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分层作业
1.3 勾股定理的应用
目 录
A 组 巩固过关
题型01 水杯中的筷子问题
题型02 求长方体中的最大长度问题
题型03 梯子的滑落问题
题型04 折叠问题与勾股定理
题型05 航海问题与勾股定理
题型06 利用勾股定理求河的宽度
题型07 求台阶上的地毯长度
题型08 求汽车超速问题
题型09 求受台风影响问题
题型10 构造双勾股解直角三角形
题型11 求立体图形的最短路径问题
题型12 利用勾股定理求芦苇高度问题
题型13 汽车通过隧道问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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水杯中的筷子问题
一、单选题
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是20cm ，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，
这只铅笔露在笔筒外部的长度为cm
h
，则h 的最小值是（ ）
A．4cm
B．4.5cm
C．5cm
D．6cm
【答案】C
【分析】当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h 取最小值，利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h 取最小值，
由题意知，
(
)
2
2
2
2
12
9
15 cm
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
，
(
)
20 15
5 cm
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
，
即h 的最小值是5cm．
2．将一根24cm 长的筷子置于底面圆直径为15cm、高为8cm 的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面
的长度为cm
h
，则h 的取值范围是（ ）
A．
17
h
B．7
16
h
C．15
16
h
D．
8
h
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长
度最长；分别求出h 的最大值和最小值即可．
题型01
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【详解】解：如图1，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴
24
8
16
h
=
−
=
最大
；
如图2，当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt ABD
中，
15cm
AD =
，
8cm
BD =
，
∴
(
)
2
2
2
2
15
8
17 cm
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
，
此时
24 17
7
h
=
−
=
最小
，
∴h 的取值范围是7
16
h
，
故选：B．
3．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20 的直吸管露
在罐外部分的长度a 的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ）
A．1
3
a
B．2
3
a
C．3
5
a
D．4
5
a
【答案】C
【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管的
一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为
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20 15
5
−
= ，
如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，
，
由勾股定理可得
2
2
15
8
17
AB =
+
=
，
∴直吸管露在罐外部分的长度最小为20 17
3
−
= ，
∴直吸管露在罐外部分的长度a 的范围是3
5
a
．
二、填空题
4．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为4cm 3cm 12cm
，
，
．现有一长为17cm的吸管
插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为cm
h
，则h 的取值范围是_______．
【答案】4
5
h
【分析】根据垂线段最短可知，吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，
当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，据此分别
求出吸管露在盒外部分的最长长度和最短的长度即可得到答案．
【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为
(
)
17 12
5 cm
−
=
；
当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线的长
2
2
4
3
5cm
=
+
=
，高为12cm，
由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度
(
)
2
2
5
12
13 cm
=
+
=
，
吸管露在盒外部分的长度最短为
(
)
17 13
4 cm
−
=
，
∴4
5
h
．
5．一个圆柱形饮料罐，底面半径为3，高为4，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐
内部分a 的长度范围是___________．
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【答案】4
5
a
【分析】当吸管底部在O 点时吸管在罐内部分a 最短，此时a 就是圆柱形的高；当吸管底部在A 点时吸管
在罐内部分a 最长，此时a 可以利用勾股定理在Rt
ABO
△
中即可求出．
【详解】解：如图，
当吸管底部在O 点时吸管在罐内部分a 最短，
此时a 就是圆柱形的高，即
4
a =
；
当吸管底部在A 点时吸管在罐内部分a 最长，即线段AB 的长，
在Rt
ABO
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
AB
AO
BO
=
+
=
+
=
，
∴此时
5
a =
，
所以4
5
a
．
6．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4cm ，宽为3cm ，高为12cm，在它的一角处开一个插吸管
的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm ，则此吸管的总长度为_____cm．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接BC ，不妨设
CD
BD
，利用勾股定理可得
5cm
BC =
，
13cm
AC =
，由此即可得．
【详解】解：如图，连接BC ，不妨设CD
BD
，
由题意得：
4cm
CD =
，
3
BD
cm
=
，
12cm
AB =
，CD
BD
⊥
，AB
BC
⊥
，
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∴在Rt BCD
中，
2
2
5cm
BC
BD
CD
=
+
=
，
∴在Rt
ABC
△
中，
2
2
13
AC
AB
BC
cm
=
+
=
，
∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm ，
∴此吸管的总长度为
(
)
13
3
16 cm
+
=
，
故答案为：16．
求长方体中的最大长度问题
一、填空题
1．有一根长70cm 的木棒，___________（填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为50cm、40 cm 、30 cm 的
空木箱中．
【答案】能
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度；
在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长、宽、高可求出最大距
离，然后和木棒的长度进行比较即可.
【详解】解：设放入长方体盒子中的木棒的最大长度是xcm ，
根据题意可得：
2
2
2
2
30
40
50
5000
x =
+
+
=
，
而
2
70
4900
=
，
因为4900
5000
，
所以长70cm 的木棒，能放进长、宽、高分别为50cm、40 cm 、30 cm 的空木箱中；
故答案为：能．
2．如图，是一个长方体盒子，长为12cm，宽为9cm，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料
管的最大长度是________cm．（忽略塑料管粗细）
题型02
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【答案】17
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边
长的平方和等于斜边长的平方．
连接BD、BC，首先利用勾股定理计算出
2
BC的长，再利用勾股定理计算出BD的长即可．
【详解】解：连接BD、BC，如图：
在Rt
BCC
△
中，
2
2
2
12
9
225
BC=
+
=
，
在Rt BC D
中，
(
)
2
2
2
225
64
289 cm
BD
BC
C D
=
+
=
+
=
，
∴
17cm
BD=
，
能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为17cm，
故答案为：17．
二、解答题
3．如图是长
4cm
AB =
、宽
3cm
BC =
、高
12cm
BE =
的长方体容器．
(1)求底面矩形ABCD的对角线的长；
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(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】(1)5cm
(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
4cm
AB =
、
3cm
BC =
，∠ABC=90°，
∴对角线的长=
2
2
4
3
5
+
=
cm；
（2）解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD 中，
∵
4cm
AB =
、
3cm
BC =
，∠ABC=90°，
∴BD=
2
2
4
3
5
+
= cm；
在Rt△EBD 中，ED＝
2
2
12
5
13
+
=
cm．
故这个盒子最长能放13cm 的棍子．
梯子的滑落问题
一、单选题
1．一架10m长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端6m，如果梯子的顶端下滑2m ，则梯脚将水
平移动（ ）
A．0.5m
B．0.75m
C．1m
D．2m
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键．
通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离．
题型03
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【详解】初始状态：设墙高为h ，
∵
2
2
2
6
10
h +
=
，
∴
2
100
36
64
h =
−
=
，
∴
8
h = m．
移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 8
2
6
−
=
m，
设新梯脚离墙距离为d ，
∵
2
2
2
6
10
d +
=
，
∴
2
100
36
64
d =
−
=
，
∴
8
d = m．
∴ 梯脚移动距离为8 6
2
−
=
m．
二、填空题
2．如图，长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距
离为________ m ．
【答案】2.4
【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理
即可求出另一条直角边的长度．
【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 2.5m，一条直角边长为 0.7m ，
根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：
(
)
2
2
2.5
0.7
6.25
0.49
5.76
2.4 m
−
=
−
=
=
．
故答案为：2.4．
3．如图，一根长10m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A 距离底端6m．如果梯子的顶端B 下滑2m，
那么梯足将滑动AA=________ m ．
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【答案】2
【分析】先由勾股定理求解OB ，即可得到OB，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解OA，即可求解AA．
【详解】解：在Rt AOB
中，
90
AOB
=
，
10
AB =
，
6
OA =
∴由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
OB
AB
OA
−
=
=
−
=
梯子顶端B 下滑2m至B
2
8
2
6
OB
OB
=
= −
−
=
在Rt A OB
中，
90
A OB
=
，
10
A B
=
，
6
OB=
由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
OA
A B
OB
=
−
=
−
=
8 6
2
AA
OA
OA
=
= −
−
=
．
三、解答题
4．如图，AB 是一架长2.5 米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点B 离墙的距离BE的长为0.7
米．
(1)此时梯子顶端点A离地面的距离AE 是多少米？
(2)若梯子顶端从点A下滑至点C 的距离AC 是0.4 米，那么梯子底端将向左滑动的距离BD是多少米？
【答案】(1) 2.4米
(2)0.8米
【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可；
（2）先求出CE 的长，再使用勾股定理求出DE ，最后求出BD即可．
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【详解】（1）解：在Rt ABE
中，
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4
AE
AB
BE
−
=
=
−
=
（米）；
（2）解：
2
CE
AE
AC
−
=
=
（米），
∵滑动不会改变梯子的长度，
∴
2.5
CD
AB
=
=
米，
在Rt CDE
中，
2
2
2
2
2.5
2
1.5
DE
CD
CE
−
=
=
−
=
（米），
∴
0.8
BD
DE
BE
−
=
=
（米）．
答：梯子底端将向左滑动的距离BD是0.8米．
5．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE 时，梯子A到左墙的距离AE 为0.7m，
梯子顶端D到地面的距离DE 为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC 上，梯子顶端C 到地
面的距离CB 为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m ）
【答案】
2.7m
BE =
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想
的应用．先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB 的长，进而可得出结论．
【详解】解：由题意得AD
AC
=
，
90
AEB
ABC
=
=
，
0.7m
AE =
，
2.4m
DE =
，
2
2
2
2
0.7
2.4
2.5m
AC
AD
AE
DE
=
=
+
=
+
=
，
1.5m
BC =
，
2
2
2
2
2.5
1.5
2m
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
，
0.7
2
2.7m
BE
AE
AB
=
+
=
+
=
，
即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽
2.7m
BE =
．
6．消防车上的云梯示意图如图1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高4 米，如图2，某栋楼发生火
灾，在这栋楼的B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的
距离OA为15 米．
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(1)求B 处与地面的距离．
(2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米？
【答案】(1)点B 处与地面的距离为24 米
(2)消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度．
