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专题12.17 垂直平分线（分层练习）
一、单选题
1．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,连接BE，若∠A=35°,则∠CBE的度数是(
)
A．15° B．20° C．30° D．45°
2．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的( )
A．垂线 B．平行线
C．垂直平分线 D．过中点的直线
3．如图，在钝角三角形ABC中， 为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，
AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点 下列结论错误的是
A．CE垂直平分AD B．CE平分
C． 是等腰三角形 D． 是等边三角形
4．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的A．角平分线 B．中线 C．高线 D．都有可能
5．如图：在 中， ， ， 和 的垂直平分线分别交 于点 、 ，且点
在点 的左侧， ，则 的周长是( )
A． B． C． D．
6．如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB=8cm,BC=5cm，则 DBC的周长是( )
△
A．8cm B．5 cm C．3cm D．13cm
7．如图，点 在 的垂直平分线上， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法不正确的是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两条边的距离相等B．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
C．有一边相等得两个等边三角形全等
D．等腰三角形的对称轴是底角的平分线所在的直线
9．已知 三边的垂直平分线的交点在 的边上，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）
A．56° B．68° C．28° D．34°
11．如图， ，点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，则 的度数
是( ).
A．15° B．20° C．25° D．30°
12．如图，在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的
周长等于( )．
A．8 B．10 C．12 D．14
13．如图，已知在Rt ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC
长度一半的长为半径画圆弧△，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连结BE，AB＝5cm，
AEB的周长为18cm，则 ABC的周长是（ ）cm．
△ △A．36 B．23 C．18 D．30
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点
M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点
D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④
．其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧
相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为（
）
A．65° B．60° C．55° D．45°
二、填空题
16．已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是__________.17．如图，在 中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将
沿EF折叠，若点C与点O恰好重合，则 ______．
18．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____．
19．在△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线 BC 于 D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B 的度数是
_______
20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝
60°，∠ACF＝42°，则∠ABC＝_____°．21．如图， 是 外一点， 是 上一点， ， ， ，
，则 的度数为___________．
22．如图，在 ABC中，AD平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，∠B＝48°，
∠DAE＝15°，则∠△C＝_____度．
23．如图，在 中， 是 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，若
的周长 ， ，则线段 的长度等于___________cm．
24．如图，AB＝AC，∠C＝36°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAB＝_____．25．数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使
∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明
其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F
在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）
27．如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，则的最小值为_____．
28．如图， 是边长为 的等边三角形，点 在 上且 ，点 从点 出发，向点 运动，
同时点 从点 出发，以相同的速度向点 运动，当点 到达点 时，运动停止， 和 相交于点 ，
连接 ，在此过程中线段 长度的最小值是____．
29．在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=25°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长
△
为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则
∠CBE=______．
30．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．三、解答题
31．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）求证：DB＝DC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
32．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF＝2DE．
33．如图，在 中， ， 为 的垂直平分线， 交 于点 ，连接 .若
，求 的度数.34．在 中， ，将 绕点 按顺时针方向旋转，得到 ，旋转角为
，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，连接 ， ，如图，当 时，延
长 交 于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）求证： ， ．
35．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，
DH⊥AC交AC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的长．36．如图，在Rt AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边 ABE，作OA的垂直平分
线MN交AB的垂线A△D于点D． △
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
参考答案
1．B
【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，然后由Rt ABC
中，∠C=90°，求得∠ABC的度数，继而求得答案． △
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=35°，
∵Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=35°，
∴∠A△BC=55°， ∘
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=20°.
故选择B.
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.
2．C
【分析】由已知CA=CB根据线段垂直平分线的性质的逆定理可得点C在AB的垂直平分线上，同理得
点D的位置
解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB
的垂直平分线．
故选C．
【点拨】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．
3．D
【分析】依据作图可得 ， ，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线
的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
解：由题可得， ， ，
是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
， ，
，
即CE平分 ，故B选项正确；
，
是等腰三角形，故C选项正确；
与AC不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选D．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上
任意一点，到线段两端点的距离相等．
4．B【分析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，推出线段AD是△ABC的中线．
解：由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线．
故选B．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
【分析】根据垂直平分线性质得AD=BD，AE=EC，所以△ADE周长=BC．
解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴L =AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6．
ADE
△
故选D.
