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13.3.1.1 三角形的内角（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
13.3.1 第一课时 三角形的内角
教学
目标
知识与技
能
1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求
第三角、已知内角比例关系列方程求解等。
过程与方
法
1. 经历“猜想—实验验证—逻辑推理—应用拓展”的探究过程，体会从“实
验几何”到“论证几何”的数学思想；
2. 通过测量法、剪拼法、折叠法的操作探究，培养动手实践能力与合情推理
能力；
3. 在定理证明过程中，体会“转化思想”与“辅助线”的作用，提升逻辑推
理能力。
情感态度
价值观
1. 在动手实验与自主探究中，感受数学的趣味性与严谨性，激发学习数学的
兴趣；
2. 在小组合作与交流中，培养协作意识与表达能力，体会成功的喜悦。
教材
分析
本节课是人教版八年级上册第十三章《三角形》的核心内容之一，承接了前面对三角
形边、角分类的学习，同时为后续学习多边形内角和、全等三角形、相似三角形等内容奠
定重要基础。教材通过“三角尺内角和→任意三角形内角和猜想→实验验证→逻辑推理证
明→实际应用”的线索展开，突出了“从特殊到一般”“从直观到抽象”的认知规律。其
中，测量法、剪拼法、折叠法是学生从直观层面感知定理的重要载体，而过顶点作平行线
证明内角和定理，是首次系统渗透“转化思想”与“辅助线”的典型案例，对学生后续几
何推理能力的培养具有关键作用。
学情
分析
八年级学生已经掌握了三角形的基本概念、分类，以及平行线的性质等基础知识，具
备一定的动手操作能力和初步的逻辑推理能力。学生在小学阶段已经通过三角尺直观认识
了三角形内角和约为180°，但仅停留在“近似感知”层面，缺乏对“任意三角形都成
立”的严格验证，也未形成系统的证明思路。此外，学生对“为什么要证明”“如何将三
个内角转化为平角”的逻辑关联理解存在困难，“辅助线”的引入也是本节课的认知障碍
点。因此，教学中需要通过充分的实验活动激活已有经验，再通过问题引导突破证明的难
点，逐步建立严谨的几何推理意识。
教学
重点
1. 三角形内角和定理的内容与证明；
2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。
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教学
难点
1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）；
2. 辅助线的引入与作用理解。
教学
器材
教具：不同形状的三角形纸片（锐角、直角、钝角三角形若干）、量角器、剪刀、多媒体
PPT（含测量法量角器演示动画、剪拼法动态操作动画、折叠法演示动画）；
学具：每人一套三角形纸片、量角器、直尺、剪刀、铅笔、实验记录单。
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教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
【观看视频】通过ppt 向学生播放《损坏的法器》
【设计意图】用趣味情境激发好奇心，结合学生熟悉的三角尺唤醒旧知，自然引出本节
课的核心问题，初步建立猜想。
观察情境
图，思考工
匠的说法
是否合理。
新知探究
【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
问2.三角尺的三个角之和是多少？
30°+60°+90°= 180°
45°+45°+90°= 180
问3.任意三角形的内角和都是180°吗？
大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180°
1.测量法
【方法一：测量法】
1. 发放实验记录单，指导学生操作：
（1）画一个任意三角形ABC；
（2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C 的度数；
（3）计算三个角的和，记录在表格中；
（4）换不同形状的三角形重复实验。
2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
2. 折叠法
【方法二：折叠法】
1. 演示操作步骤：
（1）将三角形的三个角向内折叠；
（2）使三个角的顶点重合于一点；
（3）观察折叠后的形状。
2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
3.剪拼法
【方法三：剪拼法】
1. 演示操作步骤：
回忆三角
尺的角
度，口答
两个三角
尺的内角
和均为
180°。
大胆猜
想：任意
三角形的
内角和可
能也是
180°。
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（1）画三角形ABC，标出三个内角；
（2）沿边剪下三个角；
（3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。
2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？
【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180°
【教师总结】
1、测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精
确等于180°。
2、剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的
微小偏差可能影响判断。
3. 折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准：
三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无
关。但这都是实验得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的
数学证明。有什么科学严谨的方法来论证了？
3.几何证明法
【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成
几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两
直线平行，同旁内角互补）
【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶
点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成
内错角或同位角。
问1:观察图象∠1 和∠2 之间有什么关系, ∠3 和∠4 之间有什么关系？
∠1 和∠2 是内错角，且∠1=∠2；∠3 和∠4 是同位角，且∠3=∠4；
问2.直线a和直线b有何特殊位置关系?
