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1.4 全等三角形
课标要点
1. 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，形状、大小完全相同，与位置无关。
2. 全等三角形重合的顶点、边、角分别为对应顶点、对应边、对应角，是解题基础。
3. 全等三角形核心性质：对应边相等，对应角相等，可用于边角计算与证明。
4. 全等三角形的周长、面积分别相等，对应高线、中线、角平分线也全部相等。
5. 书写全等三角形需严格对应顶点顺序，保证边角对应关系准确不混乱。
学习重难点
重点：
1. 掌握全等三角形的定义与基本特征。
2. 熟记并运用全等三角形边角性质。
3. 准确识别全等三角形的对应边角。
难点：
1. 复杂图形中快速找准对应边角。
2. 规范书写全等三角形对应格式。
3. 灵活用性质解决几何证明问题。
第一章
认识三角形
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知识点一 全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，
即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【即学即练】
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1．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，
对各选项进行判断即可．
【详解】A 项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意；
B 项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意；
C 项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意；
D 项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意．
2．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．两个周长相等的三角形
B．两个面积相等的三角形
C．两个半径相等的圆
D．两个底和高分别相等的平行四边形
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果.
【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形.
A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形.
B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形.
C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形.
D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全
等图形.
知识点二 全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互
重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
【即学即练】
3．（25-26 七年级下·山西·期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相
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等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是
（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．②③
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；
④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
4．（25-26 八年级上·山东济宁·阶段检测）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分
别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中
正确的是_________________．（只填正确说法的序号）
【答案】②③/③②
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】解：①两个大小、形状相同的图形称为全等图形，故原说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，故原说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，故原说法正确；
④面积相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误．
故答案为：②③
【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
知识点三 全等三角形
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应
边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A 与点D，点B 与点E，点C 与点F。
对应边：AB 与DE，AC 与DF，BC 与EF。
对应角：∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F。
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2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）
是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC 和△DEF
全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的
位置上。
【即学即练】
5．（25-26 八年级上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．面积相等的两个三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全
等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答．
【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的；
B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的；
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的；
D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的；
故选：B．
6．（24-25 七年级下·浙江温州·暑假作业）如图，ABE
与
CDE
△
全等，可以确定1
与_________是对应
角，若AE 与CE 是对应边，则AB 与_________是对应边．
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【答案】
2
CD
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．
【详解】解：由图可知，1
与
2
是对顶角，
∵ABE
与
CDE
△
全等，
∴1
与
2
是对应角，
又AE 与CE 是对应边，
∴AB 与CD是对应边，
故答案为：
2
，CD．
知识点四 全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相
等。
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
【即学即练】
7．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）已知ABC
的三边长为3，
1
a + ，6，DEF
的周长为16，若
ABC
DEF
≌
，则a 的值为________________．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质可得ABC
和DEF
的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解
方程即可得．
【详解】解：∵ABC
DEF
≌
，且DEF
的周长为16，
∴ABC
的周长为16，
∵ABC
的三边长为3，
1
a + ，6，
∴3
1 6
16
a
+
+ +
=
，
解得：
6
a =
，
当
6
a =
时，三角形三边长为3，7，6，
∵3
6
9
7
+
=
，满足任意两边之和大于第三边，
∴
6
a =
符合题意．
8．（25-26 七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段
80
AB =
米，射线AC
AB
⊥
于点A，射线BD
AB
⊥
于
B ，M 点从B 点向A运动，每秒走2 米，N 点从B 点向D 运动，每秒走3 米，M 、N 同时从B 出发，若
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射线AC 上有一点P ，使得某时刻
PAM
△
和
MBN
△
全等，则线段AP 的长度为________米．
【答案】32或60
【分析】设t 秒时，
PAM
△
和
MBN
△
全等，则
2
BM
t
=
米，
3
BN
t
=
米，
(
)
80
2
AM
t
=
−
米，再分两种情
况：①PAM
MBN
≌
，②MAP
MBN
≌
，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设t 秒时，
PAM
△
和
MBN
△
全等，则
2
BM
t
=
米，
3
BN
t
=
米，
∵
80
AB =
米，
∴
(
)
80
2
AM
AB
BM
t
=
−
=
−
米，
∵射线AC
AB
⊥
，射线BD
AB
⊥
，
∴
90
A
B
= =
，
则分以下两种情况：
①当PAM
MBN
≌
时，
∴
2
AP
BM
t
=
=
，AM
BN
=
，
∴80
2
3
t
t
−
=
，
解得
16
t =
，
∴
2 16
32
AP =
=
（米）；
②当MAP
MBN
≌
时，
∴
3
AP
BN
t
=
=
，AM
BM
=
，
∴80
2
2
t
t
−
=
，
解得
20
t =
，
∴
3 20
60
AP =
=
（米）；
综上，线段AP 的长度为32 米或60 米．
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题型01 图形的全等
典｜例｜精｜析
1．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形一定全等
B．周长相等的两个图形是全等图形
C．两个正方形一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【详解】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同．
∵形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，∴A 错误；
∵周长相等的两个图形形状和大小不一定都相同，不一定能完全重合，∴B 错误；
∵两个正方形的边长不一定相等，大小不一定相同，不一定能完全重合，∴C 错误；
∵全等图形能完全重合，∴两个全等图形的面积一定相等，D 正确．
变｜式｜巩｜固
2．（25-26 八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合．
【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同．
选项A 中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形；
选项B 中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形；
解题贴士
判定全等先找准对应边、对应角，书写时顶点一一对应。看清图形平移、翻折、旋转不改变边长角度。
利用公共边、对顶角、同角余角等隐含条件。区分判定定理，避免误用 SSA，计算证明紧扣对应边角相
等，细致标注条件，规范步骤，不漏写关键推理。
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选项C 中，两个三角形大小不同，不是全等形；
选项D 中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形；
故选：D．
3．（25-26 八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这
三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（ ）
A．白色部分大
B．阴影部分大
C．两者一样大
D．无法确定大小关系
【答案】A
【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图
形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形
不是全等图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，
∴S
S
S
+
=
①
②
正方形⑥，S
S
S
+
=
④
⑤
正方形⑦，
∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积，
故选：A ．
4．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否
_________．
（2）试找出图中的全等图形：________________．
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【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨
