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1.3 证明
题型一：证明的相关求解
1．（24-25 八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若
2
a
，则
2
a
”是假命题的
反例是（ ）
A．
3
a =
B．
1
a =
C．
0
a =
D．
4
a = −
2．
（24-25 八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，
,
a
b b
c
．求证：a
c
”．第一步应先假设 ．
3．（24-25 九年级下·湖南长沙·期中）好久未见的A，B，C，D，E 五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互
握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A 同学握手4 次，B 同学握手3 次，C 同学握手2 次，D 同学握
手1 次，请你推断一下，E 同学握手 次．
4．（24-25 八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
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2 /
已知：如图，直线1l ，2l 被3l 所截，A，B 为交点，1
2
l
l
∥．
求证：1
2
= ．
证明：假设所求证的结论不成立，
即__________ __________．
过点A 作直线4l ，使4l 与3l 所成的
3
与
2
相等，则
3
__________ 1
，
所以直线4l 与直线1l 不重合．
但4
2
l
l
∥（____________________），又已知1
2
l
l
∥，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以
__________不成立．
所求证的结论成立．
5．（24-25 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，
360
B
C
D
++
=
，求证：AB
DE
∥
．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）证明命题“三角形三个内角的和等于180”是真命题．
7．（24-25 八年级上·全国·课后作业）命题“若n 是自然数，则代数式(3
1)(3
2)
1
n
n
+
+
+ 的值是3 的倍数”是真
命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明．
8．（24-25 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线EF 、GH 被直线MN 所截，AB
GH
⊥
，B 为垂足，
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1
2
= ．求证：AB
EF
⊥
．
证明：∵1
2
= （ ），
∴EF ___________（ ）
∴
FAB
HBA
+
=___________（ ）
∴AB
GH
⊥
（已知），
∴
90
HBA
=
（ ）
∴
180
180
90
90
FAB
HBA
=
−
=
−
=
，
∴AB
EF
⊥
（ ）
题型二：三角形外角中三角板问题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边AC 上，BC
EF
∥
，则
ADE
的大小为（ ）
A．60
B．65
C．75
D．85
2．（24-25 八年级下·贵州铜仁·期中）将一副三角板如图放置，使含30角的三角板的一段直角边与含45角
的三角板的一段直角边重合，则
的度数为（ ）
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4 /
A．120
B．75
C．135
D．105
3．（2025·河北唐山·三模）将一块含45角的直角三角尺和直尺如图放置，若1
60
=
，则
2
的度数为（ ）
A．165
B．166
C．139
D．121
4．（2025·安徽六安·二模）如图，已知a
b
，将含30角的直角三角板放在直线a，b 之间，若1 32
=
，则
2
的度数为（ ）
A．60
B．62
C．65
D．70
5．
（24-25 九年级下·山东德州·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放，
90
B
D
=
=
，
60
A
=
，
45
E
=
，
若AC
DF
∥
，则1
的度数为 ．
6．
（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，三角形DEF 是由三角形ABC 平移得到的，点D 在边AC 上，
连接CE ．若
BCE
和
CED
中其中一个角是另一个角的3 倍，
60
B
=
，则
CED
的度数为 ．
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5 /
7．（2025·江西新余·一模）如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点F 在AC 上，AB
DE
∥
，则
DFA
的度数是 ．
题型三：三角形外角的实际应用
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB 与操作台BC 的夹角
120
ABC
=
，支撑臂BD为
ABC
的平分线．物体被吊起后，机械臂AB 的位置不变，支撑臂绕点B 旋转
一定的角度并缩短，此时
2
CBD
ABD
=
，
BDC
增大了5，则
DCE
的变化情况为 （ ）
A．增大10
B．减小10
C．增大25
D．减小25
2．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点
处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知1
