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分层作业
13.2.1 三角形的边
目 录
A 组 巩固过关
题型01 判断线段能否构成三角形
题型02 选取线段构成三角形
题型03 求第三边取值范围
题型04 利用三角形三边关系化简绝对值
题型05 等腰三角形边长与周长
题型06 三角形的稳定性
题型07 利用三角形三边关系解决综合问题
题型08 含参等腰三角形
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
判断线段能否构成三角形
1． 下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（ ）
A．2，4，5
B．4，6，9
C．5，5，9
D．3，6，9
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大
于则能构成，反之不能构成．
【详解】解：∵选项A 中，2 + 4 = 6 > 5，满足三边关系，能构成三角形；
选项B 中，4 + 6 = 10 > 9，满足三边关系，能构成三角形；
选项C 中，5 + 5 = 10 > 9，满足三边关系，能构成三角形；
题型01
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选项D 中，3 + 6 = 9，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形．
2．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．1，1，1，3
B．2，2，2，3
C．1，3，2，6
D．2，2，2，7
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．最长边为3，1 + 1 + 1 = 3 ，故不能构成四边形，不符合题意；
B．最长边为3，2 + 2 + 2 = 6 > 3，故能构成四边形，符合题意；
C．最长边为6，1 + 3 + 2 = 6 ，故不能构成四边形，不符合题意；
D．最长边为7，2 + 2 + 2 = 6 < 7 ，故不能构成四边形，不符合题意．
选取线段构成三角形
4.长度分别为5，6，11，16 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得
到的三角形的最长边的长度为_______．
【答案】16 或17/17 或16
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构
成三角形，即可求解．
【详解】解：由题意得：5，6，11 + 16，5 + 6 < 11 + 16，不能组成三角形；
5 + 6，11，16，5 + 6 + 11 > 16，能组成三角形，最长边长度为16；
5，6 + 11，16，5 + 16 > 6 + 11，能组成三角形，最长边长度为17；
6，11，16 + 5，6 + 11 < 16 + 5，不能组成三角形；
6，16，11 + 5，6 + 11 + 5 > 16，能组成三角形，最长边长度为16；
5，11，16 + 6，5 + 11 < 16 + 6，不能组成三角形；
∴得到的三角形的最长边的长度为16 或17．
故答案为：16 或17．
5.现有4 根木条、长度分别为（单位：cm）：2,3,5,6，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．
（任
写一种即可）
【答案】2，5，6（或3，5，6）
【知识点】构成三角形的条件
【分析】先列举从4 根木条中任取3 根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，
任写一种符合条件的组合即可．
【详解】解：从长度为2，3，5，6的4 根木条中任取3 根，所有组合为：2，3，5；2，3，6；2，5，6；3，5，6．
∵2 + 3 = 5，不满足三边关系，
题型02
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故不能构成三角形；
∵2 + 3 = 5 < 6，不满足三边关系，
故不能构成三角形，
∵2 + 5 > 6，2 + 6 > 5，5 + 6 > 2，满足三边关系，
∴构成三角形，
∵3 + 5 > 6，3 + 6 > 5，5 + 6 > 3，满足三边关系，
∴构成三角形
综上：2，5，6；3，5，6这两种组合能构成三角形．
求第三边取值范围
5.已知三角形的三边长分别为2, 𝑥, 5，若𝑥为奇数，则这样的三角形有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】利用三角形三边关系求出𝑥的取值范围，再结合𝑥为正奇数确定符合条件的𝑥的个数，即可得到答案．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，𝑥，5，
根据三角形三边关系可得，5 −2 < 𝑥< 5 + 2，
整理得3 < 𝑥< 7，
∵𝑥为奇数，
∴满足条件的奇数𝑥只有5，共1个，即这样的三角形有1个．
6.一个三角形的三边长分别为2，3𝑎+ 1，11，则𝑎的取值范围是_____．
【答案】
8
3 < 𝑎< 4
【知识点】确定第三边的取值范围、求不等式组的解集
【详解】解：由三角形的三边关系得到：11 −2 < 3𝑎+ 1 < 11 + 2，
∴9 < 3𝑎+ 1 < 13，
∴
8
3 < 𝑎< 4．
利用三角形三边关系化简绝对值
7.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|𝑥−5| −2|𝑥−12|的结果是（ ）
A．3𝑥−29
B．−3𝑥+ 29
C．−𝑥+ 19
D．𝑥−19
【答案】A
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、确定第三边的取值范围
题型04
题型03
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【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，化简绝对值和整式的加减运算，先利用三角形三边关系确
定x 的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行整式的加减运算即可求解．
