文档内容
11.2.1 三角形内角和定理 教学设计
一、教学目标：
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.会运用三角形内角和定理进行计算.
二、教学重、难点：
重点：三角形的内角和定理及其运用.
难点：三角形内角和定理的推理过程.
三、教学准备：
课件、三角尺、小剪刀、量角器.
四、教学过程：
情境引入
兄弟之争
在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟
非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最
大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再
也围不起来了……”.
“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
【设计意图】情境教学对激发学生的学习兴趣有很大的作用。
知识精讲
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所
以它们的说法都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
欣赏动画探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
动态演示
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明
的思路吗？
【设计意图】通过观看动画引发学生动手、动脑去操作验证三角形内角和为 180°。从拼图活
动中发展学思维的灵活性，创造性。
定理证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
方法1：证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.∵ l∥BC
∴ ∠2=∠4 (两直线平行，内错角相等)
同理 ∠3=∠5
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角
∴ ∠1+∠4+∠5=180°(平角定义)
∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代换)
证法2：证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠A=∠1 ，
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：证明：过BC上一点D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°即 ∠A+∠B+∠C=180°
【设计意图】在说理过程中，更加深刻地理解多种拼图方法，创设不同说理方法的表达情境。
典例解析
例1.如图，△ABC中，∠B=62°，∠C=55°，DE//BA，求∠DEC等于多少度?
解:在△ABC中，
∠A=180°-∠B-∠C
=180°-62°-55°
=63°
∵DE//BA
∴∠DEC=∠A=63° (两直线平行，同位角相等)
【针对练习】
已知：如图，在 中， ， ，点D，E分别在AB和AC上，且 ．求
证： ．解：在 中，
∵ ， （已知），
∴ （三角形内角和定理）．
又∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ （等量代换）．
例2.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
1
∠BAD=2∠BAC=20°
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°
【针对练习】
如图，在 中， 为 的角平分线， ， ， ，求 的度数．
解：∵△ABC中，∠A=65°，∠B=35°，
∴∠ACB=180°-65°-35°=80°．
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD= ∠ACB=40°．
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=40°．
∴∠EDC的度数为40°．
例3.如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东
80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛
看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
【针对练习】
如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测
A、B两处的视角∠ACB是多少度？
解：∵ ∠ABC+∠CBD=180°
∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-135°
=15°
例 4.如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F.已知∠A＝
30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的
度数.
解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有
3x＋x＋(x＋15)＝180.
所以 3x＝99 ，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
【针对练习】
如图，在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求
∠DCE的度数．解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____.
2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,则最大的角为_____.
3.在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则∠A=____.
4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C，则此三角形为三角形，若∠A+∠B<∠C，则此三角形是
______三角形;
5.一个三角形中最多有____个锐角，最少有____个锐角，最多有____个直角,最多有__个钝角;
6.已知等腰三角形的底角为40°,则它的顶角为_____.
7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角为___________.
8.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°,则∠A=____.9.如图四边形ABCD中， ，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点 处，若
∠1=∠2=44°，则∠B为( )．
A．66° B．104° C．114° D．124°
10.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°，求
∠C的度数.
11.如图， ， 与 交于点C， ， ， ，判断 与
是否平行，并说明理由．
【参考答案】
1.48°
2.100°
3.60°
4.钝角
5.3,2,1
6.100°
7.90°或36°8.84°
9.C
10.解：连接AC，
∵四边形ABCD左右对称
∴∠CAB=∠BAD=75°
在△ABC中，
∠ACB=180°-∠CAB-∠B =180°-75°-40°=65°
∴∠BCD=2∠ACB=130°
11.解：AB与DE平行，理由如下：
∵∠B=36°,∠A=72°,
∴∠ACB=∠DCE-180°-36°-72°=72°
又∵ BD∥EF ，
∴∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=108°
又∵∠DEF=1/3∠CEF ，
∴∠CED=2/3 ∠CEF=72°=∠A
∴AB∥DE．
五、教学反思：
本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学
生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率.然后让学生自主
探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想.在教学中，教师通过必要的提
示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学
生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是
180°这一结论.
