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试卷第1 页，共26 页
学科网（北京）股份有限公司
分层作业
1.3 勾股定理的应用
水杯中的筷子问题
一、单选题
1．C 2．B 3．C
二、填空题
4．4
5
h
5．4
5
a
6．16
求长方体中的最大长度问题
一、填空题
1．能 2．17
二、解答题
3．（1）解：∵
4cm
AB =
、
3cm
BC =
，∠ABC=90°，
∴对角线的长=
2
2
4
3
5
+
=
cm；
（2）解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD 中，
∵
4cm
AB =
、
3cm
BC =
，∠ABC=90°，
∴BD=
2
2
4
3
5
+
= cm；
在Rt△EBD 中，ED＝
2
2
12
5
13
+
=
cm．
题型01
题型02
试卷第2 页，共26 页
故这个盒子最长能放13cm 的棍子．
梯子的滑落问题
一、单选题
1．D
二、填空题
2．2.4 3．2
三、解答题
4．（1）解：在Rt ABE
中，
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4
AE
AB
BE
−
=
=
−
=
（米）；
（2）解：
2
CE
AE
AC
−
=
=
（米），
∵滑动不会改变梯子的长度，
∴
2.5
CD
AB
=
=
米，
在Rt CDE
中，
2
2
2
2
2.5
2
1.5
DE
CD
CE
−
=
=
−
=
（米），
∴
0.8
BD
DE
BE
−
=
=
（米）．
答：梯子底端将向左滑动的距离BD是0.8米．
5．解：由题意得AD
AC
=
，
90
AEB
ABC
=
=
，
0.7m
AE =
，
2.4m
DE =
，
2
2
2
2
0.7
2.4
2.5m
AC
AD
AE
DE
=
=
+
=
+
=
，
1.5m
BC =
，
2
2
2
2
2.5
1.5
2m
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
，
0.7
2
2.7m
BE
AE
AB
=
+
=
+
=
，
即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽
2.7m
BE =
．
6．（1）解：由题意可得，
4
OE = 米，
25
AB =
米，
15
OA=
米，
由勾股定理可得，
2
2
20
OB
AB
OA
=
−
=
（米），
20
4
24
BE
OB
OE
=
+
=
+
=
（米），
则点B 处与地面的距离为24 米；
（2）解：由题意可得，
20
4
24
OD
OB
BD
=
+
=
+
=
（米），
25
CD =
米，
根据勾股定理可得，
2
2
7
OC
CD
OD
=
−
=
（米），
∴
15 7
8
AC
OA OC
=
−
=
−
=
（米），
题型03
试卷第3 页，共26 页
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则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米．
7．（1）解：由题意，得
6dm,
18dm
BC
AB
AC
=
+
=
．
设
dm
AB
x
=
，则
(
)
18
dm
AC
x
=
−
．
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
BC
AC
AB
+
=
，
即
(
)
2
2
2
6
18
x
x
+
−
=
，
解得
10
x =
．
答：AB 的长为10dm．
（2）如图．
由题意，得
9dm
BE =
，
所以
(
)
9
6
15 dm
BD
BE
ED
=
+
=
+
=
．
在Rt ABD
中，由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
15
8
17 dm
AB
BD
AD
=
+
=
+
=
，
(
)
17 10
7 dm
−
=
．
答：物体C 上升的高度为7dm．
折叠问题与勾股定理
一、单选题
1．C 2．D 3．B 4．B
二、填空题
5．1 6．6
三、解答题
7．解：∵四边形ABCD是长方形，将边AD沿直线AE 折叠，
5
AF
AD
BC
=
=
= ，DE
EF
=
，
4
AB
CD
=
=
，
90
B
C
=
=
，
设EC
x
=
，则
4
DE
x
=
−．
4
EF
x
=
−
，
题型04
试卷第4 页，共26 页
在Rt ABF
中，
2
2
2
2
5
4
3
BF
AF
AB
=
−
=
−
=
，
2
FC
BC
BF
=
−
=
．
在Rt CEF
中，由勾股定理得：
2
2
2
CE
FC
EF
+
=
，即：
2
2
2
2
(4
)
x
x
+
=
−
，
解得
1.5
x =
．
EC
的长为1.5cm．
8．解：由折叠知，
10
BC
BE
=
=
，EF
CF
=
，
四边形ABCD为长方形，
10
AD
BC
=
=
，
90
A
D
C
=
=
=
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
