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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13.1 三角形的概念 知识点一 三角形的概念 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形．组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶 点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 表示方法：三角形可以用符号“△”表示.如图，顶点是A、B、C 的三角形，记作 “△ABC”，读作“三角形ABC”.三角形三边是AB、BC、AC，也可以用一个小写 字母表示，记作a、b、c，三个内角为∠A、∠B、∠C，其中 的对边为a， 的对边为b， 的对边为c． 归纳总结 三角形的三大基本元素：① 三个边 ；② 三个角 ；③ 三个顶点 . 特别提醒 （1）表示三角形时，字母没有先后顺序； （2） 也可以用∠BAC 或∠CAB 进行代替表示，∠B、∠C 同样如此.在有些线段 复杂的条件下，反之则不能代替. 知识点二 三角形的分类 按边分类：（1）不等边三角形： 三边 都不相等的三角形. （2）等腰三角形： 两边 都不相等的三角形. （3）等腰三角形： 三边 都不相等的三角形. 按角分类：（1）锐角三角形： 三个内角都是锐角的三角形. （2）直角三角形： 有一个内角是直角的三角形. 第十三章 三角形 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）钝角三角形： 有一个内角是钝角的三角形. 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形. 易错点 1 三角形识别“边”的误区 错例：认为三角形就是三条线围成的图形 错因：三角形的边必须是“线段”，直线无限延伸，无法围成封闭图形。 规避方法：审题圈画关键词“线段”.牢记反例：三条直线、射线、曲线均不能构成三角形. 易错点 2 三角形“计数”重复或遗漏 错例：数一数图中有多少个三角形，直接数了小的，漏了拼成的或数重了 错因：无序观察，没有逻辑顺序；或者忽略组合，只数“最小单元”，忘了“小+小=大” 规避方法：采用分层计数法，先数最小的（不可再分的），再数由2 个拼成的，然后数由3 个拼成 的，直到数到最大的. 易错点 3 按角分类，先找“最大角” 错例：已知的两个角都是锐角，就判定它是锐角三角形. 错因：只看已知角，未算出第三个角，忽略了三角形的形状由“最大角”决定. 规避方法：先算出所有角，再比较大小.最大角 < 90° 为锐角，= 90° 为直角，> 90° 为钝角. 题型一：三角形的识别与相关概念 方法技巧 三角形的识别抓三个关键词： 1.不在同一直线上"：三条线段不能共线； 2.三条线段：不是直线、不是射线； 3.首尾顺次相接：端点必须相连，不能交叉. 速判口诀：三线不共线，首尾要相连，封闭才成面. 1．小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ） 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成 的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ． 2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是（ ） A．𝐴𝐷 B．𝐴𝐵 C．𝐴𝐶 D．𝐵𝐸 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是𝐴𝐵． 3．在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵边所对的角是（ ） A．∠𝐴𝐷𝐵 B．∠𝐴𝐸𝐵 C．∠𝐴𝐶𝐵 D．∠𝐴𝐸𝐶 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵边所对的角是∠𝐴𝐸𝐵． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．如图，用数字标注了3 个三角形，其中△𝐴𝑃𝐶表示的是（ ） A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可 进行求解． 【详解】解：△𝐴𝑃𝐶表示的是①． 5．如图，下面以𝐴𝐵为边的三角形是（ ） A．△𝐴𝐵𝐶 B．△𝐴𝐷𝐶 C．△𝐴𝐸𝐶 D．△𝐴𝐷𝐸 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以𝐴𝐵为边的三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸． 6．如图，下列说法错误的是（ ） A．DF 是△𝐵𝐷𝐹的边 B．∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角 C．以∠𝐴为内角的三角形有3 个 D．以BC 为边的三角形有3 个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、𝐷𝐹是△𝐵𝐷𝐹的边，说法正确，不符合题意； B、∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角，说法正确，不符合题意； C、以∠𝐴为内角的三角形有3个，分别为△𝐴𝐶𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶，说法正确，不符合题意； 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D、以𝐵𝐶为边的三角形有4个，分别是△𝐷𝐵𝐶、△𝐸𝐵𝐶、△𝐹𝐵𝐶、△𝐴𝐵𝐶，说法错误，符合题意. 题型二：三角形的计数 方法技巧 确定三角形个数的方法： (1)按图形形成的过程从左往右数； (2)从图形中的某一条线段开始沿着一定的方向（如向右）数； (3)先固定一个顶点，然后按照一定顺序变换另外两个顶点来数. 1．图中共有（ ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸、△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐸𝐶共6个． 2．如图，以∠𝐴𝐷𝐸为公共角的三角形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：以∠𝐴𝐷𝐸为公共角的三角形有△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，共2个. 3．