【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键．
（1）根据全等图形的定义求解即可；
（2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解；
【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合；
（2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨．
故答案为：（1）完全重合；
（2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨．
题型02 利用全等图形求正方形网格中角度之和
典｜例｜精｜析
5．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D 均在格点上，则
BAC
BDC
+
的度数为
（ ）
A．55
B．60
C．45
D．50
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，
由题意可得：
45
ABE
=
，
,
90 ,
CD
CE
BCD
AEC
CB
AE
=
=
=
=
，即可证明CBD
EAC
≌
，从而得出
CDB
ECA
=
，根据三角形的外角可得答案．
【详解】解：由题意可得：
45
ABE
=
，
,
90 ,
CD
CE
BCD
AEC
CB
AE
=
=
=
=
，
CBD
EAC
≌
,
CDB
ECA
=
，
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45
ABE
BAC
BCA
=
+
=
，
45
BAC
BDC
+
=
．
故选：C．
变｜式｜巩｜固
6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图
案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①
180
AOD
BOC
+
=
；②
BOF
COE
=
；③
BOC
AOB
=
；④
90
BOD
=
．正确结论的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相
等的角是解题的关键．
根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可．
【详解】解：
由图形可知：
IOA
BOG
GOC
HOD
=
=
=
，则
180
BOG
GO
O
O
AO
C
C
IO
D
BO
AO
A
D H
D
A D
+
=
+
+
+
=
+
=
，即①正确；
由图形可知：
BOE
COF
=
，则
BOE
BOF
COF
BOF
+
=
+
，
∴
BOF
COE
=
，即②正确；
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由
,
OB
OB OA
OC
=
=
，但AB
BC
，则BOC
与AOB
不全等，
∴
BOC
AOB
，故③错误；
由图形可知：
BOG
HOD
=
，则
90
BOD
BOG
GOD
HOD
GOD
=
+
=
+
=
，即④正确．
综上，正确的有3 个．
故选B．
7．（25-26 八年级上·河北承德·期末）如图是由6 个边长相等的正方形组合成的图形，1
2
3
++=
______．
【答案】135
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关
键．先证明ABC
和DEA
全等，根据全等三角形对应角相等可得1
4
= ，然后求出1
3
90
+=
，再判
断出
2
45
=
，然后计算即可得解．
【详解】解：如图所示，
在ABC
和DEA
中，
∵
90
AB
DE
ABC
DEA
BC
EA
=
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
DEA SAS
≌
，
∴1
4
= ，
∵
3
4
90
+ =
°，
∴1
3
90
+=
，
又∵
2
45
=
，
∴1
2
3
90
45
135
++
+
=
=
．
故答案为：135．
8．（25-26 八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，由4 个相同的小正方形组成的格点图中，
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∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出1
3
+的值，即可得出答案；
【详解】如图所示，
在△ACB 和△DCE 中，
AB
DE
A
D
AC
DC
=
=
=
，
∴
(
)
△
△
ACB
DCE SAS
，
∴
3
ABE
= ，
∴
(
)
1
2
3
1
3
45
90
45
135
+
+
=
+
+
=
+
=
；
故答案是：135．
【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
题型03 将已知图形分割成几个全等图形
典｜例｜精｜析
9．（25-26 八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形ABEF 是由8 个全等梯形ABCD拼接而成，其中
0.8
AD =
，
1.6
BC =
，则AF 的长为（ ）
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A．10.8
B．9.6
C．7.2
D．4.8
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接
而成，根据全等图形的性质有
4
4
AF
AD
BC
=
+
是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD为梯形，上底
0.8
AD =
，下底
1.6
BC =
，四边形ABEF 是由8 个全等梯形
ABCD拼接而成，
∴
4
4
4 0.8
4 1.6
9.6
AF
AD
BC
=
+
=
+
=
．
故选：B．
变｜式｜巩｜固
10．（26-27 八年级·浙江温州·暑假作业）如图，下面4 个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等
的图形有（ ）
A．0 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d 三个图形中空白部分可以组成一个
完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，
根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：C ．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
11．（25-26 七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚
线，可以将该图形分割成2 个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【答案】7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2 个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分
割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：
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由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
12．（24-25 八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至
少画3 种，分割线用粗实线）
【答案】见详解
【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键；
观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．
【详解】解：如图所示即为所求．
题型04 全等三角形的概念
典｜例｜精｜析
13．（24-25 八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全
等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数
解题贴士
判定全等三角形先明确完全重合即形状大小均相同，书写字母严格对应顶点。识图挖掘公共边、对顶角
等隐藏相等条件，区分对应边角，杜绝 SSA 错误判定。运用性质时认准对应线段相等，推理步骤完整
规范，看清图形变换不改变全等关系。
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为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的
关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确；
两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确；
面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误；
周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误；
故选B．
变｜式｜巩｜固
14．（24-25 八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，
ABC
CDA
△
≌△
，下列结论：①AB 与AD是对应边；
②AD与CB 是对应边；③
CAB
与
ACD
是对应角；④
BAC
与
DAC
是对应角．其中正确的有
（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等
三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可．
【详解】解：由
ABC
CDA
△
≌△
得：
①AB 与CD是对应边，故①不符合题意；
②AD与CB 是对应边，故②符合题意；
③
CAB
与
ACD
是对应角，故③符合题意；
④
BAC
与
DCA
是对应角，
BCA
与
DAC
是对应角，故④不符合题意；
故正确的有②③，
故选：B．
15．（25-26 八年级上·河南漯河·开学考试）如图所示，ACB
DEF
≌
，其中A与D ，C 与E 是对应顶点，
则CB 的对应边是______，
ABC
的对应角是_______．
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【答案】 EF
DFE
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角
相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：∵ACB
DEF
≌
，
∴CB
EF
=
，
ABC
DFE
=
，
∴CB 的对应边是EF ，
ABC
的对应角是
DFE
．
故答案为：EF ，
DFE
．
16．（25-26 八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，
ABC
CDA
△
≌△
．下列结论：①AB 与AD是对应边；
②AC 与CA 是对应边；③
BAC
与
DAC
是对应角；④
CAB
与
ACD
是对应角．其中正确的是
________．（填序号）
【答案】②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
根据全等三角形的有关概念，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
CDA
△
≌△
，
∴AB 与CD是对应边，故①错误；
AC 与CA 是对应边，故②正确；
BAC
与
ACD
是对应角，故③错误；
CAB
与
ACD
是对应角，故④正确．
所以正确的有②④．
故答案为：②④
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题型05 利用全等三角形的性质求长度
典｜例｜精｜析
17．（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，
ABC
DBE
△
≌△
，点A，B ，E 在同一条直线上，若
5
BD =
，
13
AE =
，则BC 的长为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据
ABC
DBE
△
≌△
可得出AB
BD
=
，BC
BE
=
，再根据线段
的和差关系求出BE的长，即可得出BC 的长，即可求解．
【详解】解：
ABC
DBE
△
≌△
，
5
AB
BD
=
=
，BC
BE
=
，
点A，B ，E 在同一条直线上，
=
+
AE
AB
BE ，
13
AE =
，
13 5
8
BE
AE
AB
=
−
=
−= ，
8
BC
= ，
故选：B．
变｜式｜巩｜固
18．（25-26 七年级下·山东枣庄·期末）如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
于点D ，E 是CD上一点，若
BDE
CDA
≌
，
7
AB =
，
5
AC =
，则BDE
的周长为（ ）
解题贴士
先找准全等三角形对应顶点，锁定对应边；挖掘公共边、对顶角等隐藏等量条件。依据全等对应边相等
列式计算，区分对应与非对应线段，勿混淆边角关系。书写步骤标注全等依据，计算后检验线段长度逻
辑是否合理。
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A．9
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得DE
DA
=
，BE
CA
=
，即可得BDE
的周长．
【详解】解：
BDE
CDA
≌
，
DE
DA
=
，
5
BE
CA
=
=
，
BDE
的周长
7 5 12
BD
DE
BE
BD
DA CA
AB
AC
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+ =
．