AE
BE
AB
=
−
=
−
=
，
10
6
4
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
，
设CF
x
=
，则EF
x
=
，
8
DF
DC
CF
x
=
−
= −，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，解得
5
x = ，
5
CF
=
，
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
5
5 5
BF
BC
CF
=
+
=
+
=
．
航海问题与勾股定理
一、单选题
1．B 2．C
二、填空题
3．15
三、解答题
4．（1）解：此人以0.5米/秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D 的位置，
13 0.5 6 10
CD
=
−
=
（米），
（2）解：在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
=
，
13
BC =
米，
5
AC =
米，由勾股定理得，
2
2
13
5
12
AB
=
−
=
（米），
在Rt ACD
中，
5
AC = 米，
10
CD =
米，由勾股定理得，
题型05
试卷第5 页，共26 页
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2
2
2
2
10
5
5 3
AD
CD
AC
=
−
=
−
=
（米），
(
)
12 5 3
BD
AB
AD
=
−
=
−
米.
答：船向岸边移动了(
)
12
5 3
−
米．
利用勾股定理求河的宽度
一、单选题
1．C 2．D 3．C
二、填空题
4．12 5．1.2
三、解答题
6．解：∵
12
BD =
米，
16
CD =
米，
20
CB =
米，
∴
2
2
2
2
12
16
144
256
400
BD
CD
+
=
+
=
+
=
，
2
2
20
400
CB =
=
，
∴
2
2
2
BD
CD
CB
+
=
，
∴BCD
是直角三角形，且
90
D
=
，
又∵
34
AC =
米，
∴
2
2
2
2
34
16
30
AD
AC
CD
=
−
=
−
=
米，
∴
18
AB
AD
BD
=
−
=
米，
答：点A、B 之间的距离为18 米．
7．（1）解：
6
BC =
米，
8
BD =
米，
10
CD =
米，
2
2
2
100
BC
BD
CD
+
=
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
DBC
=
，
180
90
ABD
DBC
=
−
=
；
（2）解：
17
AD =
米，
90
ABD
=
在Rt ABD
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
17
8
15
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
( 米) ，
A
，B 两点间的距离为15米．
8．解：根据题意画出示意图，如图，则
0.5m,
1.5m,
AC
A C
AB
A B
=
=
=
，
题型06
试卷第6 页，共26 页
所以BC 即为河水深度，
0.5m
A B
BC +
=
，
A C
AB
⊥
，
A CB
是直角三角形，
2
2
2
A C
BC
A B
+
=
，
(
)
2
2
2
1.5
0.5
BC
BC
+
=
+
，
解得：
(
)
2 m
BC =
，
答：河水的深度为2 米．
9．（1）解：
AC
的长度是男孩未拽之前的绳子长，(
)
BC
CE
+
的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持
不变，
AC
BC
CE
=
+
，
（2）解：连接AB ，则点A、B 、F 三点共线，
在Rt
CAF
△
中，
2
2
2
2
12
5
13
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
（米) ，
12
4
8
BF
AF
AB
=
−
=
−
=
（米) ，
在Rt
CBF
△
中，
2
2
2
2
89
5
8
BC
CF
BF
=
+
=
+
=
（米) ，
AC
BC
CE
=
+
，
(
)
89
13
CE
AC
BC
=
−
=
−
（米) ，
男孩需向右移动的距离为(
)
13
89
−
米．
试卷第7 页，共26 页
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求台阶上的地毯长度
一、单选题
1．C
二、填空题
2．5
三、解答题
3．（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m ，斜边为13m，
根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：
2
2
13
5
12m
−
=
，
则需购买地毯的长为12 5
17m
+ =
，
因为地毯的宽则是台阶的宽4 米，
