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1.3 证明
题型一：证明的相关求解
1．（24-25 八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若
2
a
，则
2
a
”是假命题的
反例是（ ）
A．
3
a =
B．
1
a =
C．
0
a =
D．
4
a = −
【答案】D
【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键．
由
4
4
2
−
=
，4
2
−
，可知
4
a = −是说明命题“若
2
a
，则
2
a
”是假命题的反例，然后作答即可．
【详解】解：∵
4
4
2
−
=
，4
2
−
，
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2 /
∴
4
a = −是说明命题“若
2
a
，则
2
a
”是假命题的反例，
故选：D．
2．
（24-25 八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，
,
a
b b
c
．求证：a
c
”．第一步应先假设 ．
【答案】a
c
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知，
,
a
b b
c
．求证：a
c
”．第一步应先假设a
c
．
故答案为：a
c
．
3．（24-25 九年级下·湖南长沙·期中）好久未见的A，B，C，D，E 五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互
握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A 同学握手4 次，B 同学握手3 次，C 同学握手2 次，D 同学握
手1 次，请你推断一下，E 同学握手 次．
【答案】2
【分析】本题考查了逻辑推理能力，根据握手次数进行推导是解题的关键．共有5 个人，A 同学握手4 次，
则A 与B、C、D、E 每人握手一次，则B、C 握手一定不是与D 握手，依此类推即可确定．
【详解】解：共有5 个人，A 同学握手4 次，
A 与B、 C、 D、 E 每人握手一次，
D 同学握手1 次，
B、C 握手一定不是与D 握手，
B 握手3 次，D 握手1 次，
B 握手3 次一定是与A、 C、 E 的握手，
C 握手2 次，
C 是与A 和B 握手，
E 一共握手2 次，是与A 和B 握手．
故答案为：2．
4．（24-25 八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线1l ，2l 被3l 所截，A，B 为交点，1
2
l
l
∥．
求证：1
2
= ．
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证明：假设所求证的结论不成立，
即__________ __________．
过点A 作直线4l ，使4l 与3l 所成的
3
与
2
相等，则
3
__________ 1
，
所以直线4l 与直线1l 不重合．
但4
2
l
l
∥（____________________），又已知1
2
l
l
∥，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以
__________不成立．
所求证的结论成立．
【答案】1
、2
，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，1
2
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】解：假设所求证的结论不成立，
即1
2
．
过点A 作直线4l ，使4l 与3l 所成的
3
与
2
相等，则3
1
泄
? ，
所以直线4l 与直线1l 不重合．
但
4
2
∥
l
l （同位角相等两直线平行），又已知1
2
l
l
∥，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知
直线平行”产生矛盾．所以1
2
不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：1
、2
，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，1
2
．
5．（24-25 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，
360
B
C
D
++
=
，求证：AB
DE
∥
．
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【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质定理
180
B
BCF
+
=
，进而得出
180
FCD
D
+
=
，则CF
ED
∥
，即可得出
AB
ED
∥
．
【详解】证明：过点C 作CF
AB
∥
，
∴
180
B
BCF
+
=
，
∵
360
B
BCD
D
+
+
=
，
∴
180
FCD
D
+
=
，
∴CF
ED
∥
，
∴AB
ED
∥
．
6．（24-25 八年级上·全国·课后作业）证明命题“三角形三个内角的和等于180”是真命题．
【答案】见详解
【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A 作EF
BC
∥
，利用EF
BC
∥
，可得1
2
B
C
=
=
，
，
而1
2
180
BAC
++
=
，利用等量代换可证
180
BAC
B
C
++
=
．
【详解】解：已知：如图，
ABC
，
求证：
180
BAC
B
C
=
+
+
，
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证明：过点A 作EF
BC
∥
，
∵EF
BC
∥
，
∴
1
2
B
C
=
=
，
，
∵1
2
180
BAC
++
=
，
∴
180
BAC
B
C
++
=
．
即知三角形内角和等于180．
7．（24-25 八年级上·全国·课后作业）命题“若n 是自然数，则代数式(3
1)(3
2)
1
n
n
+
+
+ 的值是3 的倍数”是真
命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明．
【答案】真命题，证明见解析
【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3 的整式．
【详解】命题是真命题，理由如下：
(
)(
)
3
1 3
2
1
n
n
+
+
+
2
9
9
2 1
n
n
=
+
+
+
2
9
9
3
n
n
=
+
+
(
)
2
3 3
3
1
n
n
=
+
+
，
由n 是自然数可知，
2
3
3
1
n
n
+
+ 是自然数，
则(
)
2
3 3
3
1
n
n
+
+
是3 的倍数，
即代数式(3
1)(3
2)
1
n
n
+
+
+ 的值是3 的倍数，
命题是真命题．
8．（24-25 八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线EF 、GH 被直线MN 所截，AB
GH
⊥
，B 为垂足，
1
2
= ．求证：AB
EF
⊥
．
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证明：∵1
2
= （ ），
∴EF ___________（ ）
∴
FAB
HBA
+
=___________（ ）
∴AB
GH
⊥
（已知），
∴
90
HBA
=
（ ）
∴
180
180
90
90
FAB
HBA
=
−
=
−
=
，
∴AB
EF
⊥
（ ）
【答案】已知；GH ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义
【分析】先证明EF
GH
∥
得到
180
FAB
HBA
+
=
，根据垂直的定义得到
90
HBA
=
，则
90
FAB
=
，
即可证明AB
EF
⊥
．
【详解】证明：∵1
2
= （已知），
∴EF
GH
∥
（内错角相等，两直线平行）
∴
180
FAB
HBA
+
=
（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB
GH
⊥
（已知），
∴
90
HBA
=
（垂直的定义）
∴
180
180
90
90
FAB
HBA
=
−
=
−
=
，
∴AB
EF
⊥
（垂直的定义），
故答案为：已知；GH ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义．
题型二：三角形外角中三角板问题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边AC 上，BC
EF
∥
，则
ADE
的大小为（ ）
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A．60
B．65
C．75
D．85
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角板中角度计算，解题的关键是构建未知量和
已知量之间的关系．
记DE 交BC 于点M ，利用平行线的性质得到
DMC
，再根据
ADE
C
DMC
=
+
求解，即可解题．
【详解】解：记DE 交BC 于点M ，如图所示：
BC
EF
∥
，
45
E
=
，
45
DMC
E
=
=
，
30
C
=
，
75
ADE
C
DMC
=
+
=
；
故选：C．
2．（24-25 八年级下·贵州铜仁·期中）将一副三角板如图放置，使含30角的三角板的一段直角边与含45角
的三角板的一段直角边重合，则
的度数为（ ）
A．120
B．75
C．135
D．105
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【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，三角板中角度的计算，可证明AB
CD
∥
，
得到
60
BEC
C
=
=
∠
∠
，再由三角形外角的性质可求出答案．
【详解】解：如图所示，∵
90
BAD
CDA
=
=
，
∴
180
BAD
CDA
+
=
，
∴AB
CD
∥
，
∴
60
BEC
C
=
=
∠
∠
，
∵
45
B
=
，
∴
105
B
BEC
=
+
=
∠
∠
，
故选：D．
3．（2025·河北唐山·三模）将一块含45角的直角三角尺和直尺如图放置，若1
60
=
，则
2
的度数为（ ）
A．165
B．166
C．139
D．121
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得
3
1
60
= =
，由三角形的外
角性质得
2
4
5
= +，即可求解；能熟练利用平行线的性质，三角形外角的性质求角度是解题的关键．
【详解】解：如图，
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由题意得：
5
45
=
，
AB
CD
，
3
1
60
= =
，
4
180
3
=
−
120
=
，
2
4
5
= +
120
45
=
+
165
=
，
故选：A．
4．（2025·安徽六安·二模）如图，已知a
b
，将含30角的直角三角板放在直线a，b 之间，若1 32
=
，则
2
的度数为（ ）
A．60
B．62
C．65
D．70
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，据此即可求出答案．
【详解】解：如图，
1
4
32
= =
，
3
4 30
62
= +
=
，
a
b
，
2
3
62
= =
，
故选：B．
5．
（24-25 九年级下·山东德州·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放，
90
B
D
=
=
，
60
A
=
，
45
E
=
，
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若AC
DF
∥
，则1
的度数为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据三角板得出
30
C
=
，
45
F
=
，根据AC
DF
∥
，得出
3
45
F
=
=
，再根据三角形外角的性质和
对顶角相等即可求解．
【详解】如图；
90
B
D
=
=
，
60
A
=
，
45
E
=
，
180
180
90
60
30
C
B
A
=
−−=
−
−
=
∴
，
180
180
90
45
45
F
D
E
=
−
−=
−
−
=
，
AC
DF
∥
，
3
45
F
=
=
，
2
3
45
30
15
C
= −
=
−
=
，
1
2
15
= =
，
故答案为：15．
6．
（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，三角形DEF 是由三角形ABC 平移得到的，点D 在边AC 上，
连接CE ．若
BCE
和
CED
中其中一个角是另一个角的3 倍，
60
B
=
，则
CED
的度数为 ．
【答案】15或45
【分析】本题主要考查图形的平移的性质，三角形外角和性质的综合，理解图示，掌握平移的性质，平行
线的性质，三角形外角和的性质等知识是解题的关键．
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根据图形的平移，可知
,
60 ,
AB
DE
B
DGC
=
∥
是CGE
的外角，可得
DGC
BCE
CEG
=
+
，分类讨
论，当
3
BCE
CEG
=
时；当3 BCE
CEG
=
时；根据角的和差倍分关系即可求解．
【详解】解：如图所示，设BC 与DE 交于点G ，
∵三角形ABC 平移得到三角形DEF ，
∴
,
60
AB
DE
B
=
∥
，
∴
60
DGC
B
==
，
∵
DGC
是CGE
的外角，
DGC
BCE
CEG
=
+
，
当
3
BCE
CEG
=
时，
3
60
DGC
CEG
CEG
=
+
=
，
解得，
15
CEG
=
；
当3 BCE
CEG
=
时，则
1
3
BCE
CEG
=
，
∴
1
60
3
DGC
CEG
CEG
=
+
=
，解得，
45
CEG
=
；
综上所述，
CED
的度数为15或45，
故答案为：15或45．
7．（2025·江西新余·一模）如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点F 在AC 上，AB
DE
∥
，则
DFA
的度数是 ．
【答案】15/15 度
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到
45
BGF
D
=
=
，利用外角
的性质得到
BGF
DFA
A
=
+
，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
45 ,
30
D
A
=
=
，
AB
DE
，
45
BGF
D
=
=
，
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由三角形外角的性质可知
BGF
DFA
A
=
+
，
45
30
15
DFA
BGF
A
=
−
=
−
=
．
故答案为：15
题型三：三角形外角的实际应用
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB 与操作台BC 的夹角
120
ABC
=
，支撑臂BD为
ABC
的平分线．物体被吊起后，机械臂AB 的位置不变，支撑臂绕点B 旋转
一定的角度并缩短，此时
2
CBD
ABD
=
，
BDC
增大了5，则
DCE
的变化情况为 （ ）
A．增大10
B．减小10
C．增大25
D．减小25
【答案】C
【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设
BDC
x
=
，根据题意可得
1
60
2
CBD
ABD
ABC
=
=
=
，则
60
DCE
x
=
+
，物体被吊起后，可得
2
80
CBD
ABD
=
=
，
BDC
增大了5，由
DCE
CBD
BDC
=
+
即可解答．
【详解】解：起吊物体前，设
BDC
x
=
，
120
ABC
=
，支撑臂BD为
ABC
的平分线，
1
60
2
CBD
ABD
ABC
=
=
=
，
60
DCE
CBD
BDC
x
=
+
=
+
；
物体被吊起后，
机械臂AB 的位置不变，
2
CBD
ABD
=
，
120
CBD
ABD
+
=
，
2
80
CBD
ABD
=
=
，
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BDC
增大了5，
5
BDC
x
=
+ ，
80
5
85
DCE
CBD
BDC
x
x
=
+
=
+ + =
+
，
(
) (
)
85
60
25
x
x
+
−
+
=
，
DCE
的变化情况为增大25．
故选：C．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点
处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知1
88
=
，
3 130
=
，则
2
的度数为（ ）
A．30
B．36
C．42
D．52
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得
4
3
130
= =
，
由三角形外角的性质可得1
2
4
+=，结合1
88
=
即可求解．
【详解】解：如图，
反射后的光线均平行于地面，
4
3
130
= =
，
1
2
4
+= ，1
88
=
，
2
4
1
42
= −=
．
故选C．
3．
（24-25 九年级下·河南商丘·期中）如图是一款婴儿车的平面示意图，其中AB
CD
∥
，若
1
43
=
，2
68
=
，
则
3
的度数为（ ）
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A．24
B．26
C．28
D．25
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性
质．根据三角形的外角性质即可求出
25
A
=
，进而根据平行线的性质得出
3
25
A
= =
．
【详解】解：∵
2
1
68
43
25
A
= −=
−
=
∵AB
CD
∥
，
∴
3
25
A
= =
故选：D．
4．（24-25 七年级下·广东梅州·期中）如1 图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2 图所示是抽象出来
的部分示意图，已知直线EF 与BD相交于点P，AB
CD
∥
，
20
P
=
，
105
CFP
=
，则
ABP
的大小为
（ ）
A．75
B．80
C．85
D．90
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，三角形的外角性质．由平行线的性质得到
105
AEP
=
，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
105
CFP
=
，
105
AEP
CFP
=
=
，
AEP
ABP
P
=
+
，
20
P
=
，
105
20
85
ABP
AEP
P
=
−=
−
=
，
故选：C．
5．（24-25 七年级下·河南郑州·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束
经过光心O的光线相交于点P ，若1 150
=
，
3
55
=
，则
2
的度数为（ ）
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A．25
B．30
C．35
D．40
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质、角形外角的性质、顶角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的
关键．
先根据平行线的性质可得
30
OFB
=
，由三角形外角的性质即可求出POF 的度数．然后根据对顶角相等
即可解答．
【详解】解：如图，
∵AB
OF
∥
，
1
180
OFB
+
=
，
1 150
=
，
∴
30
OFB
=
，
∵
3
POF
OFB
=
+
，
∴
3
55
30
25
POF
OFB
= −
=
−
=
，
2
25
POF
=
=
．
故选A．
6．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G 的方向竖直向下，支持力
1F
的方向与斜面垂直，摩擦力
2
F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角
31.5
=
，则摩擦力
2
F 与重力G 方向的夹
角的度数为 ．
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16 /
【答案】121.5
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力G 与斜面形成的三
角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力G 的方向竖直向下，