19．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知ABC
DEF
≌
，点B ，E ，C ，F 依次在同一条直线上．若
4
EC =
，
7
BF =
，则BE的长为______．
【答案】
1.5
【分析】先根据全等三角形的对应边相等得BC
EF
=
，再根据
11
BC
EF
+
=
求出
5.5
BC =
，最后根据
BE
BC
CE
=
−
得出答案．
【详解】解：∵ABC
DEF
≌
，
∴BC
EF
=
．
∵
4,
7
EC
BF
=
=
，BF
BE
EC
CF
=
+
+
，
∴
7
4
11
BC
EF
BE
CE
CF
CE
BF
CE
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
，
∴
5.5
BC =
，
∴
5.5 4
1.5
BE
BC
CE
=
−
=
−
=
．
20．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，ADF
BCE
≌
，
40
B
=
，
22
F
=
．
(1)求1
的度数；
(2)若
30
AB =
，
18
AC =
，求CD的长．
【答案】(1)62
(2)6
【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到
22
E
F
=
=
，然后利用三角形外角的性质求解；
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（2）首先求出
30 18
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，然后由全等三角形的性质得到
12
AD
BC
=
=
，然后求解即
可．
【详解】（1）解：∵ADF
BCE
≌
，
22
F
=
，
∴
22
E
F
=
=
，
∴1
22
40
62
E
B
= +=
+
=
；
（2）解：∵
30
AB =
，
18
AC =
，
∴
30 18
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
∵ADF
BCE
≌
，
∴
12
AD
BC
=
=
，
∴
18 12
6
CD
AC
AD
=
−
=
−
=
．
题型06 利用全等三角形的性质求角度
典｜例｜精｜析
21．（25-26 九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知
ABC
DEB
≌
，点E 在AB 上，若
40
A =
∠
，
DBE
=
75 ，则
AED
∠
的度数为（ ）
A．65
B．70
C．105
D．115
【答案】D
【分析】由全等的性质得
40
D
A
= =
，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答．
【详解】解：∵
ABC
DEB
≌
，
40
A =
∠
，
∴
40
D
A
= =
，
∵
DBE
=
75 ，
∴
75
40
115
AED
DBE
D
=
+
=
+
=
．
变｜式｜巩｜固
22．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，BC 的延长线经过点E 且交AD于点
F ．
105
ACB
AED
=
=
，
50
B =
∠
，
10
CAD
=
，则
DEF
的大小为（ ）
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A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】B
【分析】利用邻补角的性质得
75
ACF
=
，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得
95
DFE
AFC
=
=
，利用全等三角形的性质得
50
D
B
= =
，再根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵
105
ACB
=
，
∴
180
75
ACF
ACB
=
−
=
，
∵
10
CAD
=
，
∴
180
180
10
75
95
DFE
AFC
CAD
ACF
=
=
−
−
=
−
−
=
，
∵
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
50
D
B
= =
，
∴
180
180
50
95
35
DEF
D
DFE
=
−
−
=
−
−
=
．
23．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，A、C 、N 三点在同一直线上，在ABC
中，
:
:
3:5:10
A
ABC
ACB
=
，若MNC
ABC
≌
，则
:
BCM
BCN
= ___．
【答案】1:4
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关
键．
根据三角形内角和定理分别求出
A
、
ABC
、
ACB
，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算
即可．
【详解】解：
:
:
3:5:10
A
ABC
ACB
=
，
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
30
A
=
，
50
ABC
=
，
100
ACB
=
，
180
180
100
80
BCN
ACB
=
−
=
−
=
，
MNC
ABC
≌
，
100
MCN
ACB
=
=
，
100
80
20
BCM
MCN
BCN
=
−
=
−
=
，
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:
1:4
BCM
BCN
=
，
故答案为：1:4．
24．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知ABC
DEC
≌
，
ACB
是锐角，
30
B
=
，
60
ACD
=
，延长BA交DE 于点F，交CE 于点G．
(1)判断直线BF 与CE 是否垂直？请说明理由；
(2)若
//
AC DE ，求
DCE
的度数．
【答案】(1)直线BF 与CE 垂直，理由见解析
(2)
30
DCE
=
【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和
差运算．
（1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直；
（2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算．
【详解】（1）解：BF
CE
⊥
．
理由如下：∵ABC
DEC
≌
，
30
B
=
，
60
ACD
=
，
∴
30
B
E
=
=
，
ACB
DCE
=
，
∴
60
BCG
ACB
ACG
DCE
ACG
ACD
=
+
=
+
=
=
，
∴
180
180
30
60
90
BGC
B
BCG
=
−
−
=
−
−
=
，
∴BF
CE
⊥
；
（2）解：由（1）知
30
E
=
，
∵
//
AC DE ，
∴
30
ACG
E
=
=
．
∵
60
ACD
=
，
∴
60
30
30
DCE
ACD
ACG
=
−
=
−
=
．
题型07 利用全等三角形的性质求面积
典｜例｜精｜析
25．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在ABC
中，
90
ACB
=
，将ABC
沿射线AC 方向平移得到
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DEF
，BC 与DE 交于点G，若平移距离为2，
9
EF =
，
3
BG =
，则阴影部分的面积是（ ）．
A．12
B．14
C．15
D．17
【答案】C
【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形
ABC
DEF
S
S
=
，进而得到
EFCG
S
S
=
形
阴影
梯
，再根据平移变化只
改变图形的位置不改变图形的形状可得EF
BC
=
，然后求出CG ，根据平移的距离求出CF
AD
=
，然后利
用梯形的面积公式列式计算即可．
【详解】解：∵将ABC
沿射线AC 方向平移得到DEF
，
∴ABC
DEF
≌
，
∴
ABC
DEF
S
S
=
,
ABC
DCG
S
S
S
=
+
阴影
，
DEF
DCG
EFCG
S
S
S
=
+
梯形
，
∴
EFCG
S
S
=
形
阴影
梯
，
∵将ABC
沿射线AC 方向平移得到DEF
，平移距离为2，
∴
9
EF
BC
=
=
，
2
CF
AD
=
=
，
3
BG =
，
6
CG
BC
BG
=
−
=
，
∴
(
)
1
9
6
2
15
2
EFCG
S
=
+
=
梯形
，
∴
15
EFCG
S
S
=
=
阴影
梯形
．
变｜式｜巩｜固
26．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，
90
CAE
=
，连接BD，若
5
AD = ，则图中
阴影部分的面积为______．
【答案】12.5
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【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到
阴影面积等于ABD
的面积，再利用面积公式即可求解．
【详解】解：∵
ABC
ADE
△
≌△
，
5
AD = ，
∴
ABC
ADE
S
S
=
，
5
AB
AD
=
= ，
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
−
=
−
，即
BAD
CAE
=
，
∵
90
CAE
=
，
∴
90
BAD
CAE
=
=
，
∴
1
1 5 5
12.5
2
2
ABD
S
S
AB AD
=
=
=
=
阴影
．
27．（24-25 八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等
式．例如图1 可以得到
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，请解答下列问题：
(1)若
2
2
4,
2
x
y
x
y
+
=
+
=
，求xy的值：
(2)填空：
①若(3
)
1
x
x
−
= ，则
2
2
(3
)
x
x
+
−
=______；
②若
2
2
(
3)(
4)
2,(
3)
(
4)
x
x
x
x
−
−
=
−
+
−
= ______；
(3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板(
)
90
AOB
COD
=
=
如图2 所示放置，其中,
,
A O D 在一直
线上，连接
,
AC BD ．若
14,
64
AOC
BOD
AD
S
S
=
+
=
△
△
，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②5
(3)17
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几
个变形是解本题的关键．
（1）把
4
x
y
+
=
，
2
2
2
x
y
+
=
代入(
)
2
2
2
2
,
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
轾
+
-
=
+
-
-
-
臌
，再代入求值即可；
②利用完全平方公式变形可得(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
2
2
2
3
4
3
4
2
3
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
−
+
−
−
，再求值即可；
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（3）先证明
90
AOC
BOD
B
O
C
，，，
?
?
?
三点共线，AOB
COD
≌
，可得OA
OC
OB
OD
=
=
，
，结合
已知条件可得
14
OA OD
+
=
，
2
2
1
1
64
2
2
AO
OD
+
=
，再利用
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA OD
OA
OD
?
+
-
+
，求解
2ab，从而可得答案．
【详解】（1）解：
4
x
y
+
=
，
2
2
2
x
y
+
=
，而(
)
2
2
2
2
,
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
2
4
2 2
,
xy
\
=
+
解得：
7
xy =
；
（2）解：①
3
3,
x
x
+ -
=
(
)
3
1
x
x
−
= ，
(
)
2
2
3
x
x
\
+
-
(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
x
x
轾
=
+
-
-
-
臌
9 2 1
7
= -
?
；
故答案为：7；
②
(
)
3
4
3
4
1
x
x
x
x
-
-
-
=
-
-
+
= ，(
)(
)
3
4
2
x
x
−
−
=
，
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
2
2
2
3
4
3
4
2
3
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
−
+
−
−
21
2 2
5
=
+
=
；
故答案为：5；
（3）解：
A
O
D
，，
三点共线，且
90 ,
AOB
COD
=
=
90
AOC
BOD
B
O
C
，，，
\ ?
?
?
三点共线，
∵两块形状和大小完全相同的特制直角三角板(
)
90
AOB
COD
=
=
∴AOB
COD
≌
，
OA
OC
OB
OD
=
=
，
，
14
AD =
，
64
AOC
BOD
S
S
+
=
△
△
，
14
OA OD
\
+
=
，
2
2
1
1
64
2
2
AO
OD
+
=
，
2
2
128
OA
OD
\
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2OA OD
OA OD
OA
OD
\
?
+
-
+
，
2
14
128
68
=
-
=
，
34
OA OD
\
?
，
1
1
17
2
2
AOB
S
OA OB
OA OD
\
=
?
?