88
=
，
3 130
=
，则
2
的度数为（ ）
A．30
B．36
C．42
D．52
3．
（24-25 九年级下·河南商丘·期中）如图是一款婴儿车的平面示意图，其中AB
CD
∥
，若
1
43
=
，2
68
=
，
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则
3
的度数为（ ）
A．24
B．26
C．28
D．25
4．（24-25 七年级下·广东梅州·期中）如1 图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2 图所示是抽象出来
的部分示意图，已知直线EF 与BD相交于点P，AB
CD
∥
，
20
P
=
，
105
CFP
=
，则
ABP
的大小为
（ ）
A．75
B．80
C．85
D．90
5．（24-25 七年级下·河南郑州·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束
经过光心O的光线相交于点P ，若1 150
=
，
3
55
=
，则
2
的度数为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
6．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G 的方向竖直向下，支持力
1F
的方向与斜面垂直，摩擦力
2
F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角
31.5
=
，则摩擦力
2
F 与重力G 方向的夹
角的度数为 ．
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7．（2025·广东深圳·二模）如图，一束激光PA射入水面，在点A 处发生折射，折射光线AB 在杯底形成光
斑B 点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C 处发生折射，光斑移动到D 点．因水面始终与杯
．．．．．．
底平行
．．．，则折射光线CD
AB
∥
．若1
48
=
，
2
26
=
，则
3
的度数为 ．
题型四：三角形的外角与平行线的结合
1．（24-25 九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线AB
CD
∥
，
30 ,
25
E
C
=
=
，则
BAE
的度数为
（ ）
A．30
B．45
C．55
D．60
2．
（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在
ABC
中，
29
A
=
，D 为AB 延长线上一点，过点D 作DE
BC
∥
．若
46
D
=
，则
C
的度数是（ ）
A．13
B．15
C．17
D．23
3．（2025·湖北·二模）如图，已知AB
CD
∥
，
35
65
A
C
=
=
，
，则
P
的度数为（ ）
A．20
B．35
C．30
D．25
4．（2025·山东威海·二模）如图，DE
BF
∥
，
78
135
DAB
ACF
=
=
，
，则
BAC
= （ ）
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A．67
B．53
C．57
D．63
5．（2025·湖南怀化·三模）如图，AB
CD
∥
，若1
65
=
，
3
55
=
，则
2
的度数为（ ）
A．115
B．120
C．125
D．130
6．（2025·陕西西安·模拟预测）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是
小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知
30
BC
EF
A
=
∥
，
．若
70
ADE
=
，则
C
的度数为（ ）
A．40
B．30
C．45
D．57
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线a
b
∥，1 110
=
，
2
62
=
，则
3
的度数为 ．
题型五：三角形的外角与角平分线的结合
1．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形MNCB 中，
25
P
=
，
MBC
和
NCD
的平分
线交于点P，则
M
N
+
的度数为 ．
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2．
（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD平分
,
BAC DE
BC
⊥
，若
25 ,
75
B
C
=
=
，
则
ADE
的度数为 ．
3．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC 中，AD平分
BAC
，EF
AD
⊥
于点M，交BC 的延
长线于点N，已知
70 ,
40
ACB
B
=
=
，则
N
的度数为 ．
4．（24-25 八年级上·河南郑州·期末）如图，在△ABC 中，已知
BAC
的平分线与BC 交于点D，
=60
B
，
40
C
=
，则
ADB
的度数为 ．
5．（24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，CE 是△ABC 的外角
ACD
的平分线，若
36
B
=
，
65
ACE
=
，则
A
的度数是 ．
6．
（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC 中，BD是AC 边上的高，
72
A
=
，CE 平分
ACB
交BD于点E，
115
BEC
=
，则
ABC
的度数为 ．
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题型六：三角形的内角等分线和外角等分线综合
1．（24-25 八年级上·四川成都·期末）如图，点E 是△ABC 的外角
CBD
内部一点，满足
3
CAB
