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13.2 三角形有关的线段
课标要点
1.探索并说明（或证明）三角形任意两边之和大于第三边，能运用该关系判断三条线段
能否构成三角形，或已知两边求第三边的取值范围。
2.理解三角形中线、高线、角平分线的概念，能画出任意三角形（锐角、直角、钝角）
的中线、高线、角平分线。
3.了解三角形重心的概念（三角形三条中线交于一点即重心）。
4.了解三角形的稳定性及其在生产生活中的简单应用。
学习重难点
重点：
1.三角形三边关系的理解与运用（判断、求取值范围）。
2.三角形高、中线、角平分线的概念及画法（特别是钝角三角形高的位置）。
3.三角形稳定性的直观认识及应用举例。
难点：
1.钝角三角形高的画法与前两高的位置辨析,钝角三角形中，两条高落在三角形外部，
学生容易画错或找不到垂足。
2.三边关系中"任意"二字的理解及逆向应用,已知两边长求第三边取值范围时，易忽略
需同时满足三个不等式（或忘记用"两边之差＜第三边＜两边之和"）。
3.用符号语言规范表述中线、角平分线、高等比例关系与等量关系
第十三章
三角形
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知识点一 三角形的三边关系
1．三角形三边满足的条件
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边
符号语言：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶 ；𝐵𝐶+ 𝐴𝐵> 𝐴𝐶；𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐵
𝐴𝐵−𝐴𝐶> 𝐵𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐵> 𝐴𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐶> 𝐴𝐵
方法指导：
即学即练
．．．．
1． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6
B．2，5，8
C．3，5，7
D．9，2，2
2．下列各组线段，无法构成三角形的是（ ）
A．5,7,9
B．2𝑛, 3𝑛, 4𝑛ሺ𝑛> 0ሻ
C．𝑚+ 1, 𝑚+ 2, 𝑚+ 3ሺ𝑚> 0ሻ
D．6,8,15
3．长为100cm,70cm, 50cm, 30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法．
知识点二 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
即学即练
．．．．
1． 北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共
设计了112 对224 根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（ ）．
特别提醒
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成
三角形;若不满足，则不能构成三角形.
特别提醒
怎样判断一个图形是否具有稳定性
从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个
图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性
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A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
2．列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．活动衣架
B．拉杆
C．三脚架
D．太阳能热水器
3． 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点三 三角形中线、角平分线、高线
一、高
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
2.三角形的面积𝑆=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
3.等底,等高的三角形面积相等
4.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
5.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
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二、中线
1、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB =
1
2 𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
2、∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
3、中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
4.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为▲ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点
又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
三、角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的
角平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶(三角形角平分线的定义)
∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷
四、三角形的中线、角平分线、高的数量和位置
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即学即练
．．．．
1． （24-25 八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐴𝐷、中线𝐵𝐸相交于点𝑂，则① 𝐴𝑂
是△𝐴𝐵𝐸的角平分线；② 𝐵𝑂是△𝐴𝐵𝐷的中线；③ 𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐶的中线；④ 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，其中结论正
确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐹，𝐵𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶边上的中线．已知𝐴𝐸= 2，𝐴𝐹= 3，且△𝐴𝐵𝐶的周长为
15，𝐵𝐶边上的高为3.96，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
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3．已知𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为线段𝐴𝐷上一点．
（1）如图1，若𝐴𝐵−𝐴𝐶= 3，△𝐴𝐷𝐶的周长为10，求△𝐴𝐵𝐷的周长；
（2）若△𝐵𝐷𝐸的面积为20，𝐵𝐷= 8，请在图2 中作△𝐵𝐷𝐸的𝐵𝐷边上的高，并求出点𝐸到直线𝐵𝐶的距
离；
（3）如图3，若∠𝐴𝐵𝐷= 40°，∠𝐴𝐷𝐵= 110°，射线𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，点𝑃是射线𝐵𝐸上一点，且直线𝐷𝑃与△
𝐵𝐷𝐸的一条边所在的直线垂直，请直接写出∠𝐵𝐷𝑃的度数．
题型01 利用三边关系解决问题
典｜例｜精｜析若a、b、c 为三角形的三边长，且a、b 满足|𝑎−3| + ሺ𝑏−2ሻ2 = 0，则第三边长c 的取
解题贴士
已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
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值范围是_____．
变｜式｜巩｜固
1．（2022 八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，𝐴𝐵= 5，𝐶𝐷= 3，𝐵𝐶= 11，用小钉子把木棒𝐴𝐵和𝐵𝐶，
𝐵𝐶和𝐶𝐷分别在端点𝐵，𝐶处连接起来，用橡皮筋把𝐴𝐷连接起来．
（1）设橡皮筋𝐴𝐷的长为𝑥，则𝑥的最大值是________，最小值是_______．
（2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长𝑥的取值范围是________．
（3）连接𝐴𝐶，若𝐴𝐷= 4，𝐴𝐶的长为整数，则𝐴𝐶的长是_______．
2．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶的三边分别为a，b，c，且𝑎= 4，𝑏= 6．
(1)若c 的长为小于6 的偶数，求c 的长；
(2)在（1）的条件下，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
题型02 等腰三角形的边长与周长
典｜例｜精｜析（1）等腰三角形的两条边长分别为4 和7，则这个等腰三角形的周长是_____
（2）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______．
（3）已知一个等腰三角形的三边长分别为3𝑥−2，4𝑥−3，7，则这个等腰三角形的周长为__________
变｜式｜巩｜固
3.（22-23 八年级上·天津南开·期中）在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，一腰上的中线𝐵𝐷将三角形的周长分
解题贴士
等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫做底.
熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构
成三角形
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成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
4.用一根长度为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3 倍，求各边长；
(2)所围成的等腰三角形的一边长为5cm，求另两边长．
(3)若所围成的等腰三角形的腰长为𝑎cm，请直接写出a 的取值范围．
题型03 利用三边关系化简求值
典｜例｜精｜析已知2，𝑎−1，4 是三角形的三边长，化简|𝑎−3| + |𝑎−7| =______．
变｜式｜巩｜固
5.（25-26 七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c 是三角形的三边，化简|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| −
|𝑐−𝑎−𝑏| =___________．
6.（25-26 七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，化简|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑐−𝑎−𝑏| +
解题贴士
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值
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|𝑎|的结果为____．
题型04 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意三条线段都可以围成三角形
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条高一定相交于一点
D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
变｜式｜巩｜固
7.（24-25 八年级上·山东德州·期中）如图所示，𝐵𝐷，𝐵𝐸，𝐵𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高、角平分线和中线，则下
列选项中错误的是（ ）
A．𝐴𝐸= 𝐸𝐶
B．∠𝐴𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶
C．𝐴𝐶= 2𝐶𝐹
D．𝐵𝐷⊥𝐶𝐷
8.（25-26 七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．钝角三角形有两条高在三角形内部
B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部
C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部
D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部
解题贴士
本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中
线及重心的定义
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题型05 与三角形的高有关的计算
典｜例｜精｜析（22-23 八年级上·湖北恩施·期中）如图，𝐴𝐷，𝐶𝐸是三角形△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵=
4cm，𝐵𝐶= 8cm，𝐶𝐸= 6cm，𝐴𝐷的长为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
变｜式｜巩｜固
9．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 6，𝐵𝐶边上的高𝐴𝐷= 3，𝐵𝐷= 2，则△𝐴𝐶𝐷的面
积是___________．
10．（25-26 九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 10，
𝐵𝐷= 2𝐶𝐷，则𝐷𝐶长为________．
解题贴士
1.三角形的面积𝑆=
1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
2.等底,等高的三角形面积相等
3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
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题型06 三角形中线分周长问题
典｜例｜精｜析（24-25 七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，
（1）若𝐴𝐵= 5cm，𝐴𝐶= 3cm，则△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长多__________cm．
（2）𝐴𝐵= 8,𝐴𝐶= 6,△𝐴𝐶𝐷的周长为24，则△𝐴𝐵𝐷的周长为__________．
（3）△𝐴𝐷𝐶的周长是18cm，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，𝐴𝐵= 6cm，则𝐴𝐶=______cm．
(4)如图，△𝐴𝐵𝐶的三边长均为整数，且周长为22，D 为边𝐵𝐶的中点，△𝐴𝐵𝐷的周长比△𝐴𝐶𝐷的周长长2，
求边𝐵𝐶的长．
变｜式｜巩｜固
11.已知等腰三角形的底边长为10cm，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长
4cm，那么三角形的腰长为________．
解题贴士
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
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12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中ሺ𝐴𝐵> 𝐵𝐶ሻ，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成70 和50 两部分，求
𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
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题型07 三角形中线平分面积问题
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·山东临沂·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐴𝐸的中
点，若阴影部分的面积为4，则△𝐴𝐵𝐶的面积是（ ）
A．32
B．36
C．28
D．30
变｜式｜巩｜固
13．（25-26 七年级下·河南周口·期末）如图，𝐴𝐸，𝐵𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高和中线，已知𝑆△𝐴𝐵𝐹= 6，𝐴𝐸=
4，则𝐵𝐶的长为（ ）
解题贴士
1.中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
2.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为▲ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。
（交点又叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
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A．3
B．6
C．8
D．12
14．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷经过△𝐴𝐵𝐶的重心𝐺交𝐵𝐶于点𝐷，若△𝐴𝐵𝐶
的面积为16cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8cm2
B．7cm2
C．6cm2
D．
16
5 cm2
题型08 与三角形角平分线有关的计算和证明
典｜例｜精｜析（25-26 八年级上·阶段测试）如图，已知∠𝐷= ∠1，∠2 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，𝐵𝐷平分
∠𝐴𝐵𝐶，证明：