．
28．（25-26 八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，
10cm
BA =
，动点P 从点A出发；沿着边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A停止，速度为2cm / s；设运动时
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间为st ．
(1)当
4
t
时，用含t 的代数式表示BP的长；
(2)当t 为何值时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的2
3 ？
(3)如图②，在DEF
中，
90
E
=
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．在ABC
的边上，若另外有一
个动点Q ，与点P 同时从点A出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A停止．在两点运动过程中，某
一时刻恰好APQ
与DEF
全等，点Q 的运动速度为___________cm/s ．
【答案】(1)当4
7
t
时，
(
)
14
2
PB
t cm
=
−
；当7
12
t
≤时，
(
)
2
14
PB
t
cm
=
−
(2)
26
3
t =
或6
(3) 5 cm / s
2
或19 cm / s
10
或8 cm / s
5
或40 cm / s
19
【分析】（1）分两种情况：当4
7
t
时，点P 在BC 边上，当7
12
t
≤时，点P 在AC 边上，即可求解；
（2）分两种情况：当点P 在BC 边上时，当点P 在AB 边上时，即可求解；
（3）根据题意可得点A 和点D 为对应点，设点Q 的运动速度为cm
x
，然后分类讨论：
若APQ
DEF
≌
，此时
5
,
4
AQ
DF
cm AP
DE
cm
=
=
=
=
，当点P 在AC 边，点Q 在AB 边时，
2
,
AP
tcm AQ
xtcm
=
=
；当点Q 在AC 边，点P 在AB 边时，
(
)
(
)
24
2
cm,
24
cm
AP
t
AQ
xt
=
−
=
−
；若
AQP
DEF
≌
，此时
4
,
5
AQ
DE
cm AP
DF
cm
=
=
=
=
，当点P 在AC 边，点Q 在AB 边时，
2
,
AP
tcm AQ
xtcm
=
=
；当点Q 在AC 边，点P 在AB 边时，
(
)
(
)
24
2
cm,
24
cm
AP
t
AQ
xt
=
−
=
−
，结合全等
三角形的性质，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点P 到达点C 所用的运动时间为8
4s
2 =
，到达点B 所用的运动时间为
8
6
7s
2
+
=
，到达点A 所用的运动时间为8
6
10
12s
2
+
+
=
，
当4
7
t
时，点P 在BC 边上，此时
(
)
6
8
2
14
2
cm
PB
t
t
=
+ −
=
−
；
当7
12
t
≤时，点P 在AC 边上，此时
(
)
2
6
8
2
14 cm
PB
t
t
=
−
−
=
−
；
综上所述，当4
7
t
时，
(
)
14
2
cm
PB
t
=
−
；当7
12
t
≤时，
(
)
2
14 cm
PB
t
=
−
；
（2）解：∵
90
C
=
，
6cm
BC =
，
8cm
AC =
，
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∴
2
1
1
6 8
24
2
2
ABC
S
AC
BC
cm
=
=
=
，
如图，当点P 在BC 边上时，
(
)
2
8 cm
PC
t
=
−
，
此时
(
)
(
)
2
1
1 8 2
8
8
32 cm
2
2
ACP
S
AC
PC
t
t
=
=
−
=
−
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的2
3 ，
∴
2
8
32
24
3
t −
=
，
解得：
6
t =
；
如图，当点P 在AB 边上时，过点C 作CK
AB
⊥
于点K，
(
)
6
8 10
2
24
2
cm
AP
t
t
=
+ +
−
=
−
，
此时
(
)
(
)
2
1
1
24
2
12
cm
2
2
ACP
S
AP CK
CK
t
CK
t
=
=
−
=
−
，
∵CK
AB
⊥
，
∴
2
1
24
2
ABC
S
AC CK
cm
=
=
，即
2
1 10
24
2
CK
cm
=
，
∴
24
5
CK
cm
=
，
∵
APC
△
的面积等于ABC
面积的2
3 ，
∴
(
)
24
2
12
24
5
3
t
−
=
，
解得：
26
3
t =
；
综上所述，当
26
3
t =
或6 时，
APC
△
的面积等于ABC
面积的2
3 ；
（3）解：∵
D
A
= ，
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∴点A 和点D 为对应点，
设点Q 的运动速度为cm
x
，
若APQ
DEF
≌
，此时
5
,
4
AQ
DF
cm AP
DE
cm
=
=
=
=
，
如图，当点P 在AC 边，点Q 在AB 边时，
2 cm,
cm
AP
t
AQ
xt
=
=
，
∴2
4,
5
t
xt
=
=
，
∴
2
t =
，
此时
5
2
x =
，
即点Q 的运动速度为5 cm / s
2
；
如图，当点Q 在AC 边，点P 在AB 边时，
(
)
(
)
24
2
cm,
24
cm
AP
t
AQ
xt
=
−
=
−
，
∴24
2
4,24
5
t
xt
−
=
−
= ，
∴
10
t =
，
此时
19
10
x =
，
即点Q 的运动速度为19 cm / s
10
；
若AQP
DEF
≌
，此时
4
,
5
AQ
DE
cm AP
DF
cm
=
=
=
=
，
如图，当点P 在AC 边，点Q 在AB 边时，
2
,
AP
tcm AQ
xtcm
=
=
，
∴2
5,
4
t
xt
=
=
，
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∴
5
2
t =
，
此时
8
5
x =
，
即点Q 的运动速度为8 cm / s
5
；
如图，当点Q 在AC 边，点P 在AB 边时，
(
)
(
)
24
2
cm,
24
cm
AP
t
AQ
xt
=
−
=
−
，
∴24
2
5,24
4
t
xt
−
=
−
=
，
∴
10
t =
，
此时
40
19
x =
，
即点Q 的运动速度为40 cm / s
19
；
综上所述，点Q 的运动速度为5 cm / s
2
或19 cm / s
10
或8 cm / s
5
或40 cm / s
19
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握
全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
题型08 全等三角形的动点问题
典｜例｜精｜析
29．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，CA
AB
⊥
，垂足为点A，
8
AB =
厘米，
4
AC =
厘米，
射线BM
AB
⊥
，垂足为点B ，一动点E 从A点出发以2 厘米/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM
上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED
CB
=
，当点E 离开点A后，运动t 秒时，DEB
与BCA
全等，t 的值可能为（ ）
解题贴士
先设运动时间 t，用含 t 式子表示线段长度，找准全等对应边角。分类讨论动点不同位置，区分相等线
段与对应边，留意公共边、定长线段。验证时间非负，规范写出全等条件，排除不符合题意的解。
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A．2
B．2 或6
C．6 或8
D．2 或6 或8
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E 在线段AB 上
时，②当E 在射线BN 上时；再分别分成两种情况AC
BE
=
，AB
BE
=
，结合已知ED
CB
=
，运用HL 即
可得出DEB
与BCA
全等，然后分别计算AE 的长度即可．
【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC
BE
=
时，ACB
BED
≌
，
4
AC =
，
8
AB =
，
4
BE
AC
=
=
，
8 4
4
AE
= −
=
，
∴点E 的运动时间为4 2
2
=
（秒）；
②当E 在BN 上，AC
BE
=
时，ACB
BED
≌
，
4
AC =
，
4
BE
AC
=
=
，
8
4
12
AE
= +
=
，
∴点E 的运动时间为12 2
6
=
（秒）；
③当E 在线段AB 上，AB
EB
=
时，ACB
BDE
≌
，
这时E 在B 点未动，不合题意舍去；
④当E 在BN 上，AB
EB
=
时，ACB
BDE
≌
，
8 8
16
AE = + =
，
点E 的运动时间为16 2
8
=
（秒），
故选：D．
变｜式｜巩｜固
30．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在ABC
中，已知AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
10cm
BC =
，
直线CM
BC
⊥
，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3cm的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直
线CM 上以每秒2cm的速度运动，连接AD，AE ，设运动时间为t 秒．当ABD
ACE
≌
时，t 的值应为
（ ）
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A．2 或5
B．5 或12
C．2 或10
D．5 或10
【答案】C
【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类
讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，BD
CE
=
，如图，
当点E 在CM 的反向延长线上时DB
CE
=
，由全等三角形的性质求出其解即可．
【详解】解：∵ABD
ACE
≌
，
∴
,
,
,
,
AD
AE AB
AC BD
CE
ABD
ACE
=
=
=
=
如图，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，BD
CE
=
，
∵
2 ,
10
3 ,
CE
t BD
t
=
=
−
∴10
3
2
t
t
−
=
，
∴
2
t =
．
如图，当点E 在CM 的反向延长线上时，
,
,
BD
CE
ABD
ACE
=
?
?