所以面积是：
2
17 4
68m
=
．
故共需购买
2
68m 的地毯．
（2）解：由地毯的价格为120 元
2
/m ，
则购买地毯的费用为：120 68
8160
=
元，
故购买地毯需花费8160 元．
求汽车超速问题
一、填空题
1．是
二、解答题
2．（1）解：依题意可得，AN
MN
⊥
，
∴
90
ANM
=
，AMN
为直角三角形
∵
150
AM =
米，
90
AN =
米，
∴
2
2
2
2
150
90
120
MN
AM
AN
=
−
=
−
=
米，
108km/h
30m/s
=
，
∴
120 30
4s
t =
=
答∶共用时4 秒；
（2）解：超速，理由如下∶
120:3
40m/s
144km/h
=
=
，
∵144km/h
120km/h
，
题型07
题型08
试卷第8 页，共26 页
∴该车超速．
求受台风影响问题
一、填空题
1．24
二、解答题
2．（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600 米1000
米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P 行驶到
1P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P 行驶过
2P 点时，
报亭的人开始听不到广播宣传，连接
1
2
AP
AP
，
．
由题意得，
1
2
1000
AP
AP
=
=
米，
600
AB =
米，AB
MN
⊥
，
由勾股定理得
2
2
1
1
800
PB
P A
AB
=
−
=
米，
2
2
2
2
800
P B
P A
AB
=
−
=
米，
∴
1
2
1600
PP =
米．
∵1600 200
8
= (分)，
∴报亭的人总共能听到8 分钟的广播宣传．
3．（1）解：
AC
BC
⊥
，
90
ACB
=
，
1000km
AB =
，
600km
AC =
，
(
)
2
2
2
2
1000
600
800 km
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
（2）海港C 受台风影响，
理由如下：过点C 作CD
AB
⊥
，
1
1
2
2
AC
BC
CD
AB
=
，
题型09
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1
1
600 800
1000
2
2
CD
=
，
(
)
480 km
CD
=
，
以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480
520
，
海港C 受台风影响；
（3）解：如图，当
520km
EC =
，
520km
FC =
时，正好影响C 港口，
(
)
2
2
200 km
ED
EC
CD
=
−
=
，
(
)
2
2
200 km
FD
FC
CD
=
−
=
，
(
)
400 km
EF
ED
FD
=
+
=
，
台风的速度为100km/ h ，
( )
400 100
4 h
=
，
答：海港C 受台风影响的时间会持续4h．
4．（1）解：由题意可得AD
BC
⊥
，
340
AB
km
=
，
在直角ABD
中，
2
2
2
2
340
160
300
BD
AB
AD
km
=
−
=
−
=
．
答：BD的长为300km ．
（2）解：如图，以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ，
由题意可知，台风在EF 段时，对A市有影响．
在直角ADE
中，
2
2
2
2
200
160
120
DE
AE
AD
km
=
−
=
−
=
，
同理，
120
DF
km
=
，
∴
240
EF
DE
DF
km
=
+
=
，
∴影响持续的时间为240 20
12h
=
．
试卷第10 页，共26 页
答：A市受到台风影响的时间持续12小时．
构造双勾股解直角三角形
一、解答题
1．解：∵C，D 两村到E 站的距离相等，
∴DE
CE
=
．
∵DA
AB
⊥
于A，CB
AB
⊥
于B，
∴
90
A
B
= =
，
∴
2
2
2
2
2
2
AE
AD
DE BE
BC
EC
+
=
+
=
,
，
∴
2
2
2
2
AE
AD
BE
BC
+
=
+
，
设AE
x
=
，则
(
)
27
BE
AB
AE
x
=
−
=
−
．
∵
24km
DA=
，
15km
CB =
，
∴
(
)
2
2
2
2
24
27
15
x
x
+
=
−
+
，
解得：
7
x =
，
∴
7km
AE =
．
答：E 站应建在离A 站7km处．
2．解：如图，作AB
l
⊥于点B，
则
30m
AB =
，
50m
AD =
，
2
2
40(m)
BD
AD
AB
=
−
=
．
设CD
x
=
，则AC
x
=
，
40
CB
x
=
−
，
在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
AC
BC
AB
=
+
，
2
2
2
(40
)
30
x
x
=
−
+
，即
2
2
1600
80
900
x
x
x
=
+
−
+
．
解得
125(m)