（1）由题意可得，
4
OE = 米，
25
AB =
米，
15
OA=
米，利用勾股定理求得OB ，即可求解；
（2）根据题意可得，OD
OB
BD
=
+
，
25
CD =
米，由勾股定理可得
2
2
OC
CD
OD
=
−
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
4
OE = 米，
25
AB =
米，
15
OA=
米，
由勾股定理可得，
2
2
20
OB
AB
OA
=
−
=
（米），
20
4
24
BE
OB
OE
=
+
=
+
=
（米），
则点B 处与地面的距离为24 米；
（2）解：由题意可得，
20
4
24
OD
OB
BD
=
+
=
+
=
（米），
25
CD =
米，
根据勾股定理可得，
2
2
7
OC
CD
OD
=
−
=
（米），
∴
15 7
8
AC
OA OC
=
−
=
−
=
（米），
则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米．
7．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑
块B 上，另一端拴在物体C 上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体C 的
升降．实验初始状态如图1 所示(
)
AC
BC
⊥
，物体C 静止在直轨道上，物体C 到滑块B 的水平距离是6dm，
绳长(
)
AB
AC
+
为18dm ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B 和物体C 的大小忽略不
计，都看作一点）
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(1)求AB 的长．
(2)如图2，若滑块B 水平向左滑动9dm，求物体C 上升的高度．
【答案】(1)10dm
(2)7dm
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）设
dm
AB
x
=
，在Rt
ABC
△
中，利用勾股定理建立方程，求解即可；
（2）在Rt ABD
中，利用勾股定理求出AB 的长，求出AB 变化的长度就是物体C 上升的高度．
【详解】（1）解：由题意，得
6dm,
18dm
BC
AB
AC
=
+
=
．
设
dm
AB
x
=
，则
(
)
18
dm
AC
x
=
−
．
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
BC
AC
AB
+
=
，
即
(
)
2
2
2
6
18
x
x
+
−
=
，
解得
10
x =
．
答：AB 的长为10dm．
（2）如图．
由题意，得
9dm
BE =
，
所以
(
)
9
6
15 dm
BD
BE
ED
=
+
=
+
=
．
在Rt ABD
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
15
8
17 dm
AB
BD
AD
=
+
=
+
=
，
(
)
17 10
7 dm
−
=
．
答：物体C 上升的高度为7dm．
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折叠问题与勾股定理
一、单选题
1．如图，货车高
(
)
4m
4m
AC =
，卸货时后面支架AB 弯折落在地面
1A 处，经过测量
1
2 m
AC =
，则弯折点B
与地面的距离为（ ）
A．2m
B．3m
C．3 m
2
D．(
)
4
3 m
−
【答案】C
【分析】设
m
BC
x
=
，则
(
)
1
4
m
A B
AB
x
=
=
−
，根据勾股定理列出方程
(
)
2
2
2
x
2
4
x
+
=
−
，解方程即可．
【详解】解：设
m
BC
x
=
，则
(
)
1
4
m
A B
AB
x
=
=
−
，
根据勾股定理得：
2
2
2
1
1
BC
AC
A B
+
=
，
即
(
)
2
2
2
x
2
4
x
+
=
−
，
解得：
3
2
x =
，
即弯折点B 与地面的距离为3 m
2
．
2．如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，沿DE 折叠，使点A与点B 重合，则DE 的长为（ ）
A．11
3
B．4
C．24
5
D．15
4
【答案】D
【分析】根据勾股定理可知
10
AB =
，根据折叠的性质得到
,
5,
90
AD
BD AE
EB
DAE
DEB
=
=
=
=
=
，设
AD
x
=
，根据勾股定理求出
25
4
x =
，进而根据勾股定理计算即可．
题型04
试卷第15 页，共98 页
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【详解】解：∵
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
∵沿DE 折叠，使点A与点B 重合，
∴
,
5,
90
AD
BD AE
EB
DAE
DEB
=
=
=
=
=
，
设AD
x
=
，
则
,
8
BD
x CD
x
=
=
−
，
∵
90
ACB
=
，
6
BC =
，
∴(
)
2
2
2
8
6
x
x
−
+
=
，
解得
25
4
x =
，
∴
25
4
AD =
，
∴
2
2
25
15
5
4
4
DE
=
−
=
．
3．在ABC
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，点D 在BC 上，将ACD
沿AD对折，点C 刚好
落在AB 上的E 点，则CD的长（ ）
A．4
B．3
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据折叠得出
6
AE
AC
=
=
，DE
DC
=
，
90
AED
C
=
=
，设CD
DE
x
=
=
，则
8
DB
x
= −
，根
据勾股定理得出(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，即可求出结果即可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，根据题意得：
6
AE
AC
=
=
，DE
DC
=
，
90
AED
C
=
=
，
则
4
BE
AB
AE
=
−
=
，
设CD
DE
x
=
=
，则
8
DB
x
= −
，
在Rt
BDE
△
中，根据勾股定理得：
2
2
2
BD
DE
BE
=
+
，
试卷第16 页，共98 页
即(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得：
3
x = ，
即
3
CD =
．
4．如图，在长方形ABCD中，
6,
8
CD
AD
=
=
．将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC
上的点F 处，则EF 的长为（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得AC 的长，再由折叠的性质可得
6,
CF
CD
EF
DE
=
=
=
，
90
CFE
D
=
=
，从
而得到
4
AF
AC
CF
=
−
=
，
90
AFE
=
，设EF
DE
x
=
=
，则
8
AE
x
= −
，在Rt AEF
中，根据勾股定理，即
可求解．
【详解】解：在长方形ABCD中，
6,
8
CD
AD
=
=
，
90
D
=
，
∴
2
2
10
AC
AD
CD
=
+
=
，
由折叠的性质得：
6,
CF
CD
EF
DE
=
=
=
，
90
CFE
D
=
=
，
∴
4
AF
AC
CF
=
−
=
，
90
AFE
=
，
设EF
DE
x
=
=
，则
8
AE
x
= −
，
在Rt AEF
中，∵
2
2
2
AE
AF
EF
=
+
，
∴(
)
2
2
2
8
4
x
x
−
=
+
，
解得：
3
x = ，
即
3
EF = ．
二、填空题
5．如图，长方形ABCD中，点E 在边AB 上，将长方形ABCD沿直线DE 折叠，点A恰好落在边BC 上的点
F 处，若
5
AD = ，
3
DC =
，则BF 的长是______．
试卷第17 页，共98 页
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【答案】1
【分析】由折叠得
5
DF
AD
=
= ，然后根据矩形的性质得到
90
C
=
，
5
BC
AD
=
=
，然后利用勾股定理求
解即可．
【详解】解：由折叠得，
5
DF
AD
=
=
∵四边形ABCD是长方形
∴
90
C
=
，
5
BC
AD
=
=
∴
2
2
4
FC
DF
DC
=
−
=
∴
5 4
1
BF
BC
FC
=
−
= −
= ．
6．如图，长方形纸片ABCD中，
3cm
AB =
，
9cm
AD =
，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C
落在点H 的位置，折痕为EF ，则ABE
的面积为______
2
cm ．
【答案】6
【分析】设AE
x
=
，则
9
DE
x
= −
，由折叠的性质得到
9
BE
DE
x
=
= −，在Rt
ABE
△
中，
2
2
2
AB
AE
BE
+
=
，
解得
4
x = ，即可求得三角形的面积．
【详解】解：长方形纸片ABCD中，
9cm
AD =
，
设AE
x
=
，则
9
DE
x
= −，
将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，
9
BE
DE
x
=
= −，
在Rt
ABE
△
中，
2
2
2
AB
AE
BE
+
=
，
2
2
2
3
(9
)
x
x
−
+
=
，
解得
4
x = ，
4
AE
= ，
试卷第18 页，共98 页
1
1 3 4
6
2
2
ABE
S
AB
AE
=
=
=
．
三、解答题
7．如图，点E 是长方形ABCD边上的一点，将边AD沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，若
4cm
AB =
，
5cm
BC =
，求EC 的长．
【答案】EC 的长为1.5cm
【分析】根据长方形以及折叠的性质可得
5
AF
AD
BC
=
=
=
，DE
EF
=
，
4
AB
CD
=
=
，
90
B
C
=
=
，
设EC
x
=
，则
4
DE
x
=
−，
4
EF
x
=
−
，然后对Rt ABF
和Rt CEF
运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，将边AD沿直线AE 折叠，
5
AF
AD
BC
=
=
= ，DE
EF
=
，
4
AB
CD
=
=
，
90
B
C
=
=
，
设EC
x
=
，则
4
DE
x
=
−．
4
EF
x
=
−
，
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
5
4
3
BF
AF
AB
=
−
=
−
=
，
2
FC
BC
BF
=
−
=
．
在Rt CEF
中，由勾股定理得：
2
2
2
CE
FC
EF
+
=
，即：
2
2
2
2
(4
)
x
x
+
=
−
，
解得
1.5
x =
．
EC
的长为1.5cm．
8．已知，四边形ABCD为长方形，
8
AB =
，
10
BC =
，点E 由点D 向DA运动，点F 由点D 向DC 运动．将
CBF
△
沿BF 折叠，点C 恰好落在点E 处时，求此时BF 的长；
试卷第19 页，共98 页
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【答案】5 5
【分析】根据折叠可得CF
EF
=
，在Rt EFD
中利用勾股定理列方程求出DF ，然后在Rt
BCF
△
中利用勾股
定理求解即可．
【详解】解：由折叠知，
10
BC
BE
=
=
，EF
CF
=
，
四边形ABCD为长方形，
10
AD
BC
=
=
，
90
A
D
C
=
=
=
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
AE
BE
AB
=
−
=
−
=
，
10
6
4
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
，
设CF
x
=
，则EF
x
=
，
8
DF
DC
CF
x
=
−
= −，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，解得
5
x = ，
5
CF
=
，
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
5
5 5
BF
BC
CF
=
+
=
+
=
．
航海问题与勾股定理
一、单选题
1．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿北偏东40方向航行，乙船沿南偏东50
方向航行，1.5小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛．若C 、B 两岛相距30海里，则乙船的航速是（ ）
A．8海里/时
B．12海里/时
C．16海里/时
D．20 海里/时
【答案】B
【分析】由题意可知，
90
BAC
=
，
24
AC =
海里，
30
BC =
海里，利用勾股定理计算出AB ，进而求出乙船
的航速．
题型05
试卷第20 页，共98 页
【详解】解：由题意可知，
180
40
50
90
BAC
=
−
−
=
，
16 1.5
24
AC =
=
（海里），
30
BC =
海里，
在Rt ABC
中，
2
2
2
2
30
24
18
AB
BC
AC
=
−
=
−
=
（海里），
∴乙船的航速为18
12
1.5 =
（海里/时）．
2．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/ 时的速度沿北偏东35方向航行，乙船沿南偏东55
方向航行，2 小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 （ ）
A．20 海里/ 时
B．30海里/ 时
C．40 海里/ 时
D．50海里/ 时
【答案】C
【分析】根据已知判定
CAB
为直角，根据路程公式求得AC 的长．再根据勾股定理求得AB 的长，从而根
据公式求得其速度．
【详解】解：如图，
甲的速度是30海里/ 时，时间是2 小时，
60
AC
=
海里．
35
EAC
=
，
55
FAB
=
，
90
CAB
=
．
100
BC =
海里，
2
2
2
2
100
60
80
AB
BC
AC
=
−
=
−
=
海里．
乙船也用2 小时，
乙船的速度是40 海里/ 时．
试卷第21 页，共98 页
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二、填空题
3．如图，我军巡逻艇正在A 处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12 海里的B 处有一艘走私船，以18
海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C 处将其追上，我军
巡逻艇的航行路程AC =_______海里．
【答案】15
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt
ABC
△
中利用勾股定理求出AC 的长是
解题的关键．
先根据题意结合方位角的描述求出
90
ABC
=
以及AB
BC
、
的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可得到
答案．
【详解】解：如图所示，由题意得，
90
60
30
90
60
HAB
MBC
EBC
=
−
=
=
−
=
∠
，∠
∠
，
∵AH
BM
∥
，
∴
30
ABM
BAH
=
=
∠
∠
，
∴
90
ABC
ABM
MBC
=
+
=
∠
∠
∠
，
∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C 处追上走私船，
∴
18 0.5
9
BC =
=
海里，
在Rt
ABC
△
中，
90
12
ABC
AB
=
=
∠
，
海里，
9
BC =
海里，
试卷第22 页，共98 页
∴
2
2
15
AC
AB
BC
=
+
=
海里，
答：我军巡逻艇的航行路程为15海里．
故答案为15．
三、解答题
4．如图，在离水面高度为5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13 米，此人以0.5米/
秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D 的位置．
(1)求CD的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
【答案】(1)10 米
(2)船向岸边移动了(
)
12
5 3
−
米
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．
（1）用绳子BC 的长减去收起的绳长即可求解；
（2）先根据勾股定理求出
,
AB AD ，再根据BD
AB
AD
=
−
求解即可．
【详解】（1）解：此人以0.5米/秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D 的位置，
13 0.5 6 10
CD
=
−
=
（米），
（2）解：在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
=
，
13
BC =
米，
5
AC =
米，由勾股定理得，
2
2
13
5
12
AB
=
−
=
（米），
在Rt ACD
中，
5
AC = 米，
10
CD =
米，由勾股定理得，
2
2
2
2
10
5
5 3
AD
CD
AC
=
−
=
−
=
（米），
(
)
12 5 3
BD
AB
AD
=
−
=
−
米.
