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1.6 线段垂直平分线的性质
题型一：垂直平分线的性质中周长问题
1．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，
ABC
中，
20
BC =
，直线DE 垂直平分BC ，分别交AB 、BC
于点E、D，若
ACE
△
的周长为32，则
ABC
的周长是（ ）
A．62
B．52
C．42
D．32
2．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在
ABC
中，已知
27
AC =
，AB 的垂直平分线交AB 于点
D，交AC 于点E ，BCE
的周长等于50，则BC 的长是（ ）
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2 /
A．22
B．23
C．32
D．33
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，DE 垂直平分AC，△ABD 的周长是8.5 m
c
，
3cm
AC =
，则
ABC
的周长是（ ）
A．8.5cm
B．9.5cm
C．10.5cm
D．11.5cm
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在
ABC
中，
7
BC =
，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D、
E，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F、G，则
AEG
△
的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，ABC
中，AD
BC
⊥
，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，
交BC 于点E，且BD
DE
=
．若
ABC
周长为13cm，
6cm
AC =
，DC = cm ．
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线DE 分别与边AB ，AC 交于
D，E 两点，边BC 的垂直平分线FG 分别与边BC ，AC 交于F，G 两点，连接BE ，BG ．若BEG
的周长
为32，
22
AC =
，则GE 的长为 ．
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7．
（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，
90
A
=
，
3
AB
AC
=
= ，BD平分
ABC
，DE
BC
⊥
于点E，则CDE
的周长为 ．
8．（2025·云南临沧·三模）如图，在
ABC
中，D 为BC 边上一点，AC
AD
=
，EF 为线段BD的垂直平分
线，若
ADE
的周长为19，
7
AC =
，则AB 的长为 ．
题型二：垂直平分线与尺规作图结合解题）
1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，分别以点A 、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为
半径作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD．若
13
B
=
，则
DAC
的大小为
（ ）
A．26
B．64
C．74
D．77
2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在
ABC
中，分别以点B、C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径画弧，两弧
相交于点M、N．作直线MN ，交AC 于点D，交BC 于点E，连接BD．若
28
DBC
=
，则
ADB
的度数
为（ ）
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A．28
B．50
C．56
D．62
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，在
ABC
中，分别以A 、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径在AB
两侧作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交于边AB ，AC 于点D 、E ，连接CD，若AB 的长为10，
则AD的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．10
4．
（2025·江苏盐城·三模）如图，在
ABC
中，
34
B
=
，
78
ACB
=
，根据尺规作图痕迹，可知
=（ ）
A．66
B．78
C．79
D．101°
5．（2025 九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB 的两端点A，B 为圆心，大于1
2 AB 长为
半径画弧，在线段AB 的两侧分别交于点E，F，作直线EF 交AB 于点O．在直线EF 上任取一点P（不与O
重合），连接PA，PB ，则下列结论：①PA
PB
=
；②OA
OB
=
；③OP
OF
=
；④PO
AB
⊥
．其中一定成
立的是（ ）．
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A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②④
6．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在
ABC
中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，大于1
2 BC
的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD．若
4
AC =
，
10
AB =
，
则ACD
的周长为 ．
7．（2025·湖南长沙·二模）如图，P 是直线l 外一点，按以下步骤作图：
①以点P 为圆心，适当长为半径作弧，交直线l 于点B ，D ；
②分别以点B 、点D为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；
③作直线PE交BD于点F ．
若
2
BF =
，
6
PE =
，则四边形PBED的面积为 ．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，
8,
6
AB
AC
BC
=
=