4
x =
．
答：商店C 与公交站D之间的距离为125
4 米．
题型10
试卷第11 页，共26 页
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3．解：如图，连接
,
AG BG ，
设
m
CG
x
=
，则
(
)
80
m
DG
x
=
−
，
根据勾股定理可得
2
2
2
2
2
70
AG
AC
CG
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
2
80
10
BG
DG
BD
x
=
+
=
−
+
，
AG
BG
=
，
(
)
2
2
2
2
70
80
10
x
x
+
=
−
+
，
解得
10
x =
，
答：该自动售货点G 应该修建在离点C 10m处．
4．解：设
km
AE
x
=
，则
(
)
100
km
BE
x
=
−
．
根据题意，得CE
DE
=
．
∴
2
2
2
2
2
)
0
10
(
0
60
x
x
+
=
−
+
，
解得
66
x =
．
∴100
34
x
−
=
．
∴
66km
AE =
，
34km
BE =
．
5．如图，设CE
x
=
千米，则
(
)
8
BE
x
=
−
千米，
在Rt
ABE
△
中，根据勾股定理，
2
2
2
AB
BE
AE
+
=
，
在Rt
CDE
△
中，根据勾股定理，
2
2
2
CE
DC
DE
+
=
，
∵AE
DE
=
，
∴
2
2
2
2
AB
BE
CE
DC
+
=
+
，即
(
)
2
2
2
2
4
8
6
x
x
+
−
=
+
，
解得：
2.75
x =
，
即E 到C 的距离为2.75 千米．
试卷第12 页，共26 页
求立体图形的最短路径问题
一、单选题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题
11．13 12．34 13．20 14．6 41cm 15．100cm/100厘米 16．17
三、解答题
17．解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2 个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2 个小长方形的对角线
的和，
∵底面周长约为6 米，柱身高约16 米，
∴
6
AB =
，
1
1 16
8
2
2
AE
AD
=
=
=
，
在Rt BAE
中
2
2
2
2
6
8
10
BE
AB
AE
=
+
=
+
=
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为10 2
20
=
米．
18．解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是
2
AB+ 个正方形的宽，
长为7
2 1
9
+ = 米；宽为4 米．
∴最短路径为：
2
2
9
4
97
+
=
（米）．
题型11
试卷第13 页，共26 页
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19．解：将半圆面展开，如图所示，
∵
12m
BC =
，
5m
CD =
，
90
BCD
=
．
∴在Rt BCD
中，由勾股定理得
(
)
2
2
2
2
12
5
13 m
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
．
答：他滑行的最短距离为13m ．
20．解：（1）台阶平面展开图为长方形，长(
)
3+2
4
20dm
=
，宽15dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm
x
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
15
[(2
3) 4]
25
x =
+
+
=
，
解得：
25
x =
．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：
1 10
5(cm)
2
AC =
=
，
15cm
BC =
，
2
2
15
5 10(cm)
5
AB
=
+
=
，
试卷第14 页，共26 页
该蚂蚁爬行的最短路程5 10 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，
连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程，
3cm
EF
AG
=
=
，
(
)
15
6 cm
9cm
CF
FB
=
=
−
=
，
1 10cm
5cm
2
AE =
=
，
12cm
CE
EF
CF
=
+
=
，
根据勾股定理有：
2
2
2
2
12
13(cm)
5
AC
AE
CE
=
+
=
+
=
，
蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为13cm．
利用勾股定理求芦苇高度问题
一、单选题
1．D 2．A 3．C
二、解答题
4．解：设水深为x 尺，由题意可得，
(
)
2
2
25
1
x
x
+
=
+
.
