三角形的性质得出答案．
【详解】解：由题意，得
90
ABC
A B C
=
=
，AC
A C
∥
，
∴
ACB
A C B
=
，
在
ABC
与A B C
中，
ACB
A C B
BC
B C
ABC
A B C
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABC
A B C
△
≌△
，
∴
5m
AB
A B
=
=
．
故答案为：5m ．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C 处，面向河对岸，
压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A 处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的
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岸上的一块石头B，并测得
30m
BC =
，则河宽为 ．
【答案】30m
【分析】本题考查全等三角形应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
由题意得
ADC
BDC
=
，
90
ACD
BCD
=
=
然后用ASA 证明ACD
BCD
≌
，由全等三角形的性质，
即可求解．
【详解】解：由题意得
ADC
BDC
=
，
90
ACD
BCD
=
=
，
在ACD
和
BCD
△
中，
ACD
BCD
CD
CD
ADC
BDC
=
=
=
，
∴
(
)
≌
ASA
ACD
BCD
，
∴
30m
AC
BC
=
=
，
故答案为：30m．
8．（24-25 八年级上·河南漯河·期末）跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩
跷跷板游戏，如图，支点O 是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O 到地面的距离是50cm，
当小敏从水平位置CD下降40cm 时，小明离地面的高度是 cm．
【答案】90
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据AAS证明FCO
GDO
≌
，可得FC
DG
=
，即可求
解．
【详解】解：由题意可知，
,
,
90
OF
OG
FOC
DOG
FCO
GDO
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
FCO
GDO
≌
，
∴FC
DG
=
，
∵当小敏从水平位置CD下降40cm ，即
40cm
DG =
，
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49 /
∴
40cm
CF =
，
又∵点O 至地面的距离是50cm，
∴这时小明离地面的高度是50
40
90(cm)
+
=
，
故答案为：90．
题型一：全等三角形中最值问题
1．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，ABC
中，AC
BC
=
，M、N 分别为BC 、AC 上动点，
且BM
CN
=
，连AM 、CN ，当AM
BN
+
最小时，CM
CN = （ ）．
A．2
B．3
2
C．5
4
D．1
【答案】D
【分析】过B 点在BC 下方作BH
AC
∥
，且BH
AC
=
，链接BH ，AH ，先证明BCN
HBM
≌
，即有BN
HM
=
，
则AM
BN
AM
MH
+
=
+
，当A、M、H 三点共线时，AM
MH
+
值最小，再证明ACM
HBM
≌
，问题随之
得解．
【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH
AC
∥
，且BH
AC
=
，链接BH ，AH ，
∵BH
AC
∥
，
∴
C
CBH
=
，
∵BH
AC
=
，BM
CN
=
，
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50 /
∴BCN
HBM
≌
，
∴BN
HM
=
，
∴AM
BN
AM
MH
+
=
+
，
当A、M、H 三点共线时，AM
MH
+
值最小，
如图，
此时∵BH
AC
∥
，
∴
C
CBH
=
，
CAM
BHM
=
，
∵AC
BC
=
，
∴ACM
HBM
≌
，
∴CM
BM
=
，
∵BM
CN
=
，
∴
1
CM
CM
CN
BM
=
= ，
故选：D．
2．（24-25 八年级上·福建·期中）如图，在
ABC
中，
8,
BC
AD
=
是
BAC
的角平分线，CD
AD
⊥
于点D ．若
点A 为动点，在点A 运动的过程中满足
3.5
AC
AB
−
=
，则
BDC
S△
的最大值为（ ）
A．28
B．24
C．14
D．7
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长CD和AB 相交于点E ，构造出
(ASA)
ADC
ADE
≌
，从而求出BE 的值；
BCE
BDC
S
S
= 2
，根据当BE
BC
⊥
时，
BCE
S
有最大值求解即可；
【详解】解：延长CD和AB 相交于点E ，如图：
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∵AD 是
BAC
的角平分线
∴
CAD
EAD
=
∵CD
AD
⊥
∴
CDA
EDA
=
=
90
AD
AD
=
(ASA)
ADC
ADE
≌
AC
AE
DC
DE
=
=
，
.
BE
AE
AB
AC
AB
=
−
=
−
= 3 5 ，
BCE
BDC
S
S
= 2
当BE
BC
⊥
时，
BCE
S
有最大值；
1
1 8 3.5
14
2
2
BCE
S
BC CE
=
=
=
7
1
2
DC
E
B
BC
S
S
=
=
△
故选：D．
3．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt ABC
中，
90
A
=
，
3
AB = ，
4
AC =
，D 为AC 中点，P
为AB 上的动点，连接PD，过点D 作DP
DP
⊥
且DP
DP
=
，连接CP，则线段CP的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出
ADP
EPD
=
∠
∠
．
先过P作
⊥
P E
AC 于E ，根据DAP
PED
≌
，可得
2
PE
AD
=
=
，再根据当
2
AP
DE
=
=
时，DE
DC
=
，
即点E 与点C 重合，即可得出线段CP的最小值为 2 ．
【详解】解：∵点D 是AC 中点，
4
AC =
，
∴
2
AD
CD
=
=
，
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如图所示，过P作
⊥
P E
AC 于E ，则
90
A
P ED
=
=
，
∵
,
90
DP
P D
PDP
=
=
，
90
ADP
EP D
CDP
=
=
−
，
DP
P D
=
，
(
)
DAP
P ED AAS
≌
，
2
PE
AD
=
=
，
∴当
2
AP
DE
=
=
时，DE
DC
=
，
即点E 与点C 重合，此时
2
CP
EP
=
=
，
∴线段CP的最小值为 2 ．
故答案为：2．
4．（24-25 八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形ABCD中，
90 ,
5
A
AD
=
=
，连接
,
,
BD BD
CD
ADB
C
⊥
=
，若P 是BC 边上一动点，连接DP，则DP长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点．过点D 作
DE
BC
⊥
于点E，根据垂线段最短得出当DP
DE
=
时，DP最小，求出
ADB
BDE
=
，可证明ABD
EBD
≌
，
从而得到得出
5
DE
AD
=
= ，即可得出选项．
【详解】解：如图，过点D 作DE
BC
⊥
于点E，则当DP
DE
=
时，DP最小，
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∵
,
90
BD
DC
A
⊥
=
，
∴
90
,
90
DEB
DEC
A
BDC
=
=
=
=
，
∴
90 ,
90
C
CDE
CDE
BDE
+
=
+
=
，
∴
BDE
C
=
，
又∵
ADB
C
=
，
∴
ADB
BDE
=
，
∴在
ABD
△
和
EBD
△
中 ，
∵
ADB
BDE
=
，
90 ,
DEB
DEB
BD
BD
=
=
=
，
∴
ABD
EBD
△
≌△
，
∴
5
DE
AD
=
= ，
即DP的最小值为5．
故答案为：5．
5．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，
ABC
中，
3
AB
AC
−
= ，
8
BC = ，BD垂直于
BAC
的角
平分线AD于点D，E 为AC 的中点，连接BE 交AD于F ，则BDF
、AEF
△
的面积之差的最大值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积等知识，正确的作出辅助线是解题关键．延
长AC 、BD交于点H ，证明
(
)
ASA
ABD
AHD
≌
，得到AB
AH
=
，BD
HD
=
，进而得出
3
CH = ，根据三
角形中线推出
(
)
1
1
2
2
BDF
AEF
ABD
ABE
ABH
ABC
BCH
S
S
S
S
S
S
S
−
=
−
=
−
=
，再根据当BC
AH
⊥
时，BCH
的面积有最大值，即
可求解．
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【详解】解：如图，延长AC 、BD交于点H ，
∵BD垂直于
BAC
的角平分线AD于点D ，
∴
BAD
HAD
=
，
90
ADB
ADH
=
=
，
在
ABD
△
和AHD
中
BAD
HAD
AD
AD
ADB
ADH
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
AHD
≌
，
∴AB
AH
=
，BD
HD
=
，
∵
3
AB
AC
−
= ，
3
AH
AC
CH
−
=
=
，
BD
HD
=
，E 为AC 的中点，
1
2
ABD
ABH
S
S
=
，
1
2
ABE
ABC
S
S
=
△
△
，
BDF
ABD
ABF
S
S
S
=
−
，
AEF
ABE
ABF
S
S
S
=
−
，
(
)
1
1
2
2
BDF
AEF
ABD
ABE
ABH
ABC
BCH
S
S
S
S
S
S
S
−
=
−
=
−
=
，
∵当BC
AH
⊥
时，BCH
的面积有最大值，为1
1
8 3
12
2
2
BC CH
=
=
，
BDF
、
AEF
△
的面积之差的最大值为6，
故答案为：6．
题型二：全等三角形中动点问题
1．
（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，ABC
中，BAD
DAC
=
，DF
AB
⊥
，DM
AC
⊥
，
16cm
AB =
，
10cm
AF =
，
14cm
AC =
，动点E 以2cm / s的速度从A 点出发沿A
B
F
→
→
路径向终点F 运动；动点G 以
1cm / s 的速度从C 点沿C
A
→
