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1.6 线段垂直平分线的性质
题型一：垂直平分线的性质中周长问题
1．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，
ABC
中，
20
BC =
，直线DE 垂直平分BC ，分别交AB 、BC
于点E、D，若
ACE
△
的周长为32，则
ABC
的周长是（ ）
A．62
B．52
C．42
D．32
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直
平分线可得BE
CE
=
，再结合
ACE
△
的周长得到
32
AB
AC
+
=
，即可求出
ABC
的周长．
【详解】解：
ABC
中，
20
BC =
，直线DE 垂直平分BC ，
BE
CE
=
，
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ACE
的周长为32，
32
AE
CE
AC
AE
BE
AC
AB
AC
+
+
=
+
+
=
+
=
，
ABC
的周长是
32
20
52
AB
AC
BC
+
+
=
+
=
，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在
ABC
中，已知
27
AC =
，AB 的垂直平分线交AB 于点
D，交AC 于点E ，BCE
的周长等于50，则BC 的长是（ ）
A．22
B．23
C．32
D．33
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质
是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE
BE
=
，得到
50
AE
CE
BC
+
+
=
，即
50
AC
BC
+
=
，求出
50
50
27
23
BC
AC
=
−
=
−
=
，即可得到答案．
【详解】解：
DE
是AB 的垂直平分线，
AE
BE
=
，
BCE
的周长等于50，
50
BE
CE
BC
+
+
=
，
50
AE
CE
BC
+
+
=
，即
50
AC
BC
+
=
，
50
50
27
23
BC
AC
=
−
=
−
=
，
故选：B．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，DE 垂直平分AC，△ABD 的周长是8.5 m
c
，
3cm
AC =
，则
ABC
的周长是（ ）
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A．8.5cm
B．9.5cm
C．10.5cm
D．11.5cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质定理，可得AD
CD
=
，从而得到BC
BD
AD
=
+
，再由
ABD
△
的周长为8.5cm ，
可得到
8.5cm
AB
BC
+
=
，即可求解．
【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AD
CD
=
，
∴BC
BD CD
BD
AD
=
+
=
+
，
∵
ABD
△
的周长为15cm，
∴
8.5cm
AB
BD
AD
+
+
=
，
∴
8.5cm
AB
BC
+
=
∵
3cm
AC =
，
∴
8.5 3 11.5cm
AB
BC
AC
+
+
=
+ =
．
故选：D．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在
ABC
中，
7
BC =
，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D、
E，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F、G，则
AEG
△
的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得AE
BE
=
，AG
CG
=
，再由三
角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，GF 垂直平分AC ，
∴AE
BE
=
，AG
CG
=
，
∴
AEG
△
的周长为
7
AE
AG
EG
BE
CG
EG
BC
+
+
=
+
+
=
=
，
故选：C．
5．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，ABC
中，AD
BC
⊥
，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，
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交BC 于点E，且BD
DE
=
．若
ABC
周长为13cm，
6cm
AC =
，DC = cm ．
【答案】3.5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，
先根据线段垂直平分线的性质和判定得AB
AE
CE
=
=
，再根据
ABC
的周长为13cm ，
6cm
AC =
，求出
7cm
AB
BC
+
=
，然后等量代换可得答案．
【详解】解：∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴AE
CE
=
．
∵
,
AD
BC BD
DE
⊥
=
，
∴AD是BE 的垂直平分线，
∴AB
AE
=
，
∴AB
AE
CE
=
=
．
∵
ABC
的周长为13cm，
6cm
AC =
，
∴
13
6
7(cm)
AB
BC
+
=
−
=
，
∴
7cm
AB
CE
BD
DE
+
+
+
=
，
则2
2
7
CE
DE
+
=
，
∴
3.5cm
CE
DE
+
=
，
即
3.5cm
CD =
．
故答案为：3.5．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线DE 分别与边AB ，AC 交于
D，E 两点，边BC 的垂直平分线FG 分别与边BC ，AC 交于F，G 两点，连接BE ，BG ．若BEG
的周长
为32，
22
AC =
，则GE 的长为 ．
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【答案】5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段
垂直平分线的性质得到EA
EB
=
，GB
GC
=
，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：
DE
是AB 边的垂直平分线，FG 是BC 边的垂直平分线，
EA
EB
=
，GB
GC
=
，
BEG
的周长为32，
32
GB
EB
GE
+
+
=
，
32
EA GC
GE
+
+
=
，即
2
32
AG
GE
GC
GE
AC
GE
+
+
+
=
+
=
，
22
AC =
，
(
)
32
22
2
5
GE
=
−
=
．
故答案为：5．
7．
（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，
90
A
=
，
3
AB
AC
=
= ，BD平分
ABC
，DE
BC
⊥
于点E，则CDE
的周长为 ．
【答案】3 2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明
DBA
DBE
△
≌△
，继而得出
,
AB
EB AD
DE
=
=
，再根据勾股定理求出BC 的长度，根据CDE
的周长为BC 求解即可，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，
∴
DBA
DBE
=
,
∵
90
A
=
，DE
BC
⊥
，
∴
A
DEB
=
，
又∵BD
BD
=
，
∴
(
)
AAS
DBA
DBE
△
≌△
，
∴
,
AB
EB AD
DE
=
=
，
∵
90
A
=
，
3
AB
AC
=
= ，
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∴
,
2
3 2
AC
BE BC
AB
=
=
=
，
∴CDE
的周长为
3 2
CD
DE
EC
CD
AD
EC
AC
EC
BE
EC
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
，
故答案为：3 2 ．
8．（2025·云南临沧·三模）如图，在
ABC
中，D 为BC 边上一点，AC
AD
=
，EF 为线段BD的垂直平分
线，若
ADE
的周长为19，
7
AC =
，则AB 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得ED
BE
=
，结
合
ADE
的周长为19，
7
AC =
，即可得出
19
12
AB
AC
=
−
=
【详解】解：∵EF 为线段BD的垂直平分线，
∴ED
BE
=
，
∵AC
AD
=
，
7
AC =
，
ADE
的周长为19，
∴
19
AD
DE
AE
AC
BE
AE
AC
AB
+
+
=
+
+
=
+
=
∴
19
12
AB
AC
=
−
=
，
故答案为：12．
题型二：垂直平分线与尺规作图结合解题）
1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，分别以点A 、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为
半径作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD．若
13
B
=
，则
DAC
的大小为
（ ）
A．26
B．64
C．74
D．77
【答案】B
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【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：MN 平分AB ，由线段
垂直平分线的性质得出
13
B
DAB
=
=
，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：MN 平分AB ，
∴AD
BD
=
，
∴
13
B
DAB
=
=
，
∴
180
64
DAC
C
A
DAB
=
−−−
=
，
故选：B
2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在
ABC
中，分别以点B、C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径画弧，两弧
相交于点M、N．作直线MN ，交AC 于点D，交BC 于点E，连接BD．若
28
DBC
=
，则
ADB
的度数
为（ ）
A．28
B．50
C．56
D．62
【答案】C
【分析】根据基本作图，得到BD
CD
=
，继而得到
28
DBC
C
=
=
，根据三角形外角性质得
ADB
DBC
C
=
+
解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形外角性质，熟练掌握作图的性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得到BD
CD
=
，
故
28
DBC
C
=
=
，
根据三角形外角性质得
56
DBC
ADB
C
+
=
=
，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，在
ABC
中，分别以A 、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径在AB
两侧作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交于边AB ，AC 于点D 、E ，连接CD，若AB 的长为10，
则AD的长为（ ）
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8 /
A．3
B．4
C．5
D．10
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而由
线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴
1
5
2
AD
BD
AB
=
=
=
，
故选：C ．
4．
（2025·江苏盐城·三模）如图，在
ABC
中，
34
B
=
，
78
ACB
=
，根据尺规作图痕迹，可知
=（ ）
A．66
B．78
C．79
D．101°
【答案】B
【分析】由作图痕迹可知直线EF 是BC 的垂直平分线，射线AE 是
BAC
的平分线．先由线段垂直平分线
知
34
FCB
B
= =
，再用三角形外角性质求出
68
AFC
=
，再用三角形内角和求出
68
BAC
=
，然后用
角平分线求出
34
FAE
=
，最后根据三角形的内角和求出
78
=
．本题考查三角形外角性质，角平分线
的性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知直线EF 是BC 的垂直平分线，射线AE 是
BAC
的平分线．
FB
FC
=
，
34
FCB
B
= =
，
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=
68
AFC
FCB
B
+=
，
∵
ABC
中，
34
B
=
，
78
ACB
=
，
180
180
3
8
8
4
7
6
BAC
B
ACB
=
=
=
−−
−
−
，
3
1
4
2
A
FAE
B C
=
=
，
180
180
7
68
8
34
FAE
AFC
=
−
=
−
−
−
=
．
故选：B
5．（2025 九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB 的两端点A，B 为圆心，大于1
2 AB 长为
半径画弧，在线段AB 的两侧分别交于点E，F，作直线EF 交AB 于点O．在直线EF 上任取一点P（不与O
重合），连接PA，PB ，则下列结论：①PA
PB
=
；②OA
OB
=
；③OP
OF
=
；④PO
AB
⊥
．其中一定成
立的是（ ）．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②④
【答案】C
【分析】根据基本作图，得到直线EF 是线段AB 的垂直平分线，解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得直线EF 是线段AB 的垂直平分线，
故①PA
PB
=
成立；②OA
OB
=
成立；③OP
OF
=
不成立；④PO
AB
⊥
成立．
故选：C．
6．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在
ABC
中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，大于1
2 BC
的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD．若
4
AC =
，
10
AB =
，
则ACD
的周长为 ．
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【答案】14
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出ACD
的周长等于
+
AB
AC ，即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：MN 垂直平分BC ，
∴BD
CD
=
，
∴ACD
的周长为:
4 10
14
AC
AD CD
AC
AD
BD
AC
AB
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
；
故答案为：14．
7．（2025·湖南长沙·二模）如图，P 是直线l 外一点，按以下步骤作图：
①以点P 为圆心，适当长为半径作弧，交直线l 于点B ，D ；
②分别以点B 、点D为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；
③作直线PE交BD于点F ．
若
2
BF =
，
6
PE =
，则四边形PBED的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题关键是依据作
图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．
先依据作图步骤得出
=
PB
PD ，PE垂直平分BD，进而得到BD的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积
公式
1
2
S =
对角线之积，计算出结果．
【详解】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点P 为圆心作弧交直线l 于B 、D ，
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∴
=
PB
PD ．
步骤②中，分别以B 、D为圆心，大于1
2 BD 长为半径作弧相交于E ，
∴直线PE是线段BD的垂直平分线，
∴
2
BF
DF
=
=
，PE
BD
⊥
．
∴
2
4
BD
BF
=
=
．
∵四边形PBED的对角线PE与BD互相垂直，
1
1
1
1
6 4
12
2
2
2
2
PBED
S
PE
BF
PE
DF
PE
BD
=
+
=
=
=
四边形
．
故答案为：12．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，
8,
6
AB
AC
BC
=
=
=
，分别以点A，B 为圆心，5
为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线MN 交AC 于点D，连接BD，则
BCD
△
的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查基本作图-作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息．利
用线段的垂直平分线的性质证明DB
DA
=
，可得结论．
【详解】解：由作图可知MN 垂直平分线段AB ，
∴DB
DA
=
，
∴
BCD
△
的周长
8 6
14
DB
DC
CB
DA
DC
BC
AC
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
= +
=
．
故答案为：14．
9．（24-25 九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在
ABC
中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆弧交BC
于点D，再分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN
交AB 于点E ．若
ADE
的周长为21，
9
AC =
，则AB 的长为 ．
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【答案】12
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段
垂直平分线的性质．
根据尺规作图可知
9
=
=
AD
AC
，MN 垂直平分线段BD，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式
进行求解即可
【详解】解：根据尺规作图可知
9
=
=
AD
AC
，MN 垂直平分线段BD
EB
ED
=
∵
ADE
的周长为21，
21
12
AE
ED
AD
\
+
=
-
=
12
AB
AE
EB
AE
ED
\
=
+
=
+
=
故答案为：12．
题型三：垂直平分线的性质求线段长度
1．（24-25 八年级上·河北廊坊·期末）如图
ABC
中、AB
AC
=
，点D 是AC 的中点，过点D 作DE
AC
⊥
交
BA的延长线于点E，连接CE ，若
3
2
CD =
，
4
CE =
，则BE的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D 是AC 的中点，DE
AC
⊥
，推出ED是AC 的垂直
平分线，得到AE
CE
=
，再根据点D 是AC 的中点，得到
3
AC =
，进而得到
3
AB =
，即可求解．
【详解】解：∵在ACE
中，点D 是AC 的中点，DE
AC
⊥
，
∴ED是AC 的垂直平分线，
∴AE
CE
=
，
∵
4
CE =
，
∴
4
AE
CE
=
=
，
∵点D 是AC 的中点，
3
2
CD =
，
∴
2
3
AC
CD
=
= ，
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∵AB
AC
=
，
∴
3
AB =
，
∴
7
BE
AB
AE
=
+
=
．
故答案为：7 ．
2．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）如图，在
ABC
中，
4
AC =
，线段AB 的垂直平分线交AB ，AC 于点
M，N，若
3
BN = ，则NC 的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到NA
NB
=
，进而解答即可．
【详解】解：∵MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴NA
NB
=
，
∴
4 3 1
CN
AC
AN
AC
BN
=
−
=
−
=
−= ，
故答案为：1．
3．
（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD为边BC 的垂直平分线，DE
AC
⊥
于点E ，
BF
AC
∥
交ED的延长线于点F ，若
2
6
AE
BF
=
= ，则AB 的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，正确找出两个全
等三角形是解题关键．先求出
3
BF = ，再根据线段垂直平分线的性质可得AB
AC
=
，CD
BD
=
，根据平行
线的性质可得
90
F
CED
=
=
，然后证出
CDE
BDF
△
△
≌
，根据全等三角形的性质可得
3
CE
BF
=
= ，根
据线段和差可得AC 的长，由此即可得．
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14 /
【详解】解：∵2
6
BF =
，
∴
3
BF = ，
∵AD为边BC 的垂直平分线，
∴AB
AC
=
，CD
BD
=
，
∵DE
AC
⊥
，
∴
90
CED
=
，
∵BF
AC
∥
，
∴
90
F
CED
=
=
，
在CDE
和BDF
中，
90
CED
F
CDE
BDF
CD
BD
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CDE
BDF
≌
，
∴
3
CE
BF
=
= ，
∵
6
AE =
，
∴
9
=
+
=
AC
AE
CE
，
∴
9
AB =
，
故答案为：9．
4．（24-25 九年级上·四川广安·阶段练习）如图，AD是
ABC
的中线，
90 ,
3,
B
AB
CE
BC
=
=
⊥
于点C，
5
CE =
，且
90
ADE
=
，则AE 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
延长AD交EC 的延长线于点F，证明ABD
FCD
≌
，可得
3,
CF
AB
AD
DF
=
=
=
，再由
90
ADE
=
，可得
AE
EF
=
，即可求解．
【详解】解：如图，延长AD交EC 的延长线于点F，
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15 /
∵
90 ,
B
CE
BC
=
⊥
，
∴
90
B
DCF
=
=
，
∵AD是
ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵
ADB
CDF
=
，
∴ABD
FCD
≌
，
∴
3,
CF
AB
AD
DF
=
=
=
，
∵
90
ADE
=
，
∴AE
EF
=
，
∵
5
CE =
，
∴
8
EF
CE
CF
=
+
= ，
∴
8
AE = ．
故答案为：8
5．（23-24 八年级上·四川凉山·期末）如图所示，在
ABC
中，
90
ACB
=
，BE 平分
ABC
，DE 垂直平
分AB ，如果
3cm
BE =
，
2cm
DE =
，那么AC = cm．
【答案】5
【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得CE
DE
=
，BE
AE
=
，然后求出
5cm
AC
AE
CE
BE
DE
=
+
=
+
=
即可．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，BE 平分
ABC
，DE 垂直平分AB ，，
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16 /
∴CE
DE
=
，BE
AE
=
∴
5cm
AC
AE
CE
BE
DE
=
+
=
+
=
．
故答案为：5．
6．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：
ABC
中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂
直平分线交BC 于点E ，连接AD、AE ，若
6
AD =
，
8
AE = ，
3
DE = ，则BC = ．
【答案】11或17
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题
的关键．根据线段垂直平分线的性质得出AD
BD
=
，AE
CE
=
，再根据BC
BD
DE
CE
=
+
+
或者
BC
BD
DE
CE
=
−
+
计算即可．
【详解】解：两种情况讨：
①如图，
DF 、EG 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，
AD
BD
=
，AE
CE
=
，
6
AD =
，
8
AE = ，
3
DE = ，
6
AD
BD
=
= ，
8
AE
CE
=
= ，
6 3 8 17
BC
BD
DE
CE
=
+
+
= + + =
；
②如图，
DF 、EG 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，
AD
BD
=
，AE
CE
=
，
6
AD =
，
8
AE = ，
3
DE = ，
6
AD
BD
=
= ，
8
AE
CE
=
= ，
6 3 8
11
BC
BD
DE
CE
=
−
+
= −+ =
；
故答案为：11或17
题型四：垂直平分线性质中相关求解（解答题）
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1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，EF 垂直平分BD，MN 垂
直平分CD．
(1)试说明：ED
MD
⊥
；
(2)若EA
EB
=
，MA
MC
=
，试说明：
AEM
DEM
≌
；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键
是：
（1）利用线段垂直平分线的性质得出EB
ED
=
，MD
MC
=
，利用等边对等角得出
B
EDB
=
，MDC
C
=
，
然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出
90
EDB
MDC
=
＋
，即可得证；
（2）结合（1）中结论可得出EA
ED
=
，MA
MD
=
，，利用SAS证明AEM
DEM
≌
即可；
【详解】（1）证明∶ ∵EF 垂直平分BD，MN 垂直平分CD，
∴EB
ED
=
，MD
MC
=
，
∴
B
EDB
=
，
MDC
C
=
，
∵
90
A
=
，
∴
90
EDB
MDC
B
C
+
= +
=
，
∴
90
EDM
=
，
∴ED
MD
⊥
；
（2）证明：由（1） 知EB
ED
=
，MD
MC
=
，
90
EDM
A
= =
，
∵EA
EB
=
，MA
MC
=
，
∴EA
ED
=
，MA
MD
=
，
∴在
AEM
△
和
DEM
△
中，
EA
ED
A
EDM
MA
MD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AEM
DEM
≌
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18 /
2．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
中，D 为BC 的中点，DE
BC
⊥
交
BAC
的平分线AE
于E ，EF
AB
⊥
于F ，EG
AC
⊥
交AC 延长线于G .