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是根据垂直平分线性质得AD=BD，AE=EC．
6．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出 DBC的周长是BD+DC+BC=AC+BC，代入求出
即可． △
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∵AB=AC，AB=8cm，BC=5cm，
∴△DBC的周长是BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=8cm+5cm=13cm，
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是
解答此题的关键．
7．C
【分析】由点D在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，又由∠D=130°，
即可求得∠DCA的度数，然后由AB∥CD，根据平行线的性质，求得∠BAC的度数．
解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∵∠D=130°，
∴∠DAC=∠DCA= ，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA= .故答案为C.
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的
性质和平行线的性质.
8．D
【分析】由题意根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形判定以及等腰三角形性
质，利用排除法进行分析即可．
解：A. 角平分线上的点到这个角两条边的距离相等，此选项正确；
B. 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，此选项正确；
C. 有一边相等得两个等边三角形全等，此选项正确；
D. 等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线而不是底角的平分线所在的直线，此选项不正确.
故选：D.
【点拨】本题主要考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形判定以及等腰三角形
性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键.
9．B
【分析】根据三角形三边垂直平分线概念即可解题.
解：解,由三角形的垂直平分线可知,锐角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的内部,直角三角形
三边的垂直平分线的交点在△ABC的斜边上,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的外部.
故选B.
【点拨】本题考查了三角形垂直平分线的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
10．A
【分析】根据图像,明确∠α是线段AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角即可解题.
解：由图可知, ∠α是AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角,
∵∠ACB=68°,
∴∠DAC=68°,
∴∠α=90°-68° 2=56°,
故选A.
【点拨】本题考查了尺规作图,属于简单题,熟悉尺规作图的方法是解题关键.
11．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可.
解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DB=DA，EC=EA，∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∵DB=DA，EC=EA，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=80°，
∴∠DAE=100°-80°=20°，故选B.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点
到线段两个端点的距离相等．
12．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=EC，进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，从而可得
答案．
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∵AC的垂直平分线交BC与E，
∴AE=CE，
∵BC=10，
∴BD+CE+DE=10，
∴AD+ED+AE=10，
∴△ADE的周长为10，
故选B．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两
端点的距离相等．
13．D
【分析】由作图步骤知PD是BC的中垂线，据此得BE=CE，根据AB+AE+BE=18cm且AB=5cm知
AC=13cm，利用勾股定理求得BC的长可得答案．
解：由作图步骤知PD是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∵△ABE的周长为18cm，即AB+AE+BE=18cm且AB=5cm，
∴AE+BE=13cm，
∴AE+CE=13cm，即AC=13cm，
∵∠ABC=90°，∴BC= = =12
∴△ABC的周长为5+12+13=30（cm），
故选D．
【点拨】本题考查作图-基本作图，解题关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质、勾股
定理等知识点．
14．D
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用等角对等边可以证得 ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在
AB的垂直平分线上； △
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解：如图：
根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故②正确；
∴∠ADC=60°，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∵AD=DB，∴
故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉
等腰三角形的判定与性质．
15．A
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由
∠B=30°、∠A=55°知∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可．
解：根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∵CD=BD，
∴∠B=∠BCD=30°.
∵∠B=30°，∠A=55°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=95°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=65°，故选A.
【点拨】本题考查的是作图一基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.
16．18cm
【分析】由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形
ADBC的周长．
解：∵CD垂直平分AB， AC=4cm，AD=5cm，
∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．
故答案为18 cm．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
17．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再
求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定
理列式计算即可
解：
解：如图，连接OB、OC，
，AO为 的平分线，
，
又 ，
，
是AB的垂直平分线，
，
，
，
为 的平分线， ，
，
点O在BC的垂直平分线上，
又 是AB的垂直平分线，
点O是 的外心，
,
，
将 沿 在BC上，F在AC上 折叠，点C与点O恰好重合，
，
，
在 中， ．
故答案为104°.【点拨】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性
质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，解题的关键是作辅助线，构造出等腰三角形．
18．AC垂直平分线段BD．
【分析】根据ASA证△ABC≌△ADC,推出AB=AD,BC=CD, 可得AC和BD的关系.