=
，分别以点A，B 为圆心，5
为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线MN 交AC 于点D，连接BD，则
BCD
△
的周长为 ．
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9．（24-25 九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在
ABC
中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆弧交BC
于点D，再分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN
交AB 于点E ．若
ADE
的周长为21，
9
AC =
，则AB 的长为 ．
题型三：垂直平分线的性质求线段长度
1．（24-25 八年级上·河北廊坊·期末）如图
ABC
中、AB
AC
=
，点D 是AC 的中点，过点D 作DE
AC
⊥
交
BA的延长线于点E，连接CE ，若
3
2
CD =
，
4
CE =
，则BE的长为 ．
2．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）如图，在
ABC
中，
4
AC =
，线段AB 的垂直平分线交AB ，AC 于点
M，N，若
3
BN = ，则NC 的长为 ．
3．
（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD为边BC 的垂直平分线，DE
AC
⊥
于点E ，
BF
AC
∥
交ED的延长线于点F ，若
2
6
AE
BF
=
= ，则AB 的长为 ．
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4．（24-25 九年级上·四川广安·阶段练习）如图，AD是
ABC
的中线，
90 ,
3,
B
AB
CE
BC
=
=
⊥
于点C，
5
CE =
，且
90
ADE
=
，则AE 的长为 ．
5．（23-24 八年级上·四川凉山·期末）如图所示，在
ABC
中，
90
ACB
=
，BE 平分
ABC
，DE 垂直平
分AB ，如果
3cm
BE =
，
2cm
DE =
，那么AC = cm．
6．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：
ABC
中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂
直平分线交BC 于点E ，连接AD、AE ，若
6
AD =
，
8
AE = ，
3
DE = ，则BC = ．
题型四：垂直平分线性质中相关求解（解答题）
1．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，EF 垂直平分BD，MN 垂
直平分CD．
(1)试说明：ED
MD
⊥
；
(2)若EA
EB
=
，MA
MC
=
，试说明：
AEM
DEM
≌
；
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2．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
中，D 为BC 的中点，DE
BC
⊥
交
BAC
的平分线AE
于E ，EF
AB
⊥
于F ，EG
AC
⊥
交AC 延长线于G .
(1)求证：BF
CG
=
.
(2)猜想AB 、AC 、AF 的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若
10cm
AB =
，
6cm
AC =
，则BF =________cm.
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，ABC
中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，AD
BC
⊥
，
垂足为D，且BD
DE
=
，连接AE ．
(1)求证：AB
EC
=
；
(2)若
ABC
的周长为19cm ，
8cm
AC =
，则DC 的长为多少？
4．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
8
AC =
，
4
BC =
，
90
C
=
，B
A
．在AC
上有一点D，恰好在AB 的垂直平分线上．
(1)求
ABC
的面积；
(2)连接BD，求
BCD
△
的周长．
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5．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在
ABC
中，E 是边BC 上的一点，连接AE ．BD垂直平
分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ，连接DE ．
(1)若AB 的长为6，DEC
的周长为7，求
ABC
的周长．
(2)若
40
ABC
=
，
48
C
=
，求
CDE
的度数．
6．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）在
ABC
中，DE 垂直平分AC ，连接CE ，CE 平分
ACB
．
(1)若
46
CEB
=
，求
B
的度数．
(2)若
4
BC =
，
ABC
的周长比EBC
的周长多8，EBC
的面积为6，则三角形AEC 的面积为多少？
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，
交AB 于点E，连接BD．
(1)若
6
AC =
，则AE =_________；
(2)若
6
AE =
，
CBD
△
的周长为20，求
ABC
的周长．
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8．（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：AB
AC
=
，DB
DC
=
，点E 在AD的延长线上．
(1)求证：AE 垂直平分BC ；
(2)求证：BDE
CDE
≌△
题型五：垂直平分线的判定之选址类问题
1．（24-25 八年级上·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心、、
A
B
C 构成
ABC
，该市政府打算修建
一个大型体育中心P ，使得该体育中心到三个城镇中心、、
A
B
C 的距离相等，则P 点应设计在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三个角的角平分线的交点
D．三角形三条中线的交点