向终点A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时
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间为( )s
t
，则当t = 秒时，
DFE
△
与DMG
全等．
【答案】6 或14
3 或26
3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明
(
)
AAS
AFD
AMD
△
≌△
得到
10cm
AM
AF
=
=
，
DF
DM
=
，则可推出只存在DFE
DMG
≌
这种情况，则由EF
MG
=
，再分0
4
t
，5
8
t
和8
11
t
，
三种情况分别用含t 的式子表示出EF
MG
，
的长，然后建立方程求解即可．
【详解】解：∵DF
AB
⊥
，DM
AC
⊥
，
∴
90
DFE
DMG
=
=
，
又∵AD
AD
FAD
MAD
=
=
，∠
∠
，
∴
(
)
AAS
AFD
AMD
△
≌△
∴
10cm
AM
AF
=
=
，DF
DM
=
，
∵
14cm
AC =
，
∴
4cm
CM
AC
AM
=
−
=
；
∵
DFE
△
与DMG
全等，
∴只存在DFE
DMG
≌
这种情况，
∴EF
MG
=
，
当0
4
t
时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上，
∴
(
)
(
)
10
2
cm
4
cm
EF
AF
AE
t
MG
CM
CG
t
=
−
=
−
=
−
=
−
，
∴10 2
4
t
t
−
=
−，
∴
6
t =
（不合题意，舍去）；
②当4
5
t
时，点G 在线段AM 上，点E 在线段AF 上，
∴
(
)
(
)
(
)
16
10
2
16
22
2
cm
4 cm
EF
BF
BE
t
t
MG
CG
CM
t
=
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
，
∴10 2
4
t
t
−
= −，
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∴
14
3
t =
；
当5
8
t
时，点G 在线段AM 上，点E 在线段BF 上，
∴
(
)
(
)
2
10 cm
4 cm
EF
AE
AF
t
MG
CG
CM
t
=
−
=
−
=
−
=
−
，
∴2
10
4
t
t
−
= −，
∴
6
t =
；
当8
11
t
时，点G 在线段AM 上，点E 在线段BF 上，
∴
(
)
(
)
2
10 cm
4 cm
EF
AE
AF
t
MG
CG
CM
t
=
−
=
−
=
−
=
−
，
∴22
2
4
t
t
−
= −
，
∴
26
3
t =
；
综上所述，t 的值为6 或14
3 或26
3 ，
故答案为：6 或14
3 或26
3 ．
2．（24-25 七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
9cm
AC =
，
3cm
BC =
，CD为
AB 边上的高，点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm/s的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD于点F ，
当点E 运动 s 时，CF
AB
=
．
【答案】6 或3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是
解题的关键．
先证明
(
)
AAS
CEF
ACB
≌
，得出
9cm
CE
AC
=
=
，①当点E 在射线BC 上移动时，
(
)
9
3
12 cm
BE
CE
BC
=
+
=
+
=
，即可求出E 移动了6s；②当点E 在射线CB 上移动时，
(
)
9
3
6 cm
BE
AC
BC
=
−
=
−
=
，即可求出E 移动了3s ．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
∴
90
A
CBD
+
=
，
∵CD为AB 边上的高，
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∴
90
CDB
=
，
∴
90
BCD
CBD
+
=
，
∴
A
BCD
=
，
∵
BCD
EC
=
，
∴
ECF
A
= ，
∵过点E 作BC 的垂线交直线CD于点F，
∴
90
CEF
ACB
=
=
，
在
CEF
△
和
ACB
△
中，
ECF
A
CEF
ACB
CF
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CEF
ACB
≌
，
∴
9cm
CE
AC
=
=
，
①如图，当点E 在射线BC 上移动时，
(
)
9
3
12 cm
BE
CE
BC
=
+
=
+
=
，
∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm/s的速度移动，
∴E 移动了：
( )
12
6 s
2 =
；
②当点E 在射线CB 上移动时，
(
)
9
3
6 cm
BE
AC
BC
=
−
=
−
=
，
∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm/s的速度移动，
∴E 移动了：
( )
6
3 s
2 =
；
综上所述，当点E 在射线CB 上移动6s或3s时，CF
AB
=
；
故答案为：6 或3．
3．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，AE 与BD相交于点C，AC
EC
=
，AB
DE
∥
，
8cm
AB =
，点
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P 从点A 出发，沿A
B
A
→
→
方向以2cm/s的速度运动，点Q 同时从点D 出发，沿D
E
→
方向以1cm/s 的速
度运动，当点P 到达点A 时，P、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为st ．当P，Q，C 三点共线时，
t 的值为 ．
【答案】8 或8
3
【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论
思想．
根据题意即可利用AAS证明
ABC
EDC
△
△
≌
， 得
ABC
EDC
=
，
BAD
DEC
=
，由三点共线得
ACP
ECQ
=
，即可证明
ACP
ECQ
≌
△
△
，有AP
EQ
=
，利用分类讨论当0
4
t
时，当4
8
t
时，列
方程求解即可．
【详解】解：∵AB
DE
∥
∴
ABC
EDC
=
，
BAD
DEC
=
，
在
ABC
和
EDC
△
中，
AC
EC
ACB
ECD
ABC
EDC
=
=
=
，
AAS
ABC
EDC
≌
（
），
8cm
AB
ED
=
=
；
如图，
∵P，Q，C 三点共线，
ACP
ECQ
=
，
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在
ACP
△
和ECQ
中，
A
E
AC
EC
ACP
ECQ
=
=
=
，
ASA
ACP
ECQ
≌
（
）
，
AP
EQ
=
，
∵点P 从点A 出发，沿A
B
A
→
→
方向以2cm/s的速度运动，点Q 同时从点D 出发，沿D
E
→
方向以1cm/s
的速度运动，
∴当0
4
t
时，
cm
DQ
t
=
，
2 cm
AP
t
=
则
(
)
8
cm
EQ
t
=
−
，
2
8
t
t
= −，
8
3
t
=
，
当4
8
t
时，
cm
DQ
t
=
，
(
)
16
2
cm
AP
t
=
−
，
16
2
8
t
t
−
= −，
解得：
8
t =
，
∴综上所述，当P、C、Q 三点共线时，t 的值为8 或8
3 ．
4．（24-25 七年级下·河南·期中）如图，AB
DE
∥
，AE 与BD相交于点C，AC
EC
=
，
8cm
AB =
，点P 从
点A 出发，沿A
B
A
→
→
方向以3
/ s
cm
的速度运动，同时点Q 从点D 出发，沿D
E
→
方向以1
/s
cm
的速度
运动，当点P 回到点A 时，P、Q 两点同时停止运动．连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，点P 的运动时间
为 s．
【答案】2 或4
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
先证
ACB
△
ECD
≌
(
)
SAS ，可得
8cm
ED
AB
=
=
；当线段PQ 经过点C 时，证明
(
)
ASA
ACP
ECQ
≌
，推
出AP
EQ
=
，分点P 沿A
B
→
方向运动和沿B
A
→
方向运动两种情况，分别列式求解．
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【详解】解：∵AB
DE
∥
，
∴
A
E
=，
在
ACB
△
和ECD
中，
A
E
AC
EC
ACB
ECD
=
=
=
，
ACB
△
ECD
≌
(
)
SAS ，
8cm
ED
AB
=
=
，
当线段PQ 经过点C 时，如下图所示：
在
ACP
△
和ECQ
中，
A
E
AC
EC
ACP
ECQ
=
=
=
，
ACP
△
ECQ
≌
(
)
ASA ，
AP
EQ
=
，
当点P 沿A
B
→
方向运动时，
3
AP
t
=
，DQ
t
= ，
8
EQ
ED
DQ
t
=
−
=
−，
3
8
t
t
= −，
解得
2
t =
；
当点P 沿B
A
→
方向运动时，
2
3
16 3
AP
AB
t
t
=
−
=
−
，DQ
t
= ，
8
EQ
ED
DQ
t
=
−
=
−，
16 3
8
t
t
−
= −，
解得
4
t =
综上可知，t 的值为2s或4s，
故答案为：2 或4．
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5．（24-25 八年级上·湖北荆州·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，CD为AB 边上的高，
15 cm
AB =
，
6 cm
CD =
，点F 从点D出发，在直线CD上以3 cm 的速度移动，过点F 作BC 的垂线交直线BC 于点E ．当
点F 运动 s 时，CE
AC
=
．
【答案】3 或7
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判
定方法，注意分类讨论．分两种情况：当点F 在射线DC 上时，当点F 在射线CD上时，分别画出图形求出
结果即可．
【详解】解：当点F 在射线DC 上时，如图所示：
∵FE
BC
⊥
，
∴
90
CEF
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACE
=
，
∴
90
ACD
ECF
+
=
，
90
ECF
EFC
+
=
，
∴
ACD
EFC
=
∠
∠
，
∵
90
ACD
BCD
+
=
，
90
BCD
ABC
+
=
，
∴
ABC
ACD
=
，
∴
EFC
ABC
=
，
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∵
90
FEC
ACB
=
=
，CE
AC
=
，
∴CEF
ACB
≌
，
∴
15cm
CF
AB
=
=
