文档内容
13.3.1 等腰三角形的性质 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
二、教学重、难点：
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
三、教学过程：
情境引入
三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
知识精讲
探究：把一张长方形的纸片沿虚线对折，并剪下红色部分，再把它展开，得到一个什么图形？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC. 像这样有两条边相等的三角
形，叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的
夹角叫做底角.
探究：把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕(AD所在的直线)对折，找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
性质证明：
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
证明：作底边BC的中线AD.
AB AC BD CD
{ = ¿{ = ¿¿¿¿
在△BAD与△CAD中，
∴ △BAD≌△CAD (SSS)
∴ ∠B=∠C由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就
证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上
的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了性质2.
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
方法2：
证明：作顶角∠BAC的平分线AD.
∴∠BAD=∠CAD
在△BAD与△CAD中，
∴△BAD≌△CAD (SAS)∴∠B=∠C
方法3：
证明：过点A作底边BC的高AD.
∴∠BDA=∠CDA=90°
在Rt BAD与Rt CAD中，
△ △
∴Rt BAD≌Rt CAD(HL)
∴∠B=∠C
△ △
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角
形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
典例解析
例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解：∵ AB=AC，BD=BC=AD
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角)
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得 x=36°
所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°【点睛】在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的
关系进行转化求解.
【针对练习】如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A
的度数.
解:设∠A=x,
∵AD=DE=BE
∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB
∵∠DEA=∠EBD+∠EDB
∴∠EBD=∠EDB=0.5x
∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+0.5x=1.5x
∵BC=BD，AB=AC
∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=1.5x
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°
即x+1.5x+1.5x=180°解得x=45°，即∠A=45°
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF=AB，连接EF；延长
CA至G使AG=AC，连接DG，当∠G=∠F时，猜想线段BD与线段CE的数量关系？并说明理
由．
解：BD=CE．
理由：∵AF=AB，AG=AC，AB=AC，
∴AF=AG，∴AB+AF=AC+AG，
∴BF=CG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠G=∠F，
∴△BEF≌△CDG（ASA），
∴BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，
∴BD=CE．
例3.已知:如图，点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE，BD=EC.求证: AB=AC.
证法1:
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED(等边对等角)
∵BD=EC
∴BD+DE=EC+DE
即BE=CD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴AB=AC
证法2:
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED(等边对等角)∴∠ADB=∠AEC(等角的补角相等)
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴AB=AC
证法3:过A作AF⊥BC于F
∵AD=AE，AF⊥BC
∴DF=EF(等腰三角形“三线合一”)
∵BD=EC
∴DF+BD=EF+EC
即BF=CF
∴AF垂直平分BC
∴AB=AC
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
2.等腰三角形中，AB长是BC长2倍，三角形的周长是40，则AB的长为( )
A.20 B.16 C.20或16 D.18
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=40°，则∠BAD的度数为( )
A.100° B.80° C.50° D.40°4.如图，在△ABC中，AB=AC， CD⊥AB于D,则下列判断正确的是( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠ACD
C.∠A=∠DCB D.∠A=2∠BCD
5.如图，AB//CD， 点E在BC上，CD=CE，∠D=70°，则∠B=_____.
6.如图，点D在AC上，AB=BD=CD，∠C=40°，则∠ABD=_____.
7.如图(3)，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4,则△ABC的周长是_____.8.如图(4)，是一钢架，∠AOB=10°,为使钢架更加坚固，需在内部添加一些钢管 EF、FM、
MH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根.
9.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
10.如图，已知D是BC上一点，且AB=AC=BD．证明：3∠1-∠2=180°．
11.如图，AB＝AC，CA平分∠BCD，E点在BC上，且∠BAC＝∠EAD＝90°．求证：CD＝
BE．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE
的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点F为边AB上一点，连接CF，
∠ACF=∠CBG．
(1)若∠FCM=18°，则∠BGC的度数为______；
(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．
【参考答案】
1. B
2. B
3. C
4. D
5. 40°
6. 20°
7. 20
8. 8
9.解：∵AB=AD=DC
∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC
又∵∠BAD=26°
∴∠B=∠ADB=(180°-26°)÷2=77°∴∠C=∠DAC=∠ADB÷2=77°÷2=38.5°
10.证明：∵AB=AC=BD，
∴∠B=∠C，∠1=∠BAD，
∵∠1=∠C+∠2，
∴∠1=∠2+∠B，
∴∠B=∠1-∠2，
∵∠1+∠B+∠BAD=180°，
∴∠1+∠1-∠2+∠1=180°，
即3∠1-∠2=180°．
11.证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△BAE≌△CAD（ASA），
∴BE＝CD．
12. （1）解：∵∠ACB=90°，AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG =∠CAF=45°，
∵∠FCM=18°，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=45°-18°=27°，
∴∠CBG=∠ACF=27°，
∴∠BGC=180°-∠BCG-∠CBG=180°- 45°- 27°= 108°，
（2）解：CF=2DE，理由：连接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴BG=CF，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，即DG=2DE，
又∵点G是BD的中点，
∴DG=BG，
∴CF=2DE．
四、教学反思：