(1)求证：BF
CG
=
.
(2)猜想AB 、AC 、AF 的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，则BF =________cm.
【答案】(1)见解析
(2)2AF
AB
AC
=
+
，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接BE 、EC ，先根据线段垂直平分线的性质的性质得BE
EC
=
，再根据角平分线的性质得FE
EG
=
，
然后根据HL证明Rt
Rt
BFE
CGE
△
≌△
，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明
(
)
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
得AF
AG
=
，再结合（1）的结论BF
CG
=
，得
2
AB
AC
AF
BF
AG CG
AF
+
=
+
+
−
=
；
（3）根据（2）的结论得
8cm
AF =
，再根据BF
AB
AF
=
−
可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，
∵ED
BC
⊥
，D 为BC 中点，
∴BE
EC
=
，
∵EF
AB
⊥
，EG
AG
⊥
，且AE 平分
FAG
，
∴FE
EG
=
，
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19 /
在Rt
BFE
△
和Rt
CGE
△
中，
BE
CE
EF
EG
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BFE
CGE
≌
，
∴BF
CG
=
；
（2）解：2AF
AB
AC
=
+
，证明如下：
在RtAEF 和Rt
AEG
△
中，
AE
AE
EF
EG
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
，
∴AF
AG
=
，
由（1）知BF
CG
=
，
∴
2
AB
AC
AF
BF
AG CG
AF
+
=
+
+
−
=
．
即2AF
AB
AC
=
+
；
（3）解：由（2）知2AF
AB
AC
=
+
，
∵
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，
∴
(
)
2
10
6
16 cm
AF =
+
=
，
∴
8cm
AF =
，
∴
(
)
10
8
2 cm
BF
AB
AF
=
−
=
−
=
，
故答案为：2．
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，ABC
中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，AD
BC
⊥
，
垂足为D，且BD
DE
=
，连接AE ．
(1)求证：AB
EC
=
；
(2)若
ABC
的周长为19cm ，
8cm
AC =
，则DC 的长为多少？
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【答案】(1)见解析
(2) DC 的长为11cm
2
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE
EC
=
，AB
AE
=
，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到
19
AB
BC
AC
cm
+
+
=
，根据AB
EC
=
，BD
DE
=
计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵EF 垂直平分AC ，
∴AE
EC
=
，
∵AD
BC
⊥
，BD
DE
=
，
∴AB
AE
=
，
∴AB
EC
=
；
（2）解：∵
ABC
的周长为19cm ，
∴
19cm
AB
BC
AC
+
+
=
，
∵
8cm
AC =
，
∴
11cm
AB
BC
+
=
，
∵AB
EC
=
，BD
DE
=
，
∴AB
BD
DE
EC
DC
+
=
+
=
，
∵
2
11cm
AB
BC
AB
BD DC
DC
+
=
+
+
=
=
，
∴
11cm
2
DC =
；
4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
8
AC =
，
4
BC =
，
90
C
=
，B
A
．在AC
上有一点D，恰好在AB 的垂直平分线上．
(1)求
ABC
的面积；
(2)连接BD，求
BCD
△
的周长．
【答案】(1)16
(2)12
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
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（1）根据三角形的面积公式计算即可得解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD
AD
=
，再根据三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：
1
1
4 8
16
2
2
ABC
S
BC
AC
=
=
=
△
；
（2）解：如图：
∵点D 在线段AB 的垂直平分线上，
BD
AD
=
，
BCD
△
的周长为
8
4
12
BC
CD
BD
BC
CD
AD
BC
AC
+
+
=
+
+
=
+
= +
=
．
5．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在
ABC
中，E 是边BC 上的一点，连接AE ．BD垂直平
分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ，连接DE ．
(1)若AB 的长为6，DEC
的周长为7，求
ABC
的周长．
(2)若
40
ABC
=
，
48
C
=
，求
CDE
的度数．
【答案】(1)19
(2)44
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AB
BE
=
，AD
DE
=
，由DEC
的周长为7 可得
7
DE
EC
CD
AC
EC
+
+
=
+
=
，于是可得
ABC
的周长
2
AB
BC
AC
AB
AC
EC
=
+
+
=
+
+
，于是得解；
（2）由三角形的内角和定理可得
9
180
2
ABC
C
BAD
−
=
=
−
，利用SSS可证得
BAD
BED
≌
△
△
，于是
可得
92
BED
BAD =
=
，由三角形外角的性质可得
BED
C
CDE =
−
，由此即可求出
CDE
的度数．
【详解】（1）解：
BD
是线段AE 的垂直平分线，
6
AB
BE
=
=
，AD
DE
=
，
DEC
的周长为7，
DE
EC
CD
+
+
AD
EC
CD
=
+
+
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AD CD
EC
=
+
+
AC
EC
=
+
7
=
，
ABC
的周长
AB
BC
AC
=
+
+
AB
BE
EC
AC
=
+
+
+
6 6 7
= + +
19
=
；
（2）解：
40
ABC
=
，
48
C
=
，
180
1 0
40
48
92
8
ABC
C
BAD
−
=
−
=
=
−
−
，
∵在BAD
和BED
中，
AB
EB
BD
BD
AD
ED
=
=
=
，
(
)
SSS
BAD
BED
≌
，
92
BED
BAD =
=
，
92
48
44
CDE
BED
C
=
−
=
−
=
．
6．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）在
ABC
中，DE 垂直平分AC ，连接CE ，CE 平分
ACB
．
(1)若
46
CEB
=
，求
B
的度数．
(2)若
4
BC =
，
ABC
的周长比EBC
的周长多8，EBC
的面积为6，则三角形AEC 的面积为多少？
【答案】(1)111
(2)12
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键．
（1）利用垂直平分线的性质得到
23
A
=
，再得到
46
ACB
=
，利用三角形内角和即可解答；
（2）过点E 作EF
BC
⊥
交BC 的延长线于点F ，根据题意求得
,
AC EF 的长即可解答．
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【详解】（1）解：
DE
垂直平分AC ，
EA
EC
=
，
A
ACE
=
，
46
BEC
=
，
1
46
23
2
A
ACE
=
=
=
CE
为角平分线
2
46
ACB
ACE
=
=
180
B
A
ACB
=
−
−
180
46
23
=
−
−
111
=
；
（2）解：如图，过点E 作EF
BC
⊥
交BC 的延长线于点F
EF
BC
⊥
，DE
AC
⊥
，CE 为角分平线，
EF
DE
=
，
1
2
EBC
S
BC EF
=
1
4
6
2
EF
=
=
，
3
EF
DE
=
= ，
ABC
C
AB
AC
BC
=
+
+
△
，
EBC
C
EB
EC
BC
=
+
+
AB
BC
=
+
，且
8
ABC
EBC
C
C
−
=
，
8
AC
=
1
2
AEC
S
AC
ED
=
12
=
，
AEC
的面积为12．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，
交AB 于点E，连接BD．
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24 /
(1)若
6
AC =
，则AE =_________；
(2)若
6
AE =
，
CBD
△
的周长为20，求
ABC
的周长．
【答案】(1)3
(2)32
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，
对于（1），根据DM 是AB 的垂直平分线，得
1
1
2
2
AE
AB
AC
=
=
，可得答案；
对于（2），先求出AB
AC
=
，再根据线段垂直平分线的性质定理得AD
BD
=
，然后根据
CBD
△
的周长等于
20
BD CD
BC
AD CD
BC
+
+
=
+
+
=
求出BC ，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵DM 是AB 的垂直平分线，
∴
1
1
3
2
2
AE
AB
AC
=
=
= ．
故答案为：3；
（2）解：∵
6
AE =
，DM 是AB 的垂直平分线，
∴
2
12
AB
AC
AE
=
=
=
，AD
BD
=
，
∴
CBD
△
的周长
20
BD CD
BC
AD CD
BC
AC
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
=
，
解得
8
BC = ，
∴
ABC
的周长
12 12 8
32
AB
AC
BC
=
+
+
=
+
+ =
．
8．（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：AB
AC
=
，DB
DC
=
，点E 在AD的延长线上．
(1)求证：AE 垂直平分BC ；
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25 /
(2)求证：BDE
CDE
≌△
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．
（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;
（2）由线段垂直平分线的性质定理推出BE
CE
=
，即可证明
(
)
SSS
BDE
CDE
≌
△
△
．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，DB
DC
=
，
∴点A 和D 都在线段BC 的垂直平分线上，
∴AE 垂直平分BC ；
（2）证明：由（1）知AE 垂直平分BC ，
∴BE
CE
=
，
在BDE
和CDE
中，
BE
CE
DE
DE
BD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
BDE
CDE
≌
△
△
．
题型五：垂直平分线的判定之选址类问题
1．（24-25 八年级上·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心、、
A
B
C 构成
ABC
，该市政府打算修建
一个大型体育中心P ，使得该体育中心到三个城镇中心、、
A
B
C 的距离相等，则P 点应设计在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三个角的角平分线的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题
的关键．
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【详解】解：∵体育中心到城镇中心A
B
、的距离相等，
∴PA
PB
=
，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，
同理，点P 在线段AC ，BC 的垂直平分线上，
∴P 点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：A ．
2．（24-25 九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解
题关键．根据线段垂直平分线的判定求解．
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心, ,
A B C 围成的
ABC
区域内
修建一个电视信号发射塔O，使得该发射塔O到三个乡镇中心, ,
A B C 三地的距离相等，以下选址正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：发射塔O到三个乡镇中心, ,
A B C 三地的距离相等，
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27 /
则OA
OC
OB
=
=
，
∴点O在线段AB 、AC 的垂直平分线上，
即线段AB 、AC 的垂直平分线的交点即为发射塔O，
选项B 符合题意．
故选：B．
4．（23-24 八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所
学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内
部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同
的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次
实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（ ）
①三条高的交点 ②三边中垂线的交点
③三条角平分线的交点 ④三角形内部的任意位置
A．①③
B．②③
C．①②
D．①④
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分
线的性质是解答本题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到
线段两端点的距离相等．
【详解】解：∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，
∴初始位置应在三角形三边中垂线的交点上．
∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，
∴初始位置应在三角形三条角平分线的交点上．
∴应当是②③
故选：B．
5．（24-25 八年级上·河南商丘·期中）如图
ABC
，现要求找一点P ，使其到三个顶点的距离相等．
(1)该点P 是
ABC
三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”）
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
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28 /
【答案】(1)垂直平分线
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质．
（1）由点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可解答．
（2）作线段
,
AB BC 的垂直平分线交于点P 即可．
【详解】（1）解：
ABC
内一点P ，到三个顶点的距离相等，即PA
PB
PC
=
=
，
点P 是
ABC
三条垂直平分线的交点；
（2）解：如图所示，点P 为所求：
题型六：利用垂直平分线的判定判断选项是否正确
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC 、BD，AB
AD
=
，CB
CD
=
，则
有（ ）
A．AC 与BD互相垂直平分
B．AC 垂直平分BD
C．BD垂直平分AC
D．BD平分
ABC
【答案】B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由AB
AD
=
，CB
CD
=
，得A 与C 在BD的垂直平分线上，
进而解决此题．
【详解】解：∵AB
AD
=
，CB
CD
=
，
∴A 与C 在BD的垂直平分线上，
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29 /
∴AC 是BD的垂直平分线，
∴AC 垂直平分BD，
故B 选项符合题意；
由已知条件无法证明BD平分AC ，BD平分
ABC
，
故A、C、D 选项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个
筝形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC
BD
⊥
；②AO
CO
=
；
③
ABD
CBD
≌
△
△
．其中正确的结论有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质．
根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果．
【详解】在
ABD
△
和
CBD
△
中
AD
CD
AB
BC
DB
DB
=
=
=
，
(SSS)
ABD
CBD
≌
故③正确；
ADB
CDB
=
在
AOD
△
与
COD
△
中，
AD
CD
ADB
CDB
OD
OD
=
=
=
，
(SAS)
AOD
COD
≌
90
AOD
COD
AO
OC
=
=
=
，
，
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,
AC
DB
⊥
故①②正确，
综上①②③正确，正确的结论共3 个，
故选：D．
3．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，已知
ABC
中，
90
ACB
=
，AD是
BAC
的平分线，CE 是AB
边上的高，AD与CE 交于点F ，过点D 作DG
CE
∥
交AB 于点G ，连结CG 交AD于点H ，则下列结论中，
不一定成立的是（）
A．DC
DG
=
B．GD
GB
=
C．CF
GD