重力G 与水平方向夹角为90，
摩擦力
2
F 的方向与斜面平行，
31.5
=
，
1
90
121.5
= =
+
=
，
故答案为：121.5．
7．（2025·广东深圳·二模）如图，一束激光PA射入水面，在点A 处发生折射，折射光线AB 在杯底形成光
斑B 点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C 处发生折射，光斑移动到D 点．因水面始终与杯
．．．．．．
底平行
．．．，则折射光线CD
AB
∥
．若1
48
=
，
2
26
=
，则
3
的度数为 ．
【答案】74
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
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17 /
由三角形外角性质得
48
26
74
BEC
=
+
=
，又CD
AB
∥
，EC
BD
∥
，则四边形BECD 是平行四边形，最
后通过平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵1
48
=
，
2
26
=
，
∴
48
26
74
BEC
=
+
=
，
∵CD
AB
∥
，EC
BD
∥
，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∴
3
74
BEC
=
=
，
故答案为：74 ．
题型四：三角形的外角与平行线的结合
1．（24-25 九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线AB
CD
∥
，
30 ,
25
E
C
=
=
，则
BAE
的度数为
（ ）
A．30
B．45
C．55
D．60
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
根据三角形外角的性质可得
55
AFC
C
E
= +=
，再由平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵
30 ,
25
E
C
=
=
，
∴
55
AFC
C
E
= +=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
55
A
BAE
FC
=
=
．
故选：C
2．
（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在
ABC
中，
29
A
=
，D 为AB 延长线上一点，过点D 作DE
BC
∥
．若
46
D
=
，则
C
的度数是（ ）
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18 /
A．13
B．15
C．17
D．23
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键．
根据DE
BC
∥
，可得
46
CBD
ADE
=
=
，根据外角的性质，可得
C
CBD
=
－
17
A
=
．
【详解】解：DE
BC
∥
，
46
CBD
ADE
=
=
，
CBD
是ABC
的外角，
29
A
=
，
C
CBD
=
－
17
A
=
．
故选：C．
3．（2025·湖北·二模）如图，已知AB
CD
∥
，
35
65
A
C
=
=
，
，则
P
的度数为（ ）
A．20
B．35
C．30
D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到
PEB
的度数，再根
据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵AB
CD
∥
，
∴
65
PEB
C
=
=
，
∵
35
A
PEB
A
P
=
=
+
，
∠
∠，
∴
30
P
=
，
故选：C．
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19 /
4．（2025·山东威海·二模）如图，DE
BF
∥
，
78
135
DAB
ACF
=
=
，
，则
BAC
= （ ）
A．67
B．53
C．57
D．63
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，根据平行线的性质得到
78
ABC
DAB
=
=
，
再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵DE
BF
∥
，
78
DAB
=
，
∴
78
ABC
DAB
=
=
，
∴
135
78
57
BAC
ACF
ABC
=
−
=
−
=
,
故选：C
5．（2025·湖南怀化·三模）如图，AB
CD
∥
，若1
65
=
，
3
55
=
，则
2
的度数为（ ）
A．115
B．120
C．125
D．130
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质．根据平行线的性质可得
1
65
ACD
= =
，
进而根据
2
3
ACD
=
+，即可求解．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，1
65
=
，
3
55
=
，
∴
1
65
ACD
= =
，
∴
2
3
65
55
120
ACD
=
+=
+
=
，
故选：B．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是
小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知
30
BC
EF
A
=
∥
，
．若
70
ADE
=
，则
C
的度数为（ ）
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20 /
A．40
B．30
C．45
D．57
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得
70
CBD
ADE
=
=
，
进而根据三角形的外角的性质可得
C
CBD
A
=
−，即可求解．
【详解】解：∵BC
EF
∥
，
∴
70
CBD
ADE
=
=
，
∵
30
A
=
，
70
30
40
CB
C
A
D
=
−
−
=
=
，
故选：A．
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线a
b
∥，1 110
=
，
2
62
=
，则
3
的度数为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由三角形外角的性质得到
48
CAB
=
，再根据平
行线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵1 110
=
，
2
62
=
，
∴
1
2
48
CAB
= −=
，
∵a
b
∥，
∴
3
48
CAB
=
=
，
故答案为：48．
题型五：三角形的外角与角平分线的结合
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21 /
1．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形MNCB 中，
25
P
=
，
MBC
和
NCD
的平分
线交于点P，则
M
N
+
的度数为 ．
【答案】230/230 度
【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出
PCD
NCP
MBP
PBC
=
=
，
，根据三角形的外角得出
25
PCD
NCP
PBC
=
=
+
，进而求出
130
2
NCB
PBC
=
−
，根据
360
M
N
MBC
NCB
+
+
+
=
，进而可得出答案．
【详解】解：∵
MBC
和
NCD
的平分线交于点P，
∴
PCD
NCP
MBP
PBC
=
=
，
，
∵
25
PCD
P
PBC
P
= +
=
，
，
∴
25
PCD
NCP
PBC
=
=
+
，
∴
(
)
180
180
2 25
130
2
NCB
NCD
PBC
PBC
=
−
=
−
+
=
−
，
在四边形MNCB 中，
360
M
N
MBC
NCB
+
+
+
=
，
∴
(
)
2
130
2
360
M
N
PBC
PBC
+
+
+
−
=
，
∴
360
130
230
M
N
+
=
−
=
，
故答案为：230．
2．
（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD平分
,
BAC DE
BC
⊥
，若
25 ,
75
B
C
=
=
，
则
ADE
的度数为 ．
【答案】25
【分析】由三角形的内角和定理可求解
BAC
的度数，结合角平分线的定义可得
EAD
的度数，利用垂直
的定义以及三角形外角性质得
115
AED
=
，最后运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．本题主要考
查三角形的内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
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【详解】解：∵
25 ,
75
B
C
=
=
，
∴
180
80
BAC
B
C
=
−−
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
1
40
2
EAD
BAC
=
=
，
∵DE
BC
⊥
，
∴
90
EDB
=
，
∴
90
25
115
AED
=
+
=
，
∴
180
180
115
40
25
ADE
AED
EAD
=
−
−
=
−
−
=
，
故答案为：25
3．（24-25 七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC 中，AD平分
BAC
，EF
AD
⊥
于点M，交BC 的延
长线于点N，已知
70 ,
40
ACB
B
=
=
，则
N
的度数为 ．
【答案】15
【分析】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，找出已知角和未知角的关系是解题
的关键．
通过角平分线和垂直关系，找出未知角
G
和已知角
70
ACB
=
和
40
B
=
的关系，代入即可．
【详解】解：
AD
平分
BAC
，
BAD
CAD
=
，
∵EF
AD
⊥
，
90
AMF
AME
=
=
，
90
AEF
BAD
+
=
，
90
AFM
CAD
+
=
，
AEF
AFH
=
，
ACB
N
CFN
=
+
，
AEF
B
N
= +
，
CFN
AFE
=
，
ACB
N
B
N
−
= +
，
(
)
1
2
N
ACB
B
=
−
，
∵
70 ,
40
ACB
B
=
=
15
N
=
．
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23 /
故答案为：15．
4．（24-25 八年级上·河南郑州·期末）如图，在△ABC 中，已知
BAC
的平分线与BC 交于点D，
=60
B
，
40
C
=
，则
ADB
的度数为 ．
【答案】80
【分析】由三角形内角和定理求出
80
BAC
=
，由角平分线定义得到
1
40
2
DAC
BAC
=
=
，由三角形的
外角性质推出
80
ADB
C
DAC
= +
=
，本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由三角
形内角和定理求出
BAC
的度数，由三角形的外角性质得到
.
ADB
C
DAC
=
+
【详解】解：
60
=
B
，
40
C
=
，
180
80
BAC
B
C
=
−−
=
，
AD
平分
BAC
，
1
40
2
DAC
BAC
=
=
80
ADB
C
DAC
=
+
=
，
故答案为：80
5．（24-25 七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，CE 是△ABC 的外角
ACD
的平分线，若
36
B
=
，
65
ACE
=
，则
A
的度数是 ．
【答案】94/94 度
【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角等于其不相邻两个内角
之和是解题关键．
根据角平分线的定义求出
ACD
，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：
CE
是△ABC 的外角
ACD
的平分线，
65
ACE
=
，
2
130
ACD
ACE
=
=
，
ACD
是△ABC 的外角，
36
B
=
，
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130
36
94
A
ACD
B
=
−=
−
=
，
故答案为：94．
6．
（24-25 七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC 中，BD是AC 边上的高，
72
A
=
，CE 平分
ACB
交BD于点E，
115
BEC
=
，则
ABC
的度数为 ．
【答案】58/58 度
【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角
的性质，得到
25
DCE
=
，进而得到
50
BCD
=
，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵BD是AC 边上的高，
∴
=90
BDC
，
∵
115
BEC
=
，
∴
25
DCE
BEC
CDE
=
−
=
，
∵CE 平分
ACB
，
∴
2
25
50
BCD
DCE
=
=
=
，
∵
72
A
=
，
∴
180
180
72
50
58
ABC
A
ACB
=
−−
=
−
−
=
，
故答案为：58．
题型六：三角形的内角等分线和外角等分线综合
1．（24-25 八年级上·四川成都·期末）如图，点E 是△ABC 的外角
CBD
内部一点，满足
3
CAB
EAB
=
，
3
CBD
EBD
=
．若
42
C
=
，则
E
的度数是 ．
【答案】14
【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设
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EAB
x
=
，
EBD
y
=
，根据
3
CAB
EAB
=
，
3
CBD
EBD
=
，得
3
CAB
x
=
，
3
CBD
y
=
，根据外角
的性质列式解答即可．
【详解】解：设
EAB
x
=
，
EBD
y
=
，
∵
3
CAB
EAB
=
，
3
CBD
EBD
=
，
∴
3
CAB
x
=
，
3
CBD
y
=
，
∵
EBD
EAB
E
=
+，
CBD
CAB
C
=
+
，
∴y
x
E
=
+
①，3
3
y
x
C
=
+
②，
∵
42
C
=
，
∴由①②得
1 42
3
E
x
x
+
=
+
解得
14
E
=
．
故答案为：14．
2．（24-25 七年级上·江苏扬州·期中）如图，若CD平分
,
ACE BD
平分
,
40
ABC
A
=
，则
D
= ．
【答案】20/20 度
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据角平分线定义求出
2
ABC
DBC
=
，
2
ACE
DCE
=
，根据三角形外角性质求出
2
ACE
DCE
A
ABC
=
= +
，
(
)
2
2
2
DCE
D
DBC
D
ABC
=
+
=
+
，推出
2
A
ABC
D
ABC
+
=
+
，得出
2
A
D
=
，即可求出答案．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，CD平分
ACE
，
∴
2
ABC
DBC
=
，
2
ACE
DCE
=
，
∵
2
ACE
DCE
A
ABC
=
= +
，
(
)
2
2
2
DCE
D
DBC
D
ABC
=
+
=
+
，
∴
2
A
ABC
D
ABC
+
=
+
，
∴
2
A
D
=
，
∵
40
A
=
，
∴
20
D
=
，
故答案为：20．
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3．（24-25 七年级下·上海闵行·期中）如图，在△ABC 中，延长BC 到D，
ABC
ACD
、
的角平分线相交
于点
1A 点．
1A BC
与
1ACD
的外角平分线交于点
2
A ，
2
A BC
与
2
A CD
的外角平分线交于点
3
A ，依次类推，
1
n
A
BC
−
与
1
n
A CD
−
的外角平分线交于点
n
A ，如果
A
m
=
，那么
n
A
= °．（用含m、n 的表示）．
【答案】2n
m / 1
2n m
【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到
A
ACD
ABC
=
−
，
1
1
1
A
ACD
ABC
=
−
，由角平分线的性质得到
1
1
2
ACD
ACD
=
，
1
1
2
A BC
ABC
=
，
即可得到
1
1
2
2
m
A
A
=
=
，同理可得
2
1
2
2
1
1
2
2
2
m
A
A
A
=
=
=
，进一步得到答案即可．
【详解】解：∵
ACD
是
ABC
的外角，
∴
A
ACD
ABC
=
−
，
∵
1ACD
是
1A BC
的外角，
∴
1
1
1
A
ACD
ABC
=
−
，
∵
1
BA 平分
ABC
，
1
CA 平分
ACD
，
∴
1
1
2
ACD
ACD
=
，
1
1
2
A BC
ABC
=
，
∴
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
m
A
ACD
ABC
ACD
ABC
A
=
−
=
−
=
=
，
同理可得：
2
1
2
2
1
1
2
2
2
m
A
A
A
=
=
=
，
…，
∴
2
n
n
m
A
=
，
故答案为：2n
m ．
4．（24-25 九年级下·山东济宁·期中）如图，在△ABC 中，
48
A
=
，
ABC
与
ACD
的平分线交于点
1A ，
得
1A
，
1A BC
与
1ACD
的平分线相交于点
2
A ，得
2A
；…；
1
n
A
BC
−
与
1
n
A CD
−
的平分线交于点
n
A ，要
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使
n
A
的度数为整数，则n 的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的1
2
是解题的关键．
利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求
1
1
2
A
A
=
，再依此类推得，
2
1
1
2
A
A
=
,……，
1
48
2
2
n
n
n
A
A
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
与
ACD
的平分线交于点
1A ，
∴
1
1
2
A BC
ABC
=
，
1
1
2
ACD
ACD
=
，
由三角形的外角性质，
ACD
A
ABC
= +
，
1
1
1
ACD
A
ABC
=
+
，
∴(
)
1
1
1
1
1
2
2
A
ABC
A
A BC
A
ABC
+
=
+
=
+
，
整理得：
1
1
1
48
24
2
2
A
A
=
=
=
，
同理可得
2
1
1
1
24
12
2
2
A
A
=
=
=
，
……
其规律为：
1
48
2
2
n
n
n
A
A
=
=
．
要使
n
A
的度数为整数，n 的最大值为4．
故答案为：4．
5．
（24-25 七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC 中，
64
A
=
，
ABC
和外角
ACD
的平分线交于
1A ，
得
1A
；
1A BC
和外角
1ACD
的平分线交于
2
A ，得
2A
；……依次类推，则
5
A
= ．
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28 /
【答案】2
【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，找出角度的变化规律是解题的关键．
根据角平分线的定义可得
1
1
2
A BC
ABC
=
，
1
1
2
ACD
ACD
=
，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和可得
ACD
A
ABC
= +
，
1
1
1
ACD
A BC
A
=
+
，整理即可求出
1A
的度数，同理求出
2A
，
可以发现后一个角等于前一个角的1
2 ，根据发现后一个角等于前一个角的1
2 的规律即可得解，把
64
A
=
代
入
1
2n
An
A
=
解答即可．
【详解】解：
1
BA 平分
ABC
，
1
CA 平分
ACD
，
1
1
2
A BC
ABC
=
，
1
1
2
ACD
ACD
=
，
ACD
A
ABC
= +
，
1
1
1
ACD
A BC
A
=
+
，
(
)
1
1
1
2
2
A
ABC
ABC
A
+
=
+
，
1
1
2
A
A
=
，
同理可得
1
2
2
1
1
2
2
A
A
A
=
=
，
……
1
2n
An
A
