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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （导学案）
【学习目标】
1、 理解三角形中线、角平分线、高的定义；
2、 掌握它们的画法；
3、 了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。
【学习重点】
三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。
【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对
边，这是学生认知的难点。
2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”
（线段）与“点到直线的距离”。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 三角形的高
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作 ， 和 之间的线段叫
三角形的高。
★三角形的高是 ，而垂线是
几何语言：
∵_______________________________(已知)
∴_____________________________________ (三角形高的定义)
2. 三角形的中线
定义：三角形中，连结一个 和它对边 的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是
几何语言：
∵______________________________(已知)
∴_____________________________ (三角形中线的定义)
3. 三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 与 之间的线段叫
三角形的角平分线.
★角平分线是 ，三角形的角平分线是
几何语言：
∵_______________________________________(已知)
∴____________________________________________________________________(三角形角平分线的定义)
【课堂探究】
探究一、三角形的高
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1. 锐角三角形的高
问1.请画出锐角三角形的三条高
边BC 边上的高是 ;
边AB 边上的高是 ;
边AC 边上的高是 ;
问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
2.直角三角形的高
问1.请画出直角三角形的三条高
边BC 边上的高是 ;
边AB 边上的高是 ;
边AC 边上的高是 ;
问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
3.钝角三角形的高
问1.请画出钝角三角形的三条高
边BC 边上的高是 ;
边AB 边上的高是 ;
边AC 边上的高是 ;
问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
【归纳总结】：三角形的三条高的特性
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三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的 .
新知应用一
1.下列各个图形中，哪一个图形中AD 是△ABC 的高( )
2.若𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，以𝐴𝐻为高的三角形有 个，它们分别_________________________ 。
3.如图所示𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐵𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,点𝐷、𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵和𝐵𝐶上，下列说法：①△𝐴𝐵𝐶
中，𝐴𝐶是𝐵𝐶边上的高；②△𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸是𝐵𝐶边上的高；③△𝐴𝐵𝐸中，𝐷𝐸是𝐵𝐸边上的高；④△𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐷是𝐶𝐷边上的高．其中正确的结论为_______.（填序号）
4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶＝5，𝐵𝐶＝6，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，且𝐴𝐷＝4，若点𝑃在边𝐴𝐶上移动，
则𝐵𝑃的最小值为___．
5.如图,𝐴𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高,
(1)若𝐴𝐷= 10,𝐶𝐸= 9,𝐴𝐵= 12.则𝑆∆𝐴𝐵𝐶=______;𝐵𝐶=__________
若𝐴𝐶= 8,则𝐴𝐶上的高为________
(2)若𝐴𝐵: 𝐵𝐶= 4: 5，则𝐶𝐸: 𝐴𝐷=______.
探究二、三角形的中线
1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线
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【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的________.三角形三条中线的交点叫
做三角形的重心
2.中线分周长问题
问1.观察图形𝐶∆𝐴𝐵𝐷与𝐶∆𝐴𝐶𝐷之差与𝐴𝐵,𝐴𝐶之间有怎样的数量关系
3.中线分面积问题
问2.观察图形𝑆∆𝐴𝐵𝐷与𝑆∆𝐴𝐶𝐷之间有怎样的数量关系
新知应用二
1.如图所示,𝐷, 𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶,𝐵𝐶的中点,则下列说法不正确的是( )
A.𝐷𝐸是△𝐵𝐶𝐷的中线 B.𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线
C.𝐴𝐷= 𝐷𝐶,𝐵𝐷= 𝐸𝐶 D.𝐵𝐸=
1
2 𝐵𝐶
2.已知 𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵上的中线，
(1)若𝐴𝐵= 6,𝐴𝐸= 2.5 ，则𝐵𝐹=_____,𝐴𝐶=_____
(2)若𝐴𝐸＝2，𝐴𝐹＝3，且△𝐴𝐵𝐶的周长为15， BC边上的高为4，则𝐵𝐶的长为______，𝑆∆𝐴𝐵𝐶=
_________．
3.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐵= 3,𝐴𝐶= 7，𝐵𝐶= 9,𝐴𝐷= 2.5,则𝐶∆𝐴𝐵𝐷为
__________ 𝐶∆𝐴𝐶𝐷 为__________。
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成25和40两部分，𝐴𝐶= 30,则𝐴𝐵=
_____ 。
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5.在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐶= 5𝑐𝑚，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成两部分，若其差为3𝑐𝑚，则
AB 的长为_______
6.若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
(1)如图1若△𝐴𝐵𝐷的面积为12, 则△𝐴𝐵𝐶的面积为 ；
(2)如图2若△𝐴𝐵𝐶的面积是32，则△𝐴𝐵𝐷的面积为 ；
则△𝐴𝐵𝐸的面积为 ； △𝐵𝐶𝐸的面积为
(3)如图3，若𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻,𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺,𝐴𝐵= 7𝑐𝑚,𝐴𝐶= 6𝑐𝑚,𝐷𝐻= 3𝑐𝑚，则𝐷𝐺的长是