【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7，
∴7 −2 < 𝑥< 7 + 2，
∴5 < 𝑥< 9，
∴|𝑥−5| −2|𝑥−12|
= 𝑥−5 −2(12 −𝑥)
= 𝑥−5 −24 + 2𝑥
= 3𝑥−29，
故选：A．
8.已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长，则化简|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎+ 2𝑏|的结果为__________
【答案】3𝑎−2𝑏−𝑐
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合
并同类项即可得到化简结果．
【详解】∵𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长，
∴根据三角形三边关系可得 𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑏+ 𝑐> 𝑎，
∴ 𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，
𝑏−𝑐−𝑎= 𝑏−(𝑎+ 𝑐) < 0，
𝑐−𝑎+ 2𝑏= (𝑏+ 𝑐−𝑎) + 𝑏> 0，
∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎+ 2𝑏|
= (𝑎+ 𝑏−𝑐) + (𝑎+ 𝑐−𝑏) −(𝑐−𝑎+ 2𝑏)
= 𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑎+ 𝑐−𝑏−𝑐+ 𝑎−2𝑏
= 3𝑎−2𝑏−𝑐．
等腰三角形边长与周长
9.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n 满足|𝑚−2| + (𝑛−5)2 = 0，那么它的周长是_____．
【答案】12
【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键．
根据非负数的性质求出𝑚，𝑛的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可．
【详解】解：∵|𝑚−2| + (𝑛−5)2 = 0，且|𝑚−2| ≥0，(𝑛−5)2 ≥0，
∴𝑚−2 = 0，𝑛−5 = 0，解得𝑚= 2，𝑛= 5，
当𝑚= 2为腰长时，三角形三边长为2，2，5，不满足三角形三边关系，舍去
题型05
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当𝑛= 5为腰长时，三角形三边长为2，5，5，满足三角形三边关系，此时周长为2 + 5 + 5 = 12，
综上所述，周长是12．
10.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为_________
【答案】3cm或5cm
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是
等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关
系．
【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是(13 −5) ÷ 2 = 4cm，能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13 −5 × 2 = 3cm，能够组成三角形．
11.一个等腰三角形的周长是28cm．
(1)如果腰长是底边的3 倍，求出三角形各边的长是多少？
(2)能围成一边是6cm的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)12cm，12cm，4cm；
(2)能围成一边是6cm的等腰三角形，其它两边长分别为11cm，11cm
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角
形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点．
（1）设该等腰三角形的底边长为acm，则腰长为3𝑎 cm，依题意得3𝑎+ 3𝑎+ 𝑎= 28，由此解得𝑎= 4，则
此时该等腰三角形的三边长分别为12cm,12cm,4cm，满足构成三角形的条件，据此即可得出该三角形各边
的长；
（2）不妨假设能能围成一边是6cm的等腰三角形，分两种情况讨论如下：①该等腰三角形的腰长是6cm时，
则底边为16cm，不满足构成三角形的条件；②当该等腰三角形的底边长是6cm时，则腰长为11cm，据此即
可得出答案．
【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为a cm，
∵该等腰三角形的腰长是底边的3 倍，
∴腰长为3𝑎 cm，
又∵等腰三角形的周长是28cm，
∴3𝑎+ 3𝑎+ 𝑎= 28，
解得：𝑎= 4，
∴3𝑎= 12，
此时该等腰三角形的三边长分别为12cm,12cm,4cm，
∵12 + 4 > 12，满足构成三角形的条件，
∴该三角形各边的长分别是12cm,12cm,4cm；
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（2）不妨假设能能围成一边是6cm的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①该等腰三角形的腰长是6cm时，设底边长为𝑥 cm，
∵等腰三角形的周长是28cm，
∴6 + 6 + 𝑥= 28，
解得：𝑥= 16，
此时该等腰三角形的三边长分别为6cm, 6cm,16cm，
∵6 + 6 < 16，不满足构成三角形的条件，
∴此种情况不存在；
②当该等腰三角形的底边长是6cm时，设腰长为𝑦 cm，
∵等腰三角形的周长是28cm，
∴𝑦+ 𝑦+ 6 = 28，解得：𝑦= 11，
此时该等腰三角形的三边长分别为11cm,11cm,6cm，
∵6 + 11 > 11，满足构成三角形的条件，
综上所述：能围成一个底边长6cm腰长为11cm的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为11cm，11cm.