=
，
5
5
1
1
64
2
2
32
A
A
=
=
= ，
故答案为：2．
6．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC 中，
2
ABC
C
=
，点E、F 分别在边BC
AC
、
上，
28
FEC
=
，
2
AEF
AFE
=
，ABC
的角平分线与
AEF
的角平分线交于点P，则
P
的度数为 ．
【答案】56/56度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是
解题的关键．
根据题意可知
PBC
C
=
，设
C
x
=
，表示出
AEF
，根据角平分线的定义，可得
FEP
的度数，根据
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PEC
P
PBC
= +
列方程，即可求出
P
的度数．
【详解】解：∵
2
ABC
C
=
，BP平分
ABC
，
∴
PBC
C
=
，
设
C
x
=
，
则
PBC
x
=
，
∵
28
FEC
=
，
∴
28
AFE
x
=
+
，
∵
2
AEF
AFE
=
，
∴
2
56
AEF
x
=
+
，
∵EP平分
AEF
，
∴
28
FEP
x
=
+
，
∵
PEC
P
PBC
= +
，
∴
28
28
x
P
x
+
+
= +
，
∴
56
P
=
，
故答案为：56．
7．（24-25 七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图AB
CD
∥
，
GAB
的平分线AE 与
ACF
的平分线CE 交于点
E，且
14
E
BAF
=
=
，则
F
=（ ）
A．28
B．42
C．56
D．58
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键．
过点F 作FP AB
∥
，由AB
CD
PF
∥
∥
得
AFC
BAF
FCD
=
+
，
2
2
2(
)
28
DCF
GAE
ACE
GAE
ACE
=
−
=
−
=
∠
∠
∠
∠
∠
，即可解答．
【详解】解：过点F 作FP AB
∥
，如图
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∴
14
AFP
BAF
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
GAB
的平分线AE 与
ACF
的平分线CE 交于点E
∴AB
CD
PF
∥
∥
，
BAG
ACD
=
，
2
,
2
GAB
GAE
ACF
ACE
=
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
PFC
FCD
=
∠
∠
，2 GAE
ACD
ACF
DCF
=
=
+
∠
∠
，
即2
2
GAE
ACE
DCF
=
+
∠
∠
∠
，
∵
GAE
E
ACE
=
+
∠
∠
∠
，
∴
14
GAE
ACE
E
−
=
=
∠
∠
∠
，
∴
2
2
2(
)
28
DCF
GAE
ACE
GAE
ACE
=
−
=
−
=
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
28
PFC
FCD
=
=
∠
∠
，
∴
14
28
42
AFC
AFP
CFP
=
+
=
+
=
∠
∠
∠
故选B．
题型七：三角形外角中特殊多边形的角度和
1．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，
A
B
C
D
E
++
+
+等于（ ）
A．100
B．200
C．180
D．360
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形外角的性质得到
B
E
BFC
+=
，
A
D
DGC
+
=
，继而得到
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180
A
B
C
D
E
C
GFC
FGC
++
+
+
=
+
+
=
，即可得到答案．
【详解】解：如图，
B
E
BFC
+
=
，
A
D
DGC
+
=
，
180
A
B
C
D
E
C
GFC
FGC
++
+
+
=
+
+
=
，
故选：C．
2．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，
A
B
C
D
E
F
++
+
++
= ．
【答案】360
【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为360等知识，先由
AHG
∠
是
CFH
△
的一
个外角，
EGB
是AHG
的一个外角，得到
(
)
EGB
A
C
F
= +
+
，在四边形BDEG 中，由
360
B
D
E
BGE
+
++
=
，将
(
)
EGB
A
C
F
= +
+
代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边
形内角和为360等知识，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
AHG
是
CFH
△
的一个外角，
AHG
C
F
= +
，
EGB
是AHG
的一个外角，
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(
)
EGB
A
AHG
A
C
F
= +
= +
+
，
在四边形BDEG 中，
360
B
D
E
BGE
+
++
=
，
360
A
B
C
D
E
F
+++
++
=
，
故答案为：360．
3．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，
A
B
C
D
E
F
++
+
++
= 度．
【答案】360
【分析】本题考查了三角形外角性质和四边形内角和定理，解题关键是利用三角形外角性质将所求的六个
角转化为四边形的四个内角．
首先根据三角形外角的性质可知，这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：设AC 与BE 交点为M ，DF 与BE 交点为N ，
在BND
中，
BNF
B
D
= +
；
在
MCE
△
中，
AMN
C
E
=
+．
∵
360
A
F
BNF
AMN
++
+
=
，
∴
360
A
B
C
D
E
F
+++
++
=
．
故答案为：360．
4．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图，
A
B
C
D
E
F
+++
++的度数为 ．
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【答案】360
【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理．由
D
A
DFE
AEF
+=
+
，推出
A
B
C
D
AEC
BFD
B
C
BFE
CEF
++++
+
=++
+
，即可得到答案．
【详解】解：连接EF ，
D
A
DFE
AEF
+=
+
，
A
B
C
D
AEC
BFD
++++
+
360
B
C
BFE
CEF
= ++
+
=
．
故答案为：360．
5．（24-25 八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形ABCDEFG 中，
108
E
F
G
=
=
=
，
72
C
D
=
=
，
则
A
B
+= ．
【答案】72/72 度
【分析】本题考查了多边形的内角和定理：n 边形的内角和为(
)
2
180
n −
，掌握以上知识是解题的关键；
本题连接CD，根据多边形的内角和公式可得五边形CDEFG 的内角和，进而得出DCG
CDE
?
?
，由可得
ADC
BCD
+
的度数，然后即可求解．
【详解】解：连接CD，如图：
，
∵五边形CDEFG 的内角和为：5 2
180
540
−
=
（
）
，
108
E
F
G
=
=
=
，
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∴
(
)
540
540
108
3
216
CDE
DCG
E
F
G
+
=
−
+
+
=
−
=
，
∵
72
C
D
=
=
，
∴
72
BCG
ADE
?
?
?，
∴
(
)
216
72
2
72
ADC
BCD
CDE
DCG
BCG
ADE
+
=
+
−
+
=
−
=
，
∴
72
A
B
ADC
BCD
?
?
?
?
? ，
故答案为：72．
6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片ABCD的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，
4 个顶点不重合，那么图中1
2
3
4
5
6
7
8
+++++++的度数是 ．
【答案】720/720 度
【分析】本题考查三角形外角定理、折叠的性质和四角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解题的
关键．根据三角形外角定理得1
2
EAF
EAF
+=
+
，3
4
+
B
B
=+
，5
6
+
C
C
=
+
，7
8
+
D
D
= +
，由折叠可知
A
A
=
，
B
B
=
，
C
C
=
，
D
D
=
，则
1
2
3
4
5
6
7
8
+++++++等于四边形的内角和的2 倍即可求解．
【详解】解：连接AA，如图，
则
1
,
2
,
EAA
EA A
FAA
FA A
=
+
=
+
∴1
2
EAA
EAA
FAA
FAA
EAF
EAF
+=
+
+
+
=
+
，
同理，
3
4
+
B
B
=+
，
5
6
+
C
C
=
+
，
7
8
+
D
D
= +
，
那么，1
2
3
4
5
6
7
8
+++++++
A
A
B
B
C
C
D
D
= +
++
+
+
+
+
由折叠知，
A
A
=
，
B
B
=
，
C
C
=
，
D
D
=
，
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(
)
1
2
3
4
5
6
7
8
2
720
A
B
C
D
+ + + + + + + =
+ +
+
=
．
题型八：三角形外角中折叠问题
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片ABC 中，
65 ,
70
A
B
=
=
，将
C
沿DE 对折，
使点C 落在△ABC 外的点C处，若1
30
=
，则
2
的度数为 ．
【答案】120
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出
C
，根据折叠的性质求出
C
，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图：
65
A
=
，
70
B
=
，
180
65
70
45
C
=
−
−
=
，
由折叠的性质可知，
45
C
C
=
=
，
3
1
75
C
=+=
，
2
3 120
C
=+=
，
故答案是：120．
2．（24-25 七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将
ABC
纸片沿DE 折叠，使
点C 落在点C处，DC交BC 于点F ．若
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，则当
DEB
= 度时，AB
DC
．
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【答案】72
【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，
得出
108
18
A
C
=
=
,
，再结合两直线平行，同位角相等得
108
FDC
A
= =
，根据折叠性质得
1
54
2
CDE
FDC
=
=
，最后由三角形外角性质得
72
DEB
=
，即可作答．
【详解】解：∵
:
:
6:3:1
A
B
C
=
，
∴
6
1
180
108
180
18
6
3 1
6
3 1
A
C
=
=
=
=
+ +
+ +
,
，
∵AB
DC
，
∴
108
FDC
A
= =
∵折叠，
∴
1
54
2
CDE
FDC
=
=
，
则
54
18
72
CDE
C
DEB
+
=
+
=
=
，
故答案为：72
3．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 △ABC 中，
80
20
ACB
B
A
=
−=
，
，D 是AB 上一点，
将ACD
沿CD翻折后得到CED
，边CE 交AB 于点F．若
DEF
中有两个角相等，则
ACD
= ．
【答案】15或30
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，根据
ADC
CDE
=
分
三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解
40
A
=
，设
ACD
x
= ，则
40
CDF
x
=
+ ，
140
ADC
x
=
−，由折叠可知：ADC
CDE
=
，
40
E
A
= =
，可分三种情况：当
40
DFE
E
=
=
时；
当
40
FDE
E
=
=
时；当
DFE
FDE
=
时，根据
ADC
CDE
=
列方程，解方程可求解x 值，即可求解．
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【详解】解：在
ABC
中，
0
ACB
= ，
∴
180
100
B
A
ACB
+=
−
=
∠
，
∵
20
B
A
−=
，
∴
40
60
A
B
=
=
，
，
设
ACD
x
= ，则
∴
40
CDF
A
ACD
x
=
+
=
+
∠
∠
，
180
140
ADC
A
ACD
x
=
−
−
=
−
∠
∠
，
由折叠可知：
40
ADC
CDE
E
A
=
= =
，
，
当
40
DFE
E
=
=
时，
∵
180
FDE
DFE
E
+
+=
，
∴
180
40
40
100
FDE
=
−
−
=
，
∴140
100
40
x
x
−
=
+
+ ，
解得
0
x =
（不符合题意）；
当
40
FDE
E
=
=
时，
∴140
40
40
x
x
−
=
+
+
，
解得
30
x =
，
即
30
ACD
=
；
当
DFE
FDE
=
时，
∵
180
FDE
DFE
E
+
+=
，
∴
FDE
=
(
)
1
180
40
2
−
70
=
，
∴140
70
40
x
x
−
=
+
+
，
解得
15
x =
，
即
15
ACD =
∠
，
综上，
15
ACD =
∠
或30，
故答案为：15或30．
4．（24-25 九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD，点B 关于AD
的对称点E 恰好在AC 边上，连接DE ，若
30
C
=
，
40
CDE
=
，则
BAC
的度数为 ．
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【答案】80
【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质和三角形内角和定理．熟练掌握轴对称性质，三角形外
角性质是解题的关键．
由三角形外角性质得
70
AED
=
，由轴对称得
70
B
AED
=
=
，由三角形内角和定理即可得答案．
【详解】解：∵
30
C
=
，
40
CDE
=
，
∴
70
AED
C
CDE
= +
=
由折叠得，
70
B
AED
=
=
∴
180
80
BAC
B
C
=
−−
=
．
故答案为：80．
5．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）如图，在三角形纸片ABC 中，
20
C
=
，将三角形纸片ABC 沿DE 折
叠，使点C 落在
ABC
所在平面内的点C处．若
40
DA
C
=
，则
CED
的度数为 ．
【答案】50/50 度
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，三角形外角的性质．
首先根据折叠的性质和平角的概念得到
70
ADE
=
，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点C 落在
ABC
所在平面内的点C处
∴
40
CDE
C DE
C DA
ADE
ADE
=
=
+
=
+
∵
180
ADE
CDE
+
=
∴40
180
ADE
ADE
+
+
=
∴
70
ADE
=
∵
20
C
=
∴
50
CED
ADE
C
=
−
=
．
故答案为：50．
题型九：三角形外角解答题综合
1．（23-24 七年级下·江苏淮安·期中）如图，1
80
=
，2
100
=
，且AC
DF
∥
．若
:
3: 2
C
A
=
，求
D
的度数．
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39 /
【答案】60
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出
60
C
=
，根据平行线的判定与性质证明出
B
D
C
E
=
=
= ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
2
100
A
C
+
= =
，
:
3: 2
C
A
=
，
∴
60
C
=
，
40
A
=
，
∵1
80
=
，
2
100
=
，
∴1
2
180
+=
，
∴BD
CE
∥
，
∴
B
C
=
，
D
E
= ，
∵AC
DF
∥
，
∴
B
D
= ，
∴
B
D
C
E
=
=
= ，
∴
60
D
C
=
=
．
2．（24-25 七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形ABCD中，E 是BC 延长线的一点，连接AE 交CD于
点F，若
B
D
= ，1
2
180
+=
．
(1)若
25
E
=
，
60
D
=
，求
2
的度数；
(2)判断AD与BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)95；
(2) AD
BC
∥
，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
（1）先根据对顶角的性质和已知条件证明
2
180
AFC
+=
，再根据平行线的性质证明AB
CD
∥
，然后利
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40 /
用三角形外角的定义及性质求出
2
即可；
（2）先根据（1）中证明的AB
CD
∥
，然利用平行线的性质求证
B
DCE
=
，最后利用已知条件证明
D
DCE
=
，最后根据平行线的性质证明即可．
【详解】（1）解：∵1
AFC
=
，1
2
180
+=
，
∴
2
180
AFC
+=
，
∴AB
CD
∥
，
∴
DCE
B
= ，
∵
B
D
= ，
∴
60
D
DCE
=
=
，
∵1
DCE
E
=
+，
25
E
=
，
∴1
60
25
85
=
+
=
，
∵1
2
180
+=
，
∴
2
180
1 180
85
95
=
−=
−
=
；
（2）解：AD
BC
∥
，理由如下：
由（1）可知AB
CD
∥
，
∴
B
DCE
=
，
∵
B
D
= ，
∴
D
DCE
=
，
∴AD
BC
∥
．
3．（24-25 七年级下·重庆铜梁·期中）如图，已知点E、F 在直线AB 上，点G 在线段CD上，ED与FG 交
于点H，
3
MCD
= ，1
2
= ．
(1)求证：AB ∥CD；
(2)若
88
EHF
=
，
28
CDE
=
，求
AEM
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)116°
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握平行线的性质和三线八角是解题的关键．
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41 /
（1）根据同位角相等得到CE
GF
∥
，从而利用两直线平行同位角相等得到
MCD
FGD
=
，继而等量代
换证明
3
FGD
= ，即可利用内错角相等两直线平行得到AB
CD
∥
；
（2）利用三角形的外角的性质先求出
CGF
，再利用平行线的性质求出
AEM
即可．
【详解】（1）证明：∵1
2
= ，
∴CE
GF
∥
，
∴
MCD
FGD
=
，
又∵
3
MCD
= ，
∴
3
FGD
= ，
∴AB
CD
∥
；
（2）解：∵
2
88
EHF
=
=
，
28
CDE
=
，
∴
3
88
28
116
CGF
D
= +
=
+
=
，
又∵CE
GF
∥
，
∴
180
C
CGF
+
=
，
∴
180
116
64
C
=
−
=
，
又∵AB
CD
∥
，
∴∠
64
AEC
C
=
=
，
∴
180
64
116
AEM
=
−
=
．
4．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在△ABC 中，AE 为边BC 上的高，点D 为边BC 上的一点，连
接AD．
(1)若点D为边BC 的中点，
5