EAB
=
，
3
CBD
EBD
=
．若
42
C
=
，则
E
的度数是 ．
2．（24-25 七年级上·江苏扬州·期中）如图，若CD平分
,
ACE BD
平分
,
40
ABC
A
=
，则
D
= ．
3．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，在△ABC 中，延长BC 到D，
ABC
ACD
、
的角平分线相交
于点
1A 点．
1A BC
与
1ACD
的外角平分线交于点
2
A ，
2
A BC
与
2
A CD
的外角平分线交于点
3
A ，依次类推，
1
n
A
BC
−
与
1
n
A CD
−
的外角平分线交于点
n
A ，如果
A
m
=
，那么
n
A
= °．（用含m、n 的表示）．
4．（24-25 九年级下·山东济宁·期中）如图，在△ABC 中，
48
A
=
，
ABC
与
ACD
的平分线交于点
1A ，
得
1A
，
1A BC
与
1ACD
的平分线相交于点
2
A ，得
2A
；…；
1
n
A
BC
−
与
1
n
A CD
−
的平分线交于点
n
A ，要
使
n
A
的度数为整数，则n 的最大值为 ．
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5．
（24-25 七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC 中，
64
A
=
，
ABC
和外角
ACD
的平分线交于
1A ，
得
1A
；
1A BC
和外角
1ACD
的平分线交于
2
A ，得
2A
；……依次类推，则
5
A
= ．
6．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC 中，
2
ABC
C
=
，点E、F 分别在边BC
AC
、
上，
28
FEC
=
，
2
AEF
AFE
=
，ABC
的角平分线与
AEF
的角平分线交于点P，则
P
的度数为 ．
7．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图AB
CD
∥
，
GAB
的平分线AE 与
ACF
的平分线CE 交于点
E，且
14
E
BAF
=
=
，则
F
=（ ）
A．28
B．42
C．56
D．58
题型七：三角形外角中特殊多边形的角度和
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1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，
A
B
C
D
E
++
+
+等于（ ）
A．100
B．200
C．180
D．360
2．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，
A
B
C
D
E
F
++
+
++
= ．
3．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，
A
B
C
D
E
F
++
+
++
= 度．
4．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图，
A
B
C
D
E
F
+++
++的度数为 ．
5．（24-25 八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形ABCDEFG 中，
108
E
F
G
=
=
=
，
72
C
D
=
=
，
则
A
B
+= ．
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6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片ABCD的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，
4 个顶点不重合，那么图中1
2
3
4
5
6
7
8
+++++++的度数是 ．
题型八：三角形外角中折叠问题
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片ABC 中，
65 ,
70
A
B
=
=
，将
C
沿DE 对折，
使点C 落在△ABC 外的点C处，若1
30
=
，则
2
的度数为 ．
2．（24-25 七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将
ABC
纸片沿DE 折叠，使
点C 落在点C处，DC交BC 于点F ．若
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，则当
DEB
= 度时，AB
DC
．
3．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 △ABC 中，
80
20
ACB
B
A
=
−=
，
，D 是AB 上一点，
将ACD
沿CD翻折后得到CED
，边CE 交AB 于点F．若
DEF
中有两个角相等，则
ACD
= ．
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4．（24-25 九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD，点B 关于AD
的对称点E 恰好在AC 边上，连接DE ，若
30
C
=
，
40
CDE
=
，则
BAC
的度数为 ．
5．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，在三角形纸片ABC 中，
20
C
=
，将三角形纸片ABC 沿DE 折
叠，使点C 落在
ABC
所在平面内的点C处．若
40
DA
C
=
，则
CED
的度数为 ．
题型九：三角形外角解答题综合
1．（23-24 七年级下·江苏淮安·期中）如图，1
80
=
，2
100
=
，且AC
DF
∥
．若
:
3: 2
C
A
=
，求
D
的度数．