2．（24-25 九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三边上高所在直线的交点
3．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心, ,
A B C 围成的
ABC
区域内
修建一个电视信号发射塔O，使得该发射塔O到三个乡镇中心, ,
A B C 三地的距离相等，以下选址正确的是
（ ）
A．
B．
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C．
D．
4．（23-24 八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所
学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内
部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同
的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次
实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（ ）
①三条高的交点 ②三边中垂线的交点
③三条角平分线的交点 ④三角形内部的任意位置
A．①③
B．②③
C．①②
D．①④
5．（24-25 八年级上·河南商丘·期中）如图
ABC
，现要求找一点P ，使其到三个顶点的距离相等．
(1)该点P 是
ABC
三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”）
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
题型六：利用垂直平分线的判定判断选项是否正确
1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC 、BD，AB
AD
=
，CB
CD
=
，则
有（ ）
A．AC 与BD互相垂直平分
B．AC 垂直平分BD
C．BD垂直平分AC
D．BD平分
ABC
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2．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个
筝形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC
BD
⊥
；②AO
CO
=
；
③
ABD
CBD
≌
△
△
．其中正确的结论有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
3．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，已知
ABC
中，
90
ACB
=
，AD是
BAC
的平分线，CE 是AB
边上的高，AD与CE 交于点F ，过点D 作DG
CE
∥
交AB 于点G ，连结CG 交AD于点H ，则下列结论中，
不一定成立的是（）
A．DC
DG
=
B．GD
GB
=
C．CF
GD
=
D．FH
DH
=
4．
（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，下列条件不能判定直线CD为线段AB 的垂直平分线的是（ ）
A．AB
CD
⊥
且CE
DE
=
B．AC
BC
=
且AD
BD
=
C．AB
CD
⊥
且CD平分
ACB
D．AB
CD
⊥
且AE
BE
=
5．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在
ABC
中，已知点D 在BC 上，且BD
AD
BC
+
=
，下列
说法正确的是（ ）
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A．点D 是BC 的中点
B．AD平分
BAC
C．点D 在AC 的垂直平分线上
D．点D 在AB 的垂直平分线上
6．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于点E，DF
AC
⊥
于点F，
连接EF 交AD于点G，下列结论不．一定．成立的是（ ）
A．DE
DF
=
B．EG
FG
=
C．AD
EF
⊥
D．AG
DG
=
7．（24-25 八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是
一个筝形，其中AD
CD
=
，AB
CB
=
，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到
了如下结论，其中错误的是（ ）
A．AC
BD
⊥
B．
1
2
AO
CO
AC
=
=
C．
ABD
CBD
≌
△
△
D．AO
DO
BO
+
=
8．（24-25 八年级上·山东德州·期中）下列条件中，不能判定直线CD是线段AB（C，D 不在线段AB 上）的
垂直平分线的是（ ）
A．CA
CB
=
，DA
DB
=
B．CA
CB
=
，CD
AB
⊥
C．CA
DA
=
，CB
DB
=
D．CA
CB
=
，CD平分AB
题型七：由垂直平分线的判定求线段长度
1．（24-25 九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在
ABC
中，
7
AB
AC
=
=
，
4
BC =
，分别以点A ，
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点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧交于点E ，F ，过点E ，F 作直线交AC 于点D ，连结BD，
则
BCD
△
的周长为（ ）
A．7
B．10
C．11
D．12
2．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000
多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知
,
,
90cm,
60cm
AB
AD BC
CD AC
BD
=
=
=
=
，制作这个风
筝需要的布料至少为（ ）
2
cm
A．1800
B．5400
C．2700
D．1200
3．（23-24 八年级上·湖南益阳·期末）如图，在
ABC
中，E 为AB 边的中点，过点E 作ED
AB
⊥
交BC 于点
D，若
3
AE = ，
ADC
△
的周长为20，则
ABC
的周长为（ ）
A．20
B．23
C．26
D．29
4．（24-25 八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AD
BC E
∥
为CD的中点，连接
,
,