答：船向岸边移动了(
)
12
5 3
−
米．
试卷第23 页，共98 页
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利用勾股定理求河的宽度
一、单选题
1．如图，湖的两岸有A，C 两点，在与AC 成直角的BC 方向上的点C 处测得
15
AB =
米，
12
BC =
米，则A，
C 两点间的距离为（ ）
A．3 米
B．6 米
C．9 米
D．10 米
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC 的长即可．
【详解】由题意得：
2
2
2
2
15
12
9
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
即A，C 两点间的距离为9米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC 的长是解题的关键．
2．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点
C 与欲到达地点B 相距8 米，结果轮船在水中实际航行的路程AC 比河的宽度AB 多2 米，则河的宽度AB 是
（ ）
A．6 米
B．9 米
C．12 米
D．15 米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知ABC
为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直
角边AB 的长度．
【详解】解：根据题意，得
8
BC = ，
2
AC
AB
=
+ ，
90
ABC
=
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
∴
(
)
2
2
28
2
AB
AB
+
=
+
，
题型06
试卷第24 页，共98 页
解得
15
AB =
，
即河的宽度AB 是15 米，
故选：D．
3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的
长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x 步，则可列方程为（ ）
A．30
50
x
x
+
=
−
B．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
−
=
C．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
D．
(
)
2
2
2
50
30
x
x
+
−
=
【答案】C
【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股
定理列出方程即可．
【详解】解：设长方形田的宽为x 步，宽与对角线的和为50步，
则对角线长为(
)
50
x
−
步，
∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为30步，
∴根据勾股定理可得
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
，C 选项符合题意．
二、填空题
4．AI 机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A 处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B 处，由于水
流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程AC 为15米，则AB 的长为_______
米．
【答案】12
【分析】根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90 ,
15
B
AC
=
=
米，
9
BC =
米，
由勾股定理得：
2
2
2
2
15
9
12
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
米．
试卷第25 页，共98 页
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故答案为：12．
5．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度AB 为2.5 米，一名学生站
在C 处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高CD为1.6米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，这名
学生从进入感应区到进门，需行进______米．
【答案】1.2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D 作DE
AB
⊥
于
E，则
1.6
CD
BE
=
=
米，DE
BC
=
，得到
0.9
AE =
米，由勾股定理得出
1.2
DE =
米，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点D 作DE
AB
⊥
于E，则
1.6
CD
BE
=
=
米，DE
BC
=
，
2.5
AB =
米，
2.5 1.6
0.9
AE
AB
BE
=
−
=
−
=
米，
1.5
AD =
米，
在Rt ADE
中， 由勾股定理得：
2
2
2
2
= 1.5
0.9
1.2
DE
AD
AE
=
−
−
=
米，
1.2
BC
DE
=
=
米，
即这名学生从进入感应区到进门，需行进1.2米，
故答案为：1.2．
三、解答题
6．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具无
法直接测得A、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ，
试卷第26 页，共98 页
在AB 的延长线上取一点D ，使得
12
BD =
米．经测量
34
AC =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，请你计算点A、
B 之间的距离．
【答案】18 米
【分析】可证明
2
2
2
BD
CD
CB
+
=
，则
90
D
=
，据此利用勾股定理求出AD的长，即可求出AB 的长．
【详解】解：∵
12
BD =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，
∴
2
2
2
2
12
16
144
256
400
BD
CD
+
=
+
=
+
=
，
2
2
20
400
CB =
=
，
∴
2
2
2
BD
CD
CB
+
=
，
∴BCD
是直角三角形，且
90
D
=
，
又∵
34
AC =
米，
∴
2
2
2
2
34
16
30
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
米，
∴
18
AB
AD
BD
=
−
=
米，
答：点A、B 之间的距离为18 米．
7．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B 之间的距离，他们的操作
过程如下：①沿AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C ，使
6
BC =
米；②在AC 的一侧选点D ，恰
好使
8
BD =
米，
10
CD =
米；③测得
17
AD =
米．请根据他们的操作过程，回答以下问题：
(1)求
ABD
的度数；
(2)求出A，B 两点间的距离．
【答案】(1)90
(2)15 米
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
试卷第27 页，共98 页
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【详解】（1）解：
6
BC =
米，
8
BD =
米，
10
CD =
米，
2
2
2
100
BC
BD
CD
+
=
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
DBC
=
，
180
90
ABD
DBC
=
−
=
；
（2）解：
17
AD =
米，
90
ABD
=
在Rt ABD
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
17
8
15
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
( 米) ，
A
，B 两点间的距离为15米．
8．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的
顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
【答案】2 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解
题关键．
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则
0.5m,
1.5m,
AC
A C
AB
A B
=
=
=
，
所以BC 即为河水深度，
0.5m
A B
BC +
=
，
A C
AB
⊥
，
试卷第28 页，共98 页
A CB
是直角三角形，
2
2
2
A C
BC
A B
+
=
，
(
)
2
2
2
1.5
0.5
BC
BC
+
=
+
，
解得：
(
)
2 m
BC =
，
答：河水的深度为2 米．
9．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到
点E ，同时小船从点A移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知AC ________ BC
CE
+
（填“”“”“ = ”）；
(2)若
5
CF = 米，
12
=
AF
米，
4
AB =
米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．
【答案】(1) =
(2)男孩需向右移动的距离为(
)
13
89
−
米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出AC 、BC 的长，然后根据CE
AC
BC
=
−
即可求解．
【详解】（1）解：
AC
的长度是男孩未拽之前的绳子长，(
)
BC
CE
+
的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始
终保持不变，
AC
BC
CE
=
+
，
（2）解：连接AB ，则点A、B 、F 三点共线，
在Rt
CAF
△
中，
2
2
2
2
12
5
13
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
（米) ，
12
4
8
BF
AF
AB
=
−
=
−
=
（米) ，
在Rt
CBF
△
中，
2
2
2
2
89
5
8
BC
CF
BF
=
+
=
+
=
（米) ，
试卷第29 页，共98 页
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AC
BC
CE
=
+
，
(
)
89
13
CE
AC
BC
=
−
=
−
（米) ，
男孩需向右移动的距离为(
)
13
89
−
米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC 、BC 的长是解题的关键．
求台阶上的地毯长度
一、单选题
1．如图，在高为5 m ，坡面长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．25m
B．18m
C．17m
D．13m
【答案】C
【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然
后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度
2
2
13
5
12m
=
−
=
，
∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是
(
)
12
5
17 m
+
=
．
二、填空题
2．如图，在一个高为3m 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为7m，则楼梯斜面AB 的长为_______m．
【答案】5
题型07
试卷第30 页，共98 页
【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是
3m
AC =
，所有台阶宽的和，恰好是BC ，再利用勾股定理求
解即可；
【详解】解：如图所示，地毯的总长度为7m，
根据题意，所有台阶高的和，恰好是
3m
AC =
，所有台阶宽的和，恰好是BC ，
故
7m
AC
BC
+
=
，
故
4m
BC =
，
根据勾股定理，得
(
)
2
2
5 m
AB
AC
BC
=
+
=
；
三、解答题
3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽
为4m．
(1)请你算一算共需购买多大面积的地毯；
(2)若地毯的价格为120 元
2
/m ，则购买地毯需花费多少元？
【答案】(1)共需购买68 平方米的地毯
(2)购买地毯需花费8160 元
【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可；
（2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用．
【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m ，斜边为13m，
根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：
2
2
13
5
12m
−
=
，
则需购买地毯的长为12 5
17m
+ =
，
因为地毯的宽则是台阶的宽4 米，
试卷第31 页，共98 页
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所以面积是：
2
17 4
68m
=
．
故共需购买
2
68m 的地毯．
（2）解：由地毯的价格为120 元
2
/m ，
则购买地毯的费用为：120 68
8160
=
元，
故购买地毯需花费8160 元．
求汽车超速问题
一、填空题
1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚
好行驶到路面车速检测仪A 的正前方30 m 的C 处，过了2s后，小车到达B 处，此时测得A、B 间距离为50m，
AC
BC
⊥
，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”）
【答案】是
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出BC 的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断．
【详解】解：由题意知，AC
BC
⊥
，
30m
AC =
，
50m
AB =
，
(
)
2
2
2
2
50
30
40 m
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
小汽车从C 到B 用了2s，
小汽车的速度为
(
)
40
2
20 m/s
=
，
20
19
，
小汽车是超速，
故答案为：是．
二、解答题
2．如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
90
AN =
米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到
达N 点时开始计时，离开M 点时停止计时，已知
150
AM =
米．
题型08
试卷第32 页，共98 页
(1)若一辆汽车以108 km / h 的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3 秒，该车是否超速？请说明理由．
【答案】(1)共用时4 秒
(2)该车超速，理由见详解
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出MN 的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可
【详解】（1）解：依题意可得，AN
MN
⊥
，
∴
90
ANM
=
，AMN
为直角三角形
∵
150
AM =
米，
90
AN =
米，
∴
2
2
2
2
150
90
120
MN
AM
AN
=
−
=
−
=
米，
108km/h
30m/s
=
，
∴
120 30
4s
t =
=
答∶共用时4 秒；
（2）解：超速，理由如下∶
120:3
40m/s
144km/h
=
=
，
∵144km/h
120km/h
，
∴该车超速．
求受台风影响问题
一、填空题
1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O处交会，点A到MN 的直线距离为100m．公路PQ 上点A处距离点O处
300m．如果火车行驶时，周围260m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20m/s的
速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为______s ．
题型09
试卷第33 页，共98 页
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【答案】24
【分析】过点A作AC
ON
⊥
，ON 上取点B ，D ，使
260m
AD
AB
=
=
，通过勾股定理求出
(
)
240 m
BC
CD
=
=
，
则受噪音影响共有
480m
BD =
，然后求出时间即可．
【详解】解：如图，过点A作AC
ON
⊥
，ON 上取点B ，D ，使
260m
AD
AB
=
=
，
由题意可得
300m
OA =
，
100m
AC =
，
当火车到B
D
、
点时对A处产生噪音影响，此时
260m
AD
AB
=
=
，
由勾股定理得：
(
)
2
2
2
2
260
100
240 m
BC
CD
AB
AC
=
=
−
=
−
=
，
∴受噪音影响共有
480m
BD =
，
∴点A处受噪音影响的时间为
( )
480
20
24 s
=
．
二、解答题
2．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路MN 的
一侧有一报亭A，报亭A 到公路MN 的距离AB 为600 米，且宣讲车P 周围1 000 米以内能听到广播宣传，
宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200 米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析
(2)报亭的人总共能听到8 分钟的广播宣传
试卷第34 页，共98 页
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600 米1000
米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P 行驶到
1P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P 行驶过
2P 点时，报亭
的人开始听不到广播宣传，连接
1
2
AP
AP
，
．利用勾股定理求出
1
2
PB
P B
、
的长，进而求出
1
2
PP 的长，再根据
时间等于路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600 米1000
米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P 行驶到
1P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P 行驶过
2P 点时，
报亭的人开始听不到广播宣传，连接
1
2
AP
AP
，
．
由题意得，
1
2
1000
AP
AP
=
=
米，
600
AB =
米，AB
MN
⊥
，
由勾股定理得
2
2
1
1
800
PB
P A
AB
=
−
=
米，
2
2
2
2
800
P B
P A
AB
=
−
=
米，
∴
1
2
1600
PP =
米．
∵1600 200
8
= (分)，
∴报亭的人总共能听到8 分钟的广播宣传．
3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为一海港，
当AC
BC
⊥
时，A 点到B，C 两点的距离分别为1000km和600km，以台风中心为圆心周围520km以内为受
影响区域．
(1)求BC ；
试卷第35 页，共98 页