AE = ，△ABC 的面积为30，求CD的长；
(2)若AD平分
BAC
，
68
C
=
，
36
B
=
，求
DAE
的度数．
【答案】(1)6
(2)16
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，
熟知相关知识是解题的关键．
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42 /
（1）根据三角形面积计算公式求出BC ，再根据三角形中线的定义即可得到CD的长；
（2）由三角形内角和定理求出
BAC
的度数，再由角平分线的定义得到
BAD
的度数，接着求出
ADE
的
度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：
AE
BC
⊥
，
1
30
2
ABC
S
BC AE
=
=
△
，
∵
5
AE = ，
12
BC
=
，
D
是BC 的中点，
1
6
2
CD
BC
=
=
；
（2）解：∵
68
C
=
，
36
B
=
，
∴
180
76
BAC
B
C
=
−−
=
，
∵AD平分
BAC
，
1
38
2
BAD
BAC
=
=
，
74
ADE
B
BAD
=
+
=
，
180
16
DAE
AED
ADE
=
−
−
=
∠
∠
．
5．（24-25 七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，1
75 ,
2
105 ,
C
D
=
=
=
．
(1)判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由．
(2)若
C
比
A
大25°，求
F
的度数．
【答案】(1) AC
DF
∥
，理由见解析(2)40
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是
解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得
//
BD CE ，再根据平行线的性质可得
D
CEF
=
，然后根据等量代换可得
C
CEF
=
，最后根据平行线的判定即可得；
（2）设
A
x
=
，从而可得
25
C
x
=
+
，再根据三角形的外角性质可求出x 的值，然后根据平行线的性质
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即可得．
【详解】（1）解：AC
DF
∥
，理由如下：
1
75 ,
2
105
=
=
，
1
2
180
+=
，
BD
CE
∥
，
D
CEF
=
，
又
C
D
=
，
C
CEF
=
，
AC
DF
∥
；
（2）设
A
x
=
，则
25
C
x
=
+
，
由三角形的外角性质得：
2
A
C
= +
，即105
25
x
x
=
+ +
，
解得
40
x =
，
即
40
A
=
，
由（1）已证：AC
DF
∥
，
40
F
A
= =
．
6．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC 中，AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是
ABD
△
的角平分线．
(1)若△ABC 的面积为60 ，
10
BD =
，求AF 的长；
(2)若
42
BED
=
，
25
BAD
=
，求
BAF
的大小．
【答案】(1)
6
AF =
(2)
56
BAF
=
【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关
键是掌握相关知识．
（1）由三角形的中线定理可得：
1
30
2
ACD
ABC
S
S
=
=
△
△
，
10
CD
BD
=
=
，再结合
1
30
2
ACD
S
CD AF
=
=
，即可
求解；
（2）根据三角形的外角性质可求出
17
ABE
=
，根据角平分线的定义可得
34
ABF
=
，最后根据三角形
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的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：AD是
ABC
的中线，
ABC
的面积为60 ，
1
30
2
ACD
ABC
S
S
=
=
△
△
，
10
CD
BD
=
=
，
1
30
2
ACD
S
CD AF
=
=
，
2 30
60
6
10
AF
CD
=
=
=
，
6
AF =
；
（2）
42
BED
=
，
25
BAD
=
，
42
25
17
ABE
BED
BAD
=
−
=
−
=
，
BE 是
ABD
△
的角平分线，
2
34
ABF
ABE
=
=
，
AF 是△ABC 的高，
90
AFB
=
，
180
180
34
90
56
BAF
ABF
AFB
=
−
−
=
−
−
=
，
56
BAF
=
．
7．（23-24 七年级下·四川南充·期中）如图，点D ，E 分别在三角形ABC 的边AB ，AC 上，点F 在线段CD
上，且
3
B
= ，DE
BC
∥
．
(1)试说明：EF
AB
∥
；
(2)试说明：1
3
BCD
= +
；
(3)若DE 平分
ADC
，
2
3
B
=
，求1
的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 1
72
=
【分析】本题考查平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用平行线性质可得
ADE
B
=，从而可求得
3
ADE
=
，可判定EF
AB
∥
；
（2）由平行线的性质得
CDE
BCD
=
，解和三角形
（3）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：
DE
BC
∥
，
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ADE
B
= ，
3
B
=
，
3
ADE
=
，
EF
AB
∥
．
（2）解：∵DE
BC
∥
，
∴
CDE
BCD
=
．
∵1
3
CDE
= +
∴1
3
BCD
= +
（3）解：
DE
平分
ADC
，
2
ADC
ADE
=
，
DE
BC
∥
，
ADE
B
= ，
2
ADC
B
= ，
2
3
B
=
，
2
180
ADC
+
=
，
3
2
180
B
B
+ =
，
解得：
36
B
=
，
由（1）得AB
EF
∥
，
1
2
72
ADC
B
=
= =
．
题型一：三角形外角中多结论问题
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，AB
CD
∥
，PG 平分
EPF
，
180
A
AHP
+
=
，下列结论：
①CD
PH
；②
2
BEP
DFP
EPG
+
=
；③
FPH
GPH
=
；④
180
A
AGP
DFP
FPG
+
+
−
=
；
⑤若
BEP
DFP
，则
2
BEP
DFP
GPH
−
=
，
其中正确结论的个数是（ ）
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A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内
错角相等．由
180
A
AHP
+
=
，可得PH
AB
∥
，根据AB
CD
∥
，可得AB
CD
PH
∥
∥
，再根据平行线的
性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵
180
A
AHP
+
=
，
∴PH
AB
∥
，
∵AB
CD
∥
，
∴CD
PH
∥
，故①正确；
∴AB
CD
PH
∥
∥
，
∴
BEP
EPH
=
，
DFP
FPH
=
，
∴
BEP
DFP
EPF
+
=
，
又∵PG 平分
EPF
，
∴
2
EPF
EPG
=
，即
2
BEP
DFP
EPG
+
=
，故②正确；
∵
GPH
与FPH
不一定相等，
∴
FPH
GPH
=
不一定成立，故③错误；
∵
,
,
,
AGP
HPG
PHG
DFP
FPH
FPH
GPH
FPG
FPG
EPG
=
=
+
=
=
＋
，
∴
A
AGP
DFP
FPG
A
HPG
PHG
DFP
FPG
+
+
−
= +
+
+
−
A
HPG
PHG
FPH
FPG
= +
+
+
−
A
FPG
PHG
FPG
= +
+
−
A
PHG
= +
，
∵AB
PH
∥
，
∴
180
A
PHG
+
=
，
即
180
A
AGP
DFP
FPG
+
+
−
=
，
故④正确；
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∵
BEP
DFP
−
EPH
FPH
=
−
(
)
EPG
GPH
FPH
=
+
−
FPG
GPH
FPH
=
+
−
GPH
GPH
=
+
2 GPH
=
，
∴
2
BEP
DFP
GPH
−
=
为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4 个，
故选：C．
2．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，D 是△ABC 的边AC 上点，连接BD，CM 平分
ACB
交BD于
点H，交AB 于点M．△ABC 的外角
ACE
的平分线CF 所在直线与AB 的延长线交于点G．当
CBD
A
=
时，有下列四个结论：
①
CHD
与
G
互余；
②
CBD
BCG
=
；
③
90
MHD
G
−
=
；
④
90
MHD
A
=
+．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的
定义可得，
1
2
BCM
ACB
=
，
1
2
GCB
ECF
ACE
=
=
，求出
90
MCG
=
，从而得出
90
G
CMG
+
=
，
由三角形外角的定义及性质得出
CMG
CHD
=
，即可得出
90
G
CHD
+
=
，从而判断①；求出
BCG
A
G
= +
得到
BCG
CBD
G
=
+
，即可判断②；由
90
A
G
ACM
+
=
+
以及
CBD
A
= 结
合三角形内角和定理计算即可得出
MHD
BHC
=
90
G
=
+
，即可判断③；由
A
G
结合③即可判断
④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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【详解】解：∵CM 平分
ACB
，CF 平分
ACE
，
∴
1
2
BCM
ACM
ACB
=
=
，
1
2
GCB
ECF
ACE
=
=
，
∴
(
)
1
90
2
BCM
GCB
ACE
ACB
+
=
+
=
，
即
90
MCG
=
，
∴
90
G
CMG
+
=
，
∵
CMG
ACM
A
=
+
，
CHD
BCM
CBD
=
+
，
CBD
A
= ，
∴
CMG
CHD
=
，
∴
90
G
CHD
+
=
，
∴
CHD
与
G
互余，
故①正确；
∵
90
BCG
BCM
+
=
，
180
BCG
A
ACM
B
G
CM
+
=
+
+
+
，
∴
90
A
G
ACM
+
=
+
，
∵
BCM
ACM
=
，
∴
BCG
A
G
= +
，
∵
CBD
A
= ，
∴
BCG
CBD
G
=
+
，
故②错误；
∵
90
A
G
ACM
+
=
+
，
CBD
A
= ，
MHD
BHC
=
180
CBD
BCM
=
−
−
180
A
ACM
=
−−
(
)
180
90
G
=
−
−
90
G
=
+
，
∴
90
MBD
G
−
=
，
故③正确；
∵
A
G
，
∴
90
MHD
A
+，
故④错误；
综上所述，正确的是①③，
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49 /
故选：D．
3．（24-25 七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，BD、BE分别是△ABC 的高和角平分线，F 是CA 延长线
上的一点，过点F 作FH
BE
⊥
交BD于点G、交BC 于点H，下列结论：①
DBE
F
=；②
2 BEF
BAF
C
=
+
；③2 F
BAC
C
=
−
；④
BGH
ABE
C
=
+
，其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法．
根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义和三角形的外角证明结论②，根据直角三角形的两
锐角互余再结合②的结论可得结论③，根据三角形的外角和等角的余角相等可以证明结论④．
【详解】解：∵BD是△ABC 的高，FH
BE
⊥
，
∴
90
F
FEB
DBE
FEB
+
=
+
=
，
∴
F
DBE
=
，故①正确；
∵BE是△ABC 的角平分线，
∴
2
ABC
CBE
=
，
∵
2
BAF
ABC
C
CBE
C
=
+
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
BAF
C
CBE
C
C
CBE
C
BEF
+
=
+
+
=
+
=
，故②正确；
∵
90
F
FEB
+
=
，
∴
(
)
2
180
2
180
180
F
FEB
BAF
C
BAF
C
BAC
C
=
−
=
−
+
=
−
−
=
−
，故③正确；
∵BE是△ABC 的角平分线，
∴
CBE
ABE
=
，
∵BD是△ABC 的高，FH
BE
⊥
，
∴
90
BGH
DBE
DEB
CBE
C
ABE
C
=
−
=
=
+
=
+
，故④正确；
故选D
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4．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知AB
CD
∥
，P 为CD下方一点，G，H 分别为AB ，CD上
的点，PGB
=
，
PHD
=
（
，且，均为锐角），PGB
与
PHD
的角平分线交于点F，GE 平
分
PGA
，交直线HF 于点E，下列结论：①
P
=
−
；②2
180
E
+
=
+
；③若
CHP
AGP
E
−
= ，
则
60
E
=
．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．③
D．②
【答案】A
【分析】①设GP 与CD相交于点T ，GF 与CD交于点K ，由AB
CD
∥
得
PTD
PGB
=
=
，再由三角形的
外角定理得
PTD
P
PHD
=
+
，由此出
P
=
+
，据此可对结论①进行判断；
②由AB
CD
∥
得
2
CKG
FGB
=
=
，再由三角形的外角定理得
2
CKG
F
FHD
F
=
+
=
+
，进而得
1/ 2(
)
F
=
−
，再证
90
EGF
=
，则
90
E
F
+
=
，据此可对结论②进行判断；
③先求出
CHP
AGP
−
=
−
，
1 (
)
90
2
E
+
−
=
，然后根据已知条件得
1
90
(
)
2
−
=
−
−
，据此可求出
60
−
=
，进而可求出
E
的度数，于是可对结论③进行判断．
【详解】解：①设GP 与CD相交于点T ，GF 与CD交于点K ，如图所示：
PGB
与
PHD
的角平分线交于点F ，GE 平分
PGA
，PGB
=
，
PHD
=
，
2
PGF
FGB
=
=
，
2
PHF
FHD
=
=
，
1
2
AGE
EGP
AGP
=
=
，
AB
CD
，
PTD
PGB
=
=
，
PTD
P
PHD
=
+
，
P
= +
，
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P
=
−
，
结论①正确；
②
AB
CD
，
2
CKG
FGB
=
=
，
又
2
CKG
F
FHD
F
=
+
=
+
，
2
2
F
=
+
，
即：
1 (
)
2
F
=
−
，
180
AGP
PGB
+
=
，
1
1
1 (
)
90
2
2
2
EGP
PGF
AGP
PGB
AGP
PGB
+
=
+
=
+
=
，
即：
90
EGF
=
，
90
E
F
+
=
，
1 (
)
90
2
E
+
−
=
，
整理得：2
180
E
+
=
+
，
结论②正确；
③
180
180
CHP
PHD
=
−
=
−
，
180
180
AGP
PGB
=
−
=
−
，
CHP
AGP
−
=
−
，
由②可知：
1 (
)
90
2
E
+
−
=
，
1
90
(
)
2
E
=
−
−
，
又
CHP
AGP
E
−
=
，
1
90
(
)
2
−
=
−
−
，
60
−
=
，
1
90
(
)
60
2
E
=
−
−
=
，
结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
5．
（24-25 七年级下·四川广元·期中）如图，AD
BC
∥
，EF
HG
、
交于点P，HI 平分
GHF
，PM 平分
EPH
，
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HI 交PM 的反向延长线于Q，PN
HI
∥
，则：①若
EGP
GEP
=
∠
∠
，则PM
AD
；②
2
GEP
MPN
=
；
③
2
EPN
Q
=
；④
EPM
QHF
Q
=
+
，其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，根据平行线的性质证
得
MPN
Q
=
是解题的关键．，根据角平分线的定义得到2
2
EPM
MPH
EPH
=
=
，则可证明
2
GEP
EGP
EPH
EPM
+
=
=
，若
EGP
GEP
=
∠
∠
，则可证明
GEP
EPM
=
，据此可判断①；根据
角平分线的定义得到
1
2
MPH
EPH
=
，
1
2
PHQ
PHF
=
，根据外角的性质得到
MPH
PHQ
Q
EPH
PHF
PFH
=
+
=
+
，
，等量代换得到
2
PFH
Q
=
，根据平行线的性质得到
GEP
PFH
MPN
Q
=
=
，
，等量代换得到
2
GEP
MPN
=
，据此可判断②；由于
EPN
EPM
MPN
EPM
Q
=
+
=
+
，而
EPM
MPH
MPN
Q
=
，于是得到
2
EPN
Q
，据
此可判断③；根据
EPM
HPM
HPM
QHG
Q
=
=
+
，
，即可判断④．
【详解】解：∵PM 平分
EPH
，
∴2
2
EPM
MPH
EPH
=
=
．
∵
180
180
EPG
GEP
EGP
EPG
EPH
+
+
=
+
=
，
，
∴
2
GEP
EGP
EPH
EPM
+
=
=
．
∵
EGP
GEP
=
∠
∠
，
∴2
2
GEP
EPM
=
，
∴
GEP
EPM
=
，
∴PM
AD
，故①正确；
∵PM 平分
EPH
，
∴
1
2
MPH
EPH
=
，
∵HI 平分
GHF
，
∴
1
2
PHQ
PHF
=
，
∵
MPH
PHQ
Q
EPH
PHF
PFH
=
+
=
+
，
，
∴1
1
1
2
2
2
EPH
PHF
PFH
=
+
，
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∴
1
2
MPH
PHQ
PFH
=
+
∠
∴
2
PFH
Q
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
GEP
PFH
=
，
∵PN
HQ
∥
，
∴
MPN
Q
=
，
∴
2
GEP
MPN
=
，故②正确；
∵
EPN
EPM
MPN
EPM
Q
=
+
=
+
，
∵
EPM
MPH
MPN
Q
=
，
∴
2
EPN
Q
，故③错误；
∵
EPM
HPM
HPM
QHG
Q
=
=
+
，
，
∴
EPM
QHF
Q
=
+
，故④正确；
故答案为：①②④．
6．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AD是边BC 上的高，BE 是边AC
上的中线，CF 平分
ACB
，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ，给出下面四个结论：
①ABE
的面积与BCE
的面积相等；
②
AFG
AGF
=
；
③
2
FAG
ACF
=
；
④
HBC
HCB
=
．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高的定义，根据
等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出
ABC
CAD
=
，根据三角形的外
角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出
FAG
ACD
=
，根据角平分线定义即可判断③；根据现有
条件无法证明
HBC
HCB
=
可判断④．
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【详解】解：
BE
是中线，
AE
CE
=
ABE
的面积
BCE
=△
的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；
CF
是角平分线，
ACF
BCF
=
，
AD
为高，
90
ADC
=
，
90
BAC
=
，
90
ABC
ACB
+
=
，
∵
90
ACB
CAD
+
=
，
ABC
CAD
=
，
AFG
ABC
BCF
=
+
，
AGF
CAD
ACF
?