，
∴
(
)
15
6
21 cm
DF
CD
CF
=
+
=
+
=
，
∴此时点F 运动时间为
( )
21 3
7 s
=
．
当点F 在射线CD上时，如图所示：
∵FE
BC
⊥
，
∴
90
CEF
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
ECF
+
=
，
90
ECF
EFC
+
=
，
∴
ACD
EFC
=
∠
∠
，
∵
90
ACD
BCD
+
=
，
90
BCD
ABC
+
=
，
∴
ABC
ACD
=
，
∴
EFC
ABC
=
，
∵
90
FEC
ACB
=
=
，CE
AC
=
，
∴CEF
ACB
≌
，
∴
15cm
CF
AB
=
=
，
∴
(
)
15
6
9 cm
DF
CF
CD
=
−
=
−
=
，
∴此时点F 运动时间为
( )
9
3
3 s
=
．
综上分析可知：点F 运动3s 或7s时，CE
AC
=
．
故答案为：3 或7．
6．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
21cm
AC =
，
9cm
BC =
，CD为AB
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边上的高，点E 从点B 出发，在直线BC 上以3cm / s的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD于点F ，
当点E 运动 s 时，CF
AB
=
．
【答案】4 或10
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E 运动的
时间为st ，分两种情况讨论，一是点E 从点B 出发沿射线BC 方向运动，可证明CFE
ABC
≌
，则
21cm
CE
AC
=
=
，而
9cm
BC =
，且BE
BC
CE
=
+
，所以3
21 9
t =
+ ，求得
10
t =
；二是点E 从点B 出发沿射
线CB 方向运动，可证明CFE
ABC
≌
，则
21cm
CE
AC
=
=
，此时BE
CE
BC
=
−
，所以3
21 9
t =
−，求得
4
t =
，
于是得到问题的答案．
【详解】解：设点E 运动的时间为st ，
如图1，点E 从点B 出发沿射线BC 方向运动，
∵CD为AB 边上的高，
∴CD
AB
⊥
，
∵
90
ACB
=
，EF
BC
⊥
，
∴
90
CEF
ACB
BDC
=
=
=
，
∴
90
FCE
BCD
ABC
A
=
=
−
= ，
在
CFE
△
和
ABC
中，
CEF
ACB
FCE
A
CF
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CFE
ABC
≌
，
∴
21cm
CE
AC
=
=
，
∵
9cm
BC =
，且BE
BC
CE
=
+
，
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∴3
9
21
t = +
，
解得
10
t =
；
如图2，点E 从点B 出发沿射线CB 方向运动，则
90
CEF
ACB
=
=
，
90
FCE
A
ABC
= =
−
，
在
CFE
△
和
ABC
中，
CEF
ACB
FCE
A
CF
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CFE
ABC
≌
，
∴
21cm
CE
AC
=
=
，
∵
9cm
BC =
，且BE
CE
BC
=
−
，
∴3
21 9
t =
−，
解得
4
t =
，
综上所述，当点E 运动4s或10s 时，CF
AB
=
，
故答案为：4 或10．
题型三：全等三角形中多结论问题
1．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A 、C 、E 在同一直线上，在等腰
ABC
中有AC
BC
=
，在
等腰CDE
中有CE
CD
=
，连接AD和BE ，且BE 交AD于点G ，交CD于点N ，连接CG ，延长DC 至点F
使得CF
CD
=
，连接BF ，BF 交AC 于点M ，交AD于点H ，且有
BCF
BCE
=
，以下的结论中：①
BFC
BEC
=
；②CMF
CNE
≌
；③BM
NE
AD
+
=
；④GC 平分
AGE
．其中正确结论有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证
明
BCF
BCE
≌
△
△
，得出
BFC
BEC
≌
，即可判断①正确；根据ASA 证明CMF
CNE
≌
，即可判定②正
确；根据全等三角形的性质可以证明BE
BF
BM
MF
BM
EN
=
=
+
=
+
，但AD
BF
，即BM
EN
AD
+
，
即可判定③错误；ACD
与BCE
不一定全等，AD
BE
，点C 到AD、BE 的距离不一定相等，即可判断
④错误．
【详解】解：∵CE
CD
=
，CF
CD
=
，
∴CE
CF
=
，
∵BC
BC
=
，
BCF
BCE
=
，
∴
(
)
SAS
BCF
BCE
≌
，
∴
BFC
BEC
=
，故①正确；
∵CE
CF
=
，
MCF
NCE
=
，
BFC
BEC
=
，
∴
(
)
ASA
CMF
CNE
≌
，故②正确；
∵BFC
BEC
≌
，
∴BF
BE
=
，
∵CMF
CNE
≌
，
∴EN
MF
=
，
∴BE
BF
BM
MF
BM
EN
=
=
+
=
+
，
∵
ACB
与
DCE
不一定相等，
∴
ACB
BCD
DCE
BCD
+
+
，
∴
ACD
BCE
，
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66 /
∴ACD
与BCE
不一定全等，
∴AD
BE
，
∴AD
BF
，
∴BM
EN
AD
+
，故③不正确；
∵ACD
与BCE
不一定全等，AD
BE
，
∴点C 到AD、BE 的距离不一定相等，
∴GC 不一定平分
AGE
，故④不正确；
综上分析可知：正确的有2 个．
故选：B．
2．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在
ABC
中，1
2
= ，点G 为AD的中点，BG 的延长线
交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD垂直，交AD于点H ，则下面判断正确的有（ ）
①AD是
BAC
的平分线；②BE 是
ABC
的边AC 上的中线；③CH 是ACD
的边AD上的高；④
AF
AC
=
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各
定义和性质．利用三角形的角平分线，中线，高以及全等三角形可逐一进行判断．
【详解】解：
1
2
=
∴AD是
BAC
的平分线，故①正确；
无法证明点E 为AC 的中点,
所以BE 不是
ABC
的边AC 上的中线，故②错误；
∵CF 与AD垂直，
∴CH 是ACD
的边AD上的高，故③正确；
∵CF 与AD垂直，
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∴
90
AHF
AHC
=
=
,
又
1
2
=
，AH
AH
=
（公共边）
AHF
AHC
≌
AF
AC
=
,故④正确，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt AEB
和Rt
AFC
△
中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交
于点D，AB 与CF 相交于N ，
90
E
F
=
=
，
EAC
FAB
=
，AE
AF
=
．给出下列结论：①
B
C
=
；
②CF
BM
=
；③BE
CF
=
；④ACN
ABM
≌
．其中正确的结论是（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②④
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决
问题的关键．
①根据
EAC
FAB
=
得
EAB
FAC
=
，由此可依据“ASA”判定EAB
和FAC
全等，然后根据全等三角
形的性质可对结论①进行判断；
②根据BE 与AC 相交于点M 得BE
BM
，再根据EAB
和FAC
全等得BE
CF
=
，则CF
BM
，由此可对
结论②进行判断；
③根据EAB
和FAC
全等得BE
CF
=
，由此可对结论③进行判断；
④根据EAB
和FAC
全等得AB
AC
=
，
B
C
=
，由此可依据“ASA ”判定
ACN
△
和ABM
全等，据此可
对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①
EAC
FAB
=
，
EAC
BAC
FAB
BAC
+
=
+
，
EAB
FAC
=
，
在EAB
和FAC
中，
90
E
F
AE
AF
EAB
FAC
=
=
=
=
，
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(ASA)
EAB
FAC
≌
，
B
C
=
，
故结论①正确；
②
BE
与AC 相交于点M ，
BE
BM
，
EAB
FAC
≌
△
△
，
BE
CF
=
，
CF
BM
，
故结论②不正确；
③
EAB
FAC
≌
△
△
，
BE
CF
=
，
故结论③正确；
④
EAB
FAC
≌
△
△
，
AB
AC
=
，
B
C
=
，
在
ACN
△
和ABM
中，
B
C
AB
AC
NAC
MAB
=
=
=
，
(ASA)
ACN
ABM
≌
．
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故选：A．
4．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，
90
ACB
AC
BC
AD
CM
=
=
⊥
，
，
于点D，BE
CM
⊥
于
点E，下列说法：①
DAC
ECB
=
；②ACD
CBE
≌
；③AD平分
CAE
；④AD
BE
DE
−
=
；⑤
AE
BC
=
．其中一定正确的是（ ）
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69 /
A．①③⑤
B．①③④
C．①②④
D．②③⑤
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明
(
)
AAS
ACD
CBE
△
≌△
，即可得到一定正确的结论．
【详解】∵BE
CM
⊥
，AD
CM
⊥
，
∴
90
ADC
CEB
=
=
，
∴
90
CAD
ACD
+
=
，
∵
90
BCE
ACD
ACB
+
=
=
，
∴
BCE =
∠
∠CAD，
∵AC
BC
=
∴
(
)
AAS
ACD
CBE
△
≌△
∴
,
,
AD
CE CD
BE
=
=
DAC
ECB
=
；故①，②都正确；
∴AD
BE
CE
CD
DE
−
=
−
=
，故④正确；
无法证明AD平分
CAE
，AE
BC
=
．故③⑤不正确，
故选：C．
5．（24-25 八年级上·北京石景山·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，CA
CB
=
，CD是
ACB
内部的
射线且
45
BCD
，过点A 作AE
CD
⊥
于点E ，过点B 作BF
CD
⊥