三角形的稳定性
12.桥都重庆桥梁总数超过2 万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千
厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为180°
B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性及应用
【详解】解：由题意得这种设计蕴含的数学原理是三角形具有稳定性．
13.劳动实践课上，小明用4 根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定
性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（ ）
题型06
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可．
【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A 选项符合题意；
对于B 选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边𝐴𝐵,𝐴𝐷固定住，所以𝐵,𝐶,𝐷三点也是相对固定的，所以
B 选项不符合题意；
对于C 选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边𝐵𝐶,𝐶𝐷固定住，所以𝐴,𝐵,𝐷三点也是相对固定的，所以
C 选项不符合题意；
对于D 选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D 选项不符合题意．
利用三角形三边关系解决综合问题
14.小明用边长分别为4，8，x（单位：cm）长的铁丝围成一个三角形铁架．
(1)若x 为奇数，求x 的值；
(2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)5或7或9或11
(2)20cm
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，再取奇数即可；
（2）根据等腰三角形的定义得到x 的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长．
【详解】（1）解：根据题意，得8 −4 < 𝑥< 8 + 4，
题型07
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∴4 < 𝑥< 12，
∵x 为奇数，
∴x 的值为5 或7 或9 或11．
（2）解：边长分别为4，8，x（单位：cm）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形，
∴𝑥= 4或𝑥= 8，
当𝑥= 4时，三边长为4，8，4，
由于4 + 4 = 8，不满足三角形的三边关系，故舍去；
当𝑥= 8时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系，
∴这个等腰三角形的周长为4 + 8 + 8 = 20(cm)．
15 已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，且a，b，c 均为整数．
(1)若𝑎= 3，𝑏= 4，求边长c 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若c 为奇数，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)1 < 𝑐< 7
(2)10 或12
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系可得1 < 𝑐< 7，即可得解；
（2）由题意可得𝑐= 3或5，再分两种情况，结合三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，且𝑎= 3，𝑏= 4，
∴𝑏−𝑎< 𝑐< 𝑏+ 𝑎，即4 −3 < 𝑐< 4 + 3，
∴1 < 𝑐< 7；
（2）解：∵在（1）的条件下，c 为奇数，
∴𝑐= 3或5，
当𝑐= 3时，△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3 + 4 + 3 = 10，
当𝑐= 5时，△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3 + 4 + 5 = 12，
综上所述，△𝐴𝐵𝐶的周长为10 或12．
16.已知，𝑎，𝑏，𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且满足𝑎+ 𝑏= 3𝑐−2，𝑎−𝑏= 2𝑐−6
(1)求𝑐的取值范围；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为18，求𝑐的值．
【答案】(1)2 < 𝑐< 6
(2)𝑐= 5
【知识点】确定第三边的取值范围、求不等式组的解集
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三
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角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组求解即可；
（2）由题意知，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 3𝑐−2 + 𝑐= 18，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵𝑎，𝑏，𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶的三边，𝑎+ 𝑏= 3𝑐−2，𝑎−𝑏= 2𝑐−6，
∴{ 3𝑐−2 > 𝑐
|2𝑐−6| < 𝑐
解得：2 < 𝑐< 6；
（2）∵△𝐴𝐵𝐶的周长为18，𝑎+ 𝑏= 3𝑐−2，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 4𝑐−2 = 18，
解得𝑐= 5．
含参等腰三角形
17.等腰三角形的两边长为2𝑥和𝑥+ 6，周长为28，求底边的长度
【答案】8 或10.4或4
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结
果．
【详解】解：若2𝑥为腰长，则三边长为2𝑥, 2𝑥, 𝑥+ 6，列方程得：
2𝑥+ 2𝑥+ (𝑥+ 6) = 28，
解得𝑥= 4.4，
此时三边长为8.8,8.8,10.4，
∵8.8 + 8.8 > 10.4，满足三边关系，此时底边长为10.4；
若𝑥+ 6为腰长，则三边长为2𝑥, 𝑥+ 6, 𝑥+ 6，列方程得：
2𝑥+ 2(𝑥+ 6) = 28，
解得𝑥= 4，
此时三边长为8,10,10，
∵8 + 10 > 10，满足三边关系，此时底边长为8；
若2𝑥= 𝑥+ 6，即已知两边都是腰，
解得𝑥= 6，此时两腰长均为12，
则底边长为28 −12 −12 = 4，
三边长为12,12,4，
∵12 + 4 > 12，满足三边关系，此时底边长为4；
综上，底边长度可以为8或10.4或4．
题型08
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18.一个等腰三角形的三边长分别为2𝑥−1、𝑥+ 1、3𝑥−2,求此等腰三角形的周长
【答案】10 或7
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】三边的长度都不清楚，所以需要讨论三种情况，然后找出能组成三角形的组合，算出答案.