?
?
，
AFG
AGF
=
，故②正确；
AD
为高，
90
ADB
=
，
90
BAC
=
，
90
ABC
ACB
+
=
，
90
ABC
BAD
+
=
，
ACB
BAD
=
，
CF
是
ACB
的角平分线，
2
ACB
ACF
=
，
2
BAD
ACF
=
，
2
FAG
ACF
=
，故③正确；
根据已知条件不能推出
HBC
HCB
=
，故④错误；
因此正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
7．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，AB
CD
∥
，E 是线段AB 上一点，F 是线段DE 的延长线上一点，
ABF
的平分线BG 交EF 于点G ，交线段DA的延长线于点I ，过点D 作DH
BG
⊥
于点H ，且
2
ADC
ADE
=
．下列结论：
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①2
3
BED
BAD
=
；
②
90
CDH
ABG
−
=
；
③
2
F
ADF
I
+
= ；
④若
55
FDH
=
，则
35
F
ADF
+
=
．
正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外
角的性质是解题的关键．
根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
∴
BAD
ADC
=
，
∵
2
ADC
ADE
=
，
∴
1
1
2
2
ADE
ADC
BAD
=
=
，
∵
BED
是
ADE
的外角，
∴
3
2
BED
BAD
ADE
BAD
=
+
=
，
∴2
3
BED
BAD
=
，
故①结论正确；
如图，延长AB
DH
、
交于点M ，
∴
ABG
HBM
=
∵AB
CD
∥
，
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56 /
∴
180
CDH
M
+
=
，
∴
180
M
CDH
=
−
，
∵DH
BG
⊥
，
∴
90
BHM
GHD
=
=
，
∴
90
HBM
M
+
=
，
∴
180
90
ABG
CDH
+
−
=
，
∴
90
CDH
ABG
−
=
，
∴②结论正确；
∵
BAD
是
BEF
△
的外角，
∴
1
2
ADF
BAD
=
，
∴
(
)
1
2
ADF
ABI
I
=
+
，
∵
3
BED
BAD
ADF
ADF
=
+
=
，
BED
是
BEF
△
的外角，
∴3 ADF
F
ABF
= +
，
∴
(
)
1
4
4
2
2
2
F
ADF
ADF
ABF
I
ABI
ABF
I
ABI
ABF
+
=
−
=
+
−
= +
−
，
∵BI 平分
ABI
，
∴
2
ABF
ABI
=
，
∴
2
F
ADF
I
+
= ，
∴③结论正确；
若
55
FDH
=
，则
90
35
DGH
FDH
=
−
=
，
∵
DGH
是BGF
的外角，
∴
35
F
FBG
DGH
+
=
=
，
而
ADF
与
FBG
不一定相等，
∴
35
F
ADF
+
=
不一定成立，
∴④不正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
题型二：解答题压轴之三角板中探究问题
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我
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57 /
们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究
BDC
与
,
,
A
B
C
之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺DEF 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边
,
DE DF 恰好经过点B，C，若
40
A
=
，则
ABD
ACD
+
=
∠
∠
______；
②如图③，BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，若
40 ,
130
A
BPC
=
=
，求
BDC
的度数；
③如图③，BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，若
,
A
BPC
=
=
，则
BDC
= ______．
【答案】(1)
BDC
BAC
B
C
=
++
，理由见解析
(2)①50；②85；③(
)
1
2
+
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
（1）根据题意过点A，D 作射线AF ，利用三角形外角性质即可得出答案．
（2）①由（1）得：
BDC
BAC
ABD
ACD
=
+
+
，即可得出答案；②由（1）得：
,
=
+
+
=
−
−
ABP
ACP
BPC
BAC
ABD
ACD
BDC
BAC ，再结合角平分线的定义，可得
(
)
1
2
BDC
BPC
BAC
=
+
，即可得出答案；③由（1）得：
,
=
+
+
=
−
−
ABP
ACP
BPC
BAC
ABD
ACD
BDC
BAC ，再结合角平分线的定义，可得
(
)
1
2
BDC
BPC
BAC
=
+
，即可得出答案．
【详解】（1）解：
BDC
BAC
B
C
=
++
，理由如下：
如图，过点A，D 作射线AF ，
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由三角形外角的性质得：
,
BDF
BAD
B
CDF
CAD
C
=
+
=
+
，
∵
,
BDC
BDF
CDF
BAC
BAD
CAD
=
+
=
+
，
∴
BDC
BAC
B
C
=
++
；
（2）解：①由（1）得：
BDC
BAC
ABD
ACD
=
+
+
，
∵
40
A
=
，
=90
BDC
，
∴
90
40
50
ABD
ACD
+
=
−
=
；
故答案为：50
②由（1）得：
,
+
=
=
+
+
+
BPC
BAC
ABP
ACP
BDC
BAC
ABD
ACD ，
∴
,
=
+
+
=
−
−
ABP
ACP
BPC
BAC
ABD
ACD
BDC
BAC ，
∵BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，
∴
2
,
2
ABP
ABD
ACP
ACD
=
=
，
∴
(
)
2
ABP
ACP
ABD
ACD
+
=
+
，
∴
(
)
2
BPC
BAC
BDC
BAC
−
=
−
，
∴
(
)
1
2
BDC
BPC
BAC
=
+
，
∵
40 ,
130
A
BPC
=
=
，
∴
(
)
1 130
40
85
2
BDC
=
+
=
；
③由（1）得：
,
+
=
=
+
+
+
BPC
BAC
ABP
ACP
BDC
BAC
ABD
ACD ，
∴
,
=
+
+
=
−
−
ABP
ACP
BPC
BAC
ABD
ACD
BDC
BAC ，
∵BD平分
ABP
，CD平分
ACP
，
∴
2
,
2
ABP
ABD
ACP
ACD
=
=
，
∴
(
)
2
ABP
ACP
ABD
ACD
+
=
+
，
∴
(
)
2
BPC
BAC
BDC
BAC
−
=
−
，
∴
(
)
1
2
BDC
BPC
BAC
=
+
，
∵
,
A
BPC
=
=
，
∴
(
)
1
2
BDC
=
+
．
故答案为：(
)
1
2
+
2．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含45角的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺
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DEFG 的EF 边上．
【特例初探】
（1）在图1 中，1
=______，
2
=______．
【技能提升】
（2）把三角板ABC 如图2 放置，线段AC 与DG 相交于点H，当
20
CBF
=
时，求1
2
+的值．
【综合运用】
（3）将三角板ABC 如图3 放置，使点C 恰好落在DG 边上，现将射线BC 绕点B 以2 /s
的速度逆时针旋转
得到射线BM ，同时射线QA 绕点Q 以3 / s
的速度顺时针旋转得到射线QN ，当射线QN 旋转至与QB 重合时，
则射线BM ，QN 均停止转动，设旋转时间为st ．
①在旋转过程中，若射线BM 与射线QN 相交于点P．当
10s
t =
时，求
QPB
的度数．
②在旋转过程中，当BM
QN
∥
时，求出此时t 的值．
【答案】（1）135，90；（2）225；（3）①5；②存在，9 或45
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识
点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可；
（2）先求得
45
20
65
ABF
=
+
=
，同（1）的方法求解即可；
（3）①设
CBF
=
，得到
45
ABF
=
+
，
20
FBM
=
+
，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；
②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案．
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【详解】解：（1）∵EF
DG
∥
且
45
ABC
=
，
∴
45
DQB
ABC
=
=
，
又∵
1
180
DQB
+
=
，
∴
1
180
180
45
135
DQB
=
−
=
−
=
．
∵
AQG
DQB
=
，
∴
2
45
45
90
A
AQG
= +
=
+
=
．
故答案为：135，90；
（2）三角板ABC 是一块含45的直角三角板
45
A
ABC
=
=
，
20
CBF
=
，
45
20
65
ABF
=
+
=
，
∵DG
EF
∥
，
65
AQG
ABF
=
=
，
1
180
AQG
+
=
，
1 180
65
115
=
−
=
，
2
是AQH
的外角，
2
45
65
110
A
AQG
= +
=
+
=
，
1
2
115
110
225
+=
+
=
；
（3）①如图，根据题意得：
10 2
20
CBM
=
=
，
10
3
30
AQN
=
=
，
设
CBF
=
，
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61 /
45
ABF
=
+
，
20
FBM
=
+
，
∵DG
EF
∥
，
3
20
FBM
=
=
+
，
45
AQC
ABF
=
=
+
，
45
30
15
NQC
=
+
−
=
+
，
(
) (
)
3
20
15
5
QPB
NQC
= −
=
+
−
+
= ；
②存在BM
QN
∥
，理由如下：
依题意得，0
60
t
，
情况一：如图
2
CBM
t
=
，
3
AQN
t
=
，
QN
BM
∥
，
AQN
ABM
=
，
3
45
2
t
t
=
−
，
解得
9
t =
，
情况二：如图
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BM
QN
∥
，
ABM
BQN
=
，
2
45
180
3
t
t
−
=
−
，
解得
45
t =
，
综上所述，t 的值为9 或45．
3．（24-25 七年级下·福建三明·期中）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的
数学活动．
【初步感知】
（1）如图1，若三角尺的60角的顶点G 放在CD上，若
2
70
，求1
的度数；
【自主探究】
（2）将一副三角板如图2 所示摆放，直线GH
MN
．若三角板ABC 不动，而三角板DEF 绕点D 以每秒3
的速度顺时针旋转，设旋转时间为t 秒(
)
0
120
t
，求当旋转到DF
BC
∥
时，t 的值是多少？
【探究拓展】
（3）现将三角板ABC 绕点A 以每秒1的速度顺时针旋转，同时三角板DEF 绕点D 以每秒3的速度顺时针
旋转，如图3，设时间为t 秒，当0
120
t
时，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边
,
DE DF ）平行，
直接写出满足条件的t 值．
【答案】（1）50；（2）40 或100；（3）15 或60 或105
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）先由平角的定义得到
50
EGD
=
，再由平行线的性质即可得到
1
50
EGD
=
=
∠
∠
；
（2）当DF 在MN 上方时，延长BC 交MN 于T，先由平行线的性质得到
120
FDM
BTM
=
=
∠
∠
，则
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120
40
3
t
=
=
，当DF 在MN 下方时，只需要在旋转40 秒的基础上再旋转180 度即有DF
BC
∥
，据此求解
即可；
（3）分解析中三种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）
2
180
2
70
60
EGF
EGD
EGF
+
+
=
=
=
，
，
，
50
EGD
=
．
AB
CD
∥
，
1
50
EGD
=
=
，
（2）①如图所示，当DF 在MN 上方时，延长BC 交MN 于T ，
GH
MN
∥
，
180
120
BTM
ABT
=
−
=
，
DF
BC
∥
，
120
FDM
BTM
=
=
，
120
40
3
t
=
=
；
②当DF 在MN 下方时，只需要在旋转40 秒的基础上再旋转180 度即有DF
BC
∥
，
180
40
100
3
t
=
+
=
；
综上所述，当旋转到DF
BC
∥
时，t 的值是40 或100；
（3）①如图，当BC
DE
∥
时，
设直线BC 与
,
MN GH 分别交于
,
P Q ，
此时
3 ,
MDF
t
BAQ
t
=
= ，
180
90
3
90
3
NDE
NPQ
t
t
=
=
−
−
=
−
，
GH
MN
∥
，
90
3
NPQ
AQB
t
=
=
−
，
60
ABC
=
，
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60
BAQ
AQB
+
=
，即90
3
60
t
t
−
+ =
，解得：
15
t =
；
②如图，当BC
DF
∥
时，延长
,
CB AB ，分别与MN 交于
,
P Q ，
此时，
3
180 ,
PDF
t
HAQ
t
=
−
= ，
3
180
CPD
PDF
t
=
=
−
，
GH
MN
∥
，
180
HAQ
AQP
+
=
，即
180
180
AQP
HAQ
t
=
−
=
−，
60 ,
180
ABC
PBQ
PBQ
AQP
CPD
=
=
+
+
=
，
60
180
3
180
180
t
t
+
−+
−
=
，
解得：
60
t =
；
③如图所示，当BC
DE
∥
时，
设直线BC 分别交GH 、MN 于P 、T ，
此时，
3
180 ,
TDF
t
HAB
t
=
−
=
，
360
90
3
180
450
3
EDT
t
t
=
−
−
+
=
−
，
180
450
3
3
270
PTD
t
t
=
−
+
=
−
，
GH
MN
∥
，
3
270
APT
PTD
t
=
=
−
，
HAB
APT
ABC
=
+
，
3
270
60
t
t
−
+
= ．
解得
105
t =
．
综上：所有满足条件的t 的值为15 或60 或105．
4．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
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65 /
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线MN ，PQ 和一块含30角的直角三角尺ABC （其中
90
ACB
=
，
30
ABC
=
）”为背景开展数学活动．将三角尺30角的顶点B 放在直线PQ 上，直线AC 与
直线MN 相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺ABC 按图1 所示放置，若
30
AEM
=
，求
CBP
的度数；
（2）明明同学将三角尺ABC 绕点B 旋转至图2 位置时，
AEM
与
CBP
有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线PQ 不动，慧慧同学加大了平行线MN 与PQ 之间的距离，使平行线之间的距离大于
AB ．绕点B 旋转三角尺ABC ，点A 始终在平行线之间，请直接写出
AEM
与
CBP
所有可能的数量关系．
【答案】
（1）60 ；
（2）
90
CBP
AEM
−
=
，证明见解析；
（3）
90
AEM
CBP
+
=
或
270
AEM
CBP
+
=
或
90
CBP
AEM
−
=
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）延长CA 交PQ 于F ，由平行线的性质可得
30
EFB
AEM
=
=
，再由三角形内角和定理计算即可得
解；
（2）延长AC 交PQ 于G ，由平行线的性质结合对顶角相等可得
AEM
CEN
BGC
=
=
，再由三角形外角
的定义及性质计算即可得解；
（3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长CA 交PQ 于F ，
∵MN
PQ
∥
，
∴
30
EFB
AEM
=
=
，
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66 /
∵
90
ACB
=
，
∴
90
60
CBP
EFB
=
−
=
；
（2）
90
CBP
AEM
−
=
，证明如下：
如图，延长AC 交PQ 于G ，
∵
AEM
CEN
=
，MN
PQ
∥
，
∴
AEM
CEN
BGC
=
=
，
∵
CBP
BCG
BGC
=
+
，
180
90
BCG
ACB
=
−
=
，
∴
90
CBP
AEM
−
=
；
（3）如图，当AC 的延长线与MN 交于点E 时，延长CA 交PQ 于F ，
∵MN
PQ
∥
，
∴
EFB
AEM
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
90
CBP
EFB
AEM
=
−
=
−
，
∴
90
AEM
CBP
+
=
；
如图，当CA 的延长线交MN 于E ，点C 在PQ 上方时，延长AC 交PQ 于G ，
∵MN
PQ
∥
，
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∴
180
AEM
BGC
+
=
，
∵
CBP
BCG
BGC
=
+
，
180
90
BCG
ACB
=
−
=
，
∴
270
AEM
CBP
+
=
；
如图：当CA 的延长线交MN 于E ，点C 在PQ 下方时，令CE 交PQ 于H ，
∵MN
PQ
∥
，
∴
180
AEM
BHE
+
=
，
∵
90
90
180
270
BHE
ACB
CBQ
CBQ
CBP
CBP
=
+
=
+
=
+
−
=
−
∴
90
CBP
AEM
−
=
，
综上所述，
AEM
与
CBP
所有可能的数量关系为
90
AEM
CBP
+
=
或
270
AEM
CBP
+
=
或
90
CBP
AEM
−
=
．
4．（24-25 七年级下·四川南充·阶段练习）如图（a）所示，将一把含30角的直角三角板ABC 的BC 边放置
于长方形直尺DEFG 的EF 边上．
(1)填空：1
=______°，
2
=______°
(2)如图（b）所示，现把三角板绕点B 逆时针旋转n，当0
90
n
°
°，且点C 恰好落在DG 边上时，①1
=
_______，
2
=_______°：（结果用含n 的代数式表示）
②若
2
恰好是1
的3
2 倍，求n 的值．
(3)如图（a）所示放置的三角板ABC ，现将射线BF 绕点B 以2 /s
的速度逆时针旋转得到射线BM ，同时射
线QA绕点Q 以3 / s
的速度顺时针旋转得到射线QN ，当射线QN 旋转至与QB 重合时，则射线
,
BM QN 均停
止转动，设旋转时间为st ．
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68 /
①在旋转过程中，若射线BM 与射线QN 相交，设交点为P．当
18s
t =
时，则
QPB
= ______．
②在旋转过程中，是否存在BM
QN
∥
？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)120，90
(2)①(
)
120
n
−
，(
)
90
n
+
；②36