∵
2 ,
3
10
CE
t BD
t
=
=
−
，
∴2
3
10
t
t
=
−
，
∴
10
t =
．
综上所述，当
2
t =
或10时，ABD
ACE
≌
，
故选：C ．
31．（24-25 八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，
10cm
14cm
AD
BD
=
=
，
，
8cm
BC
．动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发沿边AD向点D 匀速移动，动点
Q 以2cm/s的速度从点B 出发沿边BC 向点C 匀速移动，动点M 从点B 出发沿BD向点D 匀速移动，三点
同时出发．当动点M 的速度为_____cm/s时，存在某个时刻，使得以P、D、M 为顶点的三角形与QBM
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全等．
【答案】1.5或2.1
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为st ，动
点M 的速度为cm/s
v
，则
cm
2 cm
cm
AP
t
BQ
t
BM
vt
=
=
=
，
，
，（vt 看成一个整体），进而得到
(
)
(
)
10
cm
14
cm
PD
t
DM
vt
=
−
=
−
，
，再分当DPM
BMQ
≌
时，当DPM
BQM
≌
时，两种情况根据全等
三角形对应边相等建立方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为st ，动点M 的速度为cm/s
v
，
由题意得，
cm
2 cm
cm
AP
t
BQ
t
BM
vt
=
=
=
，
，
，
∴
(
)
(
)
10
cm
14
cm
PD
t
DM
vt
=
−
=
−
，
．
∵AD
BC
，
∴
ADB
DBC
=
．
当DPM
BMQ
≌
时，则DP
BM
DM
BQ
=
=
，
，
∴
10
14
2
t
vt
vt
t
−=
−
=
，
解得
4
t =
，
∴10
4
4v
−
=
，
解得
1.5
v =
．
当DPM
BQM
≌
时，则DP
BQ
DM
BM
=
=
，
，
∴
10
2
14
t
t
vt
vt
−=
−
=
，
解得
10
3
t =
，
∴
10
10
14
3
3
v
v
−
=
，
解得
2.1
v =
．
综上所述，动点M 的速度为1.5cm/s或2.1cm/s，
故答案为：1.5或2.1．
32．（25-26 八年级上·吉林·期末）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
9cm
BC =
，
12cm
AC =
，
15cm
AB =
，动点P 从点A 出发，以3cm/s的速度沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 时停
止，设运动时间为st ．
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(1)当
2
t =
时，AP =______cm；
(2)当点P 在CB 上运动时：
①BP =______cm（用含t 的式子表示）
②当ABC
的周长被线段AP 分为相等的两部分时，求t 的值；
(3)若
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，求t 的值；
(4)如图3，在DEF
中，
90
E
=
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．如图2，在ABC
的边上有另一
个动点Q，与点P 同时从点A 出发，沿边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 时停止；若在运动过程中的某一
时刻，APQ
和DEF
全等，请直接写出此时点Q 的运动速度．
【答案】(1)6
(2)①(
)
21 3t
−
；②
6
t =
(3)
5.5
t =
或9.5
(4)15cm/s
4
或93cm/s
32
或12 cm/s
5
或96cm/s
31
【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类
讨论的思想求解，是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）①根据
(
)
3
BP
AC
BC
t
=
+
−
求解即可．
②根据题意，易得
1
2
ABC
AC
CP
C
+
=
，即点P 的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可；
（3）分点P 为BC 的中点和点P 为AB 的中点两种情况，进行求解即可；
（4）分APQ
DEF
≌
，APQ
DFE
≌
两种情况，再分点P 在AC 上和点P 在AB 上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当
2
t =
时，
3 2
6(cm)
AP =
=
；
故答案为：6；
（2）解：①当点P 在边BC 上，
(
)
(
)
3
21 3 cm
BP
AC
BC
t
t
=
+
−
=
−
；
②由题意，得：
1
2
ABC
AC
CP
C
+
=
，
∴
(
)
1
3
9 12 15
2
t =
+
+
，
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解得：
6
t =
；
故答案为：6；
（3）解：①当点P 为BC 的中点时，AP 为ABC
的中线，则：
1
2
APC
ABC
S
S
=
，
1
12
9
3
5.5
2
t
=
+
=
；
②当点P 为AB 的中点时，CP 为ABC
的中线，则：
1
2
APC
ABC
S
S
=
，
1
12
9
15
3
9.5
2
t
=
+
+
=
；
综上：
5.5
t =
或9.5；
（4）解：①当APQ
DEF
≌
，则：
4cm,
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
当点P 在AC 上时，3
4
t =
，解得：
4
3
t =
，
∴点Q 的速度为：
4
15
5
(cm/s)
3
4
=
；
当点P 在AB 上时，则：
(
)
32
9 12 15
4
3
3
t =
+
+
−
=
，
∴点Q 的速度为：(
)
32
93
15 9 12 5
(cm/s)
3
32
+ +
−
=
；
②当APQ
DFE
≌
时，则：
5cm,
4cm
AP
DF
AQ
DE
=
=
=
=
，
当点P 在AC 上时，3
5
t = ，解得：
5
3
t =
，
∴点Q 的速度为：
5
12
4
(cm/s)
3
5
=
；
当点P 在AB 上时，则：
(
)
31
9 12 15 5
3
3
t =
+
+
−
=
，
∴点Q 的速度为：(
)
31
96
15 9 12
4
(cm/s)
3
31
+ +
−
=
；
综上：点Q 的速度为15cm/s
4
或93cm/s
32
或12 cm/s
5
或96cm/s
31
．
基础通关
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1．（2026·山东济南·二模）如图，ABC
DEF
≌
，
40
B
=
，
80
D
=
，则
F
的度数是（ ）
A．100
B．80
C．60
D．40
【答案】C
【详解】解：∵ABC
DEF
≌
，
40
B
=
，
∴
40
E
B
=
=
∠
∠
，
∵
80
D
=
，
∴
180
60
F
D
E
=
−
−
=
．
2．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知ABC
DEF
≌
，点A与点D ，点B 与点E 分别是对应顶点，若
50
CAB
=
，
65
B
=
，
20cm
BC =
，则
F
的度数及EF 的长分别是（ ）
A．65，20cm
B．50，20cm
C．65，10cm
D．65，15cm
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理得出
180
65
C
A
B
=
−−=
，由全等三角形的性质得出
65
F
C
=
=
，
20cm
EF
BC
=
=
．
【详解】解：∵
50
A
=
，
65
B
=
，
∴
180
65
C
A
B
=
−−=
，
∵ABC
DEF
≌
，
∴
65
F
C
=
=
，
20cm
EF
BC
=
=
．
3．（25-26 七年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形一定全等
B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等
D．两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案．
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【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错
误．
B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误．
C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确．
D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误．
4．（25-26 八年级上·浙江温州·期末）如图，点A，D ，C ，F 依次在同一直线上，ABC
DEF
≌
（点
A，B 分别与点D、E 对应）．若
10
AC =
，
4
CD =
，则CF 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
根据ABC
DEF
≌
得到
10
DF
AC
=
=
，即可求出CF 的长．
【详解】解：∵ABC
DEF
≌
，
10
AC =
，
∴
10
DF
AC
=
=
，
∵
4
CD =
，
∴
6
CF = ．
故选：B．
5．（25-26 八年级上·浙江金华·期中）如图，
ABC
CDE
≌
，B，C，D 三点共线，连接AE ，若
50
B =
∠
，则
AEC
= ________．
【答案】65
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和180，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全
等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质，可知
ACE
△
为等腰三角形，得出
CAE
AEC
=
，根据三角形内角和180，可得出
2
130
AEC
=
，即可求解．
【详解】解：
ABC
CDE
≌
，
ACB
DEC
=
，
D
50
B
= =
，
=
AC CE ，
+
=180
50 =130
BAC
DEC
−
，
CAE
AEC
=
，
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2
360
360
50
50
130
130
AEC
B
D
BAC
DEC
=
−−
−
−
=
−
−
−
=
，
65
AEC
=
．
故答案为：65
6．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，
ABC
DBE
△
≌△
，点D 在AC 边上，若
70
A
=
，则
CDE
的
度数为__________．
【答案】40
【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解
题的关键．
根据题意
ABC
DBE
△
≌△
可知
,
AB
BD
A
BDE
=
=
，利用等腰三角形性质可知
A
BDA
=
，通过
180
BDE
BDA
EDC
+
+
=
即可得到本题答案．
【详解】解：∵
ABC
DBE
△
≌△
，
70
A
=
∴
,
70
AB
BD
A
BDE
=
=
=
，
∴
70
A
BDA
=
=
，
∴
180
70
70
40
CDE
=
−
−
=
，
故答案为：40．
7．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若
1
2
155
+
=
，则
3
的度数
为___________．
【答案】25/25 度
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角
和为360得出1
2
3
360
GAH
EBF
MCN
+
++
++
=
，根据全等三角形的性质得出
EBF
N
=
，
GAH
M
=