于点F ．给出下面四个结论：①
EAB
FBA
=
；②AB
CF
=
；③EF
AE
BF
=
−
．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
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【答案】B
【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由AE
CD
⊥
于点E，BF
CD
⊥
于点F，证明AE
BF
∥
，则
EAB
FBA
=
，可判断①正确；再证明
CAE
BCF
≌
△
△
，得AE
CF
=
，CE
BF
=
，
由EF
CF
CE
AE
BF
=
−
=
−
，可判断③正确，由AB
BC
，BC
CF
，推导出AB
CF
，可判断②错误；
于是得到问题的答案．
【详解】解：
AE
CD
⊥
于点E，BF
CD
⊥
于点F，
AE
BF
∥
，
90
AEC
CFB
=
=
，
EAB
FBA
=
，故①正确；
90
ACB
=
，
90
CAE
BCF
ACF
=
=
−
，
在CAE
和
BCF
中，
CAE
BCF
AEC
CFB
AC
CB
=
=
=
，
(
)
AAS
CAE
BCF
≌
，
AE
CF
∴
=
，CE
BF
=
，
EF
CF
CE
=
−
AE
BF
=
−
，
EF
AE
BF
=
−
，故③正确，
AB
BC
，BC
CF
，
AB
CF
，故②错误；
故选：B．
6．（23-24 八年级上·河北张家口·期中）如图所示，已知
90
E
F
=
=
，
B
C
=
，AE
AF
=
，结论：①
EM
FN
=
；②AF
EB
∥
；③
FAN
EAM
=
；④
CAN
BAM
≌
△
△
其中正确有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】B
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【分析】由
90
E
F
=
=
，
,
B
C AE
AF
=
=
，利用“ AAS”得到ABE
与
ACF
△
全等，根据全等三角形
的对应边相等且对应角相等即可得到
EAB
与
FAC
相等，AE 与AF 相等，AB 与AC 相等，然后在等式
EAB
FAC
=
两边都减去
MAN
，得到
EAM
与
FAN
相等，得到选项③正确，然后再由
90
E
F
=
=
，
AE
AF
=
，
EAM
FAN
=
，利用“ASA”得到
AEM
△
与AFN
全等，利用全等三角形的对应边相等，对应
角相等得到选项①正确；然后再
C
B
AC
AB
CAN
BAM
=
=
=
，
，
，利用“ASA ”得到
ACN
△
与ABM
全
等，故选项④正确；若选项②正确，得到
F
与
BDN
相等，且都为90，而
BDN
不一定为90，故②
错误．此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等
三角形的判别方法有：SSS,SAS,ASA,AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方
法．
【详解】解：在ABE
和
ACF
△
中，
90
E
F
AE
AF
B
C
=
=
=
=
∴
AAS
ABE
ACF
≌
（
），
∴
EAB
FAC
AE
AF
AB
AC
=
=
=
，
，
，
∴
EAB
MAN
FAC
NAM
−
=
−
，
即
EAM
FAN
=
，故选项③正确；
在
AEM
△
和AFN
中，
90
E
F
AE
AF
EAM
FAN
=
=
=
=
，
∴
ASA
AEM
AFN
≌
（
），
∴EM
FN
=
，
FAN
EAM
=
，
故选项①正确；
在
ACN
△
和ABM
中，
C
B
CAN
BAM
AC
AB
=
=
=
，
∴
ASA
ACN
ABM
≌
（
），故选项④正确；
若AF
EB
，
则
90
F
BDN
=
=
，
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而
BDN
不一定为90，故②错误，
则正确的选项有：①③④，
故选：B．
7．（24-25 八年级上·北京门头沟·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，AD平分
BAC
交BC
于点D，延长AC 到点E ，使CE
CD
=
，连接BE 交AD的延长线于点F ．给出下面四个结论：
①AD
BE
=
；②
2
BE
BF
=
；③AB
AC
CD
=
+
；④
ABD
△
的面积是ACD
的面积的2 倍；上述结论中，
所有正确结论的序号是（）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根
据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可．
【详解】解：
90
ACB
=
，
180
90
BCE
ACB
=
−
=
，
在
ADC
△
和BEC
中，
90
AC
BC
ACD
BCE
CD
CE
=
=
=
=
，
(SAS)
ADC
BEC
≌
△
△
，
AD
BE
=
，
CAD
CBE
=
，
故①正确，符合题意；
ADC
BDF
=
，
CAD
CBE
=
，
90
ACD
BFD
=
=
，
AF
BE
⊥
，
AD
平分
BAC
，
EAF
BAF
=
，
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在
AEF
△
和
ABF
△
中，
90
EAF
BAF
AF
AF
AFE
AFB
=
=
=
=
，
(ASA)
AEF
ABF
≌
，
EF
BF
=
，AE
AB
=
，
2
BE
BF
=
，
故②正确，符合题意；
AE
AC
CE
=
+
，AE
AB
=
，CE
CD
=
，
AB
AC
CD
=
+
；
故③正确，符合题意；
根据三角形面积公式得，只有
2
BD
CD
=
时，
ABD
△
的面积是ACD
的面积的2 倍，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
题型四：全等三角形中解答题压轴
1．（24-25 七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，直线l 经过点A ，
分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，E ，求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
【变式探究】
（2）如图2，在
ABC
中，AB
AC
=
，直线l 经过点A ，点D ，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
=
=
，
猜想DE ，BD，CE 有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以
ABC
的边AB ，AC 为
一边向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
=
=
，AB
AD
=
，AC
AE
=
，AG 是边BC 上的高，延长GA
交DE 于点H ．设ADH
的面积为
1S ，
AEH
△
的面积为
2
S ，请猜想
1S ，
2
S 大小关系，并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析 （2）DE
BD
CE
=
+
；证明见解析 （3）
1
2
S
S
=
；理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对
应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。
（1）根据垂直定义得
90
BDA
AEC
=
=
，则
90
DAB
DBA
+
=
，再根据
90
BAC
=
得
90
DAB
EAC
+
=
，由此得
DBA
EAC
=
，进而可依据AAS判定
ABD
△
和CAE
全等；
（2）根据三角形外角性质得EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
，再根据
ADB
BAC
=
得
EAC
DBA
=
，进
而可依据AAS判定EAC
和DBA
全等得CE
AD
=
，AE
BD
=
，由此可得出DE ，BD，CE 的数量关系；
（3）过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，则
90
AGB
M
?
?
? ，进而
得
90
ABG
BAG
+
=
，再根据
90
BAD
=
得
90
BAG
DAM
?
?
?，由此得ABG
DAM
?
?
，进而可依据
AAS判定ABG
和
DAM
△
全等，则DM
AG
，同理可证明ADC
ENA
≌
得EN
AG
=
，则DM
EN
=
，然后
再根据三角形的面积公式即可得出
1S ，
2
S 大小关系．
【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l，CE ⊥直线l，
∴
90
BDA
AEC
=
=
，
∴
90
DAB
DBA
+
=
，
∵
90
BAC
=
，
∴
90
DAB
EAC
+
=
，
∴
DBA
EAC
=
，
在
ABD
△
和CAE
中，
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABD
CAE
≌
；
（2）解：DE ，BD，CE 的数量关系是：DE
BD
CE
=
+
，证明如下：
∵
EAB
是
ABD
△
的外角，
∴EAB
ADB
DBA
?
?
?
，
∴EAC
BAC
ADB
DBA
?
?
?
?
，
∵
ADB
BAC
=
，
∴
EAC
DBA
=
，
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在EAC
和DBA
中，
EAC
DBA
CEA
ADB
AB
AC
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
EAC
DBA
≌
，
∴CE
AD
=
，AE
BD
=
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
=
+
=
+
；
（3）
1S ，
2
S 大小关系是：
1
2
S
S
=
，理由如下：
过点D 作DM
AH
⊥
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
⊥
于点N，如图所示：
∵AG
BC
⊥
，
∴
90
AGB
M
?
?
? ，
∴
90
ABG
BAG
+
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴
90
BAG
DAM
?
?
?，
∴ABG
DAM
?
?
，
在ABG
和
DAM
△
中，
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABG
DAM
≌
，
∴DM
AG
，
同理可证明：AGC
ENA
≌
，
∴EN
AG
=
，
∴DM
EN
=
，
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∵
1
1
2
S
AH DM
=
?
，
2
1
2
S
AH EN
=
?