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(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为100km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)
800km
BC =
(2)海港C 受台风影响，
理由如下：过点C 作CD
AB
⊥
，
1
1
2
2
AC
BC
CD
AB
=
，
1
1
600 800
1000
2
2
CD
=
，
(
)
480 km
CD
=
，
以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480
520
，
海港C 受台风影响；
(3)海港C 受台风影响的时间会持续4h．
【分析】（1）依据勾股定理求解即可；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：
AC
BC
⊥
，
90
ACB
=
，
1000km
AB =
，
600km
AC =
，
(
)
2
2
2
2
1000
600
800 km
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
（2）略
（3）解：如图，当
520km
EC =
，
520km
FC =
时，正好影响C 港口，
(
)
2
2
200 km
ED
EC
CD
=
−
=
，
(
)
2
2
200 km
FD
FC
CD
=
−
=
，
(
)
400 km
EF
ED
FD
=
+
=
，
台风的速度为100km/ h ，
( )
400 100
4 h
=
，
答：海港C 受台风影响的时间会持续4h．
试卷第36 页，共98 页
4．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20
/ h
km
的速度移动，已知城市A到BC 的距离AD为160km．
(1)求台风中心从B 点移到D 点的距离BD的长？
(2)如果在距台风中心200km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小
时？
【答案】(1) BD的长为300km
(2) A市受到台风影响的时间持续12小时
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键．
（1）使用勾股定理直接计算即可；
（2）以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ，使用勾股定理求出EF ，再除以台风的速度
求出持续时间．
【详解】（1）解：由题意可得AD
BC
⊥
，
340
AB
km
=
，
在直角ABD
中，
2
2
2
2
340
160
300
BD
AB
AD
km
=
−
=
−
=
．
答：BD的长为300km ．
（2）解：如图，以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ，
试卷第37 页，共98 页
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由题意可知，台风在EF 段时，对A市有影响．
在直角ADE
中，
2
2
2
2
200
160
120
DE
AE
AD
km
=
−
=
−
=
，
同理，
120
DF
km
=
，
∴
240
EF
DE
DF
km
=
+
=
，
∴影响持续的时间为240 20
12h
=
．
答：A市受到台风影响的时间持续12小时．
构造双勾股解直角三角形
一、解答题
1．如图，铁路上A，B 两站（视为直线上两点）相距27km ，C，D 为两村庄（视为两个点），DA
AB
⊥
于A，
CB
AB
⊥
于B ．已知
24km
DA=
，
15km
CB =
，现要在铁路AB 上建设一个特产收购站E ，使得C ，D 两村
到E 站的距离相等，则E 站应建在距离A 站多少千米处？
【答案】E 站应建在离A 站7km处
【分析】设AE
x
=
，可将DE 和CE 的长表示出来，然后根据勾股定理可得
2
2
2
2
2
2
,
AE
AD
DE
BE
BC
EC
+
=
+
=
，
即可列出方程进行求解．
【详解】解：∵C，D 两村到E 站的距离相等，
∴DE
CE
=
．
∵DA
AB
⊥
于A，CB
AB
⊥
于B，
∴
90
A
B
= =
，
∴
2
2
2
2
2
2
AE
AD
DE BE
BC
EC
+
=
+
=
,
，
∴
2
2
2
2
AE
AD
BE
BC
+
=
+
，
设AE
x
=
，则
(
)
27
BE
AB
AE
x
=
−
=
−
．
∵
24km
DA=
，
15km
CB =
，
题型10
试卷第38 页，共98 页
∴
(
)
2
2
2
2
24
27
15
x
x
+
=
−
+
，
解得：
7
x =
，
∴
7km
AE =
．
答：E 站应建在离A 站7km处．
2．如图，某学校（A点）到公路（直线l ）的距离为30m，到公交站（D 点）的距离AD为50m ，现在公路
边上建一个商店（C 点），使商店到学校A及公交站D 的距离相等，求商店C 与公交站D 之间的距离．
【答案】商店C 与公交站D 之间的距离为125
4 米
【分析】作AB
l
⊥于点B，勾股定理求得
40
BD =
，设CD
x
=
，则AC
x
=
，
40
CB
x
=
−
，在Rt
ACB
△
中，
根据
2
2
2
AC
BC
AB
=
+
，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，作AB
l
⊥于点B，
则
30m
AB =
，
50m
AD =
，
2
2
40(m)
BD
AD
AB
=
−
=
．
设CD
x
=
，则AC
x
=
，
40
CB
x
=
−
，
在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
AC
BC
AB
=
+
，
2
2
2
(40
)
30
x
x
=
−
+
，即
2
2
1600
80
900
x
x
x
=
+
−
+
．
解得
125(m)
4
x =
．
答：商店C 与公交站D之间的距离为125
4 米．
3．如图，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A 、凉亭B，观景台A 到马路的距离（AC
的长）为70m，凉亭B到马路的距离（BD的长）为10m，CD的长为80m ．现计划在路段CD之间放置一
个自动售货点G ，使得G 到A 、B两处的距离相等，该自动售货点G 应该修建在离点C 多远处？
试卷第39 页，共98 页
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【答案】该自动售货点G 应该修建在离点C 10m处
【分析】连接
,
AG BG ，设
m
CG
x
=
，则
(
)
80
m
DG
x
=
−
，利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：如图，连接
,
AG BG ，
设
m
CG
x
=
，则
(
)
80
m
DG
x
=
−
，
根据勾股定理可得
2
2
2
2
2
70
AG
AC
CG
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
2
80
10
BG
DG
BD
x
=
+
=
−
+
，
AG
BG
=
，
(
)
2
2
2
2
70
80
10
x
x
+
=
−
+
，
解得
10
x =
，
答：该自动售货点G 应该修建在离点C 10m处．
4．某市准备在铁路AB 上修建火车站E ，以方便铁路AB 两旁的C ，D 两城的居民出行．如图，C 城到铁
路AB 的距离
20km
AC =
，D 城到铁路AB 的距离
60km
DB =
，
100km
AB =
，经市政府与铁路部门协商最后
确定在到C ，D两城距离相等的E 处修建火车站，求AE ，BE的长．
【答案】
66?km
AE =
，
34?km
BE =
【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出CE 和DE ，再根据CE
DE
=
建立方程求解．本题主要考
查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键．
试卷第40 页，共98 页
【详解】解：设
km
AE
x
=
，则
(
)
100
km
BE
x
=
−
．
根据题意，得CE
DE
=
．
∴
2
2
2
2
2
)
0
10
(
0
60
x
x
+
=
−
+
，
解得
66
x =
．
∴100
34
x
−
=
．
∴
66km
AE =
，
34km
BE =
．
5．如图，直线l 为一条公路，A，D 两处各有一个村庄，AB
l
⊥于点B，DC
l
⊥于点C，
4
AB =
千米，
8
BC =
千米，
6
CD =
千米．现需要在BC 上建立一个物资调运站E，使得E 到A，D 两个村庄距离相等，请求出E
到C 的距离．
【答案】E 到C 的距离为2.75 千米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设CE
x
=
千米，则
(
)
8
BE
x
=
−
千米，由AE
DE
=
根据勾股定理可得
关于x 的方程，解方程即得结果．
【详解】如图，设CE
x
=
千米，则
(
)
8
BE
x
=
−
千米，
在Rt
ABE
△
中，根据勾股定理，
2
2
2
AB
BE
AE
+
=
，
在Rt
CDE
△
中，根据勾股定理，
2
2
2
CE
DC
DE
+
=
，
∵AE
DE
=
，
∴
2
2
2
2
AB
BE
CE
DC
+
=
+
，即
(
)
2
2
2
2
4
8
6
x
x
+
−
=
+
，
解得：
2.75
x =
，
即E 到C 的距离为2.75 千米．
试卷第41 页，共98 页
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求立体图形的最短路径问题
一、单选题
1．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面
爬行到点C 的最短路程为（ ）
A．17cm
B．13cm
C．12cm
D．2 61cm
【答案】B
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则
1
10
5
2
AD
cm
=
=
．
由题意得，
12cm
CD
AB
=
=
，
所以
2
2
12
5
13
AC
cm
=
+
=
．
故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是13cm ．
2．如图，圆柱形玻璃容器高6cm，底面周长为24cm ，在容器内壁距下底1cm的点A 处有一只蚂蚁，在蚂
蚁正对面的容器上底边点B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（ ）cm．
A．12
B．13
C．6 5
D．6 3
【答案】B
题型11
试卷第42 页，共98 页
【分析】根据题意得到圆柱形玻璃容器的展开图，确定A、B 的位置，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，
1cm,
6cm
AE
CB
=
=
，作AF
CB
⊥
于F ；
∵底面周长为24cm ，
∴
(
)
12 cm
AF
EC
=
=
，
∵AF
CB
⊥
，
∴
(
)
1 cm
AE
CF
=
=
，
∴
(
)
6 1
5 cm
BF =
−=
，
∴
(
)
2
2
2
2
12
5
13 cm
AB
AF
BF
=
+
=
+
=
．
3．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20 的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B 处，点B
离点C 的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．25
B．5 29
C．5 37
D．35
【答案】A
【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段AB 的长，进而比较即可求解．
【详解】解：∵两点之间，线段最短，
∴蚂蚁沿着线段AB 爬行时，路径最短，
把长方体的侧面展开，有三种情况：
如图①，
试卷第43 页，共98 页
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∵
5 10
15
BD = +
=
，
20
AD =
，
∴
2
2
15
20
25
AB =
+
=
；
如图②，
∵
10
20
30
AC =
+
=
，
5
BC =
，
∴
2
2
30
5
5 37
AB =
+
=
；
如图③，
∵
5
20
25
BD = +
=
，
10
AD =
，
∴
2
2
25
10
5 29
AB =
+
=
；
∵25
5 29
5 37
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25 ．
4．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm 、2dm，A和B 是这个台阶上两
个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程
是（ ）
试卷第44 页，共98 页
A．20
B．24
C．25
D．35
【答案】C
【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可．
【详解】将台阶面展开得到一个长方形，
∵ 每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm 、2dm，且共有三级，
∴ 展开后长方形的长为20dm，宽为(
)
(
)
3
2
3
15 dm
+
=
，
根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：
(
)
2
2
20
15
400
225
625
25 dm
AB =
+
=
+
=
=
．
5．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一个长方体的木块．已知
8
AD = 米，
7
AB =
米，该木块的较长
边与AD平行，横截面是边长为4 米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C 处需要走的最短路程是
________米，
A．17
B．5 17
C．113
D．19
【答案】A
【分析】画出木块展开后的平面图，对角线AC 即为所求最短路径，用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将木块展开，则对角线AC 即为所求最短路径，
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由题意可知，
7
4
4
15
AB =
+ +
=
（米），
8
BC
AD
=
=
米，
90
B
=
，
在Rt ABC
中，
2
2
2
2
15
8
17
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
（米），
所以从点A爬过木块到达C 处需要走的最短路程是17 米．
6．如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A．3
B．1
2
+
C．3
D．5
【答案】D
【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段AB 的
长，据此利用勾股定理求出AB 的长即可得到答案．
【详解】解：将正方体展开，连接A、B，
由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段AB 的长，
由题意得，在Rt
ABC
△
中，
2
90
AC
BC
ACB
=
=
=
，
，∠
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
∴蚂蚁走过的最短路程为5 ．
7．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B 处，已知
长方体长6cm，宽5cm，高3cm．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B 点，则蜘蛛爬行的
最短路程是（）cm．
试卷第46 页，共98 页
A．9.8
B．10
C．106
D．130
【答案】B
【分析】分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下AB 的长，比
较即可得到答案．
【详解】解：①如图所示，当沿着高把长方体展开时，
在Rt
ABC
△
中，
(
)
6
5
11 cm
AC =
+
=
，
3cm
BC =
，
90
ACB
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
11
3
130 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
；
②如图所示，当沿着长把长方体展开时，
在Rt
ABC
△
中，
6cm
AC =
，
(
)
3
5
8 cm
BC =
+
=
，
90
ACB
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
6
8
10 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
；
③如图所示，当沿着宽把长方体展开时，
在Rt
ABC
△
中，
(
)
6
3
9 cm
AC =
+
=
，
5cm
BC =
，
90
ACB
=
，
试卷第47 页，共98 页
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∴
(
)
2
2
2
2
9
5
106 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
∵10
100
106
130
=
，
∴沿着长方体的表面从A点爬到B 点，则蜘蛛爬行的最短路程是10cm．
8．如图，圆柱形水桶的桶高为16cm，底面周长为12cm，在桶内壁离桶底4cm 的点A 处有一滴污渍，此时，
一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿3cm ，且与污渍A 在同一轴截面相对的点B 处，则小虫从外壁B
处到内壁A 处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（ ）
A．13cm
B．5 10cm
C．15cm
D．3 29cm
【答案】D
【分析】将水桶侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
将水桶侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，
连接B A
，则B A
即为最短距离，
由题意得：
1
3cm
2
DE
BB
=
=
，
(
)
16
4
12 cm
AE =
−
=
，
∴
(
)
15 cm
DA
AE
DE
=
+
=
，
∵底面周长为12cm，
∴
(
)
1 12
6 cm
2
B D =
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
6
15
3 29 cm
B A
B D
AD
=
+
=
+
=
，
试卷第48 页，共98 页
所以，小虫从外壁B 处到内壁A 处所爬行的最短路程为3 29cm．
9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8 的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路
线的长是（ ）
A．130
B．10
C．73
3
+
D．8 3 2
+
【答案】B
【分析】最短路线就是两点间的最短距离，将纸箱展开连接两点此时有两种展开法，即有两条线，取最短
的那条．
【详解】解：线段1：
2
2
11
3
130
+
=
线段2：
2
2
8
6
+
=10
10
130
10．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm ．如果一只小虫从点A 开始爬行，经过两个侧面爬行
到另一条侧棱的中点B 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cm
B．5.5cm
C．6cm
D．7cm
试卷第49 页，共98 页
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【答案】A
【分析】根据题意把图形展开，连接AB ，得出AB 的长就是从A处爬到B 处的最短路程，分为三种情况展
开①②③，根据勾股定理求出AB 的长，再比较即可.