a//b
你发现了证明的思路吗？
【证法1：过顶点作平行线】
已知：如图△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证法1.证明：过点C 作直线l∥AB。
∵l∥AB，
跟随教师
梳理论证
逻辑，明
确每一步
的依据。
理解辅助
线的含义
和画法。
尝试说出
另一种证
法的思
路，体会
“转化思
想”。
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∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
【证法2：拓展】还可以过点A 作BC 的平行线，或者延长BC 构造平行线，思路都是
一样的：利用平行线把三个角转化到一个平角中。
思考教师的问题，联想平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，或者内错角相等。
观察教师的作图，理解“过C 作AB 的平行线”的作用：把∠A 和∠B 分别“移”到∠C 的旁
边，和∠C 组成平角。
证法2：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法3：过点A作l∥BC，
∴∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BAD=180.(两直线平行,同旁内角相等)
∵∠BAD=∠BAC+∠1=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
证法4：过边BC上一点D作l∥AB， m∥AC
∴∠B=∠1,∠C=∠2,∠A=∠3,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
【强调】为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示。
【归纳定理】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
【设计意图】从实验操作到逻辑推理，突破“为什么需要证明”“如何利用平行线证明”的
难点，让学生理解“辅助线”的作用，掌握证明的基本思路，体会“转化思想”在几何中的
应用，培养严谨的逻辑推理能力。
典例分析
【例1】基础应用
（1）在△ABC 中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A 的度数为___60°______。
（2）在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=__50°____。
（3）求出下列各图形中x 的值
独立完成
例1，口
答结果，
巩固基础
应用。
跟随教师
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x=70 x=60 x=30 x=50
规律与方法：8 字模型中： ∠A+∠B=∠C+∠D
【小结】已知两角求第三角，直接用内角和定理列式计算。
【例2】（1）在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。
（2）在△ABC 中，∠A=
1
2∠B=
1
6∠C，求三个内角的度数。
（3）在△ABC 中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C 的度数。
（4）在△ABC 中， ∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度
数
解：设∠A=2x°，∠B=3x°，∠C=4x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即2x+3x+4x=180,解得x=20，
∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°
解：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=6x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+2x+6x=180,解得x=20，
∴∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°
解：设∠A=(x+60)°，∠B=(x+30)°，∠C=x°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即x+60+x+30+x=180,解得x=30，
∴∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°
解：设∠A=3x°，∠B=x°，∠C=(x+15)°.
由题意，得∠A+∠B+∠C=180°
即3x+x+(x+15)=180,解得x=33，
∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°
【引导】这类题设中给了三个角的数量关系，我们可以用什么方法解决？（方程思想：
设未知数，利用“三个角和为180°”列方程）
规律与方法：已知三角形的三个内角之间的关系求内角的度数，可利用方程思想来解决，
其中三角形内角和为180°就是等量关系.
【例3】综合应用（角平分线）
如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
【思路引导】先在△ABC 中求∠BAC 和∠B 的和，再在△ABD 中用内角和定理求∠ADB。
分析例
2，学习用
“设k”的方
法表示三
个角，根
据内角和
列方程求
解，体会
方程思想
的优势。
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解：∵∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=
1
2 ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°–∠B –∠BAD
∴∠ADB =180°–75°–20°=85°.
【例4】实际应用（方位角）
如图是A、B、C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东
80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。求从C 岛看A、B 两岛的视角∠ACB 的度数。
【思路引导】结合方位角求出∠CAB 和∠ABC，再用内角和定理求∠ACB；也可以过C
作AD 的平行线，利用平行线的性质求解。
法一：解：∵∠CAB=∠BAD － ∠CAD，
又∵ ∠BAD=80°， ∠CAD=50°，
∴∠CAB=80° － 50°=30°.
∵AD//BE，∴∠ BAD+∠ ABE=180°.
∴∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,
∠ABC=∠ABE －∠EBC=100°－40°=60°，
在△ABC中，∠ACB =180°－∠ABC －∠CAB =180°－60°－30°=90°.