，
∴
1
2
S
S
=
．
2．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图①，在
ABC
中，
=90
ACB
，
=
AC BC ，过点C 在
ABC
外作直
线l，AM
l
⊥于点M，BN
l
⊥于点N．
(1)试说明：
=
MN AM
BN
＋
；
(2)如图②，将（1）中条件改为
ADC
CEB
ACB
=
=
=
（90
180
），AC
BC
=
，请问（1）中的
结论DE
AD
BE
=
＋
是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在
ABC
中，点D 为AB 上一点，DE
DF
=
，
A
EDF
B
=
=，
3
AE = ，
5
BF = ，请直接写
出AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2) DE
AD
BE
=
＋
成立，见解析
(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是
熟悉一线三等角模型．
（1）先证明
ACM
CBN
△
≌△
，再根据全等三角形的性质得出AM
CN
=
，BN
CM
=
，从而根据
MN
CM
CN
=
+
，可得
=
MN AM
BN
＋
；
（2）先判定
=
DE AD
BE
＋
成立，再说理由，先证明ACD
CBE
≌
，再根据全等三角形的性质得出
=
AD
CE ，
CD
BE
=
，结合DE
DC
CE
=
+
，可得
=
DE AD
BE
＋
；
（3）先证明AED
BDF
≌
，再根据全等三角形的性质得出AE
DB
=
，AD
BF
=
，根据AB
AD
DB
=
+
，
3
AE = ，
5
BF = ，可求得AB ．
【详解】（1）解：∵
=90
ACB
，
=180
ACM
ACB
BCN
+
+
，
∴
=90
ACM
BCN
+
，
∵AM
l
⊥，BN
l
⊥，
∴
=
=90
AMC
BNC
∴
+
=90
MAC
ACM
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∴
=
MAC
BCN
，
又
=
AC BC ，
(
)
ACM
CBN AAS
≌
，
AM
CN
=
，BN
CM
=
，
MN
CM
CN
=
+
，
=
MN AM
BN
＋
∴
；
（2）
=
DE AD
BE
＋
成立，
理由：
180
ACD
ACB
BCE
+
+
=
，
ADC
ACB
=
=
，
180
ADC
DAC
ACD
+
+
=
BCE
DAC
=
，
又∵AC
BC
=
，
ADC
CEB
=
=
，
(
)
ACD
CBE AAS
≌
，
AD
CE
=
，CD
BE
=
，
又DE
DC
CE
=
+
，
=
DE AD
BE
＋
∴
；
（3）
A
EDF
=
，
180
A
AED
ADE
+
+
=
，
180
ADE
EDF
BDF
+
+
=
，
AED
BDF
=
，
又DE
DF
=
，
A
B
=，
(
)
AED
BDF AAS
≌
，
AE
DB
=
，AD
BF
=
，
AB
AD
DB
=
+
，
3
AE = ，
5
BF = ，
5 3
8
AB
BF
AE
=
+
= + =
∴
．
3．（24-25 七年级下·四川达州·阶段练习）如图1，在
ABC
中，
90 ,
ABC
BD
AC
=
⊥
于点D．
(1)求证：
ABD
ACB
=
；
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(2)如图2，点E 在AB 上，连接CE 交BD于点F，若
BEF
BFE
=
，求证：CE 平分
ACB
；
(3)如图3，在（2）的条件下，过A 作AH
CE
⊥
，交CE 的延长线于点G，交CB 的延长线于点H．若AHC
的面积为40，且
18
AC
AB
+
=
，求AC
AB
−
的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
2
AC
AB
−
=
【分析】（1）根据同角的余角相等进行解答即可；
（2）根据同角的余角相等得出
A
CBD
=
，根据三角形外角的性质得出
A
ACE
CBD
BCE
+
=
+
，根
据等式性质得出
ACE
BCE
=
，即可证明结论；
（3）证明ACG
HCG
≌
，得出AC
HC
=
，根据三角形面积公式得出1
40
2 HC AB
=
，即可得出
80
AC AB
=
，
根据
18
AC
AB
+
=
，利用完全平方公式变形得出(
)
(
)
2
2
4
4
AC
AB
AC
AB
AC AB
−
=
+
−
=
，根据AC
AB
，
得出
2
AC
AB
−
=
即可．
【详解】（1）证明：∵
90
ABC
=
，
∴
90
A
ACB
+
=
，
∵BD
AC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
ABD
A
+=
，
∴
ABD
ACB
=
；
（2）解：∵
90
ABD
A
+=
，
90
ABD
CBD
+
=
，
∴
A
CBD
=
，
∵
BEF
A
ACE
= +
，
BFE
CBD
BCE
=
+
，且
BEF
BFE
=
，
∴
A
ACE
CBD
BCE
+
=
+
，
∴
ACE
BCE
=
，
∴CE 平分
ACB
；
（3）解：∵CG
AH
⊥
，
∴
CGA
CGH
=
，
∵
ACG
HCG
=
，CG
CG
=
，
∴ACG
HCG
≌
，
∴AC
HC
=
，
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∵AHC
的面积为40，
∴1
40
2 HC AB
=
，
∴1
40
2 AC AB
=
，
∴
80
AC AB
=
，
∵
18
AC
AB
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
4
AC
AB
AC
AB
AC AB
−
=
+
−
2
18
4 80
=
−
324 320
=
−
4
=
，
∴
2
AC
AB
−
= ，
∵AC
AB
，
∴
2
AC
AB
−
=
．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）知识呈现：
如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面
图形的一条面积等分线（段）．如三角形的一条中线就是三角形的一条面积等分线段．
（1）如图1，在
ABC
中，点D 为BC 中点，若
7
ABC
S
=
△
，则
ABD
S
=
△
_____；
知识迁移：
（2）如图2，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，D、E 分别是线段BC ，AC 的中点，连接AD，DE ，AF
AD
⊥
于
A，交DE 延长线于F．试说明AD为四边形ABDF 的面积等分线．
（3）如图3，在
ABC
中，
6
AB
CB
CE
=
=
=
，D、E 分别是线段BC 、AC 上的点，且
BED
A
=，EF 是
四边形ABDE 的一条面积等分线，求DF 的长．
【答案】（1）3.5；（2）见解析；（3）
3
DF =
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，解题的关键是：
（1）根据三角形中线的性质求解即可；
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80 /
（2）根据三线合一的性质得出AD
BC
⊥
，则可证AF
BC
∥
，根据AAS证明
AEF
CED
△
≌△
，得出
AEF
CED
S
S
=
△
△
，进而得出
C
ABDF
AB
S
S
=
△
四边形
，根据三角形中线的性质得出
1
1
2
2
ABD
ACD
ABC
ABDF
S
S
S
S
=
=
=
△
△
△
四边形
，即可得证；
（3）延长CB 至点H，使BH
CD
=
，连接EH，证明
(ASA)
ABE
CED
△
≌△
，
(SAS)
BEH
DEC
△
≌△
，可得
BEH
DEC
ABE
S
S
S
=
=
，由EF 是四边形ABDE 的一条等分线，可得
1
1
2
2
DEF
ABDE
HED
S
S
S
=
=
四边形
，即可得出
1
2
DF
DH
=
，从而求解．
【详解】解：（1）∵点D 为BC 中点，
∴BD
CD
=
，
∴
1
2
ABD
ABC
S
S
=
，
∵
7
ABC
S
=
△
，
∴
1
7
3.5
2
ABD
S
=
=
△
故答案为：5
（2）
E
是线段AC 的中点，
AE
CE
=
，
又
AB
AC
=
，且D是线段BC 的中点，
AD
BC
⊥
AF
AD
⊥
，
AF
BC
∥
，
EAF
C
= ，
F
EDC
=
，
(
)
AAS
AEF
CED
≌
，
AEF
CED
S
S
=
△
△
，
C
ABDF
AB
S
S
=
△
四边形
，
又
D
是线段BC 的中点
1
1
2
2
ABD
ACD
ABC
ABDF
S
S
S
S
=
=
=
四
形
△
△
△
边
，
AD
为四边形ABDF 的面积等分线；
（3）如图3，延长CB 至点H，使BH
CD
=
，连接EH ，
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81 /
6
AB
CB
CE
=
=
=
，
A
C
=
，
CBE
CEB
=
，
6
BC =
，
6
BD CD
+
=
，
6
DH
BD
BH
=
+
=
，
BEC
BED
DEC
A
ABE
=
+
= +
，且
BED
A
=，
ABE
CED
=
，
AB
CE
=
，
A
C
=
，
(ASA)
ABE
CED
△
≌△
，
AE
CD
=
，BE
DE
=
，
AEB
EDC
=
，
ABE
EDC
S
S
=
△
△
，
AE
BH
=
，
CBE
CEB
=
，
AEB
EBH
=
，
EBH
EDC
=
，且BE
DE
=
，BH
CD
=
，
(SAS)
BEH
DEC
△
≌△
，
BEH
DEC
S
S
=
△
△
，
BEH
DEC
ABE
S
S
S
=
=
△
△
△
，
HED
ABDE
S
S
=
四边形
，
EF
是四边形ABDE 的一条面积等分线，
1
1
2
2
DEF
HED
ABDF
S
S
S
=
=
△
△
四边形
，
1
1
6
3
2
2
DF
DH
=
=
= ．
5．
（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：ABE
的顶点E 在
ABC
的外部，点D 在直线AB 上，且
BDC
E
=
，
AE
CD
=
，
BAE
BCD
=
．
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82 /
(1)如图1，当点D在线段BA的延长线上时，求证：AD
BC
BE
+
=
；
(2)如图2，当D 在线段AB 上时，请写出线段AD
BC
BE
，
，
之间的数量关系是_____；
(3)如图3，当D 在线段AB 的延长线上时，请写出线段AD
BC
BE
，
，
之间的数量关系是_____．
【答案】(1)见解析
(2) BC
BE
AD
+
=
(3) BC
BE
AD
+
=
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
是关键．
（1）证明
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，则
,
BE
BD AB
BC
=
=
，等量代换即可得到结论；
（2）证明
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，则
,
BE
BD AB
BC
=
=
，等量代换即可得到结论；
（3）证明
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，则
,
BE
BD AB
BC
=
=
，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
BAE
BCD
=
，AE
CD
=
，
BDC
E
=
，
∴
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，
∴
,
BE
BD AB
BC
=
=
∵AD
AB
BD
+
=
，
∴AD
BC
BE
+
=
（2）线段AD
BC
BE
，
，
之间的数量关系为：BC
AD
BE
−
=
．
∵
BDC
E
=
，AE
CD
=
，
BAE
BCD
=
∴
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，
∴
,
BE
BD AB
BC
=
=
∵AB
AD
BD
−
=
，
∴BC
AD
BE
−
=
；
（3）线段AD
BC
BE
，
，
之间的数量关系为：BC
BE
AD
+
=
．
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83 /
∵
BDC
E
=
，AE
CD
=
，
BAE
BCD
=
∴
(
)
ASA
BAE
BCD
≌
，
∴
,
BE
BD AB
BC
=
=
∵AB
BD
AD
+
=
∵BC
BE
AD
+
=
1．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆AC 的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A
水平距离为1.5m的B 处，使用测角仪测得
75
ABC
=
，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题
的方案：在AB 的延长线上取一点M ，将一根木棒MN 竖直立在地面上的点M 处，
1 5m
MN = .