【详解】解：①如图将正面与右面展开在同一平面，连接AB ，
由勾股定理得：
(
)
2
2
1 3
3
5
AB =
+
+
=
，
②如图将下底面与后面展开在同一平面，连接AB ，
由勾股定理得：
(
)
2
23
3 1
5
AB =
+
+
=
，
③如图将下底面与右面展开在同一平面，连接AB ，
由勾股定理得：
(
)
2
2
3
3
1
37
5
AB =
+
+
=
，
∴从A处爬到B 处的最短路程是5cm．
二、填空题
11．如图，圆柱高为12cm，底面周长为10cm，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A 爬到点B 处觅食，要爬行的
最短路程是________cm．
试卷第50 页，共98 页
【答案】13
【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接AB ，
根据两点之间，线段最短，可得AB 就是蚂蚁爬行的最短路线．
由题可得：
(
)
1 10
5
,
12
2
AC
cm
BC
cm
=
=
=
，
90
ACB
=
，
由勾股定理得：
(
)
2
2
13 cm
AB
AC
BC
=
+
=
．
12．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A 处出发，沿圆柱侧面爬
行一周到点B 处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm．
【答案】
34
【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为5cm ，高为3cm ，
将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为5cm ，宽为3cm ，
由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为
2
2
5
3
25
9
34cm
+
=
+
=
．
13．2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U 型池场地金牌的运动员，如图，
该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m 的半圆，
其边缘
18m
AB
CD
=
=
，点E 在CD上，
2m
CE =
．从A点滑到E 点，滑行的最短路程是______m．（边缘部
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分的厚度忽略不计，π 取3）
【答案】20
【分析】将半圆面展开成矩形，连接AE ．则AE 是最短距离，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接AE ．
根据题意，得
18m
AB
CD
=
=
，
(
)
18
2
16 m
DE
CD
CE
=
−
=
−
=
．
2
4
4
12m
2
π
π
AD
=
=
，
在Rt
ADE
△
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
12
16
20 m
AE
AD
DE
=
+
=
+
=
，
从A点滑到E 点，滑行的最短路程是20m．
14．如图，圆柱底面半径为5 cm
，高为24cm ，点A，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B 在同一
条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3 圈到B 点，则这根棉线的长度最短为_______．
【答案】6 41cm
【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3 个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即
AD
DE
EB
+
+
，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3 个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短
试卷第52 页，共98 页
路线为AD
DE
EB
+
+
，
∵圆柱的半径为5 cm
，圆柱的高为24cm ，
5
1
2
10cm,
8cm,
3
AC
CD
CB
=
=
=
=
∴在Rt ACD
中，
2
2
2
2
10
8
164
2 41cm
AD
AC
CD
=
+
=
+
=
=
，
3
3 2 41
6 41cm
AD
DE
EB
AD
+
+
=
=
=
．
15．如图，圆柱底面的周长为60cm ，高为40cm ，要在圆柱的侧面上过点A和点C 镶嵌一圈金属丝，这圈
金属丝的最短长度为______．
【答案】100cm/100厘米
【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆
柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为2AC 的长度．
∵圆柱底面的周长为60cm ，圆柱高为40cm ，
∴
40cm
AB =
，
30cm
BC
BC
=
=
，
∴
2
2
2
40
30
1600
900
2500
AC =
+
=
+
=
，
∴
50cm
AC =
，
∴这圈金属丝的长度最小为
m
2
c
100
AC =
．
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16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底
部2cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点B正对面的容器外壁，且离容器上沿5cm的点A处，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______cm．
【答案】17
【分析】将圆柱侧面展开，作出点A关于EF 的对称点A，根据两点之间线段最短可知A B
的长度即为所求，
利用勾股定理求出A B
即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键．
【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点A关于EF 的对称点A，如图，
∵高为12cm，底面周长为16cm，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿5cm与蜂蜜相对的点A处，
∴
cm
8
A D
=
，
(
)
12
2
5
15 cm
BD =
−
+
=
，
连接A B
，则A B
即为最短距离，
∵
(
)
2
2
2
2
8
15
17 cm
A B
A D
BD
=
+
=
+
=
，
∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是17cm．
三、解答题
17．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑
布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱
上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A 到点C，B 为AC 的中点），每
根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？
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【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20 米．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是
长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2
即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2 个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2 个小长方形的对角线
的和，
∵底面周长约为6 米，柱身高约16 米，
∴
6
AB =
，
1
1 16
8
2
2
AE
AD
=
=
=
，
在Rt BAE
中
2
2
2
2
6
8
10
BE
AB
AE
=
+
=
+
=
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10 2
20
=
米．
18．如图，在一个长AB 为7m ，宽AD为4m 的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和
场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C 处需要走的最短路程
是多少？
【答案】97 米
【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解
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题的关键．
先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是
2
AB+ 个正方形的宽，
长为7
2 1
9
+ = 米；宽为4 米．
∴最短路径为：
2
2
9
4
97
+
=
（米）．
19．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，
中间可供滑行部分的截面是弧长为5m 的半圆，其边缘
12m
AD
BC
=
=
（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱
好者从B 点滑到D 点，求他滑行的最短距离．
【答案】13m
【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开
后，C 、D 、B 三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出BD为最短距离，利用勾股定理即可得
出答案．
【详解】解：将半圆面展开，如图所示，
∵
12m
BC =
，
5m
CD =
，
90
BCD
=
．
∴在Rt BCD
中，由勾股定理得
(
)
2
2
2
2
12
5
13 m
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
．
试卷第56 页，共98 页
答：他滑行的最短距离为13m ．
20．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1 所示．A和B 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过
计算得到AB 长度即为最短路程，则AB =______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外
壁，离杯子上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚
度不计）
【答案】（1）25；（2）5 10 厘米；（3）13cm；
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，A点与对称点C 的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长(
)
3+2
4
20dm
=
，宽15dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
试卷第57 页，共98 页
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可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm
x
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
15
[(2
3) 4]
25
x =
+
+
=
，
解得：
25
x =
．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：
1 10
5(cm)
2
AC =
=
，
15cm
BC =
，
2
2
15
5 10(cm)
5
AB
=
+
=
，
该蚂蚁爬行的最短路程5 10 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，
连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程，
3cm
EF
AG
=
=
，
(
)
15
6 cm
9cm
CF
FB
=
=
−
=
，
1 10cm
5cm
2
AE =
=
，
12cm
CE
EF
CF
=
+
=
，
根据勾股定理有：
2
2
2
2
12
13(cm)
5
AC
AE
CE
=
+
=
+
=
，
蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为13cm．
利用勾股定理求芦苇高度问题
一、单选题
1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学
史上“葭生池中”的问题．如图，
5
AB =
，
1
DC = ，BD
BA
=
，则AC 是（ ）
题型12
试卷第58 页，共98 页
A．8
B．4
C．5
D．3
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键．
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题可知，
5
BD
BA
=
= ，
1
DC = ，则
4
BC =
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
3
AC
AB
BC
−
=
=
．
2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一
尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x 尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．(
)
2
2
2
1
5
x
x
−
+
=
B．
(
)
2
2
2
10
1
x
x
+
=
+
C．(
)
2
2
2
1
10
x
x
−
+
=
D．
(
)
2
2
25
1
x
x
+
=
+
【答案】A
【分析】根据题意，水深为(
)
1
x −
尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设芦苇的长度是x 尺，则水深为(
)
1
x −
尺，
根据题意，得(
)
2
2
2
1
5
x
x
−
+
=
．
3．如图，有一个水池，其底面是边长为16 尺的正方形，一根芦苇AB 生长在它的正中央，高出水面部分BC
的长为2 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B，则这
根芦苇AB 的长为（ ）
试卷第59 页，共98 页
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A．15 尺
B．16 尺
C．17 尺
D．18 尺
【答案】C
【分析】如图所示，设芦苇长AB
AB
x
=
=
尺，则水深
(
)
2
AC
x
=
−
尺，根据题意得到
8
B C
= 尺，根据勾股
定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】解：如图所示，
设芦苇长AB
AB
x
=
=
尺，则水深
(
)
2
AC
x
=
−
尺，
因为
16
B E
=
尺，所以
8
B C
= 尺，
在Rt
AB C
△
中，
(
)
2
2
2
8
2
x
x
+
−
=
，
解得：
17
=
x
，
∴
17
=
AB
尺．
∴芦苇长17 尺．
二、解答题
4．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一
丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇
的长各是多少尺？(1 丈10
=
尺)
试卷第60 页，共98 页
【答案】水深为12尺，芦苇的长是13尺．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x 尺，则芦苇长用含x 的代数式可表示为(
)
1
x +
尺，根据勾
股定理列方程并解方程即可求出答案．
【详解】解：设水深为x 尺，由题意可得，
(
)
2
2
25
1
x
x
+
=
+
.
解得
12
x =
，
1 13
x + =
答：水深为12尺，芦苇的长是13尺．
汽车通过隧道问题
一、解答题
1．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m，该隧道内设双车道（共有2
条车道），正中间有0.6m宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高4m ，
宽2m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．
【答案】能通过该隧道，理由见解析．
【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在AD上取G，使
2.3m
OG =
，过G 作EG
BC
⊥
于F 反向延长
交半圆于点E，则
1m
GF
AB
=
=
，利用勾股定理求得EG ，再与车高比较即可．
【详解】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：
∵正中间有0.6m宽的双黄线，
∴点O 到右边黄线的距离为0.3m
题型13
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∵现有一辆货运卡车高4m ，宽2m，
∴如图，在AD上取G，使
2.3m
OG =
，
过G 作EG
BC
⊥
于F 反向延长交半圆于点E，则
1m
GF
AB
=
=
．
圆的半径
8
4m
1
2
1
2
OE
AD
=
=
=
，
在Rt OEG
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
4
2.3
10.71
3
EG
OE
OG
=
−
=
−
=
，
∴点E 到BC 的距离为
10.71 1
3 1
4
EF =
+ + =
，
∴货车可以通过该隧道．
2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5 米，宽1.6 米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，
已知半圆的直径为2 米，长方形的另一条边长是2.3 米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
【答案】能通过，理由见解析.