解得
12
x =
，
1 13
x + =
答：水深为12尺，芦苇的长是13尺．
汽车通过隧道问题
一、解答题
1．解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：
∵正中间有0.6m宽的双黄线，
∴点O 到右边黄线的距离为0.3m
∵现有一辆货运卡车高4m ，宽2m，
题型12
题型13
试卷第15 页，共26 页
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∴如图，在AD上取G，使
2.3m
OG =
，
过G 作EG
BC
⊥
于F 反向延长交半圆于点E，则
1m
GF
AB
=
=
．
圆的半径
8
4m
1
2
1
2
OE
AD
=
=
=
，
在Rt OEG
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
4
2.3
10.71
3
EG
OE
OG
=
−
=
−
=
，
∴点E 到BC 的距离为
10.71 1
3 1
4
EF =
+ + =
，
∴货车可以通过该隧道．
2．能通过．
如图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图：
当桥洞中心线两边各为0.8 米时，设EC
x
=
米，在Rt
OEC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
0.8
1
x
+
=
，
解得
0 6
x = ．，
∵2.5
23 0 6
+
．
．，
∴卡车能通过．
一、单选题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．D 7．A 8．B 9．A 10．C
二、解答题
试卷第16 页，共26 页
11．5 5
解：由折叠知，
10
BC
BE
=
=
，EF
CF
=
，
四边形ABCD为长方形，
10
AD
BC
=
=
，
90
A
D
C
=
=
=
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
AE
BE
AB
=
−
=
−
=
，
10
6
4
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
，
设CF
x
=
，则EF
x
=
，
8
DF
DC
CF
x
=
−
= −，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
+
−
=
，解得
5
x = ，
5
CF
=
，
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
5
5 5
BF
BC
CF
=
+
=
+
=
．
12．
【答案】
（1）
（2）解：作出点A 的对应点A，连接CA，交DE 于点P ，点P 即为所求，
此时PA
PC
+
的值最小，即为CA的值，图形略；
（3）解：延长AB 交DE 于点Q ，点Q 即为所求，
此时QA
QB
−
最大，即为AB 的长，图形略；
（4）解：由图可得，
(
)
2
2
2
5
AB
a
a
a
=
+
=
，
QA
QB
−
的最大值为5a ．
13．（1）解：过点C 作CD
AB
⊥
于点D，如图．
试卷第17 页，共26 页
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由题意，得
80m,
60m,
100m
AC
BC
AB
=
=
=
．
2
2
2
80
60
100
+
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
．
ABC
是直角三角形，
90
ACB
=
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
CD AB
=
=
△
，
80 60
48(m)
100
AC BC
CD
AB
=
=
=
．
答：点C 到铁路AB 的距离为48m．
（2）解：
52
48
，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C 为圆心，以52m 为半径画圆弧，分别交AB 于点E、F，连接CE
CF
、
，则
52m
CE
CF
=
=
．
CD
AB
⊥
∵
，
DE
DF
=
．
在Rt
CDE
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
52
48
20(m)
DE
CE
CD
=
−
=
−
=
，
2
2 20
40(m)
EF
DE
=
=
=
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为260
40
10(s)
30
+
=
．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s．
14．（1）解：在Rt CDB
中，
由勾股定理得，
2
2
2
2
2
34
16
900
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