AE BE BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的延长线于点F ．若
5,
3
AB
BC
=
=
，则AD = ．
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5．（24-25 八年级上·湖北黄冈·期末）如图，
ABC
周长为16cm，
6cm
AC =
，AD
BC
EF
⊥
，
垂直平分
AC
BD
DE
=
，
，则DC = cm．
6．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在ABC
中，AB
AC
=
，OB
OC
=
，点A 到BC 的距离是6 ，O到BC 的
距离是4 ，则AO 等于 ．
7．（24-25 八年级上·河南周口·期末）如图，在
ABC
中，BD
AC
⊥
，垂足为D，PQ 是BC 边的垂直平分线，
交BC 于点Q，交AC 于点P，AD
PD
=
．若
ABC
的周长是28cm，
6cm
CQ =
，则
+
AB
AD 的长是 ．
题型八：垂直平分线中尺规作图（解答题）
1．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知
ABC
．
(1)尺规作图：作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明
字母）
(2)在（1）的条件下，连接BD．若
ABC
的周长为16，
3
BE =
，求
ABD
△
的周长．
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2．（上海市浦东区2024-2025 学年下学期七年级数学期末试卷）如图，在Rt
ABC
中，
90
ABC
=
(1)请用直尺和圆规作线段BC 的垂直平分线，分别交线段BC
AC
、
于点E
F
、
(2)连接BF ，请找出图中和BF 相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
3．（2025·广东惠州·二模）如图，在
ABC
中，
C
是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接DC ，若
44
A
=
，
20
B
=
，求
DCB
的大小．
4．（2025·黑龙江绥化·二模）BD是
ABC
中AC 边上的中线．
(1)尺规作图：作出BD的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法）
(2)当点E 靠近点B 时，连接AE
AF
、
，若
6
ADE
S
=
，则
ABC
的面积为________．
5．（2025·浙江·二模）如图，在7 6
的方格中，
ABC
的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF （E，F
均为格点），各画出一条即可．
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6．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知
ABC
中．
(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线DE ，分别交边BC ，AB 于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标
明字母）；
(2)连接AD，若
8
AB =
，
ABC
的周长是18，求ACD
的周长．
7．（24-25 八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m 上建一个垃圾站点D 和鲜奶站E，按
要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B 在街道m 的异侧，要使垃圾站点D 到小区A，B 的距离相等，请确定垃圾站点D 的位
置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C 在街道m 的同侧，要使鲜奶站E 到小区A，C 的距离之和最短，请确定鲜奶站E 的位
置．
9．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n 上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要
求，发射塔P 到两城镇A、B 的距离必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）
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题型九：垂直平分线的判定中相关求解（解答题）
1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，点E 是AB 的中点，连接DE 并
延长交CB 的延长线于点F ，点G 在线段BC 上，且
GDF
ADF
=
，连接EG ．求证：
(1) AD
BF
=
；
(2) EG 垂直平分DF ．
2．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线1l 交AB 于点M，交BC 于点D，
AC 的垂直平分线2l 交AC 于点N，交BC 于点E，1l 与2l 相交于点O，
ADE
的周长为10．
(1)求BC 的长；
(2)试判断点O 是否在边BC 的垂直平分线上，并说明理由．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，AD是
ABC
的角平分线，DE
DF
，
分别是
ABD
△
和ACD
的
高，连接EF 、AD交于点O．
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19 /
(1)证明：AED
AFD
≌
；
(2)证明：AD垂直平分EF ．
4．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形ABCD中，AD
AB
BC
DC
=
=
，
，我们把这种两组邻边
分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)线段AC 和线段BD的位置关系是 ；
(2)求证：
ABC
ADC
△
≌△
；
(3)在“筝形” ABCD中，已知
6
4
AC
BD
=
=
，
，求“筝形” ABCD的面积．
5．（24-25 八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
CD
=
，AB
CB
=
，我们把这种两组邻
边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O．
(1)请判断AC 与BD之间的位置关系，并说明理由；