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2．（24-25 七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形ABCD中，E 是BC 延长线的一点，连接AE 交CD于
点F，若
B
D
= ，1
2
180
+=
．
(1)若
25
E
=
，
60
D
=
，求
2
的度数；
(2)判断AD与BC 的位置关系，并说明理由．
3．（24-25 七年级下·重庆铜梁·期中）如图，已知点E、F 在直线AB 上，点G 在线段CD上，ED与FG 交
于点H，
3
MCD
= ，1
2
= ．
(1)求证：AB ∥CD；
(2)若
88
EHF
=
，
28
CDE
=
，求
AEM
的度数．
4．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连
接AD．
(1)若点D为边BC 的中点，
5
AE = ，△ABC 的面积为30，求CD的长；
(2)若AD平分
BAC
，
68
C
=
，
36
B
=
，求
DAE
的度数．
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16 /
5．（24-25 七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，1
75 ,
2
105 ,
C
D
=
=
=
．
(1)判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由．
(2)若
C
比
A
大25°，求
F
的度数．
6．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为60 ，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
42
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
7．（23-24 七年级下·四川南充·期中）如图，点D ，E 分别在三角形ABC 的边AB ，AC 上，点F 在线段CD
上，且
3
B
= ，DE
BC
∥
．
(1)试说明：EF
AB
∥
；
(2)试说明：1
3
BCD
= +
；
(3)若DE 平分
ADC
，
2
3
B
=
，求1
的度数．
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题型一：三角形外角中多结论问题
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，AB
CD
∥
，PG 平分
EPF
，
180
A
AHP
+
=
，下列结论：
①CD
PH
；②
2
BEP
DFP
EPG
+
=
；③
FPH
GPH
=
；④
180
A
AGP
DFP
FPG
+
+
−
=
；
⑤若
BEP
DFP
，则
2
BEP
DFP
GPH
−
=
，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
2．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，D 是△ABC 的边AC 上点，连接BD，CM 平分
ACB
交BD于
点H，交AB 于点M．△ABC 的外角
ACE
的平分线CF 所在直线与AB 的延长线交于点G．当
CBD
A
=
时，有下列四个结论：
①
CHD
与
G
互余；
②
CBD
BCG
=
；
③
90
MHD
G
−
=
；
④
90
MHD
A
=
+．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③
3．（24-25 七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，BD、BE分别是△ABC 的高和角平分线，F 是CA 延长线
上的一点，过点F 作FH
BE
⊥
交BD于点G、交BC 于点H，下列结论：①
DBE
F
=；②
2 BEF
BAF
C
=
+
；③2 F
BAC
C
=
−
；④
BGH
ABE
C
=
+
，其中正确的结论有（ ）
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18 /
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知AB
CD
∥
，P 为CD下方一点，G，H 分别为AB ，CD上
的点，PGB
=
，
PHD
=
（
，且，均为锐角），PGB
与
PHD
的角平分线交于点F，GE 平
分
PGA
，交直线HF 于点E，下列结论：①
P
=
−
；②2
180
E
+
=
+
；③若
CHP
AGP
E
−
= ，
则
60
E
=
．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．③
D．②
5．
（24-25 七年级下·四川广元·期中）如图，AD
BC
∥
，EF
HG
、
交于点P，HI 平分
GHF
，PM 平分
EPH
，
HI 交PM 的反向延长线于Q，PN
HI
∥
，则：①若
EGP
GEP
=
∠
∠
，则PM
AD
；②
2
GEP
MPN
=
；
③
2
EPN
Q
=
；④
EPM
QHF
Q
=
+
，其中正确的是 ．
6．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是边BC 上的高，BE 是边AC
上的中线，CF 平分
ACB
，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ，给出下面四个结论：
①ABE
的面积与BCE
的面积相等；
②
AFG
AGF
=
；
③
2
FAG
ACF
=
；
④
HBC
HCB
=
．
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19 /
上述结论中，正确结论的序号有 ．
7．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，AB
CD
∥
，E 是线段AB 上一点，F 是线段DE 的延长线上一点，
ABF