，此时测得
15
NBM
=
，故淇淇得出结论
ABC
MNB
△
≌△
，进而推得BM
AC
=
，则下列选项中淇淇证明全等用到的
依据可能是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．HL
D．SSS
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理AAS或ASA 均可证得图中两个三角
形全等，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：
1.5
MN
AB
=
=
，
90
CAB
BMN
=
=
，
∵
75
ABC
=
，
∴
90
75
15
ACB
MBN
=
−
=
=
，
∴
ABC
MNB
△
≌△
，
∴AC
BM
=
，
∴淇淇证明全等用到的依据可能是AAS，
故选：B
2．
（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，AM 垂直
ABC
的平分线BM 于点M 、D 为BC 中点，连接MD ，
若
ABC
的面积为4，则BMD
的面积为（ ）
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A．1
B．2
C．2.5
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长AM 交BC 于点N，根据条件证明
(
)
ASA
ABM
NBM
△
≌
，可得AM
MN
=
，进而得到
,
AMB
NMB
AMC
NMC
S
S
S
S
=
=
，再根据D 为BC 中点，即可
求解．
【详解】解：延长AM 交BC 于点N，如图，
∵BM 平分
ABC
，AM 垂直
ABC
的平分线BM ，
∴
ABM
NBM
=
，
AMB
NMB
=
，
∵BM
BM
=
，
∴
(
)
ASA
ABM
NBM
△
≌
，
∴AM
MN
=
，
∴
,
AMB
NMB
AMC
NMC
S
S
S
S
=
=
，
∴
1
2
2
MC
C
B
AB
S
S
=
=
，
∵D为BC 中点，
∴
1
1
2
MD
C
B
BM
S
S
=
=
，
故选：A．
3．（2025·山东聊城·二模）在
ABC
中，作
BAC
的平分线交BC 于点D，作AD的垂直平分线分别交AB 于
点E，交AC 于点F，连接DE ，DF ，得到四边形AEDF ．若
4
AE =
，则四边形AEDF 的周长为（ ）
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85 /
A．16
B．8 3
C．8
4 3
+
D．8
8 3
+
【答案】A
【分析】本题考查角平分线、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；解题关键是利用上述性质
得出线段相等关系，进而求出四边形的周长．
先利用角平分线性质得∠
∠
EAD
FAD
=
，再由垂直平分线性质推出AE
DE
=
，AF
DF
=
，通过证明
AOE
AOF
≌△
得到AE
AF
=
，最后根据AE 的值求出四边形AEDF 各边长度，进而算出周长．
【详解】解：设AD与EF 交点为O
∵AD平分
BAC
，
∴∠
∠
EAD
FAD
=
．
∵EF 是AD的垂直平分线，
∴AE
DE
=
，AF
DF
=
，且
90
=
=
AOE
AOF
．
在
AOE
△
和AOF
中，
EAD
FAD
AO
AO
AOE
AOF
=
=
=
，
AOE
AOF
．
∴AE
AF
=
．
∵
4
AE =
，
∴
4
AE
DE
AF
DF
=
=
=
=
．
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86 /
∴四边形AEDF 的周长为
16
AE
DE
AF
DF
+
+
+
=
．
故选：A．
4．（2025·福建·一模）已知，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，点D 在边CB 的延长线上，沿BD平移线段AB 得
到线段ED．已知点F 在边AC 上，当
2
CF =
时，DEF
是以DE 为斜边的等腰直角三角形，则线段BD的
长是（ ）
A．1
B．2
C．2
D．2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得BD
AE
，AE
BD
=
，
则可证明
90
EAF
C
=
=
∠
∠
，再证明
(
)
AAS
AEF
CFD
△
≌△
，得到
2
AE
CF
=
=
，则
2
BD
AE
=
=
．
【详解】解：由平移的性质可得BD
AE
，AE
BD
=
，
∴
180
90
EAF
C
C
=
−
=
=
∠
∠
∠
，
∵DEF
是以DE 为斜边的等腰直角三角形，
∴
90
EF
DF
EFD
=
=
，∠
，
∴
90
AEF
AFE
AFE
CFD
+
=
+
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
AEF
CFD
=
，
∴
(
)
AAS
AEF
CFD
△
≌△
，
∴
2
AE
CF
=
=
，
∴
2
BD
AE
=
=
，
故选：B．
5．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
2cm
BC =
，CD
AB
⊥
，在AC 上取一
点E ，使EC
BC
=
，过点E 作EF
AC
⊥
交CD的延长线于点F ，若
5cm
EF =
，则AE =（ ）cm．
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87 /
A．2cm
B．2.5cm
C．3cm
D．3.5cm
【答案】C
【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定，
结合垂直的定义证明
ACB
FEC
≌
△
△
，再利用全等是性质得到CA ，EC ，最后根据AE
CA
EC
=
−
求解，即
可解题．
【详解】解：CD
AB
⊥
，
90
CDB
=
，
90
B
BCD
+
=
，
90
ACB
=
，
90
ECF
BCD
+
=
，
B
ECF
=
，
EF
AC
⊥
，
90
FEC
ACB
=
=
，
EC
BC
=
，
(
)
ASA
ACB
FEC
≌
，
2cm
BC =
，
5cm
EF =
，
2cm
EC
BC
=
=
，
5cm
CA
EF
=
=
，
5 2
3cm
AE
CA
EC
=
−
= −
=
，
故选：C．
6．
（24-25 八年级上·上海·期中）已知，在
ABC
中，
90
ACB
=
，CH
AB
⊥
，垂足为点H，AD平分
BAC
，
与CH 相交于点D，过点D 作DE
BC
∥
，与边AB 相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A．AD
DE
=
B．AC
EC
=
C．AD
CD
=
D．CD
DE
=
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，
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88 /
先导角证明
ABC
ACD
AED
=
=
，再证明
(
)
AAS
ACD
AED
≌
，可得CD
ED
=
，则D 选项结论正确；
根据现有条件无法证明A、B、C 三个选项中的结论，据此可得答案．
【详解】解：∵DE
BC
∥
，
∴
AED
ABC
=
，
∵CH
AB
⊥
，
∴
90
ABC
BCH
+
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
BCH
+
=
，
∴
ABC
ACD
AED
=
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
CAD
EAD
=
，
在ACD
和
AED
△
中，
CAD
EAD
ACD
AED
AD
AD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ACD
AED
≌
，
∴CD
ED
=
，故D 结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、C 中的结论，
故选：D．
7．（2024·广东河源·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B 的距离，甲、乙两位同学
分别设计出如下两种方案：
甲方案
乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达A，B 的
如图2，过点B 作BD
AB
⊥
，再由点D 观
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89 /
点C，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至
D，BC 至E ，使DC
AC
=
，BC
EC
=
，最
后测出DE 的长即为A，B 的距离．
测，在AB 的延长线上取一点C ，使
=
BDC
BDA ，这时只要测出BC 的长即
为A，B 的距离．
下列说法正确的是（ ）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行
B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行
D．甲、乙的方案均不可行
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的应用．甲方案利用“SAS”方法，证明
ACB
DCE
≌
△
△
，测出DE 的长即为
A ，B 的距离；乙方案利用“ASA”方法，证明
ABD
CBD
≌
△
△
，测出BC 的长即为A ，B 的距离．
【详解】解：甲方案：在
ACB
△
和
DCE
△
中，
AC
DC
ACB
ECD
BC
EC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ACB
DCE
≌
，
∴DE
AB
=
，
乙方案：∵BD
AB
⊥
，
∴
90
ABD
CBD
=
=
，
在
ABD
△
和
CBD
△
中，
ABD
CBD
BD
BD
BDA
BDC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
CBD
≌
，
∴BC
AB
=
．
∴甲、乙的方案均可行．
故选：C．
8．（24-25 九年级上·山东德州·期末）如图，已知BD是
ABC
的中线，CF 是
BCD
△
的中线，AE
CF
∥
交BD
的延长线于点E．若
ADE
的面积为3，则
ABC
的面积是（ ）
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90 /
A．3
B．6
C．12
D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查全了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，根据
平行线的性质得出
EAC
DCF
=
，利用ASA 证明ADE