(2)若
6
AC =
，
8
BD =
，求四边形ABCD的面积．
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20 /
6．（24-25 八年级上·天津东丽·期中）如图，AD与BC 相交于点O，OA
OC
=
，
A
C
=
，BE
DE
=
．
(1)求证OB
OD
=
；
(2)求证：OE 垂直平分BD．
7．（24-25 八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，点D 是BC 的
中点，CE
AD
⊥
，垂足为点E ，BF
AC
∥
交CE 的延长线于点F ，
(1)求证：
2
AC
BF
=
；
(2)连接DF ，求证：AB 垂直平分DF ．
8．
（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，OE 平分
AOB
，EC
OA
⊥
于点C ，DE
OB
⊥
于点D ，连接CD．
(1)试说明OD
OC
=
；
(2)
BDC
与
ACD
相等吗？请说明理由；
(3)OE 是否垂直平分CD，请说明理由．
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21 /
9．（24-25 八年级上·山东日照·期中）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点M ，D ，
边AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点N ，E ，MD ，NE的延长线交于点O．
(1)若
12
BC =
，求
ADE
的周长；
(2)试判断点O是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由；
题型一：垂直平分线的性质中最值问题
1．（24-25 八年级下·安徽宿州·期中）如图，在
ABC
中，AD是
ABC
的角平分线，点E、F 分别是AD、
AB 上的动点，若
60
BAC
=
，当BE
EF
+
的值最小时，
AEB
的度数为（ ）
A．105
B．115
C．120
D．130
2．
（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE 中，
146
BAE =
∠
，
90
B
E
= =
，在直线BC ，
DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN
的周长最小，此时
MAN
的度数为（ ）
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22 /
A．112
B．104
C．96
D．84
3．（23-24 八年级上·河北石家庄·期末）如图，在
ABC
中，
2.5
1.5
AB
AC
=
=
，
，直线m 是
ABC
中BC 边
的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则
APC
△
的周长的最小值为 ．
4．（24-25 八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰
ABC
的底边
4
BC =
，面积为18，直线EG 是腰AC 的垂
直平分线，若点D 在EG 上运动，点F 在边BC 上运动，则DF
DC
+
的最小值为 ．
5．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在
ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，EF 是BC 的垂直平分线，
点P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB
+
的最小值是
6．（24-25 八年级上·吉林延边·期末）如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，EF 垂直平分AB ，
点P 为直线EF 上一动点，则
APC
△
周长的最小值为 ．
7．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，交AB
于点E ，连接EC ，
10
AB =
，BEC
的周长为18．若点P 在直线EF 上，连接PA、PB ，则BC = ，PA
PB
−
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23 /
的最大值为 ．
8．（24-25 九年级上·河北廊坊·期中）如图，在
ABC
中，
5
AC =
，
7
BC =
，DE 垂直平分边AB ，交AB 于
点D，交BC 于点E，动点P 在线段DE 上，连接AP ，PC ，则
APC
△
周长的最小值为 ．
题型二：垂直平分线的性质和判定中多结论问题
1．（24-25 八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，AD是
ABC
的角平分线，DE
DF
，
分别是
AED
△
和ACD
的高，得到下列四个结论：①OA
OD
=
；②AD
EF
⊥
；③AE
AF
=
；④
2
2
2
2
AE
DF
AF
DE
+
=
+
．其中正
确的是（ ）
A．②③
B．②④
C．①③④
D．②③④
2．
（24-25 八年级上·湖北黄石·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满足AD
AC
=
，
E 为BC 上一点，连接AE ，
2
CAD
BAE
=
，连接DE ，下列结论中：①
ADE
ACB
=
；②
AEB
AED
=
；
③AC
DE
⊥
；④
2
DE
CE
BE
=
+
．其中正确的有（ ）
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24 /
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
3．（24-25 八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形ABCD中，AC 与BD交于点O，其中AB
AD
=
，
BC
DC
=
．下列结论：①
ABC
ADC
△
≌△
；②AC 垂直平分BD；③BD平分
ABC
；④
1
2
ABCD
S
AC
BD
=
四边形
．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．
（24-25 八年级上·河北张家口·期末）如图，在
ABC
中，
45
ABC
CD
AB
=
⊥
，
于点D，BE 平分
ABC
，
且BE
AC
⊥
于点E，与CD相交于点F，DH
BC
⊥
于点H，交BE 于点G．以下结论：①BD
CD
=
；②
AD