【分析】首先画出卡车的横截面图，OE 的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE 的长度．如果BC
的长度大于2.5 货车可以通过，否则不能通过．
【详解】能通过．
如图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图：
试卷第62 页，共98 页
当桥洞中心线两边各为0.8 米时，设EC
x
=
米，在Rt
OEC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
0.8
1
x
+
=
，
解得
0 6
x = ．，
∵2.5
23 0 6
+
．
．，
∴卡车能通过．
一、单选题
1．如图，一个圆柱的高是12cm，底面圆的周长是18cm，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上
底面的点B 处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
A．9cm
B．15cm
C．6 13 cm
D．6 5 cm
【答案】B
【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知AB 的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定
理求解即可．
【详解】圆柱的展开图如图：
试卷第63 页，共98 页
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根据题意：
12cm
BC =
，
1 18
9cm
2
AC =
=
，
90
ACB
=
，
(
)
2
2
2
2
9
12
15 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是15cm．
2．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架
24cm
AC =
，
18cm
CB =
，两轮中心的距离
30cm
AB =
，
则点C 到AB 的距离为（ ）cm．
A．72
5
B．36
5
C．144
5
D．18
5
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明ABC
是直角三角形，再设点C 到AB 的距离是h，根据
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB h
=
=
△
可得答案．
【详解】解：∵
24cm,
18cm,
30cm
AC
BC
AB
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
24
18
900
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，且
90
C
=
．
设点C 到AB 的距离是h，
根据题意，得
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB h
=
=
△
，
即24 18
30h
=
，
解得
72
5
h =
，
所以点C 到AB 的距离是72
5 cm ．
3．如图，ABC
顶点A ，B ，C 在边长为1 的正方形网格格点上，若CD
AB
⊥
于点D ，则CD的长为（ ）．
试卷第64 页，共98 页
A．3
5
B．6
5
C．12
5
D．5
6
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得AB 的长，然后运用等面积法求解即可．
【详解】解：由网格图可知，
2
AC =
，点B 到AC 所在直线的距离为3，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
，
∴
1
2 3
3
2
ABC
S
=
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
1
2
ABC
S
AB CD
=
，
∴1
5
3
2
CD
=
，解得：
6
5
CD =
．
4．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm ，盒子高为12cm，点B 在顶点A 正上方7cm 处．用红
色彩带从顶点A 开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B 开始绕侧面到顶点C 装饰，则红色与
黄色彩带的总长度至少为（ ）cm
A．38
B．28
C．13
193
+
D．25
601
+
【答案】A
【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确
定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和．
【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下，
试卷第65 页，共98 页
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由题可知，红色彩带绕一圈从A到B ，则红色彩带为AB ，
黄色彩带绕半圈从B 到C ，则黄色彩带为BC ，
底面边长为4cm ，高为12cm，点B 在顶点A正上方7cm 处，
4 6
24
AD
cm
= =
，
12
CE
cm
=
，
7
,
12
7
5
BD
cm BE
cm
=
=
−
=
，
2
2
2
2
24
7
25
AB
AD
BD
cm
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
5
12
13
BC
BE
EC
cm
=
+
=
+
=
，
故红色与黄色彩带的总长度至少为25 13
38cm
+
=
．
5．如图，长方体的长
15
BE
cm
=
，宽
10cm
AB =
，高
20
AD
cm
=
，点 M 在CH 上，且
5
CM
cm
=
，一只蚂
蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 29cm
B．24cm
C．5 37cm
D．25cm
【答案】D
【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果．
【详解】解：分三种情况：
如图①，蚂蚁爬行的最短路线为AM ，
试卷第66 页，共98 页
此时
(
)
2
2
2
2
10
20
5
5 29
AM
AB
BM
cm
=
+
=
+
+
=
；
如图②，蚂蚁爬行的最短路线为AM ，
此时
(
)
2
2
2
2
20
10
5
25
AM
AD
DM
cm
=
+
=
+
+
=
；
如图③，蚂蚁爬行的最短路线为AM ，
此时
(
)
2
2
2
2
20 10
5
5 37
AM
AC
CM
cm
=
+
=
+
+
=
；
∵5 37
5 29
25
，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是25cm．
6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10的直吸管露
在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
试卷第67 页，共98 页
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A．2
3
a
B．3
4
a
C．4
5
a
D．5
6
a
【答案】D
【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当
直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长，
最大值为
2
2
3
4
5
+
=
，
∴此时直吸管露在罐外部分a 的长度最小，最小值为10 5
5
−=
；
由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于
圆柱形饮料罐的高，
∴此时直吸管露在罐外部分a 的长度最大，最大值为10 4
6
−=
；
综上，a 的范围是5
6
a
．
7．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B ，C ，D 都在格点（即小正方形的顶点）上，以点A为
圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点E ，连接AE ，则CE
DE
−
的值为（ ）
A．3
5
2
−
B．5
C．4
D．3 5
5
+
【答案】A
【分析】由题意可得
3
AE
AB
=
= ，然后通过勾股定理求出即可．
【详解】解：由题意可得，
90
ADE
=
，
3
AE
AB
=
= ，
∵
2
2
2
AD
DE
AE
+
=
，
∴
2
2
2
2
3
DE
+
=
，
试卷第68 页，共98 页
∴
5
DE =
，
∴
3
5
CE
CD
DE
=
−
= −
,
∴
3
5
5
3
2 5
CE
DE
−
= −
−
= −
．
8．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高AC 为1 丈，倚木杆AB 于墙，使木杆之上端
与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1 尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即CD），问木杆长是多少？设
木杆长x 尺，根据题意可列方程为（1 丈10
=
尺）（ ）
A．(
)
2
2
1
10
x
x
+
=
+
B．
(
)
2
2
2
10
1
x
x
+
−
=
C．(
)
2
2
2
1
1
x
x
−
+
=
D．(
)
2
2
2
1
10
x
x
+
+
=
【答案】B
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x 尺，则木杆底端离墙
有(
)
1
x −
尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：设木杆AB 长为x 尺，则木杆底端B 离墙的距离即BC 的长有(
)
1
x −
尺，
在Rt
ABC
△
中，
∵
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
10
1
x
x
+
−
=
．
9．如图，东西方向上有A，C 两地相距5 千米，甲以8 千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙
以6 千米/时的速度从C 地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3 千米时，最短用时是（ ）
A．0.4 小时
B．0.5 小时
C．0.6 小时
D．0.8 小时
【答案】A
【分析】根据题意表示出BC ，DC 的长，进而利用勾股定理求出答案．
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【详解】解：设最快经过x 小时，甲、乙两人相距3 千米，根据题意可得：
(
)
5
8
BC
x
=
−
千米，
6
DC
x
=
千米，
∵
2
2
2
BC
DC
BD
+
=
，
则(
)
(
)
2
2
2
5 8
6
3
x
x
−
+
=
，
解得：
1
2
0.4
x
x
=
=
．
即最短用时0.4 小时，甲、乙两人相距3 千米．
10．如图，一张三角形纸片ABC ，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
10cm
AB =
．将纸片沿直线DE 折叠，使点A与
点B 重合，则CD的长是（ ）
A．9 cm
4
B．2cm
C．7 cm
4
D．3cm
【答案】C
【分析】利用勾股定理得
2
2
8cm
AC
AB
BC
=
−
=
，利用折叠的性质得AD
BD
=
，设
cm
AD
BD
x
=
=
，则
8
cm
CD
x
，再利用勾股定理求出x 的值即可求解．
【详解】解：∵
90
C
=
，
6cm
BC =
，
10cm
AB =
，
∴
2
2
2
2
10
6
8
AC
AB
BC
cm
−
=
=
−
=
，
由折叠可得，AD
BD
=
，
设
cm
AD
BD
x
=
=
，则
8
cm
CD
x
，
在Rt BCD
中，
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
8
x
x
+
−
=
，
解得
25
4
x =
，
∴
25
7
8
cm
4
4
CD = −
=
．
试卷第70 页，共98 页
二、解答题
11．已知，四边形ABCD为长方形，
8
AB =
，
10
BC =
，点E 由点D 向DA运动，点F 由点D 向DC 运动．将
CBF
△
沿BF 折叠，点C 恰好落在点E 处时，求此时BF 的长；
【答案】5 5
【分析】根据折叠可得CF
EF
=
，在Rt EFD
中利用勾股定理列方程求出DF ，然后在Rt
BCF
△
中利用勾股
定理求解即可．
【详解】解：由折叠知，
10
BC
BE
=
=
，EF
CF
=
，
四边形ABCD为长方形，
10
AD
BC
=
=
，
90
A
D
C
=
=
=
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
AE
BE
AB
=
−
=
−
=
，
10
6
4
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
，
设CF
x
=
，则EF
x
=
，
8
DF
DC
CF
x
=
−
= −，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，解得
5
x = ，
5
CF
=
，
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
5
5 5
BF
BC
CF
=
+
=
+
=
．
12．如图，每一个小正方形的边长为a ，
试卷第71 页，共98 页
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(1)画出格点ABC
关于直线DE 对称的
A B C
△
；
(2)在DE 上画出点P ，使PA
PC
+
最小；
(3)在DE 上画出点Q ，使QA
QB
−
最大；
(4)直接写出QA
QB
−
的最大值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
5a
【分析】（1）先作出ABC
三个顶点的对称点A，B和C，再顺次连接即可；
（2）先作出点A 的对应点A，连接CA，交DE 于点P ，此时PA
PC
+
的值最小，即为CA的值；
（3）延长AB 交DE 于点Q ，此时QA
QB
−
最大，即为AB 的长；
（4）根据勾股定理，计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：作出点A 的对应点A，连接CA，交DE 于点P ，点P 即为所求，
此时PA
PC
+
的值最小，即为CA的值，图形略；
试卷第72 页，共98 页
（3）解：延长AB 交DE 于点Q ，点Q 即为所求，
此时QA
QB
−
最大，即为AB 的长，图形略；
（4）解：由图可得，
(
)
2
2
2
5
AB
a
a
a
=
+
=
，
QA
QB
−
的最大值为5a ．
13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B 两处观测点，观测点A 距离鸟类巢
穴80m ，观测点B 距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B 相距100m．火车行驶时会对周围52m 范围造成噪声
污染．
(1)求点C 到铁路AB 的距离；
(2)当一列长度为260m的火车以30m/s 的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声
污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不
计）．
【答案】(1)点C 到铁路AB 的距离为48m
(2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s
【分析】（1）过点C 作CD
AB
⊥
于点D，利用勾股定理逆定理推出
90
ACB
=
，再利用三角形面积公式求
解，即可解题．
（2）以点C 为圆心，以52m 为半径画圆弧，分别交AB 于点E、F，连接CE
CF
、
，则
52m
CE
CF
=
=
，利
用勾股定理求出DE ，进而求出EF ，再根据时间= 路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C 作CD
AB
⊥
于点D，如图．
由题意，得
80m,
60m,
100m
AC
BC
AB
=
=
=
．
2
2
2
80
60
100
+
=
，
试卷第73 页，共98 页
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2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．
ABC
是直角三角形，
90
ACB
=
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
CD AB
=
=
△
，
80 60
48(m)
100
AC BC
CD
AB
=
=
=
．
答：点C 到铁路AB 的距离为48m．
（2）解：
52
48
，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C 为圆心，以52m 为半径画圆弧，分别交AB 于点E、F，连接CE
CF
、
，则
52m
CE
CF
=
=
．
CD
AB
⊥
∵
，
DE
DF
=
．
在Rt
CDE
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
52
48
20(m)
DE
CE
CD
=
−
=
−
=
，
2
2 20
40(m)
EF
DE
=
=
=
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为260
40
10(s)
30
+
=
．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s．
14．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了
“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为16 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为34 米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7 米．
试卷第74 页，共98 页
(1)求风筝的垂直高度CE ；
(2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18 米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE 为31.7 米
(2)他应该往回收线14 米
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长度，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；
（2）根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：在Rt CDB
中，
由勾股定理得，
2
2
2
2
2
34
16
900
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
30
CD
=
米（负值舍去），
30 1.7
31.7
CE
CD
DE
=
+
=
+
=
（米），
答：风筝的高度CE 为31.7 米．
（2）解：由题意得，
18
CM =
米，
12
DM
=
米，
2
2
2
2
12
16
20
BM
DM
BD
=
+
=
+
=
（米），
34 20
14
BC
BM
−
=
−
=
（米），
他应该往回收线14米．
15．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各
几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1 丈（1 丈10
=
尺）的正方形．在水池正中央O处有
一根芦苇OA，它高出水面的部分CA 为1 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边
的水面，即OB
OA
=
．求水池的深度OC 及芦苇的长度OA；
试卷第75 页，共98 页
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【答案】水池的深度OC 为12 尺，芦苇的长度OA为13 尺．
【分析】设OC
x
=
尺，则
(
)
1
OB
OA
x
=
=
+
尺，利用勾股定理可建立方程(
)
2
2
2
1
5
x
x
+
=
+
，解方程即可得到
答案．
【详解】解：设OC
x
=
尺，则
(
)
1
OB
OA
x
=
=
+
尺，
由题意得，
1
1 10
5
2
BC =
=
尺，
90
OCB
=
，
在Rt OBC
中，由勾股定理得
2
2
2
OB
OC
BC
=
+
，
∴(
)
2
2
2
1
5
x
x
+
=
+
，
解得
12
x =
，
∴
1 13
x + =
，
答：水池的深度OC 为12 尺，芦苇的长度OA为13 尺．
16．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C 移动到E，
同时小船从A 移动到B，且绳长始终保持不变，其中
5
CF = 米，
12
=
AF
米．回答下列问题：
(1)若
8
AB =