=
D．FH
DH
=
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质可判断CD
DG
=
，根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的判定可判断
CF
DG
=
，FH
DH
=
进而可得出答案．
【详解】解：
CE
是AB 边上的高，
CE
AB
⊥
，
DG CE
∥
，
DG
AB
⊥
，
90
ACB
=
，AD是
BAC
的平分线，
DC
DG
=
，故A 结论正确，不符合题意；
,
90
DG
AB
ACB
⊥
=
，
90
ACB
AGD
=
=
，
AD是
BAC
的平分线，
CAD
GAD
=
，
AD
AD
=
，
(AAS)
ACD
AGD
≌
，
AC
AG
=
，
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31 /
DC
DG
，
AD
垂直平分CG ，
CH
HG
=
，
DG CE
∥
，
FCH
DGH
=
，
CFH
GDH
=
，
(AAS)
CFH
GDH
≌
，
CF
DG
=
，FH
DH
=
，故C、D 结论正确，不符合题意；
假设GD
GB
=
，
90
DGB
=
，
45
B
GDB
=
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
但题目条件没有
ABC
是等腰直角三角形，且推导不出其结论，
B
结论不一定正确．
故选：B．
4．
（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，下列条件不能判定直线CD为线段AB 的垂直平分线的是（ ）
A．AB
CD
⊥
且CE
DE
=
B．AC
BC
=
且AD
BD
=
C．AB
CD
⊥
且CD平分
ACB
D．AB
CD
⊥
且AE
BE
=
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定
理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵AB
CD
⊥
且CE
DE
=
，
∴直线AB 是线段CD的垂直平分线，故A 符合题意；
B、∵AC
BC
=
且AD
BD
=
，
∴直线CD是线段AB 的垂直平分线，故B 不符合题意；
C、∵AB
CD
⊥
且CD平分
ACB
，
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32 /
∴
90
AEC
BEC
ACE
BCE
=
=
=
,
，
在
ACE
△
和BCE
中，
ACE
BCE
CE
CE
AEC
BEC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ACE
BCE
≌
，
∴AE
BE
=
，
∴直线CD是线段AB 的垂直平分线，故C 不符合题意；
D、∵AB
CD
⊥
且AE
BE
=
，
∴直线CD是线段AB 的垂直平分线，故D 不符合题意；
故选：A．
5．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在
ABC
中，已知点D 在BC 上，且BD
AD
BC
+
=
，下列
说法正确的是（ ）
A．点D 是BC 的中点
B．AD平分
BAC
C．点D 在AC 的垂直平分线上
D．点D 在AB 的垂直平分线上
【答案】C
【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据
题意得到AD
CD
=
，判定点D 在AC 的垂直平分线上，由此判断．
【详解】解：∵BD
AD
BC
+
=
，BC
BD
CD
=
+
，
∴AD
CD
=
，
∴点D 在线段AC 的垂直平分线上，
故选C．
6．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于点E，DF
AC
⊥
于点F，
连接EF 交AD于点G，下列结论不．一定．成立的是（ ）
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A．DE
DF
=
B．EG
FG
=
C．AD
EF
⊥
D．AG
DG
=
【答案】D
【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线
的性质，得DE
DF
=
，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点D 在EF 的垂直平分线上；根据等角
对等边，AE
AF
=
，则点A 在EF 的垂直平分线上，从而可证AD是EF 的垂直平分线，由此即可判断出结果．
【详解】解：∵AD为
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于E ，DF
AC
⊥
于F ，
∴DE
DF
=
，故选项A 成立，不符合题意；
∴点D 在EF 的垂直平分线上，
DEF
DFE
=
，
∵
90
DEA
DFA
=
=
，
∴
FEA
EFA
=
，
∴AE
AF
=
，
∴点A 在EF 的垂直平分线上，
∴AD是EF 的垂直平分线，
∴
,
AD
EF EG
FG
⊥
=
，故选项B，C 成立，不符合题意；
∵
,
AE DE 不一定相等，
∴不能确定
,
EAG
EDA
是否相等，
∴AG
DG
=
不一定成立，故选项D 不一定成立，符合题意；
故选：D．
7．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是
一个筝形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到
了如下结论，其中错误的是（ ）
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A．AC
BD
⊥
B．
1
2
AO
CO
AC
=
=
C．
ABD
CBD
≌
△
△
D．AO
DO
BO
+
=
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性
质得出BD是AC 的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
【详解】∵AD
CD
AB
BC
=
=
，
，
∴BD是AC 的垂直平分线，
∴
1
2
BD
AC
AO
CO
AC
⊥
=
=
，
，
所以A，B 正确；
∵AD
CD
AB
BC
BD
BD
=
=
=
，
，
，
∴
ABD
CBD
≌
△
△
，
所以C 正确；
不能确定
,
,
AO DO BO 之间的关系，所以D 不正确．
故选：D．
8．（24-25 八年级上·山东德州·期中）下列条件中，不能判定直线CD是线段AB（C，D 不在线段AB 上）的
垂直平分线的是（ ）
A．CA
CB
=
，DA
DB
=
B．CA
CB
=
，CD
AB
⊥
C．CA
DA
=
，CB
DB
=
D．CA
CB
=
，CD平分AB
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可．
【详解】解：A、CA
CB
=
，DA
DB
=
，可以判定直线CD是线段AB （C，D 不在线段AB 上）的垂直平分
线，不符合题意；
B、CA
CB
=
，CD
AB
⊥
，可以判定直线CD是线段AB （C，D 不在线段AB 上）的垂直平分线，不符合题
意；
C、如图，
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CA
DA
=
，CB
DB
=
，不能判定直线CD是线段AB（C，D 不在线段AB
上）的垂直平分线，符合题意；
D、CA
CB
=
，CD平分AB ，可以判定直线CD是线段AB （C，D 不在线段AB 上）的垂直平分线，不符合
题意．
故选：C．
题型七：由垂直平分线的判定求线段长度
1．（24-25 九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在
ABC
中，
7
AB
AC
=
=
，
4
BC =
，分别以点A ，
点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧交于点E ，F ，过点E ，F 作直线交AC 于点D ，连结BD，
则
BCD
△
的周长为（ ）
A．7
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练
掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
由题意可知EF 是线段AB 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD
BD
=
，因而可得
BCD
△
的周长
BC
CD
BD
BC
CD
A
BC
AC
D
=
+
=
+
=
+
+
+
，据此即可得出答案．
【详解】解：分别以点A ，点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧交于点E ，F ，
EF
是线段AB 的垂直平分线，
AD
BD
=
，
BCD
△
的周长
BC CD BD
=
+
+
BC
CD
AD
=
+
+
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BC
AC
=
+
4
7
=
+
11
=
，
故选：C ．
2．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000
多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知
,
,
90cm,
60cm
AB
AD BC
CD AC
BD
=
=
=
=
，制作这个风
筝需要的布料至少为（ ）
2
cm
A．1800
B．5400
C．2700
D．1200
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定AC 垂直平分BD，再
利用四边形面积公式计算即可．
【详解】解：∵AB
AD
=
，
∴点A 在BD的垂直平分线上，
∵BC
CD
=
，
∴点C 在BD的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分BD，
∴AC
BD
⊥
，
∴
(
)
2
1
1 90 60
2700 cm
2
2
ABCD
S
AC BD
=
=
=
四边形
，
故选：C．
3．（23-24 八年级上·湖南益阳·期末）如图，在
ABC
中，E 为AB 边的中点，过点E 作ED
AB
⊥
交BC 于点
D，若
3
AE = ，
ADC
△
的周长为20，则
ABC
的周长为（ ）
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37 /
A．20
B．23
C．26
D．29
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得ED垂直平分AB ，
2
6
AB
AE
=
=
，
进而得到BD
AD
=
，再由
ADC
△
的周长为20，推出
+
= 20
BC
AC
，据此可得答案．
【详解】解；∵E 为AB 边的中点，ED
AB
⊥
，
∴ED垂直平分AB ，
2
6
AB
AE
=
=
，
∴BD
AD
=
，
∵
ADC
△
的周长为20
∴
20
AD
CD
AC
+
+
=
，
∴
20
BD
CD
AC
+
+
=
，
∴
+
= 20
BC
AC
，
∴
ABC
的周长
20
6
26
AB
AC
BC
=
+
+
=
+
=
，
故选；C．
4．（24-25 八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AD
BC E
∥
为CD的中点，连接
,
,
AE BE BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的延长线于点F ．若
5,
3
AB
BC
=
=
，则AD = ．
【答案】2
【分析】根据AD
BC
∥
可知
ADC
ECF
=
，再根据E 是CD的中点可求出DE
EC
=
，利用ASA 可得
ADE
FCE
△
≌△
， 可得FC
AD
=
，AE
EF
=
，结合已知可得BE 是线段AF 的垂直平分线，根据线段垂直
平分线的性质判断出AB
BF
=
即可证得AB
BC
AD
=
+
，进而即可求解．
【详解】解：∵AD
BC
∥
，
∴
ADE
FCE
=
，
∵E 是CD的中点，
∴DE
CE
=
，
∵
DEA
FEC
=
，
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∴
(
)
ASA
ADE
FCE
≌
，
∴FC
AD
=
，AE
EF
=
，
又∵BE
AE
⊥
，
∴BE 是线段AF 的垂直平分线，
∴AB
BF
BC
CF
=
=
+
，
∵AD
CF
=
，
∴AB
BC
AD
=
+
，
∵
5,
3
AB
BC
=
=
，
∴
2
AD
AB
BC
=
−
=
，
故答案为：2．
5．（24-25 八年级上·湖北黄冈·期末）如图，
ABC
周长为16cm，
6cm
AC =
，AD
BC
EF
⊥
，
垂直平分
AC
BD
DE
=
，
，则DC = cm．
【答案】5
【分析】由三角形的周长求出
10cm
AB
BC
+
=
，根据线段垂直平分线的性质得出AB
AE
=
，AE
CE
=
，推
出AB
CE
=
，由此求出
2
AB
BC
CD
+
=
，由此求出CD．
【详解】解：∵
ABC
周长为16cm，
6cm
AC =
，
∴
16 6
10cm
AB
BC
+
=
−
=
，
∵AD
BC
BD
DE
⊥
=
，
，
∴AD是BE 的垂直平分线，
∴AB
AE
=
∵EF 垂直平分AC ，
∴AE
CE
=
∴AB
CE
=
∴
(
)
2
2
10cm
AB
BC
CE
DE
CD
+
=
+
=
=
，
∴
5cm
CD =
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故答案为：5．
6．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在ABC
中，AB
AC
=
，OB
OC
=
，点A 到BC 的距离是6 ，O到BC 的
距离是4 ，则AO 等于 ．
【答案】2 或10
【分析】根据AB
AC
OB
OC
=
=
，
可判断点A O
、
都在BC 的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点O
在
ABC
的内部时，②当点O 在
ABC
的外部时，分别计算AO 即可．
【详解】解：∵AB
AC
OB
OC
=
=
，
，
∴点A O
、
都在BC 的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点O在
ABC
的内部时，
6
4
2
AO =
−
=
；
②当点O 在
ABC
的外部时，
6
4
10
AO =
+
=
；
故答案为：2 或10．
7．（24-25 八年级上·河南周口·期末）如图，在
ABC
中，BD
AC
⊥
，垂足为D，PQ 是BC 边的垂直平分线，
交BC 于点Q，交AC 于点P，AD
PD
=
．若
ABC
的周长是28cm，
6cm
CQ =
，则
+
AB
AD 的长是 ．
【答案】8cm/8 厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到AB
PB
=
，CP
PB
=
，
2
12cm
BC
CQ
=
=
，再求出
=16cm
AB
AC
+
，
=16cm
AB
AP
BP
+
+
，即可求出
=8cm
AB
AD
+
．
【详解】解：∵BD
AC
⊥
，AD
PD
=
，
∴BD是线段AP 的垂直平分线，
∴AB
PB
=
，
∵PQ 是BC 边的垂直平分线，
∴CP
PB
=
，
2
12cm
BC
CQ
=
=
，
∴
=
AB
PB PC
=
，
∵
ABC
的周长是28cm，
∴
28cm
AB
AC
BC
+
+
=
，
∴
=28 12=16cm
AB
AC
+
−
，
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即
=
=16cm
AB
AP
PC AB
AP
BP
+
+
+
+
，
∵AB
PB
=
，AD
PD
=
，
∴
=8cm
AB
AD
+
．
故答案为：8cm
题型八：垂直平分线中尺规作图（解答题）
1．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知
ABC
．
(1)尺规作图：作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明
字母）
(2)在（1）的条件下，连接BD．若
ABC
的周长为16，
3
BE =
，求
ABD
△
的周长．
【答案】(1)见详解
(2)10
【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．
（1）利用基本作图作出BC 的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得
3cm
BE
CE
=
=
，DB
DC
=
，再利用三角形的周长的定义和等线段代换
得到
10cm
AB
AD
CD
+
+
=
，然后计算
ABD
△
的周长．
【详解】（1）解：如图，DE 为所作；
（2）解：
DE
垂直平分BC ，
3
BE
CE
=
= ，DB
DC
=
，
∴
6
BC
BE
CE
=
+
=
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ABC
的周长为16，
即
6
16
AB
BC
AC
AB
AD
DC
+
+
=
+ +
+
=
，
10
AB
AD CD
+
+
=
，
即
10
AB
AD
BD
+
+
=
，
ABD
的周长为10．
2．（上海市浦东区2024-2025 学年下学期七年级数学期末试卷）如图，在Rt
ABC
中，
90
ABC
=
(1)请用直尺和圆规作线段BC 的垂直平分线，分别交线段BC
AC
、
于点E
F
、
(2)连接BF ，请找出图中和BF 相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)CF
BF
=
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键．
（1）基本作图，作线段BC 的垂直平分线MN ，分别交线段BC
AC
、
于点E
F
、，点E
F
、即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，分别以点B 和点C 为圆心，以大于1
2 BC 的长为半径画弧，两弧交于
,
M N 两点，
作直线MN ，分别交线段BC 、与AC 点E
F
、，点E
F
、即为所求作；
（2）解：
EF
是线段BC 的垂直平分线，
CF
BF
=
．
3．（2025·广东惠州·二模）如图，在
ABC
中，
C
是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接DC ，若
44
A
=
，
20
B
=
，求
DCB
的大小．
【答案】(1)见详解
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(2)72
【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直
平分线的做法以及性质是解题的关键．
（1）分别以点A、C 为圆心，大于1
2 AC 为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交AC 于D．