CDF
≌
，再利用三角形的中线的性质得出面积关
系，解答即可，关键是根据平行线的性质得出
EAC
DCF
=
，利用ASA 证明ADE
CDF
≌
．
【详解】解：
AE
CF
∥
，
EAC
DCF
=
，
∵BD是
ABC
的中线，
AD
CD
=
，
在
ADE
与DCF
中
EAC
DCF
AD
DC
ADE
CDF
=
=
=
，
(
)
ASA
ADE
CDF
≌
，
∴DCF
的面积
ADE
=
的面积
3
= ，
∵CF 是
BCD
△
的中线，
∴
BCD
△
的面积
2 3
6
= =
，
∵BD是
ABC
的中线，
∴
ABC
的面积
2 6
12
= =
，
故选：C．
9．（24-25 八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
ACB
△
的角平分线AD，
BE 相交于点P ，过P 作PF
AD
⊥
交BC 的延长于点F ，交AC 于点H ，给出下列结论：①
135
APB
=
；
②AD
PF
PH
=
+
；③
7
4
ABP
ABDE
S
S
=
四边形
；④
APH
ADE
S
S
=
．其中正确的有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面
积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明
ABP
FBP
≌
△
△
，推出PA
PF
=
，
再证明
APH
FPD
≌
△
△
，推出PH
PD
=
即可判定②；可以证明
2
ABP
ABDE
S
S
=
四边形
，据此即可判定③；根据
③中的
EPH
EPD
S
S
=
可判断④．
【详解】解：①在
ABC
中，
90
ACB
=
，
∴
90
CAB
CBA
+
=
，
又∵AD
BE
、
分别平分
BAC
ABC
、
，
∴
BAP
DAC
ABP
FBP
=
=
，
，
∴
(
)
1
1
90
45
2
2
BAD
ABE
CAB
CBA
+
=
+
=
=
，
∴
(
)
180
135
APB
BAD
ABE
=
−
+
=
，
故①正确；
②∴
180
180
135
45
BPD
APB
=
−
=
−
=
，
又∵PF
AD
⊥
，
∴
90
FPD
APF
=
=
，
∴
90
45
135
FPB
FPD
BPD
=
+
=
+
=
，
∴
APB
FPB
=
，
在ABP
和FBP
中，
ABP
FBP
BP
BP
APB
FPB
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABP
FBP
△
≌△
，
∴
BAP
BFP
AB
FB
PA
PF
=
=
=
，
，
，
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92 /
∴
PAH
BAP
PFD
=
=
，
在
APH
和
FPD
△
中，
APH
FPD
AP
FP
PAH
PFD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
APH
FPD
△
≌△
，
∴PH
PD
=
，
∴AD
AP
PD
PF
PH
=
+
=
+
，
故②正确；
③∵ABP
FBP APH
FPD
≌
，
≌
，
APB
FPB
APH
FPD
S
S
S
S
PH
PD
=
=
=
，
，
，
∵
90
HPD
=
，
∴
45
HDP
DHP
BPD
=
=
=
，
∴HD
EP
∥
，
∴
EPH
EPD
S
S
=
，
∵
ABP
AEP
EPD
PBD
ABDE
S
S
S
S
S
=
+
+
+
△
△
△
△
四边形
(
)
ABP
AEP
EPH
PBD
S
S
S
S
=
+
+
+
ABP
APH
PBD
S
S
S
=
+
+
ABP
FPD
PBD
S
S
S
=
+
+
ABP
FBP
S
S
=
+
2
ABP
S
=
，故③不正确；
④∵
EPH
EPD
S
S
=
，
∴
EPH
APE
EPD
APE
S
S
S
S
+
=
+
，即
APH
ADE
S
S
=
△
△
，故④正确；
所以，正确的结论有3 个，
故选：C．
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93 /
10．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）如图，AE
AB
⊥
，且
,
AE
AB BC
CD
=
⊥
，且
,
,
BC
CD EF
FH BG
FH
=
⊥
⊥
，DH
FH
⊥
，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S
是 ．
【答案】50
【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出
,
,
,
AF AG GC CH 的长，本题比较简单，但是计算时要细心．
由
,
,
AE
AB EF
FH BG
AG
⊥
⊥
⊥
，可以得到
EAF
ABG
=
，而
,
AE
AB
EFA
AGB
=
=
，由此可以证明
EFA
AGB
△
△
，所以
,
AF
BG AG
EF
=
=
；同理证得
,
,
BGC
CHD GC
DH CH
BG
=
=
，进而求出FH，
然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积．
【详解】因为
,
,
,
AE
AB AE
AB EF
FH BG
FH
⊥
=
⊥
⊥
，
所以
90 ,
90
EAB
EFA
BGA
EAF
BAG
=
=
=
+
=
，
90
ABG
BAG
+
=
，所以
EAF
ABG
=
，
因为
EFA
=
,
,
AGB
EAF
ABG AE
AB
=
=
，
所以
(
)
AAS
EFA
AGB
，
所以
,
AF
BG AG
EF
=
=
．
同理证得
BGC
CHD
△
△
，
所以
,
GC
DH CH
BG
=
=
，
所以FH
FA
AG
GC
=
+
+
+
3
6
4
3
16
CH = + +
+
=
，
所以
1
1
(6
4) 16
2
3 4
2
2
S =
+
−
1
2
6 3
50
2
−
=
．
11．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，
每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
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【答案】16
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接DK
DN
，
，先证明
KDM
NDT
=
，再根据正方
形的对称性可得DK
DN
DKM
DNT
=
=
，
，据此证明DKM
DNT
≌
，得到
DKM
DNT
S
S
=
，则
1
4
DKN
DMNT
S
S
=
=
四边形
大正方形的面积，由此可得答案。
【详解】解：如图，连接DK
DN
，
，
∵
90
KDN
MDT
=
=
，
∴
KDM
NDT
=
，
∵DK
DN
DKM
DNT
=
=
，
，
∴
(
)
ASA
DKM
DNT
≌
，
∴
DKM
DNT
S
S
=
，
∴
DMN
DNT
DKM
DNK
DM
DM
NT
N
S
S
S
S
S
S
+
=
=
=
+
△
四边
△
形
△
，
∴
1
4
DKN
DMNT
S
S
=
=
四边形
大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积
1
4
12
4
16
4
=
+
=
．
故答案为：16．
12．
（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
，AD是中线，若
2
DAC
BAD
=
，CF
AD
⊥
于点F，则DF
AC 的值是 ．
小学
初中
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95 /
【答案】1
2
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B
作BH
AD
⊥
于H，延长DA至E，使AE
AC
=
，连接CE ，利用AAS 证明BHD
CFD
≌
，EFC
AHB
≌
，
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：过点B 作BH
AD
⊥
于H，延长DA至E，使AE
AC
=
，连接CE ，
E
ACE
=
，
DAC
E
ACE
= +
，
2
DAC
BAD
=
，
BAD
E
=，
AD
是中线，
BD
CD
=
，
在BHD
和
CFD
△
中，
90
H
CFD
BDH
CDF
BD
CD
=
=
=
=
，
(
)
AAS
BHD
CFD
≌
，
BH
CF
=
，DH
FD
=
，
在EFC
和AHB
中，
90
E
BAD
EFC
H
CF
BH
=
=
=
=
，
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(
)
AAS
EFC
AHB
≌
，
EF
AH
=
，
2
AE
FH
DH
FD
FD
=
=
+
=
，
2
AC
FD
=
，
1
2
DF
AC
=
，
故答案为：1
2．
13．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，在
ABC
中，点M 在BC 边上，MN
AC
⊥
，垂足为N，MN 平
分
AMC
，ABM
的周长为18，
3
AN =
，则
ABC
的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明AMN
CMN
≌
，然后利用全等三
角形的性质可得AM
CM
=
，
3
AN
CN
=
=
，从而利用等量代换进行计算即可解答．
【详解】解：∵MN 平分
AMC
，
∴
AMN
CMN
=
，
∵MN
AC
⊥
，
∴
90
ANM
CNM
=
=
，
∵MN
MN
=
，
∴
(
)
ASA
AMN
CMN
≌
，
∴AM
CM
=
，
3
AN
CN
=
=
，
∵ABM
的周长为18，
∴
18
AB
BM
AM
+
+
=
，
∴
18
AB
BM
CM
AB
BC
+
+
=
+
=
，
∴
ABC
的周长
18 3 3
24
AB
BC
AC
=
+
+
=
+ + =
，
故答案为：24．
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14．（24-25 七年级下·上海青浦·期末）如图，在
ABC
中，
90
2
3
C
BC
AC
=
=
=
，
，
，过点A 作AD
AB
⊥
，
且AD
AB
=
，过点D作DE
AC
⊥
，垂足为点E ，求线段EC 的长．
【答案】
1
EC =
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明
(
)
AAS
ADE
BAC
≌
，得出
2
AE
BC
=
=
，进而根据
EC
AC
AE
=
−
，即可求解．
【详解】解：∵DE
AC
⊥
，
90
C
=
，
∴
90
AED
C
=
=
，
∴
90
ADE
DAE
+
=
，
∵AD
AB