CF
BD
+
=
；③
1
2
CE
BF
=
；④AE
CF
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
5．（24-25 八年级下·内蒙古包头·期中）如图，AD平分
BAC
，DE
AC
⊥
，垂足为E，BF
AC
∥
交ED的
延长线于点F，若BC 恰好平分
ABF
．则下列结论中：①AD是
ABC
的高；②AD是
ABC
的中线；③
ED
FD
=
；④AB
AE
BF
=
+
．其中正确的有 ．（填序号）
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25 /
6．
（24-25 八年级上·重庆·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，以AC 为边，作ACD
，满足AC
AD
=
，
点E为BC 上一点，连接AE ，
2
CAD
BAE
=
，下列结论：①
ACB
ADE
=
；②AC
DE
⊥
；③若CD
AB
∥
，
则AE
AD
⊥
；④DE
BE
BE
CE
−
=
+
．正确的有 ．（填序号）
7．（23-24 八年级上·江苏·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，
ABO
ADO
△
≌△
，
下列结论：①AC
BD
⊥
；②CB
CD
=
；③
ABC
ADC
△
≌△
；④DA
DC
=
．其中不正确结论的序号是 ．
8．（23-24 八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在
ABC
中，
45
ABC
=
，AD，BE 分别为BC ，AC 边
上的高，AD，BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：
BF
AC
=
①
；
FCD
DAC
=
②
；
CF
AB
⊥
③
；④
若
2
BF
EC
=
，则
FDC
△
周长等于AB 的长．其中正确的有 ( 写出所有正确结论的序号)
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26 /
题型三：垂直平分线的性质和判定综合压轴题
1．
（24-25 七年级下·吉林长春·阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94 页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB 的垂直平
分线，P 是MN 上任一点，连结PA、PB ．将线段AB 沿直线MN 对折，我们发现PA与PB 完全重合．由此
即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN
AB
⊥
，垂足点为C，AC
BC
=
，点P 是直线MN 的任意一点，求证：PA
PB
=
．
AI
分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA
PB
=
．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在
ABC
中，AB、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D、E，垂足分别为M，N，
24
BC =
，
则
ADE
的周长为________．
（3）如图③，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，E、P 分别是AB、AD 上任意一点，若
8
AB =
，
ABC
的面积为30，则BP
EP
+
的最小值是________．
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27 /
2．（24-25 八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，
Rt
Rt
ABC
EFD
≌
，
90
ABC
EFD
=
=
，
30
DEF
CAB
=
=
．将
ABC
和DEF
按如图1 的方式在同一
平面内放置，其中点E 与点A 重合，边AB 与边DE 重合．
初步思考：
（1）小丽在图1 的基础上进行了如下操作：保持
ABC
不动，将DEF
沿着射线AC 的方向平移，
边DE 与边CB 交于点H，边EF 与直线BC 交于点G．如图2，当点H 为边DE 的中点时，判断线段DH 与
线段DF 的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2 的基础上进行如下操作：连接DG ，FH ．求证：DG 垂直平分FH ；
拓展延伸：（3）小颖在图1 的基础上进行如下操作：
3
DF
BC
=
= ，保持
ABC
不动，将DEF
沿着射线AC
的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F 平移到
ABC
的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
3．（24-25 八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，
ABC
中，若
8
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE
AD
=
，连接BE ．请根据小明
的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到
ADC
EDB
≌
，依据是____________．
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28 /
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图2，已知
ABC
与AFG
，AB
AF
=
，AC
AG
=
，
180
BAF
CAG
+
=
，AD、AE 分
别为
ABC
中BC 边上的中线与高，且
9
BC =
，
6
AE =
，求AFG
的面积．
（3）拓展延伸：如图3，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 是CD的中点，
①若四边形ABCD的面积为m，求证：ABE
的面积为1
2 m ．
②若
90
BAE
ABE
+
=
，则AB 、BC 、AD三者之间的数量关系为______．
4．（24-25 八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，
那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】（1）如图①，直线l 是线段 AB 的垂直平分线，点P 在直线l 的左侧，经测量，
.