（2）由线段垂直平分线的性质得出
44
A
ACD
=
=
，由三角形内角和定理得出
180
44
20
116
ACB
=
−
−
=
，再根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：垂直平分线ED即为所求：
（2）解：∵DE 为AC 的垂直平分线
∴AD
CD
=
,
∴
44
A
ACD
=
=
，
∵
180
A
B
ACB
++
=
，
∴
180
44
20
116
ACB
=
−
−
=
，
∴
72
DCB
ACB
ACD
=
−
=
4．（2025·黑龙江绥化·二模）BD是
ABC
中AC 边上的中线．
(1)尺规作图：作出BD的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法）
(2)当点E 靠近点B 时，连接AE
AF
、
，若
6
ADE
S
=
，则
ABC
的面积为________．
【答案】(1)作图见解析；
(2)18
【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握三角形的重心是三条
中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．
（1）先作线段AB 的垂直平分线，确定线段AB 的中点，作AB 边上的中线交BD于点F ，以点F 为圆心，DF
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为半径作圆交BF 于点E ，点E 、点F 即为所求；
（2）连接AE 、AF ，由题意得
1
2
ABD
CBD
ABC
S
S
S
=
=
，由E 、F 为线段BD的三等分点，得
1
1
3
6
ABE
AEF
ADF
ABD
ABC
S
S
S
S
S
=
=
=
=
△
△
△
△
△
，由已知条件得
1
3
2
ADF
ADE
S
S
=
=
△
△
，通过
6
ABC
ADF
S
S
=
△
△
即可求
解．
【详解】（1）解：如图所示，点E 、点F 即为线段BD的三等分点；
（2）连接AE 、AF ，如图所示：
BD是
ABC
中AC 边上的中线，
AD
CD
=
，
1
2
ABD
CBD
ABC
S
S
S
\
=
=
，
点E 、点F 为线段BD的三等分点，
1
3
ABE
AEF
ADF
ABD
S
S
S
S
=
=
=
△
△
△
△
，
6
ADE
S
=
△
，
1
3
2
ADF
ADE
S
S
=
=
△
△
，
8
3
1
2
2
ABC
ABD
ADF
S
S
S
=
=
=
△
△
△
；
故答案为：18．
5．（2025·浙江·二模）如图，在7 6
的方格中，
ABC
的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF （E，F
均为格点），各画出一条即可．
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线，垂线，垂直平分线；根据网格的特点，画出符合相应条件的图形即可．
【详解】解：线段EF 如下图所示：
6．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知
ABC
中．
(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线DE ，分别交边BC ，AB 于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标
明字母）；
(2)连接AD，若
8
AB =
，
ABC
的周长是18，求ACD
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意得
10
AC
BC
+
=
，由线段垂直平分线的性质可得AD
BD
=
，则可得ACD
的周长为
10
AC
AD
CD
AC
BD
CD
AC
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
．
【详解】（1）解：如图，直线DE 即为所求．
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（2）解：连接AD，
∵
ABC
的周长是18，
∴
8
18
AB
AC
BC
AC
BC
+
+
= +
+
=
，
∴
10
AC
BC
+
=
，
∵直线DE 为线段AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
=
，
∴ACD
的周长为
10
AC
AD
CD
AC
BD
CD
AC
BC
+
+
=
+
+
=
+
=
．
7．（24-25 八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m 上建一个垃圾站点D 和鲜奶站E，按
要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B 在街道m 的异侧，要使垃圾站点D 到小区A，B 的距离相等，请确定垃圾站点D 的位
置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C 在街道m 的同侧，要使鲜奶站E 到小区A，C 的距离之和最短，请确定鲜奶站E 的位
置．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线
段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB 的垂直平分线，交直线m 于点D，则点D 即为所求．
（2）取点C 关于直线m 的对称点C，连接AC交直线m 于点E，则点E 即为所求．
【详解】（1）解∶如图1 作线段AB 的垂直平分线，交直线m 于点D，则点D 即为所求．
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（2）解：如图， 取点C 关于直线m 的对称点C，连接AC交直线m 于点E．此时AE
CE
AE
C E
AC
+
=
+
=
，
为最小值，则点E 即为所求，
9．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n 上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要
求，发射塔P 到两城镇A、B 的距离必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段AB 垂直平分线交n 于点P 即可．
【详解】解：如图，点P 即为所求，
题型九：垂直平分线的判定中相关求解（解答题）
1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，点E 是AB 的中点，连接DE 并
延长交CB 的延长线于点F ，点G 在线段BC 上，且
GDF
ADF
=
，连接EG ．求证：
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(1) AD
BF
=
；
(2) EG 垂直平分DF ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形
全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出
ADE
BFE
=
，再根据点E 是AB 的中点，即得出AE
BE
=
，由对顶角相等得
出
AED
BEF
=
，即证明
(
)
AAS
AED
BEF
≌
，得出AD
BF
=
；
（2）由
AED
BEF
△
≌△
，得出ED
EF
=
．根据题意又易证GF
GD
=
，结合EG
EG
=
，可证
(
)
SSS
GFE
GDE
≌
，
即得出
90
GEF
GED
=
=
，即EG
DF
⊥
，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
∥
，即AD
CF
∥
，
∴
ADE
BFE
=
．
∵点E 是AB 的中点，
∴AE
BE
=
．
又∵
AED
BEF
=
，
∴
(
)
AAS
AED
BEF
≌
，
∴AD
BF
=
；
（2）证明：∵
AED
BEF
△
≌△
，
∴ED
EF
=
．
∵
ADE
BFE
GDF
ADF
=
=
，
，
∴
GFD
GDF
=
，
∴GF
GD
=
．
又∵EG
EG
=
，
∴
(
)
SSS
GFE
GDE
≌
，
∴
90
GEF
GED
=
=
，即EG
DF
⊥
．
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∴EG 垂直平分DF ．
2．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线1l 交AB 于点M，交BC 于点D，
AC 的垂直平分线2l 交AC 于点N，交BC 于点E，1l 与2l 相交于点O，
ADE
的周长为10．
(1)求BC 的长；
(2)试判断点O 是否在边BC 的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
10
BC =
(2)点O在边BC 的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB
DA
=
，同理EA
EC
=
，于是得到结论；
（2）连接AO ，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）
1l
垂直平分AB ，
DB
DA
=
，
同理EA
EC
=
，
10
BC
BD
DE
EC
DA
DE
EA
=
+
+
=
+
+
=
；
（2）点O在边BC 的垂直平分线上，
理由：连接AO ，BO，CO，
1l
与2l 是AB ，AC 的垂直平分线，
AO
BO
=
，CO
AO
=
，
OB
OC
=
，
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点O在边BC 的垂直平分线上．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，AD是
ABC
的角平分线，DE
DF
，
分别是
ABD
△
和ACD
的
高，连接EF 、AD交于点O．
(1)证明：AED
AFD
≌
；
(2)证明：AD垂直平分EF ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角
形全等的判定方法．
（1）用AAS证明AED
AFD
≌
即可；
（2）根据全等三角形的性质，得出AE
AF
=
，DE
DF
=
，说明点A 、D 在线段EF 的垂直平分线上，即可
证明结论．
【详解】（1）证明：
AD
是
ABC
的角平分线，
DAF
DAE
=
，
DE
，DF 分别是
ABD
△
和ACD
的高，
90
AFD
AED
=
=
，
在
AED
△
和
AFD
△
中，
DAF
DAE
AFD
AED
AD
AD
=
=
=
，
AAS
AED
AFD
△
≌△
(
)；
（2）证明：
AED
AFD
≌
，
DE
DF
=
，AE
AF
=
，
点A 、D 在线段EF 的垂直平分线上，
AD
垂直平分EF ．
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4．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形ABCD中，AD
AB
BC
DC
=
=
，
，我们把这种两组邻边
分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)线段AC 和线段BD的位置关系是 ；
(2)求证：
ABC
ADC
△
≌△
；
(3)在“筝形” ABCD中，已知
6
4
AC
BD
=
=
，
，求“筝形” ABCD的面积．
【答案】(1) AC
BD
⊥
(2)见解析
(3)12
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定；
（1）根据垂直平分线的判定即可得出证明；
（2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（3）根据
ABD
BCD
ABCD
S
S
S
=
+
筝形
△
△
进行计算即可．
【详解】（1）AC 是线段BD的垂直平分线，理由如下：
∵AB
AD
=
，BC
DC
=
，
∴
,
A C 在BD的垂直平分线上，
则线段AC 和线段BD的位置关系是AC
BD
⊥
故答案为：AC
BD
⊥
．
（2）证明：在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
BC
DC
AC
AC
=
=
=
，
∴
ABC
ADC
△
≌△
；
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（3）∵
1
1
,
,
2
2
ABD
BCD
S
S
BD
AO
BD CO
=
=
△
△
∴
ABD
BCD
ABCD
S
S
S
=
+
筝形
△
△
= 1
1
2
2
BD
AO
BD CO
+
=
(
)
1
2 BD
AO
CO
+
= 1
2 BD
AC
= 1
4 6
2
= 12
∴“筝形” ABCD的面积为：12．
5．（24-25 八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
CD
=
，AB
CB
=
，我们把这种两组邻
边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O．
(1)请判断AC 与BD之间的位置关系，并说明理由；
(2)若
6
AC =
，
8
BD =
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) AC
BD
⊥
，理由见解析
(2)24
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的
关键．
（1）先说明点B、点D 都在线段AC 的垂直平分线上即可证明结论；
（2）根据
ABCD
ABD
CBD
S
S
S
=
+
四边形
以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：AC
BD
⊥
．理由如下：
AD
CD
=
，
点D 在线段AC 的垂直平分线上．
AB
CB
=
，
点B 在线段AC 的垂直平分线上，
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BD
是线段AC 的垂直平分线，
AC
BD
⊥
．
（2）解：由（1）得，AC
BD
⊥
，
ABCD
1
1
2
2
ABD
CBD
S
S
S
BD AO
BD CO
=
+
=
+
四边形
(
)
1
1
1 8 6
24
2
2
2
BD
AO
CO
BD AC
=
+
=
=
=
．
6．（24-25 八年级上·天津东丽·期中）如图，AD与BC 相交于点O，OA
OC
=
，
A
C
=
，BE
DE
=
．
(1)求证OB
OD
=
；
(2)求证：OE 垂直平分BD．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题．
（1）ASA证明
AOB
COD
≌
△
△
，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在
AOB
与
COD
△
中，
A
C
OA
OC
AOB
COD
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
AOB
COD
≌
，
∴OB
OD
=
．
（2）证明：由（1）得
AOB
COD
≌
△
△
，
∴OB
OD
=
，
∴点O 在线段BD的垂直平分线上，
∵BE
DE
=
，
∴点E 在线段BD的垂直平分线上，
∴OE 垂直平分BD．
7．（24-25 八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，点D 是BC 的
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中点，CE
AD
⊥
，垂足为点E ，BF
AC
∥
交CE 的延长线于点F ，
(1)求证：
2
AC
BF
=
；
(2)连接DF ，求证：AB 垂直平分DF ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行的性质证
CDA
F
=
，即可证明
(AAS)
ACD
CBF
△
≌△
，可得CD
BF
=
，易证
2
AC
CD
=
，
即可解题；
（2）连接DF 交AB 于G 点，易BD
BF
=
，
45
ABC
=
，根据
F
ACD
CB
△
△
≌
，可求得
45
ABF
=
，即
可证明
DBG
FBG
≌
△
△
，可得DG
FG
=
，
DGB
FGB
=
，即可求得
90
DGB
FGB
=
=
，即可解题．
【详解】（1）BF
AC
∥
，
BC
BF
⊥
，
90
DCE
F
+
=
，
90
DCE
CDA
+
=
，
CDA
F
=
，
在ACD
和CBF
中，
90
CDA
F
ACD
CBF
AC
BC
=
=
=
=
(AAS)
ACD
CBF
△
≌△
，
CD
BF
=
，
点D 是BC 的中点，
2
AC
BC
CD
=
=
，
2
AC
BF
=
；
（2）连接DF 交AB 于G 点，
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,点D 是BC 的中点，
2
AC
BD
=
，
2
AC
BF
=
，
BD
BF
=
，
AC
BC
=
，
90
ACB
=
，
45
ABC
=
，
ACD
CBF
△
≌△
，
CBF
ACD
90
=
=
，
45
ABF
=
，
在
DBG
△
和
FBG
△
中，
45
BD
BF
ABD
ABF
BG
BG
=
=
=
=
(SAS)
DBG
FBG
△
≌△
，
DG
FG
=
，
DGB
FGB
=
，
180
DGB
FGB
+
=
，
90
DGB
FGB
=
=
，
AB
DF
⊥
AB 垂直平分DF ．
8．
（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，OE 平分
AOB
，EC
OA
⊥
于点C ，DE
OB
⊥
于点D ，连接CD．
(1)试说明OD
OC
=
；
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(2)
BDC
与
ACD
相等吗？请说明理由；
(3)OE 是否垂直平分CD，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
BDC
ACD
=
，理由见解析
(3)OE 垂直平分CD，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定：
（1）利用AAS证明
EOD
EOC
△
≌△
，即可证明结论；
（2）设CD
OE
，
交于H，证明HOD
HOC
≌
得到
ODC
OCD
=
，再利用平角的定义即可证明结论；
（3）根据全等三角形的性质得到OD
OC
ED
EC
=
=
，
，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵OE 平分
AOB
，
∴
EOD
EOC
=
∠
∠
，
∵EC
OA
⊥
，DE
OB
⊥
，
∴
90
EDO
ECO
=
=
，
又∵OE
OE
=
，
∴
(
)
AAS
EOD
EOC
≌
，
∴OD
OC
=
；
（2）解：
BDC
ACD
=
，理由如下：
设CD
OE
，
交于H，
∵