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以𝐵𝐶为边的三角形共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角 形，根据三角形的概念即可求解． 【详解】解：以𝐵𝐶为边的三角形有△𝐵𝐶𝐴,△𝐵𝐶𝐷,△𝐵𝐶𝐸，所以有3 个. 4．如图，已知点A，B 在直线a 上，点C，D，E 在直线b 上．以点A，B，C，D，E 中的任意三点作为三 角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．9 个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a 和直线b 中交叉选取三点，分①从𝑎选1个、𝑏选 2 个；②从𝑎 选2 个、𝑏选1个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: △𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，△𝐶𝐴𝐵，△𝐷𝐴𝐵，△𝐸𝐴𝐵，共9 个． 5．从大小判断，图中青蛙可以落在𝑛个三角形内，则𝑛=__________． 【答案】4 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三 角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：所有三角形为：△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐸𝐷、△𝐴𝐸𝐶、△𝐴𝐷𝐶共6个． 从大小判断，青蛙不能落在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，其它均可，即4个． 6．如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶 点得到图②，图②中共有4 个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点 与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可 能的值） 【答案】7或9 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有7或9个三角形. 题型三：三角形的分类 方法技巧 确定三角形的类型： 1.判断三边是否相等，若至少有两边相等，则是等腰三角形； 2.判断最大内角跟90°的大小关系，小于是锐角三角形，等于是直角三角形，大于是 钝角三角形. 1．如图表示三角形的分类，关于P、Q 区域有甲、乙两种说法：甲：P 是锐角三角形；乙：Q 是等边三角 形，则对于这两种说法，正确的是（ ） 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等 边三角形）， ∴P 是等腰三角形；Q 是等边三角形， ∴只有乙说法正确. 2．在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形． 3．若△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0，求出𝑎= 𝑏= 𝑐，即可得结论． 【详解】解：∵(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0， ∴𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0， ∴𝑎= 𝑏= 𝑐， ∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形． 4．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中， 分类错误的是（ ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①2 ≠3 ≠4，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②3 = 3 ≠4，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③3 = 3 = 3，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意. 5．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的 具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角 形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 6．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形，掌握等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义是解题的关键． 由等腰三角形，锐角三角形，钝角三角形的定义，即可判断． 【详解】解：A、一个直角三角形有可能是等腰三角形，故A 不符合题意； B、一个等腰三角形有可能是锐角三角形，故B 不符合题意； 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C、一个钝角三角形可能是等腰三角形，故C 不符合题意； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，正确，故D 符合题意． 7．如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，三角形𝐴𝐵𝐶 （ ） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可． 【详解】解：如图，当∠𝐴𝐵𝐶< 90°, ∠𝐴𝐶𝐵< 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为锐角三角形； 如图，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°或∠𝐴𝐶𝐵= 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为直角三角形； 或 如图，当∠𝐴𝐵𝐶> 90°或∠𝐴𝐶𝐵> 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为钝角三角形； 或 如图，当𝐴𝐵= 𝐴𝐶或𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为等腰三角形； 或 或 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上，三角形𝐴𝐵𝐶可能是①②③④．