的平分线BG 交EF 于点G ，交线段DA的延长线于点I ，过点D 作DH
BG
⊥
于点H ，且
2
ADC
ADE
=
．下列结论：
①2
3
BED
BAD
=
；
②
90
CDH
ABG
−
=
；
③
2
F
ADF
I
+
= ；
④若
55
FDH
=
，则
35
F
ADF
+
=
．
正确结论的序号是 ．
题型二：解答题压轴之三角板中探究问题
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我
们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究
BDC
与
,
,
A
B
C
之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
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20 /
①如图②，把一块三角尺DEF 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边
,
DE DF 恰好经过点B，C，若
40
A
=
，则
ABD
ACD
+
=
∠
∠
______；
②如图③，BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，若
40 ,
130
A
BPC
=
=
，求
BDC
的度数；
③如图③，BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，若
,
A
BPC
=
=
，则
BDC
= ______．
2．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含45角的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺
DEFG 的EF 边上．
【特例初探】
（1）在图1 中，1
=______，
2
=______．
【技能提升】
（2）把三角板ABC 如图2 放置，线段AC 与DG 相交于点H，当
20
CBF
=
时，求1
2
+的值．
【综合运用】
（3）将三角板ABC 如图3 放置，使点C 恰好落在DG 边上，现将射线BC 绕点B 以2 /s
的速度逆时针旋转
得到射线BM ，同时射线QA 绕点Q 以3 / s
的速度顺时针旋转得到射线QN ，当射线QN 旋转至与QB 重合时，
则射线BM ，QN 均停止转动，设旋转时间为st ．
①在旋转过程中，若射线BM 与射线QN 相交于点P．当
10s
t =
时，求
QPB
的度数．
②在旋转过程中，当BM
QN
∥
时，求出此时t 的值．
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21 /
3．（24-25 七年级下·福建三明·期中）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的
数学活动．
【初步感知】
（1）如图1，若三角尺的60角的顶点G 放在CD上，若
2
70
，求1
的度数；
【自主探究】
（2）将一副三角板如图2 所示摆放，直线GH
MN
．若三角板ABC 不动，而三角板DEF 绕点D 以每秒3
的速度顺时针旋转，设旋转时间为t 秒(
)
0
120
t
，求当旋转到DF
BC
∥
时，t 的值是多少？
【探究拓展】
（3）现将三角板ABC 绕点A 以每秒1的速度顺时针旋转，同时三角板DEF 绕点D 以每秒3的速度顺时针
旋转，如图3，设时间为t 秒，当0
120
t
时，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边
,
DE DF ）平行，
直接写出满足条件的t 值．
4．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线MN ，PQ 和一块含30角的直角三角尺ABC （其中
90
ACB
=
，
30
ABC
=
）”为背景开展数学活动．将三角尺30角的顶点B 放在直线PQ 上，直线AC 与
直线MN 相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺ABC 按图1 所示放置，若
30
AEM
=
，求
CBP
的度数；
（2）明明同学将三角尺ABC 绕点B 旋转至图2 位置时，
AEM
与
CBP
有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线PQ 不动，慧慧同学加大了平行线MN 与PQ 之间的距离，使平行线之间的距离大于
AB ．绕点B 旋转三角尺ABC ，点A 始终在平行线之间，请直接写出
AEM
与
CBP
所有可能的数量关系．
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22 /
4．（24-25 七年级下·四川南充·阶段练习）如图（a）所示，将一把含30角的直角三角板ABC 的BC 边放置
于长方形直尺DEFG 的EF 边上．
(1)填空：1
=______°，
2
=______°
(2)如图（b）所示，现把三角板绕点B 逆时针旋转n，当0
90
n
°
°，且点C 恰好落在DG 边上时，①1
=
_______，
2
=_______°：（结果用含n 的代数式表示）
②若
2
恰好是1
的3
2 倍，求n 的值．
(3)如图（a）所示放置的三角板ABC ，现将射线BF 绕点B 以2 /s
的速度逆时针旋转得到射线BM ，同时射
线QA绕点Q 以3 / s
的速度顺时针旋转得到射线QN ，当射线QN 旋转至与QB 重合时，则射线
,
BM QN 均停
止转动，设旋转时间为st ．
①在旋转过程中，若射线BM 与射线QN 相交，设交点为P．当
18s
t =
时，则
QPB
= ______．
②在旋转过程中，是否存在BM
QN
∥
？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
5．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，PQ
MN
∥
，
90
ACB