PA
PB 请
证明这个结论；
【迁移研究】（2）如图②，直线l 是线段AB 的垂直平分线，点C 在直线l 外，且与点A 在直线l 的同测，
点D 是直线l 上的任意一点，连结
,
,
AD BC CD ，试判断BC 和AD
CD
+
之间的大小关系，并说明理由．
5．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在
ABC
中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，连接DE 并延长到点
,
G EG
DE
=
，过点
E 作FE
DE
⊥
交BC 于点F ，连接DF
GF
CG
、
、
，求证：
+
CF
AD
DF ；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABDC 是一个工业区，点D 是一个入口，B
C
、
是两个仓库，点E
F
、分别是粗加工厂
和精密加工厂，点E
F
、分别在AB
AC
、
上，DE
DF
、
是两条小路，CF
BE
、
是两条运输公路，为方便从粗
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29 /
加工厂运输到精密加工厂，现要沿EF 修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道EF
与运输公路CF
BE
、
之间的数量关系．已知
180 ,
,
140
ABD
C
BD
CD
BDC
+
=
=
=
，
70
EDF
=
．请你
帮助管理人员探索线段
,
,
BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明．
6．
（24-25 八年级上·内蒙古赤峰·期末）
【教材呈现】如图1，连接
ABC
的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，
所得线段AD叫做
ABC
的边BC 上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在
ABC
中，
8,
6,
AB
AC
D
=
=
是BC 的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到E ，使DE
AD
=
，请
完成证明“
ADC
EDB
≌
”的推理过程．
（1）求证：
ADC
EDB
≌
．
（2）求AD的取值范围．
【问题解决】
（3）如图3，在
ABC
中，
90
B
?
? ，
2
AB =
，AD是
ABC
的中线，CE
BC
⊥
，
4
CE =
，且
90
ADE
=
，
求AE 的长．
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30 /
7．（24-25 八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在射线BA
上，点E 在直线AC 上，AF 垂直平分线段DE 交直线BE 于点F ．
(1)如图1，若点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 上．求证：ABE
ACD
≌
；
(2)如图2，当点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 的延长线上时．
①请写出CD，DF ，BF 之间的数量关系并证明；
②若
2
ADF
ABE
S
S
=
△
△
，
5
CD =
，求BF 的长．
1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角
线AC
BD
，
交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO
DO
=
，AC
BD
⊥
B．
DAC
BAC
=
，AD
AB
=
C．
DAC
BAC
=
，
DCA
BCA
=
D．
ADC
ABC
=
，BO
DO
=
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31 /
2．（24-25 七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭
到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．
ABC
的三条中线的交点
B．
ABC
三条角平分线的交点
C．
ABC
三边的垂直平分线的交点
D．
ABC
三条高所在直线的交点
3．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
中，DE 是AC 的垂直平分线，
5
AE = ，
ABD
△
的周
长为12，则
ABC
的周长为（ ）
A．17
B．22
C．29
D．30
4．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，在
ABC
中，直线m 是线段BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上
的一个动点，连接AP 、PC ，若
7
AB =
，
5
AC =
，则
APC
△
周长的最小值是（ ）
A．13
B．12
C．9
D．7
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在
ABC
中，BC 的垂直平分线分别交BC
AC
、
于点D、E，连
接BE ．若BE 平分
ABC
，且
72
A
=
，则
CED
的度数为（ ）
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32 /
A．72
B．64
C．54
D．36
6．（24-25 八年级上·河北保定·期中）在
ABC
中，AB 的垂直平分线分别交AB
BC
，
于点M
P
AC
，，
的垂
直平分线分别交AC
BC
，
于点N
Q