(3)①30；②t 的值为12 或48．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识
点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可；
（2）①根据两直线平行，内错角相等求出
BCD
，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得1
，根
据两直线平行，同旁内角互补求出
BCG
，然后根据周角等于360计算即可得到
2
；②根据
2
恰好是1
的3
2 倍列方程求解即可；
（3）①画出图形，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可
解得答案．
【详解】（1）解：∵EF
DG
∥
且
60
ABC
=
，
∴
60
DQB
ABC
=
=
，
又∵
1
180
DQB
+
=
，
∴
1
180
180
60
120
DQB
=
−
=
−
=
．
∵
1
180
AQG
+
=
，
∴
180
1
180
120
60
AQB
=
−=
−
=
，
∴
2
30
60
90
A
AQG
= +
=
+
=
．
故答案为：120，90．
（2）解：①如图：
∵EF
DG
∥
，
∴
DCB
CBF
n
=
= ，
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∴
90
ACD
n
=
−，
∴
(
)
1
120
A
ACD
n
= +
=
−
，
∵EF
DG
∥
，
∴
180
180
BCG
CBF
n
=
−
=
−，
∵
2
360
ACB
BCG
+
+=
，
∴
(
)
(
)
2
360
360
90
180
90
ACB
BCG
n
n
=
−
−
=
−
−
−=
+
．
故答案为：(
)
120
n
−
，(
)
90
n
+
；
②当
3
2
1
2
=
时，
(
)
3
90
120
2
n
n
+
=
−
，解得：
36
n =
．
∴n 的值是36．
（3）解：①如图：
根据题意得：
18 2
36 ,
18 3
54
FBP
AQP
=
=
=
=
，
60
ABC
=
，
60
36
24
ABP
ABC
FBP
=
−
=
−
=
，
又∵
AQP
ABP
QPB
=
+
，
54
24
30
QPB
AQP
ABP
=
−
=
−
=
．
故答案为：30；
②存在BM
QN
∥
，理由如下：
如图：
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∵BM
QN
∥
，
∴
AQN
ABM
=
，
∴3
60
2
t
t
=
−，解得：
12
t =
．
如图：
∵BM
QN
∥
，
∴
ABM
BQN
=
，
∴2
60
3
t
t
−
=−
，解得：
48
t =
．
综上所述，t 的值为12 或48．
5．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，PQ
MN
∥
，
90
ACB
EDF
=
=
，
45
DEF
DFE
=
=
，
60
CBA
=
，
30
CAB
=
．（温馨提示：三角形的内角和为180）
(1)若三角板如图1 摆放时，则
AFD
=______°，
PDE
=______°；
(2)现固定三角板ABC 的位置不变，将三角板DEF 沿AC 方向平移至点E 正好落在PQ 上，如图2 所示，DF
与PQ 交于点G，作
FGQ
和
GFA
的角平分线交于点H，求
GHF
的度数；
(3)将三角板如图2 摆放，将三角板DEF 绕点E 逆时针旋转，速度为2 /s
，同时将三角板ABC 绕点A 顺时
针旋转，速度为3 /s
，当AC 与直线AN 首次重合时停止旋转，运动时间为st ，当线段BC 与三角板DEF 的
一条边平行时，请直接写出旋转的时间t 的值______．
【答案】(1)135，15
(2)
75
GHF
=
(3) 9s 或18s 或27s 或45s ．
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【分析】（1）如图1，延长AE 交PQ 于点H ，由平角的定义可得
AFD
和
DEH
，根据平行线的性质可
30
DHE
CAB
=
=
，进而根据三内角和可求出
PED
；
（2 ）根据平行线的性质可得
30
GEF
CAB
=
=
，根据三角形内角和和平角定义可得
105
EGF
=
，
135
GFA
=
，即得
75
FGQ
=
，再根据角平分线的定义及三角形内角和即可求解；
（3）分BC
DE
∥
、BC
EF
∥
、BC
DF
∥
三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质及三角形内角和，
三角形外角性质进行解答即可．
【详解】（1）解：如图1，延长AE 交PQ 于点H ，
∵
45
DFE
=
，
∴
180
180
45
135
AFD
DFE
=
−
=
−
=
，
∵PQ
MN
∥
，
∴
30
DHE
CAB
=
=
，
∵
45
DEF
=
，
∴
180
180
45
135
DEH
DEF
=
−
=
−
=
，
∴
180
180
30
135
15
PED
DHE
DEH
=
−
−
=
−
−
=
，
故答案为：135，15；
（2）解：∵PQ
MN
∥
，
∴
30
GEF
CAB
=
=
，
∵
45
DFE
=
，
∴
180
180
30
45
105
EGF
GEF
DFE
=
−
−
=
−
−
=
，
180
180
45
135
GFA
DFE
=
−
=
−
=
，
∴
180
180
105
75
FGQ
EGF
=
−
=
−
=
，
∵GH 平分
FGQ
，FH 平分
GFA
，
∴
1
1
75
37.5
2
2
FGH
FGQ
=
=
=
，
1
1 135
67.5
2
2
GFH
GFA
=
=
=
，
∴
180
180
37.5
67.5
75
GHF
FGH
GFH
=
−
−
=
−
−
=
；
（3）解：∵PQ
MN
∥
，
∴
30
QEF
MAC
=
=
，
45
30
15
DEG
DEF
QEF
=
−
=
−
=
，
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∵
30
CAB
=
，
∴
180
30
150
CAN
=
−
=
，
∵将三角板如图2 摆放，将三角板DEF 绕点E 逆时针旋转，速度为2 /s
，同时将三角板ABC 绕点A 顺时针
旋转，速度为3 /s
，
∴
15
2
DEG
t
=
+ ，
30
3
MAC
t
=
+ ，
( )
150
3
50 s
=
当BC
DE
∥
时，如图，延长CB
DE
、
，分别交直线MN 于点R
T
、
，
则CR
DT
∥
，
∴
NTD
NRC
=
∵PQ
MN
∥
，
∴
DEG
NTD
=
,
∴
DEG
NRC
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
NRC
MAC
+
=
，
即
90
DEG
MAC
+
=
，
∴15
2
30
3
90
t
t
+ +
+ =
，
解得
( )
9 s
t =
当BC
EF
∥
时，如图，延长CB 交NM 于点W ，则FE
WC
∥
，
连接AE 交WC 于一点U ，如图所示，
将三角板如图2 摆放，将三角板DEF 绕点E 逆时针旋转，速度为2 /s
，同时将三角板ABC 绕点A 顺时针旋
转，速度为3 /s
，
∴
2
WUE
AEF
t
=
= ，
3
MAB
t
= ，
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∵
60
CBA
=
，
∴
60
3
AWC
CBA
MAB
t
=
−
=
−，
则
60
3
30
90
3
WUE
AWC
MAE
t
t
=
+
=
−+
=
−，
∵
2
WUE
AEF
t
=
= ，
∴2
90
3
t
t
=
−
∴90
5 t
=
则
( )
18 s
t =
，
当BC
DF
时，如图，延长EF 分别交AB
BC
、
于点J
K
、
，设AB 与PQ 交于点V ，
∴
45
DFE
BKF
=
=
，
∴
75
BJK
EJV
=
=
，
∵PQ
MN
，
∴
3
EVJ
MAV
t
=
=
，
由题意得
2
15
45
2
30
JEV
t
t
=
+
−
=
−
，
∵
180
JEV
JVE
EJV
+
+
=
，
∴2
30
3
75
180
t
t
−
+
+
=
，解得：
27
t =
；
如图，当BC
DE
时，如图，设AB 与PQ 交于点V ，BC 与PQ 交于点X ，
∴
180
DEQ
BXV
+
=
，
∵
2
15
DEX
t
=
+
，
∴
165
2
BXV
t
=
−
，
∵PQ
MN
，
∴
3
BVP
MAB
t
=
=
，
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∴
180 3
BVX
t
=
−
，
∵
180
B
BVX
BXV
+
+
=
，
∴60
180
3
165
2
180
t
t
+
−
+
−
=
，解得：
45
t =
；
综上，当线段BC 与三角板DEF 的一条边平行时，旋转的时间t 的值为9s 或18s 或27s 或45s ，
故答案为：9s 或18s 或27s 或45s ．
题型三：解答题压轴之其他探究问题
1．（24-25 七年级下·广东肇庆·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB
CD
∥
，点P 在AB 、CD内部，
50
B
=
，
30
D
=
，求
BPD
的度数．
(2)如图2，将点P 移到AB 、CD外部，则
BPD
、
B
、
D
之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出
BPD
、
B
、
D
、
BQD
之间的数量关系．（不需证明）
【答案】(1)80
(2)
B
B
D
PD
=+
(3)
BPD
B
D
BQD
=
+
+
【分析】（1）过P 作PH
AB
∥
，利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质，等量代换证明即可；
（3）利用三角形外角性质，等量代换证明即可．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过P 作PH
AB
∥
，
∵AB
CD
∥
，
∴AB
CD
PH
∥
∥
，
∴
B
BPH
D
DPH
=
，
＝
，
∵
50
B
=
，
30
D
=
，
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∴
50
30
B
BPH
D
DPH
=
=
=
，
＝
，
∴
80
BPD
BPH
DPH
B
D
+
= +
=
=
．
（2）解：如图，
∵AB
CD
∥
，
∴
B
BMD
BMD
D
BPD
=
=
+
，
，
∴
B
B
D
PD
=+
．
（3）解：
BPD
、
B
、
D
、
BQD
之间的数量关系为：
BPD
B
D
BQD
=
+
+
．
连接QP 并延长到点G，
根据题意，得
BPG
B
BQP
=
+
，
DPG
D
DQP
=
+
，
DPG
BPG
BPD
+
=
，
BQD
DQP
BQP
=
+
，
故
BPD
B
D
BQD
=
+
+
．
2．（24-25 七年级下·陕西汉中·期中）【问题提出】
如图，已知AB
CD
∥
，直线EF 分别交AB
CD
，
于点E，F，FG 平分
EFD
交AB 于点G．
（1）如图1．若
26
EGF
=
，则
AEF
的度数是 ．
【问题探究】
（2）作EM 平分
GEF
，交FG 于点M．
①如图2，过点G 作GN
EM
∥
，交直线EF 于点N，试说明：
AGN
N
=
；
②如图3．点P 是ME 延长线上的一点，连接FP，若2
3
30
CFP
PFG
DFG
=
=
，
，探究
PEA
与
PFE
之间的数量关系，并说明理由．
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【答案】①52；（2）①见解析；②
2
PEA
PFE
=
，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线性质和判定、角平分线得定义等知识点，结合图形进行分析是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到
26
EGF
DFG
=
=
，利用角平分线性质得到
26
EFG
DFG
=
=
，再利用平
行线性质即可得到
AEF
DFD
EFG
DFG
=
=
+
，进而完成解答；
（2）①利用角平分线性质得到
FEM
GEM
=
，根据平行线的性质可得
,
N
FEM
AGN
GEM
=
=
，
进而证明结论；②直接根据平行线的性质、角平分线定义、角的和差进行分析计算即可解答．
【详解】解：（1）：∵AB
CD
∥
，
26
EGF
=
，
∴
26
EGF
DFG
=
=
，
∵FG 平分
EFD
，
∴
26
EFG
DFG
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
2
2
6
6
52
AEF
DFD
EFG
DFG
=
=
+
+
=
=
．
故答案为：52．
（2）①∵EM 平分
GEF
，
∴
FEM
GEM
=
，
∵GN
EM
∥
，
∴
,
N
FEM
AGN
GEM
=
=
，
∴
AGN
N
=
．
②
2
PEA
PFE
=
，理由如下：
∵
30
180
DFG
DFG
CFG
=
=
，
＋
，
∴
180
150
CFP
PFG
CFG
DFG
+
=
=
−
=
，
∵2
3
CFP
PFG
=
，
∴
90
60
CFP
PFG
=
=
，
，
∴
30
PFE
PFG
EFG
=
−
=
，
120
CFE
CFP
PFE
=
+
=
，
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∵AB
CD
∥
，
∴
120
GEF
CFE
=
=
，
∵EM 平分
GEF
，
∴
1
60
2
BEM
GEF
=
=
，
∴
60
PEA
BEM
=
=
∴
2
PEA
PFE
=
．
2．（24-25 七年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形ABCD中，ADC
=
，BCD
=
，延长AB 到点E ，
AF 是
DAB
的平分线，BG 是
CBE
的平分线．
(1)如图1，当AF
BG
时，求证：
180
+
＝
；
(2)如图2 ，当
180
+
时，直线AF 交直线BG 于点M ，问
AMB
与，之间有何数量关系？写出你
的结论并证明；
(3)如果将（2 ）中的条件
180
+
改为
180
+
，那么
AMB
与，之间又有何数量关系？请直
接写出结论，不用证明．
【答案】(1)见解析；
(2) 2
180
AMB
=
+
−
，证明见解析；
(3) 2
180
AMB
=
−
−
．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是根
据三角形内角和定理与三角形外角的性质找到角之间的关系．
（1）根据角平分线的定义可知
2
BAD
BAF
=
，
2
EBC
EBG
=
，根据平行线的性质可知
BAF
EBG
=
，
所以可证
BAD
EBC
=
，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立；
（2）根据角平分线的性质可知
(
)
1
2
AMB
EBC
BAD
=
−
，根据三角形外角的性质可证
2
H
AMB
=
，再
根据三角形内角和定理可证2
180
AMB
=
+
−
；
（3）根据角平分线的定义可证2 AMB
ALB
=
，根据三角形内角和定理可证2
180
AMB
=
−
−
．
【详解】（1）证明：
AF
是
DAB
的平分线，BG 是
CBE
的平分线，
2
BAD
BAF
=
，
2
EBC
EBG
=
，
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AF
BG
，
BAF
EBG
=
，
2
2
BAF
EBG
=
，
BAD
EBC
=
，
AD
BC
，
180
+
=
；
（2）解：2
180
AMB
=
+
−
，
证明：如下图所示，延长AD、BC 相交于点H ，
AF 是
DAB
的平分线，BG 是
CBE
的平分线，
1
2
EBM
EBC
=
，
1
2
BAM
BAD
=
，
(
)
1
2
AMB
EBM
BAM
EBC
BAD
=
−
=
−
，
在ABH
中，
H
BAD
EBC
+
=
，
H
EBC
BAD
=
−
，
(
)
1
1
2
2
AMB
EBC
BAD
H
=
−
=
，
2
H
AMB
=
，
180
HDC
=
−
，
180
HCD
=
−
，
(
)
(
)
180
180
180
180
180
H
HDC
HCD
=
−
+
=
−
−
+
−
=
+
−
，
2
180
AMB
=
+
−
；
（3）解：2
180
AMB
=
−
−
，
证明：如下图所示，延长DA、CB 交于点L ，
ABM
EBG
=
，
EBC
ABL
=
，
1
1
2
2
ABM
EBG
EBC
ABL
=
=
=
，
1
2
BAF
BAD
=
，
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(
)
1
1
2
2
AMB
BAF
ABM
BAD
ABL
ALB
=
−
=
−
=
，
2 AMB
ALB
=
，
180
ALB
=
−
−
，
2
180
AMB
=
−
−
．
3．（2025 七年级下·山东·专题练习）【初步认识】
（1）如图①，在
ABC
中，BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
．若
80
A
=
，则
P
= ______；如图②，BM
平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，则
A
与
M
的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
．请探索
A
与
N
之间的数量关系．
【答案】（1）130，
2
A
M
=
；（2）
1
90
2
N
A
=
−
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题
的关键．
（1）如图①，由角平分线可得
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
=
=
=
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，由三角形内角和可
求
180
ABC
ACB
A
+
=
−，根据
(
)
(
)
1
180
180
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
=
−
+
=
−
+
，计算求解即可；
如图②，由角平分线与外角可得
(
)
2
2
2
DCM
A
CBM
M
CBM
= +
=
+
，整理即可；
（2）由角平分线可得
1
1
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
=
=
=
=
，
，由
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
可得
180
CBE
BCF
A
+
=
+，则根据
(
)
180
N
CBN
BCN
=
−
+
，计算求解即可；
【详解】解：（1）如图①，∵BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
，
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∴
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
=
=
=
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∵
180
100
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∴
(
)
(
)
1
180
180
130
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
=
−
+
=
−
+
=
；
如图②，∵BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，
∴
1
1
2
2
CBM
ABM
ABC
DCM
ACM
ACD
=
=
=
=
，
，
∵
ACD
A
ABC
= +
，
DCM
M
CBM
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
DCM
A
CBM
M
CBM
= +
=
+
，
整理得，
2
A
M
=
，
故答案为：130；
2
A
M
=
．