(1)𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
(2)𝐸𝐹∥𝐴𝐵．
解题贴士
角平分线→得角的一半→结合其他条件计算
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变｜式｜巩｜固
15.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l，则l 是△ABC
的（ ）
A．中线
B．中位线
C．高线
D．角平分线
16（25-26 八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，∠𝐸= ∠1，∠3 + ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
试说明：𝐷𝐹∥𝐴𝐵．
基础通关
1．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）小明手里有两根塑料吸管，一根长6cm，另一根长11cm，他想通过剪
开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（ ）
A．只能剪开6cm的吸管
B．只能剪开11cm的吸管
C．两根吸管剪开后都能拼成三角形
D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形
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2.（25-26 八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，3𝑥−2，则𝑥的取值范围是（ ）
A．2 < 𝑥< 4
B．1 < 𝑥< 4
C．1 < 𝑥< 2
D．2 < 𝑥< 6
3.（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b 是等腰三角形的两边长，且√2𝑎−3𝑏+ 5 + |2𝑎+ 3𝑏−13| = 0，
则此等腰三角形的周长是（ ）
A．8
B．6 或8
C．7
D．7 或8
4.（25-26 八年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支
点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ）
A．到三个顶点距离相等的点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条角平分线的交点
5.（21-22 七年级下·陕西西安·期中）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成的两个新三角形的周长
差为5cm，𝐴𝐵与𝐴𝐶的和为11cm，则𝐴𝐶的长为________．
6.（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，𝐴𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，连接𝐸𝐷，△𝐴𝐵𝐶的面积是20，则△
𝐸𝐷𝐶的面积是________．
7．（25-26 七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶=
5，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若点𝐴到𝐷𝐸的距离是1，则𝐷𝐸与𝐵𝐶之间的距离是__________．
8.（24-25 七年级下·陕西汉中·期末）△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 7，且△𝐴𝐵𝐶的周长为偶数，求整数𝐴𝐶的
长．
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9.如图所示，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的中线．
(1)作出△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为10，求△𝐴𝐷𝐶的面积；
(3)若△𝐴𝐵𝐷的面积为6，且𝐵𝐷边上的高为3，求𝐵𝐶的长．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，若△
𝐴𝐷𝐸的面积是𝑆1，△𝐵𝐶𝐸的面积是𝑆2，则𝑆1与𝑆2的大小关系是（ ）
A．𝑆1 < 𝑆2
B．𝑆1 > 𝑆2
C．𝑆1 = 𝑆2
D．无法确定
2.（25-26 八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐
比”．若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（ ）
A．
3
4
B．
7
6
C．
3
4或
7
6
D．
4
3或
6
7
3.（25-26 八年级下·全国·暑假作业）若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周长为10，其底边长的所有
取值为（ ）
A．2，3，4
B．2，4，6，8
C．2，4
D．4
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4.（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，E，F 分别是垂
足．已知𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，𝐷𝐸= 12，则𝐷𝐹的长度为____________
5.（23-24 七年级下·四川宜宾·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是2，AD 是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐹=
1
3 𝐴𝐷，𝐶𝐸=
1
2 𝐸𝐹，则△𝐶𝐷𝐸的面积为____________
6.（24-25 八年级上·江西新余·阶段检测）李大爷准备用一段长60 m的篱笆围成一个三角形形状的场地用于
饲养鸡，已知第一条边长为𝑎m．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2 倍少3m．
(1)第二条边长为________________ m，第三条边长为_______________ m（用含𝑎的式子表示）；
(2)第一条边长能否为10 m？为什么？
(3)求𝑎的取值范围．
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7.如图，△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷= 8cm，𝐵𝐶= 11cm，点𝐸在𝐵𝐷上，连接𝐴𝐸．设𝐶𝐸的长为𝑥ሺcmሻ，△𝐴𝐵𝐸的面积
为𝑦ሺcm2ሻ，解答下列问题：
(1)求𝑦与𝑥之间的关系式；
(2)若𝐶𝐷= 6cm，当𝑥为多少时，△𝐴𝐵𝐸的面积比△𝐴𝐷𝐸的面积大4cm2？
迁移创新
1.（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是边𝐵𝐶的中点，𝐸是边𝐴𝐵上靠近点𝐵的三等分
点，点𝐹在𝐵𝐶上，且满足3𝐷𝐹= 𝐵𝐷，连接𝐴𝐹、𝐸𝐷，若四边形𝐴𝐸𝐷𝐹的面积为5，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
______．
2.（25-26 七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距
离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1 中，𝐴𝐷和𝐴𝐸分别为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高和中线，𝐴𝐷=
10，𝐷𝐸= 5，则△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”为
10
5 = 2．
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【尝试应用】如图2，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6．
（1）边𝐵𝐶的长为______，𝐵𝐶边上的高的值为______；
（2）求△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的“中偏度值”；
【拓展延伸】如图3，点A 为直线l 上方一点，点A 到直线l 的距离𝐴𝐷= 12，点B 在直线l 上，且𝐴𝐵=
15，若点C 在直线l 上，且𝐴𝐶= 13．
（3）请直接写出△𝐴𝐵𝐶的边BC 的“中偏度值”．