EOD
EOC
=
∠
∠
，OD
OC
=
，OH
OH
=
，
∴
(
)
SAS
HOD
HOC
≌
，
∴
ODC
OCD
=
，
∵
180
ODC
BDC
OCD
ACD
+
=
=
+
∠
∠
∠
∠
，
∴
BDC
ACD
=
；
（3）解：OE 垂直平分CD，理由如下：、
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∵
EOD
EOC
△
≌△
，
∴OD
OC
ED
EC
=
=
，
，
∴点O 和点E 都在线段CD的垂直平分线上，
∴OE 垂直平分CD．
9．（24-25 八年级上·山东日照·期中）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点M ，D ，
边AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点N ，E ，MD ，NE的延长线交于点O．
(1)若
12
BC =
，求
ADE
的周长；
(2)试判断点O是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由；
【答案】(1)12
(2)点O在BC 的垂直平分线上，理由见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进行推理证
明与计算；
（1）根据垂直平分线的性质得出AD
BD
=
，AE
CE
=
，再根据
12
BC =
，求出
ADE
的周长即可；
（2）连接AO ，BO，CO，证明OB
OC
=
即可．
【详解】（1）解：
AB
，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，
AD
BD
=
，AE
CE
=
，
ADE
的周长
12
AD
DE
AE
BD
DE
CE
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
；
（2）解：点O在BC 的垂直平分线上，理由如下：
连接AO ，BO，CO，
DM
，EN 分别是AB ，AC 的垂直平分线，
OA
OB
=
，OA
OC
=
，
OB
OC
=
，
点O在BC 的垂直平分线上；
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题型一：垂直平分线的性质中最值问题
1．（24-25 八年级下·安徽宿州·期中）如图，在
ABC
中，AD是
ABC
的角平分线，点E、F 分别是AD、
AB 上的动点，若
60
BAC
=
，当BE
EF
+
的值最小时，
AEB
的度数为（ ）
A．105
B．115
C．120
D．130
【答案】C
【分析】过点B 作BB
AD
⊥
于点G，交AC 于点B，过点B作B F
AB
⊥
于点F，与AD交于点E，连接BE、
B E
，证明AD垂直平分BB，推出BE
BE
=
，由三角形三边关系可知，BE
EF
B E
EF
B F
B F
ⅱ
ⅱ
+
=
+
吵
，
即BE
EF
+
的值最小为B F
，通过证明ABE
ABE
≌
，推出
AEB
AEB
=
，因此利用三角形外角的性质
求出
AE B
即可．
【详解】解：过点B 作BB
AD
⊥
于点G，交AC 于点B，过点B作B F
AB
⊥
于点F，与AD交于点E，连
接BE、B E
，如图：
∵AD是
ABC
的角平分线，
60
BAC
=
，
∴
30
BAD
B AD
=
=
，
∵BB
AD
⊥
，
∴
90
AGB
AGB
=
=
，
在ABG
和
AB G
△
中，
BAG
B AG
AG
AG
AGB
AGB
=
=
=
，
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∴
(
)
ASA
ABG
AB G
≌
，
∴BG
B G
=
，AB
AB
=
，
∴AD垂直平分BB，
∴BE
BE
=
，
∴EF
BE
EF
BE
+
=
+
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点E 在点E处时，EF
BE
+
最小，
在
ABE
△
和AB E
中，
BE
BE
AE
AE
AB
AB
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABE
AB E
≌
，
∴
AEB
AEB
=
，
∵B F
AB
⊥
，
∴
90
AF B
=
，
∵
30
90
120
AE B
BAD
AF B
=
+
=
+
=
，
∴
120
AE B
=
，
即当BE
EF
+
的值最小时，
AEB
的度数为120．
故选：C．
2．
（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE 中，
146
BAE =
∠
，
90
B
E
= =
，在直线BC ，
DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN
的周长最小，此时
MAN
的度数为（ ）
A．112
B．104
C．96
D．84
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长AB 至点F ，延长AE 至点G ，连接
,
,
FG MF NG ，
推出MB 垂直平分AF ，NE垂直平分AG ，得到
,
FM
AM GN
AN
=
=
，进而得到AMN
的周长
AM
MN
AN
FM
MN
NG
=
+
+
=
+
+
，得到当
,
,
,
F M N G 四点共线时，AMN
的周长最小，根据等边对等角，
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三角形的内角和定理，求出
MAN
的度数即可．
【详解】解：延长AB 至点F ，延长AE 至点G ，连接
,
,
FG MF NG ，
则：
,
AB
BF AE
EG
=
=
，
∵
90
ABC
AED
=
=
，
∴MB 垂直平分AF ，NE垂直平分AG ，
∴
,
FM
AM GN
AN
=
=
，
∴AMN
的周长
AM
MN
AN
FM
MN
NG
=
+
+
=
+
+
，
∴当
,
,
,
F M N G 四点共线时，AMN
的周长最小，
∵
,
FM
AM GN
AN
=
=
，
∴
,
AFM
FAM
NAG
NGA
=
=
，
∵
146
BAE =
∠
，
∴
180
146
34
FAM
NGA
AFM
NAG
+
=
+
=
−
=
，
∴
112
MAN
BAE
FAM
GAN
=
−
−
=
；
故选A．
3．（23-24 八年级上·河北石家庄·期末）如图，在
ABC
中，
2.5
1.5
AB
AC
=
=
，
，直线m 是
ABC
中BC 边
的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则
APC
△
的周长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根
据直线m 是
ABC
中BC 边的垂直平分线，得到点B 与点C 关于直线m 对称，故当点P 位于直线m 与AB 的
交点处时，AP
PC
+
取得最小值AB ，此时
APC
△
的周长的最小值为
+
AB
AC ，代入计算即可．
【详解】解∶ 因为直线m 是
ABC
中BC 边的垂直平分线，
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60 /
所以点B 与点C 关于直线m 对称，
故当点P 位于直线m 与AB 的交点处时，AP
PC
+
取得最小值AB ，
所以
APC
△
的周长的最小值为
+
AB
AC ，
因为
2.5
1.5
AB
AC
=
=
，
，
所以
APC
△
的周长的最小值为2.5 1.5
4
+
= ．
故答案为：4．
4．（24-25 八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰
ABC
的底边
4
BC =
，面积为18，直线EG 是腰AC 的垂
直平分线，若点D 在EG 上运动，点F 在边BC 上运动，则DF
DC
+
的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．连接AD，由线段垂直平分线的性质可得DA
DC
=
，得到DF
DC
DF
DA
+
=
+
，可知当点A、D、
F 三点共线且AF
BC
⊥
时，DF
DA
+
的值最小，即等于AF 的长，利用三角形的面积求出AF 的长即可求解．
【详解】解：在等腰
ABC
中，直线EG 是腰AC 的垂直平分线，如图1，连接AD，
∴DA
DC
=
，
∴DF
DC
DF
DA
+
=
+
，
当点A、D、F 三点共线且AF
BC
⊥
时，DF
DA
+
的值最小，即等于AF 的长，如图2，
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∵
4
BC =
，等腰
ABC
的面积为18，
∴1
4
18
2
AF
=
，
∴
9
AF =
，
∴DF
DC
+
的最小值为9，
故答案为：9．
5．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在
ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，EF 是BC 的垂直平分线，
点P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB
+
的最小值是
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得BP
CP
=
，根据两点之间线
段最短即可求解．
【详解】解：连接BP，如图，
∵EF 是BC 的垂直平分线，
∴BP
CP
=
，
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根据两点之间线段最短知，PA
PB
PA
PC
AC
+
=
+
=
，其值最小，
所以PA PB
+
的最小值即为AC 的长，
所以PA PB
+
的最小值为6．
故答案为：6．
6．（24-25 八年级上·吉林延边·期末）如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，EF 垂直平分AB ，
点P 为直线EF 上一动点，则
APC
△
周长的最小值为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准
确找出动点的位置．由图形可得：
APC
△
周长
AC
AP
CP
=
+
+
，因为
6
AC =
，所以求出AP
CP
+
的最小值
即可求出
APC
△
周长的最小值，根据题意知点A 关于直线EF 的对称点为点B，故当点P 与点E 重合时，
AP
CP
+
的值最小，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接AE ，BP，
∵直线EF 垂直平分AB ，
∴A，B 关于直线EF 对称，
∴AE
BE
=
，AP
BP
=
，
在PCB
中，
PC
PB
CB
+
，
∴当P 和E 重合时，C、P、B 三点共线，
此时，AP
CP
+
的值最小，最小值等于BC 的长，
∴
APC
△
周长的最小值
6 8 14
AC
AP
CP
AC
BP
PC
AC
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
= + =
，
故答案为：14．
7．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，交AB
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于点E ，连接EC ，
10
AB =
，BEC
的周长为18．若点P 在直线EF 上，连接PA、PB ，则BC = ，PA
PB
−
的最大值为 ．
【答案】 8 8
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
先找出BC 的长，再确定PA
PB
−
的取得最大值为BC 的长即可．
【详解】解：∵AC 的垂直平分线交AC 于点F，交AB 于点E，
∴EA
EC
=
，
∵
BEC
的周长是18，
10
AB =
，
∴BC
BEC
=
的周长(
)
(
)
18
18
18 10
8
EC
EB
AE
EB
AB
−
+
=
−
+
=
−
=
−
=
，
点P 在直线EF 上，如图，连接PC ，
∵点P 在AC 的垂直平分线EF 上，
∴PA
PC
=
，
∴
8
PA
PB
PC
PB
BC
−
=
−
=
，
故PA
PB
−
的最大值为8，此时点P 是直线EF 与直线BC 的交点．
故答案为：8，8．
8．（24-25 九年级上·河北廊坊·期中）如图，在
ABC
中，
5
AC =
，
7
BC =
，DE 垂直平分边AB ，交AB 于
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点D，交BC 于点E，动点P 在线段DE 上，连接AP ，PC ，则
APC
△
周长的最小值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线
的性质是解题的关键．
如图：连接BP，先根据线段垂直平分线的性质可得AP
BB
=
，从而可得
APC
△
的周长为
5
AP
PC
AC
BP
PC
+
+
=
+
+ ，再根据两点之间线段最短可得当点P 与点E 重合时，BP
PC
+
取得最小值，
最小值为BC 的长，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接BP，
∵DE 垂直平分边AB ，
∴AP
BB
=
，
∵
5
AC = ，
∴
APC
△
的周长为
5
AP
PC
AC
BP
PC
+
+
=
+
+ ，
由两点之间线段最短可知，当点P 与点E 重合时，BP
PC
+
取得最小值，最小值为BC 的长，
∵
7
BC =
，
∴
APC
△
的周长最小值5
7
12
．
故答案为：12．
题型二：垂直平分线的性质和判定中多结论问题
1．（24-25 八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，AD是
ABC
的角平分线，DE
DF
，
分别是
AED
△
和ACD
的高，得到下列四个结论：①OA
OD
=
；②AD
EF
⊥
；③AE
AF
=
；④
2
2
2
2
AE
DF
AF
DE
+
=
+
．其中正
确的是（ ）
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65 /
A．②③
B．②④
C．①③④
D．②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明
(
)
AED
AFD AAS
≌
得到AE
AF
DE
DF
=
=
，
，进而可证明AD垂直平分EF ，据此逐一分析判断即可．
【详解】解：∵AD是
ABC
的角平分线，DE
DF
，
分别是
AED
△
和ACD
的高，
∴
90
DAE
DAF
AED
AFD
=
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
AED
AFD AAS
≌
，
∴AE
AF
DE
DF
=
=
，
，
∴AD垂直平分EF ，
∴AD
EF
⊥
，
∵
2
2
2
2
AE
AF
DF
DE
=
=
，
，
∴
2
2
2
2
AE
DF
AF
DE
+
=
+
，
根据现有条件无法证明OA
OD
=
，
∴正确的有②③④，
故选：D．
2．
（24-25 八年级上·湖北黄石·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满足AD
AC
=
，
E 为BC 上一点，连接AE ，
2
CAD
BAE
=
，连接DE ，下列结论中：①
ADE
ACB
=
；②
AEB
AED
=
；
③AC
DE
⊥
；④
2
DE
CE
BE
=
+
．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
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【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．如图所示，延长EB到点F ，使得BF
BE
=
，连接AF ，设
,
AC DE 交于点G ，可证
(
)
SAS
AFC
AED
≌
，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即
可求解．
【详解】解：如图所示，延长EB到点F ，使得BF
BE
=
，连接AF ，设
,
AC DE 交于点G ，
∵AB
BC
⊥
，
∴AB 垂直平分EF ，
∴AE
AF
=
，
BAF
BAE
=
，
∴
2
EAF
BAE
CAD
=
=
，
∴
EAF
EAC
EAC
CAD
+
=
+
，即
FAC
EAD
=
，
在AFC
和
AED
△
中，
AF
AE
FAC
EAD
AC
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
AFC
AED
≌
，
∴
ADE
ACB
=
，故①正确；
∴
AFB
AEB
AED
=
=
，故②正确；
∴
2
DE
FC
FB
BE
EC
BE
EC
=
=
+
+
=
+
，即
2
DE
CE
BE
=
+
，故④正确；
∵
AED
AEB
=
，
∴EA平分
BED
，
当
BAE
GAE
=
时，
90
ABE
AGE
=
=
，即AC
DE
⊥
，
∵无法确定
BAE
与
GAE
的数量关系，
∴无法确定AC
DE
⊥
，故③错误；
综上所述，正确的有①②④，
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故选：C ．
3．（24-25 八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形ABCD中，AC 与BD交于点O，其中AB
AD
=
，
BC
DC
=
．下列结论：①
ABC
ADC
△
≌△
；②AC 垂直平分BD；③BD平分
ABC
；④
1
2
ABCD
S
AC
BD
=
四边形
．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由
(SSS)
ABC
ADC
≌
证明；
②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的
面积四边形ABCD的面积
ABD
BDC
S
S
=
+
即可判断．
【详解】在ABC
与ABD
中，
AB
AD
BC
DC
AC
AC
=
=
=
，
∴
C
A
(SSS)
AB
DC
≌
，故①正确；
AB
AD
=
，BC
DC
=
，
AC
垂直平分BD，故②正确；
∵AB 不一定等于BC ，DA不一定等于DC ，
∴BD不一定垂直平分AC
∴BD不一定平分
ABC
，故③错误；
AC
BD
⊥
∴四边形ABCD的面积
1
1
1
2
2
2
ABD
BCD
S
S
S
BD AO
BD CO
AC BD
=
+
=
+
=
，故④正确；
综上所述，①②④正确，共3 个正确．
故选：C．
4．
（24-25 八年级上·河北张家口·期末）如图，在
ABC
中，
45
ABC
CD
AB
=
⊥
，
于点D，BE 平分
ABC
，
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且BE
AC
⊥
于点E，与CD相交于点F，DH
BC
⊥
于点H，交BE 于点G．以下结论：①BD
CD
=
；②
AD
CF
BD
+
=
；③
1
2
CE
BF
=
；④AE
CF