⊥
，
∴
90
BAC
DAE
+
=
，
∴
BAC
ADE
=
，
又∵AD
AB
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
BAC
≌
，
∴
2
AE
BC
=
=
，
∴
3 2
1
EC
AC
AE
=
−
= −
= ．
15．
（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，已知点C、E、F、B 在同一直线上，AB
CD
∥
，BF
CE
=
，A
D
=
，
求证：AE
DF
=
．完成下面的说理过程（填空）．
证明：∵AB
CD
∥
（已知）
∴
B
C
=
（ ①）
∵BF
CE
=
（ ②）
∴BF + ③
CE
=
+ ④
即BE = ⑤
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在ABE
和DCF
中
B
C
=
⑥
⑦
∴
ABE
DCF
△
≌△
（ ⑧）
∴AE = ⑨（ ⑩）
【答案】①两直线平行，内错角相等；②已知；③EF ；④EF ；⑤CF ；⑥
A
D
=
；⑦BE
CF
=
；
⑧AAS；⑨DF ；⑩全等三角形的对应边相等
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由AB
CD
∥
可得
B
C
=
，结合已知条件，
利用AAS可证
ABE
DCF
△
≌△
，由全等三角形的对应边相等，可得AE = DF ．
【详解】解：完整说理过程如下：
证明：∵AB
CD
∥
（已知）
∴
B
C
=
（两直线平行，内错角相等①）
∵BF
CE
=
（已知②）
∴BF
EF
+
③
CE
=
+ EF ④
即BE
CF
=
⑤
在ABE
和DCF
中
A
D
B
C
BE
CF
=
=
=
⑥
⑦
∴
ABE
DCF
△
≌△
（AAS⑧）
∴AE = DF ⑨（全等三角形的对应边相等⑩），
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②已知；③EF ；④EF ；⑤CF ；⑥
A
D
=
；⑦BE
CF
=
；
⑧AAS；⑨DF ；⑩全等三角形的对应边相等．
16．
（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），
测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点B ，使AB 垂直于河岸，因河边不安全，
几名同学在该岸同侧平地上取点
,
C D ，使, ,
A B C 三点在同一直线上，且
,
105
CB
CD
BCD
=
=
，测得
58
ADC
=
，再在CD的延长线上取一点E ，使
17
BEC
=
，这时测得DE 的长就是该段渭河的宽度AB ．你
认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由．
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【答案】可行，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角
形的判定与性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得
58
EBC
=
，即
ADC
EBC
=
，再证明
ACD
ECB
△
≌△
可得AC
EC
=
，最后根
据线段的和差即可解答．
【详解】解：可行．理由如下：
∵
105 ,
17
BCD
BEC
=
=
，
∴
180
58
EBC
BCD
BEC
=
−
−
=
．
∵
58
ADC
=
，
∴
ADC
EBC
=
．
在ACD
和ECB
中，
,
,
ADC
EBC CD
CB
ACD
ECB
=
=
=
，
∴
(ASA)
ACD
ECB
△
≌△
，
∴AC
EC
=
．
∵
,
AB
AC
CB DE
EC
CD
=
−
=
−
，
∴DE
AB
=
．即测得DE 的长就是该段渭河的宽度AB ．
∴这几名同学的测量方案可行．
17．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段AB
CD
∥
，AC ，BD相交于点E ，E 为AC 的中点．求
证：
ABE
CDE
≌
△
△
；
【应用】如图2，有一块不规则的土地ABCD，AB
CD
∥
，点E ，F 分别在AB 和CD上，以EF 为分割线，
把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线EF 变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积
不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性．
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100 /
【答案】[发现]见解析；[应用]见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法
是解题关键．
[发现]由中点定义得AE
CE
=
，由平行线的性质得
A
C
=
、B
D
= ，根据AAS即可证得
ABE
CDE
≌
△
△
；
[应用] 取EF 的中点O，过点O作OM
AB
⊥
于点M ，延长MO 交CD于点N ，线段MN 为新的分割线．利
用两条平行线间垂线段最短，则此时分割线MN 为最短，根据AAS即可证得
OME
ONF
≌
△
△
，可得
OME
ONF
S
S
=
△
△
，从而证明方案的正确．
【详解】[发现]
证明：∵E 为AC 中点，
∴AE
CE
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
A
C
=
，
B
D
= ，
在ABE
和CDE
中，
A
C
B
D
AE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
ABE
CDE
≌
．
[应用]
解：如图，取EF 的中点O，过点O作OM
AB
⊥
于点M ，延长MO 交CD于点N ，
线段MN 为新的分割线，
证明：∵OM
AB
⊥
，
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∴
90
OME
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
MEO
NFO
=
，
90
OME
ONF
=
=
，
∴MN
CD
⊥
，
∴根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线MN 为最短，
∵O为EF 的中点，
∴OE
OF
=
，
∴
(
)
AAS
OME
ONF
≌
，
∴
OME
ONF
S
S
=
△
△
，
∴甲分割出去的土地
ONF
△
的面积等于补还给甲的土地OME
的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变．
18．（24-25 七年级下·四川成都·期中）在
ABC
中，
90
ACB
=
，
3
AC
BC
=
= ，点P 为射线BC 上一动点（点
P 不与点B 重合），连接AP ，以AP 为直角边在AP 的右侧作等腰直角
APQ
△
，
90
PAQ
=
．
(1)如图1，当点P 在线段BC 上时，过点Q 作QH
AC
⊥
于H ，求QH 的长度；
(2)连接BQ ，交直线AC 于点M ，
①如图2，当点P 运动到BC 的延长线上时，求证：BM
QM
=
；
②点P 在运动过程中，若
3
ABP
AMQ
S
S
=
，请直接写出BP的长．
【答案】(1)3
(2)①见解析②3
35 或18
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明
(
)
AAS
AQH
PAC
≌
，即可得到
3
QH
AC
=
=
；
（2）①作QD
CA
⊥
，交CA 的延长线于点D ，先证明
(
)
AAS
PAC
AQD
≌
，得到BC
QD
=
，再证明
(
)
AAS
BCM
QDM
≌
，即可得到结论；
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102 /
②当M 在线段AC 上时，由①得
(
)
AAS
PAC
AQD
≌
，
(
)
AAS
BCM
QDM
≌
，得到
3
BP
AM
=
，求出
3
5
PC =
，得到
3
3
3
3
5
5
BP
BC
PC
=
+
= +
=
；当点M 在CA 延长线上时，作QN
CA
⊥
于点N ,求出
6
AM =
，得
到
3
18
BP
AM
=
=
．
【详解】（1）解：
90
PAQ
=
，
90
PAC
QAH
+
=
，
QH
AC
⊥
，
90
AHQ
=
，
90
QAH
AQH
+
=
，
AQH
PAC
=
，
等腰直角
APQ
△
，
AQ
AP
=
在AQH
和PAC
中
90
ACP
QHA
AQH
PAC
AQ
AP
=
=
=
=
，
(
)
AAS
AQH
PAC
≌
，
3
QH
AC
=
=
；
（2）①证明：如图，作QD
CA
⊥
，交CA 的延长线于点D ，
90
D
ACP
PAQ
=
=
=
，
90
DAQ
PAC
+
=
，
90
DAQ
AQD
+
=
，
PAC
AQD
=
，
AP
AQ
=
，
(
)
AAS
PAC
AQD
≌
，
AC
QD
=
，
AC
BC
=
，
BC
QD
=
，
在BCM
和
QDM
△
中
BMC
QMD
BCM
QDM
BC
QD
=
=
=
，
(
)
AAS
BCM
QDM
≌
，
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BM
QM
=
；
②解：当M 在线段AC 上时，
由①得
(
)
AAS
PAC
AQD
≌
，
(
)
AAS
BCM
QDM
≌
，
3
QD
AC
=
=
，AD
PC
=
，CM
DM
=
，
3
ABP
AMQ
S
S
=
，
1
1
3
2
2
BP AC
AM QD
=
，
3
BP
AM
=
，
3
3
PC
AM
+ =
(
)
1
1
3
3
2
2
2
PC
AM
DM
AD
CD
PC
PC
PC
−
=
−
=
−
=
+
−
=
，
3
3
3
2
PC
PC
−
+ =
，
3
5
PC
=
，
3
3
3
3
5
5
BP
BC
PC
=
+
= +
=
．
当点M 在CA 延长线上时，
如图，作QN
CA
⊥
于点N ,同①得
(
)
AAS
AQN
PAC
≌
,
(
)
AAS
BCM
QNM
≌
,
3
QN
AC
=
=
, AN
PC
=
,CM
MN
=
,
3
ABP
AMQ
S
S
=
,
1
1
3
2
2
BP AC
AM QD
=
,
3
BP
AM
=
,即
3
3
PC
AM
+ =
,
3
3
AN
AM
+ =
,
2
3
AN
AM
MN
AM
CM
AM
AM
AC
AM
=
+
=
+
=
+
+
=
+
,
2
3 3
3
AM
AM
+ + =
,
6
AM
=
,
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3
18
BP
AM
=
=
;
综上所述BP的长为3
35 或18．