【详解】解：若2𝑥−1=𝑥+ 1，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10；
若2𝑥−1=3𝑥−2，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形.
若𝑥+ 1=3𝑥−2，则x=
3
2，则三边为
5
2，
5
2，2，符合条件，周长为7；
综上该等腰三角形的周长为10 或7.
【点睛】求三角形的周长一定要注意三边能否构成三角形.
1．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 3，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 6，对角线𝐴𝐶的长度随四边形形状的改变而变化．当
△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，对角线𝐴𝐶的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据构成三角形的条件可得𝐴𝐶< 6，则
由等腰三角形的定义可得𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 5．
【详解】解：∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 3，
∴𝐴𝐶< 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 6，
∵△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，且𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 5，
故选：C．
2.已知a，b，c 为△𝐴𝐵𝐶的三边长，b，c 满足等式(𝑏−2)2 + |𝑐−3| = 0，且a 为方程|𝑎−4| = 2的解，则△𝐴𝐵𝐶
的周长是_______．
【答案】 7
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范
围
小学
初中
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【分析】先求出𝑏= 2, 𝑐= 3，𝑎−4 = ±2，根据三角形的三边关系求出，当𝑎= 6时，2，3，6 不能组成三
角形，不符合题意，舍去，当𝑎= 2时，2，2，3 能组成三角形，则△𝐴𝐵𝐶的周长是2 + 2 + 3 = 7，即可解
答．
【详解】解：∵(𝑏−2)2 + |𝑐−3| = 0，(𝑏−2)2 ≥0, |𝑐−3| ≥0，
∴(𝑏−2)2 = 0, |𝑐−3| = 0，
解得𝑏= 2, 𝑐= 3，
∵|𝑎−4| = 2，
∴𝑎−4 = ±2
解得𝑎= 6或2，
当𝑎= 6时，2 + 3 = 5 < 6，
∴2，3，6 不能组成三角形，不符合题意，舍去，
当𝑎= 2时，2 + 2 = 4 > 3，
∴2，2，3 能组成三角形，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长是2 + 2 + 3 = 7．
3.用一根长度为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3 倍，求各边长；
(2)所围成的等腰三角形的一边长为5cm，求另两边长．
(3)若所围成的等腰三角形的腰长为𝑎cm，请直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)三角形三边长为3，9，9；
(2)三角形另外两边长都是8cm；
(3)
21
4 < 𝑎<
21
2 ．
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】（1）设等腰三角形底边长为𝑥cm，则腰长为3𝑥cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求
得各边的长；
（2）分5 是底边和腰长两种情况讨论求解，并利用三角形三边关系进行检验；
（3）根据题意不等式组即可得到结论．
【详解】（1）解：设等腰三角形底边长为𝑥cm，则腰长为3𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 3𝑥+ 3𝑥= 21，
解方程，得𝑥= 3，
所以三角形三边长为3，9，9．
（2）若底边长为5cm，设腰长为𝑥cm，根据题意，得𝑥+ 𝑥+ 5 = 21，
解方程，得𝑥= 8，
若腰长为5cm，设底边长为𝑥cm，根据题意，得
𝑥+ 5 + 5 = 21，
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解方程，得
𝑥= 11，
由于5 + 5 < 11，可知5cm为腰长不能构成周长21cm的等腰三角形．
所以三角形另外两边长都是8cm．
（3）∵等腰三角形的腰长为𝑎cm，
∴等腰三角形的底边长为(21 −2𝑎)cm，由{ 21 −2𝑎> 0
21 −2𝑎< 2𝑎
，得{
𝑎<
21
2
𝑎>
21
4
，
∴𝑎的取值范围为：
21
4 < 𝑎<
21
2 ．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解
题的关键．
4.（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3 倍比底边的2 倍多6，求各边长；
（2）一个等腰三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长；
（3）等腰三角形的腰长是整数，周长是8，求它的各边长．
【答案】（1）6，6，6；（2）5cm，5cm，2cm；（3）3，3，2
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、等腰三角形的定义
【分析】
（1）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦,再根据周长为18，腰长的3 倍比底边的2 倍多6，列方程组，再解方程组可得
答案；
（2）设腰长为𝑥, 则底边长为𝑥+ 3或𝑥−3, 再分两种情况讨论，结合三角形的周长求解𝑥, 再结合三角形的
三边关系可得答案；
（3）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦，𝑥, 𝑦都为整数，再利用三角形三边关系求解𝑦的范围，利用周长为8 列方程，
从而可得答案.
