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12.3.2 角的平分线的判定
夯实基础篇
一、单选题：
1．在 中， ，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别
在 ， 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P， 交边 于点D，则下列结论
错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． 垂直平分 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图.
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，BD⊥AC，即BD垂直平分AC，
故A、B、C三个选项正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，
故选项D错误，符合题意.故答案为：D.
【分析】由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，根据角平分线的判定可得BP平分∠ABC，然后结
合等腰三角形的三线合一可推出AD=DC，BD垂直AC，据此判断即可.
2．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.则对点P位置的判断，
正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解： P到∠A的两边的距离相等，
P在∠A的角平分线上，
PA=PB，
P在线段AB的垂直平分线上，
故P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定进行解答即可.
3．如图，已知 于点 ， 于点 ，且 ， ，
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的判定得出AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD= ∠BAC=20°，从而求出
∠CDA=70°，利用∠CDG=∠ADG-∠CDA，即可求解.
4．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝
EF，则∠AEC的度数为( )
A．60° B．62° C．64° D．66°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】∵∠B=42°，AD⊥BC，
∴∠BAD=48°，
∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠BAE=∠DAE=24°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，故答案为：D
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD=48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得
出AE平分∠BAD，根据角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE=24°，根据三角形的外角定理即可算出答
案。
5．如图，在四边形 中， ， ，点P是 边上的一动
点，连接 ，若 ，则DP的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵∠A=∠BDC=90° ，
又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，根据三角形内角和定理以及角平分线的概念可得BD是
∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质得到AD＝DH=3，确定出DP的最小值，据此判断即可.
6．如图，在Rt ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S ＝25，则CD的
ABD
△
长为（ ） △
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S ＝ AB×DE=25，
ABD
△
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE
长，则可解答.
二、填空题：
7．如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB= .
【答案】60°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°.
【分析】根据到角两边距离相等的点在该角的角平分线上即可得出∠AOC=∠BOC=30°，从而即可算
出答案.
8．如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1= °.
【答案】33
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，
∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠1，
∵∠2=57°，
∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°.
故答案为：33.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得AC平分∠BAD，进而可得∠CAD=∠1，根据直角三角形两锐角互余得出∠2+∠CAD=90°，然后问题可求解.
9．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝ ．
【答案】100°
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据
∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得BD平分∠ABC，从而得出
∠ABC=2∠DBC，即可求解.
10．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点
有 个.
【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平
分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的
角平分线的交点上，故问题得解.
11．在正方形网格中， 的位置如图所示，点 ， ， ， 是四个格点，则这四
个格点中到 两边距离相等的点是 点.
【答案】M
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点M在 的平分线上
∴点M到 两边距离相等
故答案为：M.
【分析】到 两边距离相等的点在 的平分线上，由此可确定答案.
12．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使
∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小= （度）．
【答案】10
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，
∴AB平分∠FBD，
又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，
∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，
∴点E在∠ADB的平分线上，
即DE平分∠ADB，
∵∠DBC=∠ADB-∠ACB，∠DBC=20°，
∴ ，
∴10°= ，
∵∠DEC=∠ADE-∠ACE= ，
∴∠DEC=10°，
故答案为：10.
【分析】延长CB到F，由∠ABC=100°、∠CBD=20°，可得∠ABF=80°、∠ABD=80°，故AB平分
∠FBD，由知CE平分∠ACB，根据角平分线的性质可知点E到BF、BD、AC的距离相等，从而根据
角平分线的判定又得DE平分∠ADB，据此利用三角形外角性质即可求解。
三、解答题：
13．已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．【答案】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
{BD=CD
在Rt BDE和Rt CDF中 ，
BE=CF
△ △
∴Rt BDE≌Rt CDF，
∴DE△=DF， △
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】利用“HL”证出 ，得DE=DF，再利用角平分线的判定即可。
14．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：
AD平分∠BAC．
【答案】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
DBF的面积为： BF·DM，
△DCE的面积为： DN·CE，
△
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴ BF·DM＝ DN·CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】 过D作DN⊥AC，DM⊥AB， 利用三角形的面积公式即可得到 BF·DM＝
DN·CE， 即可得到 DM＝DN， 再根据角平分线的判定求解即可。
15．如图，点P为 和 的平分线的交点．求证：点P在 的平分线上．
【答案】证明：如图，过点P作 于点E， 于点F， 于点G，
∵点P为 和 的平分线的交点，
∴ ， ，∴ ，∴点P在 的平分线上．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】要证明点P在∠ACN的平分线上，只需要证明点P到AC与CN的距离相等即可，
可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可。
16．如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
【答案】证明：过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M.
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
∵AN⊥BC，AM⊥CD
∴∠ANB=∠AMD=90°
又∵AB=AD
∴△ABN≌△ADM
∴AN=AM
∴点A在∠BCD的平分线上，
即CA平分∠BCD.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M，由垂直的定义得∠ANB=∠AMD=90°，根据同角的补角相等得出 ∠1=∠3 ，进而利用AAS判断出△ABN≌△ADM，根
据全等三角形的对应边相等得出AN=AM，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即
可得出结论.
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点O，连接CO，则有
（ ）
A． ≌ B．
C．CO平分 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴OF=OH，OF=OG，
∴OG=OH，
∴CO平分∠ACB．
故答案为：C
【分析】过O作OF⊥AB于、OG⊥BC于G、OH⊥AC于H，根据角平分线的性质和判定，逐个判断
即可。
2．如图， ，M是 的中点， 平分 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180° ∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB= ∠DAB=35°，
故答案为：B.
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=
∠DAB，计算即可．
3．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据
角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
4．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S ＝S +S ．
PAC MAP NCP
△ △ △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt PAM和Rt PAD中，
△ △
，
∴Rt PAM≌Rt PAD（HL），
∴∠△APM＝∠A△PD，
同理：Rt PCD≌Rt PCN（HL），
∴∠CPD△＝∠CPN，△∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝ ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt PAM≌Rt PAD（HL），Rt PCD≌Rt PCN（HL）
∴S APD ＝S APM△，S CPD ＝S△CPN ， △ △
△ △ △ △
∴S +S ＝S ，故④符合题意，
APM CPN APC
△ △ △
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证
CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt PAM≌Rt PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理
Rt PCD≌Rt PCN △ △
（△HL），可得△∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝
180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，
∠PAM＝ ∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S
APD
△
＝S ，S ＝S ，据此判断即可.
APM CPD CPN
△ △ △
二、填空题：
5．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则
∠BOC的度数为 .
【答案】130°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再
根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理
列式计算即可得解.
6．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，
则∠CED的度数是 ．
【答案】10°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE= ∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是
△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点
到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平
分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，
∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。
7．如图， 于E， 于F，若 ， ，则下列结论：
； 平分 ； ； 中正确的是
．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】在 和 中， ，，故 正确；
又 ， ，
平分 ，故 正确；
在 和 中， ，
，
，
，
即 ，故 正确；＜
由垂线段最短可得 ，故 错误，
综上所述，正确的是 ，
故答案为：
【分析】首先利用HL判断出Rt BDE Rt CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，然后根
据到角两边距离相等的点在这个△角的角≅平分△线上得出AD 平分 ∠BAC，然后再利用HL判断出
Rt ADF Rt ADF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据线段的和差及等量代换得出
AC△−AB=2≅BE△，由垂线段最短可得 AE