30
CD
=
米（负值舍去），
30 1.7
31.7
CE
CD
DE
=
+
=
+
=
（米），
答：风筝的高度CE 为31.7 米．
试卷第18 页，共26 页
（2）解：由题意得，
18
CM =
米，
12
DM
=
米，
2
2
2
2
12
16
20
BM
DM
BD
=
+
=
+
=
（米），
34 20
14
BC
BM
−
=
−
=
（米），
他应该往回收线14米．
15．解：设OC
x
=
尺，则
(
)
1
OB
OA
x
=
=
+
尺，
由题意得，
1
1 10
5
2
BC =
=
尺，
90
OCB
=
，
在Rt OBC
中，由勾股定理得
2
2
2
OB
OC
BC
=
+
，
∴(
)
2
2
2
1
5
x
x
+
=
+
，
解得
12
x =
，
∴
1 13
x + =
，
答：水池的深度OC 为12 尺，芦苇的长度OA为13 尺．
16．（1）解：由题意可得AC
BC
CE
=
+
，
在Rt
CFA
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
12
5
13
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
（米），
由题意得，
12 8
4
BF
AF
AB
=
−
=
−=
（米），
在Rt
CFB
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
5
4
41
BC
CF
BF
=
+
=
+
=
（米），
∴
(
)
13
41
CE
AC
BC
=
−
=
−
米，
答：小亮需向右移动的距离为(
)
13
41
−
米．
（2）解：∵0.5 20
10
=
，10
5
15
13
+
=
，
∴小亮能在20 秒内将船从A 处移动到岸边点F 的位置；
（3）解：由题意可得：
0.5
BF
CE
t
=
=
米，
(
)
13
0.5
BC
t
=
−
米
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理可得
2
2
2
BC
BF
CF
=
+
，
试卷第19 页，共26 页
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即(
)
(
)
2
2
2
13
0.5
0.5
5
t
t
−
=
+
，
解得
144
13
t =
，
∴t 的值为144
13 ．
17．（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为(
)
2
a
b
+
，大的正方形的面积又可以表示为
2
1
4
2
c
ab
+
，
∴
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
a
b
+
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
c
ab
a
b
ab
+
=
+
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（2）解：空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2
−个直角三角形的面积
2
1
2
2
c
ab
=
−
，
∵
4
a =
，
6
b =
，
∴空白部分的面积
2
2
1
4
6
2
4 6
28
2
=
+
−
=
；
（3）解：∵长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处．
∴
5
AF
AD
=
= ，
在Rt ABF
中，
5
AF = ，
3
AB =
，
由勾股定理得：
2
2
4
BF
AF
AB
=
−
=
，
∴
5
4
1
CF
BC
BF
AD
BF
=
−
=
−
= −
= ，
设EF
x
=
，则DE
EF
x
=
=
，
3
CE
CD
DE
x
=
−
= −
，
在Rt CEF
中，由勾股定理得：
2
2
2
EF
CE
CF
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
3
1
x
x
−
=
+
，
解得：
5
3
x =
，
即
5
3
EF =
．
18．（1）解：延长AB 交A O
于点D ，则
90
ADA
=
，
4m
DO =
．
试卷第20 页，共26 页
∵
25m
AA=
，
(
)
24
4
20 m
A D
A O
DO
−
=
−
=
=
∴在Rt ADA
中，
(
)
2
2
2
2
25
20
15 m
AD
AA
A D
=
−
=
−
=
，
即此时消防车距离着火楼距离是15 米．
（2）解：∵
(
)
28
4
24 m
B D
B O
DO
−
=
−
=
=
，
25m
BB
AA
=
=
，
∴在Rt BDB
中，
(
)
2
2
2
2
25
24
7 m
BD
BB
B O
−
=
=
−
=
，
∴
(
)
15
7
8 m
AB
AD
BD
=
−
=
−
=
，
即消防车靠近的AB 为8 米时才能完成B处救援任务．