（2）∵BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
，
∴
1
1
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
=
=
=
=
，
，
∵
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∴
(
)
180
180
360
180
CBE
BCF
ABC
ACB
ABC
ACB
A
+
=
−
+
−
=
−
+
=
+ ，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
90
2
2
N
CBN
BCN
CBE
BCF
A
=
−
+
=
−
+
=
−
，
∴
1
90
2
N
A
=
−
；
4．（24-25 七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在△ABC 中，
ABC
与
ACB
的平分线交于点P ，如果
50
A
=
，那么
BPC
= ．
(2)如图2，作△ABC 外角
MBC
、
NCB
的平分线交于点Q ，试求出
Q
、
A
之间的数量关系．
(3)如图3，延长BP、QC 交于点E ，在
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的4 倍，请直接写出
A
的
度数．
【答案】(1)115(2)
1
90
2
Q
A
=
−
(3)36或45或135或144
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【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出
ABC
ACB
+
，进而求出
BPC
即可
解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出
MBC
与
BCN
，再根据角平分线的性质可求得
CBQ
BCQ
+
，最
后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在
BQE
△
中，由于
1
90
2
Q
A
=
−
，求出
1
2
=
E
A，
90
EBQ
=
，所以如果
BQE
△
中，存在一个内
角等于另一个内角的3 倍，那么分四种情况进行讨论：①
4
90
EBQ
E
=
=
；②
4
90
EBQ
Q
=
=
；③
4
Q
E
=
；④
4
E
Q
=
；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵
50
A
=
．
∴
130
ABC
ACB
+
=
，
∵点P 是
ABC
和
ACB
的平分线的交点，
∴
(
)
1
1
180
180
130
115
2
2
BPC
ABC
ACB
=
−
+
=
−
=
，
（2）解：∵外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q，
∴
1 (
)
2
QBC
QCB
MBC
NCB
+
=
+
1 (360
)
2
ABC
ACB
=
−
−
1 (180
)
2
A
=
+
1
90
2
A
=
+
，
∴
1
1
180
90
90
2
2
Q
A
A
=
−
+
=
−
；
（3）解：延长BC 至F，
∵CQ 为
ABC
的外角
NCB
的角平分线，
∴CE 是
ABC
的外角
ACF
的平分线，
∴
2
ACF
ECF
=
，
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∵BE 平分
ABC
，
∴
2
ABC
EBC
=
，
∵
ECF
EBC
E
=
+，
∴2
2
2
ECF
EBC
E
=
+ ，即
2
ACF
ABC
E
=
+ ，
又∵
ACF
ABC
A
=
+，
∴
2
A
E
= ，即
1
2
=
E
A；
∵
EBQ
EBC
CBQ
=
+
1
1
2
2
ABC
MBC
=
+
(
)
1
90
2
ABC
A
ACB
=
++
=
，
∴
90
Q
E
+
=
；
如果
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的4 倍，那么分四种情况：
①
4
90
EBQ
E
=
=
，则
22.5
E
=
，
2
45
A
E
=
=
；
②
4
90
EBQ
Q
=
=
，则
22.5 ,
67.5
Q
E
=
=
，
2
135
A
E
= =
；
③
4
Q
E
=
，则
18
E
=
，解得
36
A
=
；
④
4
E
Q
=
，则
72
E
=
，解得
144
A
=
．
综上所述，
A
的度数是36或45或135或144．
5．（24-25 七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，AB
CD
∥
，点P 在AB ，CD之间，连接AP ，CP ．易证：
APC
A
C
= +
．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点P 作PQ
AB
∥
．
小菲：如图3，延长AP 交CD于点M．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4，E，F 分别是射线AB ，CD上一点，G 是线段CF 上一点，连接AG 并延长，交直线EF 于点P ，
连接AC ，EG ，若
PAC
PEG
AGE
+
=
，求证：AC
EF
∥
．
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（3）如图5，在（2）的条件下，AB
CD
∥
，AH 平分
PAC
，FH 平分
PFC
，AH 与FH 相交于点H，HF
与GP 相交于点T，若
25
CAH
＝
，
AHF
AEG
=
，
2
3
PGE
CAH
PEG
=
+
，求
CFP
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上
知识点是解答本题的关键．
（1）小强的方法：先证AB
PQ
CD
∥
∥
，根据平行线的性质得
APQ
BAP
=
，
CPQ
PCD
=
，据此即
可得出结论；
小菲的方法：先由AB
CD
∥
得
BAP
PMC
=
，再根据三角形的外角定理得
APC
PMC
PCD
=
+
，据此即
可得出结论；
（2）先根据三角形的外角定理得
AGE
APE
PEG
=
+
，再根据
AGE
PAC
PEG
=
+
得
APE
PAC
=
，
然后根据平行线的判定可得出结论．
（3）设
PEG
=
，则
2
3
50
3
PGE
CAH
PEG
=
+
=
+
，进而可得
130
3
AGE
=
−
，根据在（2）的
条件下
PAC
PEG
AGE
+
=
，得50
130
3
+
=
−
，由此解出
20
=
，设
=
PFH
，则
2
2
PFC
PFH
=
=
，再根据AB
CD
∥
得
2
AEF
PFC
=
=
，进而得
2
20
AHF
AEG
=
=
−
，然后
根据在（2）的条件下得AC
EF
∥
，则
AHF
CAH
PFH
=
+
，由此得2
20
25
−
=
+
，据此求出即
可得到
PFC
的度数．
【详解】解：（1）小强的证明如下：
过点P 作PQ
AB
∥
，
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AB
CD
∥
，
AB
PQ
CD
\
∥
∥
，
,
APQ
BAP
CPQ
PCD
=
=
，
APQ
CPQ
BAP
PCD
+
=
+
，
即
APC
BAP
PCD
=
+
；
小菲的证明如下：
延长AP 交CD于点M ，
AB
CD
∥
，
BAP
PMC
=
，
APC
是
PCM
△
的一个外角，
APC
PMC
PCD
=
+
，
即
APC
BAP
PCD
=
+
；
（2）
AGE
是PGE
的一个外角，
AGE
APE
PEG
=
+
，
AGE
PAC
PEG
=
+
，
APE
PAC
=
，
AC
EF
∥
；
（3）
AH
平分
PAC
，
25
CAH
=
，
2
50
PAC
CAH
=
=
，
设
PEG
=
，
2
3
50
3
PGE
CAH
PEG
=
+
=
+
，
180
130
3
AGE
PGE
=
−
=
−
，
在（2）的条件下，
AC
EF
PAC
PEG
AGE
+
=
，
50
130
3
+
=
−
，
解得：
20
=
，
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85 /
20
PEG
=
，
设
=
PFH
，
FH
平分
PFC
，
2
2
PFC
PFH
=
=
，
AB
CD
∥
，
2
AEF
PFC
=
=
，
2
20
AEG
AEF
PEG
=
−
=
−
，
2
20
AHF
AEG
=
=
−
，
在（2）的条件下，
AC
EF
∥
，
AHF
CAH
PFH
=
+
，
即2
20
25
−
=
+
，
解得：
45
=
，
2
90
PFC
=
=
．
1．（2024 八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R 等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾
客需根据如下规则点菜：
①不能同时点M 和N；
②如果点了P，就要点Q 或R；
③在Q 和S 中必须点一个，且只能点一个．
则以下组合中，符合点菜规则的是（ ）
A．Q、M、N
B．S、N、P
C．P、N、Q
D．M、P、R
【答案】C
【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析
即可．
【详解】解：A、∵不能同时点M 和N，
∴选项A 不符合点菜规则；
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86 /
B、∵如果点了P，就要点Q 或R，在Q 和S 中必须点一个，且只能点一个，
∴还需要点R，
∴选项B 不符合点菜规则；
C、∵如果点了P，就要点Q 或R，在Q 和S 中必须点一个，且只能点一个，
∴选项C 符合点菜规则；
D、∵在Q 和S 中必须点一个，且只能点一个，
∴还需点S．
∴选项D 不符合点菜规则；
故选：C．
2．（24-25 七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC 中，
2
ABC
C
=
，点E，F 分别在边
,
BC AC 上，
2
AEF
AFE
=
，ABC
的角平分线与
AEF
的角平分线交于点P，若
26
FEC
=
，则
P
的度数为（ ）
A．39
B．52
C．65
D．78
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是
解题的关键．
根据题意可知
PBC
C
=
，设
C
x
=
，表示出
AEF
，根据角平分线的定义，可得
FEP
的度数，根据
PEC
P
PBC
= +
列方程，即可求出
P
的度数．
【详解】解：∵
2
ABC
C
=
，BP平分
ABC
，
∴
PBC
C
=
，
设
C
x
=
，
则
PBC
x
=
，
∵
26
FEC
=
，
∴
26
AFE
x
=
+
，
∵
2
AEF
AFE
=
，
∴
2
52
AEF
x
=
+
，
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87 /
∵EP平分
AEF
，
∴
26
FEP
x
=
+
，
∵
PEC
P
PBC
= +
，
∴
26
26
x
P
x
+
+
= +
，
∴
52
P
=
，
故选：B．
3．
（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知
90
MON
=
，点A、B 分别在射线OM
ON
，
上移动，BC 平分
OBA
，
交OM 于点E，AD平分
BAM
，AD的反向延长线与BC 交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若
65
BAD
=
，则
20
ABC
=
；
结论Ⅱ：无论点A、B 在射线OM ，射线ON （均不与点O 重合）上怎样移动，
C
的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确
B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结
合的思想是解题关键．根据题意可求出
130
MAB
=
，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求出
1
20
2
ABC
ABO
=
=
；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解
C
的度数即可；
【详解】解：
65
BAD
=
，AD为
BAM
的平分线，
2
130
MAB
BAD
=
=
，
90
AOB
=
，
130
90
40
ABO
MAB
AOB
=
−
=
−
=
BC
为
ABO
的平分线，
1
20
2
ABC
ABO
=
=
,
故结论Ⅰ正确；
90
MAB
AOB
ABO
ABO
=
+
=
+
，
又
AD
为
MAB
的平分线，
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88 /
1
1
45
2
2
DAB
MAB
ABO
=
=
+
，
BC
为
ABO
的平分线，
1
2
ABC
ABO
=
，
1
1
45
45
2
2
C
DAB
ABC
ABO
ABO
=
−
=
+
−
=
，
故结论Ⅱ正确；
故选：C．
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，直线CE
DF
∥
，
125
CAB
=
，
85
ABD
=
，则1
2
+=（ ）
A．30
B．35
C．36
D．40
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得
180
CEF
DFE =
+
，
再由三角形外角的定义及性质可得
125
1
CEF
=
−，
85
2
DFE
=
−，计算即可得解，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵CE
DF
∥
，
∴
180
CEF
DFE =
+
，
∵
2
85
DFE
+
=
，1
125
CEF
+
=
，
∴
125
1
CEF
=
−，
85
2
DFE
=
−，
∴125
1 85
2
180
−+
−=
，
∴1
2
30
+=
，
故选：A．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知AB
DF
∥
，AC
EG
∥
，BD
CE
∥
．若
126
116
E
D
=
=
，
，则
A
的度数是（ ）
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89 /
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得
116
B
D
=
=
，
126
ACE
E
=
=
，
126
AHD
ACE
=
=
，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：延长AC 交BD于点H ，
∵AB
DF
∥
，
116
=
D
，
∴
116
B
D
=
=
，
∵AC
EG
∥
，
126
E
=
，
∴
126
ACE
E
=
=
，
∵BD
CE
∥
，
∴
126
AHD
ACE
=
=
，
∴
126
116
10
A
AHD
B
=
−=
−
=
，
故选：B．
6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，
ACE
是
ABC
的外角，BD平分
ABC
，CD平分
ACE
，
且BD，CD相交于点D．若
40
D
=
，则
A
的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．110
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；
根据角平分线的定义可得
2
ABC
DBC
=
，
2
ACE
DCE
=
，可得
2
A
D
=
，进而求解；
【详解】解：
BD
平分
ABC
，CD平分
ACE
，
2
ABC
DBC
=
，
2
ACE
DCE
=
，
(
)
2
2
2
2
A
ACE
ABC
DCE
DBC
DCE
DBC
D
=
−
=
−
=
−
=
，
2 40
80
A
=
=
；
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90 /
故选：B
7．（24-25 九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与
一束经过光心O的光线相交于点A ，点B 为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若1
155
=
，
2
35
=
，则
3
的度数为（ ）
A．10
B．15
C．25
D．35
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题
的关键．
先利用平行线的性质可得1
4
155
= =
，从而利用平角定义可得
25
ABO
=
，然后利用三角形的外角性质
可得
BAO
10
=
，再利用对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：
CD
BE
∥
，
1
4
155
= =
，
180
4
25
ABO
=
−=
，
2
是ABO
的一个外角，
2
35
25
10
BAO
ABO
= −
=
−
=
，
3
10
BAO
=
=
，
故选：A．
8．
（24-25 七年级下·江苏南通·期中）如图，CE
AF
⊥
，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，
40
F
=
，
30
C
=
，
则
DBC
的度数为 ．
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91 /
【答案】100/100 度
【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由CE
AF
⊥
，则
90
AEC
=
，再
通过三角形内角和定理可得
60
A
=
，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关
键．
【详解】解：∵CE
AF
⊥
，
∴
90
AEC
=
，
∵
30
C
=
，
∴
60
A
=
，
∴
60
40
100
DBC
A
F
= +
=
+
=
，
故答案为：100．
9．（2025·四川绵阳·三模）如图，AB
CD
∥
，
118
CDE
=
，点G 为直线AB 上点，GF 交
DEB
的平分线EF
于F，
141
AGF
=
，则
F
= ．
【答案】20/20 度
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．也考
查了三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质求出
AED
与
DEB
的度数，
再由角平分线的性质求出
DEF
的度数，进而可得出
GEF
的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结
论．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
118
CDE
=
，
∴
180
118
62
AED
=
−
=
，
118
DEB
=
．
∵GF 交
DEB
的平分线EF 于F，
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92 /
∴
1
59
2
DEF
DEB
=
=
，
∴
62
59
121
GEF
=
+
=
．
∵
141
AGF
=
，
∴
141
121
20
F
AGF
GEF
=
−
=
−
=
．
故答案为：20
10．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知△ABC 的内角
A
=
，分别作内角
ABC
与外角
ACD
的平分线，两条角平分线交于点
1A ；作
1A BC
和
1ACD
的平分线交于点
2,
A ；以此类推得到点
99
A ，
则
99
A
的大小为 ．
【答案】
99
2
/
99
1
2
【分析】本题考查三角形的外角性质，规律型：图形的变化类，应用三角形的外角性质，由特殊情况总结
出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：∵
1
BA 平分
ABC
，
1
CA 平分
ACD
，
∴
1
1
2
CBA
ABC
=
，
1
1
2
DCA
ACD
?