方法二：解：由题意可得：
∠DAC=50°， ∠DAB=80°， ∠CBE=40°
过点C作CF//AD
∵ CF//AD, AD//BE，
∴ CF//BE，
∴∠BCF＝∠CBE ＝40 °, ∠ACF＝∠DAC ＝50 °,
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF ＝50 ° ＋40 ° ＝90 °
【设计意图】通过分层例题，从基础到综合，逐步提升学生的应用能力：例1 巩固定理
的直接应用；例2 渗透方程思想，培养学生用代数方法解决几何问题的能力；例3 结合
角平分线考查综合应用；例4 联系生活实际，考查方位角与内角和的综合运用，提升学
生解决实际问题的能力。
变式训练
1. 如图，在△ABC 中，∠A=46°，CE 是∠ACB 的平分线，B、C、D 在同一条直线上，
FD∥EC，∠D=42°，求∠B 的度数。
解：∵FD//EC, ∠D=42°
∴∠BCE=∠D=42°
∵CE是∠ACB的平分线，
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课
堂
练
习
1. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C 的度数为（D ）
A. 20° B. 60° C. 80° D. 100°
2. 如图，△ABC 平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE 的度数是_80°___。
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵＝70°，∠𝐵𝐴𝐷＝30°，则∠𝐶的度数为____50°
_____
4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2 的度数
为_70°__。
∴∠ACB=2∠BCE=84°
∵∠B=180°−∠ACB−∠A=50° ,∠A=46°
∴∠B=180°−84°−46°=50°
2. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 平分∠ABC，求∠BDC 的度数。
解：∵∠C＝∠ABC=2∠A，∴设∠A=x°，则∠C＝∠ABC= 2x°
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C =180°，
∴x+2x+2x=180，解得x=36.即∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝
1
2 ∠ABC＝
1
2 ×72°＝36°
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=180°－36°－72°=72°
3. 轮船从B 处沿南偏东30°方向航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船
航行一段路程到达点C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A 的度数。
解：根据题意画出图形，得∠1＝∠2＝30°
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°＋60°＝90°
∵∠CBA＝75°－30°＝45°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.
【设计意图】通过变式练习，及时巩固所学内容，检验学生对定理的理解和应用能力，
同时进一步渗透角平分线、平行线、方位角等相关知识的综合运用。
独立完成
3 道变式
题，同桌
互相批
改，交流
解题思
路。
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4. 如图，AC 和BD 相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D 的度数为_60°___。
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线BE、CD 相交于点F，已知∠ABC=52°，
∠A=60°，求∠BFC 的度数。
解：∵∠𝐴𝐵𝐶＝52°，∠𝐴＝60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵＝68°.
∵∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝐹，
∴∠𝐹𝐵𝐶＝
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶＝26°，∠𝐹𝐶𝐵＝
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵＝34°.
∴∠𝐵𝐹𝐶＝180°－(∠𝐹𝐵𝐶＋∠𝐹𝐶𝐵)＝120°.
7.如图是𝐴，𝐵，𝐶三岛的平面图，𝐶岛在A 岛的北偏东50°方向，𝐵岛在𝐴岛的北偏东80°
方向，𝐶岛在𝐵岛的北偏东30°方向，求从𝐶岛看𝐴，𝐵 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵的度数.
解：由题意，得∠𝐷𝐴𝐶＝50°. ∠𝐷𝐴𝐵＝80°
∴∠𝐶𝐴𝐵＝∠𝐷𝐴𝐵－∠𝐷𝐴𝐶＝30°.
∵𝐴𝐷//𝐵𝐸，∴∠𝐷𝐴𝐵＋∠𝐴𝐵𝐸＝180°.
∴∠𝐴𝐵𝐸＝180°－∠𝐷𝐴𝐵＝100°.
又∵∠𝐶𝐵𝐸＝30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐵𝐸＋∠𝐶𝐵𝐸＝130°.
由三角形内角和定理，得∠𝐴𝐶𝐵＝180°－∠𝐶𝐴𝐵－∠𝐴𝐵𝐶＝20°.
板
书
设
计
13.3.1 三角形的内角
一、探究方法 三、证明思路
1. 测量法：
2. 折叠法：折成平角 四、应用举例
3. 剪拼法：拼成平角 例1：基础计算
二、三角形内角和定理 例2：方程思想
三角形三个内角的和等于180° 例3：角平分线综合
例4：方位角应用
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10 / 10
课
堂
小
结
13.3.1 第一课时 三角形的内角和
作
业
教材P13 练习1、2；P16 复习巩固第1、2、3 题。