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据
45
ABC
CD
AB
=
⊥
，
可得出BD
CD
=
，利用ASA 判定
Rt
Rt
DFB
DAC
≌
△
△
，从而得出DF
AD
=
，BF
AC
=
．则CD
CF
AD
=
+
，即AD
CF
BD
+
=
；再利用ASA 判
定Rt
Rt
BEA
BEC
≌
△
△
，得出
1
2
CE
AE
AC
=
=
，又因为BF
AC
=
所以
1
1
2
2 F
AC
CE
B
=
=
，连接CG ，由
BCD
△
是等腰直角三角形，即BD
CD
=
．又因为DH
BC
⊥
，得DH 垂直平分BC ．即BG
CG
=
．在Rt
CEG
△
中，CG
是斜边，CE 是直角边，所以CE
CG
．即AE
BG
．
【详解】解：∵
45
CD
AB
ABC
⊥
=
，
，
∴
BCD
△
是等腰直角三角形．
∴BD
CD
=
．故①正确；
在Rt
DFB
△
和Rt DAC
中，
∵
90
DBF
BFD
=
−
，
90
DCA
EFC
=
−
，且
BFD
EFC
=
，
∴
DBF
DCA
=
．
又∵
90
BDF
CDA
BD
CD
=
=
=
，
，
∴
(
)
ASA
DFB
DAC
≌
．
∴BF
AC
=
；DF
AD
=
．
∵CD
CF
DF
=
+
，
∴AD
CF
BD
+
=
；故②正确；
在Rt BEA
和Rt BEC
中，
∵BE 平分
ABC
，
∴
ABE
CBE
=
．
又∵
90
BE
BE
BEA
BEC
=
=
=
，
，
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∴
(
)
ASA
BEA
BEC
≌
．
∴
1
2
CE
AE
AC
=
=
．
又由（2）知BF
AC
=
，
∴
1
1
2
2 F
AC
CE
B
=
=
；故③正确；
连接CG ．
∵
BCD
△
是等腰直角三角形，
∴BD
CD
=
又DH
BC
⊥
，
∴DH 垂直平分BC ．
∴BG
CG
=
在Rt
CEG
△
中，CG 是斜边，CE 是直角边，
∴CE
CG
．
∵CE
AE
=
，
∴AE
BG
．故④错误．
综上，正确的是①②③，
故选：C．
5．（24-25 八年级下·内蒙古包头·期中）如图，AD平分
BAC
，DE
AC
⊥
，垂足为E，BF
AC
∥
交ED的
延长线于点F，若BC 恰好平分
ABF
．则下列结论中：①AD是
ABC
的高；②AD是
ABC
的中线；③
ED
FD
=
；④AB
AE
BF
=
+
．其中正确的有 ．（填序号）
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70 /
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形
的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得
90
ADB
=
，然后可证
(
)
ASA
ADC
ADB
△
△
≌
，
(
)
AAS
DEC
DFB
△
△
≌
，进而问题可求解．
【详解】解：∵AD平分
BAC
，BC 恰好平分
ABF
，
∴
1
1
,
2
2
CAD
BAD
CAB
ABC
FBC
ABF
=
=
=
=
，
∵BF
AC
∥
，
∴
180
CAB
ABF
+
=
，
∴
90
DAB
ABD
+
=
，即
90
ADB
=
，
∴AD
BC
⊥
，即AD是
ABC
的高，故①正确；
∵
90
ADB
ADC
=
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
ASA
ADC
ADB
△
△
≌
，
∴AC
AB
=
，DB
DC
=
，即AD是
ABC
的中线，故②正确；
∵BF
AC
∥
，
∴
CED
F
=
，
∵
CDE
BDF
=
，
∴
(
)
AAS
DEC
DFB
△
△
≌
，
∴EC
BF
，ED
FD
=
，故③正确；
∵AC
AB
=
，EC
BF
，AC
AE
CE
=
+
，
∴AB
AE
BF
=
+
，故④正确；
故答案为：①②③④．
6．
（24-25 八年级上·重庆·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满足AC
AD
=
，
点E为BC 上一点，连接AE ，
2
CAD
BAE
=
，下列结论：①
ACB
ADE
=
；②AC
DE
⊥
；③若CD
AB
∥
，
则AE
AD
⊥
；④DE
BE
BE
CE
−
=
+
．正确的有 ．（填序号）
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71 /
【答案】①③④
【分析】因为
1
2
BAE
DAC
=
，且
90
ABC
=
，所以需要构造2 倍的
BAC
，故延长EB至G ，使BE
BG
=
，
从而得到
GAE
CAD
=
，进一步证明
GAC
EAD
=
，且AE
AG
=
，接着证明
(
)
SAS
GAC
EAD
≌
，则
ADE
ACG
=
，DE
CG
=
，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设
BAE
x
= ，则
2
DAC
x
=
，因为CD
AB
∥
，所以
90
BAC
ACD
x
=
=
−
，接着用x 表示出
EAC
，再计算
出
=90
DAE
，故③是正确的，当
CAE
BAE
=
时，可以推导出AC
DE
⊥
，否则AC 不垂直于DE ，故
②是错误的．
【详解】解：如图，延长EB至G，使BE
BG
=
，设AC 与DE 交于点M，
∵
90
ABC
=
，
∴AB
GE
⊥
，
∴AB 垂直平分GE ，
∴AG
AE
=
，
1
2
GAB
BAE
DAC
=
=
，
∵
1
2
BAE
GAE
=
，
∴
GAE
CAD
=
，
∴
GAE
EAC
CAD
EAC
+
=
+
，
∴
GAC
EAD
=
，
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72 /
在
GAC
△
与EAD
中
AG
AE
GAC
EAD
AC
AD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
GAC
EAD
≌
，
∴
G
AED
=
，
ACB
ADE
=
，故①是正确的；
∵AG
AE
=
，
∴
G
AEG
AED
=
=
，
∴AE 平分
BED
，
当
BAE
EAC
=
时，
90
AME
ABE
=
=
，则AC
DE
⊥
，
当
BAE
EAC
时，
AME
ABE
，则无法说明AC
DE
⊥
，故②是不正确的；
设
BAE
x
= ，则
2
CAD
x
=
，
∴
180
2
90
2
x
ACD
ADC
x
−
=
=
=
−
，
∵AB
CD
∥
，
∴
90
BAC
ACD
x
=
=
−
，
∴
90
90
2
CAE
BAC
EAB
x
x
x
=
−
=
−
−
=
−
，
∴
90
2
2
90
DAE
CAE
DAC
x
x
=
+
=
−
+
=
，
∴AE
AD
⊥
，故③是正确的；
∵GAC
EAD
≌
，
∴CG
DE
=
，
∵
2
CG
CE
GE
CE
BE
=
+
=
+
，
∴
2
DE
CE
BE
=
+
，
∴DE
BE
BE
CE
−
=
+
，故④是正确的，
故答案为①③④．
7．（23-24 八年级上·江苏·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，
ABO
ADO
△
≌△
，
下列结论：①AC
BD
⊥
；②CB
CD
=
；③
ABC
ADC
△
≌△
；④DA
DC
=
．其中不正确结论的序号是 ．
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73 /
【答案】④
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，由全等三角形的性质
得出AB
AD
=
，
BAO
DAO
=
，
90
AOB
AOD
=
=
，OB
OD
=
，再由全等三角形的判定定理得出
ABC
ADC
△
≌△
，进而得出其它结论，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】
ABO
ADO
≌
，
AB
AD
=
，
BAO
DAO
=
，
90
AOB
AOD
=
=
，OB
OD
=
，
AC
BD
⊥
，故①正确，不符合题意；
四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，
90
COB
COD
=
=
，
在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
BAO
DAO
AC
AC
=
=
=
，
(
)
SAS
ABC
ADC
≌
，故③正确，不符合题意；
BC
DC
=
，故②正确，不符合题意；
OA
OC
，
DA
DC
，
故④不正确，符合题意；
故答案为：④．
8．（23-24 八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在
ABC
中，
45
ABC
=
，AD，BE 分别为BC ，AC 边
上的高，AD，BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：
BF
AC
=
①
；
FCD
DAC
=
②
；
CF
AB
⊥
③
；④
若
2
BF
EC
=
，则
FDC
△
周长等于AB 的长．其中正确的有 ( 写出所有正确结论的序号)
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74 /
【答案】①③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，
外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长CF 交AB 于H ，先利用“ ASA”证明DBF
DAC
≌
，得出BF
AC
=
，DF
DC
=
，可判断①符合题意；
由
90
FDC
=
，得出
45
DFC
FCD
=
=
，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由
45
ABC
=
，
45
FCD
=
，得出
180
90
BHC
ABC
FCD
=
−
−
=
，得出CF
AB
⊥
，可判断③符合题意；由
2
BF
EC
=
，
BF
AC
=
，可证明BE 垂直平分AC ，得出AF
CF
=
，BA
BC
=
，得出
FDC
△
的周长
FD
FC
DC
FD
AF
DC
AD
DC
BD
DC
BC
AB
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
，可判断④符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，延长CF 交AB 于H ，
AD
，BE 分别为BC ，AC 边上的高，
90
BDF
ADC
BEA
BEC
=
=
=
=
，
45
ABC
=
，
180
45
BAD
ABC
ADB
=
−
−
=
，
BAD
ABD
=
，
AD
BD
=
，
90
DAC
ACB
DBF
ACB
+
=
+
=
，
DAC
DBF
=
∴
，
在DBF
和
DAC
△
中，
DBF
DAC
DB
DA
BDF
ADC
=
=
=
，
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(
)
DBF
DAC ASA
≌
，
BF
AC
=
，DF
DC
=
，故①符合题意；
90
FDC
=
，
45
DFC
FCD
=
=
，
DFC
DAC
，
FCD
DAC
，故②不符合题意；
45
ABC
=
，
45
FCD
=
，
180
90
BHC
ABC
FCD
=
−
−
=
，
CF
AB
⊥
，故③符合题意；
2
BF
EC
=
，BF
AC
=
，
2
AC
EC
=
，
AE
EC
=
，
BE
AC
⊥
，
BE
垂直平分AC ，
AF
CF
=
，BA
BC
=
，
FDC
的周长
FD
FC
DC
=
+
+
FD
AF
DC
=
+
+
AD
DC
=
+
BD
DC
=
+
BC
=
AB
=
，故④符合题意．
故答案为：①③④．
题型三：垂直平分线的性质和判定综合压轴题
1．
（24-25 七年级下·吉林长春·阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94 页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB 的垂直平
分线，P 是MN 上任一点，连结PA、PB ．将线段AB 沿直线MN 对折，我们发现PA与PB 完全重合．由此
即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
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76 /
已知：如图，MN
AB
⊥
，垂足点为C，AC
BC
=
，点P 是直线MN 的任意一点，求证：PA
PB
=
．
AI
分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA
PB
=
．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在
ABC
中，AB、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D、E，垂足分别为M，N，
24
BC =
，
则
ADE
的周长为________．
（3）如图③，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，E、P 分别是AB、AD 上任意一点，若
8
AB =
，
ABC
的面积为30，则BP
EP
+
的最小值是________．
【答案】（1）见解析；（2）24；（3）15
2
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段
垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键．
（1）证明PAC
PBC
≌
即可得证；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出AD
BD
=
，AE
CE
=
，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可
求解；
（3）在AC 上取点F，使AF
AE
=
，过点B 作BH
AC
⊥
于H，证明Rt
Rt
ABD
ACD
≌
得出
BAD
CAD
=
，
证明
APE
APF
≌
△
△
得出PE
PF
=
，则BP
PE
BP
PF
BH
+
=
+
，故当B、P、F 三点共线，且BH
AC
⊥
时，
BP
EP
+
最小，最小值为BH ，然后根据三角形面积求出BH 即可．
【详解】（1）证明：在PAC
和
PBC
△
中
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90
PC
PC
PCA
PCB
AC
BC
=
=
=
=
，
∴PAC
PBC
≌
，
∴PA
PB
=
；
（2）解：∵AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，
∴AD
BD
=
，AE
CE
=
∴AD
DE
AE
BD
DE
CE
BC
+
+
=
+
+
=
，
∵
24
BC =
，
∴
24
AD
DE
AE
+
+
=
，即
ADE
的周长为24．
故答案为：24；
（3）解：在AC 上取点F，使AF
AE
=
，过点B 作BH
AC
⊥
于H，
在Rt
ABD
△
和Rt
ACD
△
中
AB
AC
AD
AD
=
=
，
∴Rt
Rt
ABD
ACD
≌
，
∴BD
CD
=
，
BAD
CAD
=
，
在
APE
和APF
中
AE
AF
EAP
FAP
AP
AP
=
=
=
，
∴
APE
APF
≌
△
△
，
∴PE
PF
=
，
∴BP
PE
BP
PF
BH
+
=
+
，
当B、P、F 三点共线，且BH
AC
⊥
时，BP
EP
+
最小，最小值为BH ，
∵
8
AB
AC
=
= ，
ABC
的面积为30，
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∴1
8
30
2
BH
=
，
∴
15
2
BH =
，
∴BP
EP
+
的最小值为15
2 ．
故答案为：15
2 ．
2．（24-25 八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，
Rt
Rt
ABC
EFD
≌
，
90
ABC
EFD
=
=
，
30
DEF
CAB
=
=
．将
ABC
和DEF
按如图1 的方式在同一
平面内放置，其中点E 与点A 重合，边AB 与边DE 重合．
初步思考：
（1）小丽在图1 的基础上进行了如下操作：保持
ABC
不动，将DEF
沿着射线AC 的方向平移，
边DE 与边CB 交于点H，边EF 与直线BC 交于点G．如图2，当点H 为边DE 的中点时，判断线段DH 与
线段DF 的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2 的基础上进行如下操作：连接DG ，FH ．求证：DG 垂直平分FH ；
拓展延伸：（3）小颖在图1 的基础上进行如下操作：
3
DF
BC
=
= ，保持
ABC
不动，将DEF
沿着射线AC
的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F 平移到
ABC
的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1）DH
DF
=
，理由见解析（2）详见解析（3）6
3 3
−
或3 3
【分析】（1）利用中点的含义与含30的直角三角形的性质可得结论；
（2）如图，连接
,
DG FH ，证明
(
)
Rt
Rt
HL
GFD
GHD
△
≌
△
，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答
案；
（3）①当点F 落在BC 边所在直线上时，如图，②当点F 落在AB 边所在直线上时，如图，再进一步利用
全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
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【详解】解：（1）DH
DF
=
．理由：在Rt EFD
中，
90
EFD
=
，
30
DEF
=
，
1
2
DF
DE
=
，
点H 为边DE 的中点，
1
2
DH
DE
=
，
DH
DF
=
．
（2）证明：如图，连接
,
DG FH ，
由平移可知：DE
AB
∥
，
GHD
ABC
=
，
90
ABC
=
，
90
GHD
=
，
在Rt GFD
与Rt GHD
中：
GD
GD
DF
DH
=
=
(
)
Rt
Rt
HL
GFD
GHD
△
≌
△
，
GF
GH
=
，
GF
GH
=
，
点G 在FH 的垂直平分线上，
DF
DH
=
，
点D 在FH 的垂直平分线上，
DG
垂直平分FH ．
（3）6
3 3
−
或3 3 ．理由如下：
①当点F 落在BC 边所在直线上时，如图，
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由平移可知：DE
AB
∥
，
90
EGC
ABC
=
=
，
30
CEG
BAC
?
?