，
．若
10
2
BC
QP
=
=
，
，则
AQP
△
的周长为（ ）
A．8
B．10
C．14
D．10 或14
7．（24-25 八年级上·湖南娄底·期末）如图，在
ABC
中，
52
ABC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直线
MN 分别交AB ，BC 于点M ，N ，若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
APC
的度
数为（ ）
A．104
B．116
C．128
D．142
8．
（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片ABC 的一角沿AB 的垂直平分线翻折，折痕为DE ，
点B 与点A 重合，已知
10
ACD
C
=
△
，
4
AE =
，则
=
△ABC
C
．
9．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，交AB 于点O，P 为直线l 上一
点，则下列说法：①点O 是线段AB 的中点；②直线l 是线段AB 的对称轴；③线段OP 是AB 的垂线，其
中正确的有 ．
10．（24-25 八年级上·上海嘉定·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AD
BC E
∥
为CD的中点，连接
,
,
AE BE BE
AE
⊥
，延长AE 交BC 的延长线于点F．若
6,
4
AB
BC
=
=
，则AD = ．
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33 /
11．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，在
ABC
中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆弧交BC 于点D ，
再分别以点B 和点D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 和点N ，连接MN 交AB 于
点E ．若
10
AB =
，
7
AC =
，
12
BC =
，则
ADE
的周长为 ．
12．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中、AC
BC
⊥
、DE
AB
⊥
于点E 、AD是CE 的垂直
平分线，求证：AD平分
BAC
．
13．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C 三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划
新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置．
14．（24-25 八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
ABC
中，
8
AB =
，
6
AC =
，D 是BC 的中
点，求BC 边上的中线AD的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE
AD
=
，请补充完整证明
“
ADC
EDB
≌
△
△
”的推理过程．
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34 /
（1）求证：
ADC
EDB
≌
△
△
；
证明：延长AD到点E，使DE
AD
=
D
是BC 的中点（已知）
CD
BD
=
（中点定义）
在
ADC
△
和
EDB
△
中
(
)
(
)
(
)
AD
ED
ADC
EDB
CD
BD
=
=
=
已作
已证
∴
ADC
EDB
≌
△
△
（________）
（2）探究得出AD的取值范围是_______；
【问题解决】
（3）如图2，
ABC
中，
90
B
?
? ，
3
AB = ，AD是
ABC
的中线，CE
BC
⊥
，
6
CE =
，且
90
ADE
=
，
求AE 的长．
15．（24-25 八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D 在射线BA
上，点E 在直线AC 上，AF 垂直平分线段DE 交直线BE 于点F ．
(1)如图1，若点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 上．求证：ABE
ACD
≌
；
(2)如图2，当点D在线段BA的延长线上，点E 在线段AC 的延长线上时．
①请写出CD，DF ，BF 之间的数量关系并证明；
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②若
2
ADF
ABE
S
S
=
△
△
，
5
CD =
，求BF 的长．
16．（24-25 八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在
ABC
中，若
5
AB =
，
3
AC =
，求BC 边上的中线AD
的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE
AD
=
，再连接BE ，这样就把AB ，AC ，
2AD集中在ABE
中，则中线AD的取值范围是______．
（2）如图2，在
ABC
中，D 是BC 边的中点，DE
DF
⊥
于点D，DE 交AB 于点E，DF 交AC 于点F，连
接EF ．试判断BE
CF
+
与EF 之间的大小关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
180
B
D
+
=
，CB
CD
=
，
160
BCD
=
，以C 为顶点作
80
ECF
=
，
边CE ，CF 分别交AB ，AD于点E，F，连接EF ．试判断BE ，DF 与EF 之间的数量关系，并说明理由．