?
，
∵
1
1
1
DCA
CBA
A
?
?
?
，
ACD
A
ABC
= +
，
∴
(
)
1
1
1
2
CBA
A
A
ABC
?
?
?
?
，
∴
1
1
2
2
A
A
=
=
，
同理：
2
1
2
1
2
2
A
A
=
=
，
∴
99
99
2
A
a
?
．
故答案为：
99
2
a ．
11．（24-25 七年级下·湖北十堰·期中）将直角三角板
(
)
30
EFG
G
=
和长方形直尺ABCD按如图方式叠放在
一起，EG
AD
、
交于点M ，连接MF ，
(0
60 )
BFE
=
．下列三个结论：①若
MFE
=
，则FG 平
分MFC ；②
60
GMD
=
−
；③若FE平分
BFM
，MF 平分
EMD
，则
40
=
④
60
AMG
=
+
其
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93 /
中正确的结论有
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是
熟练掌握平行线的性质，根据平行线的性质和三角形外角的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵
BFE
=
，
MFE
=
，
∴
BFE
MFE
=
，
∴90
90
BFE
MFE
−
=
−
，
∴
MFG
CFG
=
，
∴FG 平分MFC ，故①正确；
②过点E 作EN
AD
∥
，如图所示：
∵
30
G
=
，
∴
90
30
60
GEF
=
−
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴AD
MN
BC
∥
∥
，
∴
NEF
BFE a
=
=
，
DMG
MEN
=
，
∴
60
MEN
a
=
−
，
∴
60
DMG
MEN
a
=
=
−
，故②正确；
④∴
180
180
(60
)
120
AMG
DMG
=
−
=
−
−
=
+
a
a ，故④错误，
③∵FE平分
BFM
，
∴
MFE
BFE a
=
=
，
∴
90
MFG
a
=
−
，
∵AD
BC
∥
，
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∴
2
DMF
BFM
a
=
=
，
∵MF 平分
EMD
，
∴
2
EMF
DMF
a
=
=
，
∵
EMF
G
MFG
=
+
，
∴2
90
30
a
a
=
−
+
，
解得：
40
=
，故③正确；
综上分析可知，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
12．
（24-25 七年级下·山东德州·期中）如图，点E 、F 、M 、N 分别在线段AB 、AC 、BC 上，1
2
180
+=
，
3
B
= ．求证：
CEB
NFB
=
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义，根据平角的定义可得：1
3
180
CEF
++
=
，
又因为1
2
180
+=
，可证
2
3
CEF
= +
，根据
3
B
= ，可得
2
B
CEF
= +
，根据外角的性质可
得：
2
B
NFB
= +
，从而可证结论成立．
【详解】证明：
1
2
180
+=
，1
3
180
CEF
++
=
，
2
3
CEF
= +
，
3
B
=
，
2
B
CEF
= +
，
2
是BFN
的外角，
2
B
NFB
= +
，
CEB
NFB
=
．
13．（24-25 七年级下·四川成都·期中）已知直线MN 、PQ ，点A、B 为分别在直线MN 、PQ 上，点C 为平
面内一点，连接AC 、BC ，且
C
NAC
CBQ
=
+
．
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(1)求证：MN
PQ
∥
；
(2)如图2，射线AE 、BD分别平分
MAC
和
CBQ
，AE 交直线PQ 于点E，BD与
NAC
内部的一条射线
AD交于点D，若
2
C
D
=
，求
EAD
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)90
【分析】（1）过C 作CS
MN
∥
，证明PQ
CS
∥
，从而得到MN
PQ
∥
；
（2）连接DC 并延长交AE 于点F ，由已知可以得到
1
2
DAC
NAC
=
，再由
EAD
EAC
CAD
=
+
及平
角的意义可以得到解答．
【详解】（1）证明：过C 作CS
MN
∥
，如图所示，
CS
MN
∥
∵
，
NAC
ACS
=
，
ACB
ACS
BCS
NAC
CBQ
=
+
=
+
，
BCS
CBQ
=
，
PQ
CS
∥
∴
，
MN
PQ
∥
；
（2）如图所示，连接DC 并延长交AE 于点F ，
∵射线AE 、BD分别平分
MAC
和
CBQ
，
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∴
1
2
MAE
EAC
MAC
=
=
，
1
2
CBD
DBQ
CBQ
=
=
，
∵
ACF
DAC
ADC
=
+
，
BCF
DBC
BDC
=
+
，
2
ACB
ADB
＝
，
∴
2
ACB
DAC
ADC
DBC
BDC
ADB
=
+
+
+
=
，
而
=
ADC
BDC
ADB
+
，
ADB
DAC
DBC
=
+
∴
，
2
2
2
2
ADB
DAC
DBC
DAC
QBC
=
+
=
+
∴
，
与（1）同理可得：
ACB
NAC
CBQ
=
+
，
2
ACB
NAC
CBQ
ADB
=
+
=
∴
，
2
NAC
CBQ
DAC
QBC
+
=
+
∴
，
即
2
NAC
DAC
=
，
1
2
DAC
NAC
=
∴
，
EAD
EAC
CAD
=
+
∴
，
1
1
2
2
MAC
NAC
=
+
，
(
)
1
2
MAC
NAC
=
+
，
90
=
．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在△ABC 中，
90
ACB
．
(1)请在图中画出△ABC 的边BC 上的高AD；
(2)已知E 为边AB 上一点．
①若CE 是中线，
12,
10
BC
AC
=
=
，则BCE
与
ACE
△
的周长差为_____________；
②若
1
2
35 ,
3
4
= =
= ，求
EAC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①2 ；②40
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟
知三角形的相关知识是解题的关键．
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（1）过点A 作AD
BC
⊥
交BC 延长线于D，则AD即为所求；
（2）①由三角形中线的定义得到BE
AE
=
，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的
性质可得
3
4
1
2
70
= = +=
，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A 作AD
BC
⊥
交BC 延长线于D，则AD即为所求；
（2）解：①∵CE 是中线，
∴BE
AE
=
，
∴
(
)
BC
BE
CE
AC
CE
AE
+
+
−
+
+
BC
BE
CE
AC
CE
AE
=
+
+
−
−
−
BC
AC
=
−
12 10
=
−
2
=
，
∴BCE
与
ACE
△
的周长差为2 ；
②∵1
2
35
= =
，
∴
3
1
2
70
= +=
∠
，
∴
3
4
70
= =
，
∴
180
3
4
40
EAC =
−−=
∠
．
15．（24-25 七年级下·重庆渝北·阶段练习）已知点B ，D 分别在AK 和CF 上，且CD
BK
∥
．
(1)如图1，若
25
CDE
=
，
80
DEB
=
，则
ABE
的度数为______；
(2)如图2 ，若BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，DN 的反向延长线交BM 于点M，探究
BMN
与
DEB
的
数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若转动CD与BK 使其交于点G，若
60
=
AGD
，且BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，DN 的
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反向延长线交BM 于点M，试探究
BMN
与
DEB
的数量关系，并说明理由．（已知：任意四边形的四个内
角之和为360）
【答案】(1)55；
(2)
2
180
DEB
BMN
+
=
，见解析；
(3)
2
240
DEB
BMN
+
=
，见解析
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算、多边形内角和等知识，添加适当的辅助线和熟
练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点E 作EH
CD
∥
，得出CD
EH
BK
∥
∥
，根据平行线的性质得出
CDE
DEH
=
，ABE
BEH
=
，
根据
ABE
BED
CDE
=
−
，求出结果即可；
（2）设
2
EBK
x
=
，
2
CDE
y
=
，由BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，得到
1
2
EBM
MBK
EBK
x
=
=
=
，
1
2
CDN
EDN
CDE
y
=
=
=
，过点E 作EG
AB
∥
，求出
(
)
180
2
DEB
x
y
=
−
−
，
BMN
x
y
=
−
，即可
得到
(
)
180
2
180
2
DEB
x
y
BMN
=
−
−
=
−
，即可得到结论；
（3）设
2
EBK
x
=
，
2
CDE
y
=
，BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，
则
1
2
EBM
MBK
EBK
x
=
=
=
，
1
2
CDN
EDN
CDE
y
=
=
=
，求出
120
2
2
DEB
x
y
=
−
+
，
60
BMN
x
y
=
+
−
，则
240
2
DEB
BMN
=
−
，即可得到结论．
【详解】（1）解：过点E 作EH
CD
∥
，如图，
∵CD
BK
∥
，
∴CD
EH
BK
∥
∥
，
∴
CDE
DEH
=
，
ABE
BEH
=
，
∵
25
CDE
=
，
80
DEB
=
，
BED
DEH
BEH
=
+
，
∴
55
ABE
BED
CDE
=
−
=
；
故答案为：55；
（2）解：设
2
EBK
x
=
，
2
CDE
y
=
，
∵BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，
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∴
1
2
EBM
MBK
EBK
x
=
=
=
，
1
2
CDN
EDN
CDE
y
=
=
=
，
过点E 作EG
AB
∥
，如图，
∴
180
180
2
BEG
EBK
x
=
−
=
−
，
∵CD
BK
∥
，EG
AB
∥
，
∴EG
D
C
∥
，
∴
2
DEG
CDE
y
=
=
，
∴
(
)
180
2
2
180
2
DEB
BEG
DEG
x
y
x
y
=
+
=
−
+
=
−
−
，
∵CD
BK
∥
，
∴
180
180
MHD
ABM
MBK
x
=
=
−
=
−
，
∵
MDH
CDN
y
=
=
，
180
MHD
MDH
BMN
+
+
=
，
∴
(
)
(
)
180
180
180
BMN
MHD
MDH
x
y
x
y
=
−
+
=
−
−
+
=
−
，
∴
(
)
180
2
180
2
DEB
x
y
BMN
=
−
−
=
−
，
∴
2
180
DEB
BMN
+
=
；
（3）解：设
2
EBK
x
=
，
2
CDE
y
=
，
∵BM 平分
EBK
，DN 平分
CDE
，
∴
1
2
EBM
MBK
EBK
x
=
=
=
，
1
2
CDN
EDN
CDE
y
=
=
=
，
∵
360
DEB
EDG
AGD
EBK
+
+
+
=
，
60
=
AGD
，
2
EBK
x
=
，
180
180
2
EDG
CDE
y
=
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
360
360
180
2
60
2
120
2
2
DEB
EDG
AGD
EBK
y
x
x
y
=
−
+
+
=
−
−
+
+
=
−
+
，
∵
360
DEB
EDM
EBM
BMN
+
+
+
=
，
180
180
EDM
EDN
y
=
−
=
−
，
EBM
x
=
，
∴
(
)
(
)
360
360
120
2
2
180
60
BMN
DEB
EDM
EBM
x
y
y
x
x
y
=
−
+
+
=
−
−
+
+
−
+
=
+
−
，
∴
(
)
(
)
120
2
2
120
2
120
2
60
240
2
DEB
x
y
x
y
BMN
BMN
=
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
，
即
2
240
DEB
BMN
+
=
．
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