_______cm.
探究三、三角形的角平分线
1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线
归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的______.三角形三条角平分线的交点叫做
三角形的内心.
新知应用三
1.如图,在△𝐴𝐵𝐶中, ∠1 = ∠2,𝐺为𝐴𝐷中点,延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于𝐸,𝐹为𝐴𝐵上一点,𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐻,判断:
①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐸的角平分线.( )
②𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线. ( )
③𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶上的中线. ( )
④𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷边𝐴𝐷上的高. ( )
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为角平分线．
(1)若∠𝐴𝐵𝐶＝50°，则∠𝐴𝐵𝐷＝_____.
(2)若∠𝐴𝐵𝐷＝20°，则∠𝐴𝐵𝐷＝_____.
3.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹//𝐴𝐵，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点F，图中∠1与
∠2有什么关系？为什么？
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典例分析
例1.如图所示，已知𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 10cm，∠𝐶𝐴𝐵=
90°．试求：
(1)求作BC边的高AD，并求AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
(4)∠𝐵= 50°，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
例2.已知：如图△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，P 是底边𝐵𝐶上的任一点（不与B、C 重合），𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，
𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹．
求证：𝐶𝐷= 𝑃𝐸+ 𝑃𝐹；
例3.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，且𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶的周长分为9𝑐𝑚和12𝑐𝑚两部分，求
三角形的各边长。
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变式训练
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐸为𝐴𝐵上一点，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6.若△𝐵𝐷𝐸与四边形𝐴𝐸𝐷𝐶的
周长相等，求𝐵𝐸−𝐴𝐸的值.
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵＞𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成60和40两部分，
求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
3.如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是18，点𝐷, 𝐸分别位于𝐴𝐵, 𝐵𝐶上，𝐷𝐸//𝐴𝐶，且𝐴𝐷= 4，𝐷𝐵= 5，求△𝐴𝐵𝐸 的
面积.
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【课堂总结】
【课堂练习】
1.下列说法中正确的是（ ）
A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离
B.三角形的角平分线是射线
C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外
D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
2. 如图.(1）若𝐴𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 12𝑐𝑚，则𝐵𝑀= 𝐶𝑀=________cm；
(2)若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶=____；若∠𝐵𝐴𝐶= 106°，则∠𝐷𝐴𝐶=____
(3）若𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高，则△𝐴𝐵𝐻是__ _____三角形.
3.在△𝐴𝐵𝐶中, 𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷= 10𝑐𝑚,则𝐴𝐵边上的高𝐶𝐸= ；
结论：等腰三角形两腰上的高相等
4.如图，𝐴𝐷,𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵= 4𝑐𝑚，𝐵𝐶= 8𝑐𝑚,𝐶𝐸= 6𝑐𝑚，则𝐴𝐷的长为______
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5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐴𝐵,周长为16𝑐𝑚， 𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成周长差为2𝑐𝑚的两个三角形，求
△𝐴𝐵𝐶的各边长
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