解：解: AC垂直平分线段BD,
理由是: 在△ABC和△ADC中,
,
△ABC≌△ADC
AB=AC,BC=CD
AC垂直平分线段BD.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定及垂直平分线的性质.
19．37.5°或 67.5°．
【分析】求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°， 分为两种情况并画出图形后，根据三角形内
角和定理求出即可.
解：∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD= BD,
∴∠B=∠DAB,
∵∠ACB= 90°，
∴∠B+∠BAC= 90°,
分为两种情况:①如图1,∵∠B+∠BAC= 90,∠BAD-∠DAC= 22.5°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°
∴∠DAC+ 22.5°+∠DAC+ 22.5° +∠DAC= 90°,∠DAC= 15°
∴∠B= 15°+ 22.5°= 37.5°
②如图2，∵∠B+∠BAC= 90° ,∠BAD-∠DAC= 22.5°
∴∠B=∠DAB=∠DAC+ 22.5°，
∴∠DAC+ 22.5° +∠DAC+ 22.5°- ∠DAC= 90° ，
∴∠DAC= 45° ,
∴∠B=45°+ 22.5°= 67.5°
【点拨】本题考查中垂线性质和三角形内角和定理，中等难度，分类讨论是解题关键.20．52
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进
而可得∠FCE＝26°，然后可算出∠ABC的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠ACF＝48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∵∠ACF＝42°，
∴3∠FCE＝120°﹣42°＝78°，
∴∠FCE＝26°，
∴∠ABC＝52°，
故答案为52．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分
线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21． /35度
【分析】连接 ，则 垂直平分 ，可得 ，再证明 ，即可得到
．
解：连接 ，
， ，
是 的垂直平分线，
，在 和 中
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到 是 的垂直平分线再想到证明
是解题的关键．
22．34．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内
角和定理计算即可．
解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠C+15°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠C+15°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴48°+∠C+15°+∠C+15°+∠C＝180°，
解得，∠C＝34°，
故答案为34．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，解题的关键是掌握垂直
平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理.
23．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD＝DC，得出 ABD周长＝AB＋BC即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线， △
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝AB＋DC＋BD＝AB＋BC，
∵C ＝16cm，AB＝5cm，
ABD
△
∴BC＝11cm，故答案为11．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等解答．
24．72°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝36°，由线段垂直平分线的性质得到CD＝AD，得到
∠CAD＝∠C＝36°，根据外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵AB＝AC，∠C＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AC的垂直平分线MN交BC于点D，
∴CD＝AD，
∴∠CAD＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝72°，
故答案为72°
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题
的关键．
25．尺规作图见分析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.
【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、
等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.
解：如图，
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【点拨】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练
掌握各知识点是解答本题的关键.26．180°﹣α．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF
＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即
可得到结论．
解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
27．
【分析】由于S PAB=S PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最
短路径问题，可得P△C+PD=AC△此时最小，有勾股定理可求结果．
解： 为矩形，
又
点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上，
连接 ，交 与点 ，此时 的值最小，
且
故答案为
【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
28．
【分析】如图连接OC，作DM⊥OC于M，根据已知条件只要证明出∠OCB=30°，根据垂线段最短的性
质即可解决问题.解：如图，连接OC，作DM⊥OC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAF=∠ABE=∠ACB=60°，
又∵AF=BE，AB=BA，
∴△ABF≌△BAE，
∴∠ABO=∠OBA，
∴OA=OB，
∵CA=CB，
∴OC垂直平分线段AB，
∴∠OCB=∠ACO=30°，
∴当点O与点M重合时，OD的值最小，最小值为：DM= CD= ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定、角平分
线的判定、垂线段最短等知识，正确添加辅助线并熟练运用相关知识是解题的关键.