EDF
=
=
，
45
DEF
DFE
=
=
，
60
CBA
=
，
30
CAB
=
．（温馨提示：三角形的内角和为180）
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23 /
(1)若三角板如图1 摆放时，则
AFD
=______°，
PDE
=______°；
(2)现固定三角板ABC 的位置不变，将三角板DEF 沿AC 方向平移至点E 正好落在PQ 上，如图2 所示，DF
与PQ 交于点G，作
FGQ
和
GFA
的角平分线交于点H，求
GHF
的度数；
(3)将三角板如图2 摆放，将三角板DEF 绕点E 逆时针旋转，速度为2 /s
，同时将三角板ABC 绕点A 顺时
针旋转，速度为3 /s
，当AC 与直线AN 首次重合时停止旋转，运动时间为st ，当线段BC 与三角板DEF 的
一条边平行时，请直接写出旋转的时间t 的值______．
题型三：解答题压轴之其他探究问题
1．（24-25 七年级下·广东肇庆·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB
CD
∥
，点P 在AB 、CD内部，
50
B
=
，
30
D
=
，求
BPD
的度数．
(2)如图2，将点P 移到AB 、CD外部，则
BPD
、
B
、
D
之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出
BPD
、
B
、
D
、
BQD
之间的数量关系．（不需证明）
2．（24-25 七年级下·陕西汉中·期中）【问题提出】
如图，已知AB
CD
∥
，直线EF 分别交AB
CD
，
于点E，F，FG 平分
EFD
交AB 于点G．
（1）如图1．若
26
EGF
=
，则
AEF
的度数是 ．
【问题探究】
（2）作EM 平分
GEF
，交FG 于点M．
①如图2，过点G 作GN
EM
∥
，交直线EF 于点N，试说明：
AGN
N
=
；
②如图3．点P 是ME 延长线上的一点，连接FP，若2
3
30
CFP
PFG
DFG
=
=
，
，探究
PEA
与
PFE
之间的数量关系，并说明理由．
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2．（24-25 七年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形ABCD中，ADC
=
，BCD
=
，延长AB 到点E ，
AF 是
DAB
的平分线，BG 是
CBE
的平分线．
(1)如图1，当AF
BG
时，求证：
180
+
＝
；
(2)如图2 ，当
180
+
时，直线AF 交直线BG 于点M ，问
AMB
与，之间有何数量关系？写出你
的结论并证明；
(3)如果将（2 ）中的条件
180
+
改为
180
+
，那么
AMB
与，之间又有何数量关系？请直
接写出结论，不用证明．
3．（2025 七年级下·山东·专题练习）【初步认识】
（1）如图①，在
ABC
中，BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
．若
80
A
=
，则
P
= ______；如图②，BM
平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，则
A
与
M
的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
．请探索
A
与
N
之间的数量关系．
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4．（24-25 七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在△ABC 中，
ABC
与
ACB
的平分线交于点P ，如果
50
A
=
，那么
BPC
= ．
(2)如图2，作△ABC 外角
MBC
、
NCB
的平分线交于点Q ，试求出
Q
、
A
之间的数量关系．
(3)如图3，延长BP、QC 交于点E ，在
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的4 倍，请直接写出
A
的
度数．
5．（24-25 七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，AB
CD
∥
，点P 在AB ，CD之间，连接AP ，CP ．易证：
APC
A
C
= +
．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点P 作PQ
AB
∥
．
小菲：如图3，延长AP 交CD于点M．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4，E，F 分别是射线AB ，CD上一点，G 是线段CF 上一点，连接AG 并延长，交直线EF 于点P ，
连接AC ，EG ，若
PAC
PEG
AGE
+
=
，求证：AC
EF
∥
．
（3）如图5，在（2）的条件下，AB
CD
∥
，AH 平分
PAC
，FH 平分
PFC
，AH 与FH 相交于点H，HF
与GP 相交于点T，若
25
CAH
＝
，
AHF
AEG
=
，
2
3
PGE
CAH
PEG
=
+
，求
CFP
的度数．
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1．（2024 八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R 等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾
客需根据如下规则点菜：
①不能同时点M 和N；
②如果点了P，就要点Q 或R；
③在Q 和S 中必须点一个，且只能点一个．
则以下组合中，符合点菜规则的是（ ）
A．Q、M、N
B．S、N、P
C．P、N、Q
D．M、P、R
2．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC 中，
2
ABC
C
=
，点E，F 分别在边
,