【详解】解： （1）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦, 则
{2𝑥+ 𝑦= 18
3𝑥= 2𝑦+ 6
解得：{𝑥= 6
𝑦= 6
所以三角形的三边长分别为：6,6,6.
（2）设腰长为𝑥, 则底边长为𝑥+ 3或𝑥−3,
当腰长为𝑥, 底边长为𝑥+ 3时，则2𝑥+ 𝑥+ 3 = 12,
∴𝑥= 3, 此时三角形不存在，舍去，
当腰长为𝑥, 底边长为𝑥−3时，则2𝑥+ 𝑥−3 = 12,
∴𝑥= 5,
所以三角形的三边分别为：5𝑐𝑚, 5𝑐𝑚, 2𝑐𝑚，此时三角形存在，
（3）设腰长为𝑥, 底边长为𝑦，𝑥, 𝑦都为整数，则
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2𝑥+ 𝑦= 8,
∴𝑥= 4 −
1
2 𝑦,
而{ 𝑦＞0
2𝑥＞𝑦
所以：0＜𝑦＜4，且𝑦是2 的倍数，
∴𝑦= 2, 𝑥= 3,
所以三角形的三边长为：3,3,2.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等，灵活应用分类讨论，方程思想是
解本题的关键.
5.用一条长44cm 的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3 倍少6cm．
（1）用含x 的式子直接表示第三条边长：
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长；
（3）若第一条边长最短，直接写出x 的取值范围．
【答案】（1）50 −4𝑥；（2）8,18,18；（3）7 < 𝑥<
28
3
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】（1）根据题意表示出第二条边长，进而根据三角形的周长公式，即可求得第三边的长；
（2）由（1）的结论可知三边的长度，进而分类讨论即可，同时注意满足构成三角形的条件；
（3）依题意列出不等式组，解不等式组即可求得x 的取值范围．
【详解】（1）∵第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3 倍少6cm，则第二条边长为(3𝑥−6)cm，
∴第三边长为44 −𝑥−(3𝑥−6) = 50 −4𝑥，
（2）已知三角形的三边长分别为𝑥, 3𝑥−6,50 −4𝑥，
①当𝑥= 3𝑥−6，
解得𝑥= 3，则底边长为50 −4 × 3 = 38，
∵3 + 3 = 6 < 38，
此情况不存在，
②当𝑥= 50 −4𝑥，
解得𝑥= 10，则底边长为3𝑥−6 = 30 −6 = 24，
∵10 + 10 = 20 < 24，
此情况不存在，
③当3𝑥−6 = 50 −4𝑥，
解得𝑥= 8，则底边长为𝑥= 8，两腰的长分别为18，
综上所述，若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长分别为8,18,18；
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（3）依题意，{
𝑥≤3𝑥−6
𝑥≤50 −4𝑥
𝑥+ (3𝑥−6) > (50 −4𝑥)
(50 −4𝑥) + 𝑥> 3𝑥−6
解得7 < 𝑥<
28
3
【点睛】本题考查了列代数式，等腰三角的定义，构成三角形的条件，一元一次不等式组的应用，理解题
意分类讨论是解题的关键．
1.等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质，解不等式，三角形的三边关系等知识，解题的关键是确定x 的取值
范围．
设腰长为x，底边长为y．利用三角形的三边关系确定x 的取值范围即可判断；
【详解】设腰长为x，底边长为y，
根据题意得2𝑥+ 𝑦= 12，
∴𝑦= 12 −2𝑥，
由𝑥+ 𝑥> 12 −2𝑥，得𝑥> 3，
由𝑥−𝑥< 12 −2𝑥，得𝑥< 6，
∴3 < 𝑥< 6，
∴腰长可能是5．
故选：C．
2．已知△𝐴𝐵𝐶的周长是12，𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，则边𝐴𝐶的取值范围是________．
【答案】2 < 𝐴𝐶< 3
【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围
【分析】设𝐴𝐶= 𝑥，根据△𝐴𝐵𝐶的周长用𝑥表示出𝐴𝐵和𝐵𝐶的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，
解不等式组得到𝐴𝐶的取值范围．
【详解】解：设𝐴𝐶= 𝑥，由𝐴𝐵= 2𝐴𝐶可得𝐴𝐵= 2𝑥，
又∵△𝐴𝐵𝐶的周长为12，
∴𝐵𝐶= 12 −𝐴𝐵−𝐴𝐶= 12 −3𝑥．
则12 −3𝑥> 0，解得：𝑥< 4，
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根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：{
𝑥+ 2𝑥> 12 −3𝑥
𝑥+ (12 −3𝑥) > 2𝑥
2𝑥+ (12 −3𝑥) > 𝑥
，
解第一个不等式得𝑥> 2，
解第二个不等式得𝑥< 3，
解第三个不等式得𝑥< 6，
综上得，2 < 𝑥< 3，
即2 < 𝐴𝐶< 3．