? ，
∴
30
FEG
CEG
=
=
，而
90
EGF
EGC
=
=
，EG
EG
=
，
(
)
ASA
EGF
EGC
△
≌△
，
EF
EC
=
，
在Rt EFD
中，
90
EFD
=
，
30
DEF
=
，
3
DF
BC
=
=
，
∴
2
6
DE
DF
=
=
，
2
2
3
3 3
EF
DE
DF
DF
=
−
=
=
，
3 3
EC
EF
=
=
，
在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
30
CAB
=
，
2
6
AC
BC
=
= ，
6
3 3
AE
AC
EC
=
−
=
−
；
②当点F 落在AB 边所在直线上时，如图，
过点E 向AB 边所在直线作垂线，交AB 边所在直线于点H，
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81 /
由平移可知：DE
AF
∥
，
30
EFH
DEF
=
=
，
30
CAB
=
，
AE
EF
=
，
在Rt EFD
中，
90
EFD
=
，
30
DEF
=
，
同理：
3
3 3
EF
DF
=
=
，
3 3
AE
EF
=
=
．
综上，平移距离为6
3 3
−
或3 3 ．
3．（24-25 八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，
ABC
中，若
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE
AD
=
，连接BE ．请根据小明
的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到
ADC
EDB
≌
，依据是____________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图2，已知
ABC
与AFG
，AB
AF
=
，AC
AG
=
，
180
BAF
CAG
+
=
，AD、AE 分
别为
ABC
中BC 边上的中线与高，且
9
BC =
，
6
AE =
，求AFG
的面积．
（3）拓展延伸：如图3，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 是CD的中点，
①若四边形ABCD的面积为m，求证：ABE
的面积为1
2 m ．
②若
90
BAE
ABE
+
=
，则AB 、BC 、AD三者之间的数量关系为______．
【答案】（1）①B；②1
7
AD
（2）27（3）AB
BC
AD
=
+
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质．
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（1）①由AD是中线得到BD
CD
=
，又
ADC
EDB
=
，AD
ED
=
，通过“SAS”可证
ADC
EDB
≌
△
△
．据
此可解答；
②由
ADC
EDB
≌
△
△
，
6
BE
CA
=
=
，根据三角形的三边关系有AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，即2
14
AE
，
又
1
2
AD
AE
=
，因此1
7
AD
；
（2）延长AD至H ，使得AD
DH
=
，可证得
(
)
SAS
ADC
HDB
≌
，得
ACB
DBH
=
，AC
BH
=
，
ADC
HDB
S
S
=
△
△
，可知AC
BH
∥
，得
180
ABH
BAC
+
=
，结合
180
BAF
CAG
+
=
，可证
ABH
FAG
=
，
即可证得
(
)
SAS
ABH
FAG
≌
，再由
AFG
ABH
ABD
HDB
S
S
S
S
=
=
+
△
△
△
△
ABD
ADC
S
S
=
+
△
△
ABC
S
=
△
即可求解；
（3）①延长AE 交BC 于F ，证明
(
)
AAS
ADE
FCE
≌
，得AE
EF
=
，
ADE
FCE
S
S
=
△
△
，可知
1
2
ABE
BEF
ABF
S
S
S
=
=
△
△
△
，再结合
ADE
FCE
ABF
ABCD
ABCE
ABCE
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
△
△
△
四边形
四边形
四边形
，即可证明结论；
②由①可知
ADE
FCE
△
≌△
，则AE
EF
=
，AD
CF
=
，结合题意可知
90
AEB
=
，可得BE 垂直平分AF ，
进而可得AB
BF
BC
CF
BC
AD
=
=
+
=
+
．
【详解】解：（1）①∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
在
ADC
△
和
EDB
△
中，
CD
BD
ADC
EDB
AD
ED
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
．
故选：B；
②解：∵
ADC
EDB
≌
△
△
，
∴
6
BE
CA
=
=
，
∴AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，
∴8 6
8
6
AE
−
+ ，即2
14
AE
，
∵AD
DE
=
，
∴
1
2
AD
AE
=
，
∴1
7
AD
．
故答案为：1
7
AD
；
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（2）延长AD至H ，使得AD
DH
=
，
∵AD是中线，
∴BD
CD
=
，
又∵
ADC
HDB
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
HDB
≌
，
∴
ACB
DBH
=
，AC
BH
=
，
ADC
HDB
S
S
=
△
△
∴AC
BH
∥
，
∴
180
ABH
BAC
+
=
，
∵
180
BAF
CAG
+
=
，则
180
BAC
FAG
+
=
∠
∠
，
∴
ABH
FAG
=
，
∵AC
AG
=
，
∴BH
AG
，
∵AB
AF
=
，
∴
(
)
SAS
ABH
FAG
≌
，
∴
AFG
ABH
ABD
HDB
S
S
S
S
=
=
+
△
△
△
△
ABD
ADC
S
S
=
+
△
△
ABC
S
=
△
1
2 BC AE
=
1
9 6
2
=
27
=
；
（3）①延长AE 交BC 于F ，
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∵AD
BC
∥
，
∴
D
ECF
=
，
DAE
CFE
=
，
又∵E 是CD的中点，
∴DE
CE
=
，
∴
(
)
AAS
ADE
FCE
≌
，
∴AE
EF
=
，
ADE
FCE
S
S
=
△
△
∴
1
2
ABE
BEF
ABF
S
S
S
=
=
△
△
△
，
∵
ADE
FCE
ABF
ABCD
ABCE
ABCE
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
△
△
△
四边形
四边形
四边形
，
∴
1
1
1
2
2
2
ABE
ABF
ABCD
S
S
S
m
=
=
=
△
△
四边形
，
∴ABE
的面积为1
2 m ；
②由①可知
ADE
FCE
△
≌△
，则AE
EF
=
，AD
CF
=
，
∵
90
BAE
ABE
+
=
，
∴
90
AEB
=
，即BE
AF
⊥
，
∴BE 垂直平分AF ，
∴AB
BF
BC
CF
BC
AD
=
=
+
=
+
，
故答案为：AB
BC
AD
=
+
．
4．（24-25 八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，
那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】（1）如图①，直线l 是线段 AB 的垂直平分线，点P 在直线l 的左侧，经测量，
.
PA
PB 请
证明这个结论；
【迁移研究】（2）如图②，直线l 是线段AB 的垂直平分线，点C 在直线l 外，且与点A 在直线l 的同测，
点D 是直线l 上的任意一点，连结
,
,
AD BC CD ，试判断BC 和AD
CD
+
之间的大小关系，并说明理由．
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【答案】（1）理由见解析；（2）AD
CD
BC
+
，理由见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，
到线段两端点的距离相等．
（1）如图①，连接PA PB AM
,
,
，由线段垂直平分线的性质推出AM
BM
=
，由三角形三边关系定理得到
PM
AM
PA
+
，推出PA
PB
；
（2）如图②，当D 不在线段BC 上时，连接BD，由线段垂直平分线的性质推出AD
BD
=
，由三角形三边
关系定理得到AD
CD
BC
+
，当D 在线段BC 上时，AD CD
BC
+
=
，于是AD
CD
BC
+
．
【详解】（1）证明：如图①，连接PA PB AM
,
,
，
∵直线l 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM
BM
=
，
∴PB
PM
MB
PM
AM
=
+
=
+
，
∵PM
AM
PA
+
，
∴PA
PB
；
（2）解：如图②，AD
CD
BC
+
，理由如下：
当D 不在线段BC 上时，连接BD，
∵直线l 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD
BD
=
，
∵BD CD
BC
+
＞
，
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∴AD
CD
BC
+
，
当D 在线段BC 上时，AD CD
BC
+
=
，
综上可知，AD
CD
BC
+
．
5．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在
ABC
中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，连接DE 并延长到点
,
G EG
DE
=
，过点
E 作FE
DE
⊥
交BC 于点F ，连接DF
GF
CG
、
、
，求证：
+
CF
AD
DF ；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABDC 是一个工业区，点D 是一个入口，B
C
、
是两个仓库，点E
F
、分别是粗加工厂
和精密加工厂，点E
F
、分别在AB
AC
、
上，DE
DF
、
是两条小路，CF
BE
、
是两条运输公路，为方便从粗
加工厂运输到精密加工厂，现要沿EF 修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道EF
与运输公路CF
BE
、
之间的数量关系．已知
180 ,
,
140
ABD
C
BD
CD
BDC
+
=
=
=
，
70
EDF
=
．请你
帮助管理人员探索线段
,
,
BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）BE
CF
EF
+
=
，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关
系的应用．构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证明
(
)
SAS
ADE
CGE
≌
，由全等三角形的性质得出AD
CG
=
，再根据线段垂直平分线的判定以及
性质得出DF
FG
=
，根据三角形三边关系可得出CF
CG
GF
+
，等量代换可得出
+
CF
AD
DF ．
（2）延长AB 至点N ，使BN
CF
=
，连接DN ，先证明
(
)
SAS
BDN
CDF
≌
，再证明
(
)
SAS
DEF
DEN
≌
，
由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明．
【详解】证明：（1）点E 是AC 的中点，
AE
CE
=
，
,
EG
DE
AED
CEG
=
=
，
(
)
SAS
ADE
CGE
≌
，
AD
CG
=
．
,
⊥
=
FE
DE EG
DE ，
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EF
垂直平分DG ，
DF
FG
=
，
在
CFG
△
中，
CF
CG
GF
+
，
+
CF
AD
DF ．
（2）BE
CF
EF
+
=
，
证明如下：
如图，延长AB 至点N ，使 BN
CF
=
，连接DN ，
180 ,
180
ABD
C
ABD
DBN
+
=
+
=
，
DBN
C
=
，
在BDN 和CDF
中，
BD
CD
DBN
C
CF
BN
=
=
=
，
，
，
(
)
SAS
BDN
CDF
≌
，
,
DF
DN
CDF
BDN
=
=
，
140
70
70
EDN
EDB
CDF
EDF
=
+
=
−
=
=
，
在DEF
和DEN
中，
DF
DN
EDN
EDF
DE
DE
=
=
=
，
，
，
(
)
SAS
DEF
DEN
≌
，
EF
EN
=
，
=
+
=
+
EN
BE
BN
BE
CF ，
BE
CF
EF
+
=
．
6．
（24-25 八年级上·内蒙古赤峰·期末）
【教材呈现】如图1，连接
ABC
的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，
所得线段AD叫做
ABC
的边BC 上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在
ABC
中，
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8,
6,
AB
AC
D
=
=
是BC 的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到E ，使DE
AD
=
，请
完成证明“
ADC
EDB
≌
”的推理过程．
（1）求证：
ADC
EDB
≌
．
（2）求AD的取值范围．
【问题解决】
（3）如图3，在
ABC
中，
90
B
?
? ，
2
AB =
，AD是
ABC
的中线，CE
BC
⊥
，
4
CE =
，且
90
ADE
=
，
求AE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
7
AD
；（3）6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，
通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE ，先根据线段中点的定义可得BD
CD
=
，再利用SAS定理即
可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得
6
BE
AC
=
=
，再根据三角形的三边关系可得2
14
AE
，由此即可得；
（3）延长AD，交EC 的延长线于点F ，先证出
ABD
FCD
△
≌△
，根据全等三角形的性质可得
2
CF
AB
=
=
，
AD
FD
=
，从而可得
6
EF =
，再证出DE 垂直平分AF ，根据线段垂直平分线的性质即可得．
【详解】（1）证明：如图，延长AD到点E ，使DE
AD
=
，连接BE ，
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∵点D 是BC 的中点，
∴BD
CD
=
，
在
ADC
△
和
EDB
△
中，
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
．
（2）解：由（1）已证：
ADC
EDB
≌
，
∴
6
BE
AC
=
=
，
在ABE
中，AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，即8 6
8
6
AE
−
+ ，
∴2
14
AE
，
又∵
1
2
AD
DE
AE
=
=
，
∴2
2
14
AD
，
∴1
7
AD
．
（3）解：如图，延长AD，交EC 的延长线于点F ，
∵CE
BC
⊥
，
∴
90
DCF
=
，
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∵
90
B
?
? ，
∴
90
B
DCF
=
=
，
∵AD是
ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
在
ABD
△
和FCD
中，
90
B
DCF
BD
CD
ADB
FDC
=
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
FCD
≌
，
∴
2
CF
AB
=
=
，AD
FD
=
，
∵
4
CE =
，
∴
6
EF
CE
CF
=
+
=
，
又∵AD
FD
=
，
90
ADE
=
，即DE
AF
⊥
，
∴DE 垂直平分AF ，
∴
6
AE
EF
=
=
．
7．（24-25 八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在射线BA
上，点E 在直线AC 上，AF 垂直平分线段DE 交直线BE 于点F ．
(1)如图1，若点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 上．求证：ABE
ACD
≌
；
(2)如图2，当点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 的延长线上时．
①请写出CD，DF ，BF 之间的数量关系并证明；
②若
2
ADF
ABE
S
S
=
△
△
，
5
CD =
，求BF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CD
BF
DF
+
=
，证明见解析；②
5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
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（1）根据垂直平分线得到AD
AE
=
，再由SAS即可证明全等；
（2）①同理可证明：
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
，那么BE
CD
=
，由EF
BE
BF
=
+
可得DF
BE
BF
CD
BF
=
+
=
+
；
②先证明
(
)
SSS
ADF
AEF
≌
，则
2
AEF
ADF
ABE
S
S
S
=
=
，故
ABF
ABE
S
S
=
，那么BF
BE
=
，而ABE
ACD
≌
，
因此得到
5
BF
BE
CD
=
=
=
．
【详解】（1）证明：∵
90
BAC
=
，
∴
180
90
CAD
ABC
ABC
=
−
=
=
，
∵AF 垂直平分DE
∴AD
AE
=
在ABE
和ACD
中，
AE
AD
BAE
CAD
AB
AC
=
=
=
∴
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
；
（2）①解：CD
BF
DF
+
=
，理由如下：
证明：∵AF 垂直平分DE
∴FD
FE
=
，
同（1）可证明：
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
∴BE
CD
=
∵EF
BE
BF
=
+
∴DF
BE
BF
CD
BF
=
+
=
+
；
②解：∵AF 垂直平分DE
∴DF
EF
=
，DA
EA
=
又AF
AF
=
∴
(
)
SSS
ADF
AEF
≌
∴
2
AEF
ADF
ABE
S
S
S
=
=
∴
ABF
ABE
S
S
=
∴BF
BE
=
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又∵ABE
ACD
≌
∴
5
BF
BE
CD
=
=
=
．
1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角
线AC
BD
，
交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO
DO
=
，AC
BD
⊥
B．
DAC
BAC
=
，AD
AB
=
C．
DAC
BAC
=
，
DCA
BCA
=
D．
ADC
ABC
=
，BO
DO
=
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明ADC
ABC
≌
可判断B、C选项，由
ADC
ABC
=
，
BO
DO
=
不能判断AB
AD
=
，CB
CD
=
即可判断D 选项，进而可得答案.
【详解】解：A、∵BO
DO
=
，AC
BD
⊥
，
∴AC 垂直平分BD，
∴
,
AD
BD CD
CB
=
=
，
∴四边形ABCD是筝形；
B、∵AD
AB
=
，
DAC
BAC
=
，AC
AC
=
，
∴ADC
ABC
≌
，
∴CB
CD
=
，
∴四边形ABCD是筝形；
C、∵
DAC
BAC
=
，AC
AC
=
，
DCA
BCA
=
，
∴ADC
ABC
≌
，
∴AB
AD
=
，CB
CD
=
，
∴四边形ABCD是筝形；
D、由
ADC
ABC
=
，BO
DO
=
不能判断AB
AD
=
，CB
CD
=
，故不能判断四边形ABCD是筝形；
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故选：D.