19．（1）解：①由题意得，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
；
②
1
1
5
5
2
2
2
ABC
S
CD AB
CD
CD
=
=
=
△
，
1
4 4
8
2
ABC
S
=
=
△
，
5
8
2 CD
=
，
解得
16
5
CD =
，
边AB 上的高CD的长为16
5 ．
（2）解：设CD
x
=
，则
4
BD
BC
CD
x
=
+
=
+
．
在Rt ACD
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
13
AD
AC
CD
x
=
−
=
−
；
在Rt ABD
中，由勾股定理得
(
)
2
2
2
2
2
15
4
AD
AB
BD
x
=
−
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
13
15
4
x
x
−
=
−
+
，
解得
5
x = ，
2
2
13
5
12
AD
=
−
=
．
试卷第21 页，共26 页
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20．（1）解：依题意得：ABC
中，
300km
400km
90
AC
BC
ACB
=
=
=
，
，
，
∴根据勾股定理得
2
2
500km
AB
AC
BC
=
+
=
，
答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km；
（2）解：海港C 受台风影响，
理由：
ABC
中，
90
ACB
CE
AB
=
⊥
，
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CE
=
=
△
，
300 400
500CE
=
，
240km
260km
CE
=
，
海港C 会受到此次台风的影响；
（3）解：如图，以C 为圆心，260km长为半径画弧，交AB 于D，F，
则
260km
2
CD
CF
DF
ED
=
=
=
，
．
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
260
240
100km
ED
CD
CE
=
−
=
−
=
，
200km
DF
=
，
台风的速度为25km/h ，
200
25
8h
=
．
答：台风影响该海港持续的时间为8h．
21．（1）解：如图，连接AB ，过点B 作BG
AC
⊥
于点G，
∵AC
EF
⊥
，BD
EF
⊥
，BG
AC
⊥
，
∴四边形CDBG 是矩形，
∴
m
100
CG
BD
=
=
，
800m
BG
CD
=
=
，
试卷第22 页，共26 页
∴
700 100
600m
AG
AC
CG
=
−
=
−
=
，
在Rt ABG
中，
2
2
2
2
600
800
1000m
AB
AG
BG
=
+
=
+
=
；
（2）解：设
m
CG
x
=
，则
(
)
800
m
DG
CD
CG
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
2
2
700
AG
AC
CG
x
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
800
100
BG
GD
BD
x
=
+
=
−
+
，
∵G 到A，B 两处的距离相等，
∴AG
BG
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
700
800
100
x
x
+
=
−
+
，
解得
100
x =
，
∴自动售货点G 应修建在离点C 100 米处；
（3）解：如图，作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
⊥
交AC 延长
线于H，则
100m
BD
B D
=
=
，
90
H
=
，
可知四边形B HCD
是矩形，
∴
100m
CH
B D
=
=
，
800m
B H
DC
=
=
，
∴
800m
AH
AC
CH
B H
=
+
=
=
，
∴
2
2
800 2m
AB
AH
B H
=
+
=
，
∵AM
BM
AM
BM
+
=
+
，
∴AM
BM
+
的最小值为AB，
即M 到A、B 两处的距离之和最小值为800 2m．
一、单选题
1．C 2．A
二、填空题
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3．5 4．8 5 5．7.5
三、解答题
6．（1）解：四边形ABCD是长方形，
90
D
C
B
DAB
=
= =
=
，AD
BC
=
，
90
DAF
EAF
+
=
．
由折叠的性质，得
90
FAB
C
=
=
，
90
B
B
= =
，AB
CB
=
，
AD
AB
=
，
D
B
=
，
90
B AE
EAF
+
=
，
DAF
BAE
=
．
在ADF
和
AB E
△
中，
D
B
AD
AB
DAF
B AE
=
=
=
，
，
，
(
)
ASA
ADF
AB E
≌
．
（2）解：由折叠的性质，得AF
CF
=
．
设AF
CF
x