BC AC 上，
2
AEF
AFE
=
，ABC
的角平分线与
AEF
的角平分线交于点P，若
26
FEC
=
，则
P
的度数为（ ）
A．39
B．52
C．65
D．78
3．
（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知
90
MON
=
，点A、B 分别在射线OM
ON
，
上移动，BC 平分
OBA
，
交OM 于点E，AD平分
BAM
，AD的反向延长线与BC 交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
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结论Ⅰ：若
65
BAD
=
，则
20
ABC
=
；
结论Ⅱ：无论点A、B 在射线OM ，射线ON （均不与点O 重合）上怎样移动，
C
的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确
B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，直线CE
DF
∥
，
125
CAB
=
，
85
ABD
=
，则1
2
+=（ ）
A．30
B．35
C．36
D．40
5．（2025·陕西·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知AB
DF
∥
，AC
EG
∥
，BD
CE
∥
．若
126
116
E
D
=
=
，
，则
A
的度数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，
ACE
是
ABC
的外角，BD平分
ABC
，CD平分
ACE
，
且BD，CD相交于点D．若
40
D
=
，则
A
的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．110
7．（24-25 九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与
一束经过光心O的光线相交于点A ，点B 为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若1
155
=
，
2
35
=
，则
3
的度数为（ ）
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28 /
A．10
B．15
C．25
D．35
8．
（24-25 七年级下·江苏南通·期中）如图，CE
AF
⊥
，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，
40
F
=
，
30
C
=
，
则
DBC
的度数为 ．
9．（2025·四川绵阳·三模）如图，AB
CD
∥
，
118
CDE
=
，点G 为直线AB 上点，GF 交
DEB
的平分线EF
于F，
141
AGF
=
，则
F
= ．
10．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知△ABC 的内角
A
=
，分别作内角
ABC
与外角
ACD
的平分线，两条角平分线交于点
1A ；作
1A BC
和
1ACD
的平分线交于点
2,
A ；以此类推得到点
99
A ，
则
99
A
的大小为 ．
11．（24-25 七年级下·湖北十堰·期中）将直角三角板
(
)
30
EFG
G
=
和长方形直尺ABCD按如图方式叠放在
一起，EG
AD
、
交于点M ，连接MF ，
(0
60 )
BFE
=
．下列三个结论：①若
MFE
=
，则FG 平
分MFC ；②
60
GMD
=
−
；③若FE平分
BFM
，MF 平分
EMD
，则
40
=
④
60
AMG
=
+
其
中正确的结论有
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29 /
12．
（24-25 七年级下·山东德州·期中）如图，点E 、F 、M 、N 分别在线段AB 、AC 、BC 上，1
2
180
+=
，
3
B
= ．求证：
CEB
NFB
=
．
13．（24-25 七年级下·四川成都·期中）已知直线MN 、PQ ，点A、B 为分别在直线MN 、PQ 上，点C 为平
面内一点，连接AC 、BC ，且
C
NAC
CBQ
=
+
．
(1)求证：MN
PQ
∥
；
(2)如图2，射线AE 、BD分别平分
MAC
和
CBQ
，AE 交直线PQ 于点E，BD与
NAC
内部的一条射线
AD交于点D，若
2
C
D
=
，求
EAD
的度数．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在△ABC 中，
90
ACB
．
(1)请在图中画出△ABC 的边BC 上的高AD；
(2)已知E 为边AB 上一点．
①若CE 是中线，
12,
10
BC
AC
=
=
，则BCE
与
ACE
△
的周长差为_____________；
②若
1
2
35 ,
3
4
= =
= ，求
EAC
的度数．
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15．（24-25 七年级下·重庆渝北·阶段练习）已知点B ，D 分别在AK 和CF 上，且CD
BK
∥
．
(1)如图1，若
25
CDE
=
，
80
DEB
=
，则
ABE
的度数为______；
(2)如图2 ，若BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，DN 的反向延长线交BM 于点M，探究
BMN
与
DEB
的
数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若转动CD与BK 使其交于点G，若
60
=
AGD
，且BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，DN 的
反向延长线交BM 于点M，试探究
BMN
与
DEB
的数量关系，并说明理由．（已知：任意四边形的四个内
角之和为360）