，然后结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：三角形的外角和是360，
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1
2
3
360
GAH
EBF
MCN
+
++
++
=
，
三个三角形全等，
EBF
N
=
，
GAH
M
=
，
∵
180
MCN
M
N
+
+
=
，
∴
180
MCN
EBF
GAH
+
+
=
，
1
2
3
360
180
180
+ + =
−
=
，
∵
1
2
155
+
=
，
∴
3
25
=
，
故答案为：25．
8．（25-26 八年级上·福建莆田·期中）如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
5cm
AB =
，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A
C
B
→
→
路径向终点B 运动；动点Q
从点B 出发沿B
C
A
→
→
路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s，两点同时出发
并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．设运动时间为t 秒．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
⊥于
点E，QF
l
⊥于点F，当t = ___________为何值时，PEC
与QFC
全等．
【答案】1 或7
3 或6
【分析】分点Q 在BC 上，点P 在AC 上；点P 与点Q 重合；Q 与A重合三种情况，根据全等三角形的性
质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌
握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵PE
l
⊥，QF
l
⊥，
90
PEC
CFQ
ACB
=
=
=
∴
，
90
CPE
PCE
PCE
FCQ
+
=
+
=
，
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CPE
FCQ
=
；
∵
( )
( )
3
4
3 s
2 s
1
2
=
=
，
，
∴点P 运动3 秒到达点C，点Q 运动2 秒到达点C；
①如图1，当点Q 在BC 上，点P 在AC 上时，
由题意得，
cm
AP
t
=
，
2 cm
BQ
t
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
(
)
3
cm
CP
AC
AP
t
=
−
=
−
，
(
)
4
2
cm
CQ
BC
BQ
t
=
−
=
−
，
∵PEC
与QFC
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即3
4
2
t
t
−=
−
，
解得
1
t = ；
②如图2，当点P 与点Q 重合时，则CP
CQ
=
，此时满足
PEC
QFC
△
≌△
，
∵
(
)
2
4 cm
CQ
t
=
−
，
3
2
4
t
t
−=
−，
解得
7
3
t =
；
③如图3，当点Q 与A重合时，
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∵PEC
与QFC
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即
3
3
t −= ，
解得
6
t =
；
综上所述：当
1
t = 或
7
3
t =
或
6
t =
时，PEC
与QFC
全等．
故答案为：1 或7
3 或6．
9．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，
ADF
CBE
△
≌△
，且点E
B
D
F
、、、
在同一条直线上．
(1)试判断AF 与EC 的位置关系，并说明理由．
(2)线段BF 与线段DE 相等吗？说明理由．
【答案】(1)
解：AF
EC
∥
，理由如下：
∵
ADF
CBE
△
≌△
，
∴
F
E
= ，
∴AF
EC
∥
；
(2)
解：BF
DE
=
，理由如下：
∵
ADF
CBE
△
≌△
，
∴DF
BE
=
，
∴DF
BD
BE
BD
+
=
+
，
即BF
DE
=
．
【分析】（1）由全等三角形的性质得
F
E
= ，再根据平行线的判定即可求证；
（2 ）利用全等三角形的性质解答即可求证；
本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）略
10．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）如图，
ADC
AFB
△
≌△
，连接BC ，BF 与CD交于点E ，
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AD BF
∥
，
25
DAB
=
，
75
FEC
=
．
(1)求
FAC
的度数；
(2)求
DAF
的度数．
【答案】(1)25
(2)105
【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性
质是解题关键．
（1）先根据全等三角形的性质可得
DAC
FAB
=
，再根据角的和差可得
DAB
FAC
=
，由此即可
得；
（2）先根据平行线的性质可得
25
ABF
DAB
=
=
，
75
D
FEC
=
=
，再根据全等三角形的性质可得
25
ACD
ABF
=
=
，然后根据三角形的内角和定理可得
80
DAC
=
，最后根据
DAF
DAC
FAC
=
+
求解即可得．
【详解】（1）解：∵
ADC
AFB
△
≌△
，
∴
DAC
FAB
=
，
∴
DAC
BAC
FAB
BAC
−
=
−
，
∴
DAB
FAC
=
，
∵
25
DAB
=
，
∴
25
FAC
=
．
（2）解：∵AD BF
∥
，
25
DAB
=
，
75
FEC
=
，
∴
25
ABF
DAB
=
=
，
75
D
FEC
=
=
，
∵
ADC
AFB
△
≌△
，
∴
25
ACD
ABF
=
=
，
∴
180
80
DAC
D
ACD
=
−
−
=
，
由（1）已得：
25
FAC
=
，
∴
80
25
105
DAF
DAC
FAC
=
+
=
+
=
．
素养提升
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11．（25-26 八年级上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．面积相等的两个三角形是全等图形
B．三角形的外角一定大于内角
C．对应角都相等的两个三角形全等
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【分析】本题考查了真假命题的判断，全等图形的判定，三角形外角的性质．
通过反例判断A、B、C 均为假命题，D 符合全等形的定义．
【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等，如底为4 高为3 与底为2 高为6 的三角形，面积均为6
但不全等，A 是假命题．
三角形的外角不一定大于每一个内角，如钝角三角形中，钝角的相邻外角小于该钝角，B 是假命题．
对应角都相等的两个三角形边不一定相等，即不一定全等，C 是假命题．
全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，D 是真命题．
故选：D．
12．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，
ABC
DEC
≌
△
△
，点B、C、D 在同一条直线上，点E
在AB 上，若
48
B
=
，
36
D
=
，则
ACE
的度数是（ ）
A．10
B．12
C．15
D．18
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意找出图形中的角度关系是解题关
键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，得到
96
ACB
DCE
=
=
，再根据
180
ACE
ACB
DCE
=
+
−
求解即可．
【详解】解：∵
ABC
DEC
≌
△
△
，
48
B
=
，
36
D
=
，
∴
36
D
A
= =
，
ACB
DCE
=
，
∴
180
96
ACB
A
B
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴
96
DCE
=
，
180
12
ACE
ACB
DCE
=
+
−
=
，
故选：B．
13．（25-26 八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，
8cm
BC =
，
60
PBC
QCB
=
=
，点M 在线段CB 上以
3cm / s的速度由点C 向点B 运动，同时，点N 在射线CQ 上以1cm / s 的速度运动，它们运动的时间为(s)
t
（当点M 运动结束时，点N 运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M
N
、
运动到某处时，有ABM
与
MCN
△
全等，则此时AB 的长度为（ ）
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A．6cm
B．4cm 或4 cm
3
C．4 cm
3
D．6cm或4 cm
3
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，设运动时间为st ，根据题意得到
3 cm
CM
t
=
，
cm
CN
t
=
，则
(
)
8
3 cm
BM
BC
CM
t
=
−
=
−
，分①当
N
ABM
MC
△
≌
时，②当
ABM
NCM
≌
时两种情况，然后通过全等三角形的性质列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】解：设运动时间为st ，
∵点M 在线段CB 上以3cm / s的速度由点C 向点B 运动，同时，点N 在射线CQ 上以1cm / s 的速度运动，
∴
3 cm
CM
t
=
，
cm
CN
t
=
，则
(
)
8
3 cm
BM
BC
CM
t
=
−
=
−
，
∵
60
PBC
QCB
=
=
，
∴①如图，当
N
ABM
MC
△
≌
时，
∴BM
CN
=
，
3 cm
AB
MC
t
=
=
，
∴8 3t
t
−
= ，解得：
2
t =
，
∴
6cm
AB =
；
②如图，当ABM
NCM
≌
时，
∴BM
CM
=
，
cm
AB
NC
t
=
=
，
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∴8 3
3
t
t
−
=
，解得：
4
3
t =
，
∴
4 cm
3
AB =
；
综上可得：AB 的长度为6cm或4 cm
3
，
故选：D ．
14．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在ABC
中，已知AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
10cm
BC =
，
直线CM
BC
⊥
，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3cm的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直
线CM 上以每秒2cm的速度运动，连接AD，AE ，设运动时间为t 秒．当ABD
ACE
≌
时，t 的值应为
（ ）
A．2 或5
B．5 或12
C．2 或10
D．5 或10
【答案】C
【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类
讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，BD
CE
=
，如图，
当点E 在CM 的反向延长线上时DB
CE
=
，由全等三角形的性质求出其解即可．
【详解】解：∵ABD
ACE
≌
，
∴
,
,
,
,
AD
AE AB
AC BD
CE
ABD
ACE
=
=
=
=
如图，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，BD
CE
=
，
∵
2 ,
10
3 ,
CE
t BD
t
=
=
−
∴10
3
2
t
t
−
=
，
∴
2
t =
．
如图，当点E 在CM 的反向延长线上时，
,
,
BD
CE
ABD
ACE
=
?
?