米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号）
(2)若小亮以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20 秒内将船从A 处移动到岸边点F 的位置；
(3)在（2）的条件下，若小亮收绳t 秒后，小船到F 的距离刚好等于所收绳长，求t 的值．
【答案】(1)(
)
13
41
−
米
(2)能
(3)144
13
试卷第76 页，共98 页
【分析】（1）利用勾股定理求出AC
BC
，
的长即可得到答案；
（2）求出20 秒小亮收绳的长度，再加上CF 的长度后与AC 的长度比较即可得到结论；
（3）根据题意可得
0.5
BF
CE
t
=
=
米，
(
)
13
0.5
BC
t
=
−
米，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得AC
BC
CE
=
+
，
在Rt
CFA
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
12
5
13
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
（米），
由题意得，
12 8
4
BF
AF
AB
=
−
=
−=
（米），
在Rt
CFB
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
5
4
41
BC
CF
BF
=
+
=
+
=
（米），
∴
(
)
13
41
CE
AC
BC
=
−
=
−
米，
答：小亮需向右移动的距离为(
)
13
41
−
米．
（2）解：∵0.5 20
10
=
，10
5
15
13
+
=
，
∴小亮能在20 秒内将船从A 处移动到岸边点F 的位置；
（3）解：由题意可得：
0.5
BF
CE
t
=
=
米，
(
)
13
0.5
BC
t
=
−
米
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理可得
2
2
2
BC
BF
CF
=
+
，
即(
)
(
)
2
2
2
13
0.5
0.5
5
t
t
−
=
+
，
解得
144
13
t =
，
∴t 的值为144
13 ．
17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直
角边长分别为a ，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾
股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
(1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若
4
a =
，
6
b =
，则空白部分的面积为 ．
(3)如图3，长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．若
5
AD = ，
3
AB =
，求EF 的长．
【答案】(1)见解析
试卷第77 页，共98 页
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(2)28
(3)
5
3
EF =
【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为(
)
2
a
b
+
，大的正方形的面积又可以表示为
2
1
4
2
c
ab
+
，联
立等式即可求解；
（2）根据空白部分的面积=边长为c 的正方形的面积2
−个直角三角形的面积
2
1
2
2
c
ab
=
−
，即可求解；
（3）根据勾股定理求得
2
2
4
BF
AF
AB
=
−
=
，进而设EF
x
=
，则DE
EF
x
=
=
，
3
CE
CD
DE
x
=
−
= −
，
在Rt CEF
中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为(
)
2
a
b
+
，大的正方形的面积又可以表示为
2
1
4
2
c
ab
+
，
∴
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
a
b
+
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
c
ab
a
b
ab
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（2）解：空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2
−个直角三角形的面积
2
1
2
2
c
ab
=
−
，
∵
4
a =
，
6
b =
，
∴空白部分的面积
2
2
1
4
6
2
4 6
28
2
=
+
−
=
；
（3）解：∵长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．
∴
5
AF
AD
=
= ，
在Rt ABF
中，
5
AF = ，
3
AB =
，
由勾股定理得：
2
2
4
BF
AF
AB
=
−
=
，
∴
5
4
1
CF
BC
BF
AD
BF
=
−
=
−
= −
= ，
设EF
x
=
，则DE
EF
x
=
=
，
3
CE
CD
DE
x
=
−
= −
，
在Rt CEF
中，由勾股定理得：
2
2
2
EF
CE
CF
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
1
x
x
−
=
+
，
解得：
5
3
x =
，
即
5
3
EF =
．
18．综合与实践
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已
试卷第78 页，共98 页
知云梯最多伸长到25m，消防车高4m ，救援时云梯伸到最长．
【任务】在演练中消防员接到命令，必须在A，B处两个求救点救援．
【现场勘察】勘察A，B离地面O 的高度分别为
24m
A O
=
，
28m
B O
=
．
【解决问题】
(1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在A处，求消防车云梯底部A处距离着火楼距离是多
少？
(2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离AB 为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达B处，完成救援
任务？
【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15 米
(2)消防车靠近的AB 为8 米才能完成B处救援任务
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）延长AB 交A O
于点D ，则
90
ADA
=
，
4m
DO =
．在Rt ADA
中根据勾股定理求出AD即可；
（2）在Rt BDB
中根据勾股定理求出BD，在根据AB
AD
BD
=
−
即可解答．
【详解】（1）解：延长AB 交A O
于点D ，则
90
ADA
=
，
4m
DO =
．
∵
25m
AA=
，
(
)
24
4
20 m
A D
A O
DO
−
=
−
=
=
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∴在Rt ADA
中，
(
)
2
2
2
2
25
20
15 m
AD
AA
A D
=
−
=
−
=
，
即此时消防车距离着火楼距离是15 米．
（2）解：∵
(
)
28
4
24 m
B D
B O
DO
−
=
−
=
=
，
25m
BB
AA
=
=
，
∴在Rt BDB
中，
(
)
2
2
2
2
25
24
7 m
BD
BB
B O
−
=
=
−
=
，
∴
(
)
15
7
8 m
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
，
即消防车靠近的AB 为8 米时才能完成B处救援任务．
19．图1 是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是
2
c ；另一种是四个直角三角形与中
间小正方形的面积之和，即
(
)
2
1
4
2 ab
b
a
+
−
，从而得到等式
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
=
+
−
，化简便得勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
(1)如图2，在6 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得
到ABC
．
①AB 的长为_______．
②请利用“双求法”，求边AB 上的高CD．
(2)如图3，在ABC
中，
13
AC =
，
15
AB =
，
4
BC =
，求边BC 上的高AD．
【答案】(1)①5；②16
5
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）①直接利用勾股定理求解即可；②根据等面积法求解即可；
（2）设CD
x
=
，则
4
BD
BC
CD
x
=
+
=
+
，利用勾股定理可得方程
(
)
2
2
2
2
13
15
4
x
x
−
=
−
+
，解方程即可得到
答案．
【详解】（1）解：①由题意得，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
；
试卷第80 页，共98 页
②
1
1
5
5
2
2
2
ABC
S
CD AB
CD
CD
=
=
=
△
，
1
4 4
8
2
ABC
S
=
=
△
，
5
8
2 CD
=
，
解得
16
5
CD =
，
边AB 上的高CD的长为16
5 ．
（2）解：设CD
x
=
，则
4
BD
BC
CD
x
=
+
=
+
．
在Rt ACD
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
13
AD
AC
CD
x
=
−
=
−
；
在Rt ABD
中，由勾股定理得
(
)
2
2
2
2
2
15
4
AD
AB
BD
x
=
−
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
13
15
4
x
x
−
=
−
+
，
解得
5
x = ，
2
2
13
5
12
AD
=
−
=
．
20．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强
的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B 与监测点A 所在的直线由东向西移动，已知点C
为一海港，且点C 与A，B 两点的距离分别为300km、400km，且
90
ACB
=
，过点C 作CE
AB
⊥
于点E，
以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
(1)求监测点A 与监测点B 之间的距离；
(2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由；
(3)若台风的速度为25km/h ，则台风影响该海港多长时间？
【答案】(1)监测点A 与监测点B 之间的距离为500km
(2)海港C 会受到此次台风的影响，见解析
(3)台风影响该海港持续的时间为8h
【分析】（1）利用勾股定理进行求解；
（2）利用等面积法求出CE 的长度，然后进行比较即可；
（3）以C 为圆心，260km长为半径画弧，交AB 于D，F，根据勾股定理求出DE 的长，得出
200km
DF =
，
最后根据速度即可求解．
试卷第81 页，共98 页
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【详解】（1）解：依题意得：ABC
中，
300km
400km
90
AC
BC
ACB
=
=
=
，
，
，
∴根据勾股定理得
2
2
500km
AB
AC
BC
=
+
=
，
答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km；
（2）解：海港C 受台风影响，
理由：
ABC
中，
90
ACB
CE
AB
=
⊥
，
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CE
=
=
△
，
300 400
500CE
=
，
240km
260km
CE
=
，
海港C 会受到此次台风的影响；
（3）解：如图，以C 为圆心，260km长为半径画弧，交AB 于D，F，
则
260km
2
CD
CF
DF
ED
=
=
=
，
．
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
260
240
100km
ED
CD
CE
=
−
=
−
=
，
200km
DF
=
，
台风的速度为25km/h ，
200
25
8h
=
．
答：台风影响该海港持续的时间为8h．
21．如图1，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A、凉亭B ，已知AC
EF
⊥
于点
,
C BD
EF
⊥
于点
,
700m,
100m
D AC
BD
=
=
，
800m
CD =
．
请结合所学知识，解决下列问题：
试卷第82 页，共98 页
(1)【基础应用】
观景台A与凉亭B 之间的直线距离AB =__________ m ；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G ，使G 到A，B 两处的距离相等，该
自动售货点G 应修建在离点C 多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF 边上设置一个便民服务点M ，使得M 到A、
B 两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M 到A、B 两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)1000
(2)自动售货点G 应修建在离点C100 米处
(3)800 2m
【分析】（1）连接AB ，过点B 作BG
AC
⊥
于点G，易得四边形CDBG 是矩形，再由勾股定理即可求AB 的
长；
（2）设
m
CG
x
=
，则
(
)
800
m
DG
CD
CG
x
=
−
=
−
，由勾股定理分别表示出AG 、BG ，再根据AG
BG
=
，列
方程求解即可；
（3）作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
⊥
交AC 延长线于H，则M
到A、B 两处的距离之和最小值即为AB，易得四边形B HCD
是矩形，由勾股定理求AB即可；
【详解】（1）解：如图，连接AB ，过点B 作BG
AC
⊥
于点G，
∵AC
EF
⊥
，BD
EF
⊥
，BG
AC
⊥
，
∴四边形CDBG 是矩形，
∴
m
100
CG
BD
=
=
，
800m
BG
CD
=
=
，
∴
700 100
600m
AG
AC
CG
=
−
=
−
=
，
在Rt ABG
中，
2
2
2
2
600
800
1000m
AB
AG
BG
=
+
=
+
=
；
（2）解：设
m
CG
x
=
，则
(
)
800
m
DG
CD
CG
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
2
2
700
AG
AC
CG
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
800
100
BG
GD
BD
x
=
+
=
−
+
，
∵G 到A，B 两处的距离相等，
试卷第83 页，共98 页
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∴AG
BG
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
700
800
100
x
x
+
=
−
+
，
解得
100
x =
，
∴自动售货点G 应修建在离点C 100 米处；
（3）解：如图，作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
⊥
交AC 延长
线于H，则
100m
BD
B D
=
=
，
90
H
=
，
可知四边形B HCD
是矩形，
∴
100m
CH
B D
=
=
，
800m
B H
DC
=
=
，
∴
800m
AH
AC
CH
B H
=
+
=
=
，
∴
2
2
800 2m
AB
AH
B H
=
+
=
，
∵AM
BM
AM
BM
+
=
+
，
∴AM
BM
+
的最小值为AB，
即M 到A、B 两处的距离之和最小值为800 2m．
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，点P，Q 分别为AB ，CD上一个动点，将正方形沿PQ 折叠，点D 的对应点M
始终落在BC 上，已知
8
AB =
，当点M 为BC 中点时，DQ 的长为（ ）
试卷第84 页，共98 页
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由正方形的性质得到
8
AD
CD
BC
=
=
= ，由中点的性质得到
1
4
2
MC
BC
=
=
，DQ
x
=
，则
8
CQ
CD
DQ
x
=
−
=
−
，由折叠可得MQ
DQ
x
=
=
，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴
8
AD
CD
BC
=
=
= ，
∵点M 为BC 中点，
∴
1
4
2
MC
BC
=
=
，
设DQ
x
=
，则
8
CQ
CD
DQ
x
=
−
=
−
，
∵折叠，
∴MQ
DQ
x
=
=
，
∴在Rt
QMC
△
中，
2
2
2
MC
CQ
MQ
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，
解得：
5
x = ，
∴
5
DQ =
．
2．如图，有一张直角三角形纸片ABC ，
90
ACB
=
，
4cm
AC =
，
3cm
BC =
．将三角形纸片沿AD翻折，
使点B 落在直角边AC 延长线上的点E 处，则CE 的长为（ ）
A．1cm
B．1.5cm
C．2cm
D．3cm
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线
段长度．
利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算CE 的长度．
试卷第85 页，共98 页
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【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后AE
AB
=
．
在Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
4
AC
cm
=
，
3
BC
cm
=
，
∴
2
2
2
2
4
3
5
AB
AC
BC
cm
=
+
=
+
=
．
∴
5
AE
AB
cm
=
=
．
∵AE
AC
CE
=
+
，
∴
1
CE
cm
=
．
故选：A．
二、填空题
3．如图，
3,
4,
5
AC
BC
AB
=
=
=
，点D 是直线BC 右侧一动点，且满足BCD
的面积是3，则BD
CD
+
的最
小值为______．
【答案】5
【分析】首先根据勾股定理逆定理判定
ABC
为直角三角形，且
90
ACB
=
；然后根据三角形面积公式
求出点 D 到直线 BC 的距离，确定点 D 的轨迹是一条平行于 BC 的直线；最后利用轴对称性质（将
军饮马模型），作点 C 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 A，从而将 BD
CD
+
的最小值转化为
线段 AB 的长度 ．
【详解】解：
3,
4,
5
AC
BC
AB
=
=
=
2
2
2
2
2
2
3
4
25
5
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，
AC
BC
⊥
，
设点 D 到直线 BC 的距离为 h
1
3
2
BCD
S
BC h
=
=
1
4
3
2
h
=
试卷第86 页，共98 页
解得
1.5
h =
点 D 在平行于 BC 且到 BC 距离为 1.5 的直线 l 上 ，
如图所示，
作点 C 关于直线 l 的对称点 C，连接 BC 交直线 l 于点 D ，
直线 l
BC
，AC
BC
⊥
AC
⊥ 直线 l
点 C 在直线 AC 上
点 C 与点 C 关于直线 l 对称，且直线 l 到 BC 的距离为 1.5 ，
2 1.5
3
CC
=
=
，
3
AC =
，且点 D 在直线 BC 右侧，
点 C 与点 A 重合，
BD
CD
+
的最小值
5
BC
BA
=
=
= ．
4．如图，一大楼的外墙面ADEF 与地面ABCD垂直，点P 在墙面上．若
10m
AP
AB
=
=
，点P 到AD的距
离为6m，现要从点P 处靠墙和地面铺设管道至点B 处，则管道的长度最短为____________m．
【答案】8 5
【分析】可将墙面ADEF 与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将墙面ADEF 与地面ABCD展开如图，
试卷第87 页，共98 页
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过点P 作PG
BF
⊥
于点G ，连接PB，管道沿PB铺设长度最短．
在Rt
APG
△
中，
6m
AG =
，
10m
AP =
，
2
2
8m
PG
AP
AG
=
−
=
．
在Rt
BPG
△
中，
8m
PG =
，
16m
BG
AG
AB
=
+
=
，
2
2
8 5m
PB
BG
PG
=
+
=
．
故管道的长度最短为8 5m．
故答案为：8 5.