=
=
，则
18
DF
DC
CF
x
=
−
=
−．
在Rt
ADF
△
中，
2
2
2
AD
DF
AF
+
=
，
(
)
2
2
2
12
18
x
x
+
−
=
，解得
13
x =
．
ADF
AB E
≌
△
△
，
13
AF
AE
=
=
，
1
1 13 12
78
2
2
AEF
S
AE AD
=
=
=
．
7．解：如图，连接BF 交AE 于点O．
将ABE
沿AE 折叠得到
AFE
△
，
BE
EF
=
，
AEB
AEF
=
，AE 垂直平分BF ．
E
为BC 的中点，
1
3
2
BE
CE
EF
BC
=
=
=
=
，
EFC
ECF
=
．
试卷第24 页，共26 页
2
BEF
ECF
EFC
ECF
=
+
=
，
AEB
ECF
=
，
AE
CF
，
90
BFC
BOE
=
=
．
在Rt ABE
中，由勾股定理，得
2
2
AE
AB
BE
=
+
2
2
4
3
5
=
+
=
，
4 3
12
5
5
AB BE
BO
AE
=
=
=
，
24
2
5
BF
BO
=
=
．
在Rt
BCF
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
24
18
6
5
5
CF
BC
BF
=
−
=
−
=
．
8．（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，
3,
4
,
,
2
AC
BC
x BF
x DF
=
=
−
=
=
，则
(
)
2
2
2
2
4
3 ,
2
AB
x
BD
x
=
−
+
=
+
，
4
4
CF
x
x
=
−+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
BD
AB
AD
+
+
−
+
=
+
，
∴当
, ,
A B D 三点共线时，
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
AD
+
+
−
+
=
最小，
作DH
AC
⊥
，则
4,
2
DH
CF
CH
DF
=
=
=
=
，
∴
5
AH
AC
CH
=
+
= ，
∴
2
2
4
5
41
AD =
+
=
，
∴代数式
(
)
2
2
2
2
2
4
3
x
x
+
+
−
+
的最小值为
41 ；
（2）解：由题意，AP
PQ
QB
+
+
为总路程，
∵
8km
PQ =
，
∴要求AP
PQ
QB
+
+
的最小值，只需求得AP
QB
+
的最小值．
如图1，将点A 向上平移8km 得到
1A ，连接
1AQ ，
1A B ，则
1AQ
AP
=
，
∴
1
1
AP
QB
AQ
QB
A B
+
=
+
，
试卷第25 页，共26 页
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∴当
1,
,
A Q B 三点共线时，此时
1AQ
BQ
+
的最小值为
1A B ．
过点B 作射线垂直河岸，过点A 向右作水平线，两线交于点D．
由题意，可得
1
15km
A D =
，
8km
BD =
，
∴
1AQ
BQ
+
的最小值为
1
17km
A B =
，
∴最短路程为17 8
25km
+ =
．
（3）如图2，构造ABC
，CD
AB
⊥
，垂足为D，
9,
12
AC
BC
=
=
．
设CD
x
=
，则
2
2
81
,
144
AD
x
BD
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
81
144
15
AB
x
x
=
−
+
−
=
．
∵
2
2
2
9
12
15
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
∴1
1
9 12
15
2
2
x
=
，解得
7.2
x =
，
∴x 的值为7.2．
9．解：（1）展开后A、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm和12cm．
根据勾股定理，最短路径为：
2
2
9
12
81 144
225
15cm
+
=
+
=
=
（2）底面是正方形，周长为3 4
12cm
=
，垂直方向为直四棱柱的高10cm，绕一周高为
(
)
10
2
5 cm
=
，
根据勾股定理，
2
2
12
5
144
25
169
13cm
+
=
+
=
=
，
绕两周彩条最短长度为：13 2
26cm
=
；
试卷第26 页，共26 页
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6
24cm
=
，绕一周垂直长度为7cm ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
2
2
24
7
576
49
625
25cm
+
=
+
=
=
（4）底面是半圆长加一个半径，
3 2
2
8
r
r
+ = +
= ，高为6cm ，
根据勾股定理，爬行最短长度为
2
2
m
8
0
6
1
0
0
1 c
+
=
=
．
一、单选题
1．C 2．C
二、填空题
3．3
2 4．50 5．10
