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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 目 录 A 组 巩固过关 题型01 识别三角形的高 题型02 与三角形的高有关的计算问题 题型03 中线分线段问题 题型04 中线分周长问题 题型05 中线平分面积问题 题型06 与角平分线有关的计算问题 题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 题型08 三角形中线、角平分线、高线综合问题 B 组 能力进阶 C 组 思维拔高 拓展 链接中考 识别三角形的高 1.△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上高的作法正确的是（ ） A． B． C． D． 2.如图，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，以下说法不正确的是（） 题型01 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 A．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高 B．𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐶上的高 C．𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高 D．𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高 与三角形的高有关的计算问题 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐸为𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸= 6，P 为𝐴𝐵上一动点，则𝑃𝐶的最小值为 （ ） A． 21 4 B． 28 3 C． 48 7 D．7 4. 已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ） A．70° B．50° C．70°或50° D．70°或30° 5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，若𝐵𝐷= 5，𝐶𝐷= 3，则𝐵𝐶的长为________． 中线分线段问题 6.如图所示，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的重心，连接𝐵𝐷并延长，交𝐴𝐶于点𝐸，若𝐴𝐸= 4，则𝐴𝐶的长度为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 7.已知△𝐴𝐵𝐶三边𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线． 题型03 题型02 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 (1)若𝐵𝐶= 6，求𝐵𝐷的长度． (2)求𝐵𝐷的取值范围； 中线分周长问题 8.(1)如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，若△𝐴𝐶𝐷的周长为18，则△𝐴𝐵𝐷的周长为_________． (2) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，△𝐴𝐶𝐷的周长是18cm，𝐴𝐵= 6cm， 则𝐴𝐶=______cm． 9.已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长分别是17和15，△𝐴𝐵𝐶的周长是22，则𝐴𝐷的长为______． 中线平分面积问题 10.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 11.如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点F，若△𝐴𝐵𝐶的面积等于12，则△𝐵𝐸𝐹的面积等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型05 题型04 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 与角平分线有关的计算问题 12.如图，𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= 38°，则∠𝐶的度数是（ ） A．16° B．30° C．38° D．76° 13.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，点D 是𝐴𝐵上一点，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐶于点E，点F 是𝐵𝐶上 一点，连接𝐸𝐹，且∠1 = ∠𝐶．求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐸𝐹． 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 14.下列说法中，正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 15.下列叙述正确的个数是（ ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条 角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． 题型07 题型06 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B．2 C．3 D．4 三角形中线、角平分线、高线综合问题 16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷, 𝐴𝐸分别是边𝐶𝐵上的中线和高．𝐴𝐸= 6cm，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12cm2，则𝐵𝐶的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 17 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠𝐷𝐴𝐸= 15°，∠𝐶= 65°，求∠𝐵的度数． 1． 如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，𝐶𝐹为△𝐵𝐶𝐸的中线，若图中阴影部分的面积为2，则 △𝐴𝐵𝐶的面积为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 题型08 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 2.如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷, 𝐶𝐸分别是这个三角形的两条高，𝐴𝐵= 5, 𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷+ 𝐶𝐸= 6.3，则三角形 𝐴𝐵𝐶的面积等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 24,𝐴𝐶= 7, 𝐵𝐶= 25, 𝐷是𝐴𝐵的中点，𝑃, 𝑄分别是𝐵𝐶, 𝐷𝐶上的动点，则𝐴𝑄+ 𝑄𝑃 的最小值是__________． 4.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为130，𝐵𝐷= 5，则△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的 高为______． 5 如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶的中点，𝐵𝐶= 8，E 是𝐴𝐶上的一点，且𝐶𝐸= 2𝐴𝐸，𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点F， 若△𝐴𝐸𝐹的面积为3，则𝐴𝐷的最小值为___． 6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长为35，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 3 2 𝐴𝐶． (1)当𝐴𝐶= 10时，求𝐵𝐷的长． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 (2)𝐴𝐶能否等于12？为什么？ 7.已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷把三角形的周长分为15 和6 两部分，求腰长𝐴𝐵． 8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵> 𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成50 和35 两部分，求𝐴𝐶 和𝐴𝐵的长． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 1． 【综合运用】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷, 𝐸分别是𝐵𝐶, 𝐴𝐵边上的中点，连接𝐴𝐷, 𝐷𝐸，点F 在𝐴𝐷上，满足𝐷𝐹= 2𝐴𝐹， 连接𝐸𝐹, 𝐶𝐹，若△𝐴𝐵𝐶的面积是12，则图中四边形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积是（ ） A．4 B． 9 2 C．6 D．8 2.【转化思想】如下图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂．若△𝐴𝐵𝐶的面积为8，△𝐵𝑂𝐶 的面积为5，则△𝐶𝑂𝐷的面积为_____________． 3．【动点问题】如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 5，点𝑃是𝐴𝐵边上一动点（点𝑃可以与点𝐴， 𝐵重合），且 60 13 ≤𝐶𝑃≤12，若点𝑀，𝑁分别是𝐴𝑃，𝑃𝐵的中点，则𝑀𝑁的长度为______． 4．【分类讨论】△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸 是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，若∠𝐷𝐴𝐸= 10°，则 ∠𝐵𝐴𝐷为 _______度． 5．【综合实践】 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我 们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1 中，如果取一块质地均匀的三 角形纸板，用一根细线绳从重心𝑂处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2 中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷等底等高，面积相等，记作：𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷． 在图3 中，若△𝐴𝐵𝐶三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交于点𝐺，则𝐺𝐷是△𝐺𝐵𝐶的中线，利用上述结论可得：𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷， 同理𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 【解决问题】 (1)在图3 中，若设𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑧，证明：𝑥= 𝑦= 𝑧． (2)利用（1）中的结论，证明：𝐵𝐺: 𝐺𝐸= 2: 1． (3)图4 中，𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，点𝐷、𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝐺，𝐵𝐸= 10，𝐶𝐷= 9，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷， 求△𝐵𝐺𝐷的面积． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是中线，𝐴𝐷= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，则𝐵𝐸的长 为（ ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 2.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸是中线𝐴𝐷的中点．若△𝐴𝐸𝐶的面积是1，则△𝐴𝐵𝐷的 面积是______． 3.（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交 于点O，连接BO 并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．