【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面
图形的两点间的线段长来进行解决．
5．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6 米，在底面
周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3 圈到达柱顶正上方的D 点，则雕刻在木柱
上的巨龙长至少为_____米．
【答案】7.5
【分析】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角
三角形的斜边，再利用勾股定理求解．
将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图：
根据题意可得柱身高为6米，底面周长为1.5米，
有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3 圈到达柱顶正上方的D 点，
小学
初中
试卷第88 页，共98 页
1.5
AE
=
米，
1
1 6
2
3
3
AB
AD
=
=
=
米，
2
2
2
2
1.5
2
2.5
BE
AE
AB
=
+
=
+
=
米，
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5 3=7.5
米．
故答案为：7.5．
三、解答题
6．如下图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C 与点A重合，点B 落在点B处，折痕EF 分别与AB ，DC 交
于点E ，F ．
(1)求证：ADF
ABE
≌
．
(2)若
12
AD =
，
18
DC =
，则AEF
的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)78
【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用ASA即可判定ADF
ABE
≌
；
（2）设未知数，将问题转化到Rt ADF
中利用勾股定理建立方程求出结果即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD是长方形，
90
D
C
B
DAB
=
= =
=
，AD
BC
=
，
90
DAF
EAF
+
=
．
由折叠的性质，得
90
FAB
C
=
=
，
90
B
B
= =
，AB
CB
=
，
AD
AB
=
，
D
B
=
，
90
B AE
EAF
+
=
，
DAF
BAE
=
．
在ADF
和
AB E
△
中，
D
B
AD
AB
DAF
B AE
=
=
=
，
，
，
试卷第89 页，共98 页
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(
)
ASA
ADF
AB E
≌
．
（2）解：由折叠的性质，得AF
CF
=
．
设AF
CF
x
=
=
，则
18
DF
DC
CF
x
=
−
=
−．
在Rt
ADF
△
中，
2
2
2
AD
DF
AF
+
=
，
(
)
2
2
2
12
18
x
x
+
−
=
，解得
13
x =
．
ADF
AB E
≌
△
△
，
13
AF
AE
=
=
，
1
1 13 12
78
2
2
AEF
S
AE AD
=
=
=
．
【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式
的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键．
7．如图，在长方形纸片ABCD中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE
沿AE 折叠得到
AFE
△
，连接CF ．若
4
AB =
，
6
BC =
，求CF 的长．
【答案】18
5
【分析】连接BF 交AE 于点O，由折叠可知：BE
EF
=
，AEB
AEF
=
，可得AE 垂直平分BF ，再证AE
CF
，
得到
90
BFC
BOE
=
=
，在Rt ABE
中，利用等面积法求出BO的长，最后在Rt BCF
中，利用勾股定理
即可求出答案．
【详解】解：如图，连接BF 交AE 于点O．
将ABE
沿AE 折叠得到
AFE
△
，
BE
EF
=
，
AEB
AEF
=
，AE 垂直平分BF ．
E
为BC 的中点，
试卷第90 页，共98 页
1
3
2
BE
CE
EF
BC
=
=
=
=
，
EFC
ECF
=
．
2
BEF
ECF
EFC
ECF
=
+
=
，
AEB
ECF
=
，
AE
CF
，
90
BFC
BOE
=
=
．
在Rt ABE
中，由勾股定理，得
2
2
AE
AB
BE
=
+
2
2
4
3
5
=
+
=
，
4 3
12
5
5
AB BE
BO
AE
=
=
=
，
24
2
5
BF
BO
=
=
．
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
24
18
6
5
5
CF
BC
BF
=
−
=
−
=
．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折
变换和勾股定理的应用是解题的关键．
8．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．
素
材
一
【提出问题】求代数式
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值．
素
材
二
【建立模型】如图1，
2
23
x +
可看作直角
边分别是x 和3 的直角三角形的斜边，
(
)
2
2
12
2
x
−
+
是直角边分别是12
x
−
和2
的直角三角形的斜边．构造两个直角三角
形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角
边在同一直线上，这时
12
12,
3,
2
CF
x
x
AC
DF
=
+
−
=
=
=
，
问题就转为“在CF 上求点B，使．AB
BD
+
最小”问题．
试卷第91 页，共98 页
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素
材
三
【解答过程】如图2，连接AD，交CF 于点
B，此时．AB
DB
+
的值最小，将AC 延长
至点H，使得
2
CH
DF
=
=
，连接HD ．∵
3
2
5,
12
AH
AC
CH
HD
CF
=
+
=
+
=
=
=
，∴
在Rt ADH
中，
2
2
5
12
13
AD =
+
=
，∴
min
13
AB
DB
AD
+
=
=
，∴
(
)
2
2
2
2
3
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值是13．
(1)任务一：【解决问题】代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为 ．
(2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km ，村庄A 点到河岸的垂直距离为3km ，村庄
B 点到河岸的垂直距离为5km，且点A，B 到河岸的垂足之间的水平距离为15km．现计划在河上建一座垂
直于河岸的桥PQ ，使得从A 到P，过桥PQ ，再从Q 到B 的路程最短，则最短路程为 km．
(3)任务三：思维拓展：已知正数x 满足
2
2
81
144
15
x
x
−
+
−
=
，求x 的值．
【答案】(1)
41
(2)25
(3)x 的值为7.2
【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可；
（2）将点A 向上平移8km 得到
1A ，连接
1AQ ，1A B ，则
1AQ
AP
=
，
1
1
AP
QB
AQ
QB
A B
+
=
+
，得到当
1,
,
A Q B
三点共线时，此时
1AQ
BQ
+
的最小值为
1A B ，此时总路程最短，进行求解即可；
（3）构造ABC
，CD
AB
⊥
，垂足为D，
9,
12
AC
BC
=
=
，进而得到
15
AB =
，勾股定理逆定理结合等积法
求出CD的长即可．
【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，
试卷第92 页，共98 页
3,
4
,
,
2
AC
BC
x BF
x DF
=
=
−
=
=
，则
(
)
2
2
2
2
4
3 ,
2
AB
x
BD
x
=
−
+
=
+
，
4
4
CF
x
x
=
−+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
BD
AB
AD
+
+
−
+
=
+
，
∴当
, ,
A B D 三点共线时，
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
AD
+
+
−
+
=
最小，
作DH
AC
⊥
，则
4,
2
DH
CF
CH
DF
=
=
=
=
，
∴
5
AH
AC
CH
=
+
= ，
∴
2
2
4
5
41
AD =
+
=
，
∴代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为
41 ；
（2）解：由题意，AP
PQ
QB
+
+
为总路程，
∵
8km
PQ =
，
∴要求AP
PQ
QB
+
+
的最小值，只需求得AP
QB
+
的最小值．
如图1，将点A 向上平移8km 得到
1A ，连接
1AQ ，
1A B ，则
1AQ
AP
=
，
∴
1
1
AP
QB
AQ
QB
A B
+
=
+
，
∴当
1,
,
A Q B 三点共线时，此时
1AQ
BQ
+
的最小值为
1A B ．
过点B 作射线垂直河岸，过点A 向右作水平线，两线交于点D．
由题意，可得
1
15km
A D =
，
8km
BD =
，
∴
1AQ
BQ
+
的最小值为
1
17km
A B =
，
∴最短路程为17 8
25km
+ =
．
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（3）如图2，构造ABC
，CD
AB
⊥
，垂足为D，
9,
12
AC
BC
=
=
．
设CD
x
=
，则
2
2
81
,
144
AD
x
BD
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
81
144
15
AB
x
x
=
−
+
−
=
．
∵
2
2
2
9
12
15
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
∴1
1
9 12
15
2
2
x
=
，解得
7.2
x =
，
∴x 的值为7.2．
9．课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A B
，两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A B
，对
应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
【答案】（1）15，（2）26cm （3）25cm （4）10cm
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间
线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长
试卷第94 页，共98 页
度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后A、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm和12cm．
根据勾股定理，最短路径为：
2
2
9
12
81 144
225
15cm
+
=
+
=
=
（2）底面是正方形，周长为3 4
12cm
=
，垂直方向为直四棱柱的高10cm，绕一周高为
(
)
10
2
5 cm
=
，
根据勾股定理，
2
2
12
5
144
25
169
13cm
+
=
+
=
=
，
绕两周彩条最短长度为：13 2
26cm
=
；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6
24cm
=
，绕一周垂直长度为7cm ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
2
2
24
7
576
49
625
25cm
+
=
+
=
=
（4）底面是半圆长加一个半径，
3 2
2
8
r
r
+ = +
= ，高为6cm ，
根据勾股定理，爬行最短长度为
2
2
m
8
0
6
1
0
0
1 c
+
=
=
．
一、单选题
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深
几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即
5
AC =
，
1
DC = ，BD
BA
=
，则BC = （ ）
A．8
B．10
C．12
D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC
x
=
，则
(
)
1
BD
BA
x
=
=
+
，由勾股定理列出方程进行求解即
可．
【详解】解：设BC
x
=
，则
(
)
1
BD
BA
x
=
=
+
，
由题意，得：(
)
2
2
2
1
5
x
x
+
=
+
，
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解得：
12
x =
，即
12
BC =
，
故选：C．
2．（2020·广西·中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun，门槛的
意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2 为图1 的平面示意图)，推开双门，双门
间隙CD的距离为2 寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10
=
寸)，则AB 的长是（ ）
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
【答案】C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】设OA=OB=AD=BC= x ，过D 作DE⊥AB 于E，
则DE=10，OE= 1
2 CD=1，AE=
1
x −．
在Rt△ADE 中，
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，即(
)
2
2
2
1
10
x
x
−
+
=
，
解得2
101
x =
．
故门的宽度（两扇门的和）AB 为101 寸．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
4
BC =
，D 是边AC 的中点，
E 是边BC 上一点，连接BD
DE
、
．将
CDE
△
沿DE 翻折，点C 落在BD上的点F 处，则CE = ________．
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【答案】3
2
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CD
DF
=
，
,
90
CE
EF
EFD
=
=
，
设CE
x
=
，在Rt
BFE
△
中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
6
AC =
，
4
BC =
，D 是边AC 的中点，
∴
1
3
2
CD
AC
=
= ，
∴
2
2
5
BD
BC
CD
=
+
=
，
∵将
CDE
△
沿DE 翻折，点C 落在BD上的点F 处，
∴
3
CD
DF
=
= ，
,
90
CE
EF
EFD
=
=
，
∴
2,
90
BF
BD
DF
BFE
=
−
=
=
，
设CE
x
=
，则：
,
4
EF
x BE
BC
CE
x
=
=
−
=
−
，
在Rt
BFE
△
中，由勾股定理，得：(
)
2
2
2
4
2
x
x
−
=
+
，
解得：
3
2
x =
；
∴
3
2
CE =
；
故答案为：3
2 ．
4．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行30km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向
航行40km 至C 港，则A，C 两港之间的距离为___________km．
【答案】50
【分析】根据题意画出图形，易证ABC
是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意，得AN
BM
∥
，
60
NAB
=
，
30
MBC
=
，
30km
AB =
，
40km
BC =
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∵AN
BM
∥
∴
180
180
60
120
MBA
NAB
=
−
=
−
=
∴
120
30
90
ABC
ABM
MBC
=
−
=
−
=
∴在Rt
ABC
△
中，
(
)
2
2
2
2
30
40
50 km
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
即A，C 两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明ABC
是直角三角形是解题的关键．
5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm
的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂
蚁从外壁B 处到内壁A处所走的最短路程为___________cm．（杯壁厚度不计）
【答案】10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，根据两点之间线段最短可知AB的
长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B 关于EF 的对称点B，作BD
AE
⊥
，交AE 延长线于点D ，
连接AB，
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由题意得：
(
)
1
1cm,
9
4
5 cm
2
DE
BB
AE
=
=
=
−
=
，
6cm
AD
AE
DE
=
+
=
，
∵底面周长为16cm，
(
)
1 16
8 cm
2
B D
=
=
，
2
2
10cm
AB
AD
B D
=
=
+
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B 处到内壁A处所走的最短路程为
10cm
AB=
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