2．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭
到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．
ABC
的三条中线的交点
B．
ABC
三条角平分线的交点
C．
ABC
三边的垂直平分线的交点
D．
ABC
三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解三角形三条中线的交点、三条角平分线的交
点、三边的垂直平分线的交点、三条高所在直线的交点之间的区别．根据垂直平分线上的点到线段两端点
距离相等即可求解．
【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
凉亭应选的位置是
ABC
三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
中，DE 是AC 的垂直平分线，
5
AE = ，
ABD
△
的周
长为12，则
ABC
的周长为（ ）
A．17
B．22
C．29
D．30
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得
1
,
2
AD
CD AE
CE
AC
=
=
=
，再根据
三角形的周长公式即可得．
【详解】解：
DE
是AC 的垂直平分线，
1
2
AD
CD
AE
CE
AC
=
=
=
，
，
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ABD
的周长为
12
ABD
C
AB
BD
AD
=
+
+
=
△
，
5
AE = ，
ABC
的周长为
ABC
C
AB
BC
AC
=
+
+
(
)
2
AB
BD
CD
AE
=
+
+
+
2
AB
BD
AD
AE
=
+
+
+
2
ABD
C
AE
=
+
△
12
2 5
22
=
+ =
，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，在
ABC
中，直线m 是线段BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上
的一个动点，连接AP 、PC ，若
7
AB =
，
5
AC =
，则
APC
△
周长的最小值是（ ）
A．13
B．12
C．9
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接BP，由直线m 是线段BC 的垂直平分线，则BP
CP
=
，又
APC
△
周长为AP
CP
AC
AP
BP
AC
+
+
=
+
+
，
则当点A P
B
、、三点共线时，
APC
△
周长最小，为
+
AB
AC ，然后代入即可求解．
【详解】解：连接BP，
∵直线m 是线段BC 的垂直平分线，
∴BP
CP
=
，
∴
APC
△
周长为AP
CP
AC
AP
BP
AC
+
+
=
+
+
，
则当点A P
B
、、三点共线时，
APC
△
周长最小，
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∴
APC
△
周长的最小值为
7 5 12
AB
AC
+
=
+ =
，
故选：B．
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在
ABC
中，BC 的垂直平分线分别交BC
AC
、
于点D、E，连
接BE ．若BE 平分
ABC
，且
72
A
=
，则
CED
的度数为（ ）
A．72
B．64
C．54
D．36
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出
ABC
C
+
的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出
2
ABC
C
=
，进而求出
C
的度数，再根据
三角形的内角和定理求出
CED
的度数即可．
【详解】解：∵
72
A
=
，
∴
180
72
108
ABC
C
+
=
−
=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
ABE
CBE
=
，
∵BC 的垂直平分线分别交BC
AC
、
于点D、E，
∴
90 ,
EDC
BE
CE
=
=
，
∴
CBE
C
=
，
∴
ABE
CBE
C
=
=
，
∴
2
ABC
C
=
，
∴
3
108
ABC
C
C
+
=
=
，
∴
36
C
=
，
∴
90
54
CED
C
=
−
=
；
故选C．
6．（24-25 八年级上·河北保定·期中）在
ABC
中，AB 的垂直平分线分别交AB
BC
，
于点M
P
AC
，，
的垂
直平分线分别交AC
BC
，
于点N
Q
，
．若
10
2
BC
QP
=
=
，
，则
AQP
△
的周长为（ ）
A．8
B．10
C．14
D．10 或14
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【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：AP
BP
AQ
QC
=
=
，
，分两种情
况：当点P 在点Q 左侧时，当点P 在点Q 的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂
直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：当点P 在点Q 左侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知AP
BP
AQ
QC
=
=
，
，
∴
10
AQP
C
AP
AQ
PQ
BP
QC
PQ
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
；
当点P 在点Q 的右侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知AP
BP
AQ
QC
=
=
，
，
∴
2
10
4
14
AQP
C
AP
AQ
PQ
BP
QC
PQ
BP
CP
PQ
PQ
BC
PQ
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
；
综上所述，
AQP
△
的周长为10 或14，
故选：D．
7．（24-25 八年级上·湖南娄底·期末）如图，在
ABC
中，
52
ABC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直线
MN 分别交AB ，BC 于点M ，N ，若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
APC
的度
数为（ ）
A．104
B．116
C．128
D．142
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【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌
握线段垂直平分线的性质．由
52
ABC
=
，可得
128
BMN
BNM
+
=
，根据线段垂直平分线的性质可得：
MA
MP
=
，NP
NC
=
，推出
MAP
MPA
=
，
NPC
NCP
=
，再结合三角形的外角性质可得
1
1
64
2
2
MPA
NPC
BMN
BNM
+
=
+
=
，最后根据
(
)
180
APC
MPA
NPC
=
−
+
，即可求解．
【详解】解：
52
ABC
=
，
180
180
52
128
BMN
BNM
ABC
+
=
−
=
−
=
，
M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，
MA
MP
=
，NP
NC
=
，
MAP
MPA
=
，
NPC
NCP
=
，
2
BMN
MAP
MPA
MPA
=
+
=
，
2
BNM
NCP
NPC
NPC
=
+
=
，，
1
1
1 128
64
2
2
2
MPA
NPC
BMN
BNM
+
=
+
=
=
，
(
)
180
180
64
116
APC
MPA
NPC
=
−
+
=
−
=
，
故选：B．
8．
（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片ABC 的一角沿AB 的垂直平分线翻折，折痕为DE ，
点B 与点A 重合，已知
10
ACD
C
=
△
，
4
AE =
，则
=
△ABC
C
．
【答案】18
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到
4,
BE
AE
BD
AD
=
=
=
，再结合
ABC
C
AB
BC
AC
=
+
+
AE
BE
AD
DC
AC
=
+
+
+
+
求解，即可解题．
【详解】解：DE 为AB 的垂直平分线，
4
AE =
，
4,
BE
AE
BD
AD
=
=
=
，
10
ACD
C
AD
AC
DC
=
=
+
+
△
，
则
ABC
C
AB
BC
AC
=
+
+
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AE
BE
BD
DC
AC
=
+
+
+
+
AE
BE
AD
DC
AC
=
+
+
+
+
4
4 10
=
+ +
18
=
；
故答案为：18．
9．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，交AB 于点O，P 为直线l 上一
点，则下列说法：①点O 是线段AB 的中点；②直线l 是线段AB 的对称轴；③线段OP 是AB 的垂线，其
中正确的有 ．
【答案】①②/②①
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的
性质进行判断即可．
【详解】解：直线l 是AB 的垂直平分线，
OA
OB
=
O点为AB 的中点，故①正确，
直线l 是AB 的垂直平分线，
直线l 是线段AB 的对称轴，故②正确，
直线l 是AB 的垂直平分线，
直线OP 是AB 的垂线，故③不正确
故答案为：①②．
10．（24-25 八年级上·上海嘉定·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AD
BC E
∥
为CD的中点，连接
,
,
AE BE BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的延长线于点F．若
6,
4
AB
BC
=
=
，则AD = ．
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【答案】2
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性
质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据AD
BC
∥
可知
ADC
ECF
=
，再根据E 是CD的中点可求出DE
EC
=
，利用ASA 可得
ADE
FCE
△
≌△
， 可得FC
AD
=
，AE
EF
=
，结合已知可得BE 是线段AF 的垂直平分线，根据线段垂直
平分线的性质判断出AB
BF
=
即可证得AB
BC
AD
=
+
，进而即可求解．
【详解】解：∵AD
BC
∥
，
∴
ADE
FCE
=
，
∵E 是CD的中点，
∴DE
CE
=
，
∵
DEA
FEC
=
，
∴
(
)
ASA
ADE
FCE
≌
，
∴FC
AD
=
，AE
EF
=
，
又∵BE
AE
⊥
，
∴BE 是线段AF 的垂直平分线，
∴AB
BF
BC
CF
=
=
+
，
∵AD
CF
=
，
∴AB
BC
AD
=
+
，
∵
6,
4
AB
BC
=
=
，
∴
2
AD
AB
BC
=
−
=
，
故答案为：2．
11．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，在
ABC
中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆弧交BC 于点D ，
再分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN 交AB 于
点E ．若
10
AB =
，
7
AC =
，
12
BC =
，则
ADE
的周长为 ．
【答案】17
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【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得
7,
AD
AC
MN
=
=
垂直平分BD，则根据线
段垂直平分线的性质得到EB
ED
=
，然后利用等量代换即可得到
ADE
的周长．
【详解】解：由作图可得
7,
AD
AC
MN
=
=
垂直平分BD，
∴EB
ED
=
，
∴
ADE
的周长为
10 7
17
AE
DE
AD
AE
BE
AD
AB
AD
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
，
故答案为：17．
12．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中、AC
BC
⊥
、DE
AB
⊥
于点E 、AD是CE 的垂直
平分线，求证：AD平分
BAC
．
【答案】详见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．先证明
(
)
SAS
AED
ACD
≌
，得到
DAE
DAC
=
，即可得到结论．
【详解】证明：
DE
AB
AC
BC
⊥
⊥
，
，
90
AED
ACB
=
=
．
又
AD
是CE 的垂直平分线，
AE
AC
ED
DC
=
=
，
，
在
AED
△
和ACD
中，
AE
AC
AED
ACD
ED
DC
=
=
=
，
(
)
SAS
AED
ACD
≌
，
DAE
DAC
=
，
AD
平分
BAC
．
13．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C 三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划
新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置．
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【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质的应用，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题
的关键．
根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，作出AB
AC
，
的中垂线相交于点P 即为所求．
【详解】解：如图，点P 即为超市位置．
14．（24-25 八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
ABC
中，
8
AB =
，
6
AC =
，D 是BC 的中
点，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE
AD
=
，请补充完整证明
“
ADC
EDB
≌
△
△
”的推理过程．
（1）求证：
ADC
EDB
≌
△
△
；
证明：延长AD到点E，使DE
AD
=
D
是BC 的中点（已知）
CD
BD
=
（中点定义）
在
ADC
△
和
EDB
△
中
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102 /
(
)
(
)
(
)
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
已作
已证
∴
ADC
EDB
≌
△
△
（________）
（2）探究得出AD的取值范围是_______；
【问题解决】
（3）如图2，
ABC
中，
90
B
?
? ，
3
AB = ，AD是
ABC
的中线，CE
BC
⊥
，
6
CE =
，且
90
ADE
=
，
求AE 的长．
【答案】（1）对顶角相等，SAS；（2）1
7
AD
；（3）
9
AE =
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及线段的垂直平分线的性质，解题的关
键是作辅助线．
（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得
6
AC
BE
=
=
，再结合三角形的三边关系可得答案；
（3）延长AD交EC 于点F ，证明
ABD
△
≌
FCD
，根据全等性质得CF
BA
=
，AD
DF
=
，利用
90
ADE
=
，
结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案．
【详解】证明：延长AD到点E，使DE
AD
=
D
是BC 的中点（已知）
CD
BD
=
（中点定义）
在
ADC
△
和
EDB
△
中
(
)
(
)
(
)
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
已作
对顶角相等
已证
∴
ADC
EDB
≌
△
△
（SAS）；
（2）∵
ADC
EDB
≌
△
△
，
∴
6
AC
BE
=
=
，
∴8 6
8
6
AE
−
+ ，
∴2
2
14
AD
，
∴1
7
AD
．
（3）延长AD交EC 于点F ，如图
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∵
90
B
?
? ，CE
BC
⊥
，
∴
ABC
DCF
=
在
ABD
△
和FCD
中
ABC
FCD
BD
DC
ADB
FDC
=
=
=
∴
ABD
△
≌
FCD
∴
3
CF
BA
=
= ，AD
DF
=
，
∵
90
ADE
=
，
∴AE
FE
=
，
∴
6 3
9
AE
CE
CF
=
+
=
+ = ．
15．（24-25 八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在射线BA
上，点E 在直线AC 上，AF 垂直平分线段DE 交直线BE 于点F ．
(1)如图1，若点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 上．求证：ABE
ACD
≌
；
(2)如图2，当点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 的延长线上时．
①请写出CD，DF ，BF 之间的数量关系并证明；
②若
2
ADF
ABE
S
S
=
△
△
，
5
CD =
，求BF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CD
BF
DF
+
=
，证明见解析；②
5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题
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的关键．
（1）根据垂直平分线得到AD
AE
=
，再由SAS即可证明全等；
（2）①同理可证明：
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
，那么BE
CD
=
，由EF
BE
BF
=
+
可得DF
BE
BF
CD
BF
=
+
=
+
；
②先证明
(
)
SSS
ADF
AEF
≌
，则
2
AEF
ADF
ABE
S
S
S
=
=
，故
ABF
ABE
S
S
=
，那么BF
BE
=
，而ABE
ACD
≌
，
因此得到
5
BF
BE
CD
=
=
=
．
【详解】（1）证明：∵
90
BAC
=
，
∴
180
90
CAD
ABC
ABC
=
−
=
=
，
∵AF 垂直平分DE ，
∴AD
AE
=
，
在ABE
和ACD
中，
AE
AD
BAE
CAD
AB
AC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
；
（2）解：①CD
BF
DF
+
=
，理由如下：
证明：∵AF 垂直平分DE ，
∴FD
FE
=
，
同理可证明：
(
)
SAS
ABE
ACD
≌
，
∴BE
CD
=
，
∵EF
BE
BF
=
+
，
∴DF
BE
BF
CD
BF
=
+
=
+
；
②∵AF 垂直平分DE ，
∴DF
EF
=
，DA
EA
=
，
又AF
AF
=
，
∴
(
)
SSS
ADF
AEF
≌
，
∴
2
AEF
ADF
ABE
S
S
S
=
=
，
∴
ABF
ABE
S
S
=
，
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∴BF
BE
=
，
又∵ABE
ACD
≌
∴
5
BF
BE
CD
=
=
=
．
16．（24-25 八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在
ABC
中，若
5
AB =
，
3
AC =
，求BC 边上的中线AD
的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE
AD
=
，再连接BE ，这样就把AB ，AC ，
2AD集中在ABE
中，则中线AD的取值范围是______．
（2）如图2，在
ABC
中，D 是BC 边的中点，DE
DF
⊥
于点D，DE 交AB 于点E，DF 交AC 于点F，连
接EF ．试判断BE
CF
+
与EF 之间的大小关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
180
B
D
+
=
，CB
CD
=
，
160
BCD
=
，以C 为顶点作
80
ECF
=
，
边CE ，CF 分别交AB ，AD于点E，F，连接EF ．试判断BE ，DF 与EF 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）1
4
AD
；（2）EF
EB
CF
+
，见解析；（3）BE
DF
EF
+
=
【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平
分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长AD到点E 使DE
AD
=
，再连接BE ，证明
(SAS)
ADC
EDB
≌
△
△
，可得AC
BE
=
，再由三角形三
角关系可得1
4
AD
；
（2）延长FD 至G ，使FD
DG
=
，连接BG ，证明
(
)
SAS
CFD
BGD
≌
，可得BG
FC
=
，连接EG ，可知EFG
是等腰三角形，则EF
EG
=
，在EBG
中，利用三角形的三边关系可求解；
（3）延长AB 至H 使BH
DF
=
，连接CH ，证明
(SAS)
CBH
CDF
≌
，可推导出
80
ECH
ECF
=
=
，再证
明
(
)
SAS
HCE
FCE
≌
，则EH
EF
=
，能推导出BE
DF
EF
+
=
．
【详解】解：（1）延长AD到点E 使DE
AD
=
，再连接BE ，
CD
BD
=
，
ADC
BDE
=
，AD
DE
=
，
(
)
SAS
ADC
EDB
≌
，
3
AC
BE
=
= ，
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在ABE
中，AB
BE
AE
AB
BE
−
+
，
2
8
AE
，
2
AE
AD
=
，
1
4
AD
，
故答案为：1
4
AD
；
（2）EF
EB
CF
+
．
理由：延长FD 至G ，使FD
DG
=
，连接
,
BG EG ，
CD
BD
=
，
CDF
BDG
=
，FD
DG
=
，
(
)
SAS
CFD
BGD
≌
，
BG
FC
=
，
ED
FD
⊥
，FD
DG
=
，
∴EG 是FG 的垂直平分线，
EF
EG
=
，
在EBG
中，EG
EB
BG
+
，即EF
EB
CF
+
；
（3）延长AB 至H 使BH
DF
=
，连接CH ，
180
ABC
D
+
=
，
180
ABC
CBH
+
=
，
CBH
D
= ，
CB
CD
=
，BH
DF
=
，
(
)
SAS
CBH
CDF
≌
，
CH
CF
=
，
BCH
DCF
=
，
160
BCD
=
，
80
ECF
=
，
80
DCF
ECB
BCH
ECB
+
=
+
=
，
80
ECH
ECF
=
=
，
CH
FC
=
，EC
EC
=
，
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(
)
SAS
HCE
FCE
≌
，
EH
EF
=
，
BE
BH
EH
+
=
，
BE
DF
EF
+
=
．