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∵
2 ,
3
10
CE
t BD
t
=
=
−
，
∴2
3
10
t
t
=
−
，
∴
10
t =
．
综上所述，当
2
t =
或10时，ABD
ACE
≌
，
故选：C ．
15．（25-26 八年级上·浙江舟山·期中）如图，点E 在AC 上，
ABC
DAE
△
≌△
，
3
BC = ，
7
DE =
，则CE 的
长为______．
【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的性质，由
ABC
DAE
△
≌△
，则
3
AE
BC
=
=
，
7
AC
DE
=
=
，然后通过线
段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
ABC
DAE
△
≌△
，
3
BC = ，
7
DE =
，
∴
3
AE
BC
=
=
，
7
AC
DE
=
=
，
∴CE
AC
AE
=
−
= −=
7 3
4，
故答案为：4 ．
16．（24-25 八年级上·山西晋城·期中）如图，在ABC
中，F，G 分别是AB ，AC 上的点，
ACF
ADF
≌
，
ABG
AEG
△
≌△
，且DF
GE
，BG
CF
、
交于点H．若
35
BAC
=
，则
BHC
的度数
是_______．
【答案】110/110 度
【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角
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性质，是解题的关键．
延长EG 交AB 于点Q ，交AD于点P ．根据全等三角形性质，得
35 ,
35
DAF
BAC
EAG
BAC
=
=
=
=
，
,
D
ACF
E
ABG
=
=
，得
105
PAE
=
，得
75
APE
E
+
=
．根据平行线性质得
APE
D
= ，得
75
ABG
ACF
+
=
．根据三角形外角性质得
110
BHC
ABG
BAC
ACF
=
+
+
=
．
【详解】解：如图，延长EG 交AB 于点Q ，交AD于点P ．
,
,
35
ACF
ADF
ABG
AEG
BAC
=
≌
≌
△
△
△
△
，
35 ,
35 ,
,
DAF
BAC
EAG
BAC
D
ACF
E
ABG
=
=
=
=
=
=
，
105
PAE
=
，
75
APE
E
+
=
，
DF
GE
∥
，
DF
EP
∥
，
APE
D
=
，
APE
ACF
=
，
75
ABG
ACF
+
=
，
BFH
BAC
ACF
=
+
，
75
35
110
BHC
ABG
BFH
ABG
BAC
ACF
=
+
=
+
+
=
+
=
，
故答案为：110．
17．（24-25 八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图， 在ABC
中， 已知AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
10cm
BC =
， 直线CM
BC
⊥
， 动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3cm的速度运动，动点E 也同时
从点C 开始在直线CM 上以每秒2cm 的速度运动，连接AD
AE
、
，设运动时间为t 秒．
（1）BD的长为________ cm(用含 t 的式子表示)
（2）当ABD
ACE
≌
时， t 的值应为________．
【答案】 10
3t
−
2 或10
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【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质：
（1）由题意得，
3 cm
CD
t
=
，
10cm
BC =
，再根据线段的和差关系求解即可；
（2）分两种情况讨论，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，当点E 在CM 的反向延长线上，D 在CB 延
长线上时，根据全等三角形的性质得到DB
CE
=
，据此建立方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
3 cm
CD
t
=
，
10cm
BC =
，
∴
10
3 cm
BD
BC
CD
t
=
−
=
−
，
故答案为：10
3t
−
；
（2）∵ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
=
如图，当点E 在射线CM 上时，D 在CB 上，
∵
(
)
2 cm
10
3 cm
CE
t
BD
t
=
=
−
，
∴10
3
2
t
t
−
=
，
∴
2
t =
．
如图，当点E 在CM 的反向延长线上时，D 在CB 延长线上时，
∵
(
)
2 cm
3
10 cm
CE
t
BD
t
=
=
−
，
，
∴2
3
10
t
t
=
−
，
∴
10
t =
．
综上所述，当
2
t =
或10时，ABD
ACE
≌
，
故答案为：2 或10.
18．（25-26 八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图所示，A，D，E 三点在同一直线上，且
BAD
ACE
≌
△
△
，
试说明：
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(1) BD
DE
CE
=
+
；
(2) ADB
满足什么条件时，BD
CE．
∥
【答案】(1)
证明：∵
BAD
ACE
△
△
≌
，
∴AD
CE
=
，BD
AE
=
，
∵A，D，E 三点在同一直线上，
∴AE
AD DE
=
+
，
∴BD
DE
CE
=
+
；
(2)
90
ADB
=
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等．
（1）利用全等三角形的性质可得AD
CE
=
，BD
AE
=
，然后再等量代换即可；
（2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可．
【详解】（1）略
（2）解：当
90
ADB
=
时，BD
CE
∥
，
∵
BAD
ACE
△
△
≌
，
∴
90
ADB
E
=
=
，
∴
90
BDE
E
=
=
∴BD
CE
∥
．
19．（25-26 八年级上·山东威海·阶段检测）如图所示，在ABC
中，
10cm
AB
AC
=
=
，
8cm
BC =
，D 为
AB 的中点．如果点P 在线段BC 上，由点B 出发向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 出发向点A
运动．设运动时间为( )s
t
．
(1)若点P 的速度为3cm/s ，则( )
t s 时，BP =______，CP = ______( 用含t 的代数式表示)．
(2)在（1）的条件下，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过几秒时
BPD
△
与
CQP
△
全等？请说
明理由．
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【答案】(1)3tcm，(
)
8
3
cm
t
−
，
(2)经过1 秒时
BPD
△
与
CQP
△
全等，见解析
【分析】本题考查了列代数，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题
的关键．
（1）根据题意即可得到结论；
（2）分两种情况讨论：①当
BPD
CPQ
△
≌△
时；②当BPD
CQP
≌
时，根据全等三角形的性质求得对
应边的长度，结合点Q 运动速度与点P 的运动速度相等验证，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点P 的速度为3cm/s ，
8cm
BC =
∴
3 cm
BP
t
=
，
(
)(
)
8
3
cm
CP
BC
BP
t
=
−
=
−
，
故答案为：3 cm
t
，(
)
8
3
cm
t
−
，
（2）解：经过1 秒时
BPD
△
与
CQP
△
全等，
理由如下：
∵
10cm
AB
AC
=
=
，
∴
B
C
=
，
①当
BPD
CPQ
△
≌△
时，则BP
CP
=
，BD
CQ
=
，
∵
8cm
BC =
，
∴
1
4cm
2
BP
PC
BC
=
=
=
，
∵点D 为AB 的中点，
∴
1
5cm
2
BD
AB
CQ
=
=
=
，
又∵点Q 运动速度与点P 的运动速度相等，
∴BP
CQ
=
，
∵4
5
，
∴这种情况不成立；
②当BPD
CQP
≌
时，则BP
CQ
=
，BD
CP
=
，
∵点D 为AB 的中点，
∴
5cm
BD
CP
=
=
，
∴
8
5
3cm
BP
CQ
BC
CP
=
=
−
=
−
=
，
∵点P 的速度为3cm/s ，点Q 运动速度与点P 的运动速度相等，
∴
1
t = ；
综上，若点Q 运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒钟
BPD
△
与
CQP
△
全等．
20．（24-25 八年级上·安徽安庆·阶段检测）在ABC
中，
90
C
=
，
9cm
BC =
，
12cm
AC =
，
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15cm
AB =
．现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC
CB
BA
→
→
运动，回到点A 时停止，速度为
3cm/s ，设运动时间为st ．
(1)如图1，当
2
t =
时，CP = _____cm；当4
7
t
时，CP = _____cm（用含t 的式子表示）．
(2)如图1，当
APC
△
的面积等于ABC
的面积的一半时．
①若点P 在BC 上，则CP = _____cm；
②若点P 在BA上，求t 的值．
(3)如图2，在DEF
中
90
E
=
，
4cm
DE =
，
5cm
DF =
，
D
A
= ．在ABC
的边上，若有一个动点
Q，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB
BC
CA
→
→
运动，回到点A 时停止．若在两点运动过程中的某一
时刻，恰好APQ
DEF
≌
．求点Q 的运动速度．
【答案】(1)6；(
)
3
12
t −
(2)①4.5 ；②t 的值为19 s
2
；
(3)Q 运动的速度为15cm/s
4
或93cm/s
32
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰
的分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）利用速度乘时间即可求解；
（2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（3）设点Q 的运动速度为cm/ s
x
，然后分点P 在AC 上，点Q 在AB 上；点P 在AB 上，点Q 在AC 上两
种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：当
2
t =
时，
(
)
12
3 2
6 cm
CP
AC
AP
=
−
=
−
=
，
当4
7
t
时，点P 在BC 上，
(
)
3
12 cm
CP
t
=
−
；
故答案为：6；(
)
3
12
t −
；
（2）解：①如图，当P 在BC 上，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