3.小刚准备用一段长 50 米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡． 已知第一条边长为m 米，由
于条件限制第二条边长只能比第一条边长的 3 倍少2 米．若第一条边长最短，则m 的取值范围是 ．
【答案】
27
4 ≺𝑚≺9
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；根据第一条边长最短以及三角形的三边关系
列出不等式组，即可求出m 的取值范围．
【详解】第二条边长为(3m−2)米，
∴第三条边长为50−m−(3m−2)=(52−4m)米；
由题意,得
{
𝑚> 0
3𝑚−2 > 𝑚
52 −4𝑚> 𝑚
𝑚+ 3𝑚−2 > 52 −4𝑚
𝑚+ 52 −4𝑚> 3𝑚−2，
解得
27
4 <m<9.
故答案为
27
4 <m<9.
【点睛】考查列代数式以及三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组是解题
的关键.
4．已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 5，𝑏: 𝑐= 4: 3，求三角形周长𝐶的取值范围．
【答案】10 < 𝐶< 40
【知识点】三角形三边关系的应用、求不等式组的解集
【分析】设𝑏= 4𝑥，𝑐= 3𝑥，结合三角形的三边关系列出不等式，进而求出周长的取值范围即可解答．
【详解】解：∵𝑏: 𝑐= 4: 3，
∴设𝑏= 4𝑥，𝑐= 3𝑥 (𝑥> 0)，
∴这个三角形的周长𝐶= 7𝑥+ 5，
由三角形三边关系定理得到：𝑏−𝑐< 𝑎< 𝑏+ 𝑐，
∴4𝑥−3𝑥< 5 < 4𝑥+ 3𝑥 ，
∴
5
7 < 𝑥< 5 ，
∴5 < 7𝑥< 35，
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∴10 < 7𝑥+ 5 < 40 ，
∴10 < 𝐶< 40．
1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：cm）的3 根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，5，8
D．4，5，10
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三
边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
【详解】A． 1、2、3：1 + 2 = 3，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：2 + 3 = 5 > 4，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：3 + 5 = 8，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：4 + 5 = 9 < 10，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
2．
（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2𝑥−5 ≤0的正整数解．则
等腰三角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的整数解、构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据
三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案．
【详解】解：解不等式2𝑥−5 ≤0，移项得2𝑥≤5．
∴𝑥≤
5
2．不等式的正整数解为1和2．
∵等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为1和2，
分两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为2，三边长为1,1,2．
∵1 + 1 = 2，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为2，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系，
此时周长为2 + 2 + 1 = 5．
因此等腰三角形的周长为5，
故选C．
3．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2 和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的
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最大值为_____．
【答案】9
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大
值，即可得到三角形周长的最大值．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和3，
∴3 −2 <第三边长< 3 + 2，即1 <第三边长< 5，
∵第三边长为整数，
∴第三边长最大值为4，
则这个三角形周长的最大值为2 + 3 + 4 = 9．