29．40°
【分析】先利用互余计算出∠ABC=65°，再利用基本作图得到MN垂直平分AB，所以EA=EB，从而得
到∠EBA=∠A=25°，然后计算∠ABC-∠EBA即可．
解：∵在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=25°
∴∠ABC=90°-△25°=65°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=25°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=65°-25°=40°．
故答案为40°．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等
于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段
垂直平分线的性质．
30． 70 8
【分析】（1）由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，∠BPC＝70°．（2）
ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8cm．
解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP=35°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；
（2）△PBC的周长=BP+PC+BC，
=AP+PC+BC，
=AC+BC，
=AB+BC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴△PBC的周长=5+3=8cm．
故答案为70°；8cm．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是
解题的关键．
31．（1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】（1）由“ASA”可证△ADB≌△ADC，可得DB=DC；
（2）由全等三角形的性质可得AB=AC，DB=DC，即可得AD⊥BC．
解：证明：（1）∵∠3＝∠4，
∴∠ADB＝∠ADC，且∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA）
∴DB＝DC
（2）∵△ADB≌△ADC
∴AB＝AC，DB＝DC，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，证明△ADB≌△ADC解题的关
键．
32．（1）见分析；（2）见分析．
【分析】（1）根据垂直平分线的做法即可画出（2）根据垂直平分线的性质与含30°角的直角三角形
的性质即可证明.
解：（1）直线l即为所求．
分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．作图正确．
（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．
又∵l为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝30°，∠AED＝∠BED＝60°，
∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC．
在Rt△ECF中，∠FEC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴EF＝2EC，∴EF＝2ED．
【点拨】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质.33．36°
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合直角三角形两锐角互余可得结论.
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
设∠CBD=x，
则∠A=∠ABD=2∠CBD=2x，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD=5x=90°,
∴x=18°,
∴∠A=2x=36°.
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握它们的性质
是解题的关键.
34．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）由 绕点A顺时针方向旋转60°，知AB=AD， 得证即可，
（2）利用垂直平分线的性质，有两组两条线段到AD两端的距离相等，由两点确定一直线，只要证明
一组AE=DE，另一组AB=DB相等即可．
解：（1）∵ 绕点A顺时针方向旋转60°得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形；
（2）由（1）得 是等边三角形，
∴ ，
∵ 绕点A顺时针方向旋转60°得到 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴点 、 在 的中垂线上，
∴ 是 的中垂线，
∵点 在 的延长线上，
∴ ， ．【点拨】本题考查证等边三角形与线段垂直平分线问题，解题关键是推出两条边相等，夹角60º，等
边三角形才成立，掌握等边三角形证明方法，及图形旋转的不变量．
35．（1）见详解；（2）10
【分析】（1）根据题意连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；依据角平分线的性
质可得DG=DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由题意可得Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG=AH，进而得出答案．
解：（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD=DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°，
在Rt△BDG与Rt△CDH中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），
∴BG=CH；（2）在Rt△ADG与Rt△ADH中，
∵DG=DH，AD=AD，
∴Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），
∴AG=AH，
∴AB-AC=AG+BG-（AH-CH）=2BG=12-8=4，
∴BG=2，
∴AG=AB-BG=12-2=10．
【点拨】本题考查线段垂直平分线及角平分线的性质和直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题
的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
36．(1)见分析;(2)见分析.
【分析】（1）连接OD，易证 ADO为等边三角形，再证 ABD≌△AEO即可．
（2）作EH⊥AB于H，先证 A△BO≌△AEH，得AO＝EH，再△证 AFD≌△HFE即可．
解：证明：（1）连接OD，如△图1， △
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠EAB＝60°，
∵DA⊥BA，
∴∠DAB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAE＝∠DAB，
∵MN垂直平分OA，
∴OD＝DA，
∴△AOD是等边三角形，
∴DA＝OA，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（2）证明：如图2，作EH⊥AB于H，
∴∠EHA＝∠DAF＝90°，
∵AE＝BE，
∴2AH＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，∴2OB＝AB，
∴AH＝BO，
∴Rt AEH≌Rt BAO（HL），
∴EH△＝AO＝A△D，
∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴F为DE的中点．
【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握
全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