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∴
1
4.5cm
2
CP
BC
=
=
，
故答案为：4.5 ，
②当P 在AB 上时，如图，
APC
△
的面积等于ABC
面积的一半，
∴
7.5
AP
BP
=
=
，
∴
( )
12
9
7.5
19 s
3
2
t
+ +
=
=
，
t 的值为19 s
2
；
（3）解：设点Q 的运动速度为cm/ s
x
，
①当点P 在AC 上，点Q 在AB 上，APQ
DEF
≌
时，
4cm
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
，
∴4 3
5
x
= ，解得
15 cm/s
4
x =
；
②当点P 在AB 上，点Q 在AC 上，APQ
DEF
≌
时，
4cm
5cm
AP
DE
AQ
DF
=
=
=
=
，
，
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∴点P 的路程为9 12 15 4
32cm
+
+
−
=
，点Q 的路程为9 12 15 5
31cm
+
+
−=
，
∴32 3
31 x
=
，解得
93cm/s
32
x =
；
∴Q 运动的速度为15cm/s
4
或93cm/s
32
．
迁移创新
21．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）如图，
4cm
AB =
，
6cm
BC =
，
B
C
=
，如果点P 在线段BC 上以
1 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 从C 点出发沿射线CD运动．若经过t 秒后，ABP
与
CQP
△
全等，则t 的值是（ ）
A．2
B．4
C．2 或3
D．2 或4
【答案】C
【分析】根据题意可分两种情况：
ABP
PCQ
△
≌△
和
ABP
QCP
△
≌△
，根据全等三角形的性质讨论求解即
可．
【详解】解：∵
B
C
=
，
∴当ABP
与
CQP
△
全等时，只存在
ABP
PCQ
△
≌△
和
ABP
QCP
△
≌△
这两种情况，
当
ABP
PCQ
△
≌△
时，则
4cm
CP
AB
=
=
，
∴
2cm
BP
BC
CP
=
−
=
，
∴
2
2
1
t =
=
；
当
ABP
QCP
△
≌△
时，则
1
3cm
2
BP
CP
BC
=
=
=
，
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∴
3
3
1
t =
=
；
综上所述，t 的值为2 或3．
22．（25-26 七年级下·河南鹤壁·期末）如图，在ABC
中，AC
AB
，现将ABC
沿BC 方向平移得到
DEF
，DE 与AC 交于点M ，以下说法正确的是（ ）
①当
90
CME
=
时，点B 到AC 的距离为线段BC 的长；
②当
2
25
F
ABC
=
−
，
170
DEF
ACB
+
=
时，则
65
ABC
=
；
③四边形ABEM 与四边形DMCF 的周长差为(
)
2 EM
CM
−
；
④四边形ABEM 与四边形DMCF 的面积相等．
A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】A
【分析】根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：由平移可知
//
AB DE，
90
CME
=
，
90
A
CME
=
=
，
BA
AC
⊥
，
点B 到AC 的距离为线段AB 的长，
故①错误；
由平移可知
ACB
F
= ，
ABC
DEF
=
，
2
25
F
ABC
=
−
，
2
25
ACB
ABC
=
−
，
170
DEF
ACB
+
=
，
170
ABC
ACB
+
=
，
2
25
170
ABC
ABC
+
−
=
，
65
ABC
=
，
故②正确；
由平移可知AB
DE
=
，BC
EF
=
，AC
DF
=
，
BE
CF
BC
EC
=
=
−
，AM
AC
CM
=
−
，DM
DE
EM
=
−
，
四边形ABEM 的周长是AB
BE
EM
AM
+
+
+
，四边形DMCF 的周长是DF
DM
CM
CF
+
+
+
，
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四边形ABEM 的周长是AB
BE
EM
AM
AB
BE
AC
CM
AM
+
+
+
=
+
+
−
+
，
四边形DMCF 的周长是DF
DM
CM
CF
DF
DE
EM
CM
CF
+
+
+
=
+
−
+
+
，
四边形ABEM 与四边形DMCF 的周长差为
(
) (
)
(
)
2
AB
BE
AC
CM
EM
DF
DE
EM
CM
CF
EM
CM
+
+
−
+
−
+
−
+
+
=
−
，
故③正确；
由平移可知ABC
DEF
≌
，
ABC
DEF
S
S
=
，
ABC
MEC
ABEM
S
S
S
=
−
四边形
，
DEF
MEC
DMCF
S
S
S
=
−
四边形
，
ABEM
DMCF
S
S
=
四边形
四边形
，
故④正确；
综上所述，说法正确的是②③④．
23．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）ABC
中，
10
AB
AC
=
=
厘米，
12
BC =
厘米，点D 为AB 的中
点．如果点P 在线段BC 上以2 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A点运
动．若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当
BPD
△
与
CQP
△
全等时，v 的值为________．
【答案】2 或5
3
【分析】根据
BPD
△
与
CQP
△
全等时，对应边相等列式求解即可 ．
【详解】解：∵ABC
中，
10
AB
AC
=
=
厘米，
12
BC =
厘米，点D 为AB 的中点．
∴
B
C
=
，
5
AD
BD
=
=
厘米，
设运动时间为t 秒，
则
2
BP
t
=
，
12
2
CP
t
=
−
，CQ
vt
=
，
当
BPD
△
与
CQP
△
全等时，有
B
C
=
，
当BD
CQ
=
，BP
CP
=
时，
则
5
2
12
2
vt
t
t
=
=
−
，解得
5
3
3
v
t
=
=
；
当BD
CP
=
，BP
CQ
=
时，
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则
2
5
12
2
vt
t
t
=
=
−
，解得
2
7
2
v
t
=
=
，
综上，当
BPD
△
与
CQP
△
全等时，v 的值为2 或5
3 ．
24．（25-26 七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知ABC
DEF
ABC
≌
，
的三边长度为4、x
y
+
和2x ，DEF
的三边长度为6
2
x
x
y
+
、、
，则ABC
的周长是____ ．
【答案】18
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，
得到三角形三边长后计算周长即可．
【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的
解，得到三角形三边长后计算周长如下：
情况1：列方程组
4
6
2
2
x
x
y
x
y
x
=
=
+
+
=
，解得
4
2
x
y
=
=
，
此时△ABC 的三边长为4，
6
x
y
+
=
，2
8
x = ，满足三角形三边关系，符合题意；
情况2：列方程组
4
2
6
2
x
x
x
y
x
y
=
=
+
=
+
，由2
6
x =
得
3
x = ，与
4
x = 矛盾，舍去；
情况3：列方程组
2
6
2
4
x
x
x
y
x
y
=
=
+
+
=
，
由
2
x
x
=
得
0
x =
，边长不能为0，不符合题意，舍去；
情况4：列方程组
2
6
2
4
x
x
y
x
x
y
=
+
=
+
=
，
由x
x
y
=
+
得
0
y =
，则
2
4
x
y
x
+
=
=
，此时2
2 4
8
x = =
，这与2
6
x =
矛盾，舍去，
故ABC
的周长为4
6 8
18
+ + =
．
25．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
12
8
C
AC
BC
=
=
=
，
,
，动点P 从点A出发，
沿A C
A
−
−
以每秒2 个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q 从点C 出发，沿C
B
C
−
−
以每秒1 个单
位长度的速度做往返运动（到达B 后立即沿BC 返回C ），连接PQ ．当点P 到达点A时，P
Q
、
同时停止运
动．设点P 的运动时间为t 秒（
0
t
）．
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(1)在点P 从A运动到C 的过程中，线段CP 的长为______；（用含t 的代数式表示）
(2)当点P 与点C 重合时，求线段BQ 的长；
(3)当CPQ
为等腰直角三角形时，求t 值；
(4)分别过点P
Q
、
作PD
AB
⊥
于点D ，QE
AB
⊥
于点E ．当APD
QBE
≌
时，直接写出t 的值．
【答案】(1)12
2t
−
(2)2
(3)4 或28
3
(4) 8
3 或32
3
【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论
的思想进行求解是解题的关键．
（1）用AC 的长减去点P 运动的路程即可得到答案；
（2）当点P 与点C 重合时求得
6
t =
，则可证明此时点Q 从点C 运动到点B 的途中，由BQ
BC
CQ
=
−
即
可求解；
（3）分三种情况：0
6
t
，6
8
t
和8
12
t
，根据等腰直角三角形的定义可得CP
CQ
=
，据此建立
方程求解即可；
（4）分三种情况：0
6
t
，6
8
t
和8
12
t
，由全等三角形的性质可得AP
BQ
=
，据此建立方程求
解即可．
【详解】（1）解：由题意得
2
PA
t
=
，
∴
12
2
CP
AC
PA
t
=
−
=
−
；
（2）解：当点P 与点C 重合时，
12
6
2
t =
=
，
∴点Q 的运动路程为1 6
6
=
，
∵
8
6
BC =
，
∴当点P 与点C 重合时，点Q 在从点C 运动到点B 的途中，
∴
8
6
2
BQ
BC
CQ
=
−
=
−
=
；
（3）解：点P 从点A 运动到点C 的时间为12
6
2 =
秒，点P 从点A 出发再回到点A 的时间为12 12
12
2
+
=
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秒，当点Q 在从C 运动到点B 的时间为8
8
1
=
秒，
∵
90
C
=
，CPQ
是等腰直角三角形，
∴CP
CQ
=
；
当0
6
t
时，则12
2t
t
−
= ，解得
4
t =
，
当6
8
t
时，则(
)
2
6
t
t
−
= ，解得
12
t =
（舍去）；
当8
12
t
时，则(
)
(
)
2
6
8
8
t
t
−
=
−
−
，解得
28
3
t =
；
综上所述，t 的值为4 或28
3 ；
（4）解：当0
6
t
时，∵APD
QBE
≌
，
∴AP
QB
=
，
∴2
8
t
t
= −，
解得
8
3
t =
；
当6
8
t
时，∵APD
QBE
≌
，
∴AP
QB
=
，
∴
(
)
12
2
6
8
t
t
−
−
=
−，
解得
16
t =
（舍去）；
当8
12
t
时，∵APD
QBE
≌
，
∴AP
QB
=
，
∴
(
)
12
2
6
8
t
t
−
−
= −，
解得
32
3
t =
；
综上所述，t 的值为8
3 或32
3 ．
